Dr. Walter H. Schreiber
Quantitative Methoden IQuantitative Methoden I
Teil 2: Deskriptive StatistikBd. I: II.D Zusammenhangsmaße für
nominalskalierte, dichotome und ordinalskalierte Merkmale
Vers. 2.0
2
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Überblick zu ZusammenhangsmaßenÜberblick zu Zusammenhangsmaßen
D.1 nominalskalierte MerkmaleBedingte HäufigkeitenKontingenzkoeffizient
D.2 dichotome MerkmalePhi-KoeffizientOdds Ratio; Yules YTetrachorische KorrelationPunkt-biseriale Korrelation
D.3 ordinalskalierte MerkmaleSpearmans rhoKendalls tau
3
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Chi-QuadratverfahrenChi-Quadratverfahren
Abhängigkeit
4
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Chi-QuadratverfahrenChi-Quadratverfahren
Unabhängigkeit
5
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Chi-QuadratverfahrenChi-Quadratverfahren
fofe
22
1 1
R Soij eij
i j eij
f f
f
Chi-Quadrat
6
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Chi-QuadratverfahrenChi-Quadratverfahren
22tan ( 1) ( 1)s d Spaltenzahl Zeilenzahl
Standardisiertes Chi-Quadrat
Kontingenzkoeffizient C
2
2C
N
C ist 0, wenn kein Zusammenhang besteht
Es gibt einen berechenbaren Wert Cmax
7
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Dichotome Merkmale: Phi-Koeffizient (Dichotome Merkmale: Phi-Koeffizient (φφ-Koeffizient)-Koeffizient)
kann bei künstlich dichotomen und natürlich dichotomen Merkmalen eingesetzt werden
entspricht mathematisch-statistisch der Produkt-Moment-Korrelation
der Koeffizient kann nur dann die Werte -1 bzw. +1 annehmen, wenn ein perfekter Zusammenhang besteht und und bei den Merkmalen die gleichen Randverteilungen vorliegen
um letztgenannten Mangel auszugleichen, wurde eine Korrektur entwickelt (φcor)
der φ-Koeffizient neigt zu Unterschätzung, wenn die Auftretensrate des zu identifizierenden Merkmals von 50% abweicht
φ kann auch aus Chi-Quadrat abgeleitet werden:
2 N
8
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Odds-Ratio und Yules YOdds-Ratio und Yules Y
die odds ratio werden im deutschen Sprachraum kaum genutzt (OR = ad/bc)
Effektmaß d Yules Y
a b
c d
3* ln( ) ln( ) ln( ) ln( )d a d b c
1
1
ORYules Y
OR
9
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Zwei künstlich dichotome MerkmaleZwei künstlich dichotome Merkmale
Die tetrachorische Korrelation rtet
• wird bei künstlichen Dichotomien benutzt
• Berechnung ist sehr aufwändig
• bei SPSS nicht vorhanden
• Basis für die Näherungsformel nach Chambers ist der odds ratio (darf man nur anwenden, wenn sich die Werte auf latenter Ebene in Form einer Ellipse verteilen)
.74
.74
1
1tet
ORr
OR
10
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Punkt-biseriale KorrelationPunkt-biseriale Korrelation
Datenlage: natürlich dichotomes Merkmal und intervallskaliertes Merkmal
entspricht mathematisch-statistisch der Produkt-Moment-Korrelation
11
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Korrelationskoeffizienten für ordinalskalierte DatenKorrelationskoeffizienten für ordinalskalierte Daten
Spearmans rho (ρ)Spearmans ρ ist identisch mit der Produkt-
Moment Korrelation der RangplätzeRangplätze je ähnlicher die Rangplätze in beiden
Messreihen sind, desto näher ist die Korrelation bei +1
je unähnlicher die Rangplätze in beiden Messreihen sind, desto näher ist die Korrelation bei -1
12
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
Korrelationskoeffizienten für ordinalskalierte DatenKorrelationskoeffizienten für ordinalskalierte Daten
Kendalls tau (τ)Kendalls τ ist ein Maß für ordinale Daten im
eigentlichen Sinn
13
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. SchreiberÜbersichtÜbersicht
intervallintervall künstlichkünstlichdichotomdichotom
natürlichnatürlichdichotomdichotom ordinalordinal
intervallintervall r
rpbis rpbis
Kendalls τ
rbis
Spearmans ρ
polychor. Korrel.
künstlichkünstlichdichotomdichotom
φ φ bis. Rangk.
rtet ν (ny) polychor. Korrel.
natürlichnatürlichdichotomdichotom
φ bis. Rangk.
ordinalordinalKendalls τ
Spearmans ρ
polychor. Korrel.
Legende s. nächste Seite
14
Dr. Walter H. Schreiber
Dr. Walter H. Schreiber
r : Produkt-Moment-Korrelation rpbis : Punkt-biseriale Korrelation
rtet : tetrachorische Korrelation
kann wie Pearson Produkt-Momentkorrelation berechnet werden
kann nach Umwandlung in konsekutive Rangreihe wie Pearson Produkt-Momentkorrelation berechnet werden
Der Koeffizient schätzt die Pearson Produkt-Momentkorrelation ; algebraisch nicht ableitbar