TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft2
Manuskripteingang: 4. 12.1981
Eine nid'nlineare Theorie dünner Dreisdriditschalen und
ihre Anwendung auf die Stabilitätsuntersudiung eines
dreischichtigen Streifens
Holm Altenbach, Pawel Shilin
Dreischichtige Schalenkonstruktionen können in vielen
Bereichen der Technik eingesetzt werden. Dabei gibt es
verschiedene Möglichkeiten zum Formulieren einer The-
orie der Dreischichtschalen mit starr verbundenen
Schichten. Die einfachste Variante einer solchen Theorie
beruht auf der Kirchhoff-Loveschen Hypothese für das
gesamte Schalenpaket. Diese Variante liefert leider un-
genügende Ergebnisse, wenn sich die Steifigkeiten der
Schichten stark unterscheiden. Jedoch ist dieser Fall für
die Praxis besonders interessant. Daher schlagen verschie-
dene Autoren verbesserte Theorien vor. Die einfachste
Erhöhung der Genauigkeit läßt sich durch die Einbezie-
hung der Querschubdeformationen erzielen, d. h. durch
den Übergang zu einer Theorie, analog der Timoschenko-
-Reissner-Mindlinschen Theorie. Es wurde jedoch festge-
stellt, daß bei der traditionellen Definition der Steifig-
keitsparameter für die Schale (Einführung von kinema-
tischen Hypothesen) diese Variante ebenfalls nicht an-
wendbar ist, wenn starke Inhomogenitäten über die-
Schalendicke auftreten [l].
Wesentlich besser sind Varianten, die auf der von E. I.
Grigoljuk, W. W. Bolotin und anderen Autoren einge-
führten Hypothese der gebrochenen Normalen beruhen.
Hier kann man eine verhältnismäßig gute Übereinstim-
mung der Berechnungen mit experimentellen Ergebnis-
sen bei Stabilitätsuntersuchungen erzielen. Die Ordnung
des Gleichungssysteme ist bei diesen Varianten jedoch
wesentlich höher im Vergleich zur klassischen Theorie
einschichtiger Schalen. In der Theorie von E. I. Grigoljuk
ist die Ordnung des Systems doppelt so groß, in der The-
orie von W. W. Bolotin ‚dreifach so groß [2].
In der vorliegenden Arbeit wurde als Grundlage fiir die
Theorie der Dreischichtschalen die Theorie einfacher
Schalen [3], [4], [5] genommen. Die einfache Schale ist
ein formales Modell, dessen Spannungszustand durch
zwei Kraftgrößentensoren (Kräftetensor, Momenten-
tensor) vollständig beschrieben wird. Dabei werden keine
Annahmen über den Charakter der Verschiebungen und
Spannungen über die Schalendicke getroffen. Die Grund-
gleichung erhält man mit Hilfe der Erhaltungssätze (Im-
pulssatz, Drehimpulssatz), der Symmetrietheorie (s. z. B.
[6]) und den asymptotischen Entwicklungen. Dadurch
kann man die Problematik auf die Bestimmung soge-
nannter spezifischer Moduli [l] zurückführen. Wenn die-
se bestimmt sind, so ist die Theorie für die gegebene
Klasse von Schalen vollständig formuliert. Die Theorie
dünner Dreischichtschalen unterscheidet sich bei dieser
Vorgehensweise von Theorien für andere Klassen von
Schalen nur in den Werten der Elastizitätsmoduli.
In der Arbeit wird, wie das in der Kontinuumsmechanik
üblich ist, die Tensorschreibweise verwendet. Um Ver-
wechslungen zu vermeiden, sind im Text die meisten
Symbole und Operationen erklärt. Hier nur kurz die
allgemeine Symbolik:
Symbole ohne Unterstreichungen stellen Skalare dar,
Symbole mit einer Unterstreichung sind Vektoren,
Symbole mit doppelter Unterstreichung sind Ten-
soren,
wenn g und _b zwei Vektoren sind, so ist gliein dya-
disches Produkt (hier ein Tensor zweiter Stufe),g ' b
ein skalares Produkt (hier erhält man ein Skalar) und
gx_b_ ein vektorielles Produkt (hier erhält man einen
Vektor),
wenn A und 1} Tensoren 2. Stufe sind, so kann man
sie folg—enderm—aßen darstellen: A = a b , _B_ = gdund
das Doppelskalarprodukt der Te—nsoren laütet I; ' ' g
= (11' J (8_' 11)-
l. Grundgleichungen der Theorie einfacher
Schalen
Als einfache Schale bezeichnet man laut Definition ein
zweidimensionales Objekt, dessen Spannungszustand
durch zwei Kraftgrößentensoren vollständig definiert ist.
Deshalb ist das kinematische Modell der einfachen
Schale eine materielle Fläche, bei der alle Elemente star-
re Punkt-Körper mit 6 Freiheitsgraden sind. Die Bewe-
gungen eines solchen Modells sind durch eine Vektor-
funktion l_l (x1, x2, t) = E (xa, t) und durch einen ortho-
gonalen Tensor B(x°‘,t) gegeben. Der Vektor beschreibt
die Translationsbewegung der Punkt-Körper, der Tensor
die Rotationsbewegung. Hier sind mit x1, x2 die mate-
riellen Koordinaten der Fläche bezeichnet, der Parame-
ter t gibt die Zeit an. Die Vektorbasis der Fläche wird
wie folgt eingeführt:
flaw,» = 6a 5061.05 i sonst) ‚ (1—1)ax“
wobei die griechischen Indizes hier und später die Werte
l, 2 annehmen. Weiterhin führen wir den Vektor der
Einheitsnormalen l! (xa, t) ein: H!I = 1, H ' ä: O. Damit
haben wir eine Vektorbasis im Raum. Die kontravariante
Basis wird mit ä“ (xo‘, t), E6“, t) bezeichnet: ä“ ' R
= 8a, Ea ' 13 = 0. Der Gradient ist in der aktuellen
(t#0) und Ausgangskonfiguration (t=0) folgenderma-
ßen definiert (Summation über unterschiedlich hohe
Indizes):
Grad g = 3a 3a; , grad g =vg 10160,; , (1.2)
23
wobei grad =V = Gradlt=o , f = ä“ (161,0) und g ein
beliebiges Tensorfeld auf der Fläche sind.
Der Spannungszustand wird in der einfachen Schale
durch zwei unsymmetrische Tensoren 2. Stufe definiert
g<xa,t>=11a1a, 1a=v£a-3a Law-".14). (1.3)
gamma“,M“ =~/ s s“ Maw-w. (1.4)
Hier sind 1(a) und Mm) die physikalischen Kräfte- und
Momentenvektoren, die je Längeneinheit der Kurve x“ =
konst. wirken und dabei die Reaktion des Kontinuums,
welches sich auf der Seite des Zuwachses der Koordinate
x“ befindet, modelliert. Entsprechend kann man I und
h=’l als Cauchysche Kräfte- und Momententensoren be-
zeichnen. Dabei gelten folgende Formeln:
I(„)=2‘;‚M(„)=z'h=4‚ 13| =l,_g' 13:0. (1.5)
Die Vektoren In». und MW) wirken auf Flächen, die
dem Vektorg (xa, t) orthogonal sind.
Die Bewegungsgleichung kann man in den beiden ge-
bräuchlichen Formen angeben. In der aktuellen Konfi-
guration lauten sie:
Divl+pE =p(x+2i-Q)'‚ (1.6)
Divh=4+lx+pL= p(21'1+22°@' +
(1.7)
+1”:ng ‘fl.
Hier bedeuten: p(x°‘,t) — die Massendichte, pE und
pl_.. —— die äußere Kraft und das äußere Moment je Flä-
cheneinheit, 2x = Lia x11“, Q1 und Q2 - der erste und
zweite Trägheitstensor, die die Massenverteilung inner-
halb der Punkt-Körper kennzeichnen, i; und fl — die
lineare und die Winkelgeschwindigkeit der Punkt-Körper
1(X°‘¢)= 36"» ‚ — = -i [ä ' E 1x - (1.8)
Der obere Index T bedeutet „transponiert“, ( )'= ä
und die Divergenz führen wir folgendermaßen ein:
Div9__=1_t°"aas‚ float).
Das Massenerhaltungsgesetz gibt den Zusammenhang
zwischen den Dichten in beiden Konfigurationen an
JA (xost) p (x01, t) = po (xa) \/a_ , (1.9)
A E det(B_a ' EB) , a=A(xa,0) .
Die Trägheitstensoren kann man wie folgt definieren:
ga<x°et> = goat) - 2° (x0!) ~1T<xa,t> ‚ -
g; (x0!) = ga(xa,t)| F0 , (1.10)
wobei ;(x°‘,0) = E (Einheitstensor) vorausgesetzt wird.
Die konkrete Form fiir p (xa,t) und ga(x°‘, t) hängt von
24
der Spezifik der zu betrachtenden Aufgabe ab. So läßt
sich z. B. für Schalen mit konstanter oder sich schwach
ändemder Dicke zeigen, da5 folgende Formeln gelten:
po=<30>, pO @‘1’ = <30z> 2x2, (1.11)
peg; =<30z2>g‚
wobei; =V L , L (xo‘) = I_{(x°‘,0) , n =E(x°‘,0) sind und
p~o (xa) die Dichte des dreidimensionalen Kontinuums in
der Ausgangskonfiguration, z der A bstand in Normal-
richtung von der Bezugsfläche beeeuten und die eckigen
Klammern wie'folgt definiert sind:
<f(x°‘,z) > = f f(x°‘,z) (1—2zH+z2K) dz,¥f. (1.12)
Die Integration erfolgt über die Dicke der Schale und H
und K sind als mittlerer und Gaußscher Krümmungs-
radius eingeführt.
Nach Definition der Kirchhoff-Piolaschen Kräfte- und
Momententensoren
2n= fig (Grad;)T-;,
L’Ir 1—1} (Grame-n
kann man die Bewegungsgleichungen (1.6) und (1.7) in
der Ausgangskonfiguration darstellen:
V.
(1.13)
= now + (2T -2>'‚ (1.14)
IIH
I’TJ
+p0
+(V
' T
=P0(C;)1'1+C;>2'fl> +Poix91'fl-
v- TIIZ
I51
211%; + PoL Z
(1.15)
Bei gewissen Einschränkungen auf die Klasse der be-
trachteten Schalen [5] wird die Verformung der einfa-
chen Schale durch folgende Deformationstensoren de-
finiert:
g =%(vä'VäT—g)‚ 7=vs-P n, (1.16)
2 =I=<"g'2T'VäT+ äg-g VB-VRT +
+ äg. g. (1.17)
Hiersind
2'g=VBXL§"g'£T -‘
= ¥§La<aag-1T>— 1-; (1.18)
ll“ =-—ng.
Der Tensor ‚es enthält die Dehnungen und Gleitungen in
der Bezugsfläche, _'y_ ist der Querschuhdeformationsvek-
tor und 2 der Biegeverformungs- und Verdrillungstensor.
Für elastische Schalen kann man ein elastisches Potential
Wg, g, 1) einführen. Die Kräfte- und Momententenso-
ren lassen sich als Ableitungen dieses Potentials darstel-
ÖW 3W 3W T x T: ." a ‚K n .P __
l. 3W 3W T_ __ . . _ __ a u a R,2g: a? (32) g g1v_( 9)
(1.20)öW T
an = Evas-g; -
Um eine geschlossene Theorie zu erhalten, muß man eine
konkrete Form der Deformationsenergie annehmen. Nur
in diesem Punkt unterscheiden sich die verschiedenen
Schalenklassen in der Theorie einfacher Schalen. In der
vorliegenden Arbeit werden im weiteren nur dünne Drei-
schichtschalen betrachtet.
2. Die Deformationsenergie für dünne Drei-
schichtschalen
Alle Informationen über die physikalischen Eigenschaf-
ten der Schale sind in der Struktur der Deformations-
energie enthalten. Treffen wir folgende Einschränkun-
gen:
a) Die Schale sei aus steifen Materialien, welche nur ver-
hältnismäßig kleine elastische Verformungen zulassen
(Aussehluß von Elastomeren).
b) Das dreischichtige Paket sei relativ dünn, d. h. h/L
< l, wobei h die Gesamtdicke des Pakets und L die
kleinste charakteristische Längenausdehnung der Be-
zugsfläche sind.
Bei diesen Einschränkungen kann man die Deforma-
tionsenergie als quadratische Form annehmen:
W(g’2,1): gouglopg+£ougzoug+l2
+1 ..
IIO
II0‘3e. „Läl-r-Z + (2.1)
2
+(gco
II")
1+
"’9' „29.1,
dabei sind g], g2, g3 Tensoren 4. Stufe, _I_:1, E2 Tenso.
ren 3. Stufe und E ein Tensor 2. Stufe. Diese Tensoren
heißen Elastizitätstensoren. Ohne weitere Einschränkun-
gen vorzunehmen, kann man zeigen, da5 die Elastizitäts-
tensoren folgenden Bedingungen genügen müssen:
g..g1:gl„g’ Eng-1:93.111, gnglfl),
goeg2=0, 2";1'40, (2.2)
dabei sind g ein beliebiger, g ein schiefsymmetrischer
Tensor 2. Stufe.
Die Elastizitätstensoren hängen von den Materialeigen-
schaften und dem Aufbau der Schale in den betrachte-
ten Punkten ab. Auf Grund der Einschränkung b) kann
man annehmen, daß die Elastizitätstensoren nicht von
den Krümmungsradien der Bezugsfläche abhängen. Der
Fehler hat dabei die Größenordnung O (h/R), wobei R
der Betrag des minimalen Krümmungsradius ist. Im
Weiteren wird angenommen, daß die Schale aus drei
orthotropen Schichten besteht, wobei zwei Symmetrie-
ebenen im Paket existieren. Diese Symmetrieebenen sind
zu folgenden Vektoren orthogonal 510(01), 22(xa) :
9.1 '22 :01 Ifial = l,_e_a '3 = O. Dann kann man zeigen,
daß die Elastizitätstensoren folgende Form haben [7]:
_ 1 1 1
E1 “C11 i121 +C22;2;2+C12(§—_1;2 “123) +
1
+ C44 24:4: (2.3)
c —c3 +c3 +03:3 ~ 332323 222222 „(23241423) +
+ c3 a +(:3 (24)44=4é4 1121—21 ’ '7
_ 2 2
C2 ’Claäläs+ci4älä4+cäsä2ä3 +
2 2 2
+ C24 i2 s4 + C41 $451.1 + C42 g4 g2 » (2.5)
P3F1gl+P2g-2, £1=0, £220.
Hier sind C1 , . . . , P2 die elastischen Moduli, welche
experimentelll bestimmt werden müssen. Dabei werden
Tensoren 2. Stufe als Basis verwendet:
äi =ä= 6:121 +222, g2 =§1§1 -§2§2a
(2.7)
is 22:2122 “§2§1’ 24:21 22 +2221-
Für Schalen aus apolarem Material ( L - - g= 0, wenn L der
Spannungstensor in der dreidimensionalen Elastizitäts-
theorie ist) verschwinden Cf] und C21 .
Somit wird eine dünne Dreischichtschale aus apolarem
orthotropen Material durch 15 Moduli beschrieben. Die
Anzahl der Moduli läßt sich im Rahmen dieses Material:
modells nicht verringern. Im Falle einer orthotropen
Schale mit symmetrischem Aufbau über die Dicke (die
äußeren Schichten sind gleich und als Bezugsfläche wird
die geometrische Mittelfläehe genommen) läßt sich zei-
gen, daß £2 = 0 wird. Wenn eine Schale aus transversal-
isotropen Materialien besteht, so kann man zeigen, daß
(2:2 = (:34 = r2 = 0 sind und cal,2 = 0,114,032 = €24
werden. Solches Material läßt sich mit 5 Moduli beschrei-
ben. Wenn die Schale aus transversal-isotropen Materia-
lien besteht, jedoch eine Symmetrie in Normalrichtung
fehlt, so müssen die Elastizitätstensoren transversal-
isotrop sein:
1-1 1_3_ 3_3 2_2_ _
C22"C44’Clz‘C34.'0’sz'C44’Cl4FCza‘Cia‘o’
2 _ 2 _C42——C24,F2—0.
25
Diese Klasse von Schalen wird durch 7 Moduli beschrie-
hen.
Hier seien die elastischen Moduli fiir dreischichtige Scha-
len mit orthotropen Schichten angeführt. Eine Methodik
zu ihrer Bestimmung mit Hilfe von mathematischen Ex-
perimenten ist in [7] dargestellt. Das Hookesche Gesetz
für orthotropefix Material [8] lautet (Index i — Konstan-
ten der i-ten Schicht):
i 1
311-1 ”12 ”13 au a 1'
5‘5“E°Y‘ET”Z’ a—y*ä=%1 2* 3 G12
V12 E1 = V21 E2,
z;i:l_a_vlla__2_30 Ö_u_+Öw_sz
y EiyEiinz’az a—x‘T2 1- 3 G13
V13 E1:1’31 E31
V1 „1
a: La ~20- av +aw_Tyz
az Ei z Ei‘x E1 Y’s; g“?
3 1 2 023
”23 E2 = ”32 Esv
1 . 1 .
C =2H.A‘, C =2H.A‘,11 (i) l 2 22 (i) l l
Die Bezugsfläche sei die geometrische Mitte der Schale.
Die Schichtdicken betragen H1 = h—hl , H2 = h1 + h2 ‚
H3 =h—h2, H1 +H2 +H3 =2h.
. 11 l 2 11 l 2 2Außerdem sei HI = ä(112—111),H2= 5011 412), H; =
l 2 2 **_1 3 3 **_113 3 *4o_
§(h2_h )’ H1 "50' ’hl)’H2 '§(h1+h2)’H3 "
ä<h3 —hä). Die Bezeichnungen entsprechen Bild l.
Bildl
Wenn man folgende Abkürzungen verwendet:
i 2 1
A:1 _”12 1 1 1+1 2"12
l 1 1 T ’ 1~4A- i —— 'ElE2 E2 1 E1 El E; i
i ‚
1:_1__ L+i+2"12 11:1} 1‘1
2 1
so lassen sich die Elastizitätsmoduli als Summen einfiihren,
=EH-Ai, c1 =2H.Gi , 2.8(i) l 3 44 1 l2 ( )
c2 =_>:H?’Ai,c2 =2H?‘Ai, c2 2-2 TA‘ (32 =2H*Ai c2 — *i13 (i) 1 2 14 (i) 1 3 23 (i) 1 3’ 24 (i) i 1’ 42”“)Hiclza (2-9)
3 11* - 3 *41- C *at- ~ an:- -
0 22H. A' ‚c 22H. A‘,c3 =EH. A‘ (:3 =2H G‘33 I 2 44 1 l 34 1 3’ 22 i 12’ (2.10)
(Summation für i = l, 2, 3).
Die Querschubsteifigkeiten F1 und F2 lassen sich nicht
in Form eines geschlossenen Ausdrucks angeben. Sie
werden durch die kleinsten positiven Wurzeln folgender
transzendenter Gln. bestimmt:
2_ i i 2_ i i
“(Gm/G2? 31'G12/G13
COSUI — 1 *sin (12 A011 +112) I 0
‘1 '
(1230111111111 101—111) 0 ' 4323012 cosa2 >1(h1+h2) 0
(2.11)
0 cosaz Ä(h1 +h2) 0 ——cosa3 Mil—112)
2 .0 G23 (12 11111112 1011 +112) a3 G; a3 sin (13 101—112)
26
Die Lösungsbedingung lautet det(7\)=0, woraus Äo als kleinste positive Lösung folgt.
00851 1Nil—111) —.1 —sinß2 n(h1 + h2) 0
1 .
G13 (31 3mg;i 1101—111) o _Gf3 (32 cosßz n(hl + h2) 0 (2.12)
O COSß2 O -COSß3
2 . 3 .
0 013 I32 811152 "(h1 +h2) ß3 G13 p3 smß3 n(h—h2)
Die Lösungsbedingung lautet auch in diesem Fall det(n)
= 0, woraus no als kleinste positive Lösung folgt.
Für P1 und P2 erhält man die Ausdrücke:
3 1 2 2
(770 + "oXC22 C44 “((142) )
F1 = 2 c1 ’44
(2.13)
_ (no — wng C14 — (Ging)
2 c}14
F2-
Für das in den nächsten Abschnitten betrachtete Bei-
spiel benötigen wir den Spezialfall einer Schale aus iso-
tropen Schichten [9] mit Symmetrie in Normalrichtung,
d. h. mit gleichen Außenschichten:
E 1.—1. E h
Ci1:Al:i l) + 12 1’‘V "’2 (2.14)
E(h—h) E hl _ __ 1 2 l
C22”???- * m2 ’
3 3 33 E(h _hl) E2}.1
C =C1:-——-—— + _— ,
33 3(1—12) 3(1—v2)
3 3 (2.15)
E(h3——h1) E2hl
c3 =c =—— + —— ‚
44 2 30+») 3(l+v2)
P1=F=72€2lh2, (2.16)
'y ist die kleinste positive Wurzel der Gln.
G sin7(1——a) sinya — G2 cos7(1—a) cos7a= 0 , (2.17)
h1 = ah, Ka<1, G=E/2(1+v), G2=E2/2(l+ V2).
In den Gln. (2.14) bis (2.17) bedeuten E, v, h—hl
Youngscher Modul, Querkontraktionszahl und die
Dicke der äußeren Schicht, E2, V2, h1 — Youngscher
Modul, Querkontraktionszahl und die halbe Dicke der
Mittelschicht (vgl. Bild 2).
Bid 2
3. Das Verzweigungsproblem bei Gleichgewichts-
untersuchungen für den dreischiehtigen Strei-
fen
Gegeben sei eine Platte mit symmetrischem Aufbau über
die Dicke. Die Bezugsfläche falle mit der Mittelfläche zu-
sammen. Als materielle Koordinaten der Fläche wählen
wir x1 = x, x2 = y. Eine Plattenausdehnung sei so groß,
da6 man die Platte als Streifen mit lxl < l und lyl < °°
betrachten kann. Der Streifen sei an den Rändern x = i l
durch Längskräfte der Intensität p = konst. begrenzt
(s. Bild 2). Die Bezugsfläche ist durch den Vektor
r_ = x £1 + y g2 definiert. Hier sind Ea orthogonale Ein-
heitsvektoren. Der Nablaoperator nimmt die Form
a a
V=£1K +225; a"-
Die Verformungen lassen sich folgendermaßen einführen:
§=L+ 110021 + w(x)2, (3~1)
; (my) = 22.6.2 + c°s¢(x)(§ —2222) +
+ aim/(x) 22 XE- (3-2)
Hier sind u, w die Längs- und Normalverschiebungen,
W der Verdrehwinkel der Punkt-Körper der Fläche. Die
Gln. (1.14) und (1.15) werden damit zu
v-;=0‚ V'M + WIE-2m. = 0- (3-3)
Für Platten gilt g ° g = O. Somit erhalten wir als Defor-
mationstensoren entsprechend den Gln. (1.16) bis (1.18)
und (3.1), (3.2):
_ d 1 d 2 2 _
2‘6112121 ‚ e11= §+§[(d—:) Wg) l, (3-4)
_dW2352122, (3.5)
7:71 e1 ‚ 71 z(14E)!!in+d~—wcomll ‘(3 6)_ _ dx dx . .
Die konstitutiven Gln. (1.19) und (1.20) werden zu
in = e11 [(A1 +A2)£1£1 +(A1”A2)_§2£2] +
du+ e11(A1 +A2)£1 d—x + I‘1‘71219 +
d 2
+ (d—b (C1+Cz)2222 . 12=sinw21+coswa,(3.7>
27
d
L411 = ä[(C1+C2)£122_(C1_C2)2221 HE42 L3) -
dudd! d
—K(Cl—C2)£2(§*J; am (3-8)
wobei A1 , . .
Die Randbedingungen lauten:
x=il:£1'l'£1=p,g'£2=0,w=0, (3.9)
21'Il=’1‘22=0‚ 2'22222- (3-10)
Damit haben wir eine nichtlineare Randwertaufgabe für
die Funktionen u, w, w erhalten.
4. Die Lösung der Randwertaufgabe und Bestim-
mung der kritischen Last
Da in und l\__/ln nur von x abhängen, folgt aus G1. (3.3)
21 0;“ = qlgl + +q3g_ ‚ qj=konst(j= 1,2,3) . (4.1)
Entsprechend Gl. (3 'l) ist ql = p. Wenn man Gl. (4.1)
auf die Orte 3a, n abbildet, erhält man folgendes Glei-
chungssystem:
d .611(1’\1+1‘\2)(1+ä)+[‘71 smlll=p, q2=0, (4.2)
d
611(A1+A2)£ + F71 “Wuls-
Da
T _ d
(VB “211).. - W322 J'KQÄXH)
ist, folgt aus der zweiten Gl. (3.3) unter Beachtung der
Gl. (3.8)
d1}![(Cl +C2) d—X + wp — uq3 —q3 x132 = cp = konst, (4.3)
hierbei ist (p ein konstanter Integrationsvektor. Da die
Aufgabe begüglich x = 0 symmetrisch ist, wird q3 = 0.
Die Bedingung (3.10) ergibt g? = 0 bei x = :1. Daher istX
der Vektor g nach Gl. (4.3) und Bedingung
w(x = i l) = 0 Null. Somit erhält man
dill+ — + = . .4(Cl C2) dx pw 0 <4 >
Das System (4.2), (4.4) ergibt bei q3 = O drei Gln. zur
Bestimmung der 3 gesuchten Funktionen. Dieses System
hat bei allen Werten für p Lösungen der Form
u(x)#0,w=0,ill=0, (4.5)
u=0,w=0,w=wo=konst,Mokg. ' (4.6)
Im ersten Fall erfährt der Streifen die reine Zug-Druck-
deformation, im zweiten Fall die Querschubdeforma-
tion. Zuerst wird der Fall (4.6) untersucht:
28
. ‚ l" den Gln. (2.14) bis (2.16) entsprechen.
211 = P Sinwo£1(3in‘p021 + cOB‘I’OE) a L4H : 0'
Als Randbedingung haben wir
Psin2 wo = p, (4.7)
welche bei'p > O und pF—l < 1 erfüllt werden kann. Da-
mit wird die Gleichgewichtsgl. zu (En)x = 0,
sin lilo cos 1110 = 0,
i110 = i g . Eine Gleichgewichtskonfiguration tritt folg-
lich nur bei einer Zugbelastung p = F auf. Zur Unter-
suchung der; Stabilität betrachtet man eine unend—
lich nahe Konfiguration i1: ‚v; 215 * W W058i :1" W; ‘i’ “n"
endlich klein sind. Man kann zeigen, da5 gemischte
Gleichgewichtsformen nicht existieren, d. h. die Konfi-
guration ist stabil gegenüber kleinen Auslenkungen. Je-
doch ist diese Konfiguration physikalisch nicht interes-
sant, da sie großen Querschubverformungen entspricht
(71 = i 1), bei denen die Energie offensichtlich nicht
mehr in der quadratischen Form (2.1) darstellbar ist.
Im Falle der Untersuchung des Zustandes (4.5) erhält
man statt des Systems (4.2), (4.4) nur eine Gl.
1 <322 dx
Bei Zugbelastung (p > 0) erhält man nur eine Lösung.
Bei Druckbelastung (p < 0) muß man folgende Fälle,
du du du
— — = ——— ~ . 4.dx(1+dx><1+ > p/<A1+A2>‚ dx> 1 < 8)
die der Bedingung g]: > — 1 genügen, unterscheiden:
x
1 p . ..a u- m < —— <0 zwei Losungen,
) 3V? A1 + A2
keine Lösung,
c) p = «(A1 + A2>I3¢§
Dieses Verhalten des Streifens bei Druck läßt sich schwer
mit intuitiven Vorstellungen in Übereinstimmung brin-
gen. Das hat seine Ursache darin, dafs auch hier die De-
formationsenergieannahme in der Form (2.1) nicht aus-
eine Lösung.
reicht. Physikalisch läßt sich nur die Lösung bei 3—“ < 1
x
in Gl. (4.8) angeben, d. h. bei lp/Al +A2l < 1 (die Be- “
lastungsintensität muß klein sein). Diese Einschränkung
wird nur bei genügend steifen Schalen erfüllt. Die
„kleine” Lösung der Gl. (4.9) lautet
_. PX
u _ A1 +
Gemeinsam mit der Konfiguration (4.9) wird ein unend-
lich naher Zustand betrachtet:
~ _ px ~_ ~—
11 — m+ul, w— W1, ill— .
Hier sind ul, wl , III} unendlich kleine Größen. Nach Ein-
setzen der Ausdrücke (4.10) in die Gln. (4.2) und (4.4)
und nachfolgender Linearisierung erhält man folgendes
Gleichungssystem z
dul p+[" dwl (11/11 p___ = __: —-+———-— :0.
dx O’WIK r 7dx O’dx (31+c2W1
(4.11)
Darausfolgt:
dwl _ p+I‘ dwl
“1:0,a—;—+K2W1=0,w1——( P Fit—1
K2=____I’_E___._ .
(01+C2)(P+F)
Bei p > 0 hat dieses System nur eine triviale Lösung. Bei
p < 0 erhält man folgende, den Randbedingungen genü-
gende Lösung:
2n—1
w1=AncosKnx‚ Kn: T"-
Das bedeutet, daß im Falle des gedrückten Streifens ein
Verzweigungsproblem auftritt. Der kleinste Wert |pl‚ bei
dem mehrere Lösungen auftreten, wird kritische Bela-
stung pkr genannt. pkr kann man nach folgender G1. be-
rechnen:
2 C +C
Pkr = "— —1_2_ _ (4,13)1 + +C2 n2
r E?
Wenn der Streifen aus drei gleichen Materialien besteht,
so ist
. ZEh3 n2
Nach Einsetzen in Gl. (4.13) erhält man die Eulerschc
kritische Belastung mit einem kleinen Korrekturfaktor
für den Querschub:
E I 2:2 2Eh2 1
pl“ 1153(1_v2)1+2 g
1Av12
Für einschichtige Schalen mit h2/l2 < 1 kann man diesen
Einfluß vernachlässigen. Für mehrschichtige Streifen mit
G2 < G wird der Einfluß wesentlich, da
C1 + C2 „2
r 117~1
sogar bei’h2/12 < 1 wird. Dies läßt sich damit begründen,
daß die Querschubsteifigkeit in diesem Fall sehr klein
sein kann.
5. Numerische Ergebnisse und ihr Vergleich mit
bekannten experimentellen und theoretischen
Ergebnissen
Die Gl. (5.13) vergleichen wir mit Ergebnissen aus [10].
Die äußeren Schichten bestehen aus Dur'aluminium
D—16T mit folgenden Werkstofflcenngrößen: E = 6,96
- 106 N/cm2, v = 0,3. Die Füllschicht besteht aus ver-
schiedenen Sorten von Phenoplasten mit v2 = 0,4. In
allen betrachteten Fällen war :x—u ~— 0,001. Die Moduli
wurden nach den Gln. (2.14) und (2.15) ermittelt. Für
die Querschubsteifigkeiten wurden 3 Methodiken ver—
wendet
a) nach den Gln. (2.16), (2.17) ,
b) nach I‘, = —6— G(h—-h1)+ G2 hl , (5.1)
1:2 GGZhl (h-hi)c) nach I‘H — -6—W. (5.2)
Die Formeln (5.1) und (5.2) stellen mögliche „Schal—
tungsmodelle” der Steifigkeiten dar. Die Formel (5.1)
entspricht dabei einer Parallelschaltung der Schichten,
analog den eingeführten Steifigkeitsmoduli (2.8) bis
(2.10). Dies kommt der Annahme kinematischer Hypo—
thesen gleich. Die Formel (5.2) stellt eine Reihenschal-
tung dar. Man kann zeigen, daß
r„<r<r,
ist. Aus Gl. (5.13) folgt, da13 die kritische Belastung sich
mit der Abnahme der Querschubsteifigkeit verringert.
Daraus folgt
pkr(ri*)‘<‘Pk1-(P)<Plu(n) -
Es ist zu erwarten, daß die experimentellen Werte pe
unter den Werten pk‚(l") liegen. In der Tabelle 1 werden
die Ergebnisse einiger Beispiele angeführt. Mit p]; wird
die kritische Belastung nach [10] bezeichnet. Die Be-
rechnung dieser Werte ist wesentlich komplizierter, als
die Berechnungsmethodik in diesem Artikel. Aus der
Tabelle l ist erkennbar, da1": die Annahme kinematischer
Hypothesen nicht befriedigt. Dies war auch der Grund
zur Formulierung komplizierterer Theorien. Allgemein
läßt sich feststellen, da13
“(1(F*i)< pe g pkr
ist und der Unterschied zwischen pkr (11*) und pk|.(I‘)
in den Beispielen nicht mehr als 20 % beträgt. Das be—
deutet, daß man den Bereich der experimentellen Werte
verhältnismäßig stark einengen kann. Der Vergleich von
pkr (F) und 31;? ergibt, daß die Werte, die mit der einn
facheren Theorie erhalten wurden, qualitativ gleich mit
p}: sind.
Tubdle l
Nr. h1 h; a 21 G; p1/‘ul pi. pk," p1ru) pkr“
1 O: 3 a 3 3cm cm cm cm Mun-10 N/cm-1 N/cm-10 N/cmr10 N/crn-10 N/Cfiflo
1 0.800 0,500 40 34,5 0.321 0.383 0,459 0,483 4.157 0,478
2 0.500 0.050 1.0 3&5 1.470 0.707 0.725 0.831. 1.706 0.677
3 0.790 0,100 65 38.9 0.516 0,608 0.776 0.810 6,509 0.739
4 0.800 0.050 40 34,5 0,645 0.705 0.810 0.872 5.161 0.810
5 1.000 0.050 40 34.5 0,705 0.931 1.132 1.209 5.359 0.933
6 1,000 0.050 L0 3/..5 0.958 1.261. 1.479 1.51.1 636/. 1.109
7 1.000 0.050 40 34.5 1.084 1.389 1.550 1.590 6.366 1.456
8 0.500 0.120 1.0 34.5 5.136 2.218 2,303 2.725 4.670 2.559
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Anschriften der Verfasser:
Dipl-Ing. Holm Altenbach
TH „Otto von Guericke”
Sektion Dieselmotoren,
Pumpen und Verdichter
3010 Magdeburg, Bierutplatz 5
Doz. Dr. Pawel A. Shilin
Leningrader Polytechnisches Institut
Leningrad, Politechnitscheskaja 29