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E i n d e u t i g e B e s t i m m u n g v o n E i h y p e r f l i i c h e n d u r c h , d i e S u m m e

i h r e r H a u p t k r i i m m u n g s r a d i e n

Von WILHELM Suss in Fre iburg i. Br.

E. B. CHICISTOFFEL ha t 1865 bewiesen, daft eine geschloesene Fliiche mit eineindeutiger sphiirischer Abbildung durch Vorgabe der Summe ihrer Hauptkriimmungsradien als Funktion au/ dem sphdrischen Bild bi8 au/ Translationen eindeutig bestimmt istl). Fiir die Eindeutigkeitsaussage dieses Satzes soll hier, und dies sogleich ]iir Hyperfldchen, ein Beweis angegeben werden, der mir besonders kurz und einfach zu sein scheint.

Satz. Die beiden Hyperfliichen ~ und ~ des (n ~ 1).dimensionalen euklidischen Raumes seien geschlossen und durch parallele und gleichgerichtete Normalen eineindeutig sphi~risch, also auch au/einander abgebildet. Ihre HauptkriZmmungsradien seien positiv und stetig ; die Summen S bzw. S dieser 2Radien _Rt bzw. 1~ (i = 1, 2 . . . . . n) mdgen als Funktionen des Ortes au/ dem gemeinsamen sphiirischen Bild von ~ und ~ miteinander iAbereinstimmen:

(1) s = F R, = S = F, R , .

Es ist zu beweisen, daft danr~ die beiden Hyperfli~chen ~ und ~ einander translations- gleich sin&

B e w e is. E inander entsprechende P u n k t e der beiden Hyper f lachen und des spha- rischen Bildes ~ seien durch gleiche P a r a m e t e r u 1, u 2, . . . , u n bezeichnet. Die Koef- fizienten der gemeinsamen dr i t ten Grundform von ~ und ~ seien

( ~ ) (2) gf, k = tt~ rt/c --~ - - it ll~/c 1t/r = 0uk "

Die ( , ,umgekehr ten") W~.INGARTENsehen Ablei tungsgleichungen lauten

wobei z. B, k

die Koeffizienten der zweiten Grundform yon ~ sind. Aus (1) und (3) folgt

Mit den Bezeiehnungen

(5) ~ = ~ - - ~ , q - - - - - - ~ l t , d ~ = b ~ - - b ~ = ~ n

1) Gesammelte math. Abhandlungen. Bd. 1, S. 162ff. Leipzig 1910. Es gibt heute viele Be- weise und Erweiterungen des Sagzes auch auf berandete Fl~tchen.

Vol. VIII, 1957 Eindeutige Bestimmung von Eihypcrflgchen 353

erh&It man fiir die ,,Differenzfl~che" ~ die Ableitungsgleichungen

(6) ~t = - g~n~ ,

ffir die nach (4) d~ ---- 0 ist. Ffir ~ ~ 2 folgt hieraus, dal3 $ der Drehriss einer infini- tesimalen Verbiegung der Einheitskugel n sein, wegen deren bekalmter Starrheit also konstant sein mul~, womit dann der Beweis bereits erbraeht ist. ]~"fir allgemeines n leiten wir daraus und aus (5) bei kovarianter Ableitung auf Grund der GAvsssehen Ableitungsgleiehungen ffir u die Differentialgleiehung ab

(7) q~ + ~q = 0 .

Auf Grund der Integralformel yon Gg~E~ folgt hieraus

(8) f qdoo = 0 und

(9) f qkq~&o = - - f qq~dw = n f q2d~o,

Wobei fiber die ganze Oberflgche der Einheitskugel zu integrieren ist. Aus (8) folgt nun nach einem bekannten Lemma yon WIRTINCXR 2)

(lo) ,~ f q=a., <__ f q,~q~d,,. In dieser Ungleichung gilt das Gleichzeichen nur ffir den Fall einer Funktion q ---- r n rait konstantem Vektor c. Ein Vergleich yon (9) und (10) zeigt aber, dab tatsgchlich dieser Fall vorIiegt. Es ist somit

q.~- ~31t~--- r

also 1~(~+ c ) = n ~ ( ~ + c ) = O ,

woraus wegen der linearen Unabhgngigkeit der Vektoren it, Ill . . . . . nn die Konstanz yon ~ folgt, w.z.b.w.

E i n e V e r a l l g e m e i n e r u n g . Sind V1, V2 . . . . , Vn die yon H. MINKOWSKI einge- ftihrten gemischten Volumina yon $ und n sowie V, die entsprechenden yon ~ und rt, so sei

(8') Vn-- Vn~- f q&~

was man stets dureh eine/~hnlichkeitstransformation einer der beiden Hyperflgchen auch ohne Bestehen der Gleiehung (4) erreichen kann. Star t (7) gilt allgemein

Ffir p -~ - - ~ I~ sind die gemisehten Volumina

1 ( l l a ) Vn-1 = n f pSdo), l?n-1 = -l-n- f ~Sdco.

Ferner ist wegen des Bestehens der Darstellung (analog (7'))

(7-) ~ = .,p g - } i , ~ = n p + ~

2) Vergleiche W. :BLAscHKE, Kreis und Kugel. S. 108. Leipzig 1916, 2. Aufl. Berlin 1956.

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nach der GRE]~Nschen F o r m e l

1 f pSdo~ 1 (11) W ( ~ , ~ ) : n = n f pSdo~ = W(~, ~).

Aus (8') folgt wie f r i iher aus (8) wieder (10). Es is t deshalb nach (7') wegen q ~ p - - p

1 -~ f q(S -- 8) do) = Vn-1 + Vn-1 -- 2W(~, ~) <__-- 0 .

Daraus folgt

( ]2) W2(~, ~) => W(~, ~) w(~., ~) = Vn_~V.-~.

Wie frt iher schlie~t m a n hier wieder, dab im Fa l le des Gleichzeichens die beiden Hyperfl~tchen t rans la t ionsgle ich sein mfissen. - - Das fr / ihere Ergebnis is t hier in ffir

S = S en tha l ten .

Eingegangen am 1.11. 1957