Ein vollst/indiges Ungleichungssystem fiir Minkowskische Summe und Differenz
Von D. OHMA2~N, Frankfurt a. M.
Es ist leicht einzusehen, dab die bekannten Ungleichungen ffir die Minkowskische Summe und Differenz zweier konvexer K0rper A und B_c A des euklidischen R, :
1 l 1
V(A + B)g > V(A)g + V(B)g 1 ~ ( 1 )
V(A -- B)~ < V ( A ) - ~ - V(B)~
auch unter Hinzunahme der Bedingungen
V(A -- B) > 0 V(B) >_ 0 (2)
kein vollst/~ndiges Ungleichungssystem bilden, das heiBt dab sie keines- wegs alle Ungleichungen ersch6pfen, die flit die vier Volumina V(A) , V(B) , V(A + B) und V(A -- B) bestehen. Im Falle n = 2 lassen sich die Ungleichungen (1) jedoch dutch das versch/irfende Ungleichungs- paar
(a) F ( A + B) + F ( A -- B) > 2 (F(A) + F ( B ) ) (3)
(b) 2F(A -- B) �89 F (A) �89 < 3F(A) + F(B) -- F ( A + B)
ftir den Fl~cheninhalt F ersetzen, das mit (2) und F(A) > F ( A -- B) ein vollst~ndiges System bildet. Dies Ergebnis l~Bt sich in folgender Weise scharf formulieren :
Zu jedem Quadrupel x 1, x2, x3, x4 lassen 8ich dann und nur dann kon- vexe Bereiche A und B c A der eulclidischen Ebene angeben, ]fer die
F ( A ) = xx; F(B)----- x2; F ( A + B ) = x3; F ( A -- B ) = x4 (4)
statthat, wenn das Quadrupel dem unabhdngigen Ungleichungssystem
(a) x ~ > x 4 > 0 ; x2>_0
(b) z3 + x4 >_ 2(xl + x2) (5)
(c) 2 t xlxa [ �89 < 3Xl +" x2 -- xa genfegt.
151
1. u Bei Benutzung der auf die Richtung r i~ufle- ren Stfi tznormalen bezogenen Stf i tzfunktion h(q) wird die Minkowski- sche Summe A A- B der beiden konvexen Bereiche A und B bekannt- lich durch den konvexen Bereich dargestellt, fiir dessen St i i tzfunktion
h ( A -f- B ; ~ ) = h(A ; ~) § h ( B ; ~) (6)
gilt. Da h (A ; ~0) -- h (B ; ~0) ~ 0 fiir A _~ B ausfi~llt, liiBt sich die Minkowskische Differenz A -- B als Durchschni t t aller den Ursprung enthal tenden Halbebenen erkliiren, die von den Geraden der ~uBeren Normalenr ichtung ~v begrenzt werden, die vom Ursprung den Abstand h (A ; ~v) -- h (B ; ~) haben. Daraus folgt
h ( A - - B ; q~) < h ( A ; q~) - - h ( B ; q~) . (7)
Die Minkowskischen Differenzen sind dami t mit den von G. Bol 1) ein- gefiihrten Relativ-Parallelbereichen nach innen identisch. Andrerseits s teht obige auf konvexe Bereiche beschr~nkte Definition offensichtlich zu der yon H. Hadwiger 2) ftir beliebige Mengen gegebenen nicht im Widerspruch.
Unsern Definitionen kann man nun unmi t te lbar
A - k - B = B - - I - A , (A + B ) - I - C = A -+- (B -+- C) (8)
(AA- B ) - - B - - - - A , ( A - - B ) + B c A (9)
und ebenfalls leicht 8)
(A -- B) -- C =- A -- (B + C) , ( A _ D B + C ) (10)
entnehmen. Zum Beweis yon (10) zeigt man die Richt igkei t yon A - - ( B + C ) c ( A - - B ) - - C und ( A - - B ) - - C c _ A - - ( B § C) in-
dem man yon der ersten (zweiten) der beiden aus (8) und (9) zu fol- gernden Ungleichungen
[A -- (B + C)] + C + B c _ A und [ ( A - - B ) - - C ] + ( B + C ) c _ A
beiderseits nacheinander B und C (gleichzeitig B + C) subtrahiert .
1) O. Bol, Beweis einer Vermutung yon H. Minkowski (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 15 (1943), S. 37--56.
s) H. Hadwiger, Minkowskische Addition und Subtraktion beliebiger Punkt- mengen . . . (Math. Z. 53 (1950151) S. 210--218).
a) H. Hadwiger, a. a. O.
152
Ftir den gemischten Inhalt 2 ~
F ( A ; B) -~ �89 .~ h(A ; ~) ds(B ; q~) o
folgt aus (7) und (8) noch
(a)
(b)
(s(B; q) = Bogenlange von B)
F ( A + B ; C ) = F ( A ; C ) + F ( B ; C )
F ( A - - B ; C ) ~ _ F ( A ; C ) - - F ( B ; C ) (11)
und schlieBlich auch die Minkowskische Formel
F ( A + B) = F(A) + 2F(A ; B) + F(B) . (12)
Zur Anwendung der yon G. Bol 4) benutzten Methode der Relativ- Parallelbereiche nach iimen haben wir bei variablem r noch die Bereiche A~--~A + r B ins Auge zu fassen, fiir die sich aus (11) und (12) die Beziehungen
(a) dF (AT ; C) _ F (B ; C) (r > O) dv (13)
(b) dF (AT ; C) I 1 = lim in f . - (F (A(~+8} ; C) -- F (AT" C)) > F (B; C) dr i n f ~ - - ~ 0 0 ~ - -
( r < 0 ; ~ > o )
dF (AT) _ 25' (AT ;B) (14) dr
gewinnen lassen. Die dabei zuni~chst nur auf r > 0 beschri~nkte Gtiltig- keit der Gleichung (14) erweitert sich nach G. Bol auch auf 3 < 0 .
2. Die Ungleiehungen 3.
a) Wegen (12) ist (3a) erwiesen, wenn wir die Richtigkeit der Un- gleichung
�9 (A, B) =_F(A -- B) --t- 2F(A ; B) -- F(A) -- F(B) > 0
dargetan haben. Dazu betrachten wir die Bereiche A T -----A-t-TB; B~ = B -}- r B , fiir die wit unter Beachtung yon (9) und (10) A T -- B, = A -- B notieren kOnnen. Damit ergibt sich nach (13) und (14) un- mittelbar d~ (A~ ; B,) l~ >--
dr O.
~) G. Bot, a. a. O.
153
Da B~ ftir v ---- -- 1 einen Punkt darstellt, haben wir zudem
�9 (A~ ; B~)~=_~ ~_ 0
und kOnnen mithin q)(A ; B) > 0 erschlieBen.
b) Mit Hilfe yon (12) liiBt sich (3b) auf die Gestalt
F ( A ) �89 F ( A -- B) �89 < F ( A ) -- F ( A ; B )
bringen. Da F ( A ) > F ( A ; B ) wegen A ~ B , geniigt es, diese Un- gleichung in der Form :
~ ( A , B) - - ( F ( A ) -- F ( A ; B ) ) 2 - - F ( A ) F ( A - - B) > 0
zu erweisen. Da sich fiir die Bereiche B , ----- B + a A wegen (10)
A - - B(~+~)= ( A - - B ~ ) - - ~A , (a , ~ > 0 )
ergibt, und mithin aus (14)
d F (A -- B~) ~_ _ 2 F (A -- B,,; A ) da
folgt, erhalten wir unter Beriicksichtigung yon (13a) ftir a > 0
d ~ (A ; B.) - - 2 F ( A ) ( F ( A ) - - F ( A ; B . ) ) + 2 F ( A ) F ( A - - B , , ; A ) .
da
Aus (11 b) liiBt sich nun schon sofort auf
d ~ (A ; B~) da _< 0 (15)
schlieBen. Is~ % noch durch A D B~0 und F ( A - - B,,o) = 0 festgelegt, so haben wit offenbar ~Y(A ; B,,o) ~ 0 und k0n-
\ ~ ' nen vermittels (15) die zu erweisende Ungleichung X4 ~ (A ; B) >_ 0 gewinnen.
3. Das gollst~ndigkeitsproblem. Zun/iehst folgern wir aus den Ungleichungen (5) durch Elimination yon xa
�89 � 8 9 �89 I, xl - - x4 ) • x2
und mithin x~ > x~. Bei vorgege- benem x 1 und x~ (0 < x 2 < xl) wird
~ t L - - - - P I ~ A P2 )~5 durch die Ungleichungen (5) so- dann ein dreiecksf0rmiger Bereich
A (P1, P~, Pa) der %, x4-Ebene definiert (Fig. 1), bei dem Seite P1P2
154
auf die x3-Achse, Seite P2 P3 auf die Parabel C : 4 x 1 x4 _< (3 XlA- x~-- x3) z
und Seite PaP 1 auf die Gerade G : x 3 -~ X 4 = 2 ( X 1 -[- X2) f/tilt. Im Falle x 2 = 0 haben wit dabei die Grenzlage vor uns, dab G die Tangente zu C darstellt , und im Falle x 2 = x~ die Grenzlage, dab die drei Punkte PC (] = 1, 2, 3) zusammenfallen.
Die Bereiche A (4) und B(2 ;/~) = A (4) mOgen nun durch zwei Tra- peze dargestellt werden, die ein Paar gleichliegender rechter Winkel be- sitzen und deren Abmessungen h und a, b fiir HOhen und parallele Seiten durch
a (A (~)) = (1 ~- 2) x~
(4)) = (1 -- 4)x
h (B
l + X �9 _ _ X 2
#
1 - - , t
gegeben sind, wobei die Parameter 2 und # dutch 1
0 < 4 < 1 " x2 < # < ., ' �89 X2
X l
eingeschr/inkt seien. Wir bemerken, dab bei diesen Einschr~nkungen A (4) ~ B(2 ;/t) gew/~hrleistet bleibt, und notieren zudem :
F ( A ( 2 ) ) = x~ , F ( B ( ~ ; # ) ) = x 2 .
Man erkennt nun weiterhin, dab die Inhal te F (A (4) -~ B(~; /~)) und F (A (4) -- B(~ ; #)) stetig yon 2 und/~ abh/ingig sind. Bei festem/~ wird daher verm0ge
x 3 = F ( A ( 2 ) + B(~ ;/~)) , x4 = F ( A ( ~ ) - B(2 ; #)) (16)
ein stetiges Kurvenst i ick F~ der x3, x4-Ebene besehrieben, dessen End-
punkte -- wie wir gleich sehen werden -- auf den l~andbogen PaPI
bzw. P2P3 yon A zu liegen kommen. Da die Bereiche A (0)und B(0 ;/t) einander seitenparallele Rechtecke darstellen, verifiziert man n~mlich miihelos, dab ffir sie in Ungleichung (3a) Gleichheit eintri t t . A(1) und B (1 ; #) werden hingegen dutch rechtwinklige Dreiecke mit gleichliegen- den Ka the t en repri~sentiert, ftir die ersichtlich in Ungleichung (3b) Gleichheit Platz greift.
X2 Wit haben nun nu t noch zu bemerken, dab F~ ftir # = - - mit einem
Stiiek der xa-Achse zusammenf/fllt , und dab F~ sich ftir # -+ x~, da A (4) dann zu B(~ ; #) homothet isch wird, au f den Eckpunk t P3 yon A
155
zusammenzieht, um aus der stetigen Abh~ngigkeit der F~ v o n # zu er- schlieBen, dal~ durch jeden Punkt yon A ein Bogen /'~ hindurchgeht. Mithin existiert zu jedem Punkt P E A ein Parameterpaar 2, #, dessen zugeh(irige Bereiche A (~) und B(2 ;~ ) dem Punkt P verm(~ge (16) zu- geordnet sind. Da wit die Gr0i~en yon x 1 und x 2 dabei nur unter Beach- tung der aus (5) flieBenden Bedingung 0 ~ x 2 ~ x I beliebig vorgegeben hatten, ist die Richtigkeit der eingangs formulierten Aussage damit dar- getan.
(Eingegangen den 29. September 1952.)
156