Didaktik der Geometrie
Lektion 5: Ahnlichkeitsgeometrie, Korper
Andreas Vohns
Zugehoriges interaktives Video unter: https://goo.gl/iY6RyW
Wintersemester 2017/8
Ubersicht
UbersichtInhalte des Lehrplans
Geometrische ModelleModellbilden, Darstellen, Konstruieren
AhnlichkeitsgeometrieAhnlichkeit und StrahlensatzeSatz von PythagorasKreismessung
KorperObjektbegriffe: KorperVolumensformeln fur Korper
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Ubersicht: Inhalte des Lehrplans
5. Klasse: ausgehend von Objekten der Umwelt durch Idealisierung und Abstraktion
geometrische Figuren und Krper sowie ihre Eigenschaften erkennen und beschreiben knnen,
aufbauend auf die Grundschule Kenntnisse ber grundlegende geometri-sche Begriffe gewinnen,
Skizzen von Rechtecken, Kreisen, Kreisteilen, Quadern und ihren Netzen anfertigen knnen,
Zeichengerte zum Konstruieren von Rechtecken, Kreisen und Schrgris-sen gebrauchen knnen, -Mastabszeichnungen anfertigen und Lngen daraus ermitteln knnen;
Umfangs- und Flchenberechnungen an Rechtecken (und einfachen dar-aus zusammengesetzten Figuren),
sowie Volums- und Oberflchenberechnungen an Quadern (und einfa-chen daraus zusammengesetzten Krpern) durchfhren knnen,
Formeln fr diese Umfangs-, Flchen- und Volumsberechnungen aufstel-len knnen;
Winkel im Umfeld finden und skizzieren, Gradeinteilung von Winkeln kennen, Winkel mit dem Winkelmesser (Geodreieck) zeichnen knnen;
einfache symmetrische Figuren erkennen und herstellen knnen.
6. Klasse: Dreiecke, Vierecke und regelmige Vielecke untersuchen, wesentliche Ei-
genschaften feststellen, -die Figuren skizzieren und konstruieren knnen, Erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder berhaupt nicht in Konstruk-
tionen umgesetzt werden knnen, kongruente Figuren herstellen knnen, die Kongruenz begrnden knnen;
Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen kennen, und fr Konstruktion anwenden knnen;
Flcheninhalte von Figuren berechnen knnen, die sich durch Zerlegen o-der Ergnzen auf Rechtecke zurckfhren lassen,
Volumina von Prismen berechnen, mglichst in Anwendungsaufgaben.
7. Klasse: Vergrern und Verkleinern von Figuren, hnliche Figuren erkennen und beschreiben;
Formeln fr Flcheninhalte von Dreiecken und Vierecken begrnden und damit Flcheninhalte berechnen knnen,
Umkehraufgaben lsen knnen, Gegenstnde, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben,
zeichnerisch darstellen knnen, Oberflche, Rauminhalt und Gewicht von Gegenstnden, die die Gestalt
eines Prismas oder einer Pyramide haben, berechnen knnen;
den Lehrsatz des Pythagoras fr Berechnungen in ebenen Figuren nutzen knnen.
8. Klasse: den Lehrsatz des Pythagoras fr Berechnungen in ebenen Figuren und in
Krpern nutzen knnen, eine Begrndung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen, Berechnungsmglichkeiten mit Variablen darstellen knnen;
Schranken fr Umfang und Inhalt des Kreises angeben knnen, Formeln fr die Berechnung von Umfang und Flcheninhalt des Kreises
wissen und anwenden knnen, Formeln fr die Lnge eines Kreisbogens und fr die Flcheninhalte von
Kreisteilen herleiten und anwenden knnen;
Formeln fr die Berechnung der Oberflche und des Volumens von Drehzylindern und Drehkegeln sowie fr die Kugel erarbeiten und nutzen knnen.
Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 4
Modellbilden, Darstellen, Konstruieren
LehrplanLehrplan
Skizzen von [. . . ] Quadern und ihren Netzen anfertigen
Zeichengerate zum Konstruieren von [. . . ] Schragrissengebrauchen
Mastabszeichnungen anfertigen und Langen daraus ermitteln
Gegenstande, die die Gestalt eines Prismas oder einerPyramide haben, zeichnerisch darstellen
Didaktik der Geometrie
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Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 5
Modellbilden, Darstellen, Konstruieren
Standards M8Standards M8
. . . in der Lesart dieser Lehrveranstaltung
Modellbildenreale Gegenstande durch mathematische Figuren
und Korper beschreiben und ggf. auch zeichnerisch . . .
Darstellen Zeichnungen erstellen, denen geometrische Figurenals Gestaltungselemente zu Grunde liegen.
Konstruieren Mit ausgewahlten Werkzeugen, uber die man gutBescheid wei, Zeichnungen regelgeleitet erstellen, ausdenen man sich zutraut, auch Zusammenhange uberdie zu Grunde liegenden Figuren zu entnehmen.
Alle drei haben mit geometrischen Modellengeometrischen Modellen zu tunDidaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 6
Ahnlichkeit
Intuitives Begriffsverstandnis:Intuitives Begriffsverstandnis: Mastab (1. Klasse)
Expedition Mathematik 1 (Kraker, Plattner & Preis, 2007)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 7
Ahnlichkeit
Schulbuch-Erklarung:Schulbuch-Erklarung: Ahnlichkeit (3. Klasse)
Figurlich orientiert (Kraker, Plattner und Preis, 2009)
Bei ahnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich gro undentsprechende Streckenlangen stehen im gleichen Verhaltniszueinander.
Fruher auch ublich:
Abbildungsgeometrisch orientiert
Zwei Figuren sind ahnlich, wenn eine Ahnlichkeitsabbildung(Verknupfung von Kongruenzabbildung und zentrischer Streckung)existiert, die die eine auf die andere abbildet.
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 8
AhnlichkeitFiguren vergroern und verkleinernFiguren vergroern und verkleinern
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 9
AhnlichkeitFiguren vergroern und verkleinernFiguren vergroern und verkleinern
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 10
Strahlensatze
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 11
Strahlensatze: Begrundung
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 12
Strahlensatze: Begrundung
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 13
Strahlensatze: Anwendungen
Ahnliche DreieckeAhnliche Dreiecke
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 14
Strahlensatze: AnwendungenVermessungsprobleme: Messung kleiner und groer Strecken wird wechselseitig austauschbar (auch: unzugngliche Strecken knnen vermessen werden)
Teilungsprobleme: Vorgegebene Strecken lassen sich in jedem (kommensurablen) Verhltnis teilen: (alte) Anwendung:Nomogramme(Rechenbltter)
Bildquellen: Lambacher und Schweizer (1971)
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 15
Sachverhalte erarbeiten (Grundfragen des MU)
146Jrgen Roth Fachdidaktische Grundlagen
Didaktische Aufgaben
Entdecken von SachverhaltenInduktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegenBeispiel: Quadrieren vergrert.
Formulieren der Sachverhalteals mathematische Aussagen
Begrnden der AussagenLogische Struktur (Voraussetzung, Behauptung) herausarbeitenZiele des Begrndens
Wahrheit einer Aussage sichernEinsicht in den Sachverhalt vermitteln
Verstehen der Sachverhalte
Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu (neuen) mathematischen Erkenntnissen fhren
Fallunter-scheidung
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
0 5
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x
y
22 = 4 > 232 = 9 > 342 = 16 > 42 >
\[0; 1]
(Roth (2016) in Anlehnung an Vollrath und Roth, 2012, S. 248)
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 16
Satz von Pythagoras
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 17
Satz von Pythagoras
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 18
Satz von Pythagoras
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 19
Satz von Pythagoras
Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel, 2002)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 20
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 21
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 22
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 23
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 24
Satz von Pythagoras
Nach einer Idee von Danckwerts und Vogel (2003)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 25
Satz von Pythagoras
Ahnlichkeitsbeweis der SatzgruppeAhnlichkeitsbeweis der Satzgruppe
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 26
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 27
Satz von Pythagoras
Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel, 2002)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 28
Kreismessung
NaherungNaherung
Expedition Mathematik 4 (Kraker, Plattner & Preis, 2010)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 29
KreismessungIterationIteration (mit DGS)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 30
KreismessungIterationIteration (mit Rechnung)
Wir beschrnken uns im Folgenden auf ein-beschriebene n-Ecke. Wir zeigen, wie manaus der Seitenlnge sn und dem Inkreisradiusn des regelmigen n-Ecks diejenigen desregelmigen 2n-Ecks rekursiv berechnenkann (siehe Figur):Es sei AB = BC = ... = s2n die Seitenlnge desregelmigen 2n-Ecks und AC = sn diejenigedes regelmigen n-Ecks.Ferner sei x = PB = r n, wobei n = MP derInkreisradius des regelmigen n-Ecks ist.Nach dem Kathetensatz fr Dreieck BCH gilt:s2n = BC = BP BH = x 2 r = (r n) 2 r
MA
B
C
P
H
Q
s2n
nsn
2nr
Damit erhlt man: s2n = n2 r (r ) (I)Satz von Pythagoras fr Dreieck MAQ ergibt:2n = r (s2n/2) = r (r + n)/2.Damit erhlt man: 2n = nr (r ) / 2 + (II)
Krauter und Bescherer (2013)
Didaktik der Geometrie
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Korper Wintersemester 2017/8 31
Raumvorstellung
PflichtlektureQuelle: Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation fur Geometrie (2015)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 32
Objektbegriffe: KorperWahrnehmen und Beschreiben:Wahrnehmen und Beschreiben: (1. Klasse)
Expedition Mathematik 1 (Kraker et al., 2007)
Didaktik der Geometrie
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Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 33
Objektbegriffe: KorperDarstellen: SchragrisseDarstellen: Schragrisse (1. Klasse)
Expedition Mathematik 1 (Kraker et al., 2007)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 34
Objektbegriffe: Korper
Darstellen: ProjektionenDarstellen: Projektionen (GZ)
(Krauter & Bescherer, 2013)
Didaktik der Geometrie
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Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 35
Objektbegriffe: KorperDarstellen: SchragrisseDarstellen: Schragrisse (6. Schulstufe (DE))
Bildquelle: Weigand (2004)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 36
Objektbegriffe: KorperKonstruieren: SchragrisseKonstruieren: Schragrisse (3. Klasse)
Das ist Mathematik 3 (2. Auflage; Reichel, Litschauer und Gross, 2003)
Didaktik der Geometrie
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Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 37
Objektbegriffe: KorperAbfolge / SystematikAbfolge / Systematik
Prisma
Bildquelle: Weigand (2004)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 38
Objektbegriffe: KorperAbfolge / SystematikAbfolge / Systematik
Bildquelle: Weigand (2004), Affolter (2011)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 39
Volumen: Wurfel und Quader
Mabegriff bilden:Mabegriff bilden: (1. Klasse)
Quelle: Baireuther (1990, S. 85)
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 40
Volumen: PrismaZerlegenZerlegen (3. Klasse)
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 41
Volumen: Pyramide
ZerlegenZerlegen (3. Klasse)
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 42
Volumen: PyramideSchuttversuch, ZerlegenSchuttversuch, Zerlegen (3. Klasse)
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 43
Volumen: Cavalieri-Prinzip
Herleitung
Herleitung (anschaulich)
Mathematik 9 (Griesel & Postel, 2002)
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 44
Volumen: ZylinderNaherungNaherung (4. Klasse)
Expedition Mathematik 4 Kraker et al., 2010
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 45
Volumen: KegelNaherungNaherung (4. Klasse)
Expedition Mathematik 4 Kraker et al., 2010
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 46
Volumen: Cavalieri-Prinzip
Kegelvolumen:Kegelvolumen: Begrundung
Mathematik heute 9 (Griesel & Postel, 2002)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 47
Volumen: Cavalieri-PrinzipKugelvolumen:Kugelvolumen: Begrundung
Quelle: Howe (2013)
Didaktik der Geometrie
Literatur
Affolter, W. (Hrsg.). (2011). Das Mathematikbuch 7, Ausgabe A: Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation fr Geometrie. (2015). Raumvorstellung die vier Fakto-
ren. https://goo.gl/7mpFS6.Baireuther, P. (1990). Konkreter Mathematikunterricht. Bad Salzdetfurth: Franzbecker.Danckwerts, R. & Vogel, D. (2003). Dynamisches Visualisieren und Mathematikunterricht. Ein Ausloten
der Chancen an zwei Beispielen. Mathematik lehren, (117), 1922, 39.Griesel, H. & Postel, H. (Hrsg.). (2002). Mathematik heute 9, Realschule. Schulbuch. Schroedel Verlag.Heinrich, R., Hirsch, A., Rothkirsch, U., Schmidt, U., Schneider, C., Schunk, J. & Unger, M. (Hrsg.). (2006).
Level 9 Mathematik: Lehrbuch fr die Klasse 9 Gymnasium Sachsen. Berlin, Frankfurt a. M.: DUDENPAETEC Schulbuchverlag.
Howe, P. (2013). Herleitung des Kugelvolumens mit Halbkugel und Vergleichskegel (GeoGebra Applet,CC BY 3.0). https://goo.gl/Z9oCDH.
Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2007). Expedition Mathematik 1: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2009). Expedition Mathematik 3: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2010). Expedition Mathematik 4: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Krauter, S. & Bescherer, C. (2013). Erlebnis Elementargeometrie. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Hei-
delberg.Lambacher, T. & Schweizer, W. (1971). Geometrie. Lambacher-Schweizer Mathematisches Unterrichts-
werk. Stuttgart: Klett.Reichel, H.-C., Litschauer, D. & Gross, H. (2003). Das ist Mathematik: Lehrbuch und Aufgabensammlung fr
die 3. Klasse der allgemeinbildenden hheren Schulen und der Hauptschulen (2. Aufl.). Wien: bv & hpt.Roth, J. (2016). Fachdidaktische Grundlagen: Vorlesungsfolien. Koblenz. Zugriff unter https://goo.gl/tE1iPsVollrath, H.-J. & Roth, J. (2012). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (2. Aufl.). Hei-
delberg: Spektrum Akademischer Verlag.Weigand, H.-G. (2004). MaDiN: Didaktik der Geometrie. https://goo.gl/bBBDHH.
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