Kapitel 18
Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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AR(1)-Modell: Schätzer für
Für das AR(1)-Modell Yt = Yt-1+ut gelte: || < 1, ut ist Weißes
Rauschen
OLS-Schätzer:
Aus Yt = iiut-i sieht man, dass der Erwartungswert von tYt-iut nicht den Wert Null hat:
Der OLS-Schätzer für ist nicht erwartungstreu!
Es lässt sich zeigen: der OLS-Schätzer für ist konsistent Ist asymptotisch normalverteilt
t t
t tt
t t
t tt
Y
uY
Y
YY21
1
21
1ˆ
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Schätzverfahren für dynamische ModelleThemen sind das Schätzen der Parameter folgender Modelle: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen ADL-Modell Modell mit Koyck‘scher Lagstruktur
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DL(s)-Modell
Probleme beim Schätzen der Koeffizienten des Modells
Yt = + 0Xt + … + sXt-s + ut
sind: „Verlust von Beobachtungen“: es stehen nur n - s Beobachtungen
zur Verfügung Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt
Zusätzliches Problem kann sein: korrelierte Störgrößen, z.B. AR(1)-Prozess
ut = ut-1+ t mit Weißem Rauschen (Varianz 2)
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DL(s)-Modell mit korrelierten StörgrößenModell:
Yt = + 0Xt + … + sXt-s + ut
mit ut = ut-1+ t (: Weißes Rauschen)
Alternative Darstellungen (mit Störgrößen ) ADL-Form
Yt = + Yt-1 + 0Xt + … + s+1Xt-s-1 + t
mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, …, s+1 = – s
ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen:
Y*t = + 0X*t + … + sX*t-s + t
mit Y*t = Yt – Yt-1, X*t = Xt – Xt-1
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Beispiel: DL(1)-Modell mit korrelierten StörgrößenModell
Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + ut
mit Störgrößen ut = ut-1+ t (: Weißes Rauschen) ADL(1,2)-Form:
Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + 2Xt-2 + t
mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, 2 = – 1
ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen:
Y*t = + 0X*t + 1X*t-1 + t
mit Y*t = Yt – Yt-1, X*t = Xt – Xt-1
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Beispiel: Konsumfunktion
Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2)
In logarithmierten Differenzen:
Ĉ = 0.009 + 0.621Y
mit t(Y) = 5.94, adj.R2 = 0.326; r = 0.344
ADL(1,1)-Form:
Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1
mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024
Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.344C-1, Y* = …):
Ĉ* = 0.006 + 0.651Y*
mit t(Y*) = 5.42, adj.R2 = 0.288; r = 0.051
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DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: SchätzerEigenschaften der OLS-Schätzer: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen:
erwartungstreu und konsistent nicht effizient; verzerrte Schätzer der Standardfehler
(unterschätzt, wenn > 0) ADL-Form:
Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung, verzerrte, aber konsistente Schätzer
nicht-lineare Normalgleichungen ADL-Form, Quasi-Differenzen-Form:
Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung nicht-lineare Normalgleichungen
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Schätzen der ADL-Form
Yt = + Yt-1 + 0Xt + … + s+1Xt-s-1 + t
Konsequenzen des Summenden Yt-1: OLS-Schätzer sind verzerrt (siehe oben)
Alternative: Instrumentvariablen-Schätzung konsistent von der Wahl der Instrumente abhängig
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Beispiel: DL(0)-Modell
Modell:
Yt = + Xt + ut
mit ut = ut-1+ t (Weißes Rauschen)
ADL(1,1)-Modell:
Yt = + Yt-1 + Xt + 1Xt-1 + t
mit = (1 – ), 1 = -
IV-Schätzung
1. Hilfsvariable:
Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + …
Ordnung der Lagstruktur: z.B. AIC
2. Ersetzen von Yt-1 im ADL(1,1)-Modell durch Ŷt-1 und OLS-Anpassung
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Schätzen der Quasi-Differenzen-FormModell:
Y*t = + 0X*t + 1X*t-1 + t
mit Y*t = Yt – Yt-1, X*t = Xt – Xt-1
Berechnung der Quasi-Differenzen: Voraussetzung ist ein Schätzer für
Zweistufiges Verfahren (vergl. Cochrane-Orcutt-Schätzer, FGLS-Schätzung)
1. OLS-Schätzer für , Berechnung der Quasi-Differenzen
2. OLS-Schätzer der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form
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Beispiel: DL(1)-Modell
Modell:
Yt = + Xt + Xt-1 + ut
mit ut = ut-1+ t (Weißes Rauschen)
Cochrane-Orcutt-Schätzer:
1. OLS-Schätzer a, b0, b1 (unter Annahme, dass = 0); Berechnung der Residuen et = Yt – (a + b0Xt + b1Xt-1) und
Berechnung der Quasi-Differenzen Y*t = Yt – rYt-1, Xt* = …
2. OLS-Schätzung der Koeffizienten aus
Y*t = + X*t + X*t-1 + t
n
t t
n
t tt
e
eer
2
21
2 1
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Schätzen von
Residuen zum Berechnen der Schätzfunktion
OLS-Residuen IV-Residuenr ist konsistenter Schätzer
Iteratives Berechnen: 1. Schätzung der Koeffizienten unter der Annahme = 0,
Berechnen von r(1) und der Quasi-Differenzen2. Schätzung der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form,
Berechnen von r(2) und verbesserter Quasi-Differenzen 3. Wiederholung, bis Abbruchkriterium erfüllt ist
n
t t
n
t tt
e
eer
2
21
2 1
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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ADL-Modell: korrelierte StörgrößenADL(1,1)-Modell
Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + ut
mit ut = ut-1 + t
Verallgemeinerung der ADL-Form eines DL-Modells mit korrelierten Störgrößen; schwächere Eigenschaften (z.B.: Schätzer r für ist nicht konsistent)
Schätzverfahren:
1. IV-Schätzung
2. FGLS-Schätzung
3. Direktes Schätzung (nicht-lineare Optimierung)
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Konsumfunktion, Forts.
ADL(1,1)-Form:
Ĉ = 0.004 + 0.345C-1 + 0.622Y – 0.131Y-1
mit t(C-1) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y-1) = -0.87, adj.R2 = 0.386; r = 0.024
Bei korrelierten Störgrößen: Schätzer sind verzerrt und nicht konsistent!
Hilfsvariable: CIV = 0.008 + 0.545Y + 0.127Y-1
IV-Schätzung
Ĉ = – 0.011 + 2.149CIV-1 + 0.504Y – 1.197Y-1
mit t(C IV0-1) = 2.11, t(Y) = 3.79, t(Y-1) = -1.88, adj.R2 = 0.342
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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IV-Schätzung
ADL(1,1)-Modell
Yt = + Yt-1 + 0Xt + 1Xt-1 + ut
mit ut = ut-1 + t ( Weißes Rauschen)
Instrumente: X-j, j > 1
Verfahrens-Schritte:
1. Bestimmen der Hilfsvariablen
Ŷt = c0 + c1Xt-1 + c2Xt-2 + …
mit geeigneter Ordnung der Lagstruktur
2. Ersetzen von Yt-1 durch Ŷt-1; OLS-Anpassung
IV-Schätzer sind nicht erwartungstreu, aber konsistent; auch asymptotisch nicht effizient
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
DL(1)-Modell:
Ĉ = 0.007 + 0.545Y + 0.127Y-1
mit t(Y) = 4.07, t(Y-1) = 0.97, adj.R2 = 0.316; r = 0.276
FGLS-Schätzung:
Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.276C-1, Y* = …):
Ĉ* = 0.006 + 0.634Y* + 0.020Y*-1
mit t(Y*) = 5.08, t(Y*-1) = 0.16, adj.R2 = 0.282
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Nicht-lineare OLS-Schätzung
ADL(1,0)-Modell
Yt = Yt-1 + Xt + ut
mit ut = ut-1 + t
Einsetzen liefert
Yt = ()Yt-1 – Yt-2 + Xt – Xt-1 + t
Gauß-Newton Algorithmus: Minimiert die Summe der quadrierten Residuen
1. Wahl von Startwerten für , , 2. Iteration von (a) Berechnen der Residuen, (b) Berechnen der
Korrekturen aus Regressionen der Anstiege, (c) Korrektur der Parameter
3. Wiederholen von 2., bis Korrekturen sehr klein
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Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der ParameterDL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells
Yt = + iiXt-i + ut
Schätz-Problem: Historische Werte X0, X-1, X-2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist
Yt = (1-)(Xt + Xt-1 + … + t-1X1 + *t + ut
mit * = (1-)(X0 + X-1 + … ) als weiterem Parameter (siehe unten)
AR (autoregressive)-Form
Yt = + Yt-1 + Xt + vt
mit vt = ut – ut-1: ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen Schätz-Problem: nicht-lineare Normalgleichungen (Gauss-Newton)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Koyck‘sche Lagstruktur: Schätzen der DL-Form Yt = + iiXt-i + ut
Näherungsweise äquivalentes Modell ist
Yt = (1-)(Xt + Xt-1 + … + t-1X1 + *t + ut
= + 0Wt + *t + ut
mit
0 = (1-)
* = (1-)(X0 + X-1 + … )
Wt = Xt + Xt-1 + … + t-1X1
Nicht-lineares Schätzproblem!
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Nicht-lineare OLS-Schätzung
Iteratives Verfahren:
1. Wahl von drei Werten von ; für jedes : Berechnen von Wt = Xt + Xt-1 + … + t-1X1 und t
OLS-Anpassung liefert Schätzer für , 0, * Berechnen der Summe der quadrierten Residuen
2. Ausscheiden des mit größter Summe der quadrierten Residuen; neues : Mittelwert der anderen beiden , Wiederholen des Schrittes 1.
3. Abbruch, wenn mit kleinster Summe der quadrierten Residuen gefunden
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Tests auf Autokorrelation
Sind allgemeiner Hinweis auf Missspezifikation
Durbin-Watson-Test hat reduzierte Macht bei autoregressivem Modell
Tests auf Autokorrelation bei autoregressiven Modellen: Durbin‘s h LM-Test von Breusch-Godfrey andere
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Durbin‘s h
ADL(1,0)-Modell
Yt = Yt-1 + 0Xt + ut
mit ut = ut-1 + t (: Weißes Rauschen)
Nullhypothese H0: = 0
d: Durbin-Watson-Statistik
Unter H0: h ~ N(0,1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)
}ˆ{1)5.01( nVarndh
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Breusch-Godfrey-Test
ADL(1,0)-Modell
Yt = Yt-1 + 0Xt + ut
mit ut = ut-1 + t (: Weißes Rauschen)
Nullhypothese H0: = 0
1. Regression der OLS-Residuen et auf Yt-1, Xt und et-1; Re2
2. Teststatistik LM(A) = n Re2
Unter H0: LM(A) ~ (1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)