5/26/2018 Formelsammlung 2006
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Institut fr ThermodynamikProf. Dr.-Ing. S. Kabelac
Kommentierte Formelsammlung
zur Vorlesung
Grundzge der
Thermodynamik I + II
Prof. Dr.-Ing. S. Kabelac
2006
2,-
5/26/2018 Formelsammlung 2006
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Inhaltsverzeichnis
Kapitel Seite
1. Zustandsgro e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Thermische Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Kalorische Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Entropische Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Dampftafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Modellfluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Das ideale Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ideale Gasgemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 Das inkompressible Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Die Energiebilanzgleichung (1.HS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
5. Die Entropiebilanz (2.HS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6. Anwendungen der Hauptsatze auf spezielle Systeme und Prozesse . . . . . . . . . . . 24
Geschlossene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Adiabate Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Abgeschlossene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Stationare Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Reversibler Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Isentroper Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Stationarer Flieprozess mit einem Massenstrom .......................26
7. Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8. Adiabate Stromungs- und Arbeitsprozesse, Warmeubertrager . . . . . . . . . . . . . . . 31
Adiabate Drossel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Adiabate Duse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Adiabater Diffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Adiabate Turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Adiabater Verdichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Warmeubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9. Energiewandelnde Anlagen und Kreisprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Wa r m e k r a f t m a s c h i n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3
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Warmepumpen und Ka l t e m a s c h i n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 410. Der Clausius-Rankine Prozess und seine Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ei nfache D ampfk raftanl age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kaltdampfkompressionswarmepumpen und -kaltemaschinen . . . . . . . . . . . .48
11. Mengenberechnung fur Verbrennungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Brennstoffgemisch chemisch definierter Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Brennstoffgemisch chemisch undefinierter Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12. Leistungsbilanz von Verbrennungsprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
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Grundzuge der Thermodynamik
Kommentierte Formelsammlung
Die Thermodynamik stellt die Grundgesetze der Energie- und Stoffumwandlungen be-
reit. Um bei realen, in der Regel sehr komplexen Prozessen zu quantitativen Erkennt-
nissen zu kommen, wird das betrachtete System meistens stark vereinfacht.
1 Zustandsgroen
Zustandsgroen beschreiben den (thermodynamischen) Zustand eines willkurlich abge-
grenzten Systems, in der Regel ein Fluid (Gas und/oder Flussigkeit) oder ein Feststoff.
Der homogene Bereich eines fluiden Systems, innerhalb dessen die chemische Zusam-
mensetzung sowie seine physikalischen Eigenschaften nicht vom Ort abhangen, wird als
Phase bezeichnet. Da die Ortsunabhangigkeit z.B. des Druckes, der Dichte, der Tem-
peratur, usw. die thermodynamische Beschreibung eines Fluids sehr vereinfacht, wird
das betrachtete System oft vereinfachend als Phase angenahert.
System(Phase)
intensive Zustandsgren:p, v, T, u, s, h, c , c , a ....p v
extensive Zustandsgren:m, n, V, U, S, H ....
Systemgrenze
Umgebung
Der Zustand einer fluiden Phase eines reinen Stoffes wird durch zwei unabhangige in-
tensive Zustandsgroen und eine extensive Zustandsgroe festgelegt.
z.B.:V =V(T, p , m) oder V =V(s,u,m) oder V =V(T, p , n) oder...
1
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Die extensive Zustandsgroe, z.B. die Masse m oder die Stoffmenge n beschreibt die
Groe der Phase.
Extensive Zustandsgroe:
eine Zustandsgroe, deren Wert sich bei der gedachten Teilung des Systems als Summe
der entsprechende Zustandsgroen dieser Teile ergibt, z.B. die Masse m = m1+m2+....
Die Indizes 1,2... beschreiben hierbei die (gedachten) Teilsysteme.
Intensive Zustandsgroe:
eine Zustandsgroe, deren Wert sich bei der gedachten Teilung einer Phase nichtandert,z.B. der Druckpoder die Temperatur T.
Spezifische Zustandsgroe:
eine massebezogene Zustandsgroe:
z:= Z
m (z.B. spezifisches Volumen v=
V
m
m3
kg
)
Spezifische Zustandsgroen werden mit kleinen Buchstaben gekennzeichnet und sind
intensive Zustandsgroen. Zist hierbei ein Platzhalter fur eine beliebige extensive Zu-
standsgroe.
Molare Zustandsgroe:
eine stoffmengenbezogene Zustandsgroe
Zm:=Z
n (z.B. molares Volumen Vm=
V
n
m3
mol
)
Molare Zustandsgroen werden mit groen Buchstaben und dem tiefgestellten Indexmgekennzeichnet und sind intensive Zustandsgroen. Spezifische und molare Zustands-
groen sinduber die molare Masse M=m/n ineinander umzurechnen
z=Zm/M
2
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Zustandsgroen zur Kennzeichnung
der Zusammensetzung von Gemischen
Name Symbol/Definition Einheit
Masse der Komponente k mk kg
Massenanteil der Komponentek k =mk/allej
mj 1
Stoffmenge der Komponente k nk mol
Stoffmengenanteil der Komponente k yk=nk/allej
nj 1
Massen- und Stoffmengenanteile sind gema
k = (Mk/M) yk
ineinander umzurechnen. Dabei ist Mk =mk/nk die molare Masse der Komponente k
und M=
mk/
nk die molare Masse des Gemisches. Diese berechnet sich aus den
molaren Massen der Komponenten zu
M=
ykMk bzw. 1
M =
(k/Mk) .
Die Zustandsgroen werden weiterhin in thermische, kalorische und entropische Zu-
standsgroen eingeteilt. Einige wichtige Zustandsgroen sind:
Thermische Zustandsgroen
Name Symbol/Definition Einheit
Druck p= limA0
F
A Pa
Thermodynamische Temperatur T K
Celsiustemperatur = T 273, 15 K C
Volumen V m3
molares Volumen Vm=V
n m3/mol
spezifisches Volumen v= V
m m3/kg
Dichte =1
v kg/m3
3
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Kalorische Zustandsgroen
Name Symbol/Definition Einheit
Energie E=U+ Ekin + Epot J
Innere Energie U J
Enthalpie H=U+ pV J
spezifische Enthalpie h= u +pv J/kg
molare Enthalpie Hm=Um+pVm J/mol
spezifische freie Enthalpie (spez. Gibbs-Funktion) g=h T s J/kg
spezifische isobare Warmekapazitat cp J/kg K
molare isobare Warmekapazitat Cp,m J/mol K
spezifische isochore Warmekapazitat cv J/kg K
molare isochore Warmekapazitat Cv,m J/mol K
Entropische Zustandsgroen
Name Symbol/Definition Einheit
Entropie S J/K
spezifische Entropie s(mit ds=du+p dv
T =
dh v dpT
fur Phasen J/kg K
konstanter Zusammensetzung bzw. Reinstoff)
molare Entropie Sm J/molK
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2 Zustandsgleichungen
Gema Abschnitt 1 wird jede intensive Zustandsgroe einer fluiden Phase eines reinenStoffes durch zwei beliebige, aber unabhangige intensive Zustandsgroen festgelegt,
z.B. v= v(T, p); h= h(T, p); h= h(s, p) ...
Derartige Beziehungen werden Zustandsgleichungen genannt. Sie sind stoffabhangig.
Da es sehr viel mehr Zustandsgroen gibt, als zur eindeutigen Beschreibung eines
Reinstoffes notwendig sind, gibt es auch eine Reihe von Beziehungen zwischen den
Zustandsgroen untereinander.
Diese Beziehungen sind stoffunabhangig,
z.B. h= u +p v; T=
U
S
V
; a=
p
S
...
Eine sehr wichtige Kopplung zwischen Zustandsgroen wird durch dieFundamental-
gleichung vorgegeben:
du= Tds pdv , dU=TdSpdVDiese Gleichungen beschreiben, wie sich die innere Energie eines einfachen Systems bei
Anderung von Entropie und Volumenandert.
Mit h= u+p v gilt gleichwertig:dh= Tds + vdp , dH=TdS+ Vdp
Thermische Zustandsgleichungen
Die thermischen Zustandsgroen p, v und T werden durch thermische Zustandsglei-chungen miteinander verknupft. Die unterschiedlichen, expliziten Formen der thermi-
schen Zustandsgleichung fur einen Reinstoff sind:
p= p(v, T) druckexplizite Form
v=v(p, T) volumenexplizite Form
T =T(p, v) temperaturexplizite Form
5
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Beim Modellfluid
ideales Gas wird die thermische Zustandsgleichung auch als
idea-
les Gasgesetz bezeichnet. Es lautet in den unterschiedlichen Schreibweisen:
p Vm= Rm Tp V =n Rm Tp V =m R T
mit der individuellen Gaskonstanten R bzw. der universellen Gaskonstanten Rm =
R M= 8, 3145 JmolK
. Ein ideales Gas ist ein real nicht existentes Modellgas, welches
auer elastischen Stoen keinerlei zwischenmolekulare Wechselwirkungen aufweist.
Als thermische Zustandsgleichung fur reale Gase wird haufig die Virialgleichung ver-
wendet. Sie lautet in der druckexpliziten Form:
p=Rm T
Vm+
Rm T Bm(T)V2m
+Rm T Cm(T)
V3m+ ...
Die temperaturabhangigen VariablenBm(T) undCm(T) werden als 2. und 3. Virialko-
effizient bezeichnet. Der Realgasfaktor Zgibt die Abweichung des Realgasverhaltens
vom idealen Gas an. Er wird definiert zu:
Z := p VmRm T = 1 +
Bm(T)
Vm+
Cm(T)
V2m+ ...
Fur ein ideales Gas gilt Z= 1.
Eine thermische Zustandsgleichung, die das gesamte fluide Gebiet beschreibt, ist z.B.
die Gleichung von Redlich-Kwong (RK-Gl.) Sie lautet mit den stoffspezifischen Para-
metern b(Kovolumen) und a(T) (Anziehungsparameter) in druckexpliziter Form:
p=R Tv b
a(T)
v(v+ b)
Nach v aufgelost ergibt sich:
v3
R T
p v2 + a R T b
p b2 v
a b
p = 0
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Zur Auswertung dieser Gleichung im Nassdampfgebiet wird das Maxwell-Kriterium
benotigt:
p s(T) [v v] =vv
p(T, v) dv
Im Nassdampfgebiet steht siedende Flussigkeit (Index ) im Gleichgewicht mit trocken
gesattigten Dampf (Index ), d.h. das Fluid besteht in diesem Zustandsgebiet aus
einem Gemisch zweier Phasen mit demselben Druck und derselben Temperatur. Das
mittlere spezifische Volumen von nassem Dampf errechnet sich mit dem Dampfgehalt
x= m
m
+ m
zu
v= x v + (1 x) v
Der Siededruck ps(T), der sich in beiden Phasen einstellt, ist allein durch die Tempe-
raturTdes nassen Dampfes bestimmt. Er ergibt sich zusammen mit den spezifischen
Voluminav =v (T) undv =v (T) aus dem Maxwell-Kriterium und der thermischen
Zustandsgleichung. Im p, v-Diagramm grenzen Siede- und Taulinie v = v(T) und
v = v(T), die Ortslinien von siedender Flussigkeit und trocken gesattigtem Dampf,
das Nassdampfgebiet ab.
K
Tauliniex=1Sie
delin
ie
x=0
T=TK
T>TK
T
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sind. Im kritischen Punkt K werden beide Phasen des nassen Dampfes identisch. Die
kritische IsothermeT =TK hat hier eine horizontale Wendetangente mit (p/v)T = 0
und (2p/2v)T = 0. Zustande von nassem Dampf sind nur fur T < TK moglich.
Aufgrund der Kopplung des Siededrucks ps(T) an die Temperatur bzw. der Siede-
temperatur Ts(p) an den Druck fallen im Nassdampfgebiet Isothermen und Isobaren
zusammen.
Dieser Zusammenhang wird besonders deutlich im p, T- Diagramm in Gestalt der
Dampfdruckkurve. Daneben enthalt das Diagramm Koexistenzkurven fur das Fest-
Flussig- und das Gas-Fest-Gleichgewicht in Form der Schmelz- und Sublimationsdruck-
kurve. Die Koexistenzkurven stellen entartete Zweiphasengebiete dar; nur auf Punktendieser Kurven sind Zweiphasengleichgewichte moglich.
Gas
Flssig-keit
p
T
Feststoff
Sublimationsdruckkurve
Dampfdruckkurve
Schmelzdruck-
kurve
K
Tr
Im Punkt Tr, dem Tripelzustand, schneiden sich die drei Koexistenzkurven, so dass
hier bei (pTr, TTr) und nur hier ein Dreiphasengleichgewicht von Feststoff, Flussigkeit
und Dampf moglich ist. Die drei Koexistenzkurven grenzen die Zustandsgebiete ab, in
denen ein reines Fluid einphasig als Feststoff, Flussigkeit oder Gas vorliegt.
Kalorische Zustandsgleichungen
Die kalorischen Zustandsgleichungen u = u(T, v) und h = h(T, p) dienen zur Berech-
nung der nicht messbaren kalorischen Zustandsgroen u und h aus den messbaren
Groen p, T bzw.T, v. Sie lauten fur die Differenz zwischen zwei beliebigen Zustands-
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punkten 1 und 2:
u(T2, v2) u(T1, v1) =T2
T1
cv
(T, v1) dT+v2
v1
T
p
T
v
pT=T2
dv
h(T2, p2) h(T1, p1) =T2
T1
cp
(T, p1) dT+
p2p1
v T
v
T
p
T=T2
dp
Die spezifischen Warmekapazitaten cv
(T, v) und cp
(T, p) sind definiert als
spezifische isochore Warmekapazitat cv
:=
u
T
v
mit [cv
] = J
kg K
spezifische isobare Warmekapazitat cp
:=
h
T
p
mit [cp
] = J
kg K
Es ist vorteilhaft, den Zustand des idealen Gases (v , bzw. p 0), als einenBezugszustand zu wahlen, um mit den spezifischen Warmekapazitaten des idealen Ga-
ses zu rechnen. Die kalorischen Zustandsgroen u undh fur bestimmte Werte von T , vbzw. T, p berechnen sich dann zu
u(T, v) =uiG(T0) +
TT0
ciGv
(T) dT+
v
T
p
T
v
pT=T
dv
h(T, p) =hiG(T0) +
TT0
ciGp
(T) dT+
p0
v T
v
T
p
T=T
dp.
Die Differenzen der kalorischen Zustandsgroen zwischen zwei beliebigen Zustands-
punkten konnen folglich auch berechnet werden, indem man einen Integrationspfad
wahlt, der uber den des idealen Gaszustandes lauft. In diesem fur die Anwendung
wichtigen Fall ergibt sich
u2 u1=T2
T1
ciGv
(T) dT+
v2
T
p
Tv
pT=T2
dv v1
T
p
Tv
pT=T1
dv
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h2 h1=T2
T1
ciGp
(T) dT+
p20
v T
v
T
p
T=T2
dp p10
v T
v
T
p
T=T1
dp
Fur das Nassdampfgebiet gilt:h= (1 x)h + x h.
Entropische Zustandsgleichungen
Die Anderung der spezifischen Entropie sin Abhangigkeit von T, pbzw. von T , v zwi-
schen zwei Zustanden berechnet sich durch
s(T2, p2) s(T1, p1) =T2
T1
cp(T, p1)T
dTp2
p1
vT
p
T=T2
dp
s(T2, v2) s(T1, v1) =T2
T1
cv
(T, v1)
T dT+
v2v1
p
T
v
T=T2
dv
Es werden also die Gleichungen fur die spezifische, isobare Warmekapazitat cp
(T, p)
und das spezifische Volumenv(T, p) bzw. fur die spezifische, isochore Warmekapazitat
cv
(T, v) und den Druck p(T, v) benotigt.
Wahlt man als einen Bezugszustand den Zustand des idealen Gases, so berechnet sich
die spezifische Entropie fur beliebige Werte von T, pbzw. T , v zu
s(T, p) =siG(T0, p0) +
TT0
ciGp
(T)
T dT R lnp
p0
p0
v
T
p
Rp
T=T
dp
s(T, v) =siG(T0, v0) +
TT0
ciGv (T)
T dT+ Rlnv
v0+
v
pT
v
Rv
T=T
dv.
Die Differenz zwischen zwei Zustandspunkten 1 und 2 ergibt sich bei einem Integrati-
onsweguber den idealen Gas - Zustand zu
s2 s1 =T2
T1
ciGp
(T)
T dT R lnp2
p1
p2
0
v
Tp
Rp
T=T2
dp+
p1
0
v
Tp
Rp
T=T1
dp
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s2 s1 =T2
T1
ciGv
(T)
T dT+ Rln
v2v1
+
v2
p
T
v
Rv
T=T2
dv v1
p
T
v
Rv
T=T1
dv
Fur das Nassdampfgebiet gilt:s= (1 x)s + x s.
Die Zustandsgleichungen fur Entropie und Enthalpie realer Fluide lassen sich vorteil-
haft im T, s-Diagramm mit Linien p = const und im h, s-Diagramm mit Linien p =
const und T= const darstellen.
p=const
K
TLSL
Gas
Nassdampfgebiet
Flssig-
keit
T
s
h - h
q +12 12
1
2
x=const
T (p)s
~(1-x)~x
(c )p 1
s s
Spezifische Energien bilden sich imT , s-Diagramm als Flachen ab. Aufgrund der Entro-
piebilanz fur einen Prozess ist die Flache unter einer Zustandslinie
21
Tds= q12+ 12 .
Dabei ist q12 die massebezogene Warme und 12 =21
Tdsirr 0 die spezifische dissi-pierte Energie des Prozesses, vgl. Abschnitt 5. Wegen Tds= dh v dp ist fur isobareZustandsanderungen
2
1
T(s, p) ds= h(s2, p) h(s1, p) .
11
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Speziell gilt fur die isobare Uberfuhrung von siedender Flussigkeit in trocken gesattig-
tem Dampf
Ts(s s) =h h ,
wobei samtliche Groen Funktionen des Siededrucks sind. Die spezifische isobare Warme-
kapazitat cp = T(s/T)p fur einen Zustand lasst sich als Subtangente unter der zu-
gehorigen Isobaren ablesen.
~x
x=const
T=const
K
TL
SL
Gas
Nassdampfgebiet
Flssig-
keit
h
ss
p=const
s
h - h
~(1-x)
Imh, s-Diagramm erscheinen spezifische Energien als Ordinatendifferenzen, die fur sta-
tionare Flieprozesse mit einem Massenstrom durch die Energiebilanz mit der spezifi-
schen technischen Arbeit wt, der massebezogene Warme q= Q/m sowie Anderungen
der spezifischen kinetischen und potentiellen Energien verknupft sind, vgl. Abschnitt
4.
Wegen dh= Tds + v dp ist die Steigung der Isobaren im h, s-Diagramm
(h/s)p=T .
Weil die Temperatur wahrend der isobaren Verdampfung eines reinen Stoffes konstant
bleibt, sind die Isobaren im Nassdampfgebiet gerade Linien. Ihre Steigung wachst ent-
sprechend der Zunahme der Siedetemperatur mit dem Druck. Der kritische Punkt liegt
im Wendepunkt am linken Hang der Grenzkurve des Nassdampfgebietes, die dort von
der kritischen Isobaren beruhrt wird. In den homogenen Zustandsgebieten sind die
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Isobaren entsprechend der Temperaturanderung langs ihres Verlaufs gekrummt. Die
Grenzkurven werden ohne Knickuberschritten.
Im Nassdampfgebiet fallen Isothermen und Isobaren zusammen. Fur den Grenzzustand
des idealen Gases werden die Isothermen horizontal, da die spezifische Enthalpie in die-
sem Fall nur von der Temperatur abhangt. Die Isothermen haben auf den Grenzkurven
einen Knick.
Dampftafeln
Fur Wasser und Kaltemittel sind die thermodynamischen Eigenschaften in Form von
Dampftafeln verfugbar. Sie enthalten fur die homogenen Zustandsgebiete die Groen
v0 = v(0, p0) , h0 = h(0, p0) und s0 = s(0, p0)
an vorgegebenen Gitterpunkten (0, p0) der unabhangigen Variablen Temperatur und
Druck. Im allgemeinen muss eine Groe z=z(T, p) zwischen Gitterpunkten der Tafel
interpoliert werden. Mit den Tafelwerten
z00 = z(0, p0) , z10=z(1, p0) und z01 = z(0, p1)
fur 0 1 und p0p p1 erhalt man
z(, p) =z00+z10 z00
1 0 ( 0) +z01 z00p1 p0 (p p0) .
Speziell geeignet fur die Berechnung isentroper Enthalpiedifferenzen hs = h(s1, p2) h(s1, p1) ist die Interpolationsformel
h(s, p) =h0+ T0(s s0) + v0(p p0) ,
die aus einer Taylorentwicklung der spezifischen Enthalpie hervorgeht.
Kennzeichen von nassem Dampf ist, dass der Dampfdruck ps und die Siedetemperatur
s sowie die Eigenschaftenz und z der koexistierenden Phasen jeweils nur von einer
Variablen Temperatur oder Druck abhangen. Die Dampftafeln enthalten deshalb als
Funktion der Temperatur fur vorgegebene Werte 0 die Groen
ps0=ps(0), v
0=v(0) h
0=h(0) s
0=s(0)
v
0 =v
(0) h
0 =h
(0) s
0 =s
(0)
13
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oder alternativ als Funktion des Drucks fur vorgegebene Werte p0
s0=s(p0), v
0 = v(p0) h
0=h(p0) s
0=s(p0)
v0 =v(p0) h
0 =h(p0) s
0 =s(p0) .
Die Eigenschaften von nassem Dampf ergeben sich als gewogenes Mittel aus den ent-
sprechenden Groen der siedenden Flussigkeit und des gesattigten Dampfes. Gewichtet
wird mit den Masseanteilen m/m= 1 xund m/m= x s.o.
Fur die Berechnung isentroper Enthalpiedifferenzen von nassem Dampf empfiehlt sich
die Darstellung
h(s, p) =h(p) +Ts(p) [s s(p)] ,
in welcher der Dampfgehalt xdurch die spezifische Entropie ausgedruckt ist.
3 Modellfluide
Das ideale Gas:
Fur Gase bei niedrigen Drucken wird haufig das Modellfluid
ideales Gas fur die
Berechnung von Zustandsgroen verwendet. Die thermische Zustandsgleichung eines
idealen Gases wird mit
ideales Gasgesetz bezeichnet und lautet (s. Abschnitt 2):
p V =m R T
Die spez. innere Energie und die spez. Enthalpie (kalorische Zustandsgleichung) eines
idealen Gases sind nur noch von der Temperatur abhangig:
uiG(T) =uiG(T0) +
TT0
ciGv (T) dT
hiG(T) =hiG(T0) +
TT0
ciGp (T) dT
14
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Die spezifische Entropie des idealen Gases (entropische Zustandsgleichung) in Abhangig-
keit von T , p bzw. T, v berechnet sich mit
siG(T, p) =siG(T0, p0) +
TT0
ciGp
(T)dT
T R lnp
p0
siG(T, v) =siG(T0, v0) +
TT0
ciGv
(T)dT
T + R lnv
v0
Die isobare Entropiefunktion
soiG(T) =siG(T0, p0) +
TT0
ciGp (T) dTT
ist fur einige Gase fur einen Bezugsdruck p0 vertafelt.
Fur eine isentrope Zustandsanderung (s= const.) folgt
TT0
ciGp (T)dT
T =R lnp
p0bzw.
TT0
ciGv (T)dT
T =R lnv
v0
Bei konstanter spezifischer und molarer Warmekapazitat gilt speziell
T
T0=
p
p0
R/ciGp=
p
p0
(1)/sowie
p
p0=v0
v
ciGp /ciGv=v0
v
Dabei ist der temperaturabhangige Isentropenexponent:
:=ciGp (T)
ciGv (T)
Die isochore und die isobare spezifische Warmekapazitaten eines idealen Gases sind
durch die individuelle Gaskonstante miteinander verknupft:
ciGp (T) ciGv (T) =R
Der Entropiezustandsgleichung entsprechend ergibt sich fur ein ideales Gas mit ciGp =
const. einT , s-Diagramm, dessen Isobaren Exponentialfunktionen sind, die durch Par-
allelverschiebung in s-Richtung auseinander hervorgehen. Diese Eigenschaftubertragt
sich auf dash, s-Diagramm.
15
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h
s
h=const
p1
p2p3
R ln(p1 2/p )
T
s
T=const
p1
p2p3
R ln(p1 2/p )
Die isentrope Enthalpiedifferenz
hs = h(s1, p2) h(s1, p1)
ist fur ein ideales Gas durch die Temperaturanderung zwischen den Zustanden unter-
schiedlichen Drucks auf der Isentropen s= s1 bestimmt. Fur ciGp = const. gilt
hiGs =ciGp T1
p2p1
R/ciGp 1
oder
hiGs =
1RT1
p2p1
1
1
Die mittlere spezifische Warmekapazitat des idealen Gases:
Die spezifischen Warmekapazitaten ciGp (T) und ciGv (T) idealer Gase sind im Allgemei-
nen monoton steigende, komplizierte Temperaturfunktionen. Um die Integraleuber die
spezifischen Warmekapazitaten leichter berechnen zu konnen, verwendet man haufig
die mittleren spezifischen Warmekapazitaten.
Die Definition der mittleren spezifischen isobaren Warmekapazitat lautet:
cpiG() :=
1
0
ciGp () d
16
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20/64
(Teilweise wird fur die mittlere spezifische isobare Warmekapazitat auch die Bezeich-
nungciGp|0 verwendet.) Fur einige Gase liegen Tafeln vor.
Die spezifische Enthalpiedifferenz eines idealen Gases zwischen zwei beliebigen Zustand-
spunkten 1,2 ergibt sich mit Hilfe der mittleren spezifischen isobaren Warmekapazitat
zu:
hiG(2) hiG(1) =cpiG(2) 2 cpiG(1) 1
Schallgeschwindigkeit:
Die Schallgeschwindigkeit a idealer Gase hangt nur von der Temperatur T ab.
a=
R T
Ideale Gasgemische:
Bei niedrigen Drucken konnen Gasgemische durch das Stoffmodell der idealen Gas-mischung beschrieben werden. Die thermische Zustandsgleichung hat in diesem Fall
dieselbe Form wie fur ein reines ideales Gas
p V =n Rm T =m R T .
Dabei ist
R= alle k
kRk =Rm/M
die individuelle Gaskonstante des Gemisches. Sie ist ein mit den Masseanteilen k ge-
wogenes Mittel der entsprechenden Werte Rk der reinen Komponenten und ergibt sich
in Analogie zum reinen Stoff als Quotient der universellen Gaskonstanten Rm und der
molaren Masse M=
mk/
nk des Gemisches, siehe Abschnitt 2.
Der Partialdruck einer Komponente k in einem Gemisch ist erklart als
pk :=yk
p .
17
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Definitionsgema ist die Summe aller Partialdrucke wegen der Schliebedingung
yk =
1 fur die Stoffmengenanteile der Druckp des Gemisches. Fur ein Gemisch idealer Gase
folgt aus der thermischen Zustandsgleichung das Daltonsche Gesetz: Danach ist der
Partialdruck pk einer Komponente im Gemisch gleich dem Druck p0k, den die reine
Komponente annahme, wenn sie bei der Temperatur des Gemisches das Gemischvolu-
men allein ausfullen wurde.
Die spezifische innere Energie und die spezifische Enthalpie eines idealen Gasgemisches
ergeben sich als ein mit den Masseanteilen k gewogenes Mittel aus den Werten uiG0k
und hiG0k der reinen idealen Gase k bei der Temperatur T des Gemisches
uiGM(T) =allek
kuiG0k(T)
hiGM(T) =alle k
khiG0k(T)
Beide Groen hangen neben der Zusammensetzung des Gemisches nur von der Tem-
peratur ab. Dies ubertragt sich bei der Bildung der Temperaturableitungen auf die
isochore und isobare spezifische Warmekapazitat
ciGMv (T) =allek
kciGv0k(T) , ciGMp (T) =allek
kciGp0k(T) ,
worinciGv0k= duiG0k/dT und c
iGp0k= dh
iG0k/dTdie Werte der reinen Komponenten bedeu-
ten. Die spezifischen Warmekapazitaten des Gemisches sind dem Verhalten der reinen
Komponenten folgend durch
ciGMp ciGMv =R
mit R als der individuellen Gaskonstanten des Gemisches verknupft. Fur die mittle-re isobare spezifische Warmekapazitat des Gemisches und den Isentropenexponenten
erhalt man
ciGMp () =alle k
kciGp0k()
mit ciGp0k() als dem Wert der reinen Komponenten und
(T) =ciGMp (T)/[ciGMp (T)
R] .
18
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Die Entropiezustandsgleichung von Gemischen idealer Gase spiegelt wider, dass die
reinen Gase beim isotherm-isobaren Vermischen irreversibel vom Gemischdruck p auf
den jeweiligen Partialdruck pk der Gase im Gemisch entspannt werden. Die spezifische
Entropie eines Gemisches idealer Gase ist daher ein mit den Masseanteilen kgewogenes
Mittel der spezifischen EntropiensiG0k(T, pk) der reinen Komponenten, berechnet bei der
TemperaturTund dem Partialdruckpk der Komponenten im Gemisch
siGM(T, p) =allek
ksiG0k(T, pk) .
Mit der charakteristischen logarithmischen Druckabhangigkeit der spezifischen Entro-
pie siG0k
(T, p) reiner idealer Gase und der Definitionsgleichung des Partialdrucks folgt
siGM(T, p) =alle k
ksiG0k(T, p) +
MsiGM .
Die spezifische Entropie eines idealen Gasgemisches ist damit auch darstellbar als das
gewogene Mittel des spezifischen Entropien siG0k(T, p) der reinen Gase, berechnet bei der
TemperaturTund dem Druckp des Gemisches, und der stets positiven Mischungsen-
tropie
MsiGM =
R alle k
yk ln yk >0 .
Dabei ist R wieder die individuelle Gaskonstante des Gemisches. Da die spezifische Mi-
schungsentropie MsiGM uber die Stoffmengenanteileyknur von der Zusammensetzung
des Gemisches abhangt, hebt sie sich aus den Entropiebilanzen aller Prozesse heraus,
bei denen die Zusammensetzung konstant bleibt.
Das inkompressible Fluid:
Das spezifische Volumen des inkompressiblen Fluids hangt weder vom Druck noch von
der Temperatur ab. Die thermische Zustandsgleichung lautet daher einfach
v= v iF = const.
Die kalorischen Zustandsgleichungen fur das inkompressible Fluid lauten:
uiF(T) = uiF(T0) +TT0
ciF(T) dT
hiF(T, p)= h iF(T0, p0) +T
T0
ciF(T) dT+ viF(p
p0)
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Die Entropie des inkompressiblen Fluids hangt nur von der Temperatur ab, die entro-
pische Zustandsgleichung ergibt sich zu:
siF(T) =siF(T0) +
TT0
ciF(T)
T dT
Fur die isentrope Enthalpiedifferenz hs =h(s1, p2) h(s1, p1) gilt
hiFs =viF(p2 p1) .
Bei dem inkompressiblen Fluid sind die spezifische isobare Warmekapazitat cp und die
spezifische isochore Warmekapazitat cv gleich, weshalb der Index weggelassen wird:
ciF =ciFp =ciFv
Feuchte Luft:
Feuchte Luft ist ein ideales Gasgemisch aus den Komponenten trockene Luft L und
Wasserdampf W. Die molaren Massen und individuellen Gaskonstanten der Kompo-
nenten sind
ML= 28, 96 kg/kmol RL= 0, 2871kJ/(kg K)MW= 18, 016 kg/kmol RW= 0, 4615kJ/(kg K) .
Das besondere an feuchter Luft ist, dass ihr Aufnahmevermogen an Wasserdampf be-
grenzt ist und beim Uberschreiten einer Loslichkeitsgrenze Kondensat ausfallt. Der
maximal mogliche WasserdampfpartialdruckpsW feuchter Luft, der sich im Zustand des
Gleichgewichts mit kondensiertem Wasser einstellt, ist in guter Naherung gleich dem
Siededruck ps0W(T) des reinen Wassers bei der Temperatur Tder feuchten Luft
psW =ps0W(T) .
Fur pW < ps0W(T) heit feuchte Luft ungesattigt, fur pW =p
s0W(T) heit sie gesattigt
und kann Kondensat enthalten.
20
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Kuhlt man ungesattigte feuchte Luft isobar ab, bildet sich bei der Taupunkttemperatur
TT das erste Kondensat. Die feuchte Luft ist dann gerade ges attigt und fur ihren
Wasserdampfpartialdruck gilt
pW =ps0W(TT) .
Aus der Kenntnis der Taupunkttemperatur lasst sich somit der Wasserdampfpartial-
druck ungesattigter feuchter Luft bestimmen. Anstelle des Wasserdampfpartialdrucks
wird in der Technikuberwiegend die Wasserbeladung
X :=mW/mL mit 0
X
Xs
zur Kennzeichnung der Zusammensetzung feuchter Luft benutzt. Dabei wird als Be-
zugsgroe die bei vielen klimatechnischen Prozessen konstante Masse mLder trockenen
Luft verwendet. Mit dem PartialdruckpW des Wasserdampfes besteht der Zusammen-
hang
X= RLRW
pWp pW ,
wobei sich der Sattigungswert Xs
fur pW = ps0W(T) ergibt. Er steigt mit wachsender
TemperaturTund sinkt mit wachsendem Druck p der feuchten Luft.
Ein Ma fur die Zusammensetzung feuchter Luft ist weiter die als absolute Feuchte
bezeichnete Partialdichte des Wasserdampfes
W :=mW
V =
pWRWT
mit 0 W sW .
Der Sattigungswert wird wieder fur pW =ps
0W(T) erreicht. Zugeordnet ist die relativeFeuchte
:= WsW(T)
= pW
ps0W(T) mit 0 1 .
Die thermische Zustandsgleichung feuchter Luft hat bei Wahl der Masse mL der tro-
ckenen Luft als Bezugsmasse die Gestalt
v1+x := V
mL= (RL+ X RW)
T
p .
21
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Das auf die Gesamtmasse bezogene spezifische Volumenv = V /(mL+mW) folgt hieraus
zu v= v1+x/(1 + X).
Die spezifische Enthalpie feuchter Luft wird in der Praxis ebenfalls auf die Masse mL
der trockenen Luft bezogen und setzt sich nach dem Modell der idealen Gasmischung
anteilig aus den spezifischen Enthalpien hiG0L(T) und hiG0W(T) der reinen gasformigen
Komponenten zusammen
h1+x:= H
mL=hiG0L(T) + X h
iG0W(T) .
Die gewohnliche spezifische Enthalpie h= H/(mL+ mW) ergibt sich zu
h= h1+x/(1 + X).
Die Enthalpiekonstanten der Komponenten werden zweckmaig so gewahlt, dass die
spezifischen Enthalpien der trockenen Luft und des flussigen Wassers bei= 0 C null
sind. Weiter werden konstante isobare spezifische WarmekapazitatenciGp0Lund ciGp0W der
gasformigen Komponenten vorausgesetzt. Dann wird
hiG0L=ciGp0L = 1, 004 kJ/(kg K)
hiG0W=ciGp0W + r0 = 1, 86 kJ/(kg K) + 2500 kJ/kg ,
mit r0 als der spezifischen Verdampfungsenthalpie von Wasser bei = 0 C. Eine mit
diesen Annahmen konsistente Formulierung der spezifischen Enthalpie von flussigem
Wasser ist
hF0W =cF0W = 4, 19 kJ/(kg K) ,
mit cF0W als der konstant gesetzten spezifischen Warmekapazitat im flussigen Zustand.
Die Druckabhangigkeit ist vernachlassigt.
4 Die Energiebilanzgleichung (1.Hauptsatz)
Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgroe Energie E=U+Ekin +Epot. Die
Energie eines Systems kann sich nur durch Energietransport uber die Systemgrenze
andern. Fur die Energie gilt ein Erhaltungssatz.
22
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Die allgemeine Form des 1. Hauptsatzes als Leistungsbilanz fur ein offenes instationares
System mit der Gesamtenergie E lautet:
dE
dt =
Q +
P+
ein
me(h +w2
2 + g z)e
aus
ma(h +w2
2 + g z)a .
In Worten besagt diese Gleichung, dass sich die zeitliche Anderung der EnergieEeines
offenen Systems durch die Summe aller dem System zugefuhrten Warmestrom- und
Leistungsterme (mechanische und elektrische) und die mit den eintretenden (Index e)
und austretenden (Index a) Massenstromen mitgefuhrte Energie ergibt. Andert sich
das Volumen des Bilanzraumes mit der Zeit, muss auch Volumenanderungsleistung
berucksichtigt werden. Ein dem System zugehender Warmestrom Q bzw. zugehende
Leistung Pwird positiv gewertet, abgehende negativ.
Fur das hier betrachtete offene, instationare System gilt die Massenbilanz
dm
dt =
ein
me aus
ma
5 Die Entropiebilanz (2. Hauptsatz)Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgroe Entropie S. Die Entropie eines Sys-
temsandert sich
durch Warmetransportuber die Systemgrenze
durch Stofftransport uber die Systemgrenze
durch irreversible Prozesse im Inneren des Systems (Entropieerzeugung), das sind
insbesondere Warmeubergang bei endlicher Temperaturdifferenz und Reibung.
Die Entropie ist daher keine Erhaltungsgroe. Die mit der Warmeenergie dQ uber die
Systemgrenze transportierte Entropie ist
dSQ=dQ
T
Dabei istTdie thermodynamische Temperatur an der Stelle der Systemgrenze, an der
dQ ubergeht.
23
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Die durch irreversible Prozesse im Inneren des Systems erzeugte Entropie Sirr ist nie-
mals negativ. Sie ist fur reversible (ideale) Prozesse des Systems null.
Die allgemeine Entropiebilanz fur ein offenes instationares Systeme lautet
dS
dt =
i
QiTi
+ein
( me se) aus
( ma sa) + Sirr
Mechanische und elektrische Energie sind am Entropietransport nicht beteiligt und
erweisen sich als entropiefreie Energien.
6 Anwendungen der Hauptsatze auf spezielle Systeme und
Prozesse
Fur bestimmte Systeme und Prozesse ergeben sich folgende Vereinfachungen des Ener-
gieerhaltungssatzes (1.HS) und der Entropiebilanz (2.HS).
Geschlossene Systeme:
Bei geschlossenen Systemen treten keine Massenstrome uber die Systemgrenzen. Die
Summenterme mit mim ersten und zweiten Hauptsatz entfallen daher. Der1. HSfur
ein geschlossenes System vereinfacht sich daher zu:
dE
dt =
Q +
P (Leistungsbilanz)
oder zwischen zwei Zustanden integriert, fur jeweils nur einen Warmestrom bzw. Leis-
tungsterm
E2 E1=Q12+ W12 (Energiebilanz)
Betrachtet man ein ruhendes geschlossenes System, sind die Differenzen der kineti-
schen und potentiellen Energien des Systems zwischen 1 und 2 gleich null und die
Energiebilanz lautet:
U2 U1 = Q12+ W12
Die Arbeit W12 besteht im Allgemeinen aus
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VolumenanderungsarbeitWV12= 21
p dV
elektrische Arbeit Wel12 =21
U Idt
Wellenarbeit WW12 = 221
nd Mddt
Der 2. HS fur ein geschlossenes System lautet:
dS
dt =
i
QiTi
+ Sirr
oder zwischen zwei Zustanden integriert:
S2 S1=2
1
Q(t)
T(t)dt + Sirr,12
Adiabate Systeme:
Ideal isolierte Systeme, die keinen Warmeaustauschuber die Systemgrenzen zulassen,
werden als adiabat bezeichnet. Fur die formale Betrachtung bedeutet dies, das im ers-
ten und zweiten Hauptsatz die Terme mit den Warmestromen Q wegfallen.
Abgeschlossene Systeme:
Als abgeschlossen werden die Systeme bezeichnet, die weder Materie noch Energieuber
ihre Systemgrenzen flieen lassen. Ein abgeschlossenes System ist also zugleich auch
immer geschlossen und adiabat.
Stationare Prozesse:
Wie dem Ausdruck zu entnehmen ist, durchlaufen die Zustandsgroen bei stationaren
Prozessen keine zeitlichen Veranderungen, d.h. sie sind zeitlich konstant. Dies gilt fur
alle Zustandsgroen und damit insbesondere auch fur die Energie und die Entropie
eines Systems. Daher muss bei stationaren Prozessen gelten:
dE
dt = 0 ;
dS
dt = 0
25
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Reversibler Prozess:
Bei einem reversiblen Prozess wird keine Entropie erzeugt, d.h. es gilt Sirr = 0.
Isentroper Prozess:
Isentrop bedeutet reversibel und adiabat. Bei einem isentropen Prozess bleibt daher
die Entropie des Systems konstant, d.h. S2 S1 = 0
Stationarer Flieprozess mit einem Massenstrom:
Energie- und Entropiebilanzen vereinfachen sich hier zu
P12+ Q12 = m
h2 h1+12
(w22 w21) + g(z2 z1)
(A)
qdA
T + (Sirr)12 = m(s2 s1) mit (Sirr)12 0
Dabei bezeichnet der Index 1 den Eintritts- und der Index 2 den Austrittsquerschnitt,
an welchem der Massenstrom m die Systemgrenze uberschreitet. Die Indices bezie-
hen sich somit auf Orte und nicht auf Zeiten, von denen die Zustandsgr oen in sta-
tionaren Systemen nicht abhangen. Einfache Indices kennzeichnen Zustandsgroen in
einem Querschnitt, Doppelindices Prozessgroen zwischen zwei Querschnitten.
Weiter ist q = dQ/dA die Warmestromdichte auf einem Oberflachenelement dA der
Bilanzhulle mit [q] = W/m2. T ist die Temperatur auf dem Element dA, so dass der
Integrand gerade den Entropiestrom dSQ ergibt, der mit dem Warmestrom dQ auf
dem Oberflachenelement dA ubertragen wird. Haufig ist es zweckmaig, Energie- und
Entropiebilanzen in spezifischen Groen zu formulieren. Division durch den Massen-
strom ergibt:
q12+ wt12=
h2 h1+1
2(w22 w21) +g(z2 z1)
1
m
(A)
qdA
T + (sirr)12 = s2 s1 mit (sirr)12 0
Hierin bedeuten
q12 :=
Q12
m , wt12:=
P12
m und (sirr)12=
(Sirr)12
m
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die spezifische Warme, die spezifische technische Arbeit und die spezifische Entropie-
erzeugung des Prozesses.
Die Leistungsbilanz fur ein stationares Fliesystem, das zwischen den Querschnitten 1
und 2 unter Zufuhrung oder Entzug eines Wasserstroms mW von feuchter Luft durch-
stromt wird, lautet
Q12+ P12= mL[(h1+x)2 (h1+x)1] + mW2h0W2 mW1h0W1 .
Die spezifische Enthalpieh0W ist dabei dem flussigen oder dampfformigen Zustand des
Wassers entsprechend einzusetzen. Anderungen an kinetischer und potentieller Energie
sind vernachlassigt. Die Leistungsbilanz ist im allgemeinen in Verbindung mit einer
Wasserbilanz
X1 mL+ mW1= X2 mL+ mW2
auszuwerten, die fur ein stationares System Gleichheit der insgesamt zu- und abflie-
enden Wasserstrome verlangt.
Die Arbeits- und Bernoulli-Gleichung
Die Leistungs- und Entropiebilanz fur ein stationares Fliesystem mit einem Massenstrom
lassen sich zu einer speziellen Arbeitsgleichung verknupfen:
wt12 12=2
1
v dp+1
2
w22 w21
+ g(z2 z1)
Dabei bedeutet
12=
21
Tdsirr 0
die spezifische dissipierte Energie des Prozesses. Alle Integrale sind entlang des Stromungs-
wegs zu erstrecken.
Ubertragene Warme und Enthalpieanderungen sind in der Arbeitsgleichung eliminiert
und mussen in dem zugrunde liegenden Prozess keineswegs null sein. Als einzige ther-
mische Groe erscheint die dissipierte Energie. Unter Ausnutzung ihrer Vorzeichenbe-
schrankung wird die Arbeitsgleichung angewendet zur
27
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1. Unterscheidung moglicher und unmoglicher Prozesse,
2. Herleitung von Schranken fur die spezifische technische Arbeit bei der Kompres-
sion und Expansion eines Arbeitsmittels.
Unter den besonderen Bedingungen eines reversiblen Stromungsprozesses eines inkom-
pressiblen Mediums (wt12 = 0, 12 = 0, v = const.) geht die Arbeitsgleichung in die in
der Stromungsmechanik haufig verwendete Bernoullische Gleichung uber.
7 Exergie und Anergie
Jede Energieform ist in einen Exergie- und Anergieanteil zerlegbar:
Energie = Exergie + Anergie
Die Exergie ist dabei der Teil einer jeden Energieform, der sich unter Mitwirkung der
Umgebung in jede andere Energieform, insbesondere in mechanische oder elektrische
Energie umwandeln lasst. Anergie ist der nicht in Exergie umwandelbare Rest.
Irreversible Prozesse erzeugen Entropie Sirr>0 bzw. dissipieren Energie =
TdSirr >
0. Damit verbunden ist eine unwiederbringlich Umwandlung von Exergie in Anergie,
d.h. es entsteht ein Exergieverlust oder -verluststrom
EV =TU Sirr > 0 bzw. EV =TU Sirr>0 ,
welcher der erzeugten Entropie oder ihrem Strom direkt proportional ist. Proportio-
nalitatsfaktor ist die Umgebungstemperatur TU. Ein Exergieverlust entwertet Energiedurch Minderung ihrer Umwandelbarkeit, er ist dem Verhalten der Entropieerzeugung
folgend irreversibel und sollte unter thermodynamischen Gesichtspunkten vermieden
werden.
Zwischen dem Exergieverluststrom und dem Strom der dissipierten Energie in rei-
bungsbehafteten Prozessen besteht die Beziehung
dEV = (TU/T) d .
28
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Entsprechend gilt fur die spezifischen Groen bei Bezug auf einen Massenstrom
deV = (TU/T) d .
Dissipation ist also bei tiefen Temperaturen besonders schadlich.
Exergie und Anergie sind extensive Zustandsgroen, fur die Bilanzen aufgestellt werden
konnen. Bei thermodynamischen Berechnungen kann eine Exergiebilanz eine Entropie-
bilanz ersetzen. Fur ein stationares Fliesystem lautet die Exergiebilanz
Ezu= |
Eab
|+
EV mit
EV
0 .
Die zugefuhrten Exergiestrome Ezufinden sie sich in den abflieenden Stromen Eabwie-der, soweit sie nicht durch den Verlust EV aufgezehrt werden.
Zur Auswertung einer Exergiebilanz mussen die Exergieanteile der an einem Prozess
beteiligten Energien bekannt sein. Hierfur gilt:
1. Mechanische und elektrische Energie bestehen als entropiefreie Energieformen aus
reiner Exergie, d.h. ihr Anergieanteil ist null.
2. Thermische Energieformen wie Warme, innere Energie und Enthalpie, die stets
entropiebeladen sind, haben einen von null verschiedenen Anergieanteil. Das ist
der Teil der Energie, die bei der Umwandlung in mechanische Energieformen zum
Abfuhren der Entropie in die Umgebung flieen muss. Bei der Temperatur TU,
dem Druck pU und der Zusammensetzung der Umgebung bestehen thermische
Energieformen aus reiner Anergie, d.h. ihr Exergieanteil ist null.
Die Exergie eines Warmestroms wird von einer reversiblen Warmekraftmaschine,
siehe Abschnitt 9, als Nutzleistung abgefuhrt und betragt demnach
EQ= (1 TU/Tm) Q .
Dabei ist Tmdie thermodynamische Mitteltemperatur eines bei gleitender Tem-
peratur verfugbaren Warmestroms Q. Mit diesem Mittelwert lasst sich die von
29
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33/64
dem Warmestrom transportierte Entropie in einfacher Weise darstellen
SQ = dQT
= Q/Tm .
Wird der Warmestrom in einem reibungsfreien, stationaren Flieprozess von ei-
nem Fluid bei konstantem Druck aufgenommen, ist die MitteltemperaturTm aus
den Anderungen h2 h1 unds2 s1 der spezifischen Enthalpie und Entropie desFluids zu berechnen
Tm= (h2 h1)/(s2 s1) .
Die Exergie eines Warmestroms erscheint im T, SQ-Diagramm als Flache oberhalb
der Isothermen der Umgebungstemperatur.
T
SQ
TU
.
1
2
Die spezifische Exergie der Enthalpie eines Stoffstroms ist die maximale spezifi-
sche Nutzarbeit, die sich bei Herstellung des Gleichgewichts mit der Umgebung
gewinnen lasst und betragt
e= h hU TU(s sU)
Dabei sind h und s die spezifische Enthalpie und Entropie des vorgelegten Stoff-
stroms, wahrend hU und sU die Werte im Gleichgewicht mit der Umgebung bei
der Temperatur TU und dem DruckpU bedeuten.
30
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Die Exergie der Enthalpie lasst sich imh, s-Diagramm als vertikaler Abstand von
der Umgebungsgeraden veranschaulichen. Diese ist die Tangente an die Isobare
des Umgebungsdrucks im Umgebungszustand U.
h
s
hU
sU
U
pU
e
Umgebungsgerade
(s,h)
8 Adiabate Stromungs- und Arbeitsprozesse, Warmeubertra-
ger
In Drosselorganen, Dusen und Diffusoren finden adiabate Stromungsprozesse statt.
Ein bewegtes Fluid durchlauft dabei eine Zustandsanderung langs der Achse eines
Stromungskanals.Uber die Wande dieses Kontrollraums werden weder Warme (q= 0)
noch technische Arbeit (wt = 0) ubertragen. Die Stromung wird als stationar voraus-
gesetzt und Anderungen der spezifischen potentiellen Energie werden vernachlassigt.
Aus der Massenbilanz des Kontrollraums folgt die Kontinuitatsgleichung
m= w A= 1 w1 A1 = 2 w2 A2= const ,
d.h. der Massenstrom, zu berechnen als Produkt der Dichte , der querschnittsgemit-
telten Geschwindigkeit w und des Kanalquerschnitts A ist langs des Stromungswegs
zwischen den Querschnitten 1 und 2 konstant. Entsprechend verlangt die Energiebilanz
die Konstanz der spezifischen Totalenthalpie
h+
=h+
1 =h+
2 = const ,
31
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die als Summe der spezifischen Enthalpie und spezifischen kinetischen Energie des
Fluids erklart ist:
h+ :=h + w2/2 .
Die Entropiebilanz schliet die Abnahme der spezifischen Entropie des Fluids in Stromungs-
richtung aus
s2 s1= (sirr)12 0 .
Die Arbeitsgleichung verknupft Druck- und Geschwindigkeitsanderungen langs des
Stromungswegs:
21
v dp+ (w22 w21)/2 + 12= 0 mit 12 =2
1
Tdsirr 0 .
Bei der adiabaten Drosselung wird durch Reibung an Stromungshindernissen der Druck
bewusst herabgesetzt. Dies ist prinzipiell irreversibel. Eine Anderung von Geschwin-
digkeit und kinetischer Energie ist nicht beabsichtigt. Sollte dieser Effekt als Folge
der Druckabsenkung eintreten, ist er in den meisten Fallen vernachlassigbar. Aus der
Energiebilanz folgt damit fur die adiabate Drosselung die Konstanz der spezifischen
Enthalpieh1 = h2. Hieraus ergeben sich mit Hilfe von Zustandsgleichungen alle weite-
ren Zustandsgroen im Austrittsquerschnitt.
In einer adiabaten Duse soll eine Stromung beschleunigt werden. Der Energiebilanz
entsprechend wird dabei Enthalpie in kinetische Energie umgewandelt, was nach der
Arbeitsgleichung ein Druckgefalle in Stromungsrichtung erfordert. Durch Dissipation
steigt die spezifische Entropie des Fluids beim Durchlaufen der Duse an.
Die Gute einer Duse wird bei gegebenem Anfangszustand 1 und Enddruckp2durch den
isentropen StromungswirkungsgradsSbeschrieben. Dieser vergleicht die im Austritts-
querschnitt 2 erreichte kinetische Energie mit dem moglichen Bestwert im Endzustand
2* der reversibel adiabaten (isentropen) Expansion
sS:= w22/2
(w22/2)rev=
w21/2 (h2 h1)w21/2 hs
.
32
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Dabei ist hs=h(s1, p2) h(s1, p1)< 0 die isentrope Enthalpiedifferenz.
h
s
p1 p2h1 h2=
+ +
w /212
|hs|
w /222
1
2
2*
(w /2)2* rev2
s1 s2
Der Endzustand 2 einer Dusenstromung lasst sich in folgenden Schritten berechnen:
1. Aufstellen der Energiebilanz
2. Ersetzen der Enthalpiedifferenz h2 h1 durch die isentrope Enthalpiedifferenzhs mit Hilfe des Wirkungsgrades
3. Bestimmen von hs, gegebenenfalls mit einer Isentropengleichung.
Die Kontur einer Duse ist nach der Kontinuitatsgleichung im quasi inkompressiblen
Unterschallbereich konvergent, weil bei = const. ein Geschwindigkeitszuwachs eine
Abnahme des StromungsquerschnittesA erfordert. ImUberschallbereich dominiert da-
gegen der Einfluss der mit dem Druck abnehmenden Dichte, so dass trotz Geschwindig-keitszunahme der Querschnitt in Stromungsrichtung zunehmen, d.h. die Duse erweitert
werden muss. Im engsten Querschnitt wird die ortliche Schallgeschwindigkeit erreicht.
In einem adiabaten Diffusor soll der Druck durch Verzogerung einer Stromung erhoht
werden. Letzteres ist nach der Energiebilanz notwendig mit einem Anstieg der Ent-
halpie verbunden. Die Arbeitsgleichung zeigt jedoch, dass ein Druckanstieg in einer
verzogerten Stromung nur bei hinreichend kleiner Dissipation moglich ist.
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h
s
p2 p1
h1 h2=+ +
w /212
hs
w /222
1
2
2*
(w /2)2* rev2
s1 s2
Ein Diffusor wird bei gegebenem Anfangszustand und Enddruck durch den isentropen
Diffusorwirkungsgrad sD bewertet. Er setzt den Mindestaufwand an kinetischer Ener-
gie, der bei reversibel adiabater (isentroper) Stromung zum Erreichen des vorgegebenen
Enddrucks im Zustand 2* benotigt wird, ins Verhaltnis zu dem tatsachlichen Aufwand
sD:=
[w21
(w22)rev]/2
(w21 w22)/2 = hs
h2 h1 .Dabei ist hs=h(s1, p2) h(s1, p1)> 0 wieder die isentrope Enthalpiedifferenz.
Die Berechnung des Endzustands einer Diffusorstromung erfolgt wie bei einer Duse. Die
Kontur eines Diffusors ergibt sich aus der einer Duse unter Umkehrung der Stromungs-
richtung: Im Uberschallbereich wird ein konvergenter, im Unterschallbereich ein diver-
genter Querschnittsverlauf benotigt.
Adiabate Arbeitsprozesse laufen in Turbinen und Turboverdichtern ab. Die Warmeuber-
tragunguber die Grenzen des vom Gehause der Maschinen gebildeten Kontrollraums
ist vernachlassigbar (q= 0). Im folgenden wird ein stationarer Betriebszustand voraus-
gesetzt und die meist geringen Anderungen der kinetischen und potentiellen Energie
des Arbeitsfluids beim Durchlaufen der Maschinen bleiben unberucksichtigt.
Die Energie- und Entropiebilanz sowie die Arbeitsgleichung fur die Maschinen lauten:
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wt12 =h2 h1s2
s1 = (sirr)12
0
wt12 12 = 21
v dp mit 12 =21
Tdsirr 0 .
Eine adiabate Turbine hat die Aufgabe, aus einem Fluidstrom technische Arbeit (wt12 >0) zu gewinnen, die nach der Energiebilanz durch einen Abbau von Enthalpie aufge-
bracht wird. Die Arbeitsgleichung zeigt, dass hierzu ein Druckgefalle erforderlich ist. Die
Entropie des Arbeitsfluids kann aufgrund der Entropiebilanz beim Durchgang durch
die Maschine nicht abnehmen.
h
s
p1
p2
|hs| |wt12|
1
2
2*
|(w )t12* rev|
s1 s2
m
.
m.
wt12 < 0
q = 012
1
2
Eine obere Schranke fur die spezifische Nutzarbeit (wt12) ergibt sich nach der Ar-beitsgleichung fur den reversibel adiabaten (isentropen) Expansionsprozess
(
wt12)
2
1
v(s1, p) dp=
hs .
Hierin ist hs = h(s1, p2) h(s1, p1) < 0 die isentrope Enthalpiedifferenz. Bewertetwird eine adiabate Turbine bei gegebenem Eintrittszustand und Enddruck durch den
isentropen TurbinenwirkungsgradsT. Er vergleicht die gewonnene Nutzarbeit mit dem
Maximalwert bei reversibler Prozessfuhrung, fur die das Arbeitsfluid den Endzustand
2* erreicht:
sT:= wt12(wt12)rev
=h1 h2hs
.
35
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Die Leistung einer adiabaten Turbine berechnet sich zu
P12= m
sT
hs(s1, p1, p2)< 0 .
Ein adiabater Verdichter soll den Druck eines Fluidstroms erhohen. Nach der Arbeits-
gleichung muss hierzu technische Arbeit zugefuhrt werden, die sich in einer Erhohung
der spezifischen Enthalpie wiederfindet. Die Entropie des Fluids kann beim Durchgang
durch den Verdichter nicht abnehmen.
h
s
p2
p1
hswt12
1
22*
(w )t12* rev
s1
m.
m.
wt12 > 0
q = 0121
2
Eine untere Schranke fur die spezifische Antriebsarbeit liefert die Arbeitsgleichung fur
den Fall der reversibel adiabaten (isentropen) Verdichtung
wt122
1
v(s1, p) dp= hs .
Dabei ist hs = h(s1, p2)h(s1, p1)> 0 wieder die isentrope Enthalpiedifferenz. Da dasspezifische Volumen mit wachsender Temperatur steigt, l
asst sich die Schranke durch
Verdichtung bei moglichst niedriger Temperatur herabsetzen.
Die Gute eines Verdichters wird bei gegebenem Anfangszustand und Enddruck mit
dem isentropen Verdichterwirkungsgrad sV beschrieben. Dieser vergleicht die Minde-
stantriebsarbeit, die bei reversibler Prozessfuhrung zum Erreichen des Drucks p2 im
Zustand 2* erforderlich ist, mit dem tatsachlichen Aufwand:
sV
:=(wt12)rev
wt12=
hs
h2 h1.
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Fur die Antriebsleistung eines adiabaten Verdichters erhalt man
P12=m
sVhs(s1, p1, p2) .
Der Mindestwert der Verdichterleistung lasst sich senken, indem die adiabate Verdich-
tung bei einem Druck p zwischen Anfangs- und Enddruck unterbrochen wird, um das
Arbeitsfluid isobar zu kuhlen, und zwar moglichst auf die Anfangstemperatur T1. Das
p, v-Diagramm zeigt als schraffierte Flache die Arbeitsersparnis (wt)rev:
p
v
m.
b
2
m.
1
a
p,T1
p,Ta
T1= const
sb= const
s1= const
ab
1
2
p1
p
p2
Fur ein ideales Gas mit ciGp = const. erhalt man fur den Zwischendruck p, der auf
gleiche Stufenverhaltnisse fuhrt,
p
/p1 =p2/p
,
den kleinsten Wert der Mindestantriebsarbeit (wt)revbeider Verdichterstufen, wenn die
Ruckkuhlung aufTb= T1 erfolgt.
Warmeubertrager sind Apparate, in denen Warme von einem warmen Fluid A auf ein
kaltes Fluid B ubertragen wird. Behandelt wird die Bauform des Rekuperators, der
von den Fluiden in zwei getrennten Kanalsystemen durchstromt wird. Der Warme-
transport vom heien zum kalten Fluid erfolgt durch eine warmedurchlassige Wand.
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Der Warmeverlust an die Umgebung ist im allgemeinen vernachlassigbar, so dass der
Warmeubertrager als ganzes einen adiabaten Kontrollraum bildet. Prinzipiell ist ein
stationarer Betrieb moglich.
Folgende Schaltzeichen sind gebrauchlich:
A A
B B
A A
B
B
A
A
B
B
Durchgezeichnet wird immer der Stromungsweg des warmeaufnehmenden Fluids.
Im Warmeubertrager konnen die Fluide gleich- oder gegensinnig oder im Kreuzstrom
zueinander gefuhrt werden, wobei die Gegenstromschaltung thermodynamisch am guns-
tigsten ist. Der Vergleich der Temperaturverlaufe uber der Lange von Gleich- und
Gegenstromwarmeubertragern im stationaren Betrieb zeigt, dass der kalte Strom nur
bei Gegenstromschaltung eine Austrittstemperatur B2 erreichen kann, die uber der
Austrittstemperatur A2 des warmen Stroms liegt. Die Bezeichnung folgt dabei dem
Grundsatz, dass eintretende Strome den Index 1 und austretende den Index 2 erhalten.
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0 Lx
0 Lx
A1
B1
A2
B2
Gleichstrom Gegenstrom
B2
A1
B1
A2
Im folgenden wird ein stationarer Gegenstromwarmeubertrager mit vernachlassigbaren
Anderungen der spezifischen kinetischen und potentiellen Energien der Fluidstrome
vorausgesetzt.
B1
A2 A
B
A1
B2
mB.
mA.
mA.
mB.
kalt,
,warmQ.
dQ.TA
TB
adiabat
wrme-
durchlssig
Die Leistungsbilanz fur einen Teilbereich des Warmeubertragers liefert eine Kopplung
der spezifischen EnthalpienhA undhB beider Strome in einem beliebigen Querschnitt:
mA(hA hA2) = mB(hB hB1) .
Dabei wird ein Austauschprozess bezuglich der Enthalpiestrome erkennbar: Die Abnah-
me des einen ist gleich dem Zuwachs des anderen. Die Ausdehnung des Bilanzgebiets
auf den gesamten Warmeubertrager ergibt
mA(hA1 hA2) = mB(hB2 hB1) .
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Der ubertragene Warmestrom Q folgt aus einer Leistungsbilanz fur die B-Seite des
Warmeubertragers
Q= mB(hB2 hB1) = mA(hA1 hA2) .
Die Kopplung der spezifischen Enthalpien hA und hB in einem Querschnitt erlaubt
die Zuordnung der Temperaturen beider Strome zu der spezifischen Enthalpie hB
des warmeaufnehmenden Stroms. Druckverluste in beiden Kanalsystemen werden ver-
nachlassigt.
1. Tritt kein Phasenwechsel ein und gilt cpA
= const. und cpB
= const., folgt mit
den kalorischen Zustandsgleichungen h= cp beider Fluide furp = const. einlinearer Temperaturverlauf= (hB)
A =A2+ mB
mA cpA(hB hB1)
B =B1+hB hB1
cpB.
hB1
A1
B1
A2 B2
hB2
hB
2. Kondensiert der alsuberhitzter Dampf zugefuhrte warme Strom, kann er wahrend
des Phasenwechsels bei gleichbleibender Temperatur Warme abgeben. Ist dabei
jeweils im dampfformigen und flussigen Zustand cpA = const. und weiter cpB =
const., ergibt sich folgender Temperaturverlauf:
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hB1
A1
B1
A2
B2
hB2 hB
min
hB*
B*
A A(p )s
Die kleinste Temperaturdifferenz tritt an der Stelle des Kondensationsbeginns mit
hA = h
A(pA) auf, die als Pinchpoint bezeichnet wird. Die Leistungsbilanz liefert
die zugehorige EnthalpiehBund die kalorische Zustandsgleichung des Fluids B die
TemperaturBam Pinch. Damit erhalt man fur die kleinste Temperaturdifferenz
min=sA(pA) B=sA(pA) [B1+
mAmB cpB
(hA hA)] ,
mit sA(pA) als der Siedetemperatur des Stoffes A beim Druck pA.
3. Siedet der als unterkuhlte Flussigkeit zugefuhrte kalte Strom, nimmt er wahrend
des Phasenwechsels Warme ohne Temperaturerhohung auf. Fur cpA = const.
und cpB = const. im jeweils flussigen und dampfformigen Zustand, erhalt man
folgenden Temperaturverlauf:
hB1
A1
B1
A2
B2
hB2 hB
min
hB
B(p )Bs
A*
Der Pinchpoint liegt hier bei Siedebeginn mit hB = h
B(pB). Fur die kleinste
41
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Temperaturdifferenz ergibt sich mit der Leistungsbilanz und der kalorischen Zu-
standsgleichung fur das Fluid A
min=
A sB(pB) = [A2+ mBmA cpA (h
B hB1)] sB(pB) ,
wobei sB(pB) die Siedetemperatur des Stoffes B beim DruckpB bedeutet.
Der Exergieverluststrom im Warmeubertrager folgt aus einer Entropiebilanz fur das
adiabate Gesamtsystem
EV =TU Sirr = TU[ mA(sA2 sA1) + mB(sB2 sB1)] ,
mit sA und sB als den spezifischen Entropien der beiden Fluide. Mit Exergiebilanzen
fur eine Scheibe des Warmeubertragers und die darin enthaltenen Teilsysteme auf
der warmen und kalten Seite gelingt eine Aufschlusselung nach den physikalischen
Ursachen:
dEV=TU TA TBTA TB
dQ TU
mA vATA
dpA+mB vB
TBdpB
.
Der erste Summand beschreibt den Exergieverluststrom aufgrund des bei endlicher
TemperaturdifferenzTATBder Fluideubertragenen Warmestroms dQ. Dieser Verlustuberwiegt im allgemeinen und ist dann besonders gro, wenn das Temperaturniveau
insgesamt niedrig ist. Der zweite Summand beschreibt den durch die Reibungsdruck-
verluste in den Kanalen dpA < 0 und dpB
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Q > 0.
Tm
T0mQ < 00
.
P < 0WKM
Warmekraftmaschinen sollen aus einem entropiebelade-
nen Antriebswarmestrom Q > 0, der bei der thermo-
dynamischen Mitteltemperatur Tm zugefuhrt wird, eine
entropiefreie mechanische Leistung P >0 gewinnen und
an einen Nutzer abgeben. Zur Definition der thermody-
namischen Mitteltemperatur siehe Abschnitt 7. Der Be-
trieb ist nur moglich, wenn der mit dem Antriebswarme-
strom eingebrachte Entropiestrom zusammen mit dem
Strom Sirr der in der Maschine erzeugten Entropie mit einem Abwarmestrom Q0
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Q < 0.
Tm
T0mQ > 00
.
P > 0WP
Warmepumpen, die zur Heizung dienen, nehmen bei
niedrigem Temperaturniveau T0m, im allgemeinen bei
Umgebungstemperatur T0m = TU, einen Warmestrom
Q0 > 0 auf und wandeln ihn in einen Warmestrom Q TU an einen
Verbraucher abgegeben wird. Dazu benotigen sie eine me-
chanische Antriebsleistung P > 0. Die Leistungs- und
Entropiebilanz lautet wie bei der Warmekraftmaschine
und ergibt als Guteziffer die Leistungszahl
:= QP
=rev
1 T0m SirrP
rev ,
mit rev =Tm/(Tm T0m).
Eine Sonderform der Warmepumpe ist die Kaltemaschine. Warme wird hier nicht aus
der Umgebung, sondern bei einer tiefen Temperatur T0m < TU aus einem Kuhlraum
aufgenommen. Die Warmeabgabe Q
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Kette von Maschinen und Apparaten, in denen ein stationarer Flieprozess ablauft.
Summiert man die Energiebilanzen zwischen den Querschnitten i und k uber alle Tei-
le der Kette auf, ergibt sich eine Gesamtbilanz, in der sich netto Warme und Arbeit
kompensieren
wt+ qzu |qab| = 0 .
Hierin ist wt =
wtik, qzu =
(qik)zu und qab =
(qik)ab. Die spezifischen Groen
bedeuten die auf den Massenstrom bezogenen Energiestrome. In derselben Weise erhalt
man mit =
ik aus der Arbeitsgleichung
wt = v dp ,wobei das Umlaufintegraluber die Folge von Zustandsgleichungen zu erstrecken ist, die
das Arbeitsmittel vom Anfangszustand bis zu dessen Wiederkehr durchlauft. WegenTds=
dh v dp und dh= 0 gilt auch
(wt ) =
Tds .
Imp, v- undT, s-Diagramm bilden die Zustandsanderungen eines Kreisprozesses in sich
geschlossene Linienzuge. Diese werden bei einem Warmekraftmaschinenprozess wegenwt < 0 in beiden Diagrammen im Uhrzeigersinn durchlaufen. Man sagt, der Prozess
ist rechtslaufig. Bei Warmepumpen und Kaltemaschinen mit wt >0 wird dagegen ein
linkslaufiger Prozess benotigt.
p
v
T
s
WKM
WP
WKM
WP
Der Betrag der Flache zwischen den Zustandslinien ist fur die Warmekraftmaschine in
beiden Diagrammen die Summe der spezifischen Nutzarbeit (wt) und der spezifischen
45
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dissipierten Energie des Prozesses. Bei der Warmepumpe und Kaltemaschine ist der
Betrag der Flachen gleich der Summe der zum Antrieb benotigten spezifischen Arbeit
wt und der spezifischen dissipierten Energie .
10 Der Clausius-Rankine Prozess und seine Umkehrung
Ein Beispiel eines Warmekraftmaschinenprozesses ist der Clausius-Rankine Prozess,
der im reversiblen Grenzfall in Dampfkraftanlagen einfachster Ausfuhrung realisiert
ist. Der Prozess besteht aus zwei Isobaren und zwei Isentropen und fuhrt stets durch
das Nassdampfgebiet. Das Arbeitsfluid ist in der Regel Wasser.
Die einfache Dampfkraftanlage besitzt vier Komponenten.
1
0
2
3
Dampfturbine
Kondensator
Dampferzeuger
Speisewasser-
pumpe
P > 001
Q > 012
.
P < 023
Q < 030
.
Die adiabate Speisewasserpumpe mit der Leistungsaufnahme P01 saugt im allgemei-
nen siedendes Kondensat beim Kondensatordruck p0 an und verdichtet es mit dem
isentropen WirkungsgradsV auf den Kesseldruck p. Das Wasser gelangt dann in den
46
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Dampferzeuger, wo es durch Zufuhr des Warmestroms Q12 im wesentlichen isobar auf
Siedetemperatur erwarmt, verdampft unduberhitzt wird. Der Frischdampf expandiert
in der adiabaten Dampfturbine mit dem isentropen Turbinenwirkungsgrad sT unter
Abgabe der Leistung |P23| auf den Kondensatordruck. Im Kondensator wird der Turbi-nenabdampf durch Abgabe des Warmestroms | Q30| an das Kuhlwasser im wesentlichenisobar verflussigt.
Dem generellen Aufbau einer Warmekraftmaschine entsprechend wird der Anlage ein
Antriebswarmestrom Q12 zugefuhrt, und sie gibt eine Nutzleistung
(P) = |P23| P01
sowie einen Abwarmestrom | Q30| ab, wobei der EigenbedarfP01 zum Antrieb der Spei-sewasserpumpe nur etwa 2% der Turbinenleistung ausmacht.
Die Zustandsanderungen des Arbeitsmittels stellen sich im T, s- und h, s-Diagramm
wie folgt dar:
x=1
Kondensatordruck
p0
K
TLSL
T
s
1
TU
x=0
Kesseldruck
p
2
30
1
3
47
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K
TL
SL
h
s
Kondensator-druck p0
Kesseldruckp
x=1
x=00
1 1
2
3 3
|wt23|
Der Turbinenabdampf ist im allgemeinen nasser Dampf mit einem Dampfgehalt x >
0, 9, um Erosion der Turbinenschaufeln durch Tropfenschlag zu vermeiden. Tiefer Kon-
densatordruck erhoht die spezifische Nutzarbeit|wt23| der Dampfturbine. Nach untenist der Kondensatordruckp0 durch die Bedingung beschrankt, dass die Temperatur T0
des kondensierenden Dampfesuber der Temperatur der Umgebung liegen muss, um den
Warmeubergang an das Kuhlwasser zu ermoglichen. Dies erfordert p0 > ps(TU), mitps(TU) als dem Sattigungsdruck des Wassers bei der Temperatur TU, vgl. die Dampf-
druckkurve. Praktisch haben Kondensatoren Drucke einer Groenordnung von 0,05
bar, d.h. im Kondensator herrscht Vakuum.
Der Energieumsatz in den einzelnen Komponenten ergibt sich aus Energiebilanzen fur
die jeweiligen Kontrollraume. Der thermische Wirkungsgrad
th= (wt01+ wt23)/q12der einfachen Dampfkraftanlage folgt daraus mit Werten von 0,3 bis 0,35. Schaltungs-
varianten fuhren zu einer Verbesserung, wobei fur kombinierte Gas-Dampf-Kraftwerke
Werte bis nahe 60% erreicht werden.
In Kaltdampfkompressionswarmepumpen und -kaltemaschinen lauft der Clausius-Rankine
Prozess mit umgekehrten Umlaufsinn ab, wobei die Expansionsmaschine aus Grunden
der Betriebssicherheit durch ein adiabates Drosselventil ersetzt ist.
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Q < 012
.
1
2
3
0
Q > 030
.
P > 001
Kondensator
Verdichter
Verdampfer
Drosselventil
V
R
Als Arbeitsfluide werden Ammoniak oder fluorierte Derivate von Methan und Ethan
verwendet.
Im Verdampfer nimmt das Arbeitsfluid bei tiefem Temperaturniveau in einem im we-
sentlichen isobaren Prozess beim Druck p0 den Warmestrom Q30 auf. Dabei geht das
Arbeitsfluid aus einem Zustand nassen Dampfes in trocken gesattigten Dampf uber.
Dieser wird von dem adiabaten Verdichter mit dem isentropen Verdichterwirkungsgrad
sV angesaugt und auf den Kondensatordruck p verdichtet. Aufgrund der Temperatur-
erhohung wahrend der Verdichtung kann der Dampf bei hoherem Temperaturniveau
Warme abgeben. Dies geschieht im Kondensator, wo der Warmestrom | Q12| ausgekop-
pelt wird. In einem im wesentlichen isobaren Prozess beim Druck p wird der Dampf
dabei in siedende Flussigkeit uberfuhrt. Durch adiabate Drosselung des Kondensats
mit Teilverdampfung sinkt die Temperatur wieder auf das Niveau im Verdampfer, so
dass erneut Warme aufgenommen werden kann.
Die Heizwarmepumpe nimmt den Warmestrom Q30bei Umgebungstemperatur z.B. aus
der Luft auf und gibt den Warmestrom Q12 bei einem durch den Warmeverbraucher
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vorgegebenen Temperaturniveau ab.
x=1
Kondensatordruck
pK
TLSL
T
s
1
TU
x=0
2
3 0
1
Verdampferdruck
p0
Heizwrmepumpe
TR
Um das fur den Warmeubergang in Kondensator und Verdampfer benotigte Tempera-
turgefalle sicherzustellen, mussen die Drucke in beiden Apparaten so gewahlt werden,
dass
p0 < ps(TU) und p > p
s(TR)
gilt, wobeiTRdie Rucklauftemperatur des Warmetragers im Warmeverteilungssystem
bedeutet.
Bei der Kaltemaschine wird der Warmestrom Q30 bei der Temperatur T0 eines Kuhl-
raums aufgenommen und der Warmestrom| Q12| bei der Umgebungstemperatur ab-gefuhrt. Das notige Temperaturgefalle in den warmeubertragenden Apparaten erfordert
fur den Verdampfer- und Kondensatordruck p0 und pdie Bedingung
p0< ps(T0) und p > p
s(TU) .
Die Energieumsatze in den einzelnen Apparaten und Maschinen ergeben sich wieder
aus Energiebilanzen fur die einzelnen Kontrollraume.
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x=1
Kondensatordruck
pK
TLSL
T
s
1
TU
x=0
2
3 0
1
Verdampferdruck
p0
Kltemaschine
T0
Zu beachten ist, dass die Zustandsanderung in dem adiabaten Drosselventil bei kon-
stanter spezifischer Enthalpie
h2 = h3
erfolgt. Aus den Energieumsatzen ergeben sich die Leistungszahlen
=q12
wt01und K=
q30wt01
fur die Warmepumpe und Kaltemaschine.
11 Mengenberechnung fur Verbrennungsprozesse
Verbrennung ist eine Oxidationsreaktion, bei der die chemische Energie eines Brenn-
stoffes in innere Energie eines heien Verbrennungsgases und Asche umgewandelt wird.
Der zur Verbrennung benotigte Sauerstoff wird abgesehen von Sonderfallen wie bei
Geschutzen oder Raketentriebwerken mit Luft zugefuhrt. Viele technische Feuerungen
arbeiten als stationares Fliesystem.
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Feuerung
Luft
Brennstoff
Verbrennungsgas
Asche
Im allgemeinen wird eine vollstandige Verbrennung angestrebt, d.h. der Brennstoff ver-
brennt ohne Rest und die Verbrennungsprodukte erreichen die hochste Oxidationsstufe.
Bei unvollstandiger Verbrennung sind diese Kriterien nicht erfullt. Ein Beispiel ist die
Bildung von Kohlenmonoxid statt CO2 in einigen Betriebszustanden des Ottomotors.
Im weiteren wird vollstandige Verbrennung vorausgesetzt. Dabei werden folgende Re-
aktionen zugrunde gelegt:
C + O2 = CO2
H2+1
2O2= H2O
S + O2 = SO2 .
Unberucksichtigt bleibt die Bildung von Stickoxiden. Als Verbrennungsluft wird ver-einfachend eine trockene Modell-Luft aus Sauerstoff und Pseudostickstoff verwendet.
Die Zusammensetzung nach Stoffmengen- und Massenanteilen betragt
yLO2 = 0,21 LO2
= 0,232
yLN2 = 0,79 LN2
= 0,768.
Die Mengenberechnung soll die zur Verbrennung eines Brennstoffs benotigte Luftmen-
ge sowie die Menge und Zusammensetzung der Verbrennungsprodukte liefern. Ist eine
Brennstoffanalyse nach Substanzen bekannt, lassen sich die Mengenverhaltnisse aus Re-
aktionsgleichungen ablesen und die Rechnung wird auf Stoffmengenbasis durchgefuhrt.
Ist dagegen nur eine Elementaranalyse nach Massenanteilen der im Brennstoff enthal-
tenen chemischen Elemente vorhanden, erfolgt die Rechnung auf Massenbasis.
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A) Brennstoffgemisch chemisch definierter Substanzen
1. Verbrennungsluftmenge
Charakteristisch fur einen Brennstoff ist der molare Mindestsauerstoffbedarf
Omin:=(nO2)min
nB,
wobei (nO2)minden zur vollstandigen Verbrennung des Brennstoffstroms nBmindestens
benotigten Sauerstoffstrom bedeutet. Bei Brennstoffgemischen setzt sich der molare
Mindestsauerstoffbedarf aus Beitragen der Komponenten zusammen
Omin
= j
yBj
Omin,j
.
Hierin ist yBj der Stoffmengenanteil der brennbaren Komponente j im Brennstoff und
Omin,j der molare Mindestsauerstoffbedarf zur vollstandigen Verbrennung der reinen
Komponente j . Die Groe Omin,j lasst sich als Verhaltnis der stochiometrischen Zahlen
des Sauerstoffs und der Brennstoffkomponente j in der Gleichung fur die Oxidations-
reaktion ablesen. Beispielsweise folgt aus
CH3OH +3
2
O2= CO2+ 2H2O
das Verhaltnis
Omin,CH3OH=3
2
kmolO2kmol CH3OH
.
Alternativ kann Omin,jnach einer Formel bestimmt werden, die sich unter Berucksichti-
gung des Sauerstoffgehalts des Brennstoffs aus dem Sauerstoffbedarf zur Verbrennung
der Elemente Kohlenstoff, Wasserstoff und Schwefel im Brennstoff ergibt:
Omin,j =AC,j+1
4AH,j+ AS,j 1
2AO,j.
Dabei bedeuten dieAi,j die Zahl der Atome des Elements i je Molekul der Brennstoff-
komponente j und sind aus der chemischen Formel direkt zu entnehmen.
Aus dem molaren Mindestsauerstoffbedarf Omin eines Brennstoffs ergibt sich mit dem
Stoffmengenanteil yLO2 des Sauerstoffs in der Verbrennungsluft der molare Mindestluft-
bedarf
Lmin:=(nL)min
nB=
Omin
yLO2.
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Dabei ist (nL)min der zur vollstandigen Verbrennung mindestens benotigte Luftstrom.
Technischen Feuerungen wird im allgemeinen ein Luftstrom nL > (nL)min zugefuhrt.
Dieses mehr an Luft wird durch das Luftverhaltnis
= nL
(nL)min
beschrieben, das im Gegensatz zum Mindestluftbedarf ein einstellbarer Betriebspara-
meter ist. Sollen allein Inhomogenitaten des Brennstoff-Luft-Gemisches kompensiert
werden, wird 1, 1 gewahlt. Zum wirksamen Senken der adiabaten Verbrennung-
stemperatur, s.u., werden dagegen groe Werte = 3 5 benotigt.
Mit dem tatsachlich zugefuhrten Luftstrom nL und Luftverhaltnis ergibt sich das
molare Brennstoff-Luft-Verhaltnis zu
L=nLnB
= Lmin .
2. Menge und Zusammensetzung des Verbrennungsgases
Das Verbrennungsgas enthalt bei vollstandiger Verbrennung die funf Komponenten
CO2, H2O, SO2, N2und O2. Die CO2, H2O und SO2-Mengen setzen sich zusammen aus
einem bei der Verbrennung entstandenen und einem vom Brennstoff mitgefuhrten An-
teil. Zur N2-Menge im Verbrennungsgas tragen Verbrennungsluft und Brennstoff bei.
Die O2-Menge stammt aus der uberschussigen Verbrennungsluft. Gebundener Stick-
stoff und ungebundener Sauerstoff im Brennstoff werden ausgeschlossen. Bilanzen fur
die Elemente C, H, S, N, und O ergeben fur die Verbrennungsgasmengen nVj, bezogen
auf den Brennstoffstrom nB:
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NCO2 :=nVCO2
nB=
jyBj AC,j+ y
BCO2
NH2O :=nVH2O
nB=j
yBjAH,j
2 + yBH2O
NSO2 := nVSO2
nB=j
yBj AS,j+ yBSO2
NN2 := nVN2
nB= yLN2 Lmin+ y
BN2
NO2 :=
nVO2nB = y
LO2( 1) Lmin .
Summiert wirduber alle brennbaren Komponenten j mit den Stoffmengenanteilen yBj
des Brennstoffs. Die Molanteile yBCO2, yBH2O
, yBSO2 und yBN2
beziehen sich auf die iner-
ten Bestandteile CO2, H2O, SO2 und N2 des Brennstoffs. Mit yLN2
und yLO2 sind die
Stoffmengenanteile von Stickstoff und Sauerstoff in der Verbrennungsluft bezeichnet.
Aus den bezogenen Mengen der einzelnen Verbrennungsgase folgt die gesamte, auf den
Brennstoffstrom nB bezogene Verbrennungsgasmenge
NV :=j
nVj/nB=NCO2+ NH2O+ NSO2+ NN2+ NO2.
Hieraus ergeben sich die Stoffmengenanteile der einzelnen Komponentenj im Verbren-
nungsgas zu
yVj =Nj/NV .
B) Brennstoffgemisch chemisch undefinierter Substanzen
Bekannt ist die Elementaranalyse, d.h. der Massenanteilc,h,s,o,n,wund ader chemi-
schen Elemente und ihrer Vertreter C, H2, S, O2 und N2 sowie von Wasser und Asche
im Brennstoff. Dabei gilt die Schliebedingung
c + h + s + o + n + w+ a= 1 .
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1. Verbrennungsluftmenge
Kennzeichnend fur einen Brennstoff ist der spezifische Mindestsauerstoffbedarf
omin:=( mO2)min
mB.
Dabei bedeutet ( mO2)min den zur vollstandigen Verbrennung des Brennstoffmassen-
stroms mB mindestens erforderlichen Sauerstoffmassenstrom. Der spezifische Sauer-
stoffbedarf ergibt sich aus Beitragen der einzelnen Bestandteile der Elementaranalyse
omin=j
Bj omin,j o ,
mit Bj als dem Massenanteil und omin,jals dem spezifischen Mindestsauerstoffbedarf
zur vollstandigen Verbrennung des brennbaren Bestandteils j der Elementaranalyse.
Der letzte Term berucksichtigt den Eigenbeitrag des Brennstoffs zum Sauerstoffbedarf.
Dabei gilt
omin,j = MO2
MjOmin,j,
wobei Mj die molare Masse des brennbaren Bestandteils j und Omin,jseinen molaren
Mindestsauerstoffbedarf bezeichnet. Mit der bekannten rechten Seite folgt
omin= 2, 664 c + 7, 937 h + 0, 998 s o .
Hieraus ergibt sich mit dem Massenanteil LO2 des Sauerstoffs in der Verbrennungsluft
ein spezifischer Mindestluftbedarf
lmin:=( mL)min
mB=
ominLO2
.
Dabei ist ( mL)min der zur vollstandigen Verbrennung mindestens erforderliche Luft-
massenstrom.
Praktisch wird die Feuerung mit der spezifischen Luftmenge
l:=mL
mB
=
lmin
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betrieben, wobei ein Luftmassenstrom mL > ( mL)min bei einem Luftverhaltnis > 1
zugefuhrt wird.
2. Menge und Zusammensetzung des Verbrennungsgases.
Mengenbilanzen fur die Elemente und ihre Vertreter C, H2, S, O2 und N2 liefern Ver-
brennungsgasmassenstrome mVj der Komponenten CO2, H2O, SO2, N2und O2, bezogen
auf den Brennstoffmassenstrom. Als bekannt vorausgesetzt werden die molaren Mas-
sen der brennbaren Elemente und ihrer Oxidationsprodukte sowie die stochiometrischen
Zahlen in den Oxidationsreaktionen. Es folgt
mCO2:=mV
CO2mB
= 3, 664 c
mH2O:=mVH2O
mB= 8, 937 h + w
mSO2 :=mVSO2
mB= 1, 998 s
mN2 :=mVN2mB
=LN2 lmin+ n
mO2 :=mVO2mB
=LO2( 1) lmin .
Dabei sindLN2 undLO2
die Massenanteile von Stickstoff und Sauerstoff in der Verbren-
nungsluft.
Die gesamte auf den Brennstoffmassenstrom mB bezogene Verbrennungsgasmenge be-
tragt
mV =j
mj =m
CO2+ mH2O+ m
SO2+ mN2+ m
O2.
Daraus ergibt sich die Zusammensetzung des Verbrennungsgases nach Massenanteilen
Vj =m
j/m
V .
Das Ergebnis der Rechnung muss die Massenbilanz der Feuerung, bezogen auf den
Brennstoffmassenstrom, erfullen
1 + lmin= m
V+ a .
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12 Leistungsbilanz von Verbrennungsprozessen
Verbrennungsprozesse konnen grundsatzlich in geschlossenen oder offenen Systemenablaufen, und vor dem Aufstellen einer Energie- oder Leistungsbilanz ist die Frage
nach dem Systemtyp zu klaren. Fur das folgende wird ein stationares Fliesystem vor-
ausgesetzt. Zugefuhrt wird ein Brennstoffmassenstrom mB bei der Temperatur Bund
ein Luftmassenstrom bei der TemperaturL. Unter Vernachlassigung der Aschebildung
entsteht daraus ein Massenstrom mV an Verbrennungsgas, der die Feuerung mit der
TemperaturV verlasst.
Feuerung
mB B,.
mL L,.
mV V,.
Q < 0.
P < 0
Alle gasformigen Strome sollen dem Stoffmodell des idealen Gasgemisches genugen. Bei
festen und flussigen Brennstoffen wird die Druckabhangigkeit der spezifischen Enthalpie
vernachlassigt. Damit werden die spezifischen EnthalpienhB,hLundhVvon Brennstoff,
Luft und Verbrennungsgas allein Funktionen der Temperatur. Kann man Anderungen
der kinetischen und potentiellen Energie auer acht lassen, lautet die Leistungsbilanz
P+ Q= mVhV(V) mLhL(L) mBhB(B)Bei Verbrennungsmotoren ist dieubertragene mechanische Leistung Pwesentlich, wahrend
bei vielen anderen Anwendungen nur ein Warmestrom Q < 0 an die Umgebung ab-
gefuhrt wird.
Da sich bei der Verbrennung die chemische Natur der beteiligten Stoffe andert, heben
sich aus der Leistungsbilanz die Enthalpiekonstanten nicht heraus. Die Leistungsbilanz
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wird daher so umgeschrieben, dass Enthalpiedifferenzen derselben Stoffe bei unter-
schiedlichen Temperaturen und eine Enthalpiedifferenz unterschiedlicher Stoffe einer
frei wahlbaren Bezugstemperatur 0 in Form des spezifischen Heizwertes HU(0) er-
scheinen
P+ Q=
mB {mV[hV(V) hV(0)] lmin[hL(L) hL(0)] [hB(B) hB(0)] HU(0)}
Die spezifische Verbrennungsgasmenge mV mit den Massenanteilen Vj der Kompo-
nenten und der spezifische Mindestluftbedarf lmin folgen aus der Mengenberechnung
der mit dem Luftverhaltnis betriebenen Feuerung. Die Enthalpiedifferenzen in deneckigen Klammern sind nach dem Modell der idealen Gasmischung unter Benutzung
mittlerer isobarer spezifischer Warmekapazitaten ciGMp () zu bestimmen. Der spezifi-
sche Heizwert ist die Differenz der Enthalpien von Brennstoff und Luft einerseits und
den Verbrennungsprodukten andererseits, genommen bei derselben Temperatur und
bezogen auf die Masse des Brennstoffs
Hu(0) =hB(0) + lminhL(0) mVhV(0) . (1)
Er ist eine experimentell zu ermittelnde Groe. Wie die Leistungsbilanz einer gekuhl-
ten Feuerung mit P= 0 zeigt, ist der Heizwert als Nutzwarmestrom bezogen auf den
Brennstoffmassenstrom ( Q/mB) messbar, wenn Brennstoff und Luft bei der Bezug-stemperatur0zugefuhrt werden und das Verbrennungsgas mit der Temperatur0die
Feuerung verlasst.
Der spezifische Heizwert ist eine Brennstoffeigenschaft und nicht vom Luftverhaltnis
abhangig. Denn der Beitrag deruberschussigen Luft, die sich im Verbrennungsgas wie-
derfindet, hebt sich bei der Differenzbildung heraus. Da auch der Luftstickstoff inert ist,
kann der spezifische Heizwert als negative spezifische Reaktion