Leistungsmessung
bei schriftlichen mathematischen Probleml�osungen
in Abh�angigkeit vom Bewertungsmodell
Vom Institut f�ur Mathematik
der Fakult�at � � Naturwissenschaften
der Gerhard�Mercator�Universit�at Duisburg
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Dr� paed�
genehmigte Dissertation
von
Birte Hagemann
ausM�ulheim an der Ruhr
Referent� Prof� Dr� G�unter T�orner
Korreferent� Prof� Dr� Manfred Leppig
Tag der m�undlichen Pr�ufung� ����������
Inhalt
� �Uberblick �
� Probleme und Aufgaben� Probleml�osen �
��� Der Problembegri� im umgangssprachlichen Verst�andnis � � � �
��� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus der Sicht der Psychologie
����� Probleme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Die Begri�e Lernen� Denken und Probleml�osen aus der Sicht
der Psychologie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Lernen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Denken � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������� Gerichtetes und ungerichtetes Denken � � � � ��
������� Produktives und reproduktives Denken � � � � ��
������� Konvergentes und divergentes Denken � � � � ��
����� Probleml�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Die Begri�e Kreativit�at und Flexibilit�at � � � � � � � � � � � � ��
����� Kreativit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Kreativit�at als Eigenschaft des Produkts � � � �
������� Kreativit�at als Eigenschaft des Individuums � �
������� Kreativit�at als Proze � � � � � � � � � � � � � ��
i
INHALT ii
����� Flexibilit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus der Sicht der Mathe�
matik�Didaktik � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Probleme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Klassi�zierungen von Problemen � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Klassi�zierung �uber Barrieren � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Interpolationsbarriere � � � � � � � � � � � � � ��
������ Synthesebarriere � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Dialektische Barriere � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Zusammenfassung und Erweiterung der Bar�
riere�Typen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Klassi�zierung hinsichtlich der O�en� bzw� Geschlos�
senheit der Zust�ande � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Klassi�zierung hinsichtlich der involvierten Denkprozesse ��
���� Klassi�zierung mathematischer Probleme � eine M�og�
lichkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������ �Ubungsaufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � �
������ Translationsprobleme � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Proze probleme � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Angewandte Probleme � � � � � � � � � � � � � ��
������ Puzzle�Probleme � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Modelle f�ur das L�osen mathematischer Probleme � � � � � � � � ��
����� Vier�Phasen�Modelle � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Das Modell von Polya � � � � � � � � � � � � � �
������� Das Modell von Lester � � � � � � � � � � � � � ��
����� Drei�Phasen�Modelle � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
INHALT iii
������� Das Modell von Charles und Lester � � � � � � ��
������� Das Modell von Mason � � � � � � � � � � � � � ��
����� Ein graphentheoretischer Ansatz� die Modelle von Kies�
wetter � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Heuristische Prinzipien und Strategien � � � � � � � � � � � � � �
� Mathematikunterricht und Probleml�osen ��
��� Aufgaben des Unterrichtsfachs Mathematik � � � � � � � � � � � ��
����� Vermittlung von Basis�Kenntnissen und �F�ahigkeiten � �
����� Vermittlung von Wissen � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Entfaltung der Pers�onlichkeit� Bereicherung des Lebens ��
��� Probleml�osen als ein Teil des Mathematikunterrichts � � � � � ��
����� Gesellschaftliche Gr�unde � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Motivatorische Gr�unde � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Sonstige Gr�unde � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Methoden zur Leistungsmessung ��
��� Grundlegende Anforderungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Analytische Bewertung mittels vektorieller Skalen � � � � � � � �
����� Zur Entwicklung einer vektoriellen Skala � � � � � � � � ��
����� Vorteile und Nachteile der analytischen Bewertung � � ��
������� Vorteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������� Nachteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Anwendungsm�oglichkeiten und �voraussetzungen � � � � ��
��� Holistische Bewertung mittels linearer Skalen � � � � � � � � � � ��
����� Zur Entwicklung einer linearen Skala � � � � � � � � � � ��
����� Vorteile und Nachteile der holistischen Bewertung � � � �
INHALT iv
������� Vorteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Nachteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Anwendungsm�oglichkeiten und �voraussetzungen � � � � ��
��� Bewertung des Gesamteindrucks � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Vorteile und Nachteile der Bewertung des Gesamtein�
drucks � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������� Vorteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Nachteile � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Anwendungsm�oglichkeiten und �voraussetzungen � � � � �
� Forschungsfragen ��
Die Untersuchung Grundlagen ��
��� Die Problemstellungen und die Arbeitsb�ogen � � � � � � � � � � �
����� Allgemeine Grundlagen � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Der Arbeitsbogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Die Problemstellungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Das Hallo�Problem � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Das Bonbon�Problem � � � � � � � � � � � � � � �
������� Das M�uhle�Problem � � � � � � � � � � � � � �
������� Das W�urfel�Problem � � � � � � � � � � � � � � ��
������� Das Tier�Problem � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Das Quadrate�Problem � � � � � � � � � � � � � ��
��� Die Bewertungsverfahren � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Allgemeine �Uberlegungen � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� �Uberlegungen zu vektoriellen Skalen � � � � � � � � � � � ��
����� �Uberlegungen zu linearen Skalen � � � � � � � � � � � � � �
INHALT v
����� Die Skalen der empirischen Untersuchung � � � � � � � � ��
������� Die vektorielle Skala � � � � � � � � � � � � � � ��
������� Die lineare Skala � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Rahmenbedingungen und Umsetzung ��
�� Die Probleml�osungen� Rahmenbedingungen � � � � � � � � � � � �
���� Die Auswahl geeigneter Schulklassen � � � � � � � � � � ��
���� Die Situation bei der L�osung der Probleme � � � � � � � ��
�� Die Bewertung� Rahmenbedingungen � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Die Umsetzung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Die Umsetzung in den Schulen � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Die Voruntersuchung� zwei Probebewertungen � � � � � ��
���� Die Umsetzung der Bewertung � � � � � � � � � � � � � � �
� Die Auswertung der Daten �Uberblick ��
� Die Auswertung des HalloProblems ��
��� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � �
��� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � �
����� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � �
����� Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � �
����� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � �
��� Eine Zusammenfassung der wichtigsten Auswertungsergebnisse ���
����� Der Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � ���
����� Der Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � ���
����� Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � ���
INHALT vi
� Die Auswertung des BonbonProblems ���
�� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � ���
�� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � ���
���� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � ���
���� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � � ���
�� Eine Zusammenfassung der wichtigsten Auswertungsergebnisse ���
���� Der Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � ���
���� Der Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � ���
���� Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � ���
�� Die Auswertung des M�uhleProblems ��
���� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � ��
���� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � ���
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � ���
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � � ���
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten Auswertungsergebnisse ���
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � ���
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � ���
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � ��
INHALT vii
�� Die Auswertung des W�urfelProblems ���
���� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � ���
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � ���
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � � ���
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten Auswertungsergebnisse ���
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � ���
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � ���
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � ���
�� Die Auswertung des TierProblems ���
���� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � ���
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � ���
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � � ��
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten Auswertungsergebnisse ���
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � ���
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � ���
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � ���
INHALT viii
�� Die Auswertung des QuadrateProblems ���
���� Ein Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungsverfahren � � � � � � � � � ���
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergebnisse � � ���
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten � � � � � � � ���
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten Auswertungsergebnisse ���
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen � � � � � � � ���
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen � � � � � � ���
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsmethoden � � � � � ��
�� Zusammenfassung und Theoriebildung ���
���� Die Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden holistischen
Bewertungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Das mathematische Gebiet � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Die ben�otigten Denkprozesse � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Fazit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Die Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden analytischen
Bewertungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Das mathematische Gebiet � � � � � � � � � � � � � � � � �
�������� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � �
�������� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�������� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � ���
������ Die ben�otigten Denkprozesse � � � � � � � � � � � � � � � ���
INHALT ix
�������� Die Phase Verstehen � � � � � � � � � � � � � � ���
�������� Die Phase L�osen � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�������� Die Phase Beantworten � � � � � � � � � � � � ���
������ Fazit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Die Zusammenfassung der gemittelten Ergebnisse der beiden
Bewertungsmethoden � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Eine Zusammenfassung ohne Ber�ucksichtigung der spe�
zi�schen Problemcharakteristiken � � � � � � � � � � � � ��
�������� Die Bewertungsergebnisse � � � � � � � � � � � ��
�������� Die Mittelwerte � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�������� Die Korrelationskoe�zienten � � � � � � � � � ���
������ Eine Zusammenfassung mit Ber�ucksichtigung der spe�
zi�schen Problemcharakteristiken � � � � � � � � � � � � ���
�������� Das mathematische Gebiet � � � � � � � � � � � ���
�������� Die ben�otigten Denkprozesse � � � � � � � � � ��
�������� Der gesuchte Umfang der L�osung � � � � � � � ��
������ Fazit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Nachwort und Ausblick ���
Literaturverzeichnis ���
A Vektorielle Bewertungsskalen ���
A�� Skala von Charles und Lester � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A�� Modi�zierte Skala nach Charles und Lester � � � � � � � � � � � ���
B Lineare Bewertungsskalen ���
B�� Skala von Malone � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B�� Skala von Woods � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
B�� Skala von Zielinski � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
B�� Skala von Charles und Lester � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
INHALT x
C Die Skalen der Untersuchung ���
C�� Die vektorielle Skala � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
C�� Die lineare Skala � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
D Folie mit den Tips zur Vorgehensweise ���
E Die Problemstellungen ���
E�� Die Einleitung in die Situation � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
E�� Das Hallo�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
E�� Das Bonbon�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
E�� Das M�uhle�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
E�� Das W�urfel�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
E� Das Tier�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
E�� Das Quadrate�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
F Die Charakteristiken der Probleme ���
G Bewertungsergebnisse �Ubersicht ��
G�� Die Ergebnisse der beiden holistischen Bewertungen � � � � � � ��
G�� Die Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen � � � � � ���
G�� Die gemittelten Ergebnisse der beiden Bewertungsmethoden � ��
H Ergebnisse Voruntersuchung ���
I Ergebnisse holistische Bewertungen ���
J Ergebnisse analytische Bewertungen ��
K Gemittelte holistische Ergebnisse ��
L Gemittelte analytische Ergebnisse ���
Tabellenverzeichnis
�� Die Zusammensetzung der Schulklassen � � � � � � � � � � � � � ��
��� Die klassenspezi�sche Zusammensetzung der Arbeitsb�ogen � � ��
��� Das Hallo�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � � �
��� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen �
��� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � �
��� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � �
��� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten �
�� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � �
��� Der Zusammenhang zwischen den bei den beiden Bewertungs�
methoden �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen � � � � � � ���
�� Das Bonbon�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � ���
�� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen��
�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � ���
�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � � ��
�� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten ���
� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � � ���
�� Der Zusammenhang zwischen den bei den beiden Bewertungs�
methoden �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen � � � � � � ���
���� Das M�uhle�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � ��
xi
TABELLENVERZEICHNIS xii
���� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � ��
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � � ���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten ���
��� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � � ���
���� Der Zusammenhang zwischen den bei den beiden Bewertungs�
methoden �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen � � � � � � ���
���� Das W�urfel�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � ���
���� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen��
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � ���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � � ���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten ���
��� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � � ���
���� Der Zusammenhang zwischen den bei den beiden Bewertungs�
methoden �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen � � � � � � ��
���� Das Tier�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � � � � � ���
���� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � ���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � � ���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten ���
��� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � � ��
���� Der Zusammenhang zwischen den bei den beiden Bewertungs�
methoden �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen � � � � � � ���
���� Das Quadrate�Problem � Die Bearbeitungszahlen � � � � � ���
���� Die Verteilung der Punkte bei beiden holistischen Bewertungen���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Verstehen � ���
TABELLENVERZEICHNIS xiii
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase L�osen � � � ���
���� Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur die Phase Beantworten ���
��� Die beiden Verteilungen der Gesamtpunktzahlen � � � � � � � � ��
���� Der Zusammenhang zwischen den bei den beiden Bewertungs�
methoden �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen � � � � � � ���
���� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf �Gesamt��Punkten
beim Quadrate�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf �Gesamt��Punkten
beim Tier�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� sieben und acht �Gesamt��
Punkten beim Hallo�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� sieben und acht �Gesamt��
Punkten beim M�uhle�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� sieben und acht �Gesamt��
Punkten beim W�urfel�Problem � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Kapitel �
�Uberblick
Das ��� Jahrhundert kann man ansehen als ein Zeitalter der Hochtechnisie�
rung� wissenschaftliche und technologische Entdeckungen ver�andern st�andig
unser Leben� Schon Probleme� die sich im t�aglichen Leben ergeben� sind oft
derart komplex� da einfaches� traditionelles Denken zu deren L�osung h�au�g
nicht mehr ausreicht� Hieraus resultiert eine Forderung auch an die Schule�
Sie mu ihren Sch�ulern� die F�ahigkeit vermitteln� selbst komplexere Prob�
lemsituationen eigenst�andig l�osen k�onnen�
In diesem Zusammenhang ist auch das Fach Mathematik gefordert� Der Ma�
thematikunterricht soll zu einer zeitgem�a en Allgemeinbildung der Sch�uler
beitragen� Hierzu z�ahlt die Vermittlung grundlegender Kenntnisse aus der
Mathematik genauso wie die Vermittlung spezieller mathematischer F�ahig�
keiten und Fertigkeiten� Der Mathematikunterricht mu in der Schule aber
auch M�oglichkeiten geben� Br�ucken zu schlagen zwischen fachlichen Konzep�
ten und lebensweltlichen Vorstellungen� zwischen mathematischem Denken
und einem�Alltagsdenken�� zwischen praktischem Tun und Re�exion �vgl�
�MSWWF��� S� ����� Durch Untersuchungen im Rahmen der�Dritten Inter�
nationalen Mathematik� und Naturwissenschaftsstudie �TIMSS�III�� wurde
jedoch deutlich� da deutsche Sch�uler im internationalen Vergleich bemer�
kenswerte De�zite im Fach Mathematik aufweisen� Hierzu schreibt Baumert�
�So steht das Akronym
�TIMSS� in Deutschland vereinfachend f�ur die �Uber�
raschung� da die mathematisch�naturwissenschaftlichen Kompetenzen von
deutschen Jugendlichen und jungen Erwachsenen �nur� in einem breiten in�
ternationalen Mittelfeld liegen��Baumert u�a������� S� ���
�Im Rahmen dieser Arbeit wird der Einfachheit halber immer von�dem Sch�uler��
�dem
Lehrer���dem Probleml�oser� usw� gesprochen� hiermit sind aber stets sowohl weibliche
als auch m�annliche Personen gleichzeitig gemeint� Sollte dieses an gewissen Stellen dieserArbeit nicht der Fall sein� so wird dieses explizit kenntlich gemacht�
�
KAPITEL �� �UBERBLICK �
Ver�anderungen im Unterrichtsfach Mathematik sind o�ensichtlich notwendig�
Die Vermittlung von Probleml�osef�ahigkeiten im Rahmen des Mathematikun�
terrichts kann� nach Meinung vieler Fachleute� aber dazu beitragen� sowohl
die an die Schulen bzw� die an den Mathematikunterricht gestellten Forde�
rungen erf�ullen zu helfen� als auch vorhandene mathematische De�zite bei
Sch�ulern zu verringern� Wie auch f�ur jeden anderen Unterrichtsinhalt� ist in
diesem Fall eine Bewertung der Leistungen notwendig� welche die Sch�uler
beim Probleml�osen erbringen� Dieses f�uhrt zum zentralen Thema dieser Ar�
beit� der Leistungsmessung bei schriftlichen mathematischen Probleml�osun�
gen� von Sch�ulern� Es werden zwei verschiedene Methoden zur Messung sol�
cher schriftlichen Leistungen gegen�ubergestellt und ihre systemimmanenten
Vor� und Nachteile aufgezeigt� Die Arbeit gliedert sich in einen ersten theo�
retischen und einen zweiten empirischen Teil�
Der erste Teil dieser Arbeit beginnt im Kapitel � mit einer Diskussion grund�
legender Begri�e aus der Probleml�oseforschung� Hierzu z�ahlen insbesondere
die Termini�Lernen��
�Denken� und
�Probleml�osen� sowie
�Aufgabe� und
�Problem�� Unterschiedliche De�nitionen dieser Begri�e werden zum einen
aus der Sicht der Psychologie und zum anderen aus der Sicht der Mathematik�
Didaktik dargestellt und klar voneinander abgegrenzt� Es wird weiter her�
ausgearbeitet� wie der Proze des Probleml�osens im Rahmen dieser Arbeit
verstanden werden soll� Hieran anschlie end werden verschiedene Klassi�zie�
rungsmodelle f�ur Probleme allgemein und speziell f�ur mathematische Prob�
leme vorgestellt� die eine Basis f�ur die Charakterisierung der im Rahmen
der empirischen Untersuchung verwendeten Probleme bilden werden� Die�
ses Kapitel endet mit einer Darstellung verschiedenartiger Modelle f�ur den
Probleml�osungsproze � Im Kapitel � wird einerseits dargelegt� welche grund�
legenden Aufgaben das Unterrichtsfach Mathematik als solches hat� Anderer�
seits werden unterschiedliche Gr�unde vorgestellt� welche die Vermittlung von
Probleml�osef�ahigkeiten im Rahmen des Mathematikunterrichts rechtfertigen�
ja sogar als notwendig erscheinen lassen� Der theoretische Teil dieser Arbeit
endet mit der Au�istung unterschiedlicher Methoden zur Leistungsmessung
bei schriftlichen mathematischen Probleml�osungen im Kapitel �� Neben einer
Darlegung der allgemeinen Forderungen� die an eine ad�aquate Methode zur
Messung schriftlicher Leistungen �uberhaupt gestellt werden� werden schwer�
punktm�a ig die Vor� und Nachteile solcher Bewertungsmethoden diskutiert�
bei denen sowohl die L�osung selbst als auch das Endergebnis mit in die Be�
wertung ein�ie en�
�Im Rahmen dieser Arbeit werden ausschlie�lich schriftliche L�osungen von mathemati�schen Problemstellungen betrachtet� Daher wird im folgenden auch von Probleml�osungenbzw� einfach von L�osungen oder Arbeiten gesprochen�
KAPITEL �� �UBERBLICK �
Der zweite� empirische Teil der Arbeit l�a t sich selbst noch einmal in zwei Ab�
schnitte gliedern� Der erste Abschnitt liefert die detaillierte Beschreibung al�
ler Grundlagen und Vorarbeiten der empirischen Untersuchung sowie die Dar�
stellung der Untersuchung selbst� Der zweite Abschnitt dient der Darlegung
und der Auswertung der Bewertungsergebnisse sowie einer Theoriebildung�
Der erste Abschnitt beginnt mit der Formulierung der beiden Forschungs�
fragen im Kapitel �� welche die eigentliche Basis f�ur die gesamte empirische
Untersuchung bilden� Hieran schlie t sich die Beschreibung aller Grundla�
gen der empirischen Untersuchung im Kapitel � an� Hierzu z�ahlen sowohl die
Hintergr�unde �uber die Entwicklung neuer bzw� �uber die Ver�anderung bereits
in der Literatur vorhandener Problemstellungen� so da diese f�ur Sch�uler
der Klassenstufen f�unf und sechs geeignet sind� als auch die Hintergr�unde
�uber die Auswahl der angewendeten Wertungsskalen� In diesem Zusammen�
hang werden Vor� und Nachteile unterschiedlicher linearer und vektorieller
Bewertungsskalen aus der Literatur diskutiert und es werden Gr�unde aufge�
zeigt� welche eine Modi�kation der ausgew�ahlten Skalen vor ihrer Verwen�
dung im Rahmen der empirischen Untersuchung notwendig machten� Dieser
Abschnitt endet mit einer detaillierten Beschreibung der eigentlichen Um�
setzung der empirischen Untersuchung im Kapitel � Hierzu z�ahlen die Rah�
menbedingungen in den Schulklassen w�ahrend der Bearbeitung ebenso wie
die Rahmenbedingungen bei der anschlie enden Bewertung�
Im zweiten Abschnitt des empirischen Teils dieser Arbeit werden die Er�
gebnisse der Untersuchung diskutiert� d�h� die gewonnenen Daten werden
� auch tabellarisch � dargestellt� erl�autert und ausgewertet� Im Kapitel �
wird zun�achst ein �Uberblick �uber die sich in den Kapiteln � bis �� anschlie�
enden Auswertungen der sechs Probleme gegeben� Da jedes Problem der
empirischen Untersuchung eigene Charakteristiken aufweist� ist es notwen�
dig� die unterschiedlichen Bewertungsergebnisse� die sich hinsichtlich der bei�
den bewertenden Personen bzw� hinsichtlich der beiden Bewertungsmethoden
ergeben haben� zun�achst f�ur jedes Problem getrennt auszuwerten� Hierbei
werden stets sowohl �Ubereinstimmungen als auch Unterschiede herausgear�
beitet und m�ogliche Gr�unde f�ur festgestellte Abweichungen dargelegt� Im
Kapitel �� werden die in den vorangegangenen Kapiteln erhaltenen Ergeb�
nisse der einzelnen Probleme hinsichtlich unterschiedlicher Problemcharak�
teristiken res�umiert� Diese Zusammenfassung dient auch als Basis f�ur die
Theoriebildung in diesem Kapitel� Die Arbeit endet schlie lich mit einem
kurzen Ausblick �uber weitergehende Forschungsfragen im Kapitel ���
Kapitel �
Probleme und Aufgaben�
Probleml�osen
Das zentrale Thema dieser Arbeit ist die Bewertung von Leistungen� welche
beim schriftlichen L�osen von mathematischen Problemen erbracht worden
sind� Eine Auseinandersetzung mit diesem Thema macht es erforderlich� die
hiermit grundlegend verbundenen Begri�e� wie�Problem� und
�Aufgabe�
oder�Probleml�osen�� direkt zu Beginn dieser Arbeit zu de�nieren bzw� klar
voneinander abzugrenzen� So werden am Anfang dieses Kapitels diese Begri�e
zun�achst aus der Sicht der Psychologie und anschlie end noch einmal speziell
aus der Sicht der Mathematik�Didaktik diskutiert� Im Rahmen der De�ni�
tion des Begri�s�Probleml�osen� ist auch eine Kl�arung der Termini
�Lernen�
und�Denken� erforderlich� Dar�uber hinaus werden in diesem Zusammenhang
auch die Begri�e�Kreativit�at� und
�Flexibilit�at� eingehend er�ortert� da diese
mit dem Probleml�osen in einer sehr engen Verbindung stehen�
In der Literatur gibt es eine Vielzahl von verschiedenen Problembegri�en�
Daher ist es weiter erforderlich� im zweiten Abschnitt dieses Kapitels un�
terschiedliche Arten der Klassi�zierung von Problemen vorzustellen� Dazu
werden zun�achst M�oglichkeiten aufgezeigt� Probleme insgesamt zu charak�
terisieren� Hierzu geh�oren beispielsweise die Klassi�zierung �uber Barrieren
nach D�orner oder die Klassi�zierung hinsichtlich der Klarheit der Ausgangs�
und der Zielsituation� Hieran anschlie end wird eine M�oglichkeit dargelegt�
speziell mathematische Probleme� so wie sie in der Schule Anwendung �n�
den k�onnen� zu klassi�zieren� Dieses Kapitel endet mit der Diskussion unter�
schiedlicher Modelle zur Beschreibung des Probleml�osungsprozesses�
�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
��� Der Problembegri� im umgangssprach�
lichen Verst�andnis
Betrachtet man unser allt�agliches Leben� scheinen Probleme eine wesentli�
che Rolle zu spielen� Probleme� mit denen wir t�aglich konfrontiert werden�
k�onnen zun�achst grob unterteilt werden in pers�onliche� ein einzelnes Indivi�
duum betre�ende Probleme und in Probleme� die unsere ganze Gesellschaft
oder einen Teil hieraus betre�en�
So kann beispielsweise die Entwicklung eines Menschen als ein fortlaufender
Proze angesehen werden� in welchem sich immer wieder Probleme erge�
ben� die gel�ost werden m�ussen� Neue Anforderungen oder fremde Situatio�
nen k�onnen Probleme f�ur einen Menschen hervorrufen� alle diese pers�onlichen
Probleme spielen in seinem Alltag eine zentrale Rolle� Diesen pers�onlichen
Problemen stehen Probleme allgemeiner Art gegen�uber� diese betre�en die
Allgemeinheit� die ganze Gesellschaft bzw� Teile von ihr� In allen Bereichen
des t�aglichen Lebens� wie beispielsweise der Kultur� der Wirtschaft oder der
Wissenschaft� begegnen wir solchen allgemeinen Problemen� Auch in unse�
rer Alltagssprache wird die Bedeutung von Problemen ersichtlich� das Wort
�Problem� ist allgegenw�artig�
Besonders deutlich werden wir mit dem Begri� des Problems im Bereich der
Wissenschaft und Forschung konfrontiert� So liegen jedem Forschungsprojekt
ein spezielles Problem bzw� eine Gruppe von Problemen zugrunde� welche
gel�ost oder zumindest in Teilen gel�ost werden sollen� Jede wissenschaftliche
Arbeit � so auch diese Arbeit � basiert auf einer Problemstellung und soll
zur L�osung dieses Problems beitragen� ja m�oglicherweise selbst noch neue
Probleme o�enlegen� Hierdurch kann gleichzeitig der weitere Fortgang der
Forschungst�atigkeiten auf diesem Gebiet bestimmt werden� Aus dieser Sicht�
weise haben Probleme also auch eine vorausbestimmende� eine wegweisende
Funktion�
Diese Beispiele verdeutlichen� da wir mit Problemen praktisch t�aglich auf
irgendeine Art und Weise konfrontiert werden� was aber genau unter dem
Begri��Problem� zu verstehen ist� ist nicht einfach festzulegen� Probleme
sind beispielsweise�schwierige Aufgaben oder komplizierte Fragestellungen�
oder�nicht gel�oste Fragen� beruhend auf dem Wissen oder der Erkenntnis�
da das verf�ugbare Wissen nicht ausreicht� um eine gestellte Aufgabe zu
bew�altigen oder einen Zusammenhang zu durchschauen� dessen Verst�andnis
angestrebt wird�� Probleme werden�daher ankn�upfend an Sokrates auch als
�Wissen vom Nichtwissen� beschrieben� Das Problem ist der Ausgangspunkt
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN
des Fragens und des Forschens� vor allem in der Wissenschaft� Eine zentra�
le Rolle spielen Probleme in Gestalt von sogenannten Vermutungen in der
Mathematikgeschichte���Brockhaus����
Diese De�nition zeigt� da der Begri��Problem� eine gewisse Spanne auf�
weist� Zusammenfassend kann gesagt werden� da sowohl das Auftreten von
Problemen als auch deren L�osungen einerseits im Leben eines einzelnen In�
dividuums� andererseits auch im gesellschaftlichen Leben von gro er Bedeu�
tung sind� Aus dieser Betrachtungsweise kann man sagen� da Probleme nicht
einfach nur irgendwelche h�au�g auftretenden Umst�ande sind� Vielmehr be�
stimmen sie im gewissen Sinne unser Handeln� sie strukturieren es�
��� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus
der Sicht der Psychologie
In diesem Abschnitt werden die Begri�e�Problem� und
�Aufgabe� de��
niert und klar voneinander abgegrenzt� Dieses ist notwendig� da beispiels�
weise eine falsche Zuordnung dieser beiden Begri�e bei der Vermittlung von
Probleml�osef�ahigkeiten zu falschen Zielsetzungen f�uhren kann �vgl� hierzu
�Schoenfeld��� S� ������ Im Rahmen der Diskussion des Problembegri�s wird
seine Entstehung und seine geschichtliche Entwicklung aufgezeigt und eine
heute allgemein akzeptierte De�nition dieses Begri�s herausgearbeitet�
����� Probleme
Schon in der fr�uhen Geschichte sind durch die Mathematik unterschiedlichste
Fragen bzw� o�ene Probleme aufgeworfen worden� mit denen sich Philoso�
phen und Naturwissenschaftler gleicherma en besch�aftigt haben�� Erst zu
Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts� nachdem die Psychologie als Wissen�
schaft konstituiert worden war� besch�aftigten sich Denkpsychologen erstmalig
mit der Erforschung derjenigen Prozesse� die bei der L�osung von Problemen
bzw� Aufgaben im Gehirn ablaufen� Ein Pionier auf diesem Gebiet war der
Experimentalpsychologe Otto Selz�� In den zwanziger Jahren untersuchte er
�Als Beispiele seinen hier die Poincar�e�Vermutung� die Riemannsche Vermutung oderdas Syrakus�Problem genannt�
�Herausragende Pers�onlichkeiten ihrer Zeit waren z�B� der Philosoph� Mathematikerund Naturwissenschaftler Ren�e Descartes ��� � � � oder der Philosoph� Mathematikerund Physiker Jules Henri Poincar�e ��� � ����
�Geboren am �� Februar �� in M�unchen� nach dem heutigem Wissen ermordet am��� August ��� im Konzentrationslager Auschwitz�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
eingehend das produktive Denken� Er war einer der ersten Wissenschaft�
ler� die Denken als Operation aufgefa t haben� Seine Ergebnisse sind gerade
heute wieder in besonderem Ma e f�ur die Forschung aktuell� etwa bei der
Simulation von Denkvorg�angen mit Hilfe von Computern� Selz spricht in sei�
nen Arbeiten noch nicht explizit von Problemen� sondern von Aufgaben und
deren L�osung�
Erteilen wir einer Versuchsperson eine Aufgabe� so bildet die De�termination �Willensbestimmung� zur L�osung der Aufgabe den Reiz�durch welchen eine Reihe spezi�scher Reaktionen ausgel�ost werden��
�Selz��� S� ��
Mitte der drei iger Jahre forschte Karl Duncker auf dem Gebiet des produk�
tiven Denkens� Direkt zu Beginn seiner Ver�o�entlichung Zur Psychologie des
produktiven Denkens� in der er untersucht� wie aus einer Problemsituation ei�
ne L�osung hervorgeht bzw� welche Wege zur L�osung eines Problems es gibt�
de�niert Duncker� was er unter einem Problem versteht�
Ein Problem� entsteht z�B� dann� wenn ein Lebewesen ein Ziel hat
und nicht wei��� wie es dieses Ziel erreichen soll� �Duncker���� S� �
An dieser Stelle f�uhrt Duncker die sogenannte Bestrahlungsaufgabe als ein
erstes Beispiel f�ur ein praktisch�technisches Problem ein� Mit Hilfe dieser
Aufgabe hat er eingehend die L�osungs�ndung bei Problemen experimentell
untersucht� Er befragte seine Versuchspersonen nach einem Verfahren� mit
dem man einen Menschen von einer inoperabelen Magengeschwulst befreien
kann mit Hilfe von Strahlen� die bei gen�ugender Intensit�at organisches Ge�
webe zerst�oren� ein Mitzerst�orung der umliegenden gesunden K�orperpartien
aber soll vermieden werden� Die Versuchspersonen sollten� nachdem ihnen
das Problem geschildert worden war� in einem Gespr�ach mit Duncker ein
derartiges Verfahren � unterst�utzt durch R�uckfragen bzw� durch Hilfestel�
lungen � heraus�nden und beschreiben� Im Jahre �� de�niert S�ullwold ein
Problem bereits wie folgt�
Ein Problem sei dann gegeben� wenn ein Individuum ein bestimmtesZiel erreichen will� jedoch nicht wei�� wie es zu diesem Ziel gelangenkann� also nicht auf wohlbekannte spezi�sche Verfahren� spezi�scheTechniken und Operationen zur�uckgreifen kann� �S�ullwold���� S� ���
Nach der Au�assung von D�orner ist es durch diese De�nition von S�ullwold
erstmalig gelungen��den Kern der verschiedenartigen Versuche� den Begri�
�In diesem Zusammenhang spricht man auch vom sogenannten Reiz�Reaktions�Schema�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
des Problems zu de�nieren�� zu tre�en �D�orner���� S� ���� Noch im Jahre ���
geht D�orner in seinem Buch Die kognitive Organisation beim Probleml�osen
selbst zun�achst von dieser richtungsweisenden De�nition aus� Nach Newell
und Simon� zwei bedeutenden Wissenschaftlern auf dem Gebiet der moder�
nen Theorie des Probleml�osens� hat eine Person dann ein Problem� wenn sie
�irgend etwas erreichen m�ochte� aber nicht sofort wei � welche Handlungs�
schritte hierzu durchzuf�uhren sind� �Newell�Simon���� S� ���� Beachtenswert
ist es� da sich diese aktuelle De�nition kaum von der bereits im Jahre ��
von S�ullwold gegebenen De�nition eines Problems unterscheidet�
Diese vier De�nitionen werden nachfolgend noch einmal genauer mitein�
ander verglichen und Unterschiede bzw� �Ubereinstimmungen zwischen ih�
nen herausgearbeitet� Zun�achst ist festzustellen� da alle vier De�nitionen
fachgebietsunabh�angig sind� In allen Bereichen� in denen Probleme auftre�
ten� k�onnen diese De�nitionen Anwendung �nden� Weiter wird deutlich�
da sich Probleme nur f�ur Lebewesen �Duncker�� Individuen �S�ullwold� bzw�
�Versuchs��Personen �Selz sowie Newell und Simon� ergeben k�onnen� Sowohl
S�ullwold als auch Newell und Simon zeigen mit ihren De�nitionen einen wei�
teren� grundlegenden Aspekt eines Problems auf� Ein Individuum will ein
Ziel erreichen� eine Person will etwas� Demnach ist der Wunsch� ein Ziel zu
erreichen oder die gegebene Situation zu ver�andern� unerl�a lich f�ur ein Prob�
lem� Ein Problem ber�uhrt stets die emotionale Ebene des Menschen� Wenn
beispielsweise ein Kind einen Text auswendig lernen mu � ohne es zu wol�
len� und wenn das Kind nicht wei � wie es vorgehen soll� damit es den Text
nicht wieder vergi t� so kann nach dem obigen Verst�andnis nicht von einem
Problem gesprochen werden�
Wenn man den Grad der Pr�azision bei diesen vier De�nitionen miteinander
vergleicht� so zeigt sich� da dieser bei allen Vieren recht gering ist� Im Prinzip
wird nicht konkret angegeben� was ein Problem ist� Im Grunde wird mehr
oder weniger ausf�uhrlich beschrieben� unter welchen Umst�anden Probleme
auftreten� Ein Versuch� ein Problem pr�aziser resp� wissenschaftlicher zu de��
nieren� wurde von Klix im Jahre ��� unternommen� Er stellt zun�achst fest�
Bei der Bestimmung des Begri�s�Problem� mu man
�eine spezi�sche Be�
ziehung zwischen objektiv gegebenen Situationseigenschaften und ihrer Ab�
bildung in einer internen kognitiven Struktur als Ausgang nehmen� �Klix���
S� ����
Ein Problem ist nach Klix durch drei wesentliche Komponenten de�niert�
Erstens mu eine Ausgangssituation� vorgegeben sein� in welcher sich eine
�In diesem Zusammenhang spricht man auch von einem Ausgangs� oder Ist�Zustand�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN
Person be�ndet� Zweitens mu ein weiterer erw�unschter Zustand� gegeben
oder beschrieben sein� dieser Zustand mu sich aus dem ersten erzeugen oder
herleiten lassen� Das dritte� komplexe Merkmal eines Problems besteht in
der Notwendigkeit der �Uberf�uhrung der Ausgangssituation in den erw�unsch�
ten Zustand� welche aber nicht oder nicht unmittelbar gelingt �vgl� �Klix���
S� ����� D�orner greift im Jahre ��� diese De�nition von Klix noch einmal
auf� Zus�atzlich pr�agt er allerdings einen neuen� grundlegenden Begri�� Er
de�niert � wie auch Klix � Probleme �uber gegebene Anfangszust�ande und
erw�unschte Zielzust�ande� Dar�uber hinaus f�uhrt er nun den Begri� der Bar�
riere ein� Diese Barriere liegt zwischen dem Anfangs� und dem Endzustand
und sie verhindert die unmittelbare �Uberf�uhrung der Ausgangssituation in
die erw�unschte Zielsituation �vgl� �D�orner������
Zwei Jahre sp�ater verfeinert D�orner seine eigene De�nition aus dem Jahre
��� unter Bezugnahme auf Klix und S�ullwold�
Was ein Problem ist� ist einfach zu de�nieren� Ein Individuum stehteinem Problem gegen�uber� wenn es sich in einem inneren oder �au�e�ren Zustand be�ndet� den es aus irgendwelchen Gr�unden nicht f�urw�unschenswert h�alt� aber im Moment nicht �uber die Mittel verf�ugt�um den unerw�unschten Zustand in den w�unschenswerten Zielzustandzu �uberf�uhren� �D�orner���� S� ��
�Uberdies wurden in der modernen Theorie des Probleml�osens auch Versuche
unternommen� den Begri��Problem� formal exakt zu de�nieren� In seiner
Arbeit Zur metrischen Erfassung von subjektiven Problemstellungen und zu
deren Ver�anderung im Denkproze� diskutiert Sydow unterschiedliche Modelle
zur Beschreibung subjektiver Problemsituationen mit Hilfe von Mengen und
Relationen �vgl� �Sydow���� S� ������ So kann ein Problem de�niert werden
durch eine endliche Menge W von Zust�anden und eine Menge F von Abbil�
dungen W �� W � die aus der endlichen Menge der Operationen bez�uglich
der Hintereinanderausf�uhrung von Operationen erzeugt wird� H � W sei die
Menge der Anfangszust�ande� Y � W sei die Menge der gew�unschten Ziel�
zust�ande� Sydow beschreibt nun ein individuelles Problem einer Person als
die Suche nach einer Relation f � F � f�ur die gilt� w � H �� f�w� � Y ��
����� Aufgaben
Probleme und Aufgaben m�ussen klar voneinander abgegrenzt werden� auch
wenn wir im allt�aglichen Sprachgebrauch normalerweise nicht explizit zwi�
�Dieser wird auch als Ziel� oder Soll�Zustand bezeichnet��Korrekterweise ist die Suche nach einer geeigneten Relation die L�osung des Problems�
vergleiche hierzu Abschnitt �����
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
schen diesen beiden Ausdr�ucken unterscheiden� Zum einen ist diese Abgren�
zung notwendig� um Mi verst�andnisse zu vermeiden� Andererseits kann eine
verkehrte Zuordnung der Begri�e�Aufgabe� und
�Problem� bei der Vermitt�
lung von Probleml�osef�ahigkeiten zu einer falschen Zielsetzung f�uhren �vgl�
�Schoenfeld��� S� ������
Zur Bestimmung des Begri�s�Problem� ist die objektive Beschreibung einer
Situation und die Beschreibung der in ihr bestehenden �bzw� zu suchenden�
Zusammenh�ange allein nicht ausreichend �vgl� �Klix����� So kann f�ur Klein�
kinder das Binden einer Schleife ein Problem sein� f�ur Schulkinder ist es dieses
hingegen im allgemeinen aber nicht� Bei Problemen� die ein einzelnes Indivi�
duum betre�en� m�ussen stets sein schon erworbenes Wissen und seine bereits
gemachten Erfahrungen ber�ucksichtigt werden� um beurteilen zu k�onnen� ob
diese Person ein Problem oder nur eine Aufgabe l�osen mu � Infolge des�
sen kann man bei Untersuchungen zum Probleml�osen bei einer Gruppe von
Versuchspersonen nicht global von�einem Problem� sprechen� Anhand des
Beispiels�Die Division von ��� durch �� zeigt D�orner� da Aufgaben geisti�
ge Anforderungen sind� f�ur deren Bew�altigung die Methoden bereits bekannt
sind �vgl� �D�orner��� S� ����� Zum L�osen von Aufgaben ist reproduktives
Denken ausreichend� es mu nichts Neues gescha�en werden�
Wir grenzen Probleme von Aufgaben ab� Aufgaben sind geistige An�forderungen� f�ur deren Bew�altigung Methoden bekannt sind��D�orner���� S� ��
��� Die Begri�e Lernen� Denken und Prob�
leml�osen aus der Sicht der Psychologie
Im letzten Abschnitt sind unterschiedliche De�nitionen der Termini�Prob�
lem� und�Aufgabe� diskutiert und diese beiden Begri�e klar voneinander
abgegrenzt worden� Hieran ankn�upfend wird in diesem Abschnitt eingehend
er�ortert� was explizit unter�Probleml�osen� verstanden werden soll� In die�
sem Zusammenhang ist auch eine kritische Auseinandersetzung mit den bei�
den Begri�en�Lernen� und
�Denken� erforderlich� In den verschiedensten
Handb�uchern der Psychologie werden diese drei Begri�e stets de�niert� Ge�
meinsamkeiten oder Unterschiede werden jedoch nur selten klar herausgear�
beitet� Ein m�oglicher Grund daf�ur k�onnte darin bestehen� da zum einen in
der Lernpsychologie und zum anderen in der Denkpsychologie diese Begri�e
im Rahmen der fachgebietsinternen Forschungen unterschiedlich festgelegt
und weiterentwickelt worden sind�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
����� Lernen
Dieser Abschnitt soll mit einer aktuellen De�nition des Begri�s�Lernen�
begonnen werden�
�Lernen ist ein� Sammelbegri� f�ur eine Vielzahl von Prozessen� diezum Erwerb sowie zur Ver�anderung von Wissen und damit zu einerVer�anderung menschlicher F�ahigkeiten und Verhaltensweisen f�uhren��Pl�otzner���� S� ��
Diese De�nition beschreibt im Prinzip klar� was unter�Lernen� verstanden
werden kann� Trotzdem sollen nachfolgend noch einmal unterschiedliche Auf�
fassungen des Begri�s�Lernen� diskutiert werden� Betrachtet man zun�achst
das klassische� traditionelle Lernen� klassisches und operantes Konditionie�
ren�� so zeigt sich� da bei diesen beiden Lernverfahren der wichtigste Aspekt
eine Ver�anderung des zu beobachtenden Verhaltens ist� Das Lernen besteht
in diesem Fall darin� auf einen bestimmten �Umwelt��Reiz in einer bestimm�
ten Art und Weise zu reagieren�� �Ahnlich wie Pavlov de�niert auch Klix den
Begri��Lernen�� Er fa t Lernen auf als eine
�umgebungsbezogene Verhal�
tens�anderung� welche als Folge einer individuellen� systemeigenen Informa�
tionsverarbeitung eintritt� �Klix��� S� ����� Diese Verhaltens�anderung ist
immer durch eine Korrektur einer individuellen Ged�achtnisstruktur bedingt�
mu aber nicht notwendiger Weise durch individuellen Kenntniserwerb ent�
stehen�
Nach dem zuvor dargelegten Verst�andis von Lernen ist jeweils eine Ver�ande�
rung des Verhaltens der jeweiligen Person der wichtigste Faktor� Bei ande�
ren Au�assungen des Begri�s�Lernen� r�uckt dieser Aspekt in den Hinter�
grund� vordergr�undig ist hierbei der Gesichtspunkt des Erwerbs von Wissen�
In diesem Sinne ist beispielsweise die De�nition von Mandl und Friedrich� Sie
verstehen unter Lernen�den Erwerb und die Ver�anderung von Wissen und
F�ahigkeiten in Interaktion mit externen Instanzen �Lehrer� Medien usw���
�Mandl�Friedrich��� S� ��� Wenn man im Sinne dieser De�nition von Lernen
spricht� erwartet man also vielmehr eine Ver�anderung des kognitiven Appa�
rats als eine Ver�anderung des Verhaltens� wie dieses beim Konditionieren der
Fall ist� Nach diesem Verst�andnis wird durch Lernen also der individuelle
Ged�achtnisbesitz ausgebildet oder korrigiert��
�In der entsprechenden Fachliteratur �ndet man alle Details zu diesen durch Pavlowbzw� Skinner gepr�agten �und in der Psychologie dem behavioristischen Ansatz zugeordne�ten� Arten des Lernens� vgl� beispielsweise �Pavlov����� �Pavlov����� �Hilgard���� �Gray�����
�Hierbei handelt es sich wieder um das sogenannte Reiz�Reaktions�Schema��Eine solche Au�assung von Lernen wird in der Psychologie dem kognitiven Ansatz
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Bei einem umfassenderen Verst�andnis des Begri�s�Lernen� unter dem Ge�
sichtspunkt des Kenntniserwerbs sollte zwischen induktivem Lernen und de�
duktivem Lernen unterschieden werden� Induktives Lernen setzt relativ wenig
Vorwissen voraus� Ziel dieser Form des Lernens ist der Erwerb von Wissen�
welches�nicht deduktiv aus dem Vorwissen ableitbar ist� Vielmehr werden
durch induktives Lernen neue Wissensstrukturen konstruiert� die zus�atzliche
Problemstellungen erfolgreich bearbeitbar machen� �Pl�otzner�� S� ��f��
Beispielsweise ist Lernen durch Versuch�und�Irrtums�Verhalten induktiv� Im
Gegensatz hierzu ist f�ur deduktives Lernen bereits ein gro es Ma an Vor�
wissen erforderlich��Rein deduktives Lernen ��� f�uhrt zu Transformationen
bereits vorhandenen Wissens in e�zienter nutzbare und damit operationalere
Strukturen� �Pl�otzner�� S� ����
Prinzipiell kann Lernen also verstanden werden als eine Ver�anderung des
Wissens� der F�ahigkeiten oder des Verhaltens eines Individuums�
����� Denken
Grunds�atzlich ist Denken eine T�atigkeit� Unter dem Begri��Denken� k�onnen
zun�achst alle kognitiven Aktivit�aten zusammengefa t werden��die im Rah�
men des Lebensvollzugs wirksam werden� �Titze��� S� ��� Schon pr�aziser
ist die folgende De�nition�
Denken wird in der Psychologie als Schlu�folgerungsproze� verstan�den� Auf der Basis aktuell gegebener Informationen wird neue Infor�mation mit Hilfe von Interferenzen abgeleitet und so die verf�ugbareInformation erweitert� �Beller�Spada���� S� ��
Wenn ein Individuum denkt� stellt es also Beziehungen zwischen Informa�
tionen her� die bereits in seinem kognitiven System verankert sind und er�
weitert dieses hierdurch� Es ist dabei auf sich allein gestellt �vgl� �Aebli������
In diesem Sinne kann Denken auch verstanden werden als das aktive� spon�
tane Herstellen und Erfassen von sachverhaltlichen Beziehungen zwischen
Inhalten des Gegenstandsbewu tseins �vgl� �Kainz��� S� ���� F�ur eine de�
taillierte Auseinandersetzung mit dem Begri��Denken� ist eine genauere
Di�erenzierung zwischen verschiedenen Formen des Denkens erforderlich�
zugeordnet� Herausragende Forschungsergebnisse �uber Lernen als die Ausbildung immere�zienterer kognitiver Schemata des Handelns und des Denkens resp� der Erkenntnisstammen von dem schweizerischen Psychologen Jean Piaget �� Neuenburg �������� yGenf������ ��
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
������� Gerichtetes und ungerichtetes Denken
Eine M�oglichkeit hierf�ur ist eine Unterscheidung zwischen gerichtetem und
ungerichtetem Denken� Man spricht von gerichtetem Denken bzw� einfach von
Denken� wenn die folgenden drei Voraussetzungen erf�ullt sind �vgl� �Mayer����
S� ����
�� Denken ist kognitiv� aber es wird aus dem Verhalten des Menschen abge�
leitet� Denken vollzieht sich im Ged�achtnis oder im kognitiven System des
Menschen� d�h� Denken geschieht stets innerlich�
�� Denken ist ein Proze � welcher eine gewisse Ver�anderung im oder Wirkung
auf das Wissen des kognitiven Systems einschlie t�
�� Denken ist gerichtet und l�auft auf ein Verhalten hinaus� das ein Problem
l�ost bzw� welches zumindest gegen eine Probleml�osung gerichtet ist�
Ist nun speziell die dritte Bedingung nicht erf�ullt� so spricht man explizit
von ungerichtetem Denken� Diese Art des Denkens ist ziellos� aus ihr mu
auch nicht zwangsl�au�g ein zu beobachtendes Handeln resultieren� Wenn man
beispielsweise seinen Gedanken einfach�freien Lauf� l�a t� ohne �uber etwas
Konkretes nachzudenken� dann denkt man also ungerichtet�
������� Produktives und reproduktives Denken
Dar�uber hinaus kann einer Unterscheidung zwischen produktivem und repro�
duktivem Denken sinnvoll sein��� Man spricht von reproduktivem Denken�
wenn f�ur die Bew�altigung von Aufgaben die Anwendung von verf�ugbarem
Wissen oder von bekannten Strategien gen�ugt� Dagegen erfordert �nach der
gestalttheoretischen Au�assung��produktives Denken die Ber�ucksichtigung
spezi�scher struktureller Merkmale der Probleml�osekonstellation� aus denen
sich aufgrund von Einsicht ein neues L�osungsprinzip erschlie t� �Krems��
S� ����� Das Resultat des produktiven Denkens ist im allgemeinen eine neue�
bislang unbekannte Sicht eines Problems und seiner L�osung�
��Der Begri��produktives Denken� ist wesentlich durch den Gestaltpsychologen Max
Wertheimer �� Prag ����� � yNew York �� ����� gepr�agt worden� vergleiche hierzu�Wertheimer����
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
������� Konvergentes und divergentes Denken
Schlie lich kann eine Di�erenzierung zwischen konvergentem und divergen�
tem Denken notwendig sein� Konvergentes Denken zeichnet sich dadurch
aus� da vorgegebene Probleme oder Aufgaben auf einem vorgezeichneten
L�osungsweg e�zient bearbeitet werden� Dieses Denken ist �xiert und um�
grenzt� aber auch logisch� es verl�auft �uberlegt und in systematischen Schrit�
ten� Im Gegensatz dazu ist divergentes Denken ein freies� ungeordnetes und
phantastisches Denken �vgl� �Linneweh���� S� ���� Neuartige Probleme wer�
den auf neuen� fremden� vorher nicht abzusehenden Wegen durchdacht und
gel�ost� Dieses Denken mu nicht logisch nachvollziehbar sein �vgl� hierzu
�Guilford�����
����� Probleml�osen
Wie im Abschnitt ������� dargelegt� dient �gerichtetes� Denken dazu� ein
festgelegtes Ziel zu erreichen� Wenn es f�ur das Erreichen dieses Ziels aller�
dings noch keine bekannten Handlungsroutinen gibt� so spricht man weniger
von Denken sondern eher von Probleml�osen �vgl� �Putz�Osterloh���� S� ������
Nach dem Verst�andnis dieser De�nition bilden die Probleml�oseprozesse also
eine spezielle Klasse unter allen Denkprozessen� Eine �ahnliche� jedoch schon
pr�azisere Au�assung dieses Begri�s �ndet man bei George� Er de�niert Prob�
leml�osen als denjenigen Proze � durch den sich ein Individuum eine geeignete
Menge von Antworten zu einer neuen Situation aneignet �vgl� �George������
Wenn man noch einmal die De�nition eines Problems von Klix aus dem Jah�
re ��� aufgreift� so kann Probleml�osen auch als derjenige Proze aufgefa t
werden� welcher erforderlich ist� um den gegebenen� unerw�unschten Anfangs�
zustand in den w�unschenswerten Zielzustand zu �uberf�uhren�
Einen v�ollig anderen Ansatz zur De�nition des Begri�s�Probleml�osen� �n�
det man bei Newell und Simon� Sie de�nieren diesen Terminus �uber gra�
phentheoretische Elemente� Im Rahmen der Darstellungen ihrer eingehenden
Untersuchungen �uber das menschliche Denken verstehen sie Probleml�osen
als eine zielgerichtete Suche in einem Problemraum� Dieser Suchproze kann
durch einen Graphen beschrieben werden� Die Knoten des Graphen entspre�
chen den m�oglichen Zust�anden oder Problemsituationen� die Kanten zwi�
schen den Knoten entsprechen den m�oglichen �Uberg�angen oder Transforma�
tionen zwischen den Zust�anden� die aufgrund der Anwendung von zul�assi�
gen Probleml�osungsoperationen de�niert sind �vgl� �Newell�Simon������ Das
L�osen eines Problems stimmt somit mit der Suche nach dem g�unstigsten
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Weg von einem Anfangszustand in einen Zielzustand �uberein �vgl� hierzu
auch �Opwis������
Erfolgreiches Probleml�osen wird durch verschiedene mentale Abl�aufe beein�
�u t� Jede L�osung eines Problems umfa t einen Proze � bei welchem bereits
vorhandene Erfahrungen� schon erworbenes Wissen und eine pers�onliche In�
tuition in einen Versuch� eine Methode zur L�osung einer Situation zu �nden�
deren Ausgang man nicht kennt� koordiniert werden m�ussen� Charles und
Lester nennen drei Kategorien von Faktoren� die beim Probleml�osen zusam�
menwirken �vgl� �Charles�Lester���� S� �������
� Beein�ussungsfaktoren
Dieses sind unter anderem Stre � Druck� Interesse und Motivation�
� Erfahrungsfaktoren
Hierzu z�ahlen beispielsweise das Alter des Probleml�osers� sein bereits
erworbenes Mathematikwissen sowie die Vertrautheit mit L�osungsstra�
tegien und dem Problemzusammenhang�
� Geistige Faktoren
Zu diesen Faktoren geh�oren z�B� F�ahigkeiten beim Lesen� F�ahigkeiten
im Verstehen� arithmetische F�ahigkeiten oder logische F�ahigkeiten�
��� Die Begri�e Kreativit�at und Flexibilit�at
Die Probleml�oseforschung ist eng mit der Kreativit�atsforschung verbunden�
dieses wird auch in der Literatur immer wieder deutlich� Wenn beispielsweise
die L�osungs�ndung zu vorgegebenen Problemstellungen untersucht wird� so
werden h�au�g auch die Kreativit�at und die Flexibilit�at des Probleml�osers mit
ber�ucksichtigt� Im Rahmen der Leistungsmessung beim Probleml�osen kann
die Kreativit�at z�B� dann von Interesse sein� wenn beispielsweise neuartige�
au ergew�ohnliche L�osungswege besser bewertet werden sollen als herk�omm�
liche L�osungswege�
��Es sei an dieser Stelle auch auf den Abschnitt ���� hingewiesen� Kieswetter modelliertProbleml�osungsprozesse ebenfalls mit Hilfe graphentheoretischer Elemente�
��Charles und Lester beziehen sich mit ihrer Aufstellung speziell auf Faktoren f�ur dieL�osung mathematischer Probleme� In der Regel sind jedoch stets Faktoren aus diesen dreiKategorien bei der L�osung eines jeden Problems � allerdings in unterschiedlichem Ma�e �involviert�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
����� Kreativit�at
Nach unserem allt�aglichen Verst�andnis begegnet man der Kreativit�at �uber�
all� in der Kunst und Wissenschaft genauso wie in gew�ohnlichen Alltags�
situationen� Allerdings ist es nicht einfach� eine einheitliche De�nition des
Begri�s�Kreativit�at� zu geben� es scheint �uberhaupt keine allgemein ak�
zeptierte De�nition dieses Wortes zu geben� Jeder Wissenschaftler� der sich
mit dieser Thematik auseinandersetzt� formuliert o�ensichtlich seine eigene
Version �vgl� �Haylock������ Bei der n�aheren Betrachtung verschiedener De�
�nitionen aus der Literatur stellt man allerdings fest� da sich diese jedoch
im allgemeinen nicht wesentlich voneinander unterscheiden� Alle beruhen auf
grundlegenden Begri�en wie Neuheit� Seltenheit� Ungew�ohnlichkeit� Origina�
lit�at� Realit�atsn�ahe� N�utzlichkeit� Ungew�ohnlichkeit� Phantasie� Flexibilit�at
usw� �vgl� �Neuhaus��� S� ������
Eine umfassende Darstellung des Begri�s�Kreativit�at� zeigt beispielswei�
se Weth auf� Die zuvor aufgef�uhrten grundlegenden Begri�e der Kreativit�at
f�uhren zu den beiden am meisten verwendeten Ans�atzen �uber die Produkt�
bzw� die Individuumsorientierung� Der dritte Ansatz betrachtet die Kreati�
vit�at als Proze �vgl� hierzu �Weth���� Auch in der Arbeit von Neuhaus wird
die derartige Di�erenzierung des Begri�s�Kreativit�at� sehr eingehend darge�
legt� Im Rahmen der Diskussion des Kreativit�atsproblems in der Psychologie
erfolgt eine intensive Auseinandersetzung mit dem kreativen Produkt� dem
kreativen Proze � der kreativen Person und der kreativen Umwelt �vgl� hierzu
�Neuhaus��������
������� Kreativit�at als Eigenschaft des Produkts
Wird Kreativit�at verstanden als eine Eigenschaft des Produkts� so wird Krea�
tivit�at de�niert �uber die erzeugte Idee bzw� �uber das erhaltene Ergebnis� Ein
Produkt wird dann als kreativ angesehen� wenn es eine besondere Neuar�
tigkeit oder N�utzlichkeit aufweisen kann� Bezogen auf den Mathematikun�
terricht hei t dieses� da ein Sch�uler etwas bisher f�ur ihn Unbekanntes ei�
genst�andig entwickelt oder entdeckt hat� welches f�ur ihn selbst oder auch f�ur
den Unterricht n�utzlich ist�
������� Kreativit�at als Eigenschaft des Individuums
Bei einem zweiten Verst�andnis von Kreativit�at kann diese als eine Eigenschaft
eines einzelnen Individuums aufgefa t werden�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Kreativit�at wird ��� de�niert als die F�ahigkeit� m�oglichst viele ver�schiedenartige und ungew�ohnliche �originelle� L�osungen einer Aufgabeproduzieren zu k�onnen� �S�u����� S� ��
S�u spricht hierbei von Aufgaben� ohne diesen Begri� zu pr�azisieren� Sei�
ne De�nition ist somit f�ur alle Bereiche des menschlichen Lebens anwendbar�
Nach diesem Verst�andnis kann Kreativit�at als eine Anlage angesehen werden�
die jeder Mensch � allerdings in verschieden stark ausgepr�agtem Ma e � be�
sitzt� Wird das kreative Potential eines Menschen nicht gef�ordert� so kann es
mit der Zeit verk�ummern� Speziell aus dem Bereich der Mathematik�Didaktik
stammt die De�nition von Bergstr�om� Sie tendiert in die gleiche Richtung wie
die De�nition von S�u � allerdings ist f�ur Bergstr�om die Anzahl der L�osungen
unbedeutend� Er betrachtet Kreativit�at als eine Leistung� bei der ein Indivi�
duum etwas Neues� etwas Unerwartetes scha�t �vgl� �Bergstr�om���� S� �����
Eine sehr umfassende De�nition von Kreativit�at als Eigenschaft eines Indivi�
duums liefert Weth� Hierbei zeichnen � neben weiteren typischen Eigenschaf�
ten� wie Neugier� Ausdauer oder Unabh�angigkeit � f�unf Haupteigenschaften
eine kreative Person aus� Fl�ussigkeit� Flexibilit�at� Originalit�at� Elaboration
und Problemsensitivit�at �vgl� hierzu �Weth�� S� �����
������� Kreativit�at als Proze�
Wird Kreativit�at schlie lich als ein Proze verstanden� so bilden jetzt das
kreative Handeln bzw� das kreative Denken einer Person die Basis hierf�ur�
Ein Handeln wird dann als kreativ bezeichnet� wenn sein Ergebnis eine neue
Kombination bereits bekannter Dinge ist� Drei Kriterien sind charakteri�
stisch f�ur kreatives Handeln� die Originalit�at des Handelns� der Wert des
Handelns sowie spezi�sche mentale F�ahigkeiten der handelnden Person �vgl�
�Hayes������
Beschr�ankt man sich bei der De�nition der Kreativit�at ausschlie lich auf
den Bereich des Probleml�osens� so kann unter Kreativit�at eine�kognitive
Aktivit�at verstanden werden� die zu neuartigen L�osungen eines Problems
f�uhrt� �Mayer���� S� ����� In diesem Sinne de�niert auch Torrance den Begri�
�Kreativit�at��
�Creativity is� a process of becoming sensitive to problems� de�cien�cies� gaps in knowledge� missing elements� disharmonies� and so on�identifying the di�culty� searching for solutions� making guesses� orformulating hypotheses about the de�ciencies� testing and retestingthese hypotheses and possibly modifying and retesting them� and ��nally communicating the results� �Torrance���� S� ���
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
An dieser Stelle m�ochte ich noch einmal speziell auf den Begri� des kreativen
Denkens eingehen� Dieser wurde gepr�agt durch die Probleml�oseforschung in
den Bereichen des L�osens o�ener Problemstellungen und der Problem�ndung�
Vor diesem Hintergrund de�niert Wake�eld kreatives Denken als�eine aus�
sagekr�aftige Antwort auf jede Situation� welche das Finden eines Problems
und dessen L�osung auf seine eigene Art und Weise erfordert� �Wake�eld���
S� ���� Detaillierter ist die De�nition von Linneweh�
Kreatives Denken ist verinnerlichtes� bewu�tes oder unterbewu�tesProbehandeln� das mit intuitiven und rationalen� mit digitalen undanalogen� produktiven und reproduktiven� vor allem aber mit konver�genten und divergenten Denkoperationen arbeitet��Linneweh���� S� ��
Kreatives Denken kann also auch verstanden werden als eine zielstrebende
Zusammenarbeit des logischen und des divergenten Denkens� Wenn man beim
L�osen von Problemsituationen kreativ denkt� dann produziert das divergente
Denken eine Vielzahl von �L�osungs��Ideen� Einige hiervon scheinen hilfreich
bei der L�osungs�ndung� Aus diesen Ideen schlie lich wird eine Zusammen�
fassung durch einen Proze des logischen Denkens gebildet� Speziell in der
Mathematik werden normalerweise die zwei sehr unterschiedlichen Denkwei�
sen ben�otigt� kreatives �intuitives� Denken und analytisches �logisches� Den�
ken� Die wohl pr�agnanteste De�nition� bei welcher der kreative Proze der
eigentliche De�nitionsgegenstand ist� stammt von Hussy�
Kreatives Denken ist Probleml�osen� �Hussy���� S� ���
����� Flexibilit�at
Bei dem Verst�andnis von Kreativit�at als einer Eigenschaft eines Individuums
wird ein kreatives Individuum durch f�unf Haupteigenschaften gekennzeich�
net� Eine hiervon ist die Flexibilit�at� Hierbei wird Flexibilit�at als die F�ahig�
keit verstanden� eine Sache von verschiedenen Seiten aus zu betrachten� Flexi�
bilit�at ist die F�ahigkeit eines Menschen� Ann�aherungsweisen an ein Problem
zu ver�andern� beispielsweise f�ahig dazu zu sein� eine Reihe von Aufgaben zu
l�osen� von denen jede eine unterschiedliche Strategie erfordert� Flexibilit�at
beim Denken erm�oglicht es� f�ur Probleme originelle Strategien zu entwickeln
oder neue L�osungsm�oglichkeiten zu �nden �vgl� �Mayer������ Nach Kieswet�
ter ist Flexibilit�at als eine Komponente der Kreativit�at die wahrscheinlich
wichtigste F�ahigkeit� die ein erfolgreicher Probleml�oser besitzen sollte �vgl�
�Kieswetter������
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
�� Die Begri�e Problem und Aufgabe aus
der Sicht der Mathematik�Didaktik
Im Abschnitt ��� sind unterschiedliche De�nitionen aus der psychologischen
Probleml�oseforschung f�ur die Begri�e�Problem� und
�Aufgabe� diskutiert
worden� Diese De�nitionen sind prinzipiell f�ur alle Bereiche des Alltags oder
der Wissenschaft universell anwendbar� Andererseits hat sich das Forschungs�
gebiet�Probleml�osen� aber auch zu einem wesentlichen Teilgebiet der Mathe�
matik�Didaktik entwickelt� in welchem von unterschiedlichen Wissenschaft�
lern verschiedene� fachspezi�sche De�nitionen entstanden sind� Daher ist es
notwendig� die Begri�e�Problem� und
�Aufgabe� noch einmal speziell aus
der Sicht der Mathematik�Didaktik zu erl�autern und voneinander abzugren�
zen�
����� Probleme
Bereits Mitte der vierziger Jahre schlug Polya in seinem Buch How to sol�
ve it eine richtungsweisende Neuerung f�ur den Mathematikunterricht in den
amerikanischen Schulen vor� Er bef�urwortete das L�osen von Problemen als
einen festen Bestandteil des Unterrichts� In seiner Arbeit beschreibt er die
Vorgehensweise im Unterricht ausf�uhrlich� Obwohl er von Problemen und
deren L�osung spricht� de�niert er den Begri� des Problems hier nicht expli�
zit� Im Jahrbuch ��� des�National Council of Teachers of Mathematics�
�NCTM� mit den Titel Problem Solving in School Mathematics �ndet man
eine De�nition von Polya aus dem Jahre ���
Solving a problem is �nding the unknown means to a distinctly con�ceived end� If the end by its simple presence does not instantaneouslysuggest the means� if� therefore� we have to search for the means� re��ecting consciously how to attain the end� we have to solve a problem��Polya���� S� �
Polya de�niert den Begri� des Problems hier nicht konkret� Vielmehr han�
delt es sich um eine Beschreibung� wie und wann ein Problem zu l�osen ist�
Er beschr�ankt sich nicht speziell auf mathematische Probleme� Nach sei�
nem Verst�andnis mu der Zielzustand klar de�niert sein� Sogenannte o�ene
Probleme ��open�ended problems�� mit unklaren Zielzust�anden� welche in
der Schulmathematik im Rahmen des Probleml�osens ebenfalls Anwendung
�nden k�onnen� werden hier nicht ber�ucksichtigt� Eine aktuellere De�nition
f�ur ein Problem stammt von Kantowski� Sie de�niert ein Problem als eine
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Situation� f�ur welche ein Individuum� das damit konfrontiert wird� keinen Al�
gorithmus zur Verf�ugung hat� der eine L�osung garantiert� Um das Problem
zu l�osen� mu das Wissen der Person in einer neuen Art zusammengesetzt
werden �vgl� �Kantowski���� S� �����
Beide De�nitionen beschreiben ein Problem als eine Situation f�ur eine Per�
son� bei welcher der L�osungsweg nicht unmittelbar zu erkennen ist� Man mu
nach neuen Mitteln suchen oder sein Wissen neu kombinieren� Polya spricht
in seiner De�nition explizit von einem Ziel��zustand�� Kantowski hingegen
nicht mehr� Somit kann ihre De�nition auch f�ur Probleme mit unklaren Ziel�
vorstellungen angewendet werden� Bei beiden De�nitionen wird allerdings
der Gesichtspunkt des Wunsches oder der Notwendigkeit zur L�osung des
Problems noch nicht ber�ucksichtigt� Charles und Lester dagegen involvieren
diesen emotionalen Aspekt in ihre De�nition� Die wichtigsten Komponenten�
die �mathematische� Probleme charakterisieren� werden klar herausgestellt�
A problem is a task for which�
� The person confronting it wants or needs to �nd a solution�
�� The person has no readily available procedure for �nding the so�lution�
� The person must make an attempt to �nd a solution�
�Charles�Lester���� S� ��
In dieser De�nition werden die drei grundlegenden Aspekte eines Problems
deutlich� Erstens mu ein Sch�uler� welcher ein Problem l�osen soll� den Wunsch
haben oder die Notwendigkeit sehen� eine L�osung zu �nden� Hierdurch ist
auch der Lehrer gefordert� er mu das Problem f�ur den Sch�uler ansprechend
pr�asentieren� Zweitens sollte das Problem so gestellt werden� da die L�osung
nicht direkt oder nicht unmittelbar erreicht werden kann� Letztendlich ist es
notwendig� da der Sch�uler eine bewu te Anstrengung zur L�osungs�ndung
unternehmen mu �
����� Aufgaben
Auch mathematische Probleme m�ussen deutlich von mathematischen Auf�
gaben�� abgegrenzt werden� Zum L�osen einer Aufgabe sind die Methoden be�
reits bekannt� zum L�osen eines Problems hingegen im allgemeinen nicht� F�ur
die L�osung eines Problems mu die Person kreativ sein und eigene L�osungs�
methoden �nden� es m�ussen fr�uher erworbene Kenntnisse in einer neuen und
unbekannten Situation verwendet werden� Hierzu schreibt Polya�
��In diesem Zusammenhang wird auch von Standard� bzw� Routineaufgaben gesprochen�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
To solve a problem is to �nd the way where no way is known o��hand�to �nd a way out of a di�culty� to �nd a way around an obstacle� to at�tain a desired end� that is not immediately attainable� by appropriatemeans� �Polya���� S� �
Wenn beispielsweise der Lehrer im Unterricht ein einf�uhrendes Beispiel�Prob�
lem aus dem Schulbuch l�ost und somit auch gleichzeitig einen m�oglichen
L�osungsweg hierf�ur aufzeigt� dann sind die noch verbleibenden�Probleme�
aus dieser Aufgabenklasse keine Probleme mehr im Sinne der De�nition�
Die L�osungsstrategien sind f�ur die Sch�uler ja nicht l�anger unbekannt� Nach
der Au�assung von Krulik und Rudnick l�osen die Sch�uler nun zwar noch
�Probleme�� es handelt sich hierbei aber nicht mehr um �de�nitionsgem�a es�
Probleml�osen��� Derartige�Probleme�� die vorwiegend zum Ein�uben von Re�
chenverfahren etc� entwickelt worden sind� sollten als Aufgaben bezeichnet
werden �vgl� �Krulik�Rudnick���� S� ������
�� Klassi�zierungen von Problemen
Verschiedene Probleme k�onnen unterschiedliche Charakteristiken aufweisen�
So wird es sich z�B� zeigen� da auch die Probleme der empirischen Un�
tersuchung voneinander abweichende Merkmale aufweisen� die bei der Aus�
wertung der zugeh�origen L�osungen von Bedeutung sein werden� Daher ist
zun�achst eine genaue Klassi�zierung aller Probleme zwingend notwendig� In
diesem Abschnitt werden unterschiedliche M�oglichkeiten hierf�ur aufgezeigt�
So k�onnen Probleme einerseits mit Hilfe verschiedener Barriere�Typen�� un�
terschieden werden� Probleme k�onnen andererseits aber auch di�erenziert
werden hinsichtlich der O�en� bzw� Geschlossenheit von Anfangs� und Ziel�
zustand oder �uber die zur L�osung notwendigen Denkprozesse� Zum Abschlu
dieses Abschnitts wird noch eine M�oglichkeit f�ur eine Klassi�zierung speziell
von mathematischen Problemen� so wie sie im Schulunterricht Anwendung
�nden k�onnen� vorgestellt�
��Es ist anzumerken� da� das L�osen von Problemen ��solving problems�� und Problem�
l�osen ��problem solving�� in der Literatur unter Umst�anden unterschiedlich verstanden
werden� Hierzu schreiben Krulik und Rudnick��There is a world of di�erence between
problem solving und merely solving problems� �Krulik�Rudnick���� S� ���� Im Rahmendieser Arbeit wird zwischen beiden Ausdr�ucken jedoch nicht di�erenziert�
��Der Begri� der Barriere ist durch D�orner gepr�agt worden�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
����� Klassi�zierung �uber Barrieren
Die Klassi�kation von Problemen mit Hilfe verschiedener sogenannter Barrie�
ren geht auf D�orner zur�uck� Im Abschnitt ����� ist seine De�nition eines Prob�
lems bereits diskutiert worden� Nach seinem Verst�andnis von einem Problem
verhindern eben diese Barrieren die M�oglichkeit der sofortigen Transformati�
on des Anfangszustandes in den erw�unschten Zielzustand �vgl� �D�orner�����
Zur genauen Beschreibung der unterschiedlichen Barriere�Typen ist es erfor�
derlich� zun�achst noch die Begri�e�Operator� und
�Operation� einzuf�uhren�
Unter einem Operator versteht man die allgemeine Form einer Handlung� die
den Anfangszustand in den Zielzustand �uberf�uhrt� also das f�ur die L�osung
des Problems zur Verf�ugung stehende Handlungsprogramm� Dagegen ist ei�
ne Operation die konkrete Ausf�uhrung eines Operators� seine Realisierung�
Eine aktuelle Operation ist immer nur eine der meist zahlreichen Realisie�
rungsm�oglichkeiten eines Operators �vgl� hierzu �D�orner��� S� �����
������� Interpolationsbarriere
Bei Problemen mit einer Interpolationsbarriere bzw� bei Interpolationsprob�
lemen besteht die einzige Schwierigkeit darin� die f�ur die L�osung notwendigen
Operatoren auszuw�ahlen und diese anschlie end geschickt zu kombinieren
bzw� zu hierarchisieren� Der Probleml�osende mu also nicht zun�achst nach
richtigen Operatoren suchen� da diese von Anfang an bereits bekannt sind� In
einem solchen Fall ist allein die Interpolation zwischen dem festgelegten An�
fangszustand und dem ebenfalls festgelegten Zielzustand behindert� es liegt
eine Interpolationsbarriere vor� Kurz� der Probleml�osende wei � was er errei�
chen will� und er kennt die Mittel daf�ur�
Ein Beispiel f�ur ein Interpolationsproblem ist das sogenannte�Kursbuchprob�
lem�� Eine Person m�ochte um ���� Uhr vom einem Ort A zu einem Ort B
reisen� Startpunkt und Zielpunkt sind also bekannt� Das Kursbuch enth�alt
alle erforderlichen Transformationen� Die L�osung des Problems besteht dann
lediglich aus der richtigen zeitlich�r�aumlichen Hintereinanderschaltung der
einzelnen Transformationen�
������� Synthesebarriere
Bei Problemen mit einer Interpolationsbarriere sind dem Probleml�oser die f�ur
die L�osung notwendigen Operatoren bekannt� Dagegen ist dem Probleml�osen�
den bei Problemen mit einer Synthesebarriere bzw� bei Syntheseproblemen
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
bewu t � entweder von Beginn an oder nach einigen erfolglosen L�osungs�
versuchen �� da die ihm bekannten Mittel zur L�osung des Problems allein
nicht ausreichen� In diesem Fall mu der Probleml�osende auch die richtigen
Operatoren selbst entdecken oder wiedererkennen� bei Interpolationsproble�
men mu ten diese ja eben nur kombiniert werden� Bei Syntheseproblemen
ist also das Operator�Inventar zu erweitern� weil wichtige Operatoren noch
unbekannt sind� Kurz� der Probleml�osende wei � was er erreichen m�ochte�
aber er kennt die Mittel daf�ur nicht�
Es sei noch einmal an die Bestrahlungsaufgabe von Duncker erinnert �vgl�
hierzu Abschnitt ������� Hierbei handelt es sich um ein Problem mit Synthese�
barriere� Die Versuchsperson kennt sowohl den Anfangszustand �Person mit
Geschwulst�� als auch das erw�unschte Ziel �vom Geschwulst befreite Person��
aber die Mittel zur �Uberf�uhrung des Anfangszustandes in den Endzustand�
also die korrekte Anwendung der Strahlen� sind unbekannt� Viele Denksport�
aufgaben� beispielsweise Lagever�anderungen von Streichh�olzern� enthalten
Synthesebarrieren� Probleme mit Interpolations� oder Synthesebarriere ha�
ben eine wesentliche �Ubereinstimmung� Bei beiden Problemtypen sind dem
Probleml�oser sowohl der Anfangs� als auch der Zielzustand bekannt� Sie un�
terscheiden sich allein durch den Bekanntheitsgrad der zur Transformation
erforderlichen Operatoren� Auf Probleme des Alltags tri�t dieses allerdings
nicht immer zu� Dieses f�uhrt D�orner zu einer weiteren Dimension in der Un�
terscheidung von Problemen� die Bekanntheit des Zielzustandes�
������� Dialektische Barriere
Probleme mit einer dialektischen Barriere bzw� dialektische Probleme sind
dadurch gekennzeichnet� da der Zielzustand f�ur den Probleml�osenden nicht
eindeutig festgelegt ist� Erst im Verlauf des L�osungsprozesses wird das Ziel�
unter Ber�ucksichtigung der m�oglichen Alternativen� manifestiert� In diesem
Zusammenhang spricht D�orner auch von hinsichtlich des Zielzustandes o�e�
nen Problemen���
Je o�ener ein Problem hinsichtlich des Zielzustandes ist� in um soh�oherem Ma�e mu� eine dialektische Prozedur zur Zielsetzung ver�wendet werden� desto mehr mu� man also versuchen� durch Erzeu�gen und nachfolgende Beseitigung von Widerspr�uchen sukzessiv einePr�azisierung der Zielvorstellung zu erreichen� �D�orner���� S� ��
Als ein klassisches Beispiel f�ur ein Problem mit einer dialektischen Barriere
gilt das Schachspiel� Beiden Spielern ist der gew�unschte Endzustand� n�amlich
��Zur De�nition eines o�enen Problems vergleiche Abschnitt �����
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
die Schachmatt�Stellung des Gegenspielers� im Prinzip von Beginn an be�
kannt� das genaue Aussehen des Zielzustandes kennen sie allerdings nicht�
Aufgrund der unz�ahligen Varianten f�ur Schachmatt�Stellungen kann jedoch
keiner der Spieler dieses Ziel direkt anstreben� anf�angliche Zielvorstellungen
m�ussen nach jedem Spielzug neu �uberdacht und der aktuellen Spielsituation�
z�B� aufgrund von Verlusten eigener oder fremder Spiel�guren� angepa t wer�
den�
������� Zusammenfassung und Erweiterung der Barriere�Typen
Die drei zuvor diskutierten Problemarten weisen eine Gemeinsamkeit auf�
Es erfolgt allein eine Unterscheidung einerseits hinsichtlich der Bekanntheit
der Mittel und andererseits hinsichtlich der Klarheit des Zielzustandes� der
Bekanntheitsgrad des Anfangszustandes wird v�ollig au er Acht gelassen� Ge�
rade dieser Aspekt kann aber auch bei der Unterscheidung von Problemen
von Bedeutung sein und f�uhrt zu der Notwendigkeit einer di�erenzierteren
Zuordnung dieser Barriere�Typen� So unterscheidet beispielsweise Sell einer�
seits nach dem Bekanntheitsgrad der Operatoren und andererseits nach dem
Bekanntheitsgrad des Anfangs� und des Zielzustandes �vgl� �Sell�������
Sind sowohl die Ist� als auch die Soll�Kriterien bekannt und ist die L�osung des
Problems allein durch die Ausf�uhrung verschiedener bekannter Operatoren
m�oglich� dann spricht man � wie bereits dargelegt � von einem Interpola�
tionsproblem oder auch von einem analytischen Problem� M�ussen hingegen
die Operatoren zur L�osung des Problems erst gefunden werden� und zwar
unabh�angig davon� ob die Ist� und Soll�Kriterien gut oder schlecht de�niert
sind� so liegt ein Problem mit Synthesebarriere bzw� ein synthetisches Prob�
lem vor� Dialektische Probleme sind dann gegeben� wenn entweder die Ist�
Kriterien oder die Soll�Kriterien schlecht oder nicht vollst�andig de�niert sind
und zur L�osung des Problems eine Reihe bekannter oder unbekannter Ope�
ratoren ben�otigt werden� Diese Klassi�zierung ist nicht starr� es treten auch
Mischformen auf� Es mu noch einmal daran erinnert werden� da stets zur
genauen Einordnung eines Problems zwingend die individuelle Wissensstruk�
tur des jeweiligen Probleml�osenden zu ber�ucksichtigen ist�
��Hierbei werden Anfangszust�ande auch als Ist�Kriterien und Ziel� bzw� Endzust�andeauch als Soll�Kriterien bezeichnet�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
����� Klassi�zierung hinsichtlich der Oen bzw� Ge
schlossenheit der Zust�ande des Problems
Eine andere Unterscheidung von Problemen kann ausschlie lich �uber die Be�
kanntheitsgrade des Anfangs� und des Zielzustands erfolgen� In Abh�angigkeit
davon� ob der Anfangs� und der Zielzustand gut oder schlecht de�niert sind�
ergeben sich vier unterschiedliche Problemtypen��� Diese werden in der Regel
wie folgt zusammengefa t�
� Geschlossenes Problem
Man bezeichnet ein Problem dann als geschlossen� wenn sowohl der
Anfangszustand als auch der Zielzustand gut de�niert sind� d�h� beide
sind dem Probleml�oser von Beginn an bekannt�
� O�enes Problem
Ein Problem� bei dem entweder der Anfangszustand oder der Zielzu�
stand oder sogar beide Zust�ande gleichzeitig schlecht de�niert sind�
d�h� dem Probleml�osenden mehr oder weniger unbekannt sind� wird als
o�enes Problem bezeichnet�
Im Rahmen der empirischen Untersuchung war eine Beschr�ankung auf ge�
schlossene Probleme erforderlich� da o�ene Probleme gr�o tenteils derart kom�
plex sind� da eine zufriedenstellende Bearbeitung der Problemstellungen
durch die Sch�uler in der ihnen zur Verf�ugung stehenden Zeit �maximal ei�
ne Unterrichtsstunde f�ur den gesamten Arbeitsbogen� nicht zu gew�ahrleisten
gewesen w�are�
����� Klassi�zierung hinsichtlich der bei der L�osung
des Problems involvierten Denkprozesse
Im Abschnitt ����� sind neben dem Begri��Denken� auch verschiedene Arten
des Denkens diskutiert worden� hierbei erfolgte auch eine Unterscheidung
zwischen konvergentem und divergentem Denken� Diese beiden Arten des
Denkens f�uhren zu einer entsprechenden M�oglichkeit der Klassi�zierung von
Problemen�
� Konvergentes Problem
Man spricht von einem konvergenten Problem� wenn f�ur seine L�osung
��Eine n�ahere Beschreibung einer solchen Klassi�zierung �ndet man beispielsweise bei�Reitmann����
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
konvergentes Denken ausreichend ist� Das gew�unschte Ziel ist eindeutig
vorgegeben� Meistens gibt es nur einen einzigen Weg� auf welchem die�
ses Ziel erreicht werden kann� Konvergente� mathematische Probleme
k�onnen im allgemeinen algorithmisch gel�ost werden�
� Divergentes Problem
Dem gegen�uber spricht man von einem divergenten Problem� wenn f�ur
die L�osung des Problems divergentes Denken erforderlich ist� Derartige
Probleme sind gekennzeichnet durch eine Vielzahl von L�osungswegen�
auf welchen der Probleml�oser das Ziel erreichen kann� In der Regel ist
dieses Ziel selbst auch nicht genau vorgegeben�
����� Klassi�zierung mathematischer Probleme � eine
M�oglichkeit
Die drei zuvor vorgestellten Klassi�zierungsarten sind f�ur alle auftretenden
Probleme verwendbar� Trotzdem ist es erforderlich� speziell mathematische
Probleme� so wie sie im Unterricht Anwendung �nden� noch einmal geson�
dert zu di�erenzieren� Bei der n�aheren Betrachtung verschiedener B�ucher f�ur
den Mathematikunterricht an Schulen bzw� unterschiedlicher Lehrpl�ane und
Richtlinien f�ur Schulen stellt man fest� da eine gro e Zahl von unterschied�
lichen mathematischen Aufgaben bzw� Problemen existiert� Es gibt verschie�
dene Arten� diese mathematischen Probleme einzuordnen� Eine m�ogliche und
auch allgemein anerkannte Art der Klassi�zierung von mathematischen Prob�
lemen liefern Charles und Lester �vgl� �Charles�Lester���� S� ���
������� �Ubungsaufgaben
Reine �Ubungsaufgaben ��drill exercises�� sollen dazu dienen� die Anwendung
von Algorithmen und Grundrechenarten bei den Sch�ulern zu verinnerlichen�
Charles und Lester bezeichnen diese zwar als Probleme� nach dem zuvor
diskutierten Verst�andnis von Aufgaben und Problemen und unter Ber�uck�
sichtigung der bereits gemachten� individuellen Erfahrungen des jeweiligen
Probleml�osers werden diese in der Regel allerdings den Standard�Aufgaben
zugeordnet� Wird einem Sch�uler z�B� die schriftliche Multiplikation erkl�art�
so ist ihm dieses Verfahren bekannt� er mu es bei entsprechend gestellten
Aufgaben nur noch anwenden� �Ubungsaufgaben werden auch als�algorithmic
exercises� bezeichnet �vgl� �Butts���� S� �����
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
������� Translationsprobleme
Durch Translationsprobleme ��translation problems�� sollen die Sch�uler ler�
nen� beschriebene reale oder realistische Situationen in mathematische Aus�
dr�ucke zu �uberf�uhren� Diese Probleme f�ordern das Verstehen von mathemati�
schen Konzepten und helfen� rechnerische F�ahigkeiten zu erlangen� Einfache
und komplexe Translationsprobleme unterscheiden sich nur dadurch� da bei
einem komplexen Translationsproblem sowohl mehr als nur eine �Uberf�uhrung
als auch mehr als nur eine Rechenoperation erforderlich ist� In der Litera�
tur werden diese Problemtypen auch als Anwendungsprobleme ��application
problems� �Butts���� S� ���� bezeichnet� da sie die Anwendung von Algo�
rithmen erfordern� oder einfach als gew�ohnliche Textaufgaben ��textbook
problems� �LeBlanc���� S� ������
������� Proze�probleme
Probleme� f�ur deren L�osung eigene Denkprozesse erforderlich sind� beispiels�
weise Planen� Raten oder Sch�atzen� geh�oren zur Gruppe der Proze probleme
��process problems��� Der Sch�uler mu zur Bearbeitung dieser Probleme eine
Vielzahl von Strategien und Prozessen zum Verstehen� Planen und L�osen der
Probleme selbst entwickeln�
������� Angewandte Probleme
Angewandte Probleme� ��applied problems�� sind sehr komplexe Probleme�
die reale� zumindest aber realistische Situationen des t�aglichen Lebens be�
schreiben� Zur L�osung solcher Probleme werden mathematische F�ahigkeiten�
Tatsachen� Konzepte und Prozeduren ben�otigt� Oft erfordern diese Probleme
viel mehr als nur die Anwendung von Mathematik� jedoch ist die Mathema�
tik stets ein Schl�ussel zur L�osungs�ndung� Durch solche Probleme k�onnen
die Sch�uler lernen� den Nutzen der Mathematik in Situationen des t�aglichen
Lebens zu erkennen�
������ Puzzle�Probleme
Eine letzte Gruppe von Problemen bilden die sogenannten Puzzle�Probleme
��puzzle problems��� Normalerweise k�onnen diese Probleme oft nur durch
�Diese Probleme werden h�au�g auch als Problem�Situationen bezeichnet� vergleichez�B� �Butts�� � S� ���
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
gl�uckliches Raten� unsystematisches oder systematisches Versuch�und�Irr�
tums�Verhalten oder durch �Uberdenken des Problems auf ungew�ohnlichen
und verschiedenen Wegen gel�ost werden� Puzzle�Probleme unterscheiden sich
von den bisher klassi�zierten Problemen dadurch� da sie nicht notwendiger�
weise die Anwendung von Mathematik erfordern und da eine sorgf�altige
Analyse der gegebenen Daten oft nur wenig hilfreich ist zur Findung einer
L�osung� Vielmehr ist f�ur die L�osung ein gewisser Trick notwendig� Um ein
solches Problem anzugehen ist allerdings ein gro es Ma an Flexibilit�at er�
forderlich�
��� Modelle f�ur das L�osen mathematischer
Probleme
In diesem Abschnitt werden verschiedene Modelle zum L�osen mathematischer
Probleme diskutiert� die auf unterschiedlichen Ans�atzen beruhen� Diese Mo�
delle werden sp�ater eine Grundlage f�ur die Auswahl der bei der Bewertung im
Rahmen der empirischen Untersuchung angewendeten Skalen bilden� Bevor
die eigentlichen Modelle diskutiert werden� ist es notwendig aufzuzeigen� wel�
chen unterschiedlichen Anforderungen derartige Modelle �uberhaupt gen�ugen
sollen� Eine umfassende Aufstellung hierzu liefert Kieswetter�
a� Das Modell soll u�a� in der Lehrerausbildung verwendet werden�gegebenenfalls auch im Unterricht� Es soll deshalb m�oglichst ein�fach und �uberschaubar sein und ohne einen gro�en Apparat anFachbegri�en auskommen�
b� Die dann notwendigerweise grobe Modellierung mu� o�en seinf�ur Feinstrukturierung und f�ur Erg�anzungen �z�B� hinsichtlichindividueller Komponenten��
c� Die aus Berichten �uber und beim Beobachten von Probleml�ose�prozessen erkennbaren und wichtigen Ph�anomene sollen im Mo�dell erkl�arbar sein�
d� Die Modellierung soll Voraussagen �uber Probleml�oseverhaltenerm�oglichen� welche getestet werden k�onnen� Ein Teil der Erpro�bung soll auch ohne gro�e Forschungsmittel � etwa innerhalb vonUnterrichtsseminaren � m�oglich sein�
e� Die Modellierung soll gezielte und neue Anregungen und Hinwei�se f�ur die Gestaltung von Mathematikunterricht liefern� Verbes�serung von Probleml�osef�ahigkeiten� Unterrichtsmaterialien �Ver�anschaulichung und Superzeichenbildung�� Auswahl von geeig�neten Probleml�osesequenzen f�ur den problemorientierten Unter�richt usw�
�Kieswetter��� S� ���
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
Es sei hier noch einmal an den Abschnitt ����� erinnert� in welchem der
Begri��Probleml�osen� diskutiert worden ist� Es hat sich gezeigt� da Prob�
leml�osungsprozesse aufgefa t werden k�onnen als eine spezielle Klasse aller
Denkprozesse� Kieswetters Anforderungen an ein Modell zur Beschreibung
von Probleml�oseprozessen sind sehr umfassend� Schon jetzt kann gesagt wer�
den� da nicht jedes derartige Modell allen oben gestellten Anforderungen
gleichzeitig gerecht werden kann und will� Generell k�onnen alle Modellbil�
dungen mathematischer Probleml�osungsprozesse hinsichtlich ihres Hauptan�
liegens grob in zwei unterschiedliche Kategorien unterteilt werden� Ein Teil
dieser Modelle dient dazu� diejenigen Prozesse theoretisch zu beschreiben�
die bei der L�osung eines Problems beim Probleml�osenden selbst ablaufen�
Da diese Modelle allerdings keine Grundlage f�ur eine vektorielle Skala bil�
den k�onnen� so wie sie im Rahmen der empirischen Untersuchung verwendet
wird� werden nachfolgend nur die beiden graphentheoretischen Modelle von
Kieswetter exemplarisch vorgestellt� auf die Diskussion anderer derartiger
Modelle wird bewu t verzichtet�
Bei dem anderen Teil der Modelle werden zwar auch die Probleml�osungs�
prozesse beschrieben� aber durch diese Beschreibung sollen sie eher als eine
Orientierung bzw� Hilfestellung f�ur den Probleml�osenden selbst dienen� da�
mit dieser Problemstellungen erfolgreich angehen und l�osen kann� Derartige
Modelle sind als Grundlage f�ur eine vektorielle Skala geeignet� die wohl wich�
tigsten Modelle werden in den nachfolgenden Unterabschnitten vorgestellt�
In der fachdidaktischen Literatur �ndet man dar�uber hinaus noch eine Viel�
zahl anderer solcher Modelle� Diese sind jedoch �uberwiegend hervorgegangen
aus den�Basismodellen� von Polya oder von Charles und Lester� indem die
Autoren diese Modelle ihren jeweiligen Untersuchungsgegenst�anden angepa t
haben� Diese Modelle unterscheiden sich von den oben genannten Modellen
mehr oder weniger �vgl� hierzu auch �Kieswetter����� �Sell�����
����� VierPhasenModelle
Als zwei f�ur die Mathematik�Didaktik sehr bedeutende Vier�Phasen�Modelle
k�onnen die Modelle von Polya und von Lester �bzw� von Charles und Lester�
angesehen werden� Diese werden in diesem Abschnitt n�aher erl�autert�
������� Das Modell von Polya
Eines der ersten Modelle f�ur das L�osen von mathematischen Problemen
stammt von Polya� er stellt es in seiner ��� erschienenen Ver�o�entlichung
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
How To Solve It erstmalig vor �vgl� auch �Szetela������ Polya versteht sein
Buch als einen Leitfaden f�ur Lehrer� die Probleml�osen in den Mathematikun�
terricht integrieren wollen� Anf�anglich sind die Sch�uler mit dem Probleml�osen
noch nicht vertraut� Nach seiner Au�assung ist es daher eine der wichtigsten
Aufgaben eines Lehrers dem Sch�uler zu helfen� Diese Hilfestellung sollte ge�
geben werden durch das Stellen von festgelegten Fragen� welche auf die ein�
zelnen L�osungsschritte wieder und wieder hinweisen �vgl� �Polya���� S� �f���
Polya gliedert den Probleml�oseproze in vier einzelne Arbeitsphasen� Zu je�
der dieser Phasen nennt er Fragen� die dem Sch�uler eine Hilfestellung f�ur die
Bearbeitung bieten k�onnen� und er erl�autert diese Fragen anhand von Bei�
spielproblemen eingehend� Zusammenfassend l�a t sich sein Modell f�ur das
Probleml�osen wie folgt beschreiben���
�� Verstehen des Problems
Was ist unbekannt bzw� gesucht ! Welche Daten sind gegeben ! Wie
lautet die Bedingung
�� Entwicklung eines Plans
Hast Du das Problem schon einmal gesehen ! Kennst Du ein verwandtes
Problem ! Sieh Dir das Gesuchte an� Versuche Dich an ein vertrautes
Problem zu erinnern� bei welchem Gleiches oder �Ahnliches gesucht war� !
Kannst Du ein zu Deinem Problem verwandtes und bereits gel�ostes Prob�
lem anwenden ! Kannst Du das Problem neu �und besser� formulieren
! Wenn Du das gegebene Problem nicht l�osen kannst� versuche zuerst
ein verwandtes Problem zu l�osen� ! Hast Du alle Daten verwendet Hast
Du die ganze Bedingung angewendet
�� Ausf�uhrung des Plans�Uberpr�ufe jeden Schritt� !Kannst Du deutlich erkennen� da jeder Schritt
richtig ist ! Aber kannst Du beweisen� da jeder Schritt richtig ist
�� R�uckblick
Kannst Du das Ergebnis �uberpr�ufen ! Kannst Du die Folgerung �uber�
pr�ufen ! Kannst Du das Ergebnis auf verschiedenen Wegen erhalten !
Kannst Du dieses auf einen Blick erkennen ! Kannst Du das Ergebnis
oder die Methode f�ur ein anderes Problem verwenden
Eine vollst�andige Orientierung am Modell von Polya bei der L�osung von
Problemen kann in der Praxis zu Schwierigkeiten f�uhren� So ist es norma�
lerweise kaum m�oglich� einen Plan f�ur die L�osung zu entwickeln� wenn man
��Zu jeder der vier einzelnen Arbeitsphasen sind die f�ur diese Phase typischen Frage�stellungen von Polya angegeben�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
nicht wei � wie man das Problem angehen mu � selbst wenn man das ei�
gentliche Problem vollst�andig verstanden hat� Vorteile k�onnen hier beispiels�
weise Modelle bieten� bei denen die Phasen�Entwicklung eines Plans� und
�Ausf�uhrung des Plans� zu einer Phase zusammengefa t werden���
������� Das Modell von Lester
Das im Jahre ��� von Lester vorgestellte Modell unterscheidet sich nicht
wirklich wesentlich von dem Vier�Phasen�Modell von Polya� Auch Lester un�
terteilt den Probleml�osungsproze in diese vier einzelnen Phasen�
�� Verstehen des Problems und Analyse des Ziels
�� Entwicklung eines Plans
�� Umsetzung des Plans
�� Auswertung der L�osung
Dieses Modell greifen Charles und Lester vier Jahre sp�ater noch einmal
in Teaching Problem Solving� What� Why � How auf �vgl� beispielsweise
�Charles�Lester���� S� ����� Diese Ver�o�entlichung richtet sich vor allem an
Lehrende und zeigt unter anderem M�oglichkeiten daf�ur auf� wie Probleml�osen
als ein wichtiger Bestandteil in den Mathematikunterricht integriert werden
kann� Die Hauptaufgabe eines Lehrers sollte es sein� den Sch�ulern grundlegen�
de �Probleml�ose��Strategien�� zu vermitteln� Es ist wichtig� da der Lehrer
die Anwendung dieser Strategien seitens der Sch�uler stets beobachtet resp�
�uberpr�uft� Grunds�atzlich gibt es zwei Arten von Strategien� Die allgemeinen
Strategien dienen im wesentlichen dazu� ein Problem anzugehen� die Haupt�
aufgabe der Hilfsstrategien ist es� die Verwendung einer allgemeinen Strategie
zu vereinfachen� So ist es nach Charles und Lester hilfreich� jeder dieser vier
L�osungsphasen � im Gegensatz zu Polya� der jeder Phase ja typische Fra�
gen zugewiesen hat � gewisse Strategien zuzuordnen� die eine Hilfestellung
f�ur den Probleml�osenden bieten k�onnen� Beispiele f�ur allgemeine Strategien
sind unter anderem das Suchen nach Mustern� das Raten und Pr�ufen� das
Zeichnen eines Bildes� das Erstellen einer geordneten Liste oder das Erstel�
len einer Tabelle� Zu den Hilfsstrategien z�ahlen beispielsweise das Erz�ahlen
des Problems mit eigenen Worten oder das �Uberpr�ufen� ob das gegebene
��Solche Modelle werden im Abschnitt ���� dieses Kapitels diskutiert���Unter einer Strategie fassen Charles und Lester alle F�ahigkeiten und Prozesse zusam�
men� die in ein erfolgreiches Probleml�osen involviert sind�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Problem zu wenig� genug oder zu viele Informationen enth�alt� Dieses Modell
dient dar�uber hinaus als Basis f�ur das von Charles und Lester entwickelte
dreiphasige Modell f�ur das Probleml�osen�
����� DreiPhasenModelle
Die Problematik� die sich bei der Anwendung eines Vier�Phasen�Modells f�ur
einen Probleml�oser bei der Entwicklung eines Plans und seiner anschlie en�
den Ausf�uhrung ergeben kann� ist bereits im letzten Abschnitt dargelegt
worden� Wird beim Probleml�osen dagegen nach einem dreiphasigen Modell
vorgegangen� so treten diese Schwierigkeiten im allgemeinen nicht auf� Auch
kennen Sch�uler in der Regel Textaufgaben aus dem�normalen� Mathematik�
unterricht� F�ur deren L�osung ist ihnen der ebenfalls dreiphasige L�osungsweg
�Frage ! Rechnung ! Antwort� bereits bekannt��� Beide Gr�unde f�uhren
zu einer Favorisierung von Drei�Phasen�Modellen� Daher ist es notwendig� in
diesem Abschnitt die aktuellen Modelle von Charles und Lester sowie von
Mason noch einmal detailliert vorzustellen�
������� Das Modell von Charles und Lester
Von Charles und Lester ist das folgende Drei�Phasen�Modell entwickelt wor�
den� welches als eine Anleitung zum Probleml�osen verstanden werden soll
und das sp�ater als Basis der im Rahmen der empirischen Untersuchung be�
trachteten vektoriellen Bewertungsskalen dienen wird� Charles und Lester
bezeichnen ihr Modell selbst als einen�Problem�Solving Guide�� welchen je�
der Sch�uler w�ahrend des gesamten Schuljahres vorliegen haben sollte �vgl�
�Charles�Lester���� S� ������ Jeder Phase sind dabei generelle Strategien zu�
geordnet���
�� Verstehen des Problems
Lies das Problem� ! Entscheide� was Du �nden kannst� ! Finde die
wichtigen Daten�
��Auch dieser Grund ist mit ausschlaggebend daf�ur� da� f�ur die Messung der Problem�l�oseleistungen im Rahmen der empirischen Untersuchung allein vektorielle Skalen auf derBasis von Drei�Phasen�Modellen diskutiert werden und Skalen auf der Basis von Vier�Phasen�Modellen nicht betrachtet werden�
��Diese generellen Strategien werden bei Polya auch als heuristische Strategien bezeich�net� vergleiche hierzu Abschnitt �� dieses Kapitels� Die nachfolgend zu jeder einzelnenL�osungsphase aufgef�uhrten generellen Strategien zeigen nur eine kleine Auswahl allerm�oglichen generellen Strategien�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
�� L�osen des Problems
Suche nach Mustern� ! Zeichne ein Bild� ! Rate und pr�ufe� ! Erstelle
eine geordnete Liste� ! Schreibe Zahlenfolgen� ! Erstelle eine Tabelle�
! Verwende logisches Denken� ! Benutze Gegenst�ande oder probiere� !
Arbeite r�uckw�arts� ! Vereinfache das Problem�
�� Beantworten des Problems und Bewerten der Antwort
Sei Dir sicher� da Du alle wichtigen Informationen verwendet hast� !�Uberpr�ufe Deine Arbeit� ! Entscheide� ob die Antwort Sinn macht� !
Schreibe die Antwort als einen vollst�andigen Satz�
������� Das Modell von Mason
Als ein weiteres dreiphasiges Modell soll noch das Modell von Mason ausdem Jahre �� vorgestellt werden� welches ebenfalls eine konkrete Hilfe�stellung f�ur das Angehen von Problemstellungen geben m�ochte� Sein BuchHexeneinmaleins� kreativ mathematisch denken adressiert sich an
� alle� die glauben� da� Mathematik mehr ist als etwas aufpoliertesRechnen und genau wissen wollen� was�
�� alle� die ihre F�ahigkeiten entdecken und vertiefen wollen� mathe�matische Konzepte zu verstehen und anzuwenden�
� alle� die mathematische Denkweisen bei anderen f�ordern wollen�
�Mason���� Umschlagseite ��
Mason gliedert in seinem Modell die Arbeit an einem mathematischen Prob�
lem � genau wie auch Charles und Lester � grob in drei Phasen� wobei die�Uberg�ange zwischen den einzelnen Phasen allerdings nicht v�ollig starr sind�
Zu jeder dieser Phasen geh�oren einerseits bestimmte Denkvorg�ange� ande�
rerseits werden diesen Phasen nun Schl�usselw�orter als Hilfestellung f�ur die
L�osung des Problems zugeordnet��� Die folgende Aufstellung verdeutlicht die�
sen Zusammenhang �vgl� �Mason��� S� ����
��Es sei hier noch einmal an das Modell von Polya erinnert� bei diesem waren typischeFragen die Hilfestellung� und an das Modell von Charles und Lester� bei diesem warenStrategien die Hilfestellung�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Denkvorgang Phase Schl�usselw�orter
Spezialisieren Planung bekannt
Ziel
Hilfsmittel
Spezialisieren Durchf�uhrung Schwierigkeiten
Verallgemeinern AHA"
Verallgemeinern R�uckblick Test
Nachdenken
Verallgemeinern
Durch die Betrachtung von Spezialf�allen sollte der Probleml�oser zun�achst
feststellen� was bekannt ist� was das Ziel ist und welche Hilfsmittel zweckm�a i�
gerweise verwendet werden sollten� Hierdurch wird eine Grundlage f�ur die
sp�atere Verallgemeinerung gebildet� Wenn sich der Probleml�osende mit die�
sen Fragen eingehend auseinandergesetzt hat� beginnt die eigentliche Durch�
f�uhrung� Die notwendigen T�atigkeiten in dieser Phase sind� abh�angig von der
Problemstellung� sehr unterschiedlich� Die zentralen mathematischen Tech�
niken dieser Phase sind jedoch immer das Vermuten und das F�uhren von
Beweisen� Anhand von Spezialf�allen werden Vermutungen aufgestellt� die�
se Vermutungen werden anschlie end verallgemeinert und nachgewiesen� Die
Problembearbeitung endet mit einem R�uckblick auf die Probleml�osung�
Es sei an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen� da man in der Li�
teratur viele unterschiedliche Drei�Phasen�Modelle �ndet� die sich allerdings
nicht wirklich wesentlich voneinander unterscheiden� Daher wird auf die Vor�
stellung weiterer derartiger Modelle im Rahmen dieser Arbeit verzichtet�
����� Ein graphentheoretischer Ansatz die Modelle
von Kieswetter
Einen v�ollig anderen Versuch zur Modellierung von Probleml�osungsprozessen
unternimmt Kieswetter im Jahre ��� �vgl� hierzu �Kieswetter���� S� ������
Im Gegensatz zu den bisher diskutierten Modellen wird durch sein Modell
allein der kreative Probleml�osungsproze beschrieben� es gibt dem Problem�
l�osenden keinerlei Hilfestellung f�ur das Angehen von Problemen� Die Modell�
bildung von Kieswetter beruht auf Begri�en aus der mathematischen Gra�
phentheorie�
�� Die Startsituation
Der Probleml�oser beginnt hochmotiviert mit dem Probleml�osungsproze �
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Er hat� unter anderem abh�angig vom jeweiligen Problem und seinem
Wissen und K�onnen� eine gewisse Menge von Assoziationen� Der Prob�
leml�oser bildet um das Problem einen Supergraph�� aus Kenntnissen�
L�osungsmustern� S�atzen� Vorstellungen und gegenseitigen Beziehungen
und Abh�angigkeiten�
�� Superzeichenbildung zur Vereinfachung
Der unter den Startbedingungen aufgebaute Supergraph wird umfang�
reich und un�ubersichtlich sein� Der Probleml�oser wird diesen Supergraph
durch Superzeichenbildung �z�B� durch Bildung von Zwischenbegri�en
oder durch Veranschaulichung� strukturieren und vereinfachen�
�� Der pulsierende Supergraph
Der Probleml�osende wird jetzt versuchen� den Supergraph umzustruktu�
rieren� um aufgrund anderer Konstellationen zu einem L�osungsmuster zu
kommen� Hierzu kann ein mehrmaliger Umbau des Supergraphen notwen�
dig sein� Assoziationen zu weiter entfernten Dingen ersetzen ungeeignete
Routineelemente� Der Supergraph wird also ab� und anschlie end wieder
aufgebaut� er pulsiert�
�� Die letzte Phase des L�osungsprozesses
Nachdem ein �vermeintliches� L�osungsmuster gefunden worden ist� schlie t
sich noch die Phase der Veri�kation an� Diese spielt sich allein im Bewu t�
sein des Probleml�osenden ab�
Im Jahre ��� stellt Kieswetter eine Modi�zierung seines Modells vor �vgl�
hierzu auch �Kieswetter���� S� ������ Er f�uhrt jetzt die Begri�e�Material�
graph� und�L�osungsgraph� ein� beides sind Supergraphen nach dem bereits
dargelegten Verst�andnis� Der Probleml�osungsproze wird nun klar in drei
L�osungsphasen untergliedert�
�� Startphase
Die erste Phase des Probleml�osungsprozesses ist gepr�agt durch die Ausbil�
dung eines Materialgraphen im Arbeitsged�achtnis�� des Probleml�osenden�
S�amtliche Wissenselemente� und damit auch das mathematische Wissen�
��Kieswetter spricht bewu�t von einem Supergraph� da es sich mathematisch korrektnicht um einen Graph handelt� Dieser Supergraph hat verschiedene Sorten von Knoten�Begri�e� S�atze� Probleme�� zwischen welchen verschiedenartigste Sorten von Beziehungenn�otig sind� Es k�onnen auch mehrere �bewertete� gewichtete� Kanten zwischen Knotenexistieren� Der Begri�
�Supergraph� kann aufgefa�t werden als eine Verallgemeinerung
des Begri�es�Graph��
��Innerhalb von Probleml�osungsprozessen fungiert das Kurzzeitged�achtnis als Arbeits�ged�achtnis� Es dient ebenso zur Speicherung neuer Informationen wie auch zur Speicherungvon bereits vorhandenem Wissen aus dem Langzeitged�achtnis �vgl� �Kieswetter���� S� �����
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN �
sind in einem Supergraph im Langzeitged�achtnis des Probleml�osenden ge�
speichert� Durch die Auseinandersetzung mit der Problemstellung werden
die f�ur die L�osung relevanten Teile des Supergraphen als ein Materialgraph
im Arbeitsged�achtnis gespeichert� Externe Informationen erg�anzen diesen
Materialgraph� Da es sich um eine Problemstellung handelt� L�osungsrou�
tinen dem Bearbeiter also v�ollig unbekannt sind� kann dieser erste Mate�
rialgraph noch keinen L�osungsgraph enthalten�
�� Kreative Phase
Ziel dieser zweiten Phase des Probleml�osungsprozesses ist die Bildung ei�
nes L�osungsgraphen� Der Materialgraph mu so lange ver�andert werden�
bis sich darin eine L�osung des Problems zeigt� Die Anwendung heuristi�
scher Strategien�� bewirkt beispielsweise eine Ver�anderung des Material�
graphen� Im Verlauf dieses Umbauprozesses werden neue Informationen in
den Materialgraph eingebaut und solche� welche als ungeeignet angesehen
werden� wieder entfernt� die Vernetzungsdichte nimmt zu� Der Material�
graph pulsiert solange� bis ein L�osungsgraph darin erscheint�
�� Verwertung
In der letzten Phase des Probleml�osungsprozesses reichert der L�osungs�
graph in der Regel den das Wissen repr�asentierenden Supergraph im Lang�
zeitged�achtnis an� dieses dokumentiert einen Lernvorgang�
�� Heuristische Prinzipien und Strategien
Verfahren bzw� Programme f�ur geistige Abl�aufe� welche m�oglicherweise zur
L�osung eines Problems f�uhren k�onnen� werden als heuristische Prinzipien
bzw� Heurismen bezeichnet �vgl� �D�orner��� S� ����� Die Anwendung heuri�
stischer Prinzipien garantiert nicht die L�osungs�ndung� denn dann w�urde es
sich gerade nicht mehr um ein Problem im Sinne der De�nition handeln� Dem
entgegen werden Strategien des Informationsgewinns� die in strukturell ver�
schiedenartigen Problemstellungen L�osungen oder L�osungsvorteile erm�ogli�
chen� als heuristische Strategien oder Heuristiken bezeichnet �vgl� �Klix���
S� ������ In diesem Sinne ist auch die De�nition von Schoenfeld�
Heuristic will be used here to mean a general suggestion or strategy�independent of any particular topic or subject matter� that helps prob�lem solvers approach and understand a problem and e�ciently marshaltheir resources to solve it� �Schoenfeld���� S� ��
��Vergleiche hierzu Abschnitt �� dieses Kapitels�
KAPITEL �� PROBLEME UND AUFGABEN� PROBLEML �OSEN ��
Die wohl einfachste heuristische Strategie zur L�osung eines Problems ist ein
unsystematisches Versuch�und�Irrtums�Verhalten� aber beispielsweise auch
systematisches Ausprobieren oder Raten sind m�ogliche heuristische Strate�
gien� die zur L�osung eines Problems f�uhren k�onnen� In Bezug auf mathema�
tische Probleme gibt es eine Vielzahl von heuristischen Strategien� die bei
der Ann�aherung an ein Problem und bei der anschlie enden L�osungs�ndung
selbst hilfreich sein k�onnen� beispielsweise die Betrachtung von �ahnlichen
bzw� einfacheren Problemen oder das Zeichnen von Diagrammen und Figu�
ren� F�ur jede einzelne Phase des Probleml�osungsprozesses gibt es spezielle
Heuristiken�� Solche Strategien sollten den Sch�ulern im Rahmen des Mathe�
matikunterrichts vermittelt werden� damit sie beim Probleml�osen erfolgreich
sein k�onnen�
�In Polyas Buch How To Solve It �ndet man eine sehr umfassende Aufstellung vonheuristischen Strategien�
Kapitel �
Mathematikunterricht
und Probleml�osen
Ein zentrales Unterrichtsfach einer jeden Schule ist die Mathematik� Vor die�
sem Hintergrund werden im ersten Abschnitt dieses Kapitels unterschiedliche
Gr�unde daf�ur dargelegt� warum Mathematik als Unterrichtsfach in der Schu�
le gelehrt werden mu und welchen Nutzen die Mathematik f�ur die Sch�uler
bringt bzw� bringen kann� Darauf aufbauend werden im zweiten Abschnitt
dieses Kapitels zun�achst unterschiedliche Gr�unde daf�ur diskutiert� warum
herk�ommlicher Mathematikunterricht nicht mehr allen Forderungen� die an
ihn gestellt werden� ausreichend gerecht werden kann� Daran anschlie end
wird herausgearbeitet� warum es zwingend gewissen Ver�anderungen in der
Art der zu vermittelnden Inhalte im Mathematikunterricht bedarf� die Ver�
mittlung von reinem Wissen ist mehr aussreichend� notwendig ist vor allem
die Vermittlung von Probleml�osef�ahigkeiten� Die aufgef�uhrten Argumente
sind nicht als vollst�andig anzusehen� vielmehr wurde versucht� die am wich�
tigsten erscheinenden Gr�unde kurz darzustellen�
��� Aufgaben des UnterrichtsfachsMathema�
tik
Wie auch jedes andere Unterrichtsfach hat der Mathematikunterricht schwer�
punktm�a ig zu einer zeitgem�a en Allgemeinbildung der Sch�uler beizutragen�
Hierzu z�ahlen das Vermitteln von grundlegenden Kenntnissen� F�ahigkeiten
und Fertigkeiten ebenso wie die Vermittlung von fachspezi�schem Wissen�
��
KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN �
aber auch die Anleitung zu kritischem Denken und zum Arbeiten in �uber�
greifenden Zusammenh�angen �vgl� �MSWWF��� S� ����� Dar�uber hinaus soll
das Fach Mathematik Hilfen und Anst�o e zur pers�onlichen Entfaltung der
Sch�uler in sozialer Verantwortlichkeit geben �vgl� �MSWWF�� S� ���� Nach�
folgend werden die zentralen Aufgaben des Mathematikunterrichts noch ein�
mal eingehender betrachtet�
����� Vermittlung von BasisKenntnissen und F�ahig
keiten
Durch das Erlernen eines jeden Unterrichtsfachs sollten den Sch�ulern gewisse
Grundf�ahigkeiten und �fertigkeiten sowie Basiskenntnisse vermittelt werden�
welche sie f�ur das sp�atere Leben in unserer Gesellschaft zwingend ben�oti�
gen� Betrachtet man diese Forderung speziell mit Blick auf die Mathema�
tik� so zeigt sich� da �die sichere Handhabung elementarer mathematischer
Techniken und ihre Einbettung in ein Grundverst�andnis von Mathematik un�
verzichtbar ist� um die moderne Lebenswelt durchschauen und ihre Risiken
einsch�atzen zu k�onnen� �MSWWF��� S� ���� Als Erwachsener ben�otigt man
die Mathematik im Leben t�aglich� Die Uhrzeit ablesen� Rechnungen �uber�
pr�ufen oder erstellen� Statistiken aus den Medien auswerten� das sind nur
einige der vielen Umst�ande� wo Mathematik n�utzlich oder gar notwendig ist�
diese Aufz�ahlung lie e sich beliebig erweitern� Einige Anwendungen� wie das
Ablesen der Uhrzeit� sind schon derart gew�ohnlich geworden� da man sie
gar nicht mehr als eine Anwendung der Mathematik ansieht�
����� Vermittlung von Wissen
Neben der Vermittlung von Basis�Kenntnissen und �F�ahigkeiten � dieses gilt
f�ur alle Schulformen � ist sicherlich die wichtigste Aufgabe des Mathematik�
unterrichts die Vermittlung von Wissen� Dieses gilt in besonderem Ma e f�ur
den Mathematikunterricht an Gymnasien�
Die gegenw�artige gesellschaftliche Entwicklung ist von zwei Tendenzengepr�agt� die in starker Spannung zueinander stehen� Einerseits wach�sen die technologischen Anspr�uche� andererseits nimmt die Skepsisgegen�uber dem Fortschrittsdenken zu� insbesondere angesichts �okolo�gischer Probleme� Die Spannung zwischen diesen Tendenzen l�a�t auchden allgemeinbildendenMathematikunterricht nicht unber�uhrt� Einer�seits wird in der Ausbildung f�ur immer mehr Berufe quali�ziertes ma�thematisches K�onnen gefordert� Mathematisches Wissen ist Hilfs� undBasiswissen f�ur viele Disziplinen geworden� Andererseits aber wachsendie Zweifel� ob die sich abzeichnenden globalen Probleme im Rahmen
KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN ��
des vorherrschenden mathematisch�naturwissenschaftlichen Weltbil�des l�osbar sind� seine Leitfunktion wird zunehmend kritisiert�
Das Gymnasium hat beiden Tendenzen Rechnung zu tragen� Die Sch�u�lerinnen und Sch�uler sollen sicheres mathematisches Fachwissen erwer�ben� und zugleich sollen sie lernen� mit diesem Wissen kritisch undverantwortlich umzugehen� �KMNRW��� S� �
In fast allen Bereichen unserer Gesellschaft wird heutzutage Mathematik
ben�otigt� in den Natur� und Ingenieurwissenschaften genauso wie in den
Wirtschafts� und Sozialwissenschaften��Die technische und wissenschaftli�
che Zivilisation moderner Gesellschaften beruht in hohem Ma e auf Mathe�
matik und ihren Anwendungen� �MSWWF�� S� ��� Gerade im Rahmen
des weiterf�uhrenden Mathematikunterrichts ist daher eine Vermittlung von
grundlegenden Kompetenzen erforderlich� welche die Voraussetzung f�ur ein
Hochschulstudium oder eine anspruchsvolle Berufsausbildung in den unter�
schiedlichsten Bereichen bilden �vgl� �MSWWF�� S� ����
����� Entfaltung der Pers�onlichkeit und Bereicherung
des Lebens
Das Erlernen eines Unterrichtsfachs sollte schlie lich aber auch zur Entfal�
tung der Pers�onlichkeit und in irgendeiner Art und Weise ebenfalls zur Be�
reicherung des Lebens der Sch�uler beitragen� Zahlen und Formen sind Aus�
drucksm�oglichkeit f�ur Gedanken� Emp�ndungen� Probleme und L�osungen
und sie entsprechen o�enbar Bed�urfnissen und F�ahigkeiten� die im Men�
schen angelegt sind� Z�ahlen� Rechnen und Zeichnen geh�oren zu den Kul�
turtechniken� die einen hohen Wert f�ur die Allgemeinbildung haben��Beim
Treiben von Mathematik erfahren die Menschen etwas von der Kraft ih�
res eigenen Denkens� denn sie k�onnen mathematische Objekte scha�en und
erforschen� �Vollrath������ S� ���� Der Mathematikunterricht kann insofern
zur Entfaltung der Pers�onlichkeit beitragen� indem er die Sch�uler in diese
Gedankenwelt einf�uhrt� Sie lernen zu denken und werden zugleich angeleitet�
ihr Denken kritisch zu re�ektieren� Dabei lernen sie auch etwas �uber das Den�
ken� Schlie lich k�onnen interessierte Sch�uler durch die Besch�aftigung mit der
Mathematik lohnende Erfahrungen machen� Durch das Erlernen von Mathe�
matik kann ein neuer Weg ge�o�net werden� die Umwelt aus einem anderen�
neuen Blickwinkel zu sehen� Gerade in der Verbindung mit Computern kann
die Mathematik das Leben eines Sch�ulers interessanter und reicher gestalten�
KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN ��
��� Probleml�osen als ein Teil des Mathema�
tikunterrichts
Es gibt verschiedene Gr�unde� die eine Vermittlung von Probleml�osef�ahig�
keiten im Rahmen des Mathematikunterrichts rechtfertigen k�onnen� gesell�
schaftliche und motivatorische Aspekte sind hier sicherlich an erster Stelle
zu nennen� Durch den�gew�ohnlichen� Mathematikunterricht wird die Ein�
stellung der Sch�uler gegen�uber der Mathematik nicht verbessert� Mathematik
geh�ort nach wie vor zu den eher unbeliebteren Unterrichtsf�achern� Der Grund
hierf�ur kann auch in der Unterrichtsgestaltung selbst liegen� Der Unterricht
besteht h�au�g aus der Ein�ubung unterschiedlicher Rechenverfahren� Sch�uler
werden so gut wie nie mit�Real�World��Anwendungen der Mathematik kon�
frontiert� Seitens der Lehrer oder seitens der Schulb�ucher fehlt es oft an
Versuchen� die Sch�uler f�ur echte Forschungen oder Probleml�osungen zu ge�
winnen� Durch den�gew�ohnlichen� Mathematikunterricht lernen Sch�uler in
der Regel nicht� wie sie die Mathematik zum L�osen von Problemen anwenden
k�onnen� Nachfolgend wird auf die einzelnen Gr�unde n�aher eingegangen�
����� Gesellschaftliche Gr�unde
Wir leben heute in einem Zeitalter der Hochtechnisierung� Zum einen sind
die Probleme� die sich f�ur uns im Alltag ergeben k�onnen� entsprechend kom�
pliziert und vielschichtig� Zur L�osung dieser komplexen Probleme reicht ein
einfaches� traditionelles Denken oft nicht mehr aus� Erforderlich ist vielmehr
ein komplexes Denken� ein Denken in verschiedenen Ebenen oder das Erken�
nen von schwierigen Zusammenh�angen aus verschiedenen �Fach��Bereichen�
Zum anderen unterliegt unsere heutige Gesellschaft einer stetigen Ver�ande�
rung� Dieser Wandel vollzieht sich in so schnellen Schritten� da jeder Teil
unseres Lebens davon ber�uhrt werden kann� Derart schnelle Ver�anderungen
machen eine individuelle Vorbereitung f�ur die Zukunft aus der heutigen Sicht
extrem schwierig� denn es gibt keine M�oglichkeit� zum jetzigen Zeitpunkt be�
reits pr�azise vorherzusagen� welche wissenschaftlichen und technologischen
Entdeckungen in der Zukunft gemacht werden� Gleichzeitig ist es unm�oglich
schon heute alles zu lernen� was wir in der Zukunft wissen m�ussen�
Hier sind auch die Schulen gefordert� Ihre Grundaufgabe sollte es sein� den
Sch�uler f�ur das sp�atere Leben vorzubereiten� Wenn eine Schule diese Aufga�
be gewissenhaft wahrnehmen m�ochte� mu einerseits bei der Vermittlung der
Curricula�Inhalte in den einzelnen Schulf�achern ein Umdenken statt�nden�
Andererseits m�ussen die Richtlinien und Lehrpl�ane als Konsequenz hieraus
KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN ��
selbst Wege aufzeigen� dem Sch�uler die F�ahigkeit zu vermitteln� eigenst�andig
Dinge zu erlernen� welche f�ur ihn bisher unbekannt waren� Diese Forderungen
sollen noch einmal speziell mit Blick auf das Unterrichtsfach Mathematik be�
trachtet werden� Die Hauptaufgabe des Mathematikunterrichts ist es� zu einer
zeitgem�a en Allgemeinbildung der Sch�uler beizutragen �vgl� �MSWWF���
S� ����� Aus dieser Aufgabe resultieren verschiedene Forderungen an den Un�
terricht�
Unter dem Anspruch von Allgemeinbildung ist der Mathematikunter�richt dadurch gekennzeichnet� da�
� er die Sch�ulerinnen und Sch�uler auf mathematische Anforderun�gen des privaten� gesellschaftlichen und beru�ichen Lebens vor�bereitet ���
� die Sch�ulerinnen und Sch�uler entdecken� wie Mathematik zurBeschreibung von Situationen und Bew�altigung von Problemengenutzt werden kann
� die Sch�ulerinnen und Sch�uler erfahren� wie sich Mathematik als
Verst�arker� ihres Alltagsdenkens und als Mittel kritischen Ver�nunftsgebrauchs einsetzen l�asst� �MSWWF���� S� ��
Hieraus resultiert eine neue� abweichende Rolle f�ur den Mathematiklehrer�
Gew�ohnlich haben Lehrer ihre Bem�uhungen darauf konzentriert� ihren Sch�u�
lern rechnerische F�ahigkeiten oder abstraktes Wissen zu vermitteln� Tatsache
ist es aber� da komplizierte Berechnungen nicht l�anger pers�onlich durch�
gef�uhrt werden m�ussen� Computer k�onnen dieses besser und schneller als
der Mensch� Da es aber einen wachsenden Bedarf an Personen gibt� welche
Probleme analysieren und Wege zur L�osung �nden k�onnen� mu vielmehr die
Vermittlung von mathematischem Wissen und von mathematischen F�ahig�
keiten in einer solchen Form erfolgen��die ein sinnvolles Umgehen mit dem
Erlernten in der Realit�at erm�oglicht� �T�orner�Zielinski��� S� �����
Die Wirklichkeit in Deutschland sieht jedoch ganz anders aus� die�Drit�
te Internationale Mathematik� und Naturwissenschaftsstudie �TIMSS�III��
macht dieses besonders deutlich� Im Rahmen dieser Studie hat sich heraus�
gestellt� da
� die mathematisch�naturwissenschaftlichen Kompetenzen von deutschen
Jugendlichen und jungen Erwachsenen nur in einem breiten internatio�
nalen Mittelfeld liegen �vgl� �Baumert u�a������� S� ����
� die Mathematikleistungen der internationalen Spitzengruppe� die von
asiatischen L�andern gebildet wird� f�ur deutsche Sch�ulerinnen und Sch�u�
ler in unerreichbarer H�ohe liegen �vgl� �Baumert u�a���� S� �����
KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN ��
� die deutschen Sch�ulerinnen und Sch�uler im internationalen Vergleich
in bedenklicher Weise unterrepr�asentiert sind �vgl� �Baumert u�a����
S� �����
Die Gr�unde hierf�ur sind vielschichtig� Eine m�ogliche Ursache kann in der
Gestaltung des Unterrichts selbst liegen� So ist japanischer Mathematikun�
terricht Probleml�oseunterricht� er schult mathematisches Verst�andnis und
mathematisches Denken� In Deutschland hingegen ist Mathematikunterricht
eher Wissenserwerbsunterricht� der auf die Beherrschung von Verfahren zielt�
Mathematische Konzepte werden im Unterrichtsgespr�ach� das auf eine einzige
L�osung zielt� erarbeitet �vgl� �Baumert u�a���� S� ����� Ein Curriculum� wel�
ches der Entwicklung von Probleml�osef�ahigkeiten der Sch�uler keine direkte�
ernsthafte Beachtung schenkt� ist daher nicht l�anger ausreichend�
����� Motivatorische Gr�unde
Sicherlich sind die gesellschaftlichen Gr�unde ausschlaggebend f�ur die Not�
wendigkeit der Vermittlung von Probleml�osef�ahigkeiten im Rahmen des Ma�
thematikunterrichts� Jedoch sollten auch die motivatorischen Gr�unde hierf�ur
nicht au er Acht gelassen werden� Bei der genaueren Betrachtung von Sch�u�
lergruppen kann man verschiedene Typen von Sch�ulern erkennen� Zum einen
gibt es kreative Sch�uler� die den Spa an der Mathematik verlieren k�onnen�
wenn der Unterricht �uberwiegend aus der Anwendung schematisch vorgegebe�
ner L�osungswege besteht� Andererseits gibt es Sch�uler� welche eine unbemerk�
te Veranlagung f�ur kreatives Denken besitzen� Bei ihnen wird diese Begabung
aber durch den herk�ommlichen Mathematikunterricht kaum oder gar nicht
gef�ordert und kann sogar g�anzlich verk�ummern� Mehr noch� diese Begabung
wird teilweise als�konkurrierende Denkweise bek�ampft� Dieses f�uhrt oft zu ei�
nem dumpfen Gleichtrott� der Originalit�at ausschlie t� �T�orner�Zielinski���
S� ����� Konformit�atsdruck ist nach Hallman das Haupthindernis f�ur Krea�
tivit�at �vgl� �Hallman���� S� ������ Probleml�oseunterricht k�onnte bei beiden
Sch�ulertypen positive E�ekte erbringen�
Schlie lich gibt es Sch�uler� deren Leistungen im herk�ommlichen Mathema�
tikunterricht eher unterdurchschnittlich sind� Problemorientierter Mathema�
tikunterricht k�onnte bei dieser Sch�ulergruppe eventuell zu mehr Interesse
an der Mathematik selbst und folglich zu einer gr�o eren Auseinanderset�
zung mit ihr f�uhren� Dieses k�onnte sich schlie lich positiv auf die Einstellung
dieser Sch�uler gegen�uber dem�normalen� Mathematikunterricht auswirken�
Bei meinen eigenen Untersuchungen habe ich durch Gespr�ache mit Sch�ulern
KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN ��
festgestellt� da sich gerade diese Sch�uler mit gro em Interesse mit den von
mir gestellten Problemen besch�aftigt haben und�gro e Lust h�atten� solche
Aufgaben �ofter zu bearbeiten� �Zitat eines Sch�ulers��
����� Sonstige Gr�unde
Neben den in den beiden vorangegangenen Unterabschnitten diskutierten
und wohl bedeutendsten Gr�unden f�ur die Notwendigkeit eines problemori�
entierten Mathematikunterrichts gibt es dar�uber hinaus noch zahlreiche an�
dere Gr�unde� welche diese Unterrichtsform rechtfertigen� So haben sich das
Bildungssystem und auch der Mathematikunterricht als ein Teil davon wei�
terentwickelt� Beispielsweise hat sich die Art der Unterrichtsgestaltung ge�
gen�uber fr�uher stark ge�andert� Heutzutage ist der Frontalunterricht nicht
mehr favorisiert� der Unterricht soll sich an subjektiven Sichtweisen der Sch�u�
ler orientieren��indem er Gelegenheit bietet f�ur Umwege� f�ur alternative Deu�
tungen und f�ur Ideenaustausch� f�ur spielerischen Umgang mit Mathematik
und f�ur eigenverantwortliches Tun� �MSWWF��� S� ��� Zur Umsetzung
dieser Forderungen bedarf es einer Ver�anderung des Unterrichtsstils� So soll�
ten die Sch�uler aktiv in das Unterrichtsgeschehen involviert werden und sich
selbst mit Problemsituationen auseinandersetzen k�onnen�
Die Sch�ulerinnen und Sch�uler �sollen�
� nicht nur oder vorwiegend �uber die Lehrerinnen und Lehrer alsdie
mathematischen Experten�� sondern auch direkt miteinan�
der kommunizieren� gen�ugend Gelegenheit haben� in Partner� oder GruppenarbeitMathematik in o�enen Problemsituationen zu treiben und ge�meinsam nach L�osungen zu forschen
� �uber das� was sie mathematisch tun� reden und gemeinsam re��ektieren� �MSWWF���� S� ���
Gerade ein problemorientierter Mathematikunterricht kann diesen Forderun�
gen in besonders deutlicher Weise gerecht werden�
Dar�uber hinaus haben sich auch die Vorstellungen �uber das Wesen der Ma�
thematik ver�andert� Heutzutage wird die Mathematik angesehen als eine we�
sentliche Ressource unserer hochtechnisierten Gesellschaft� Viele Erfolge von
Wissenschaft und Technik basieren auf mathematischen Theorien und Mo�
dellen�� Wir k�onnen die Mathematik au�assen als eine Art�Toolbox�� die
�Speziell �uber den Zusammenhang zwischen Mathematik� Natur und Technik schreibtVollrath�
�Dass man mit der Mathematik die Natur beschreiben kann und dass sich die
gefundenen Gesetze mit Hilfe der Mathematik in der Technik nutzbar machen lassen� sollund kann im Unterricht als Erkenntis vermittelt werden� �Vollrath�� � S� ���
KAPITEL �� MATHEMATIKUNTERRICHT UND PROBLEML �OSEN ��
uns zur L�osung von komplexen Problemen zur Verf�ugung steht� Ebenfalls
wandeln sich die Mathematik selbst und in diesem Zusammenhang auch das
�Bild von �Schul��Mathematik��� So ist aus einer
�isolierten� starren Wis�
senschaft� eine anwendungsorientierte und anwendungso�ene Wissenschaft
geworden� Als abschlie ender Grund sei noch genannt� da sich sicherlich
auch die Erwartungen und Einstellungen in der �O�entlichkeit gegen�uber dem
Probleml�osen positiv ge�andert haben�
�Vergleiche hierzu �Zimmermann��� S� ��f�� Zimmermann zeigt in dieser Ver�o�ent�lichung insgesamt elf unterschiedliche Aspekte auf� die ein neues Bild von �Schul��Mathematik aufzeigen� So ist heutzutage beispielsweise mathematischer Inhalt wichtigerals mathematischer Formalismus oder mathematische Denkprozesse sind mindestens sowichtig wie mathematische Ergebnisse oder das Entwickeln von Ideen ist wichtiger alsderen kritische Pr�ufung�
Kapitel �
Methoden zur
Leistungsmessung von
schriftlichen Probleml�osungen
Im ersten Abschnitt dieses Kapitels werden zun�achst unterschiedliche For�
men der Leistungsmessung voneinander abgegrenzt und die allgemeine Not�
wendigkeit der Messung schriftlicher� im Unterricht durch Sch�uler erbrachter
Leistungen � auch mit Blick auf die aktuellen Richtlinien und Lehrpl�ane des
Landes Nordrhein�Westfalen f�ur die Sekundarstufe I an Gymnasien bzw� f�ur
die Sekundarstufe I an Gesamtschulen sowie f�ur die Sekundarstufe II an Gym�
nasien und Gesamtschulen � diskutiert� Hieran anschlie end werden Forde�
rungen an Verfahren zur Leistungsmessung resp� �bewertung aufgestellt� die
in den Schulen Anwendung �nden sollen�
Im zweiten Abschnitt dieses Kapitels werden unterschiedliche Methoden spe�
ziell zur Leistungsmessung bei schriftlichen mathematischen Probleml�osun�
gen vorgestellt� Es wird deutlich� da nur derartige Bewertungsmethoden
geeignet sind� die komplexen Denk� und L�osungsprozesse von Problemstel�
lungen objektiv zu beurteilen� bei welchen der gesamte Bearbeitungsproze
mit in die Bewertung ein�ie t� Drei unterschiedliche Bewertungsmethoden�
die diese Anforderung erf�ullen� werden ausf�uhrlich dargestellt und ihre Vor�
und Nachteile herausgearbeitet� die analytische Bewertung� bei welcher der
Probleml�osungsproze in einzelne Phasen untergliedert und jede Phase an�
hand festgelegter Kriterien getrennt bewertet wird� die holistische Bewertung�
bei welcher die Arbeit als Ganzes ebenfalls anhand zuvor festgelegter Kri�
terien bewertet wird� und die Bewertung des Gesamteindrucks� hierbei wird
der Probleml�osung einen numerischer Wert ausschlie lich mit Hilfe des indi�
viduellen Gesamteindrucks des Beurteilenden zugewiesen�
�
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
��� Grundlegende Anforderungen
Im Unterricht �nden heute im allgemeinen zwei Arten von Leistungsmessun�
gen statt� externe und interne� Externe Leistungsmessungen werden durch�
gef�uhrt z�B� durch unabh�angige Forschungsinstitute oder durch staatliche
resp� vom Staat beauftragte Einrichtungen� Hauptzweck dieser Untersuchun�
gen ist entweder ein nationaler Leistungsvergleich von Sch�ulern innerhalb
einer Region bzw� eines Landes oder ein internationaler Leistungsvergleich
zwischen Sch�ulern verschiedener L�ander� Solche Leistungsmessungen werden
h�au�g mit Hilfe von Untersuchungsb�ogen auf der Basis von Multiple�Choice�
Fragen durchgef�uhrt� Sie sind gekennzeichnet durch eine gro e Anzahl von
Daten� die einfach und schnell und in der Regel auf elektronischem Weg aus�
gewertet werden m�ussen� Allein das Gesamtergebnis einer zuvor festgelegten
Testgruppe ist von Interesse� die n�ahere Untersuchung einzelner L�osungen
erfolgt normalerweise nicht� In diese Rubrik fallen sowohl die aktuelle PISA�
Studie� der OECD als auch die TIMSS�Studien�
Dem steht die interne Leistungsmessung gegen�uber� Diese wird allein durch
den zust�andigen Lehrer in seiner Klasse durchgef�uhrt� beispielsweise zum
Abschlu eines in der Klasse erarbeiteten Sto�gebiets oder in zeitlich re�
gelm�a igen Abst�anden� und hat eine ganz andere Zielsetzung� Mit Hilfe der
ermittelten Ergebnisse soll eine Grundlage f�ur die Unterrichtsgestaltung ge�
bildet werden k�onnen��F�ur die Lehrerinnen und Lehrer sind die Ergebnis�
se der Lernerfolgs�uberpr�ufungen Anla � die Zielsetzungen und die Metho�
den ihres Unterrichts zu �uberpr�ufen und ggf� zu modi�zieren� �KMNRW���
S� ���� Der zweite Zweck einer internen Leistungsmessung dient der Beurtei�
lung eines Sch�ulers� Die Ergebnisse k�onnen als Basis oder Unterst�utzung f�ur
die Bildung der Note eines Sch�ulers dienen �vgl� hierzu �Krulik�Rudnick���
S� ���� Schlie lich sollen sie f�ur die Sch�uler selbst eine Lernhilfe sein �vgl�
�KMNRW��� S� �����
Nun ist der Begri� einer Sch�ulerleistung breit gestreut� Nach dem Lehrplan
f�ur Mathematik in der Sekundarstufe I an Gesamtschulen in Nordrhein�
Westfalen z�ahlen hierzu die Klassenarbeiten� die sonstige Mitarbeit� Pro�
jektarbeiten sowie die Gruppenarbeit �vgl� �MSWWF�� S� ������ Nach
dem entsprechenden Lehrplan f�ur Gymnasien werden f�ur die Leistungsbe�
wertung eines Sch�ulers seine Klassenarbeiten und seine Mitarbeit im Un�
�Die internationale PISA�Studie der OECD umfa�t unter anderem die Untersuchungvon mathematischen Kompetenzen �
�mathematical literacy�� bei Sch�ulern� Durch den
Begri��mathematical literacy� soll zum Ausdruck gebracht werden� da� im Rahmen dieses
Tests mathematisches Wissen gezielt daraufhin untersucht wird� ob es funktional� mitEinsicht und �exibel eingesetzt werden kann zur Bearbeitung textbezogener Probleme�Informationen zu den Inhalten dieser Studie �ndet man beispielsweise in �OECD�� ��
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
terricht ! hierzu z�ahlen insbesondere�Beitr�age zum Unterrichtsgespr�ach
���� im Unterricht eingeforderte Leistungsnachweise� z�B� memorierte Inhal�
te� vorgetragene Hausaufgaben� selbst�andig vorbereitete� in abgeschlossener
Form eingebrachte Elemente zur Unterrichtsgestaltung� z�B� Protokoll� Refe�
rat u�a� m�� schriftliche �Ubungen� �KMNRW��� S� �� ! zugrunde gelegt�
Auch der Lehrplan f�ur die Oberstufe des Gymnasiums und der Gesamtschule
des Landes Nordrhein�Westfalen nennt im wesentlichen diese Punkte als die
Grundlage f�ur die Leistungsbewertung der Sch�uler��
Gemeinsam ist diesen Lehrpl�anen� da stets die in den Klassenarbeiten bzw�
Klausuren erbrachten Leistungen eines Sch�ulers mit in seine abschlie en�
de Bewertung ein�ie en m�ussen� Hieraus ergibt sich unmittelbar die Forde�
rung� diese schriftlichen Leistungen in einer angemessenen Form zu bewerten�
Unabh�angig davon� ob Klassenarbeiten resp� Klausuren aus Aufgaben oder
Problemstellungen bestehen� mu die Bewertung der hierbei erbrachten Lei�
stungen gewissen Grunds�atzen gen�ugen�� Die Bewertung sollte
�� ein objektives Ergebnis liefern� welches f�ur den Sch�uler � auch im Vergleich
mit den Mitsch�ulern � transparent ist�
�� Aufschlu �uber den Stand des Lernprozesses des Sch�ulers geben� d�h� die
St�arken und Schw�achen des Sch�ulers deutlich erkennbar machen�
�� eine Grundlage f�ur die weitere F�orderung des Sch�ulers bilden�
�� mit der Bewertung der entsprechenden L�osung eines anderen Sch�ulers
vergleichbar sein�
Generell lassen sich die Methoden zur Messung von in Klassenarbeiten er�
brachten Leistungen bzw� durch schriftlich bearbeitete Aufgaben oder Prob�
lemstellungen erbrachte Leistungen zun�achst grob in zwei Kategorien unter�
teilen� Auf der einen Seite gibt es Bewertungsmethoden� bei denen ausschlie �
lich das Endergebnis der L�osung betrachtet und bewertet wird� der eigentliche
L�osungsproze wird nicht ber�ucksichtigt� Dem stehen Bewertungsmethoden
gegen�uber� bei denen die Arbeit als Ganzes betrachtet wird und damit auch
der L�osungsproze selbst in die Bewertung mit ein�ie t� Im Gegensatz zum
L�osen von reinen Rechen� bzw� Routineaufgaben� bei welchen der Sch�uler
in der Regel nur die Aufgabenstellung ab� und ein Rechenergebnis dahinter
�In der Oberstufe wird jedoch nicht mehr von Klassenarbeiten� sondern von Klausurengesprochen� vergleiche hierzu �MSWWF�����
�Die Grunds�atze in den einzelnen Richtlinien entsprechen einander im wesentlichen�die nachfolgende Aufstellung ist eine Zusammenfassung der wichtigsten Forderungen� ver�gleiche hierzu �KMNRW���� S� ���� �MSWWF���� S� ��� �MSWWF���� S� ����
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG �
schreibt � was dann sehr einfach z�B� mit falsch oder richtig bewertet werden
kann �� werden beim L�osen von Problemstellungen im allgemeinen sehr kom�
plexe Denkprozesse ben�otigt� Hieraus ergibt sich die Forderung� da bei der
Bewertung von Probleml�osungen neben dem Endergebnis auch die einzelnen
L�osungsschritte zwingend mit in deren Beurteilung ein�ie en m�ussen�
It is not su�cient to evaluate just the thinking process or just the �nalproduct� A good evaluation of the problem requires considerations ofboth aspects� �Otis�O�erman���� S� ���
Speziell bei der Leistungsbewertung von Probleml�osungen werden Verfahren�
bei welchen ausschlie lich das Endergebnis einer Arbeit f�ur die Bewertung
ber�ucksichtigt wird� den Forderungen� die zuvor an eine angemessene Lei�
stungsmessung aufgestellt worden sind� nicht in einem ausreichenden Umfang
gerecht� Daher wird auf eine weitere Diskussion solcher Verfahren im Rahmen
dieser Arbeit bewu t verzichtet� Um der Forderung nach Objektivit�at gerecht
zu werden� sollte die Leistungsmessung anhand eines zuvor genau festgelegten
und f�ur alle L�osungen verbindlich anzuwendenden Schemas erfolgen� Damit
ein Vergleich unterschiedlicher Sch�ulerarbeiten m�oglich ist � dieses ist ja ge�
nau eine der Grundforderungen� welche an die Leistungsbewertung gestellt
wird �� ist eine numerische Bewertung� so wie sie f�ur weiterf�uhrende Schulen
auch vorgeschrieben ist� erforderlich� Auf antinumerische� beispielsweise rein
verbale Bewertungsmethoden� wird im Rahmen dieser Arbeit daher nicht ein�
gegangen� In den folgenden Abschnitten werden drei spezielle Methoden f�ur
die Bewertung schriftlicher Probleml�osearbeiten eingehend er�ortert� Wenn
nachfolgend von Leistungsmessung oder �beurteilung etc� gesprochen wird�
dann bezieht sich dieses immer auf schriftliche Bearbeitungen resp� L�osungen
von mathematischen Problemstellungen� anderenfalls wird dieses ausdr�uck�
lich angegeben�
��� Analytische Bewertung mittels vektoriel�
ler Skalen
Die Kernidee der analytischen Bewertung ist die getrennte Bewertung der
verschiedenen Phasen des Probleml�osungsprozesses� Jeder einzelnen Prob�
leml�osungsphase werden unterschiedliche Kriterien� die eine Arbeit aufweisen
kann� zugeordnet und jedem dieser Kriterien wird eine bestimmte Punktzahl
zugewiesen� Die Bewertung einer Arbeit besteht also aus verschiedenen Ein�
zelpunktzahlen� Falls es gew�unscht wird oder es erforderlich ist� so k�onnen
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
diese Einzelpunktzahlen anschlie end auch noch zu einer holistischen Ge�
samtpunktzahl addiert werden�
����� Zur Entwicklung einer vektoriellen Skala
Die Erstellung einer individuellen Punkteskala f�ur die analytische Bewertung
erfordert in der Regel drei Schritte�
�� Im ersten Schritt wird der Probleml�osungsproze in einzelne Phasen unter�
gliedert bzw� es werden diejenigen sich hieraus ergebenden �Bewertungs��
Kategorien festgelegt� welche schwerpunktm�a ig bewertet werden sollen�
Es ist durchaus m�oglich� neben den durch den Probleml�osungsproze ge�
gebenen Kategorien noch weitere Kategorien festzulegen� beispielsweise
neben�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� auch
�Kreativit�at� �vgl�
hierzu �Krulik�Rudnick��� S� ����� Ein grunds�atzliches Problem� das hier�
bei auftreten kann� ist die Festlegung von�unabh�angigen�� sich nicht �uber�
schneidenden Kategorien� Je mehr Kategorien festgelegt werden sollen�
desto eher tritt diese Schwierigkeit auf� Kon�ikte k�onnen sich beispiels�
weise auch dann ergeben� wenn man den Probleml�osungsproze neu� also
nicht in Anlehnung an bereits entwickelte Probleml�osungsmodelle� in un�
terschiedliche Phasen unterteilen m�ochte�
�� Im zweiten Schritt wird festgelegt� wieviele Punkte in jeder einzelnen Be�
wertungskategorie maximal vergeben werden sollen�
�� Im letzten Schritt werden schlie lich f�ur jede der zuvor bestimmten Ka�
tegorien die einzelnen Leistungskriterien� die eine Arbeit aufweisen kann�
festgelegt und diesen dann die entsprechenden Punktzahlen � unter Be�
r�ucksichtigung der festgelegten Maximalpunktzahl der jeweiligen Katego�
rie � zugeordnet�
H�au�g werden die verschiedenen Bewertungskategorien gleichgewichtet� Es
kann manchmal aber auch n�utzlich sein� verschiedenen Kategorien unter�
schiedliche Gewichte zu geben� d�h� die einzelnen Kategorien erhalten un�
terschiedliche Maximalpunktzahlen� Wenn man der Bewertung das Problem�
l�osungsmodell�Verstehen � L�osen � Beantworten� � zugrunde legt und bei�
spielsweise untersuchen m�ochte� inwieweit Sch�uler Probleme erkennen und
�Dieses Modell ist von Charles und Lester entwickelt worden� vergleiche hierzu auch�Charles�Lester�����
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
erforderliche Informationen aus der Problemstellung verwenden� dann k�onn�
te die Phase resp� Kategorie�Verstehen� st�arker gewichtet werden� Auch
L�osungsphasen� mit denen man sich im Unterricht intensiver besch�aftigt hat�
k�onnten bei der Bewertung st�arker gewichtet werden�
Ein Beispiel f�ur eine unterschiedlich gewichtete Skala �ndet man bei Krulik�
So werden die Kategorien�Verstehen��
�Erstellen eines Plans��
�Ausf�uhren
des Plans� und�Beantworten und R�uckblick�� die sich unmittelbar aus dem
�vierphasigen� Probleml�osungsproze ergeben� jeweils mit maximal drei Punk�
ten gleichgewichtet� in der Kategorie�Kreativit�at� hingegen wird nur h�och�
stens ein Punkt vergeben�� Die beiden im Anhang A aufgef�uhrten� unter�
schiedlichen vektoriellen Skalen beruhen auf dem Drei�Phasen�Modell zum
Probleml�osen von Charles und Lester��Verstehen des Problems��
�L�osen des
Problems� und�Beantworten des Problems und Bewerten der Antwort� �vgl�
hierzu �Charles�Lester������ Bei der Skala von Charles und Lester werden f�ur
jede der sich aus diesen drei L�osungsphasen ergebenden Kategorien jeweils
null� ein oder zwei Punkte vergeben � sie sind also gleichgewichtet �� die jeder
einzelnen Punktzahl zugeordneten Kriterien sind f�ur jede Kategorie explizit
aufgef�uhrt� Bei der modi�zierten Skala nach Charles und Lester werden die
zu den Phasen�Verstehen� und
�L�osen� geh�orenden Kategorien mit Hilfe
feinerer Kriterien di�erenzierter betrachtet und auch st�arker gewichtet� Die
Maximalpunktzahl f�ur die zu diesen beiden Phasen geh�orenden Bewertungs�
kategorien ist nun von zwei auf vier Punkte erh�oht worden�
Vorteilhaft f�ur die Leistungsmessung anhand einer vektoriellen Skala ist es�
wenn den Kategorien� nach denen eine vektorielle Skala konzipiert wird�
w�ahrend des Unterrichts vermehrte Aufmerksamkeit geschenkt wird� die Ska�
la sollte nach M�oglichkeit auf den Unterrichtsinhalt abgestimmt werden� Lei�
der wird dieses aber nur in wenigen F�allen zu realisieren sein�
����� Vorteile und Nachteile der analytischen Bewer
tung
Es gibt verschiedene Gr�unde� die f�ur und die gegen die Anwendung einer vek�
toriellen Bewertungsskala bei der Leistungsmessung sprechen� die wichtigsten
Aspekte sind nachfolgend aufgef�uhrt �vgl� hierzu auch �Charles u�a������
�Vergleiche hierzu �Krulik�Rudnick���� S� ���� Da bei dieser analytischen Skala derProbleml�osungsproze� nach dem Modell von Polya in vier Phasen untergliedert wird�wurde diese Skala nicht f�ur eine Bewertung im Rahmen der empirischen Untersuchungin Betracht gezogen�
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
������� Vorteile
Zun�achst liefert jede Bewertungsskala� also auch eine vektorielle Skala� ein
Mittel� um der Arbeit eines Sch�ulers einen numerischen Wert zuzuweisen�
Hierdurch wird die Vergleichbarkeit entsprechender Arbeiten unterschiedli�
cher Sch�uler gew�ahrleistet� Da die Bewertung mit Hilfe einer zuvor festge�
legten Skala erfolgt� die auf genau bestimmten Kriterien mit eindeutig zuge�
ordneten Punktzahlen beruht� ist ein �relativ� objektives Bewertungsergebnis
einer Sch�ulerarbeit zu erwarten�
Der gr�o te Vorteil der analytischen Bewertung liegt jedoch darin� da alle
Phasen des Probleml�osungsprozesses di�erenziert betrachtet und bewertet
werden� Da jeweils Einzelpunkte f�ur die verschiedenen Phasen des L�osungs�
prozesses bzw� f�ur Teilschritte vergeben werden� hilft eine vektorielle Skala
dem Lehrer� St�arken oder Schw�achen eines Sch�ulers in den verschiedenen
Phasen des Probleml�oseprozesses genauer festzulegen� Sie bildet somit eine
sehr di�erenzierte Grundlage f�ur die weitere F�orderung eines Sch�ulers� Wird
diese Bewertungsmethode �uber einen l�angeren Zeitraum angewendet� erh�alt
der Lehrer detaillierte Angaben �uber die Fortschritte� die ein Sch�uler in den
einzelnen Phasen des Probleml�osungsprozesses macht� Sie liefert so zu sagen
ein visuelles Pro�l seiner Entwicklung im Probleml�osen�
Anhand der bewerteten Sch�ulerl�osungen kann ein Lehrer ebenfalls spezi�sche
Informationen �uber die Wirksamkeit verschiedener Lehrmethoden erhalten�
Dar�uber hinaus k�onnen bei der analytischen Bewertung den einzelnen Ka�
tegorien verschiedene Gewichtungen gegeben werden� was eine einfache Mo�
di�zierung einer bereits festgelegten Skala erm�oglicht� Wird die Bewertung
anhand einer vektoriellen Skala durchgef�uhrt� so liefert das Aufsummieren
der Einzelpunktzahlen zu einer Gesamtpunktzahl ein Ergebnis einer holisti�
sche Bewertung� dieser Arbeit� Demnach erf�ullt eine analytische Bewertung
alle vier Forderungen� die im Abschnitt ��� an eine Bewertung allgemein
gestellt worden sind�
Zusammenfassend seien noch einmal die wichtigsten Vorteile genannt�
� Einfache Vergleichbarkeit entsprechender L�osungen in den einzelnen
Phasen des Probleml�osungsprozesses�
� Objektivit�at der Bewertung durch festgelegte Kriterien�
� St�arken und Schw�achen eines Sch�ulers in den einzelnen Phasen des
Probleml�osungsprozesses werden erkennbar und � bei einer �uber einen
�Diese Bewertungsmethode wird im Abschnitt ��� vorgestellt und diskutiert�
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
l�angeren Zeitraum durchgef�uhrten Bewertung � auch seine in den ein�
zelnen Phasen erzielten Fortschritte�
������� Nachteile
Diesen Vorteilen stehen auch verschiedene Nachteile gegen�uber� Zun�achst ist
der Zeitaufwand zu betrachten� Da bei dieser Bewertungsmethode bei jeder
einzelnen Sch�ulerl�osung alle Probleml�osungsphasen intensiv analysiert und
dann die entsprechenden Punkte zugeteilt werden m�ussen� ist diese Art der
Leistungsmessung relativ zeitintensiv� Dar�uber hinaus kann beispielsweise die
eigentliche Aufzeichnung eines Sch�ulers nicht gen�ugend Informationen �uber
seinen Denkproze im Verlauf der Probleml�osung liefern� Damit kann es f�ur
den Bewertenden schwierig sein� Punkte in einer oder mehreren Kategorien
zufriedenstellend und korrekt zu vergeben�
Eventuelle Vergleiche zwischen verschiedenen Sch�ulern hinsichtlich der Ge�
samtpunktzahl m�ussen mit gro er Vorsicht geschehen� Zwei verschiedene
Sch�uler k�onnen die gleiche Gesamtpunktzahl haben und doch das Problem
v�ollig verschieden verstanden und bearbeitet haben� Betrachtet man noch
einmal die Skala von Charles und Lester aus dem Anhang A� so w�urde bei�
spielsweise ein Sch�uler� der das Problem vollst�andig verstanden und einen
Plan entwickelt hat� der zu einer korrekten L�osung ohne arithmetische Fehler
f�uhren kann� der aber keine Antwort aufgeschrieben hat� in den einzelnen Ka�
tegorien die Punkte zwei!zwei!null und somit eine Gesamtpunktzahl von
vier Punkten erhalten� Genau diese Gesamtpunktzahl w�urde aber auch ein
anderer Sch�uler erhalten� der das Problem ebenfalls vollst�andig verstanden
hat� dann allerdings nur eine teilweise korrekte L�osungsprozedur angewen�
det und schlie lich daraus folgend eine falsche Antwort formuliert hat� Im
Gegensatz zum ersten Sch�uler w�urden seiner Arbeit nun die Punkte zwei!
eins!eins zugewiesen�
Als die wichtigsten Nachteile der analytischen Bewertung kann man demnach
festhalten�
� Hoher Zeitaufwand�
� Schwierigkeiten bei der Punktezuweisung� wenn aus der Arbeit der
Denkproze des Sch�ulers nicht erkennbar ist�
� ein eventueller Vergleich zwischen Sch�ulern mit gleicher Gesamtpunkt�
zahl mu stets mit Vorsicht geschehen�
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
����� Anwendungsm�oglichkeiten und voraussetzungen
Die Grundidee der analytischen Bewertung beruht auf der Forderung� da
die Bewertung von Probleml�osungen mehr umfassen sollte als nur die einfa�
che �Uberpr�ufung des Endergebnisses� Durch eine vektorielle Punkteskala ist
es � wie zuvor diskutiert � m�oglich� eine Sch�ulerleistung mit Blick auf vorab
festgelegte Phasen des Probleml�osungsprozesses zu messen� Man erh�alt die
M�oglichkeit� spezielle St�arken und Schw�achen eines Sch�ulers in den einzelnen
L�osungsphasen zu erkennen und die Wirksamkeit spezieller Unterrichtsakti�
vit�aten zu messen� Aus dieser Sicht bietet sich eine analytische Bewertung
von Probleml�osungen in folgenden Situationen an �vgl� �Charles u�a������
� Die Sch�uler sollen ein Feedback �uber ihre Leistungen in den Schl�ussel�
kategorien des Probleml�osens erhalten�
� Die individuellen St�arken und Schw�achen der Sch�uler im Probleml�o�
sungsproze sollen ermittelt werden�
� Es sollen spezi�sche Aspekte des Probleml�osens ergr�undet werden� wel�
chen im Unterricht zus�atzliche Zeit geschenkt werden mu �
� Es steht gen�ugend Zeit zur Verf�ugung� sich sorgsam mit jeder schriftli�
chen Arbeit eines Sch�ulers auseinanderzusetzen�
��� Holistische Bewertung mittels linearer
Skalen
Eine zweite Methode� welche den an die Leistungsmessung bei schriftlichen
Probleml�osungen gestellten Anforderungen gerecht wird� ist die holistische
Bewertung� Sie ist dadurch gekennzeichnet� da einer Arbeit eine einzige
Punktzahl zugewiesen wird� Die einzelnen Phasen des Probleml�osungspro�
zesses werden � im Gegensatz zur analytischen Bewertung � nun nicht mehr
getrennt betrachtet� einer solchen Bewertungsmethode liegt eine lineare bzw�
eindimensionale Skala zugrunde� Trotzdem wird aber der gesamte L�osungs�
proze einer Arbeit mit in die Bewertung einbezogen� da einer bestimmten
Punktzahl zuvor festgelegte� spezi�sche Kriterien zugewiesen werden� die sich
auf die beim Probleml�osen involvierten Denkprozesse beziehen und die eine
Arbeit zum Erreichen dieser Punktzahl aufweisen mu �
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
����� Zur Entwicklung einer linearen Skala
Die Konzeption einer linearen Skala f�ur die Bewertung schriftlicher Problem�
l�osungen verl�auft normalerweise in zwei Schritten�
�� Im ersten Schritt mu entschieden werden� welche Punktzahl maximal
vergeben werden soll resp� wieviele verschiedene �Wertungs��Kategorien
insgesamt festgelegt werden sollen�
�� Im zweiten Schritt werden jeder Kategorie bestimmte Kriterien zugewie�
sen� welche eine Arbeit zum Erreichen der zugeh�origen Punktzahl aufwei�
sen mu �
�Ahnlich wie bei der Entwicklung einer vektoriellen Skala sollte das mit den
eingeschlossenen Denkprozessen verbundene Verhalten betrachtet und dieses
Verhalten dann einer der zuvor festgelegten Kategorien zugewiesen werden�
Die Zuordnung der einzelnen Kriterien zu den jeweiligen Kategorien sollte
auch vom Schwerpunkt der Bewertung abh�angig sein� Da jeder Punktzahl
spezi�sche Kriterien zugeordnet werden m�ussen� sollten nicht zu viele unter�
schiedliche Kategorien festgelegt werden� Je mehr Kategorien man verwendet�
desto schwieriger kann es sein� wirklich verschiedene Kriterien festzulegen�
die Zuverl�assigkeit der Punktezuweisung k�onnte abnehmen� Durch die Be�
wertung weniger Musterarbeiten kann gegebenenfalls gepr�uft werden� ob die
den Kategorien zugeordneten Kriterien wirklich disjunkt sind�
Im Anhang B sind vier verschiedene lineare Skalen aufgef�uhrt� welche die
Grundlage f�ur die Konzipierung der linearen Skala gebildet haben� die im
Rahmen der empirischen Untersuchung verwendet worden ist� Die Skalen von
Charles und Lester� Woods und Malone unterscheiden jeweils zwischen f�unf
bzw� sechs Wertungskategorien� die Skala von Zielinski hingegen zwischen
zehn unterschiedlichen Kategorien� Die lineare Skala von Charles und Le�
ster ist aufgrund der charakteristischen L�osungsprozesse beim Probleml�osen
�ahnlich strukturiert wie die von ihnen entwickelte gleichgewichtete vektori�
elle Skala� Die Bewertungskriterien dieser linearen Skala sind von Lehrern
entwickelt worden� die �uber mehrere Monate hinweg Arbeiten von Sch�ulern
bewertet haben �vgl� hierzu �Charles u�a������
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG �
����� Vorteile und Nachteile der holistischen Bewer
tung
In Analogie zum Abschnitt �uber die analytische Bewertung werden nachfol�
gend die Vor� und Nachteile der Anwendung linearer Skalen bei der Bewer�
tung von schriftlichen Probleml�osungen diskutiert�
������� Vorteile
Bei den Vorteilen der holistischen Bewertung ist zun�achst der Zeitaufwand
zu nennen� Da einer bestimmten Punktzahl festgelegte Kriterien zugewie�
sen werden� die eine Arbeit zum Erreichen dieser Punktzahl aufweisen mu �
entf�allt f�ur den Bewertenden die intensive Analyse der einzelnen Problem�
l�osungsschritte in der Sch�ulerl�osung selbst� genau dieses bedingt ja den unter
Umst�anden recht gro en Zeitaufwand bei der analytischen Bewertung� Hier�
durch ist es m�oglich� die Arbeiten mit relativ geringem Zeitaufwand zu bewer�
ten� Trotzdem wird aber der gesamte L�osungsproze der Arbeit betrachtet
und bewertet und nicht nur das eigentliche Endergebnis�
Lineare Skalen liefern dem Bewertenden spezi�sche� zuvor eindeutig festge�
legte Kriterien zur Bewertung einer Arbeit� Daher sind die Bewertungsergeb�
nisse auch bei dieser Methode normalerweise relativ objektiv� Im Gegensatz
zur analytischen Bewertung� bei welcher einer Arbeit f�ur die einzelnen Pha�
sen des Probleml�osungsprozesses getrennte Punkte zugewiesen werden� lie�
fert die Bewertung anhand einer linearen Skalen nur eine einzige Punktzahl�
um die Leistung eines Sch�ulers numerisch zu messen� Ein Vergleich zwischen
verschiedenen Sch�ulerarbeiten ist daher einfacher m�oglich� Nat�urlich ist auch
die holistische Bewertung �uberhaupt ein Mittel� um einer Sch�ulerarbeit einen
numerischen Wert zuzuweisen�
Als die wichtigsten Vorteile der holistischen Bewertung haben sich herausge�
stellt�
� Geringer Zeitaufwand bei der Bewertung einer L�osung�
� Bewertung des gesamten L�osungsprozesses�
� Objektivit�at der Bewertung durch festgelegte Kriterien�
� einfache Vergleichbarkeit verschiedener Sch�ulerarbeiten�
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
������� Nachteile
Diesen Vorteilen stehen auch gewisse Nachteile gegen�uber� Am bedeutend�
sten ist es sicherlich� da es diese Methode nicht erlaubt� spezi�sche St�arken
und Schw�achen der Sch�uler hinsichtlich ihrer F�ahigkeiten im Probleml�osungs�
proze detailliert herauszustellen� bei dieser Bewertungsmethode werden ja
die einzelnen L�osungsphasen einer Sch�ulerarbeit nicht mehr getrennt analy�
siert� Bei der holistischen Bewertung einer Arbeit mittels einer linearen Ska�
la kann der Fall eintreten� da die Arbeit selbst nicht gen�ugend Aufschlu
�uber den Denkproze des Sch�ulers liefert� dann k�onnte die Punktevergabe
m�oglicherweise nicht wirklich korrekt durchgef�uhrt werden� Im Gegensatz zu
vektoriellen Bewertungsskalen� bei denen eine Gewichtung der f�ur den Leh�
rer wichtigen Probleml�osungsphasen m�oglich ist� fehlt diese M�oglichkeit hier
v�ollig� Alle beim Probleml�osen involvierten Denkprozesse sind stets gleich
gewichtet�
Die wichtigsten Nachteile dieser Methode sind demnach�
� St�arken und Schw�achen des Sch�ulers beim Probleml�osungsproze wer�
den in der Regel nicht wirklich deutlich herausgestellt�
� m�oglicherweise schwierige Zuweisung der Punkte� wenn die involvierten
Denkprozesse aus der Arbeit nicht deutlich hervorgehen�
� eine Gewichtung wichtiger Probleml�osungsphasen und somit der zu�
geh�origen Denkprozesse ist unm�oglich�
����� Anwendungsm�oglichkeiten und voraussetzungen
Es gibt verschiedene Situationen� in denen die Anwendung einer holistischen
Bewertung am vorteilhaftesten erscheint� So kann diese Methode zun�achst
immer dann angewendet werden� wenn man einer Arbeit �uberhaupt einen
numerischen Wert zuweisen m�ochte oder wenn man sich f�ur eine allgemeine
Bewertung der angewendeten Probleml�osungsprozesse interessiert�
Eine Leistungsmessung mit Hilfe einer linearen Skala bietet auch immer dann
Vorteile� wenn man viele Arbeiten in kurzer Zeit bewerten m�ochte� Dar�uber
hinaus sollte das Interesse dem gesamten Probleml�osungsproze dienen und
nicht den einzelnen L�osungsphasen� Ein Beispiel hierf�ur w�are die Messung
der Sch�ulerleistungen bezogen auf ein ganzes Sto�gebiet� In diesem Fall mu
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG ��
eine gro e Anzahl von Arbeiten bewertet werden und der Bewertungsschwer�
punkt liegt auf dem gesamten Probleml�osungsproze � Die anfangs festgeleg�
ten spezi�schen Kriterien f�ur die Punktevergabe erleichtern die in sich stim�
mige Auswertung von schriftlichen Leistungen und f�uhren in der Regel zu
objektiven Ergebnissen� Daher kann die holistische Bewertung auch bei gro
angelegten� beispielsweise landesweiten Untersuchungen verwendet werden�
bei denen viele unterschiedliche Personen an der Bewertung beteiligt sind
und gleichzeitig die Zuverl�assigkeit der Punktevergabe selbst wichtig ist�
��� Bewertung des Gesamteindrucks
Eine dritte Methode� die bei der Bewertung von Probleml�osungen angewen�
det werden kann� ist die Bewertung des Gesamteindrucks� Bei dieser Methode
wird zun�achst die Sch�ulerl�osung zu einem Problem eingehend analysiert� An�
schlie end verl�a t sich der Bewertende dann allein auf seinen pers�onlichen
Gesamteindruck� um dieser Arbeit einen numerischen Wert zuzuweisen� Bei
diesem Verfahren wird zu Beginn der Bewertung lediglich entschieden� wie
hoch die zu vergebende Maximalpunktzahl sein soll� es werden aber �uber�
haupt keine Kriterien festgelegt�
Diese Methode ist sicherlich die einfachste aller Bewertungsmethoden� die
nicht nur das Endergebnis sondern den gesamten L�osungsproze beurteilen�
Denn im Gegensatz zu den beiden zuvor diskutierten Methoden werden hier�
bei weder Kriterien noch Bewertungsschemata erstellt oder verwendet� Der
Bewertende verwendet nicht�explizit festgelegte Kriterien� die allein auf sei�
ner subjektiven Sicht �uber die Komponenten des Probleml�osens und eventuell
auf der Erfahrung basieren� welche er bereits durch die Bewertung anderer
Probleml�osungen fr�uher erworben hat� Aus diesem Grund erscheint die Be�
wertung des Gesamteindrucks f�ur Personen� die wenig Erfahrung auf dem
Gebiet der Leistungsmessung beim Probleml�osen haben� eher als ungeeignet�
����� Vorteile und Nachteile der Bewertung des Ge
samteindrucks
In Analogie zu den beiden bisher vorgestellten Bewertungsverfahren sollen in
diesem Unterabschnitt die Vor� und Nachteile dieser letzten f�ur schriftliche
Probleml�osungen geeigneten Bewertungsmethode diskutiert werden�
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG �
������� Vorteile
Ein entscheidender Vorteil dieser Methode beruht auf ihrem geringen Arbeits�
aufwand� Von den drei in diesem Kapitel vorgestellten Bewertungsmethoden
ben�otigt die Bewertung des Gesamteindrucks mit Abstand den geringsten
Arbeitsaufwand� Es m�ussen vor der eigentlichen Bewertung keinerlei Punk�
teschemata mit Bewertungskriterien entwickelt und eventuell noch getestet
werden� Ein weiterer Vorteil ist sicherlich der sehr geringe Zeitaufwand� Die�
se Bewertungsmethode gew�ahrleistet eine sehr schnelle Bewertung einer ein�
zelnen Probleml�osung� ohne Details der Arbeit analysieren zu m�ussen� Sie
erlaubt eine intuitive Betrachtung von L�osungsdetails in Verbindung mit der
richtigen oder der falschen Antwort�
Diese Bewertungsmethode bietet demnach zwei entscheidende Vorteile�
� Geringer Arbeitsaufwand� da Vorarbeiten entfallen�
� geringer Zeitaufwand bei der eigentlichen Bewertung�
������� Nachteile
Eine der Grundforderungen an eine Methode zur Leistungsmessung ist nach
Abschnitt ��� die Objektivit�at der Bewertungsergebnisse� Die Bewertungs�
ergebnisse sollen f�ur den Sch�uler transparent sein� auch im Vergleich zu sei�
nen Mitsch�ulern� Dieser Forderung wird die Methode der Bewertung des
Gesamteindrucks nur sehr eingeschr�ankt gerecht� Sie verwendet im allgemei�
nen nicht�schriftlich basierte Kriterien� die nicht auf der genauen Analyse
des Probleml�osungsprozesses beruhen m�ussen� Eine Entscheidung zur Ver�
gabe der Punkte erfolgt somit allein subjektiv und k�onnte beispielsweise auf
nur einigen Aspekten der L�osung beruhen� Bei der Bewertung k�onnte die
Punktevergabe aber auch zu schnell erfolgen� ohne die Sch�ulerl�osung wirklich
sorgsam analysiert zu haben� Auch ist eine Vergleichbarkeit entsprechender
L�osungen f�ur die Sch�uler selbst aufgrund der impliziten Bewertungskriterien
fast nicht m�oglich�
An eine geeignete Methode zur Leistungsmessung wurden ferner die Forde�
rungen gestellt� da der Stand des Lernprozesses eines Sch�ulers sowie sei�
ne St�arken und Schw�achen durch die Bewertung deutlich erkennbar wer�
den sollen und da die Bewertung ein Mittel f�ur die weitere F�orderung des
Sch�ulers sein soll� Hier versagt die Methode der Bewertung des Gesamtein�
drucks vollends� Sie liefert einen numerischen Wert� aus dem ein Sch�uler
KAPITEL �� METHODEN ZUR LEISTUNGSMESSUNG �
weder ein Feedback �uber spezielle Aspekte beim Probleml�osen erh�alt� noch
ist dieser Wert ein Mittel f�ur Aussagen �uber Notwendigkeiten seiner weiteren
F�orderung�
Zum Abschlu dieses Abschnitts seien noch einmal die gravierenden Nach�
teile dieser Methode � speziell im Hinblick auf ihren Einsatz in der Schule �
festgehalten�
� Die Objektivit�at der Bewertung ist durch implizite Kriterien in Frage
gestellt�
� ein Vergleich entsprechender Arbeiten ist nur sehr eingeschr�ankt m�og�
lich�
� St�arken und Schw�achen eines Sch�ulers im Probleml�osungsproze wer�
den nicht deutlich�
� sie ist kein Mittel zur weiteren F�orderung eines Sch�ulers�
����� Anwendungsm�oglichkeiten und voraussetzungen
Trotz der zahlreichen Nachteile� die diese Methode aufweist� gibt es doch Si�
tuationen� in welchen ihr Einsatz hilfreich sein kann� Eine Anwendung in der
Schule ist beispielsweise immer dann sinnvoll� wenn den Sch�ulern ein Feed�
back �uber ihre Probleml�osesituation als solche gegeben werden soll� aber
nicht viel Zeit f�ur die Bewertung vorhanden ist� Auch f�ur kurze Bewertungen
von Tests �uber einzelne Unterrichtskapitel oder Teile hieraus bietet sich diese
Methode an� E�zient ist die Bewertung des Gesamteindrucks sicherlich in
Situationen� in welchen eine numerische Bewertung einer Arbeit gew�unscht
wird� aber Informationen� die zur Verbesserung der Probleml�osef�ahigkeiten
der Sch�uler dienen sollen� nicht von Interesse sind� Auch bei einer Vielzahl
von zu bewertenden L�osungen� wie bei standardisierten Tests oder Wettbe�
werben� kann diese Methode vorteilhaft sein�
Allerdings sollte die Bewertung des Gesamteindrucks haupts�achlich von sol�
chen Personen durchgef�uhrt werden� die bereits �uber gewisse Erfahrungen
auf dem Gebiet der Leistungsmessung beim Probleml�osen verf�ugen�
Kapitel �
Forschungsfragen
Unterschiedliche Gr�unde f�ur die Notwendigkeit eines problemorientierten Ma�
thematikunterrichts sind im Kapitel � bereits diskutiert worden� Es wurde
deutlich� da zu diesen vor allem gesellschaftliche und motivatorische Aspekte
z�ahlen und da ein zeitgem�a er Mathematikunterricht auf die Komponente
�Probleml�osen� nicht mehr vollends verzichten kann� Hieraus ergibt sich un�
mittelbar die Notwendigkeit� die Leistungen von Sch�ulern� welche im Rahmen
des Probleml�osens erbracht worden sind� in einer ad�aquaten Art zu messen�
Im Kapitel � ist herausgearbeitet worden� da Verfahren zur Leistungsmes�
sung von schriftlichen Probleml�osungen zun�achst s�amtlichen Forderungen�
welche f�ur die Leistungsbewertung von schriftlichen L�osungen gew�ohnlicher
Standardaufgaben gelten� ebenfalls gerecht werden m�ussen� So mu die Be�
wertung einer L�osung ein objektives Ergebnis liefern� welches auch der Sch�uler
selbst verstehen kann� Sie mu Aufschlu �uber den Stand des Lernprozesses
des Sch�ulers geben� d�h� seine St�arken und Schw�achen deutlich erkennbar
machen� und sie mu eine Grundlage f�ur die weitere F�orderung des Sch�ulers
bilden� Schlie lich m�ussen die Bewertungen entsprechender L�osungen mit�
einander vergleichbar sein�
Bedingt durch diese Forderungen ergibt sich zun�achst die Notwendigkeit der
Anwendung von solchen Bewertungsverfahren� bei denen eine zuvor festge�
legte Wertungsskala mit verbindlichen Wertungskriterien verwendet wird��
Nur derartige Verfahren gew�ahrleisten � wenn �uberhaupt � eine �relativ� ob�
jektive Bewertung einer schriftlichen Probleml�osung eines Sch�ulers�� Dar�uber
�Diese Feststellung sei an dieser Stelle bereits vorweggenommen� Die genauen �Uber�legungen� welche zu dieser Notwendigkeit f�uhrten� sind im Abschnitt �� dargelegt�
�Inwieweit zus�atzliche Ein��usse einer objektiven Leistungsbewertung entgegenstehen�wird im Rahmen dieser Arbeit nicht untersucht� da dieses ein von dem eigentlichen For�schungsthema unabh�angiges Problem darstellt�
�
KAPITEL �� FORSCHUNGSFRAGEN �
hinaus ist es speziell bei der Bewertung von Probleml�osungen erforderlich�
den gesamten L�osungsproze zu analysieren und in die Bewertung mit einzu�
beziehen und nicht nur ausschlie lich das Endergebnis� Diese beiden Aspekte
f�uhren zum zentralen Thema dieser Arbeit�
Es wird untersucht� inwieweit die analytische Bewertung anhand
einer vektoriellen Skala bzw� die holistische Bewertung anhand
einer linearen Skala in der Praxis f�ur die Leistungsmessung von
schriftlichen mathematischen Probleml�osungen von Sch�ulern
Anwendung �nden k�onnen bzw� welche Schwierigkeiten bei der
praktischen Anwendung dieser Methoden � in Abh�angigkeit von
der Problemstellung � gegebenenfalls auftreten k�onnen�
Im vorangegangenen Kapitel ist herausgearbeitet worden� da diese beiden
Bewertungsverfahren zwei von drei theoretisch m�oglichen Methoden sind�
die zur Leistungsmessung von Probleml�osungen verwendet werden k�onnen�
Vor diesem Hintergrund und mit Blick auf das zentrale Thema dieser Arbeit
erfolgt im Rahmen dieser Arbeit eine Auseinandersetzung speziell mit den
beiden folgenden Forschungsfragen�
Forschungsfrage �
Inwieweit ist das Bewertungsergebnis von schriftlichen mathe�
matischen Probleml�osungen� welches sich bei der Bewertung der
Sch�ulerarbeiten mittels einer linearen Skala bzw� mittels einer
vektoriellen Skala ergeben hat� zuverl�assig und vom Bewerter
unabh�angig
Forschungsfrage �
Welche Aussagen lassen sich �uber die Konsistenz der vektoriellen
Skala und der linearen Skala in Abh�angigkeit von der Problem�
stellung machen
Mit Hilfe einer empirischen Untersuchung wird versucht� Antworten auf diese
Forschungsfragen zu �nden� Als Basis hierf�ur dienen Sch�ulerl�osungen zu sechs
unterschiedlichen mathematischen Problemstellungen� Diese Sch�ulerl�osungen
KAPITEL �� FORSCHUNGSFRAGEN �
werden von zwei verschiedenen Personen zum einen mittels einer speziellen
vektoriellen Skala und zum anderen mittels einer speziellen linearen Ska�
la bewertet�� Die Bewertungsergebnisse werden � getrennt nach den unter�
schiedlichen Problemstellungen � eingehend klassen�ubergreifend ausgewertet�
Hierbei werden auch m�ogliche Gr�unde f�ur festgestellte �Ubereinstimmungen
und Abweichungen zwischen den zugewiesenen Punktzahlen diskutiert� und
zwar erstens zwischen den beiden analytischen Bewertungen� zweitens zwi�
schen den beiden holistischen Bewertungen und drittens zwischen den beiden
unterschiedlichen Bewertungsverfahren�
Im Zusammenhang mit der ersten Forschungsfrage ergeben sich Aspekte� die
einerseits hinsichtlich der vektoriellen Skala und andererseits hinsichtlich der
linearen Skala getrennt zu untersuchen sind� So ist z�B� zu pr�ufen� ob sich bei
einer Problemstellung hohe Di�erenzen in der Punktevergabe im Vergleich
zwischen den beiden Bewertern ergeben� Sollte dieses der Fall sein� so mu
festgestellt werden� ob diese Di�erenzen dann abh�angig sind von der Art der
Problemstellung oder ob sie eventuell auf Fehlern in der Skala oder auf sub�
jektiven Fehlern eines Bewerters beruhen oder ob sich sonstige Gr�unde daf�ur
ausmachen lassen� Im Rahmen der Untersuchungen zur Kl�arung der zwei�
ten Forschungsfrage erfolgt ein Vergleich zwischen den beiden unterschied�
lichen Skalentypen� Als Basis hierf�ur werden jeweils gemittelte Ergebnisse
aus beiden analytischen bzw� aus beiden holistischen Bewertungen dienen�
um eventuelle Fehler in den Bewertungen selbst zu minimieren und so objek�
tivere Auswertungsergebnisse zu erhalten� Damit Antworten auf die zweite
Forschungsfrage gefunden werden k�onnen� mu gepr�uft werden� ob eine vek�
torielle Skala und eine lineare Skala ann�ahernd identische Bewertungsergeb�
nisse in Abh�angigkeit von der Problemstellung liefern und ob eventuell eine
der beiden Skalen zur Vergabe von h�oheren Punkten tendiert�
�Die �Uberlegungen� welche zur Auswahl der im Rahmen der empirischen Untersuchungverwendeten Skalen gef�uhrt haben� sind im Kapitel ausf�uhrlich dargelegt�
Kapitel �
Die Grundlagen der
empirischen Untersuchung
Zur eingehenden Untersuchung der Forschungsfragen� die im Kapitel � for�
muliert und begr�undet werden� war es notwendig� im Rahmen dieser Arbeit
eine empirische Untersuchung durchzuf�uhren� Diese Untersuchung gliederte
sich in zwei Phasen� In einem ersten Schritt erfolgte zun�achst die Konzep�
tion unterschiedlicher Problemstellungen� sowie deren Zusammenfassung zu
Arbeitsb�ogen und anschlie end die Entwicklung geeigneter Bewertungsska�
len� In einem zweiten Schritt wurden die Arbeitsb�ogen durch Sch�uler aus
den Klassenstufen f�unf und sechs unterschiedlicher Gymnasien bearbeitet
und diese L�osungen danach sowohl anhand einer vektoriellen Skala als auch
anhand einer linearen Skala durch zwei verschiedene Personen unabh�angig
voneinander bewertet� In diesem Kapitel werden alle Grundlagen und Vor�
aussetzungen der empirischen Untersuchung � also deren erster Schritt �
ausf�uhrlich erl�autert�
�� Die Problemstellungen und die Arbeits�
b�ogen
In diesem Abschnitt werden zun�achst allgemeine �Uberlegungen zur Konzep�
tion der Problemstellungen und zur Erstellung der Arbeitsb�ogen dargelegt�
�Im folgenden spreche ich bewu�t auch von Probleml�oseaufgaben� Durch den Wortteil
�Aufgaben� soll zum Ausdruck gebracht werden� da� der Wunsch� das Problem zu l�osen�bei den Sch�ulern unter Umst�anden gefehlt haben kann�
�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN �
Danach erfolgt eine detaillierte Vorstellung aller sechs im Rahmen der empi�
rischen Untersuchung verwendeten Probleme��
����� Allgemeine Grundlagen
F�ur die Untersuchung der Forschungsgegenst�ande war es notwendig� zun�achst
eine Vielzahl von unterschiedlichen Sch�ulerl�osungen zu verschiedenen ma�
thematischen Problemstellungen zu erhalten� So war es zu Beginn der Un�
tersuchung erforderlich� unterschiedliche Probleml�oseaufgaben zu entwickeln�
welche f�ur eine Bearbeitung durch Sch�uler der Klassenstufen f�unf und sechs
geeignet waren� Es durften folglich nur thematische Inhalte gefordert wer�
den� die in der f�unften Klasse bereits bekannt waren� Andererseits mu ten die
Probleme aber auch so gew�ahlt werden� da ebenfalls die Sch�uler der sechsten
Klasse noch eine Anstrengung unternehmen mu ten� um die Probleme anzu�
gehen� Anderenfalls w�are es m�oglich gewesen� da sich die Sch�uler nicht wirk�
lich ernsthaft mit den Problemstellungen auseinandergesetzt h�atten� dieses
h�atte sp�ater zu einer Verf�alschung der Auswertungsergebnisse f�uhren k�onnen�
Insgesamt wurden sechs verschiedene mathematische Problemstellungen aus
unterschiedlichen Gebieten der Mathematik �Kombinatorik� Algebra und Geo�
metrie� konzipiert und sch�ulergerecht formuliert� Eine Beschr�ankung auf Pro�
ze probleme war deswegen erforderlich� weil �Ubungsaufgaben nach der in
dieser Arbeit verwendeten De�nition keine Probleme darstellen� Translati�
onsprobleme� d�h� Textaufgaben� den Sch�ulern in der Regel sehr gel�au�g sind
und somit f�ur sie m�oglicherweise kein Problem mehr darstellen� angewandte
Probleme derart komplex sind� da eine Bearbeitung innerhalb einer Schul�
stunde normalerweise nicht m�oglich ist� Puzzle�Probleme �uberwiegend durch
Raten gel�ost werden k�onnen und die Anwendung von Mathematik nicht zwin�
gend notwendig ist�� F�unf der f�ur die empirische Untersuchung konzipierten
Probleme sind einstu�g� nur eine einzige Problemstellung ist zweistu�g� Die�
se Problemstellung ist dadurch gekennzeichnet� da die gleiche Fragestellung
f�ur zwei unterschiedliche Abstraktionsgrade gestellt wird und bearbeitet wer�
den soll� Vier Problemstellungen sind konvergent� aus der Formulierung des
Problems geht deutlich hervor� was gesucht bzw� was zu berechnen ist� Zwei
Problemstellungen sind divergent� Diese Probleme sind dadurch gekennzeich�
net� da entweder die L�osung nicht eindeutig ist oder da die Formulierung
des Problems keinen Aufschlu dar�uber gibt� ob es �uberhaupt eine L�osung
gibt�
�Vergleiche hierzu auch die �Ubersichten im Anhang E und im Anhang F��Eine M�oglichkeit zur Klassi�zierung von mathematischen Problemen �ndet man im
Kapitel � Alle zuvor genannten Problemtypen werden hier erl�autert�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN
Um den Sch�ulern eine Auswahl von Problemen aus unterschiedlichen Berei�
chen der Mathematik anbieten zu k�onnen� wurden jeweils drei bzw� vier der
sechs f�ur die empirische Untersuchung zur Verf�ugung stehenden Probleme als
eine Geschichte �uber einen Kindergeburtstag zu einem Arbeitsbogen zusam�
mengefa t�� Durch die Formulierung als Geschichte sollten sich die Sch�uler
besser in die in den Problemen beschriebenen Situationen versetzen k�onnen�
dar�uber hinaus sollte ihr Interesse an den Problemstellungen geweckt und
ihre Motivation zu deren Bearbeitung so erh�oht werden�
����� Der Arbeitsbogen
Bei der Erstellung des Arbeitsbogens wurde bewu t auf ein gesondertes Deck�
blatt mit konkreten Arbeitsanweisungen verzichtet� da man in der Praxis
auch nur selten Probleml�osungen von Sch�ulern erhalten wird� die nach einem
vorgegebenen Schema bearbeitet worden sind� Vielmehr m�ussen schwer nach�
vollziehbare Gedanken und Bearbeitungsschritte beurteilt werden� Anstelle
dessen wurden Tips zur Vorgehensweise � als Folie an die Wand projiziert� die
den Sch�ulern� insbesondere denjenigen� welche bisher noch keine Erfahrungen
mit dem Probleml�osen hatten� bei der Bearbeitung helfen sollten�
Am Anfang des Arbeitsbogens befanden sich vier o�ene Felder f�ur pers�onli�
che Angaben� Vorname �mit Geschlecht� sofern dieses aus dem Vornamen
nicht eindeutig hervorgeht�� Schule� Datum und Klasse� diese Felder sollten
von den Sch�ulern direkt nach dem Erhalt des Bogens ausgef�ullt werden� Vor
den eigentlichen Problemstellungen wurde zun�achst eine kurze� allgemeine
Einleitung in die Situation gegeben���Sascha hat Geburtstag Zu der Ge�
burtstagsfeier sind Tim� Eike� Andrea und Manu eingeladen Hieran schlos�
sen sich drei bzw� vier unterschiedliche Probleml�oseaufgaben an� Es wurde
viel Wert auf eine ansprechende Gestaltung des Arbeitsbogens gelegt� hierzu
z�ahlten insbesondere leicht verst�andliche� freundliche und einladende For�
mulierungen sowie das Integrieren motivierender Bilder und Zeichnungen in
einige Problemstellungen�
�Eine Beschr�ankung auf drei bzw� vier Probleme pro Arbeitsbogen ist deswegen vorge�nommen worden� da ein Teil der Sch�uler bei einem Arbeitsbogen� der alle sechs Problemeumfa�t� m�oglicherweise versucht h�atte� alle diese Problemstellungen zu l�osen� Somit w�areeventuell nicht ausreichend Zeit f�ur eine intensive Auseinandersetzung mit jedem einzelnenProblem vorhanden gewesen und die Bearbeitungsqualit�at h�atte darunter leiden k�onnenoder der f�ur eine Unterrichtsstunde sehr umfangreich erscheinende Arbeitsumfang h�attedirekt zu einer Bearbeitungsunlust bei den Sch�ulern f�uhren k�onnen�
�Durch diese Formulierung habe ich versucht� die Bearbeitung der Probleme des Ar�beitsbogens von Klassenarbeiten abzugrenzen� zur Folie selbst vergleiche Anhang D�
�Das genaue Lesen und das Verstehen dieser Einleitung war f�ur die Bearbeitung ver�schiedener Probleme des Arbeitsbogens notwendig�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN �
����� Die Problemstellungen
Die nachfolgend vorgestellten Problemstellungen entstanden im wesentlichen
durch Anregungen aus den B�uchern Hexeneinmaleins� kreativ mathematisch
denken von Mason �vgl� �Mason���� und How to evaluate progress in problem
solving von Charles� Lester und O�Da�er �vgl� �Charles u�a����� sowie aus der
Dissertation von Zielinski �vgl� �Zielinski����� Alle Problemstellungen sowie
ihre wichtigsten Charakteristiken sind auch noch einmal im Anhang E bzw�
im Anhang F dargestellt�
������ Das Hallo�Problem
Ausgehend von der Vermutung� da die meisten Sch�uler die Probleme der
Reihe nach l�osen w�urden� obwohl dieses gerade ausdr�ucklich nicht gefordert
war� sollte die erste und auf allen Arbeitsb�ogen aufgef�uhrte Problemstellung
den Sch�ulern eventuelle Ber�uhrungs�angste mit unbekannten Aufgabenstel�
lungen nehmen� erste Anfangsschwierigkeiten bei der Bearbeitung des Ar�
beitsbogens abbauen sowie ihr Interesse f�ur die weitere Bearbeitung der ande�
ren Probleme wecken� Wichtig war daher auch ein relativ geringer Schwierig�
keitsgrad� Ausgew�ahlt wurde das folgende kombinatorische Proze problem�
Saschas G�aste kommen zusammen an Jeder begr�u�t jeden mit einem lauten
HALLO Wieviele HALLOs waren insgesamt zu h�oren�
HALLO
HALLO
Vor der Bearbeitung dieses ersten Problems war es erforderlich� die kurze
Einleitung in die Situation am Anfang des Arbeitsbogens zu lesen und zu
verstehen �vgl� hierzu Abschnitt ������� Mit Hilfe dieses Problems konnte
festgestellt werden� inwieweit dieses wirklich geschehen war� Um diese erste
Problemstellung interessant zu gestalten� sind unter dem Text zwei gro e
Sprechblasen mit dem Inhalt HALLO � platziert worden� Es handelt sich
bei diesem Problem um eine konvergente und geschlossene Problemstellung�
�Das Wort HALLO wirkt einladend und regt zu einer ersten Aktivit�at� z�B� dem Aus�malen der Sprechblasen oder dem Malen weiterer Sprechblasen� an und damit zu einerAuseinandersetzung mit dem gesamten Problem�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN �
Das Ziel� n�amlich die Anzahl der HALLOs zu bestimmen� wird durch die
ausformulierte Fragestellung klar vorgegeben� Dieses Problem hat nur eine
einzige L�osung� zwanzig HALLOs� Zur L�osungs�ndung bieten sich neben
den herk�ommlichen algebraischen Methoden auch kombinatorische Methoden
an� Vor allem das Zeichnen eines Graphen und das Erstellen einer Tabelle
bzw� einer geordneten Liste sind Strategien� die zur L�osungs�ndung beitragen
k�onnen� Das Schach�Club�Problem von Charles und Lester lieferte die Idee
zur Entwicklung des Hallo�Problems �vgl� hierzu �Charles�Lester���� S� ���
������ Das Bonbon�Problem
Die Kinder haben�Schi�e versenken gespielt Anschlie�end kommt die Mut�
ter von Sascha mit � Bonbons und verteilt diese an die f�unf Kinder als Preise
f�ur das Spiel
Der Verlierer bekommt zum Trost als F�unfter nur wenige Bonbons
Der Vierte bekommt schon � Bonbons mehr als der F�unfte Der Dritte be�
kommt � Bonbons mehr als der Vierte Der Zweite bekommt � Bonbons mehr
als der Dritte und der Erste noch � Bonbons mehr als der Zweite
Wieviele Bonbons hat der Verlierer zum Trost bekommen�
Das Bonbon�Problem geh�ort in die Klasse der algebraischen Proze proble�
me� Genau wie das Hallo�Problem ist das Bonbon�Problem ein konvergentes
Problem� welches im allgemeinen algorithmisch gel�ost werden kann� sowie ein
geschlossenes Problem� Durch die Problemstellung selbst sind alle zur L�osung
erforderlichen Daten gegeben und die Fragestellung ist klar formuliert� Die
Schwierigkeit besteht nicht in der Suche nach dem Unbekannten� Vielmehr
liefert die Problemstellung eine Vielzahl von Daten ��� Bonbons� f�unf Kinder�
jeweils zwei Bonbons mehr�� welche erkannt und verstanden werden m�ussen�
Erst nach diesem Schritt kann das Problem mittels unterschiedlicher Ans�atze
erfolgreich gel�ost werden� Zu den m�oglichen L�osungsmethoden z�ahlt hier ins�
besondere das systematische Probieren� Man beginnt mit einer vermuteten
Anzahl von Bonbons f�ur den F�unften und addiert f�ur den Vierten� Dritten�
Zweiten und Ersten jeweils zwei Bonbons zum Wert des Vorg�angers� Wenn
diese Folge f�unf Glieder hat� wird die Summe berechnet� Ist die Summe un�
gleich ��� so mu der Anfangswert entsprechend nach oben oder nach unten
korrigiert werden� Hierdurch �ndet man schlie lich das korrekte Ergebnis
von drei Bonbons f�ur den Verlierer� Zur L�osung dieses Problems eignen sich
dar�uber hinaus noch als algebraische Methoden das Ausgleichsverfahren und
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN
das Separationsverfahren�� Beim Ausgleichsverfahren wird� unbeachtet des
Zuwachses� ein Mittelwert durch �� � � � � f�ur den Dritten berechnet und
hiervon ausgehend werden die Bonbonmengen f�ur die anderen vier Pl�atze
durch Addition bzw� Subtraktion von jeweils zwei Bonbons ermittelt�
Das Bonbon�Problem ist in Anlehnung an das Fisch�Problem von Zielinski
entwickelt worden �vgl� �Zielinski��� S� ����� Dieses Problem ist nicht auf
allen Arbeitsb�ogen gestellt worden� auf einem Teil der Arbeitsb�ogen ist es
durch das M�uhle�Problem ersetzt worden�
������ Das M�uhle�Problem
Im Gegensatz zu den beiden bisher vorgestellten Problemen ist das M�uhle�
Problem nun ein divergentes� kombinatorisches Proze problem� zu dessen
L�osung kreatives Denken erforderlich ist� Dieses Problem hat eine Vielzahl
von unterschiedlichen L�osungen� Wie alle im Rahmen der empirischen Unter�
suchung verwendeten Problemstellungen ist es aufgrund der ausformulierten
Frage geschlossen�
Sascha m�ochte mit den Kindern M�uhle spielen Dazu legt er seine � M�uhlebret�
ter auf den Tisch Jeder soll einmal mit jedem anderen spielen
Manu m�ochte� da� alle diese Spiele so schnell wie m�oglich gespielt werden
Die Kinder stellen dazu gemeinsam einen Plan auf� auf dem steht� wer gegen
wen spielt und welche Spiele gleichzeitig statt�nden k�onnen
Wie w�urde dein Plan aussehen�
Bei der Bearbeitung dieses Problems kann ein R�uckblick auf das Hallo�
Problem helfen� So konnten die Sch�uler hierdurch erkennen� da den beiden
�Hallos� zweier Kinder bei diesem Problem genau eine Spielpaarung ent�
spricht� Zum Verstehen des Problems geh�ort es auch zu erkennen� da an
genau zwei M�uhlebrettern gleichzeitig gespielt werden kann und mu � Wenn
das Problem selbst verstanden worden ist� besteht � neben der eventuellen
Ermittlung aller zehn m�oglichen Spielpaarungen � die haupts�achliche Schwie�
rigkeit darin� die zehn Spielpaarungen so anzuordnen� da ein und dieselbe
Person nicht an zwei verschiedenen M�uhlebrettern gleichzeitig spielt� F�ur
diese Anordnung gibt es unterschiedliche M�oglichkeiten� systematisches Pro�
bieren anhand einer Liste mit allen zehn Spielpaarungen ist ein Weg zur
L�osungs�ndung� Bewu t wurde die Formulierung� M�uhlebretter� gew�ahlt�
�Bei Zielinski werden diese L�osungsans�atze anhand des sogenannten�Fisch�Problems�
detailliert erl�autert� vgl� �Zielinski���� S� ����
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
obwohl dieses mehr Bretter sind� als es �uberhaupt Kinder auf der Geburts�
tagsfeier gibt� Hierdurch wurde vermieden� auf die f�ur die korrekte Verteilung
der einzelnen Spiele notwendigen zwei M�uhlebretter hinzuweisen� weil diese
Erkenntnis bereits einen entscheidenden Schritt zur L�osung des Problems
darstellt�
Die Idee zu dieser Probleml�oseaufgabe lieferte ebenfalls das Schach�Club�
Problem von Charles und Lester �vgl� hierzu �Charles�Lester���� S� �f��� Da
f�ur die Bearbeitung des M�uhle�Problems neben komplexen Denkstrukturen
in der Regel auch ein gr�o erer Zeitaufwand erforderlich ist� wurde dieses
Problem ausschlie lich in der sechsten Jahrgangsstufe gestellt�
������ Das W�urfel�Problem
Als Ausgangspunkt f�ur das W�urfel�Problem diente kein vergleichbares Prob�
lem aus der Literatur� es ist speziell f�ur die empirische Untersuchung ent�
wickelt worden�
Die Kinder spielen nun ein W�urfelspiel Jeder darf mit � gleichen W�urfeln
gleichzeitig w�urfeln Weil Sascha den �� Geburtstag feiert� bekommt derje�
nige� der eine Augensumme von �� w�urfelt� einen Punkt
Eike beginnt Andrea ruft��Deine Augensumme ist �� Du bekommst einen
Punkt�
K�onnten auch andere Augen als dreimal die Vier bei einer Augensumme von
�� oben gewesen sein� Wenn ja� welche�
Das W�urfel�Problem ist ein divergentes� kombinatorisches Problem� bei des�
sen L�osung ein gewisses Ma an Kreativit�at vom Probleml�oser gefordert wird�
Zwar ist die L�osungsmenge durch die Problemstellung eindeutig festgelegt�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
somit liegt wieder ein geschlossenes Problem vor� aber aus der Formulie�
rung geht nicht hervor� ob diese Menge au er dem Beispielwurf ����� noch
andere Elemente enth�alt� Bei der n�aheren Betrachtung des Problems stellt
man fest� da insgesamt noch f�unf andere W�urfe mit einer Augensumme von
zw�olf m�oglich sind� ����� ����� ����� ����� und ������ Um den Sch�ulern
verst�andlich zu machen� da die Reihenfolge� in welcher die W�urfel liegen�
ohne Bedeutung ist� wurde die Formulierung�mit � gleichen W�urfeln gleich�
zeitig� gew�ahlt� Dieses Problem kann z�B� graphisch durch das Zeichnen der
m�oglichen W�urfe oder algebraisch gel�ost werden� indem alle Zerlegungen der
Zahl �� in eine Summe aus drei Summanden gesucht werden�
����� Das Tier�Problem
Auf den Arbeitsb�ogen� welche nicht das W�urfel�Problem beinhalteten� war
an dieser Stelle das Tier�Problem formuliert� Als Grundlage f�ur die Ent�
wicklung des Tier�Problems diente ein entsprechendes Problem von Charles�
Lester und O�Da�er �vgl� �Charles u�a���� S� ���� Das Tier�Problem als kon�
vergentes� algebraisches Proze problem ist dadurch gekennzeichnet� da zwei
unterschiedliche� notwendige Daten in der Problemstellung aufgef�uhrt sind
��� Tiere� � Beine� und da ebenfalls zwei Werte als L�osung gesucht werden
�Anzahl der M�ause� Anzahl der Wellensittiche��
Sascha m�ochte den anderen Kindern die Haustiere der Familie zeigen� wei�e
M�ause und Wellensittiche
Eike fragt��Wieviele Tiere hast du denn� Sascha antwortet�
�Ich habe ��
Tiere und zusammen haben sie �� Beine� Manu ruft��Ich wei�� wieviele
M�ause und Wellensittiche du hast�
Kannst du das auch ausrechnen�
Die L�osung kann beispielsweise durch systematisches Probieren erfolgen� So
kann man elf Tiere willk�urlich in M�ause und Wellensittiche aufteilen und die
Anzahl der Beine ermitteln� Ergeben sich nicht � Beine als Summe� so mu
die Aufteilung ge�andert werden� Dieses liefert schlie lich als Ergebnis sieben
M�ause und vier Wellensittiche�� Eine L�osung k�onnte selbstverst�andlich auch
algebraisch durch die L�osung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Un�
bekannten erfolgen� diese Methode ist den Sch�ulern der f�unften und sechsten
Klassen in der Regel allerdings noch nicht bekannt�
�Untersuchungen zu verschiedenen L�osungsmethoden dieses Problemtyps werden bei�spielsweise bei Zielinski anhand des Obstschalen�Problems aufgezeigt� vergleiche hierzu�Zielinski���� S� �����
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
������ Das Quadrate�Problem
Das folgende geometrische Quadrate�Problem ist durch Anregungen aus dem
Buch Hexeneinmaleins� kreativ mathematisch denken von Mason entstanden
�vgl� �Mason��� S� ������ Es handelt sich hierbei wieder um ein geschlossenes�
konvergentes Proze problem� Allerdings ist dieses � im Gegensatz zu allen
anderen f�ur die empirische Untersuchung entwickelten Problemstellungen �
nun zweistu�g�
Andrea hat mit Holzst�aben die folgenden Figuren gelegt�
1. Figur: 1 Quadrat
2. Figur: 2 Quadrate
3. Figur: 3 Quadrate
Sie fragt die anderen Kinder� wieviele St�abe sie wohl f�ur �� Quadrate ben�oti�
gen wird Was meinst du dazu�
Und wieviele Holzst�abe w�urde Andrea f�ur ��� Quadrate ben�otigen� Begr�unde
deine Antwort ausf�uhrlich�
Das Quadrate�Problem wurde unter den folgenden Aspekten ausgew�ahlt� er�
neutes Wecken von Interesse und Motivationserh�ohung� Die gro en gezeich�
neten Quadrate sowie der dar�uberstehende Text sind zumindest zur Bearbei�
tung der ersten Fragestellung notwendig�� die Berechnung der Anzahl der
Holzst�abe f�ur zehn Quadrate� F�ur die Bearbeitung dieses ersten Teils ist si�
cherlich zun�achst eine graphische L�osung naheliegend� also das Zeichnen von
zehn Quadraten und das anschlie ende Abz�ahlen der St�abe� Dieses liefert die
korrekte Antwort von �� Holzst�aben� F�ur die weitere Bearbeitung der zwei�
ten Frage w�are es an dieser Stelle schon sinnvoll� die Anzahl auch mittels
algorithmischer Methoden zu ermitteln�
�Wenn bei diesem ersten Problemteil die Anzahl der H�olzer bereits �auch� rechnerischermittelt worden ist� dann ist f�ur die Berechnung der Anzahl der ben�otigten H�olzer f�ur Quadrate eine �Ubertragung der gefundenen Berechnungsmethode ausreichend� dieZeichnung und der zugeh�orige Text werden in diesem Fall nicht mehr zwingend ben�otigt�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
F�ur die Beantwortung der zweiten Fragestellung ist ein gewisses Ma an Ab�
straktion notwendig� da sich ��� Quadrate nur schwerlich zeichnen und dann
abz�ahlen lassen��� Das Erstellen einer geordneten Liste mit Eintr�agen f�ur die
Anzahl der Quadrate und die Anzahl der hierf�ur ben�otigten Holzst�abe kann
die L�osungs�ndung unterst�utzen� Man w�urde so erkennen� da f�ur das erste
Quadrat vier H�olzer und f�ur jedes weitere Quadrat noch jeweils drei H�olzer
ben�otigt w�urden� Dieses f�uhrt zu der korrekten L�osung von ��� Holzst�aben
f�ur ��� Quadrate� Die Arbeitsb�ogen von sechs aller dreizehn Klassen� die
an der empirischen Untersuchung teilgenommen haben� beinhalteten das
Quadrate�Problem�
�� Die Bewertungsverfahren
Die Ausf�uhrungen im Kapitel � haben gezeigt� da man in der Literatur
unterschiedliche Methoden �ndet� die zur Leistungsmessung von Sch�ulerar�
beiten im Rahmen des mathematischen Probleml�osens angewendet werden
k�onnen� Vor diesem Hintergrund werden in diesem Abschnitt zun�achst ver�
schiedene Gr�unde daf�ur diskutiert� inwieweit diese Methoden bei der Bewer�
tung der Probleml�osungen bei dieser empirischen Untersuchung Anwendung
�nden k�onnen� Hieran anschlie end werden Vor� und Nachteile spezieller Ska�
len infrage kommender Verfahren diskutiert und abschlie end werden die
Methoden und ihre zugeh�origen Skalen vorgestellt� die bei der empirischen
Untersuchung letztendlich verwendet worden sind�
����� Allgemeine �Uberlegungen
Der Kern dieser Arbeit liegt in der Untersuchung solcher Verfahren� mit de�
nen die Leistung eines Sch�ulers� die er bei der L�osung eines einzelnen mathe�
matischen Problems erbracht hat� gemessen werden soll� Aus diesem Grund
werden Verfahren� welche die globalen Probleml�osef�ahigkeiten eines Sch�ulers
ermitteln sollen� in dieser Arbeit nicht diskutiert��� Verfahren� die f�ur die
Messung einzelner Sch�ulerleistungen verwendet werden k�onnen� sind im Ka�
pitel � vorgestellt worden� Speziell waren dieses die analytische Bewertung�
die holistische Bewertung und die Bewertung des Gesamteindrucks�
��Es mu� allerdings herausgestellt werden� da� auch dieses Vorgehen eine korrekteL�osung dieses Problemteils darstellen w�urde�
��Derartige Tests �ndet man beispielsweise bei �Wearne���� oder bei�Schoen�Oehmke�� ��
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
Wie schon im Kapitel � aufgezeigt wurde� weist die Methode der Bewer�
tung des Gesamteindrucks bei einer Verwendung in der Schule in der Re�
gel erhebliche Nachteile auf� Hierzu z�ahlt zun�achst die Infragestellung der
Objektivit�at� da ausschlie lich implizite Kriterien f�ur die Bewertung einer
Sch�ulerleistung verwendet werden� Weiterhin ist ein Vergleich entsprechen�
der Sch�ulerl�osungen aufgrund der nicht o�ensichtlichen Kriterien in der Regel
nur sehr eingeschr�ankt m�oglich� Schlie lich werden die individuellen St�arken
und Schw�achen eines Sch�ulers durch diese Bewertung nicht deutlich hervor�
gehoben� Hieraus folgt� da die Bewertung einer Arbeit keine Grundlage f�ur
die weitere F�orderung des Sch�ulers bilden kann� Aber genau diese Forderun�
gen sind f�ur eine angemessene Leistungsmessung unverzichtbar��� Aus diesem
Grund wird auf die Anwendung der Bewertung des Gesamteindrucks bei der
empirischen Untersuchung im Rahmen dieser Arbeit bewu t verzichtet�
Somit ergibt sich bei der Auswahl geeigneter Methoden eine Beschr�ankung
auf die analytische bzw� auf die holistische Bewertung� Bei der �Uberlegung�
welche Wertungsskalen nun genau bei der empirischen Untersuchung An�
wendung �nden sollten� standen die im Anhang aufgef�uhrten vektoriellen
und linearen Skalen zur Diskussion� In der Literatur �ndet man dar�uber
hinaus noch weitere Bewertungsskalen� welche mit Blick auf den jeweiligen
Forschungsschwerpunkt entwickelt worden sind und die sich von den oben ge�
nannten Skalen mehr oder weniger unterscheiden� Im Rahmen dieser Arbeit
erfolgt jedoch eine Beschr�ankung auf die im Anhang aufgef�uhrten Modelle�
weil es sich bei diesen gewisserma en um die�Basismodelle� bzw� Erweite�
rungen hiervon handelt�
����� �Uberlegungen zu vektoriellen Skalen
Vektorielle Skalen� welche auf einem Vier�Phasen�Modell zum Probleml�osen�
z�B� dem Modell von Polya basieren� scheinen f�ur die Bewertung von Prob�
leml�osungen in der Regel ungeeignet �vgl� hierzu Kapitel �� Abschnitt �������
Das Verstehen eines Problems beein�u t die Planung einer L�osungsstrategie�
diese Planung beein�u t ihrerseits sowohl das L�osen des Problems selbst als
auch dessen Beantwortung� Es ist kaum m�oglich� die Punkte f�ur die Kate�
gorien�Verstehen� und
�Planen� unabh�angig voneinander zu vergeben� In
der Praxis w�urden diese fast immer identisch sein� da der Grad des Verste�
hens normalerweise ausgedr�uckt wird durch die Qualit�at der Planung� Aus
diesem Grund erfolgt eine Beschr�ankung auf Skalen� welche sich an dem Drei�
��Vergleiche hierzu die am Anfang des Kapitels � an eine angemessene Leistungsmessungaufgestellten Forderungen�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
Phasen�Modell zum Probleml�osen von Charles und Lester orientieren �vgl�
hierzu Kapitel �� Abschnitt ������� Auch bei solchen Skalen kann die eindeu�
tige Zuweisung der Punkte allerdings nicht immer einfach sein� Da die Ka�
tegorien�Verstehen� und
�L�osen� mehr oder weniger voneinander abh�angig
sind� kann sich eine Zuweisung der Punkte zu diesen beiden Kategorien als
schwierig erweisen� Zwei unterschiedliche vektorielle Skalen standen f�ur die
empirische Untersuchung zun�achst zur Diskussion�
Die erste vektorielle Skala wurde von Charles und Lester im Jahre ���
entwickelt �vgl� Anhang A� Abschnitt A���� Die Hauptidee dieser Skala ist
die Unterteilung des Probleml�osungsprozesses in die Phasen resp� Kategori�
en�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten�� Jeder dieser Kategorien sind
jeweils drei unterschiedliche Kriterien zugeordnet� welche eine Arbeit aufwei�
sen kann und anhand der eine Arbeit in jeder dieser drei Kategorien getrennt
bewertet wird� Dar�uber hinaus sind bei dieser Skala alle Kategorien gleich�
gewichtet� es k�onnen � je nach L�osung � jeweils pro Kategorie null� ein oder
zwei Punkte vergeben werden� Wird neben der analytischen Bewertung eine
holistische Bewertung gew�unscht� so k�onnen die einzelnen Teilpunkte einer
Arbeit zu einer Gesamtpunktzahl addiert werden� diese liegt dann zwischen
null und sechs Punkten�
Die zweite vektorielle Skala ist eine Modi�kation der Skala von Charles und
Lester �vgl� Anhang A� Abschnitt A������ Sie gew�ahrleistet eine wesentlich
feinere Vergabe der Punkte� Die Kategorien�Verstehen� und
�L�osen� �
sie bilden bekanntlich die Kernphasen des Probleml�oseprozesses � werden
di�erenzierter betrachtet� Einer Probleml�osung kann nun in diesen beiden
Schl�usselkategorien jeweils mit Hilfe von f�unf unterschiedlichen Kriterien ei�
ne Punktzahl zwischen null und vier zugewiesen werden� Die dritte Kategorie
�Beantworten� ist nicht verfeinert worden� Hier bleibt es bei drei unterschied�
lichen Kriterien� woraus sich eine zu vergebende H�ochstpunktzahl von zwei
Punkten ergibt� Der Vorteil dieser modi�zierten Skala gegen�uber der Basis�
skala besteht darin� da die beiden entscheidenden L�osungsphasen st�arker
gewichtet sind� Nachdem ein Problem verstanden und gel�ost worden ist� ist
die Formulierung der eigentlichen Antwort keine gro e Leistung mehr� Durch
diese Modi�kation kann eine Probleml�osung nun eine holistische Gesamt�
punktzahl zwischen null und zehn Punkten erhalten�
Aufgrund dieser �Uberlegungen ist die modi�zierte Skala nach Charles und
Lester f�ur eine Probebewertung f�ur die Arbeiten von �� Sch�ulern zweier sech�
��Diese Skala ist von Zielinski im Rahmen der Untersuchungen zu seiner Dissertationentwickelt� aber anschlie�end nicht verwendet worden� Er hat seine Bewertungen schlie�lichauf der Basis einer linearen Skala durchgef�uhrt�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN �
ster Klassen im Rahmen der Voruntersuchung ausgew�ahlt worden� Bedingt
durch die bei dieser Bewertung aufgetretenen Schwierigkeiten ist diese Skala
dann f�ur die eigentliche Hauptuntersuchung in dieser Form nicht verwendet
worden���
����� �Uberlegungen zu linearen Skalen
Im Gegensatz zu den vektoriellen Skalen� bei denen der Probleml�osungspro�
ze in verschiedene Phasen unterteilt wird und die mit diesen Phasen ver�
bundenen Denkprozesse getrennt numerisch bewertet werden� bildet bei der
Leistungsmessung mittels linearer Skalen der Grad des Mathematisierungs�
prozesses� den eine Arbeit aufweist� die Grundlage f�ur den einen einzigen
numerischen Wert� der einer Arbeit nun zugewiesen wird� F�ur die empirische
Untersuchung standen vier verschiedene Modelle zur Diskussion �vgl� hierzu
Anhang B��
Im Jahre ��� hat Malone ein lineares Bewertungsmodell entwickelt� bei wel�
chem eine Arbeit nach dem Grad des Mathematisierungsprozesses in Rich�
tung der L�osung beurteilt wird� Der Mathematisierungsproze ist in f�unf
Kategorien resp� Grade unterteilt� Kein Anfang ! Ann�aherung ! Wesentli�
ches ! Ergebnis ! Vollendung� Diesen Kategorien sind in dieser Reihenfolge
die Punkte von null bis vier zugeordnet� Die Verwendung dieser Skala gestal�
tet sich als schwierig� da der Mathematisierungsproze recht grob unterteilt
ist und die den einzelnen Kategorien zugeordneten Kriterien wenig ausf�uhr�
lich angegeben sind� Gerade f�ur Personen� die sich nicht mit der Problematik
der Bewertung von Probleml�osungen eingehend auseinandergesetzt haben�
ist diese Skala eher ungeeignet�
Die Skala von Woods ist der Skala von Malone sehr �ahnlich� auch sie beruht
auf der Beurteilung des L�osungsstadiums der Arbeit� Diese Skala hat sechs
Stufen� Die Punktzahl� die einer Arbeit zugewiesen werden kann� betr�agt
hierbei allerdings zwischen null und zehn� da zwischen den einzelnen Stufen
eine Di�erenz von jeweils zwei Punkten liegt� Auch mit dieser Skala ist es
nicht m�oglich� Nuancen im Mathematisierungsproze herauszustellen� Diese�Uberlegungen f�uhrten Zielinski auf die Entwicklung seiner Skala� welche eine
Verfeinerung der Skala von Woods darstellt� Den bei Woods nicht vergebe�
nen Punktzahlen wurden weitere Kriterien des Mathematisierungsprozesses
zugeordnet�
��Die genauen �Uberlegungen� die zu einer Verwerfung bzw� zu einer Modi�zierung dieserSkala gef�uhrt haben� sind im n�achsten Kapitel aufgef�uhrt�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
Als vierte und letzte Skala stand noch die lineare Skala von Charles und
Lester zur Diskussion� Da diese den Mathematisierungsproze aber auch nur
sehr grob untergliedert � genau wie bei der Skala von Malone erfolgt hier
eine Einteilung in f�unf Stufen � erschien diese Methode anfangs ebenfalls f�ur
die empirische Untersuchung als unpassend� Jeder einzelnen Kategorie sind
jeweils sehr viele unterschiedliche Kriterien zugeordnet� von denen die Arbeit
aber jeweils zum Erreichen der zugeh�origen Punktzahl nur eines erf�ullen mu �
Hieraus kann eine gewisse Un�ubersichtlichkeit bei der Bewertung und m�ogli�
cherweise das Zuweisen einer falschen Punktzahl resultieren� Ein weiterer
Aspekt� der gegen die Anwendung dieser Skala sprach� war die Tatsache� da
bei dieser Skala auch dann vier Punkte vergeben werden� wenn das Ender�
gebnis bei einer richtigen L�osungsstrategie bedingt durch Rechenfehler falsch
ist� Unstimmigkeiten mit der anfangs ausgew�ahlten vektoriellen Skala w�aren
unabdingbar�
Alle diese Argumente f�uhrten zun�achst zu einer Favorisierung der Skala von
Zielinski� Anhand einer Voruntersuchung resp� einer Bewertung der L�osun�
gen von �� Sch�ulern zweier sechster Klassen hat sich jedoch gezeigt� da sich
bei der Bewertung anhand dieser Skala gewisse Unstimmigkeiten ergeben
k�onnen� Aus diesem Grund ist auf der Basis der linearen Skala von Charles
und Lester und unter Ber�ucksichtigung der Skala von Zielinski eine neunstu�
�ge lineare Skala neu entwickelt worden� welche im Rahmen der empirischen
Untersuchung verwendet worden ist���
����� Die Skalen der empirischen Untersuchung
In diesem Abschnitt werden diejenigen Skalen� die bei der empirischen Un�
tersuchung letztendlich verwendet worden sind� noch einmal ausf�uhrlich dar�
gestellt� Die Skalen selbst sind im Anhang C aufgef�uhrt�
������ Die vektorielle Skala
Die im Rahmen der empirischen Untersuchung zur Bewertung der Sch�uler�
arbeiten verwendete vektorielle Skala ist auf der Basis der linearen Skala von
Charles und Lester entwickelt worden� Hierdurch sind zun�achst die Phasen
��A� Verstehen des Problems��
��B� L�osen des Problems� und
��C� Beant�
worten des Problems� festgelegt worden��� Bei der Skala von Charles und
��Im n�achsten Kapitel wird hierauf noch einmal detailliert eingegangen���Auf zus�atzliche Kategorien� die sich nicht direkt aus dem Probleml�osungsproze� erge�
ben� wurde im Hinblick auf den erforderlichen Vergleich der beiden Skalentypen verzichtet�
KAPITEL �� DIE UNTERSUCHUNG GRUNDLAGEN ��
Lester waren alle drei Kategorien mit Punkten jeweils zwischen null und
zwei gleichgewichtet� Da jedoch das Verstehen eines Problems und das L�osen
eines Problems zu den Schl�usselphasen des Probleml�oseprozesses geh�oren� ist
die Maximalpunktzahl in diesen beiden Kategorien jeweils auf drei Punkte
erh�oht worden� Bei der Kategorie�Beantworten� ist eine Maximalpunktzahl
von zwei Punkten beibehalten worden� da die abschlie ende Formulierung
einer Antwort gegen�uber dem Verstehen und dem L�osen eines Problems ei�
ner deutlich geringeren Leistung entspricht� Den einzelnen Punktzahlen aller
Kategorien sind anschlie end die Kriterien in Anlehnung an die Skala von
Charles und Lester und mit Blick auf die modi�zierte Skala nach Charles
und Lester zugeordnet worden� Zus�atzlich sind diese bei allen drei Kategori�
en noch verfeinert worden�
������ Die lineare Skala
Die im Rahmen der empirischen Untersuchung bei der Bewertung der Sch�uler�
arbeiten verwendete lineare Skala ist auf der Basis der linearen Skala von
Charles und Lester und unter Miteinbeziehung der Skala von Zielinski ent�
wickelt worden� Als neunstu�ge Skala kann einer Arbeit bei ihrer Verwendung
somit ein Wert zwischen null und acht Punkten zugewiesen werden� Bei dieser
Skala bestimmt der Fortschritt im Mathematisierungsproze � den eine Arbeit
aufweist� die Zuordnung dieser Arbeit zu der entsprechenden Kategorie bzw�
die Zuweisung der sich hierdurch ergebenden Punktzahl�
Die neun Kategorien selbst lassen sich noch einmal mit Blick auf den Fort�
schritt im Mathematisierungsproze drei verschiedenen Dachkategorien zu�
ordnen� Arbeiten� die der unteren Dachkategorie I �null bis zwei Punkte�
zugewiesen werden� zeigen � wenn �uberhaupt � h�ochstens einen unklaren
L�osungsversuch� aber noch kein echtes Verst�andnis f�ur das Problem� Arbei�
ten� die der mittleren Dachkategorie II �drei bis f�unf Punkte� zugewiesen
werden� zeigen bereits ein gewisses oder ein deutliches Verst�andnis f�ur das
Problem� aber entweder ist das L�osungsverfahren nur teilweise f�ur die L�osung
des Problems geeignet oder trotz eines geeigneten L�osungsverfahrens kommt
es zu einer falschen Weiterentwicklung oder zu einem Abbruch bei der Bear�
beitung� Bei allen Arbeiten� die der oberen Dachkategorie III �sechs bis acht
Punkte� zugewiesen werden� wird stets ein geeignetes L�osungsverfahren ver�
wendet� Sofern diese Arbeiten nicht eine absolut fehlerfreie L�osung sowie eine
korrekte und vollst�andige Antwort zeigen� haben sie h�ochstens kleine Fehler�
wie �Ubertragungsfehler oder Rechenfehler� oder die Formulierung der Ant�
wort ist � bedingt durch diese Fehler oder aus nicht ersichtlichen Gr�unden �
falsch� nicht vollst�andig oder fehlt g�anzlich�
Kapitel �
Die Rahmenbedingungen der
empirischen Untersuchung und
deren praktische Umsetzung
Im vorangegangenen Kapitel sind s�amtliche Grundlagen der empirischen Un�
tersuchung vorgestellt worden� Speziell geh�orten dazu die Konzipierung der
Problemstellungen und das Erstellen der Arbeitsb�ogen sowie die Auswahl
und die Entwicklung geeigneter Bewertungsskalen� Im ersten Abschnitt die�
ses Kapitels werden nun die Rahmenbedingungen der empirischen Untersu�
chung f�ur den Erhalt der Probleml�osungen dargelegt� Im einzelnen sind dieses
die Auswahl der Schulen und Klassen sowie die theoretische Situation in den
Klassen w�ahrend der Bearbeitung der Problemstellungen� Die Rahmenbe�
dingungen f�ur die Bewertung der erhaltenen L�osungen werden im zweiten
Abschnitt dieses Kapitels vorgestellt� Zum Abschlu erfolgt eine kurze Be�
schreibung der praktischen Umsetzung der empirischen Untersuchung�
�� Die Probleml�osungen� Rahmenbedingun�
gen
Zu Beginn dieses Abschnitts wird dargelegt� unter welchen Voraussetzungen
die Schulklassen ausgew�ahlt worden sind� Hierbei wird speziell eingegangen
auf die Art der Schule� die Ans�assigkeit der Schule sowie auf die ausgew�ahlten
Klassenstufen� Hieran anschlie end werden die Bedingungen in den Klassen
selbst vorgestellt� unter denen die Untersuchung durchgef�uhrt worden ist�
�
KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG ��
����� Die Auswahl geeigneter Schulklassen
Das grundlegende Ziel war es zun�achst� eine m�oglichst gro e Anzahl ver�
schiedener Sch�ulerl�osungen zu den einzelnen Problemen zu erhalten� Nur so
w�urden die ermittelten Auswertungsergebnisse sp�ater allgemein verwendbare
Resultate liefern� Es erfolgte eine Beschr�ankung auf vier Gymnasien aus der
Rhein�Ruhr�Region� weil man von den Sch�ulern dieser Schulform in der Re�
gel h�ohere Leistungen in der Mathematik bzw� generell ein gr�o eres Interesse
f�ur die Mathematik und deren komplexe Zusammenh�ange erwarten darf als
beispielsweise von Haupt� oder Realsch�ulern�
Es handelte sich hierbei zun�achst um eine pers�onliche Einsch�atzung� die nicht
auf einer speziellen wissenschaftlichen Arbeit basiert� Im Prinzip wird diese
pers�onliche Einsch�atzung bez�uglich der f�unften und sechsten Klassen aber
durch die Untersuchungen von Baumert u�a� im Rahmen der�Dritten In�
ternationalen Mathematik� und Naturwissenschaftsstudie �TIMSS�� bei den
siebten und achten Jahrgangsstufen bekr�aftigt �vgl� hierzu Abschnitt � in
�Baumert u�a���� S� ������ Sowohl bei der Untersuchung der kognitiven
Grundf�ahigkeiten am Ende der siebten Jahrgangsstufe �vgl� �Baumert u�a����
S� ��� � ����� als auch bei der Untersuchung der Mathematikleistungen am
Ende der achten Jahrgangsstufe �vgl� �Baumert u�a���� S� ��� � ���� hat sich
gezeigt� da die kognitiven Grundf�ahigkeiten bzw� die Mathematikleistungen
von Hauptsch�ulern in der Regel unter denen der Realsch�uler lagen und diese
ihrerseits unter denen der Gymnasiasten� Inwieweit sich diese Untersuchungs�
ergebnisse auf die f�unften und sechsten Jahrgangsstufen �ubertragen lassen�
kann nicht konkret gesagt werden� Bez�uglich der Leistungsdi�erenzen von
Hauptsch�ulern� Realsch�ulern und Gymnasiasten allgemein schreibt Baumert
jedoch��Denn generell gilt� Leistungsdi�erenzen zwischen den Schulformen
nehmen im Laufe der Schulzeit in von Fach zu Fach unterschiedlichem Aus�
ma zu� niemals jedoch ab� �Baumert u�a���� S� ����� Eine Beschr�ankung
der Untersuchung allein auf Gymnasien sollte somit dazu dienen� den Erhalt
von vielen unbearbeiteten � und somit f�ur die Bewertung mehr oder weniger
unbrauchbaren � Probleml�osungen zu vermeiden�
Eine Auswahl mehrerer Schulen war aus zwei Gesichtspunkten notwendig�
Zun�achst ist das mathematische Vorwissen von Sch�ulern verschiedener Schu�
len zu einem bestimmten Zeitpunkt normalerweise unterschiedlich und auch
nicht eindeutig festzulegen� da der Unterrichtssto� � abh�angig von der jeweili�
gen Schule � einerseits verschiedenartig� andererseits aber auch in einer unter�
schiedlichen Reihenfolge vermittelt werden kann� Zum zweiten haben sich die
Untersuchungen in den Schulen �uber unterschiedlich lange Zeitr�aume hinge�
zogen und somit kann es zu einem Informationsaustausch zwischen Sch�ulern
KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG ��
verschiedener Klassen einer Schule gekommen sein� Es l�a t sich daher ver�
muten� da einzelnen Sch�ulern die Problemstellungen durch Gespr�ache mit
Mitsch�ulern aus Parallelklassen bereits im Vorhinein bekannt gewesen sind�
Ein weiteres Kriterium war die Wahl der Klassenstufen� Die Entwicklung
der Problemstellungen ist den Unterrichtsinhalten der f�unften und sechsten
Klassen angepa t worden� Als Konsequenz hieraus konnten auch nur diese
beiden Klassenstufen f�ur die empirische Untersuchung in Betracht kommen�
Die Klassen selbst sind nach keinem festgelegten Schema ausgew�ahlt worden�
die Notwendigkeit� eine Vielzahl verschiedener Probleml�osungen zu erhalten�
stand stets im Vordergrund� S�amtliche Unterrichtsstunden� die mir von Seiten
der Schulen f�ur die Untersuchung zur Verf�ugung gestellt worden sind� wurden
f�ur die Bearbeitung der Arbeitsb�ogen durch Sch�uler genutzt�
����� Die Situation bei der L�osung der Probleme
In den einzelnen Schulen haben sich unterschiedliche Situationen bei der
L�osung der Problemstellungen ergeben� Im Gymnasium LF sind die Ar�
beitsb�ogen im Rahmen von Vertretungsstunden bearbeitet worden� hierbei
sind die Sch�uler allein durch mich beaufsichtigt worden� Im Gymnasium RD
�el die Bearbeitung auch in Vertretungsstunden� allerdings war hier allein
der zust�andige Vertretungslehrer in den Klassen anwesend� In den Gymnasi�
en MG und SB sind die Arbeitsb�ogen im Rahmen des normalen Mathema�
tikunterrichts ausgeteilt und von den Sch�ulern bearbeitet worden� In diesem
Fall waren sowohl der zust�andige Fachlehrer als auch ich w�ahrend der gesam�
ten Bearbeitungszeit anwesend� In diesem Zusammenhang ist festzuhalten�
da die Motivation der Sch�uler zur Bearbeitung der Probleme in den Ver�
tretungsstunden in der Regel sehr viel geringer war als bei der Bearbeitung
w�ahrend des Mathematikunterrichts��
Zu Beginn der Unterrichtsstunde ist die Folie Tips zur Vorgehensweise � an
die Wand projiziert und einmal laut vorgelesen worden� w�ahrend der gesam�
ten Bearbeitungszeit blieb sie dar�uber hinaus an die Wand projiziert und
somit f�ur die Sch�uler lesbar� Im Anschlu hieran� d�h� unmittelbar vor der
eigentlichen Bearbeitung� haben die Sch�uler die Arbeitsb�ogen erhalten� Auch
den Lehrern waren die Problemstellungen bis zu diesem Zeitpunkt in der Re�
gel nicht bekannt� F�ur die Bearbeitung des Arbeitsbogens stand der Rest der
�Hierzu ein Zitat eines Sch�ulers��Wir d�urfen in den Vertretungsstunden immer unsere
Hausaufgaben machen und m�ussen nicht so etwas machen���Die Folie ist im Anhang D aufgef�uhrt�
KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG ��
Unterrichtsstunde zur Verf�ugung� Eine vollst�andige Bearbeitung aller Prob�
lemstellungen war nicht gefordert� Jeder Sch�uler sollte das bearbeiten� was
ihm am interessantesten bzw� am einfachsten erschien� R�uckfragen an die
Beaufsichtigungspersonen sollten nach M�oglichkeit vermieden werden� eben�
so Gespr�ache mit Platznachbarn��
Zur Vermeidung von Leistungsdruck und als klare Abgrenzung zu einer Klas�
senarbeit wurden die Sch�uler gebeten� auf den Arbeitsb�ogen nur ihren Vorna�
men �gegebenenfalls mit Geschlecht�� die Klasse und die Schule zu vermerken�
�� Die Bewertung� Rahmenbedingungen
F�ur eine repr�asentative Untersuchung ist die Bewertung der Sch�ulerl�osun�
gen durch eine einzige Person nicht ausreichend� Vielmehr ist es erforderlich�
da alle L�osungen durch mindestens zwei voneinander unabh�angige Personen
bewertet werden� welche nach M�oglichkeit noch �uber keine gro en Erfahrun�
gen bei der Bewertung von Probleml�osungen verf�ugen bzw� welche mit den
hierbei m�oglicherweise auftretenden Schwierigkeiten noch nicht sehr vertraut
sind� Nur so kann man davon ausgehen� da die Bewertungsergebnisse re�
pr�asentativen Charakter aufweisen� Zur Vermeidung von Verf�alschungen der
Bewertungsergebnisse sollten sich die Bewertenden nach M�oglichkeit nicht
untereinander �uber eventuell auftretende Schwierigkeiten bei der Bewertung
der Probleml�osungen austauschen�
�� Die Umsetzung
Zum Ende dieses Kapitels wird in diesem Abschnitt noch dargelegt� wie die
praktische Umsetzung der empirischen Untersuchung in den Schulen sowie
bei der Bewertung erfolgt ist� Zus�atzlich werden die Erkenntnisse der Vor�
untersuchung aufgezeigt� die zur Notwendigkeit der Verwendung selbst ent�
wickelter Bewertungsskalen gef�uhrt haben�
�Gerade diese Forderung hat sich in verschiedenen f�unften Klassen als sehr schwierigerwiesen� Im Rahmen der Freiarbeit werden die Sch�uler zu Diskussionen mit Mitsch�ulernangeregt� und o�ensichtlich wurde die Bearbeitung der Problemstellungen von verschiede�nen Sch�ulern wie Freiarbeit angesehen�
KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG ��
����� Die Umsetzung in den Schulen
�Uber einen Zeitraum von etwa f�unf Monaten sind die Arbeitsb�ogen von
Sch�ulern der Klassenstufen f�unf und sechs aus vier unterschiedlichen Gym�
nasien der Rhein�Ruhr�Region unter unterschiedlichen Rahmenbedingungen�
bearbeitet worden� Insgesamt ergab sich hieraus eine Anzahl von ��� bear�
beiteten Arbeitsb�ogen� In der Tabelle �� sind f�ur jede Klasse� die an der
Untersuchung teilgenommen hat� neben der gesamten Klassenst�arke auch
die Anteile der weiblichen und m�annlichen Sch�uler aufgef�uhrt�
Gymnasium Klasse Sch�uler Sch�uler Sch�uler
gesamt weiblich m�annlich
LF � A �� �� �
LF A �� �
MG A �� �� ��
MG B � �� �
RD � A �� �� ��
RD � B �� �� ��
RD � C �� �� ��
RD A � �� ��
RD B � � ��
RD C �� �� �
SB A � ��
SB C �� �� ��
SB D �� �� �
gesamt ��� �� ���
Tabelle ��� Die Zusammensetzung der Schulklassen� diean der empirischen Untersuchung teilgenommen haben
Wie bereits im Abschnitt ���� dargelegt worden ist� gab es bez�uglich der Be�
arbeitungssituationen zwischen den vier Gymnasien deutliche Unterschiede�
Da im Gymnasium LF die Problemstellungen ausschlie lich in Vertretungs�
stunden bearbeitet wurden� war die Motivation der Sch�uler zur Mitarbeit
entsprechend geringer� In den anderen drei Schulen sind die Arbeitsb�ogen
unter Mitaufsicht bzw� alleiniger Aufsicht eines Lehrers bearbeitet worden�
hier waren Motivation und Disziplin der Sch�uler deutlich h�oher� In den Gym�
nasien LF� MG und SB habe ich nach einer kurzen Vorstellung meiner Person
� Vergleiche hierzu auch Abschnitt �����
KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG ��
und der Darstellung meines Anliegens die Folie mit den Tips zur Vorgehens�
weise aufgelegt und diese den Sch�ulern einmal laut vorgelesen� Mit der Bitte�
zun�achst den Vornamen� die Klasse und die Schule auf dem Arbeitsbogen zu
vermerken und dann mit der Bearbeitung zu beginnen� sind die Arbeitsb�ogen
sowie zus�atzliches kariertes Papier an alle Sch�uler ausgeteilt worden� F�ur die
Bearbeitung standen jeweils zwischen �� und �� Minuten� d�h� der Rest der
noch verbleibenden Unterrichtsstunde� zur Verf�ugung� Fragen zum Verst�and�
nis der Probleme� �uber m�ogliche L�osungswege etc� sind nicht beantwortet
worden� �Uber die Umsetzung der Untersuchung im Gymnasium RD k�onnen
diesbez�uglich keine Angaben gemacht werden� da die Bearbeitung der Ar�
beitsb�ogen ohne meine Anwesenheit erfolgt ist� Einem Lehrer dieses Gym�
nasiums� welcher die Durchf�uhrung der Untersuchung dort organisiert und
gew�ahrleistet hat� hatte ich jedoch zuvor um Einhaltung dieser Gegebenhei�
ten gebeten�
����� Die Voruntersuchung zwei Probebewertungen
Zun�achst erfolgte eine Sortierung aller Probleml�osungen nach Schulen� Klas�
sen und Geschlecht� Im Anschlu daran sind als Voruntersuchung anhand der
modi�zierten Skala nach Charles und Lester sowie anhand der Skala von Zie�
linski zwei Probebewertungen an den L�osungen der Sch�uler aus den Klassen
MG�A und MG�B durchgef�uhrt worden� Die genauen Bewertungsergebnis�
se sind im Anhang aufgef�uhrt�
Bei der Bewertung mittels der modi�zierten� vektoriellen Skala nach Charles
und Lester sind speziell die folgenden Schwierigkeiten aufgetreten�
� Eine Unterscheidung zwischen den Kriterien�Alle wesentlichen Anga�
ben sind verstanden� ��� � und�Das Problem ist in allen Einzelheiten
verstanden� ��� � war in der Praxis nicht m�oglich�
� Der Fall� da eine Arbeit bis auf das richtige Ergebnis keine weitere
Bearbeitung aufweist� konnte nicht zufriedenstellend bewertet werden�
da bei diesem Fall nicht entschieden werden konnte� ob der Sch�uler das
Problem verstanden hat oder ob er das Ergebnis eventuell nur geraten
oder von einem anderen Mitsch�uler abgeschrieben hat�
� Bei dieser Skala wird der Fall einer v�ollig korrekten L�osung bei den
Kriterien f�ur die Phase�L�osen� nicht ber�ucksichtigt�
KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG ��
� Bei den Kriterien f�ur die Phase�L�osen� wird sowohl von L�osung als
auch von L�osungsverfahren gesprochen� Dieses kann zu Unstimmigkei�
ten bei der Bewertung f�uhren�
Daher schien diese Skala f�ur die endg�ultige Bewertung in dieser Form als un�
geeignet� Ausgehend von der vektoriellen Skala von Charles und Lester und
unter Miteinbeziehung der Kriterien dieser modi�zierten Skala wurde schlie �
lich eine neue vektorielle Skala mit den Kategorien�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� entwickelt� welche letztendlich f�ur die Bewertung der Sch�uler�
arbeiten angewendet worden ist�
Auch bei der Bewertung der Sch�ulerarbeiten mittels der linearen Skala von
Zielinski haben sich unterschiedliche Probleme ergeben� Unter anderem z�ahl�
ten hierzu�
� F�ur das Kriterium�keine sinnvolle Bearbeitung� werden null Punkte
vergeben� Der Fall� da eine Sch�ulerarbeit aber �uberhaupt keine Be�
arbeitung aufweist� wird gar nicht ber�ucksichtigt� Hierf�ur m�u ten auf
jeden Fall weniger Punkte vergeben werden als f�ur eine sinnlose Bear�
beitung�
� Dem Fall� da die Arbeit eine korrekte L�osung ohne Bearbeitung auf�
weist� kann nicht eindeutig eine bestimmte Punktzahl zugewiesen wer�
den�
� In dieser Skala wird von L�osungsversuchen� L�osungsverfahren und L�o�
sungsalgorithmen gesprochen� Eine gleichzeitige Verwendung aller die�
ser drei Begri�e kann zu Schwierigkeiten bei der Bewertung f�uhren�
Aufgrund dieser Fakten erschien es sinnvoll� vor der eigentlichen Bewertung
aller Sch�ulerarbeiten eine neue lineare Skala zu entwickeln� bei welcher die�
se Probleme wahrscheinlich nicht auftreten w�urden� Diese Skala ist auf der
Grundlage der linearen Skala von Charles und Lester entwickelt worden� wo�
bei den einzelnen Kategorien im ersten Schritt doppelt so viele Punkte zuge�
wiesen worden sind� d�h� am Anfang gab es f�unf Kategorien mit den Punkten
null� zwei� vier� sechs und acht� Im zweiten Schritt wurden die Kategorien zu
den Punktzahlen eins� drei� f�unf und sieben zus�atzlich festgelegt und diesen
nachfolgend entsprechende Kriterien zugewiesen� Diese Kriterien sind neu
entwickelt oder aus der davor oder dahinter liegenden Kategorie in diese Ka�
tegorie verschoben worden�
KAPITEL � RAHMENBEDINGUNGEN UND UMSETZUNG �
����� Die Umsetzung der Bewertung
Die Grundlage f�ur die Bewertung bildete einerseits die aus der vektoriellen
Skala von Charles und Lester hervorgegangene vektorielle Skala� andererseits
die aus der linearen Skala von Charles und Lester neu entwickelte lineare
Skala� Neben mir ist die Bewertung noch von einer Studentin durchgef�uhrt
worden� Diese Studentin studierte im sechsten Semester Mathematik f�ur das
Diplom II sowie Mathematik und Physik f�ur das Lehramt in der Sekun�
darstufe II� Ein Erfahrungsaustausch zwischen den beiden Bewertenden hat
w�ahrend der Bewertungsphase nicht stattgefunden�
Kapitel
Die Auswertung der
Untersuchungsdaten
Ein �Uberblick
Im Rahmen der empirischen Untersuchung haben Sch�uler aus dreizehn Klas�
sen von verschiedenen Gymnasien der Rhein�Ruhr�Region Arbeitsb�ogen mit
jeweils drei bzw� vier unterschiedlichen Probleml�oseaufgaben bearbeitet� Im
Anschlu daran sind diese L�osungen durch den Verfasser selbst sowie durch
eine Studentin jeweils mittels zweier unterschiedlicher Bewertungsverfahren
bewertet worden�� In den folgenden Kapiteln werden nun die Ergebnisse die�
ser Bewertungen dargestellt� Da jede der sechs Problemstellungen eigene�
problemspezi�sche Charakteristiken aufweist� ist es notwendig� vor einer all�
gemeinen Theoriebildung die Ergebnisse der einzelnen Bewertungen zun�achst
nach Problemen getrennt auszuwerten� In der Tabelle ��� ist noch einmal zu�
sammenfassend dargestellt� wie sich die Arbeitsb�ogen der einzelnen Klassen
zusammengesetzt haben� d�h� in welcher Klasse welche Probleme gestellt wor�
den sind�
Um Antworten auf die im Kapitel � gestellten Forschungsfragen zu �nden�
werden in den sich anschlie enden sechs Kapiteln f�ur jedes Problem speziell
die folgenden klassen�ubergreifenden Vergleiche durchgef�uhrt�
� Ein Vergleich zwischen den holistischen Bewertungsergebnissen des Au�
tors und den entsprechenden Bewertungsergebnissen der Studentin�
�Mit Bewerter A bzw� Bewertung A resp� A�Bewertung seien stets der Autor bzw� seineErgebnisse gemeint� mit Bewerter B bzw� Bewertung B resp� B�Bewertung entsprechendimmer die Studentin bzw� ihre Bewertungsergebnisse�
��
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DER DATEN �UBERBLICK ��
Klasse Probleme des Arbeitsbogens
Hallo Bonbon M�uhle W�urfel Tier Quadrate
LF��A � � � �
LF�A � � � �
MG�A � � �
MG�B � � �
RD��A � � � �
RD��B � � � �
RD��C � � � �
RD�A � � �
RD�B � � �
RD�C � � �
SB�A � � � �
SB�B � � �
SB�D � � �
Tabelle ���� Die klassenspezi�sche Zusammensetzung derArbeitsb�ogen
� Ein Vergleich zwischen den analytischen Bewertungsergebnissen des
Autors und den entsprechenden Bewertungsergebnissen der Studentin�
� Ein Vergleich zwischen den beiden Bewertungsverfahren� Hierzu wer�
den einerseits die gemittelten� holistischen sowie die gemittelten und zu
einer Gesamtpunktzahl aufsummierten analytischen Bewertungsergeb�
nisse einander gegen�ubergestellt� andererseits werden Aussagen �uber
die bei beiden Verfahren �durchschnittlich� erreichten Punktzahlen ge�
tro�en�
Als Basis f�ur diese Vergleiche dienen jeweils die prozentualen Werte der Ar�
beiten� die den einzelnen Punktzahlen zugeordnet worden sind�� Die Aus�
wertung der Bewertungsergebnisse eines jeden Problems beginnt stets mit
der Zusammenfassung seiner wichtigsten Eigenschaften und einer �Ubersicht�
wieviele Sch�uler aus jeder Klasse dieses Problem bearbeitet haben� Hieran
schlie t sich der Vergleich der beiden holistischen Bewertungsergebnisse an�
�Es wird jeweils f�ur jede einzelne Arbeit eine mittlere Punktzahl aus den Ergebnis�sen der Bewertung des Autors und aus den Ergebnissen der Bewertung der Studentinberechnet�
�Wenn in den folgenden Kapiteln von Di�erenzen� Abweichungen� Unterschieden etc�zwischen den Werten gesprochen wird� so sind stets die absoluten Di�erenzen zwischenzwei prozentualen Werten gemeint� Sollte dieses einmal nicht der Fall sein� so wird daraufausdr�ucklich hingewiesen�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DER DATEN �UBERBLICK �
Hierzu werden einerseits die klassen�ubergreifenden Gesamtzahlen der Arbei�
ten in den drei Dachkategorien� miteinander verglichen� andererseits werden
Unterschiede zwischen den entsprechenden Gesamtzahlen der Arbeiten in
den Kategorien null bis acht aufgezeigt und m�ogliche Gr�unde f�ur eventuell
festgestellte Abweichungen diskutiert�� Der Vergleich der beiden holistischen
Bewertungsergebnisse endet jeweils mit einer Betrachtung der klassen�uber�
greifenden Mittelwerte und Standardabweichungen��
Die Auswertung der analytischen Bewertungsergebnisse erfolgt aufgrund des
der Wertungsskala zugrunde liegenden dreiphasigen Probleml�osungsmodells
getrennt nach den Kategorien resp� Phasen�Verstehen��
�L�osen� und
�Be�
antworten�� Es werden f�ur jede dieser drei Kategorien jeweils die klassen�uber�
greifenden Werte der den einzelnen Punktzahlen zugewiesenen Arbeiten bei�
der Bewertungen miteinander verglichen und m�ogliche Gr�unde f�ur festgestell�
te Di�erenzen zwischen den sich entsprechenden Werten dargelegt�� Zu jeder
Phase werden ebenfalls die Mittelwerte und die Standardabweichungen bei�
der Bewertungen angegeben� Besonderheiten bez�uglich �Ubereinstimmungen
bzw� Abweichungen werden gegebenenfalls herausgestellt� Bei allen Arbeiten
k�onnten die f�ur die drei einzelnen Phasen erreichten analytischen Punktzah�
len zu einer holistischen Gesamtsumme addiert werden� Anschlie end k�onn�
ten die so erhaltenen nun ebenfalls holistischen Ergebnisse der Bewertung A
mit denen der Bewertung B verglichen werden� Hierauf wird allerdings im
Abschnitt der Auswertung der analytischen Bewertungsergebnisse bewu t
verzichtet� da dieses Vorgehen bei einem Vergleich zwischen ausschlie lich
analytischen Bewertungsergebnissen weder notwendig noch � aufgrund der
Hauptidee der analytischen Bewertung � sinnvoll erscheint�
Hilfreich � und daher wird es auch praktiziert � ist ein entsprechendes Vorge�
�Im Abschnitt �� ist dargelegt� was eine grobe Unterteilung der Skala in drei Dachka�tegorien rechtfertigt� Die untere Dachkategorie I umfa�t die Kategorien von null bis zweiPunkten� die mittlere Dachkategorie II die Kategorien von drei bis f�unf Punkten und dieobere Dachkategorie III die Kategorien von sechs bis acht Punkten�
�Bei allen Auswertungen holistischer Bewertungsergebnisse wird davon ausgegangen�da� Abweichungen zwischen den entsprechenden Gesamtzahlen beider Bewertungen biszu etwa � � in der Regel durch Bewertungsungenauigkeiten bzw� �fehler bedingt sind�derartige Di�erenzen werden daher im Rahmen dieser Arbeit nicht n�aher analysiert�
�Auf eine ausf�uhrliche Diskussion der Mittelwerte und speziell der Standardabweichun�gen wird im Rahmen dieser Arbeit allerdings verzichtet� besondere �Ubereinstimmungenoder Abweichungen werden aber herausgestellt� Diese Vorgehensweise ist sinnvoll� da beider holistischen Bewertung maximal neun und in jeder einzelnen Phase der analytischenBewertung maximal drei bzw� vier unterschiedliche Punktzahlen vergeben werden k�onnenund daher die genauen Verteilungen der Punkte aller Arbeiten von beiden Bewertungenin den jeweiligen Tabellen klar erkennbar sind�
�Da bei dieser Auswertung die Zuweisung zu nur drei bzw� vier unterschiedlichen Punkt�zahlen untersucht wird� wird davon ausgegangen� da� Di�erenzen zwischen den sich ent�sprechenden Gesamtzahlen der Arbeiten bis zu etwa � auf Bewertungsungenauigkeitenberuhen�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DER DATEN �UBERBLICK �
hen bei der letzten Auswertung� die bei jedem Problem durchgef�uhrt wird� ein
Vergleich der beiden Bewertungsverfahren� Dieser Abschnitt beginnt stets mit
einer Gegen�uberstellung der holistischen und der analytischen Bewertungser�
gebnisse� Hierzu wird f�ur jede Arbeit aus den analytischen Teilpunkten� wie
zuvor erl�autert� eine einzige holistische Gesamtpunktzahl gebildet� die nun
mit den holistischen Bewertungsergebnissen verglichen werden kann� Dar�uber
hinaus wird einerseits f�ur jede der drei Probleml�osungsphasen eine Korrela�
tion zwischen allen f�ur die jeweils betrachtete Phase bei der analytischen
Bewertung erreichten Punktzahlen und allen bei der holistischen Bewertung
erreichten Punktzahlen untersucht� Andererseits werden Abh�angigkeiten zwi�
schen den f�ur die einzelnen Phasen bei der analytischen Bewertung erreichten
Punktzahlen und der durchschnittlich erreichten Punktzahl bei der holisti�
schen Bewertung analysiert� Hierdurch soll gepr�uft werden� inwieweit Bezie�
hungen zwischen den analytischen und den holistischen Punkten existieren�
Damit dieser Vergleich m�oglichst objektive Ergebnisse bringt� ist es notwen�
dig� eventuelle Fehler in beiden Bewertungen weitgehendst zu minimieren��
Daher sind f�ur jede einzelne Arbeit eines Sch�ulers sowohl gemittelte holisti�
sche als auch gemittelte analytische Bewertungsergebnisse gebildet worden�
diese dienen als Grundlage f�ur den Vergleich der beiden Bewertungsverfahren�
Die mittlere Punktzahl einer Arbeit ergibt sich f�ur die holistische Bewertung
als der Mittelwert aus dem Wert� welchen diese Arbeit bei der Bewertung
A erhalten hat� und aus dem entsprechenden Wert bei der Bewertung B�
F�ur die mittlere Punktzahl� die eine Arbeit bei der analytischen Bewertung
erh�alt� wird der Mittelwert f�ur jede einzelne L�osungsphase auf dem zuvor
erkl�arten Weg berechnet� Die f�ur den Vergleich der beiden Bewertungsme�
thoden ben�otigte holistische Gesamtpunktzahl der analytischen Bewertung
ergibt sich als die Summe der gemittelten Punkte f�ur die drei L�osungspha�
sen� Alle gemittelten Punktzahlen werden auf glatte Einerstellen gerundet�
da Punktevergaben mit Nachkommastellen in beiden Wertungsskalen nicht
vorkommen�
Die Auswertung der Bewertungsergebnisse eines jeden Problems endet schlie �
lich mit einer kurzen Zusammenfassung der wichtigsten festgestellten Ergeb�
nisse�
�Es sei an dieser Stelle vorweggenommen� da� sich bei den Vergleichen der beidenholistischen bzw� analytischen Bewertungsergebnisse Unterschiede zeigen werden� f�ur diesich au�er Bewertungsungenauigkeiten bzw� �fehlern keine anderen Ursachen �nden lassen�
Kapitel �
Die Auswertung des
HalloProblems
Zu Beginn dieses Kapitels seien noch einmal die wichtigsten Eigenschaften
dieses Problems zusammenfassend dargestellt� Das Hallo�Problem ist ein
� einstu�ges� kombinatorisches Proze problem�
� geschlossenes Problem� da alle zur L�osung erforderlichen Angaben sowie
das gesuchte Ergebnis durch die Problemstellung klar formuliert sind�
� konvergentes Problem� da zu dessen L�osung im allgemeinen konvergen�
tes Denken ausreicht�
Das Hallo�Problem� welches aufgrund seines relativ geringen Schwierigkeits�
grads und der durch die beiden Sprechblasen interessant gestalteten Dar�
stellung die Aufmerksamkeit der Sch�uler wecken und den Zugang zur Be�
arbeitung des Arbeitsbogens erleichtern sollte� ist als erstes Problem auf
den Arbeitsb�ogen aller dreizehn Klassen gestellt worden� In der Tabelle ���
sind die genauen Zahlen der Sch�uler� welche das Problem bearbeitet haben�
nach Schulen und Klassen sortiert zusammengefa t� Die Vermutung� da der
gr�o te Teil der Sch�uler mit diesem Problem beginnen bzw� dieses bearbeiten
w�urde� hat sich bewahrheitet� Von den ��� Sch�ulern� die an der empirischen
Untersuchung insgesamt teilgenommen haben� haben ��� dieses Problem be�
arbeitet� das entspricht einem Anteil von ���� #� Im Vergleich zu den an�
deren f�unf Problemstellungen der empirischen Untersuchung ist dieses die
h�ochste Bearbeitungsquote�
�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS �
Schule Klasse Sch�uler bearbeitet davon davon
gesamt von weiblich m�annlich
LF � A �� � �� ��
LF A �� �� �
MG A �� �� �� ��
MG B � � �� �
RD � A �� �� �� ��
RD � B �� �� �� ��
RD � C �� �� �� ��
RD A � � �� ��
RD B � � � ��
RD C �� �� �� �
SB A � � ��
SB C �� �� �� ��
SB D �� �� �� ��
gesamt ��� ��� �� ���
Tabelle ���� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Hallo�Problems
�� Ein Vergleich der beiden holistischen Be�
wertungen
In der Tabelle ��� ist dargestellt� wieviele Arbeiten den einzelnen neun Ka�
tegorien durch welche Bewertung genau zugewiesen worden sind� Bei einem
ersten Vergleich der Gesamtzahlen der den drei Dachkategorien zugewiese�
nen Arbeiten zeigen sich die Di�erenzen zwischen den beiden Bewertungen
haupts�achlich in der unteren und in der mittleren Dachkategorie� So wird
���� # aller Arbeiten bei der Bewertung A ein Wert zwischen null und
zwei Punkten zugewiesen� bei der Vergleichsbewertung B hingegen sind es
nur ����� #� Dieses entspricht ungef�ahr einem Drittel weniger� In der mitt�
leren Dachkategorie zwischen drei und f�unf Punkten steht einem Anteil von
����� # aller Arbeiten bei der Bewertung A ein Anteil von ����� # bei
der Bewertung B entgegen� das ist etwa das Anderthalbfache� Mit Anteilen
von ����� # gegen�uber ����� # sind die Werte in der oberen Dachkategorie
nahezu identisch�
Die Di�erenzen in der unteren und in der mittleren Dachkategorie erfordern
eine detaillierte Betrachtung der Anteile der den einzelnen Punktzahlen zu�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS �
Bewertung A Bewertung B
des Autors der Studentin
Punktzahl � Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
Kategorie absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ����� � ����
Punktzahl � � �� ����� �� ���
Punktzahl � � ��� � ���
Dachkategorie I � ���� � �����
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � � ���� �� ��
Punktzahl � � ��� �� ����
Dachkategorie II � ����� � �����
Punktzahl �� ��� � ���
Punktzahl � ��� �� ���
Punktzahl � �� ����� �� �����
Dachkategorie III ��� ����� ��� �����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ��� ����
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ ����
Tabelle ���� Die Verteilung der Punkte bei beiden holi�stischen Bewertungen
geordneten Arbeiten� Mit ����� # gegen�uber ���� # stimmen die Anteile
der Arbeiten� die der Punktzahl null zugewiesen worden sind� fast �uberein�
In der Kategorie eins hingegen zeigen sich deutliche Unterschiede� Bei der
Bewertung A erhielten ����� # der Arbeiten einen Punkt� Dem steht ein
Anteil von nur ��� # aller Arbeiten bei der Bewertung B entgegen� Die An�
teile der Arbeiten� die den Kategorien zwei� drei und f�unf zugewiesen worden
sind� liegen mit ��� #� ����� # und ��� # gegen�uber ��� #� ����� # und
���� # relativ nah beieinander� alle Di�erenzen zwischen den zusammen�
geh�orenden Anteilen liegen jeweils unter � #� In der Kategorie vier zeigen
sich dagegen wieder erhebliche Unterschiede zwischen den beiden Bewertun�
gen� Hier steht einem Anteil von ���� # der Arbeiten durch die Bewertung
A ein Anteil von �� # der Arbeiten durch die Bewertung B gegen�uber�
das ist mehr als das Vierfache� Ein Vergleich der beiden Mittelwerte zeigt
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS �
eine Di�erenz von ������ Punkten� Aufgrund des Mathematisierungsprozes�
ses� welcher den drei Dachkategorien zugrunde liegt� w�are es m�oglich� da
eine Arbeit bei zwei getrennten Bewertungen zwei unterschiedlichen Kate�
gorien derselben Dachkategorie zugeordnet w�urde und somit eine Di�erenz
von einem oder von maximal zwei Punkten aufweisen w�urde� Aber der Fall�
da eine Arbeit zwei unterschiedlichen Dachkategorien zugeordnet wird� kann
theoretisch nicht eintreten� Nun haben viele Sch�uler zur L�osung dieses Prob�
lems Zeichnungen oder Listen mit Namen von Kindern angefertigt� welche
sich gegenseitig�Hallo� sagen� Teilweise zeigten derartige Arbeiten dabei
allein einige unsystematisch aufgeschriebene Namen� Die Leistung solcher
Arbeiten ist bei den beiden Bewertungen unterschiedlich aufgefa t worden�
Bei der Bewertung A ist davon ausgegangen worden� da derartige Arbeiten
nur eine gewisse Bearbeitung� aber kein echtes Verst�andnis f�ur das Problem
zeigen� bei der Bewertung B hingegen ist davon ausgegangen worden� da
bei derartigen Arbeiten schon gro e Teile des Problems verstanden worden
sind� aber das L�osungsverfahren teilweise nicht geeignet ist�
Eine Betrachtung der beiden Mittelwerte zeigt� da diese � im Vergleich
mit den Mittelwerten der �ubrigen f�unf Probleme � bei ihren Bewertungen
jeweils die zweith�ochsten sind� Die Di�erenz von ������ Punkten zwischen
den beiden Mittelwerten entspricht� bezogen auf die Maximalpunktzahl acht�
����� # und liegt damit im Bereich der meisten �ubrigen Probleme� Die
Standardabweichungen von etwas �uber bzw� leicht unter drei Punkten lie�
gen� auch im Vergleich mit denen der anderen Probleme� jeweils im mittleren
Bereich� die Di�erenz zwischen diesen beiden Werten ist mit ������ Punkten
jedoch die zweith�ochste� Wie bei den meisten holistischen Bewertungsergeb�
nissen der untersuchten Problemstellungen gibt es bei beiden Bewertungen
sowohl viele Arbeiten mit wenig Punkten als auch viele Arbeiten mit vielen
Punkten� mit mittleren Punktzahlen dagegen sind es eher weniger Arbeiten�
Dieses l�a t sich dadurch erkl�aren� da vielen Sch�ulern o�enbar die Vorg�ange
des Probleml�osens noch nicht gel�au�g waren� d�h� entweder konnten sie das
Problem angehen� dann erhielten sie viele Punkte� oder sie konnten keinen
Zugang zu der Problemstellung �nden� dann wurde ihre Arbeit entsprechend
mit wenigen Punkten bewertet�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS �
�� Ein Vergleich der beiden analytischen Be�
wertungen
In diesem Abschnitt werden die analytischen Bewertungsergebnisse des Au�
tors den entsprechenden Bewertungsergebnissen der Studentin � nach den
drei Phasen des Probleml�oseprozesses getrennt � gegen�ubergestellt�
����� Die Phase Verstehen
F�ur die Bearbeitung der L�osungsphase�Verstehen� konnten einer Arbeit bei
der analytischen Bewertung zwischen null und drei Punkte zugewiesen wer�
den� Die Tabelle ��� zeigt die Verteilungen der Punkte beider Bewertungen
f�ur alle ��� Arbeiten�
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� � ����
Punktzahl � � �� ����� �� �����
Punktzahl � � � ���� �� ����
Punktzahl � ��� ����� � ����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Phase Verstehen� ����� �����
Standardabweichung
der Phase Verstehen� ����� ����
Tabelle ���� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Verstehen� des
Hallo�Problems
Es zeigt sich� da bei beiden Bewertungen die Anteile der Arbeiten� die null
bzw� drei Punkte aufweisen� im Prinzip �ahnlich sind� Hier stehen sich ����� #
bzw� ����� # der Arbeiten bei der Bewertung des Autors und ���� # bzw�
���� # der Arbeiten bei der Bewertung der Studentin gegen�uber� Deutliche
Unterschiede zeigen sich in den Werten der Arbeiten mit einem Punkt bzw�
mit zwei Punkten� So haben bei der A�Bewertung ����� # aller Arbeiten
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS
einen Punkt erhalten und ���� # aller Arbeiten zwei Punkte� bei der B�
Bewertung hingegen sind es ����� # bzw� ���� # aller Arbeiten� Es ergeben
sich hieraus absolute Di�erenzen zwischen den Werten von ���� # bzw� von
���� #� Diese Unterschiede zeigen� da die Arbeiten h�au�g nicht gen�ugend
Informationen dar�uber geben� ob ein Sch�uler das Problem nur unwesent�
lich oder doch schon teilweise verstanden hat� Der aufgetretene Unterschied
bei drei Punkten l�a t sogar vermuten� da bei einigen Arbeiten auch eine
Abgrenzung zum v�olligen Verst�andnis des Problems nicht m�oglich war� Die
Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten von ������ Punkten� das ent�
spricht � bezogen auf die Maximalpunktzahl drei � ����� #� ist relativ hoch
und im Vergleich zu denen der anderen Probleme die zweith�ochste�
����� Die Phase L�osen
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � ��� ����� � ����
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � �� ���� � ����
Punktzahl � �� ��� ��� ����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Phase L�osen� ������ �����
Standardabweichung
der Phase L�osen� ������ ������
Tabelle ���� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�L�osen� des Hallo�
Problems
Bei einer Analyse der Daten der Tabelle ��� wird sofort ersichtlich� da die
Ergebnisse der beiden Bewertungen bei dieser Phase so gut wie keine Un�
terschiede aufweisen� Die jeweiligen Anteile der den Punkten null bis drei
zugewiesenen Arbeiten weichen nur maximal ��� # voneinander ab� auch
die Mittelwerte mit ������ Punkten bei der Bewertung A und mit �����
Punkten bei der Bewertung B zeigen dieses� Es ergibt sich somit eine Di�e�
renz von gerade einmal ����� Punkten bzw� � bezogen auf maximal drei f�ur
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS �
diese Phase zu erreichende Punkte � von ���� #� Die Di�erenz zwischen
den beiden Standardabweichungen betr�agt ������ Punkte� bis auf das M�uhle�
und das W�urfel�Problem zeigen s�amtliche Probleme ungef�ahr diese Di�erenz
bei den Auswertungen dieser Phase�
����� Die Phase Beantworten
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� ��� ����
Punktzahl � �� ���� �� ���
Punktzahl � ��� ���� �� ����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Phase Beantworten� ����� �����
Standardabweichung
der Phase Beantworten� ���� ���
Tabelle ���� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Beantworten� des
Hallo�Problems
Die klassen�ubergreifenden Gesamtzahlen der den Punkten null bis zwei zuge�
ordneten Arbeiten beider Bewertungen werden in der Tabelle ��� dargestellt�
Auch f�ur die Phase�Beantworten� ist die Zuweisung der Punkte zu den ein�
zelnen Arbeiten bei beiden Bewertungen fast gleich erfolgt� Bei null Punkten
gibt es einen vernachl�assigbaren Unterschied von nur einer Arbeit� Bei einem
Punkt ergibt sich bei der Bewertung A ein Anteil von ���� # aller Arbeiten�
bei der Bewertung B hingegen ein etwas h�oherer Anteil von ��� #� Umge�
kehrt ist dieses bei zwei Punkten� hier steht einem A�Anteil von ���� # aller
Arbeiten ein B�Anteil von ���� # entgegen� Die Di�erenz bei der Punktzahl
zwei f�ur die Phase�Beantworten� kann theoretisch nur durch Bewertungs�
ungenauigkeiten bzw� �fehler begr�undet sein� da zwei Punkte allein dann
vergeben werden k�onnen� wenn die Antwort v�ollig richtig ist� Fehlt dagegen
die Antwort oder ist sie g�anzlich falsch� so erh�alt diese Arbeit nur null Punk�
te oder maximal einen Punkt� Praktisch k�onnen allerdings bei verschiedenen
Bewertern auch unterschiedliche Au�assungen dar�uber existieren� was genau
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS �
unter einer Antwort verstanden wird�� Die gerade beschriebenen Verteilun�
gen der Punkte dr�ucken sich auch in den beiden Mittelwerten aus� Mit �����
Punkten gegen�uber ����� Punkten sind diese praktisch identisch� Die Dif�
ferenz von ������ Punkten bzw� ������ # �bezogen auf die H�ochstpunkzahl
zwei� ist im Vergleich mit den anderen Problemen in der Phase�Beantwor�
ten� am geringsten� Entsprechendes gilt auch f�ur die Di�erenz von ������
Punkten zwischen beiden Standardabweichungen�
�� Ein Vergleich der beiden Bewertungsver�
fahren
Im letzten Auswertungsabschnitt dieses Kapitels werden die beiden Bewer�
tungsverfahren miteinander verglichen� Diesem Vergleich liegen jeweils ge�
mittelte Werte der Ergebnisse der Bewertung A resp� der Bewertung B zu�
grunde��
����� Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergeb
nisse
In der Tabelle �� sind die holistischen Gesamtpunktzahlen der beiden Be�
wertungsmethoden dargestellt� F�ur die holistische Bewertung entsprechen�
den diese Gesamtpunktzahlen den eigentlichen �gemittelten� Bewertungser�
gebnissen� f�ur die analytischen Bewertung dagegen sind sie gebildet worden
als die Summe aus den einzelnen �gemittelten� Bewertungsergebnissen einer
jeden Arbeit f�ur jede der drei L�osungsphasen�
Es zeigt sich sofort� da man im Prinzip von einer gleichen Vergabe der Ge�
samtpunkte bei beiden Bewertungsmethoden sprechen kann� Es treten zwar
bei den einzelnen Punktzahlen gewisse Di�erenzen auf� diese sind aber im
Vergleich zu den im Abschnitt ��� festgestellten Di�erenzen zwischen den
Ergebnissen der beiden holistischen Bewertungen sehr gering und beruhen
wahrscheinlich auf Bewertungsungenauigkeiten� Die gr�o te Di�erenz zeigt
sich bei der Punktzahl sechs mit ���� #� danach folgt die Punktzahl eins
mit einer Di�erenz von ���� #� Die Punktzahl sieben weist mit ��� # schon
eine Di�erenz von unter � # auf� bei den �ubrigen Punktzahlen liegen die
�Im Kapitel � wird hierauf noch einmal detailliert eingegangen��Im Kapitel � wurde dargelegt� wie diese Werte berechnet worden sind�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS
Bewertungsmethode
holistisch analytisch
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ���� �� ���
Punktzahl � �� ���� �� ����
Punktzahl � � ���� �� ���
Punktzahl � �� ��� � �����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � ��� ���
Punktzahl �� ��� �� ����
Punktzahl � �� ��� � ���
Punktzahl � ��� ����� �� ���
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ������ �����
Standardabweichung
der Punktverteilung ����� �����
Tabelle ��� Die Verteilungen der holistischen Gesamt�punktzahlen bei beiden Bewertungsmethoden
Di�erenzen jeweils sogar unter ��� #� Im Abschnitt ���� wird auf diese Ab�
weichungen noch einmal eingegangen� Diese Feststellung bekr�aftigen auch
die beiden Mittelwerte und Standardabweichungen� Die Di�erenz zwischen
den beiden Mittelwerten betr�agt nur ����� Punkte� d�h� � bezogen auf die
Maximalpunktzahl von acht Punkten � nur ������ #� Die Di�erenz zwischen
den beiden Standardabweichungen betr�agt nur ������ Punkte�
����� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten�
In diesem Unterabschnitt soll abschlie end analysiert werden� ob Beziehun�
gen zwischen den in den einzelnen Phasen der analytischen Bewertung er�
reichten Punktzahlen und der bei der holistischen Bewertung erreichten Ge�
�Mit Korrelationskoe�zient ist in der gesamten Arbeit stets der Korrelationskoe�zientvon Bravais�Pearson gemeint�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS ���
samtpunktzahl existieren�� Die hierf�ur ben�otigten Daten sind in der Tabelle
��� dargestellt� Ein erster Blick auf die Korrelationskoe�zienten l�a t vermu�
ten� da zwischen den f�ur die einzelnen Phasen bei der analytischen Bewer�
tung erreichten Punkten und der Punktzahl� die bei der holistischen Bewer�
tung erreicht worden ist� eine deutliche Beziehung existiert�
Erreichte Punktzahl Durchschnittlich erreichte Punktzahl
bei der analytischen bei der holistischen Bewertung
Bewertung
f�ur die Phase ��� ��� Verstehen� ���
L�osen� ���
Beantworten�
� Punkte ����� Pkte ������ Pkte ������ Pkte
� Punkt ������ Pkte ������ Pkte ������ Pkte
� Punkte ������ Pkte ������ Pkte ���� Pkte
� Punkte ������ Pkte ���� Pkte
Korrelationskoe�zient� ���� ����� ������
Tabelle ���� Der Zusammenhang zwischen den bei denbeiden Bewertungsmethoden �durchschnittlich� erreich�ten Punktzahlen
Eine Arbeit� die in der Phase�Verstehen� null Punkte bei der analytischen
Bewertung erhalten hat� d�h� bei der das Problem v�ollig mi verstanden wor�
den ist� hat durchschnittlich nur ��� Punkte bei der holistischen Bewertung
erhalten� Eine Arbeit mit einem analytischen Punkt f�ur die Phase�Verste�
hen�� diese Arbeit l�a t nur ein unwesentliches Verst�andnis f�ur das Problem
erkennen � hat schon durchschnittlich ���� holistische Punkte erhalten� Ei�
ne Arbeit mit zwei analytischen Punkten� diese Arbeit zeigt ein deutliches
Verst�andnis f�ur das Problem� hat bereits im Durchschnitt ���� holistische
Punkte erhalten und eine Arbeit mit drei analytischen Punkten � diese Ar�
beit zeigt ein v�olliges Verst�andnis f�ur das Problem � hat mit durchschnittlich
��� holistischen Punkten fast die Maximalpunktzahl von acht m�oglichen ho�
listischen Punkten erreicht� Im Vergleich mit den �ubrigen f�unf Problemen ist
�Der Einfachheit halber werden Punkte� die bei der analytischen Bewertung vergebenbzw� erreicht worden sind� auch als analytische Punkte bezeichnet� und Punkte� die beider holistischen Bewertung vergeben bzw� erreicht worden sind� als holistische Punkte�
�Der erste Korrelationskoe�zient ist berechnet worden von den Punktzahlen aller Ar�beiten f�ur die Phase
�Verstehen� bei der analytischen Bewertung und von den Punktzahlen
aller Arbeiten bei der holistischen Bewertung� Der zweite Korrelationskoe�zient ist ent�sprechend von den Punktzahlen aller Arbeiten f�ur die Phase
�L�osen� und den Punktzahlen
aller Arbeiten bei der holistischen Bewertung berechnet worden� Der dritte Korrelationsko�e�zient schlie�lich ergibt sich aus den Punkten aller Arbeiten f�ur die Phase
�Beantworten�
bei der analytischen Bewertung und den Punkten aller Arbeiten bei der holistischen Be�wertung� Dieses gilt v�ollig entsprechend auch f�ur alle Korrelationskoe�zienten der anderenf�unf Problemstellungen�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS ���
dieses die h�ochste holistische Durchschnittspunktzahl f�ur Arbeiten� die bei
der analytischen Bewertung f�ur die Phase�Verstehen� drei Punkte erhalten
haben� Die starke lineare Abh�angigkeit zwischen der bei der analytischen
Bewertung f�ur die Phase�Verstehen� vergebenen Punktzahl und der bei
der holistischen Bewertung erreichten Punktzahl wird durch den Korrelati�
onskoe�zienten rHV mit rHV � �� �� ebenfalls bekr�aftigt� Aufgrund des
Bestimmtheitsma es rHV� mit rHV
� � �� ��� kann man sagen� da ���� #
aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�
F�ur die Phase�L�osen� zeigt sich ein im Prinzip entsprechendes Bild� aller�
dings liegen die durchschnittlichen holistischen Punkte hier noch etwas h�oher�
So stehen null analytischen Punkten durchschnittlich ���� holistische Punk�
te entgegen� Im Vergleich mit den anderen Problemen ist dieses die h�ochste
holistische Durchschnittspunktzahl� die Arbeiten mit null analytischen Punk�
ten f�ur die Phase�L�osen� erhalten haben� Arbeiten mit einem analytischen
Punkt wurden schon durchschnittlich ���� holistische Punkte zugewiesen� Der
Zusammenhang zwischen den bei den beiden Verfahren erreichten Punktzah�
len wird bei zwei und drei analytischen Punkten noch deutlicher� So haben
Arbeiten� die zwei analytische Punkte erhalten haben und damit nur kleine
Fehler oder eine Unvollst�andigkeit trotz eines richtigen L�osungsverfahrens ge�
zeigt hatten� durchschnittlich ���� holistische Punkte erreicht� Arbeiten� die
drei analytische Punkte erhalten haben und somit eine v�ollig richtige L�osung
gezeigt hatten� haben durchschnittlich ��� holistische Punkte erreicht� Im
Vergleich mit den anderen Problemen ist die holistische Durchschnittspunkt�
zahl von ��� Punkten die h�ochste� die Arbeiten mit drei analytischen Punk�
ten f�ur die Phase�L�osen� erreicht haben� Der Korrelationskoe�zient rHL
mit rHL � �� ��� ist noch etwas gr�o er als der Koe�zient rHV und somit ist
auch die lineare Abh�angigkeit zwischen allen f�ur die Phase�L�osen� vergebe�
nen analytischen Punkten und allen vergebenen holistischen Punkten noch
etwas h�oher� Bei dieser Phase korrelieren sogar ���� # aller Punktpaare in
die gleiche Richtung�
Dagegen zeigen alle f�ur die Phase�Beantworten� vergebenen analytischen
Punkte und alle holistischen Punkte eine geringere lineare Abh�angigkeit�
Aus dem Korrelationskoe�zient rHB mit rHB � �� ���� ergibt sich ein Be�
stimmtheitsma rHB� mit rHB
� � �� ���� d�h� nur ���� # aller Punktpaare
korrelieren in die gleiche Richtung� Vergleicht man alle sechs Korrelationsko�
e�zienten f�ur die Phase�Beantworten�� so stellt man fest� da dieser beim
Hallo�Problem am niedrigsten ist� Die geringere gegenseitige Abh�angigkeit
zeigt auch ein Vergleich zwischen den Daten in der ersten Spalte und den
Daten in der vierten Spalte der Tabelle ���� So haben Arbeiten mit einem
analytischen Punkt durchschnittlich ���� holistische Punkte erhalten� die�
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS ���
se Arbeiten zeigten keine oder eine falsche Antwort oder eine falsche Ant�
wort aufgrund eines ungeeigneten L�osungsverfahrens� Vergleicht man diese
durchschnittliche holistische Punktzahl mit den entsprechenden Punktzahlen
der anderen f�unf Probleme� so zeigt sich allerdings� da dieses wiederum die
h�ochste von allen ist� F�ur das Erreichen von einem oder von zwei Punkten
m�ussen die Arbeiten ein angemessenes L�osungsverfahren zeigen� Arbeiten
mit einem analytischen Punkt� d�h� sie zeigen eine falsche Antwort trotz
eines angemessenen L�osungsverfahrens� erhielten durchschnittlich ���� holi�
stische Punkte� Au��allig ist� da Arbeiten mit zwei analytischen Punkten�
d�h� die Antwort ist korrekt aufgrund eines angemessenen L�osungsverfahrens�
nur durchschnittlich �� holistische Punkte erhalten haben�
�� Eine Zusammenfassung der wichtigsten
Auswertungsergebnisse
����� Der Vergleich der holistischen Bewertungen
� Die beiden Werte der Dachkategorie I bzw� der Dachkategorie II unter�
scheiden sich jeweils um fast �� #�
� Die gr�o ten Di�erenzen zeigen sich bei der Punktzahl eins mit ��� #
und bei der Punktzahl vier mit ���� #� Ein m�oglicher Grund hierf�ur
kann darin bestehen� da Arbeiten� die unsystematische Zeichnungen
oder Listen mit Namen von sich�Hallo� sagenden Kindern zeigten� bei
den beiden Bewertungen unterschiedlich aufgefa t worden sind�
����� Der Vergleich der analytischen Bewertungen
� Bei der Phase�Verstehen� zeigen sich deutliche Di�erenzen von bis
�uber �� # bei den Punktzahlen eins und zwei� Als eine Ursache hierf�ur
wurde festgestellt� da beim Hallo�Problem eine Unterscheidung zwi�
schen einem unwesentlichen Verst�andnis des Problems und einem Ver�
st�andnis von �wichtigen� Teilen nicht m�oglich war�
� Bei der Phase�L�osen� zeigen sich bei allen vier Punktzahlen nur sehr
geringe Di�erenzen von maximal ��� #�
� Bei der Phase�Beantworten� zeigen sich bei allen drei Punktzahlen
nur sehr geringe Di�erenzen von maximal ���� #� Diese Abweichungen
KAPITEL �� DIE AUSWERTUNG DES HALLOPROBLEMS ���
k�onnen bedingt sein durch Bewertungsungenauigkeiten bzw� �fehler�
aber auch durch unterschiedliche Au�assungen der beiden Bewerter
dar�uber� wie sie den Umfang und das Aussehen einer vollst�andigen�
korrekten Antwort genau verstehen�
����� Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren
� Im Prinzip ist die Zuweisung der Punkte bei beiden Verfahren identisch
erfolgt�
� Die gr�o te Di�erenz zeigt sich bei der Punktzahl sechs mit ���� #�
� Fast � # aller Punktpaare korrelieren in den Phasen�Verstehen� und
�L�osen� in eine Richtung� in der Phase
�Beantworten� dagegen nur gut
� # aller Punktpaare�
� Der Korrelationskoe�zient rHB f�ur die Phase�Beantworten� mit rHB �
�� ���� ist im Vergleich mit den anderen untersuchten Problemen der
kleinste f�ur diese Phase berechnete Wert�
Kapitel �
Die Auswertung des
BonbonProblems
Vor der Auswertung der Bewertungsergebnisse des Bonbon�Problems sei noch
einmal an die wichtigsten Aspekte erinnert� unter welchen dieses Problem f�ur
die empirische Untersuchung entwickelt und ausgew�ahlt worden ist� Es l�a t
sich charakterisieren als
� einstu�ges� algebraisches Proze problem�
� geschlossenes Problem�
� konvergentes Problem�
Die haupts�achlichen Schwierigkeiten� die bei der Bearbeitung des Bonbon�
Problems auftreten konnten� bestanden im Erkennen und im Verstehen einer
Vielzahl von unterschiedlichen Daten� die f�ur die L�osung zwingend ben�otigt
wurden� Nur ein Teil der Arbeitsb�ogen umfa te dieses Problem� bei dem
anderen Teil der Arbeitsb�ogen ist an Stelle dessen das M�uhle�Problem gestellt
worden� Die Tabelle �� enth�alt eine exakte Aufstellung derjenigen Klassen�
in welchen die Arbeitsb�ogen das Bonbon�Problem enthalten haben� Dieses
Problem ist von �� Sch�ulern bearbeitet worden� das entspricht bei einer
Gesamtzahl von � Sch�ulern� denen dieses Problem zur Bearbeitung vorlag�
einem Anteil von ����� #�
���
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
Schule Klasse Sch�uler bearbeitet davon davon
gesamt von weiblich m�annlich
LF � A �� � �� �
LF A �� � � �
RD � A �� � ��
RD � B �� � �� ��
RD � C �� �� �� ��
SB A � �� � ��
SB C �� � � ��
SB D �� �� � ��
gesamt � �� � ��
Tabelle ��� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Bonbon�Problems
��� Ein Vergleich der beiden holistischen Be�
wertungen
Auch die Auswertung des Bonbon�Problems beginnt mit einer Gegen�uber�
stellung der klassen�ubergreifenden Ergebnisse der holistischen Bewertung des
Autors und denen der holistischen Bewertung der Studentin� Die Tabelle
�� zeigt� wie oft die einzelnen Punktzahlen bei der Bewertung s�amtlicher
Sch�ulerarbeiten durch die beiden Bewerter jeweils vergeben worden sind�
Wenn man zuerst die entsprechenden Anteile der Arbeiten in den drei Dach�
kategorien miteinander vergleicht� so stellt man � im Gegensatz zum Hallo�
Problem � keine erheblichen Unterschiede zwischen den beiden Bewertungen
fest� Sowohl bei der Bewertung A als auch bei der Bewertung B liegen ����� #
aller Arbeiten in den Kategorien null bis zwei� In den Kategorien drei bis f�unf
steht einem Anteil von ����� # der Arbeiten bei der Bewertung A ein An�
teil von ����� # der Arbeiten bei der Bewertung B gegen�uber und in den
Kategorien sechs bis acht sind es ���� # gegen�uber ���� #� Die drei sich
aus den entsprechenden Werten der Dachkategorien ergebenden Di�erenzen
liegen damit jeweils unter ��� #�
Geringe Unterschiede in der unteren Dachkategorie zeigen sich allein bei der
Vergabe von null Punkten bzw� bei der Vergabe von einem Punkt� Hier ste�
hen Anteilen von ����� # an Arbeiten mit null Punkten und ����� # an
Arbeiten mit einem Punkt bei der A�Bewertung Anteile von ����� # bzw�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ��
Bewertung A Bewertung B
des Autors der Studentin
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � �� ����� �� �����
Punktzahl � � �� ����� � �����
Punktzahl � � ���� � ����
Dachkategorie I � ����� � �����
Punktzahl � �� ���� �� �����
Punktzahl � � ��� ����
Punktzahl � � ���� � ���
Dachkategorie II �� ����� �� �����
Punktzahl � ��� � ����
Punktzahl � � ���� �� ����
Punktzahl � �� ���� �� ����
Dachkategorie III � ���� ����
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ������ ������
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ ������
Tabelle ��� Die Verteilung der Punkte bei beiden holi�stischen Bewertungen
����� # bei der B�Bewertung gegen�uber� In beiden F�allen ergibt sich damit
eine Di�erenz von �uber � #� Ein m�oglicher Grund hierf�ur kann darin beste�
hen� da eine Unterscheidung zwischen einem Abschreiben von Daten aus
der Problemstellung und einer gewissen �bedeutungslosen� Bearbeitung bei
diesem Problem schwierig gewesen sein kann� Die Di�erenzen in der mittle�
ren Dachkategorie � sie liegen alle unter ��� # � resultieren haupts�achlich
aus den unterschiedlichen Werten der Kategorien vier ���� # zu ���� #�
und f�unf ����� # zu ��� #�� Addiert man diese Werte jedoch� so ist die
Di�erenz zwischen der Summe� die sich bei der Bewertung A ergibt� und der
Summe� die man bei der Bewertung B erh�alt� sehr gering� Entsprechendes
gilt f�ur die obere Dachkategorie� auch hier relativieren sich die Di�erenzen
als Summe der Anteile der Kategorien sechs und sieben� Bei der Punktzahl
sieben ergeben sich allerdings Anteile von ���� # gegen�uber ���� #� d�h�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
hieraus resultiert eine Di�erenz von ���� #� In der Kategorie acht gibt es
�uberhaupt keine Unterschiede� bei beiden Bewertungen haben ���� # aller
Arbeiten acht Punkte erhalten� Die einzelnen Werte in dieser Dachkategorie
zeigen� da subjektive Au�assungen eines Bewertenden dar�uber� was genau
unter der Antwort zu verstehen ist� das Bewertungsergebnis mit beein�ussen
k�onnen�
F�ur die Auswertung des Bonbon�Problems standen �� L�osungen zur Verf�u�
gung� Es ergibt sich bei der Bewertung A ein Mittelwert von ������ Punkten
und bei der Bewertung B ein Mittelwert von ������ Punkten und somit eine
Di�erenz von ����� Punkten� Ausgehend von maximal acht Punkten ent�
spricht dieses ������ #� Diese Abweichung ist� mit Blick auf die �ubrigen f�unf
Probleme� die geringste� die bei dem Vergleich der holistischen Bewertun�
gen berechnet worden ist� Auch die Di�erenz von ������ Punkten zwischen
den beiden Standardabweichungen ist die zweitkleinste� bezogen auf alle im
Rahmen dieses Teils der empirischen Untersuchung ermittelten Standardab�
weichungen�
��� Ein Vergleich der beiden analytischen Be�
wertungen
In diesem Abschnitt werden die beiden analytischen Bewertungsergebnis�
se des Bonbon�Problems miteinander verglichen� Hierzu werden die klas�
sen�ubergreifenden Gesamtzahlen der den Kategorien�Verstehen��
�L�osen�
und�Beantworten� zugewiesenen Arbeiten betrachtet und m�ogliche Gr�unde
f�ur auftretende Abweichungen gesucht�
����� Die Phase Verstehen
Beim Bonbon�Problem zeigt sich� da bei beiden Bewertungen fast identisch
viele Arbeiten jeweils null� einen� zwei oder drei Punkte erhalten haben �vgl�
hierzu Tabelle ���� Die h�ochste aufgetretene Abweichung mit nur ���� #�
was lediglich zwei Arbeiten entspricht� zeigt sich bei den Arbeiten mit drei
Punkten� Dieses wird auch durch die Mittelwerte von ���� Punkten bei der
Bewertung A und von ������ Punkten bei der Bewertung B bekr�aftigt� Die
Di�erenz zwischen diesen Werten betr�agt nur ������ Punkte bzw� ���� #�
wenn die H�ochstpunktzahl drei zugrunde gelegt wird� Der Unterschied zwi�
schen den beiden Standardabweichungen betr�agt gerade einmal ������ Punk�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � �� ����� � ����
Punktzahl � ��� ���
Punktzahl � � ���� � ���
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Phase Verstehen� ���� ������
Standardabweichung
der Phase Verstehen� ���� ����
Tabelle ��� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Verstehen� des
Bonbon�Problems
te� Damit sind beide Di�erenzen die geringsten Abweichungen im Vergleich
mit allen anderen Problemen in der Phase�Verstehen��
����� Die Phase L�osen
Die Daten in der Tabelle �� zeigen� da es bei dieser Phase deutliche Un�
terschiede in der Verteilung der Punkte zwischen den beiden Bewertungen
gibt� die n�aher untersucht werden m�ussen� Bei allen vier Punktzahlen unter�
scheiden sich die Werte der Bewertung A und die entsprechenden Werte der
Bewertung B um jeweils zwischen � # und � # voneinander� Au��allig ist�
da bei einer Aufsummierung der Anteile der den Punktzahlen null und eins
zugewiesenen Arbeiten gar keine Di�erenzen zwischen beiden Bewertungen
mehr auftreten� bei beiden Bewertungen haben ����� # aller Arbeiten null
Punkte oder einen Punkt in der Kategorie�L�osen� erhalten� Entsprechendes
gilt f�ur die beiden anderen Punktzahlen� So haben ��� # aller Arbeiten bei
beiden Bewertungen zwei oder drei Punkte f�ur die Phase�L�osen� erhalten�
Bei den beiden Mittelwerten ergibt sich eine Di�erenz von ������ Punkten�
was einem Unterschied von ����� # entspricht bei einer maximal zu verge�
benden Punktzahl von drei Punkten� die der beiden Standardabweichungen
bel�auft sich auf ������ Punkte�
Eine Ursache f�ur die Unterschiede im Bereich von null Punkten bzw� von ei�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ��
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ����� � ����
Punktzahl � ���� �� ���
Punktzahl � �� ���� � ����
Punktzahl � �� ��� � ����
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Phase L�osen� ������ �����
Standardabweichung
der Phase L�osen� ����� �����
Tabelle ��� Die Verteilungen der Punkte bei beidenanalytischen Bewertungen f�ur die Phase
�L�osen� des
Bonbon�Problems
nem Punkt kann darin bestehen� da es sicher nicht bei jeder Arbeit eindeu�
tig festzulegen war� ob der Sch�uler beispielsweise ein v�ollig ungeeignetes oder
ein teilweise ungeeignetes L�osungsverfahren angewendet hat� Als Ursache f�ur
die Di�erenzen bei zwei und drei Punkten sind Bewertungsungenauigkeiten
am wahrscheinlichsten� da die Kriterien dieser Punktzahlen theoretisch kei�
ne �Uberschneidungen aufweisen und algebraische L�osungen im allgemeinen
relativ gut verst�andlich sind�
����� Die Phase Beantworten
Als letztes werden in diesem Abschnitt die Verteilungen der Punkte beider
Bewertungen in der Kategorie�Beantworten� miteinander verglichen� Die f�ur
diese Auswertung ben�otigten Angaben enth�alt die Tabelle ���
Ein erster Vergleich zwischen den Werten bei der Bewertung A und den Wer�
ten bei der Bewertung B zeigt� da auch f�ur die Phase�Beantworten� bei
den einzelnen Punktzahlen gewisse Unterschiede bis zu etwa # aufgetreten
sind� So haben bei der Bewertung A weniger Arbeiten null Punkte erhalten
als bei der Bewertung B ���� # gegen�uber ����� #�� bei zwei Punkten ist
dieses genau entgegengesetzt ������ # gegen�uber ��� #�� Mit einer Di�e�
renz von ���� # ist der Unterschied bei der Punktzahl eins am geringsten�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ��� � �����
Punktzahl � ���� � ����
Punktzahl � � ����� �� ���
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Phase Beantworten� ����� ����
Standardabweichung
der Phase Beantworten� ����� ����
Tabelle ��� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Beantworten� des
Bonbon�Problems
Es soll an dieser Stelle generell einmal herausgestellt werden� da die Ver�
gabe der Punkte f�ur die Phase�Beantworten� nicht immer unabh�angig von
der f�ur die Phase�L�osen� vergebenen Punktzahl erfolgen kann� denn bei
der Bewertung der Leistung f�ur die Phase�L�osen� wird entschieden� ob das
angewendete Verfahren angemessen oder nicht angemessen ist� Bei Arbeiten
mit einem falschen Ergebnis hat dieses eine direkte Auswirkung auf die zu�
geordnete Punktzahl f�ur die Phase�Beantworten�� Die zuvor festgestellten
Di�erenzen k�onnen daher entweder durch diesen Zusammenhang oder durch
Bewertungsungenauigkeiten bedingt sein� Die beiden Mittelwerte weisen eine
Di�erenz von ������ Punkten ������� # bezogen auf zwei Punkte maximal�
auf� bei den beiden Standardabweichungen betr�agt sie ������ Punkte� Da�
mit sind beide Abweichungen im Vergleich zu den anderen f�ur diese Phase
ermittelten Werten der weiteren Probleme noch sehr gering�
��� Ein Vergleich der beiden Bewertungsver�
fahren
In diesem Abschnitt werden die beiden Bewertungsverfahren anhand der je�
weils gemittelten holistischen und analytischen Bewertungsergebnisse mit�
einander verglichen�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
����� Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergeb
nisse
Bewertungsmethode
holistisch analytisch
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ���� �� �����
Punktzahl � �� ���� � �����
Punktzahl � ��� �� ����
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � ���� � ����
Punktzahl � � ���� �� ���
Punktzahl � ���� ����
Punktzahl � ���� � ���
Punktzahl � �� ����� �� ����
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ����� ������
Standardabweichung
der Punktverteilung ����� �����
Tabelle �� Die Verteilungen der holistischen Gesamt�punktzahlen bei beiden Bewertungsmethoden
Die f�ur diese Auswertung ben�otigten holistischen Gesamtpunktzahlen der
beiden Bewertungsmethoden sind in der Tabelle � dargestellt� Eine fast
gleiche Zuweisung der Punkte bei beiden Verfahren� so wie sie bereits beim
Hallo�Problem festgestellt worden ist� tritt auch beim Bonbon�Problem auf�
Bei diesem Problem sind die Abweichungen voneinander sogar noch etwas
geringer� Die gr�o te Di�erenz zeigt sich bei der Punktzahl eins mit ���� #�
danach folgen die Di�erenzen bei der Punktzahl vier mit �� # und bei der
Punktzahl sechs mit ���� #� Die Unterschiede bei den noch verbleibenden
Punktzahlen liegen s�amtlich unter ���� #� Auch die Di�erenz zwischen den
beiden Mittelwerten von ������ Punkten bzw� ����� # �bei der H�ochst�
punktzahl acht� und die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichun�
gen von ������ Punkten bekr�aftigen ebenfalls die fast gleiche Verteilung der
Punkte bei beiden Bewertungsverfahren�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
����� Beziehungen und Korrelationskoe�zienten
Als letzter Vergleich zwischen den beiden unterschiedlichen Bewertungsme�
thoden werden in diesem Unterabschnitt eventuell existierende Beziehun�
gen zwischen den in den einzelnen Phasen bei der analytischen Bewertung
erreichten Punktzahlen und den bei der holistischen Bewertung erreichten
Punktzahlen herausgearbeitet�
Erreichte Punktzahl Durchschnittlich erreichte Punktzahl
bei der analytischen bei der holistischen Bewertung
Bewertung
f�ur die Phase ��� ��� Verstehen� ���
L�osen� ���
Beantworten�
� Punkte ������ Pkte ������ Pkte ������ Pkte
� Punkt ������ Pkte ������ Pkte ����� Pkte
� Punkte ����� Pkte ������ Pkte ���� Pkte
� Punkte ������ Pkte ����� Pkte
Korrelationskoe�zient ���� ���� ������
Tabelle ��� Der Zusammenhang zwischen den bei denbeiden Bewertungsmethoden �durchschnittlich� erreich�ten Punktzahlen
Eine Betrachtung der Daten in der Tabelle �� zeigt� da zwischen den er�
reichten analytischen Punkten f�ur jede Phase und der durchschnittlich er�
reichten holistischen Punktzahl auch bei diesem Problem deutliche Beziehun�
gen existieren� Betrachtet man zun�achst den Korrelationskoe�zient rBV f�ur
die Phase�Verstehen� mit rBV � �� ��� woraus sich ein Bestimmtheitsgrad
von rBV� � �� �� ergibt� so dr�uckt dieser eine sehr starke Abh�angigkeit zwi�
schen allen f�ur die Phase�Verstehen� erreichten analytischen Punkten und
allen bei der holistischen Bewertung erreichten Punktzahlen aus� Herausge�
stellt werden mu die mittlere holistische Punktzahl von nur ���� Punkten�
die Arbeiten mit der analytischen Punktzahl null erreicht haben� Im Vergleich
mit allen anderen Problemen ist diese beim Bonbon�Problem am niedrigsten�
Das Verh�altnis zwischen den anderen Punktzahlen der analytischen Bewer�
tung und den durchschnittlich erreichten holistischen Punktzahlen soll nicht
weiter diskutiert werden � entsprechend gilt dieses auch f�ur die anderen Pha�
sen dieses Problems �� da die Tabelle �� alle hierf�ur notwendigen Daten
direkt aufzeigt und die Beziehungen unmittelbar zu erkennen sind��
�Dieses gilt auch f�ur die entsprechenden Auswertungen der restlichen vier Probleme
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
Gegenseitige Abh�angigkeiten in der Phase�L�osen� best�atigt auch der Korre�
lationskoe�zient rBL mit rBL � �� ��� dieses ist zugleich der h�ochste Kor�
relationskoe�zient� der f�ur die Phase�L�osen� berechnet worden ist� Durch
den sich hieraus ergebenden Bestimmtheitsgrad kann man sagen� da in der
Phase�L�osen� ���� # aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�
die lineare Abh�angigkeit zwischen den f�ur die Phase�L�osen� vergebenen
Punkten und den bei der holistischen Bewertung vergebenen Punktzahlen
ist sehr stark� Die Abh�angigkeit zwischen den analytischen Punkten� die den
Arbeiten f�ur die Phase�Beantworten� zugewiesen worden sind� und den ho�
listischen Punkten ist im Vergleich zu den beiden anderen Phasen geringer�
Es ergibt sich ein Korrelationskoe�zient rBB mit rBB � �� ����� d�h� nur
���� aller Punktpaare korrelieren in die gleiche Richtung�
��� Eine Zusammenfassung der wichtigsten
Auswertungsergebnisse
����� Der Vergleich der holistischen Bewertungen
� Leichte Di�erenzen von ���� # bzw� von ���� # weisen die zusammen�
geh�orenden Werte der Kategorien null� eins und sieben auf� Speziell die
Unterschiede bei den Punktzahlen null und eins deuten auf Schwierig�
keiten bei der Unterscheidung zwischen dem Abschreiben von Daten
aus der Problemstellung und einer bedeutungslosen Bearbeitung hin�
����� Der Vergleich der analytischen Bewertungen
� Bei der Phase�Verstehen� sind die Werte bei allen vier Punktzahlen im
Vergleich zwischen den beiden Bewertungen jeweils praktisch identisch�
� Bei der Phase�L�osen� zeigen sich bei den Punktzahlen null und eins
jeweils Di�erenzen von ���� # und bei den Punktzahlen zwei und drei
jeweils von ��� #� O�enbar geben nicht alle Arbeiten � dieses gilt ins�
besondere f�ur schlechtere � ausreichend Aufschlu dar�uber� inwieweit
angewendete Verfahren zur L�osung des Problems geeignet sind�
� Bei der Phase�Beantworten� zeigen sich bei den Punktzahlen null�
eins und zwei Di�erenzen von etwa ��� #� ���� # bzw� ���� #� Eine
in den nachfolgenden Kapiteln� Auf diese Werte wird im folgenden nur noch detaillierteingegangen� wenn ein Wert besonders au��allig ist�
KAPITEL � DIE AUSWERTUNG DES BONBONPROBLEMS ���
konkrete Ursache hierf�ur l�a t sich nicht angeben� Beachtet werden mu
allerdings� da die einer Arbeit f�ur die Phase�Beantworten� zugewiese�
nen Punkte auch davon abh�angig sind� welche Punktzahl diese Arbeit
f�ur die Phase�L�osen� erhalten hat�
����� Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren
� Die Verteilung der �Gesamt��Punkte ist bei beiden Bewertungsverfah�
ren praktisch gleich erfolgt�
� Mit einem Unterschied von ���� # weisen die Anteile der Punktzahl
eins die gr�o te Di�erenz auf�
� �Uber � # alle Punktpaare korrelieren in den Phasen�Verstehen� und
�L�osen� in eine Richtung� in der Phase
�Beantworten� dagegen sind es
nur gut � # aller Punktpaare�
� Der Korrelationskoe�zient rBL f�ur die Phase�L�osen� mit rBL � �� ��
ist im Vergleich mit den anderen untersuchten Problemen der gr�o te
f�ur diese Phase berechnete Wert�
Kapitel ��
Die Auswertung des
M�uhleProblems
In diesem Kapitel werden die Bewertungsergebnisse des M�uhle�Problems aus�
gewertet� Es sei daher noch einmal an seine wichtigsten Merkmale erinnert�
Das M�uhle�Problem ist ein
� einstu�ges� kombinatorisches Proze problem�
� geschlossenes Problem�
� divergentes Problem� denn es erfordert vom Probleml�osenden eine krea�
tive Auseinandersetzung mit der Problemstellung� die Art des L�osungs�
wegs ist o�en und der Umfang der L�osung ist nicht genau vorgegeben�
Das M�uhle�Problem z�ahlt mit zu den schwierigsten Problemen� die im Rah�
men der empirischen Untersuchung von den Sch�ulern bearbeitet worden sind�
F�ur die L�osung mu ten zun�achst die Anzahl der Spiele und alle m�oglichen
Spielpaarungen ermittelt werden � eine R�uckblick auf das Hallo�Problem
konnte hierf�ur hilfreich sein �� danach mu ten die zehn Spielpaarungen so
auf zwei M�uhlebretter aufgeteilt werden� da nicht eine Person an beiden
Brettern gleichzeitig spielt� Aufgrund dieser komplexen Problemsituation ist
das M�uhle�Problem auch nur in Klassen der sechsten Jahrgangsstufe gestellt
worden� Eine Aufstellung dieser Klassen sowie die zugeh�origen Sch�uler� und
Bearbeitungszahlen enth�alt die Tabelle ����� Mit ��� # weist das M�uhle�
Problem die geringste Bearbeitungsquote von allen sechs untersuchten Prob�
leml�oseaufgaben auf� M�oglicherweise wirkte die Komplexit�at der Problem�
stellung entmutigend auf viele Sch�uler� so da diese von vornherein gar keinen
Versuch zur L�osung unternommen haben�
���
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ��
Schule Klasse Sch�uler bearbeitet davon davon
gesamt von weiblich m�annlich
MG A �� �� � �
MG B � �� � ��
RD A � �� �� ��
RD B � � �� �
RD C �� �� ��
gesamt ��� �� ��
Tabelle ����� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes M�uhle�Problems
���� Ein Vergleich der beiden holistischen Be�
wertungen
In Analogie zu den bisher bereits ausgewerteten Problemen werden in diesem
ersten Abschnitt die klassen�ubergreifenden Verteilungen der Punkte null bis
acht der beiden holistischen Bewertungen miteinander verglichen� Die hierf�ur
notwendigen Daten sind in der Tabelle ���� zusammengefa t� Betrachtet man
zun�achst die Anteile der den drei Dachkategorien zugewiesenen Arbeiten�
so zeigen die Dachkategorie I mit ���� # bei der A�Bewertung gegen�uber
��� # bei der B�Bewertung sowie die Dachkategorie III mit ����� # ge�
gen�uber ����� # die gr�o ten Abweichungen voneinander� Es ergeben sich
hieraus Di�erenzen von ����� # bzw� von ��� #� Die Anteile in der Dachka�
tegorie II ������ # bei der Bewertung A und ��� # bei der Bewertung B�
unterscheiden sich dagegen nur geringf�ugig um ���� # voneinander�
Bei einer detaillierten Analyse der zur Dachkategorie I geh�orenden drei Punkt�
kategorien stellt man fest� da die haupts�achliche Ursache f�ur die starke Ab�
weichung durch die Kategorie eins begr�undet ist� So erhielten bei der Bewer�
tung durch den Autor ���� # aller Sch�uler f�ur ihre Arbeit einen Punkt� bei
der Vergleichsbewertung B hingegen waren es nur ����� # der Sch�uler� Die
Di�erenz zwischen diesen Werten betr�agt ����� #� Die Werte der Kategorien
null und zwei weichen � jeweils mit einer absoluten Di�erenz von ���� # � da�
gegen nur geringf�ugig voneinander ab� Die beiden Werte der Dachkategorie II
liegen nah beieinander� eine detaillierte Betrachtung der Werte der einzelnen
Kategorien zeigt jedoch deutliche Unterschiede in der Punktevergabe� Die
gr�o te Abweichung weist die Kategorie drei auf� Bei der Bewertung A haben
��� # aller Arbeiten einen Wert von drei Punkten erhalten� bei der Bewer�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
Bewertung A Bewertung B
des Autors der Studentin
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � � �� ���� �� �����
Punktzahl � � ��� � ����
Dachkategorie I �� ���� �� ���
Punktzahl � � � ��� �� �����
Punktzahl � � ���� �� �����
Punktzahl � � � ��� � ����
Dachkategorie II �� ����� �� ���
Punktzahl �� ����� � ����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � � �� ����� �� �����
Dachkategorie III �� ����� � �����
gesamt ������� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ������ ����
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ �����
Tabelle ����� Die Verteilung der Punkte bei beiden holi�stischen Bewertungen
tung B hingegen waren es ����� #� Bei der Kategorie f�unf steht einem Anteil
von ��� # der Arbeiten bei der Bewertung A ein Anteil von nur ���� #
bei der Bewertung B gegen�uber� Dieses f�uhrt zu Di�erenzen von ����� #
bzw� von ���� #� Die Unterschiede in der Dachkategorie III resultieren vor�
nehmlich aus der Kategorie acht� Nach der Bewertung A hatten ����� # der
Sch�uler das Problem korrekt und vollst�andig gel�ost� nach der Bewertung B
hingegen waren es ����� # der Sch�uler�
Gr�unde f�ur die Abweichungen bei den Punktzahlen eins und drei sind nicht
direkt o�ensichtlich� da sich die Kriterien dieser Kategorien doch erheblich
voneinander unterscheiden� Wenn man allerdings alle Arbeiten mit Punk�
ten zwischen null und drei in der Summe betrachtet� so sind dieses bei der
A�Bewertung � Arbeiten ������ #� und bei der B�Bewertung �� Arbeiten
������ #� und damit also fast gleich viele� Dieses legt die Vermutung nahe�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
da bei beiden Bewertern bei diesem kombinatorischen Problem unterschied�
liche Au�assungen dar�uber vorlagen� wann es sich nur um eine bedeutungs�
lose Bearbeitung gehandelt hat bzw� wann die Arbeit bereits ein gewisses
Verst�andnis f�ur das Problem gezeigt hat und die Probleml�osung in Angri�
genommen worden ist� Auf diese Problematik wird im Abschnitt ������ noch
einmal n�aher eingegangen� Wenn man entsprechend auch die Arbeiten mit
Punkten zwischen vier und acht in der Summe betrachtet� so erh�alt man
bei der A�Bewertung �� Arbeiten ���� #� und bei der B�Bewertung ��
Arbeiten ������ #�� d�h� der Unterschied ist wiederum minimal� Es existiert
theoretisch weder ein Zusammenhang zwischen den Kriterien f�ur die Punkt�
zahlen drei und f�unf noch zwischen den Kriterien f�ur die Punktzahlen f�unf
und acht� Die Abweichung von ���� # bei acht Punkten l�a t sich im Prinzip
nur als Ursache von Bewertungsungenauigkeiten erkl�aren��
Die Di�erenz von ������ Punkten bzw� von ���� # �bezogen auf acht als
Maximalpunktzahl� zwischen den beiden Mittelwerten ist der zweitniedrigste
berechnete Wert von allen Problemen bei diesem Untersuchungsteil� die Ab�
weichung von ������ Punkten zwischen den beiden Standardabweichungen
liegt dagegen im Mittelfeld�
���� Ein Vergleich der beiden analytischen
Bewertungen
Dieser Abschnitt dient dem Vergleich der beiden analytischen Bewertungser�
gebnisse des M�uhle�Problems anhand der sich entsprechenden Gesamtzahlen
der Arbeiten in den Kategorien�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten�
beider Bewertungen�
������ Die Phase Verstehen
Die Daten zur Auswertung der ersten Phase des Probleml�osungsprozesses
des M�uhle�Problems liefert die Tabelle ����� Bei allen vier Punktzahlen zei�
gen sich gewisse Di�erenzen in den Werten� Bei den Punktzahlen null und
eins sind diese Di�erenzen mit einem Unterschied von einer Arbeit bzw� von
�W�aren einem Teil der Arbeiten sieben Punkte und einem anderen Teil der Arbeitenacht Punkte zugewiesen worden� und w�aren die Summen dieser beiden Anteile bei derBewertung A und bei der Bewertung B fast gleich� dann w�urde dieses darauf hindeuten� da�f�ur die Beantwortung des Problems unterschiedliche Ma�st�abe angesetzt worden w�aren�Diese M�oglichkeit scheidet hier jedoch aus�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ��
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� � ���
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � � ��� � ���
Punktzahl � � �� ����� �� ����
gesamt ������� �������
Mittelwert
der Phase Verstehen� ����� �����
Standardabweichung
der Phase Verstehen� ����� ������
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beidenanalytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Verstehen� des
M�uhle�Problems
zwei Arbeiten am geringsten und m�ussen nicht weiter beachtet werden� Bei
einer Summation der diesen beiden Punktzahlen zugewiesenen Arbeiten ste�
hen sich ����� # aller Arbeiten �Bewertung A� und ����� # aller Arbeiten
�Bewertung B� gegen�uber� die Di�erenzen heben sich somit praktisch auf�
Sehr starke Unterschiede zeigen sich bei den beiden �ubrigen Punktzahlen�
Bei der Bewertung A haben ��� # der Arbeiten zwei Punkte und ����� #
der Arbeiten drei Punkte erhalten� bei der Bewertung B sind es entsprechend
��� # bzw� ���� # der Arbeiten� Es ergeben sich damit Di�erenzen von
jeweils �uber �� #� Betrachtet man die Anteile der Arbeiten mit zwei und drei
Punkten als Summe� so steht nun einem A�Anteil von ����� # ein B�Anteil
von ��� # entgegen� Die Di�erenz zwischen diesen beiden Anteilen ist sehr
gering� Dieses deutet darauf� da bei der Bewertung der Phase�Verstehen�
des M�uhle�Problems die entscheidenden Schwierigkeiten o�enbar darin la�
gen� zu entscheiden� ob das Problem gr�o tenteils oder vollst�andig verstanden
worden ist�
Die Abweichungen zwischen den beiden Mittelwerten ������ Punkte bzw�
� unter Beachtung der H�ochstpunktzahl drei � ����� #� resp� zwischen den
beiden Standardabweichungen ������� Punkte� liegen jeweils im Vergleich zu
denen der anderen Probleme im mittleren Bereich�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
������ Die Phase L�osen
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � �� ���� �� �����
Punktzahl � � �� ����� �� ���
Punktzahl � � � ����� � ���
Punktzahl � � �� ���� �� �����
gesamt ������� �������
Mittelwert
der Phase L�osen� ������ �����
Standardabweichung
der Phase L�osen� ������ ������
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�L�osen� des M�uhle�
Problems
Die Werte in der Tabelle ���� zeigen bei allen Punktzahlen starke bis sehr
starke Abweichungen voneinander� Die beiden Verteilungen der Punkte zei�
gen eine gewisse �Ahnlichkeit mit den Verteilungen der Punkte f�ur die Pha�
se�L�osen� beim Bonbon�Problem �vgl� hierzu auch Tabelle ���� Bei der
Bewertung A erhalten mehr Arbeiten null Punkte ����� #� und weniger
Arbeiten einen Punkt ������ #� als bei der Bewertung B ������ # bzw�
��� #�� Summiert man dagegen die Anzahl der Arbeiten mit null Punkten
und die Anzahl der Arbeiten mit einem Punkt jeweils auf� so relativieren
sich die hieraus ergebenden Di�erenzen mit ����� # aller Arbeiten bei der
A�Bewertung gegen�uber ��� # bei der B�Bewertung� Entsprechendes gilt
auch f�ur die Punktzahlen zwei und drei� Bei der Bewertung A erhalten mehr
Arbeiten zwei Punkte ������ #� und weniger Arbeiten drei Punkte ����� #�
als bei der Bewertung B ���� # bzw� ����� #�� Bei der Betrachtung der
Summe der jeweils den Punktzahlen zwei und drei zugewiesenen Arbeiten
ergeben sich mit ���� # bei der Bewertung A gegen�uber ����� # bei der
Bewertung B kaum noch Unterschiede�
Aufgrund der Komplexit�at dieser Problemstellung k�onnen die Ursachen f�ur
diese Di�erenzen vielf�altig sein� Bei den Punktzahlen null und eins ist es am
wahrscheinlichsten� da es bei vielen Arbeiten nicht zu entscheiden war� ob
das L�osungsverfahren v�ollig ungeeignet oder nur teilweise geeignet war� viel�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
fach war eine L�osung m�oglicherweise auch gar nicht zu verstehen� Da sich
die Kriterien f�ur zwei und f�ur drei Punkte nicht �uberschneiden� sind hier
wohl Ungenauigkeiten in der Bewertung der naheliegendste Grund� Die Mit�
telwerte von ������ Punkten bei der Bewertung A und von ����� Punkten
bei der Bewertung B ergeben mit ���� Punkten oder mit ���� # �mit
drei als maximal erreichbarer Punktzahl� die h�ochste Di�erenz� welche bei
einem Problem f�ur die Phase�L�osen� �uberhaupt ermittelt worden ist� Bei
den Standardabweichungen ergibt sich mit ������ Punkten die zweith�ochste
festgestellte Abweichung�
������ Die Phase Beantworten
Auch f�ur die Phase�Beantworten� zeigen sich zwischen den entsprechen�
den Anteilen der Arbeiten bei allen Punktzahlen gewisse Unterschiede �vgl�
Tabelle ������ Mit ���� # ist die Di�erenz bei der Punktzahl null am gering�
sten� mit ���� # liegt sie bei der Punktzahl eins im mittleren Bereich und mit
���� # ist sie bei der Punktzahl zwei am gr�o ten� Die Di�erenz zwischen den
beiden Mittelwerten liegt im Mittelfeld� die Abweichung zwischen den beiden
Standardabweichungen ist mit ������ Punkten die zweitgr�o te im Vergleich
mit allen bei den anderen Problemen f�ur diese Phase berechneten Werten�
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ���� �� ����
Punktzahl � � �� ���� �� ���
Punktzahl � � �� ���� � ���
gesamt ������� �������
Mittelwert
der Phase Beantworten� ������ �����
Standardabweichung
der Phase Beantworten� ���� ����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Beantworten� des
M�uhle�Problems
Aufgrund der geringen Bearbeitungsanzahl von nur Sch�ulern wirken sich
Ungenauigkeiten in der Bewertung relativ stark auf das Gesamtergebnis aus�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
Der Unterschied bei der Punktzahl eins kann eine Folge der f�ur die Phase
�L�osen� vergebenen Punktzahlen sein� Der Unterschied bei der Punktzahl
zwei zwischen ���� # der Arbeiten bei der Bewertung A und ��� # der
Arbeiten bei der Bewertung B kann entweder auf Fehlern in der Zuweisung
der Punkte seitens der Bewertenden basieren oder auf unterschiedliche Auf�
fassungen �uber die Art oder den Umfang der erwarteten Antwort�
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungs�
verfahren
F�ur den Vergleich der beiden Bewertungsverfahren werden im ersten Unter�
abschnitt die beiden gemittelten holistischen Gesamtpunktzahlen einander
gegen�ubergestellt� im zweiten Unterabschnitt werden Beziehungen zwischen
den bei den beiden Verfahren erreichten Punktzahlen aufgezeigt und die Wer�
te der Korrelationskoe�zienten f�ur alle drei Phasen des Probleml�osungspro�
zesses ausgewertet�
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergeb
nisse
Die f�ur diese Auswertung ben�otigten holistischen Gesamtpunktzahlen der
beiden Bewertungsmethoden sind in der Tabelle ��� dargestellt� Im Gegen�
satz zu den beiden bisher betrachteten Problemen zeigen sich beim M�uhle�
Problem deutliche Unterschiede in der Vergabe der Punkte zwischen den
beiden Bewertungsverfahren� Die gr�o ten Di�erenzen ergeben sich bei den
Punktzahlen sechs bis acht� So haben bei der holistischen Bewertung ��� #
aller Arbeiten sechs Punkte erhalten� bei der analytischen Bewertung dage�
gen ����� # aller Arbeiten� Dieses ergibt einen noch verh�altnism�a ig geringen
Unterschied von ��� #� Etwas gr�o er ist mit ��� # die Di�erenz bei der
Punktzahl sieben� Hier stehen ���� # der Arbeiten bei der holistischen Be�
wertung nur ���� # der Arbeiten bei der analytischen Bewertung gegen�uber�
Die gr�o te Di�erenz bei der Zuweisung der Punkte zeigt sich beim M�uhle�
Problem bei der h�ochsten Punktzahl� Bei der holistischen Bewertung haben
��� # aller Arbeiten acht Punkte erhalten� bei der analytischen Bewertung
dagegen ����� # der Arbeiten� Hieraus resultiert eine Di�erenz von ���� #�
Die Abweichungen bei den �ubrigen sechs Punktzahlen liegen jeweils unter
���� # und werden daher bei dieser Untersuchung au er Acht gelassen�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
Ursachen f�ur die zuvor aufgezeigten Unterschiede zwischen den Anteilen
k�onnen nicht direkt erkannt werden� im Kapitel �� wird hierauf aber noch
einmal im Vergleich mit den anderen Problemen eingegangen� Festzuhalten
ist� da sich einerseits bei der Gegen�uberstellung der beiden holistischen Be�
wertungsergebnisse im ersten Abschnitt dieses Kapitels auch Unterschiede
bei den Punktzahlen eins und acht gezeigt hatten und da andererseits bei
dem Vergleich der analytischen Bewertungsergebnisse deutliche Di�erenzen
bei allen Punktzahlen der Phase�L�osen� und bei den Punktzahlen eins und
zwei der Phase�Beantworten� aufgetreten sind�
Bewertungsmethode
holistisch analytisch
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ���� ���
Punktzahl � �� ����� ���
Punktzahl � �� ���� �� �����
Punktzahl � �� ���� �� �����
Punktzahl � � ��� � ����
Punktzahl � �� ����� � ����
Punktzahl ��� �� �����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � ��� �� �����
gesamt ������� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ����� ����
Standardabweichung
der Punktverteilung ���� �����
Tabelle ���� Die Verteilungen der holistischen Gesamt�punktzahlen bei beiden Bewertungsmethoden
Eine Betrachtung der beiden Mittelwerte zeigt� da die durchschnittlich er�
reichte Punktzahl bei der analytischen Bewertung um fast einen drittel Punkt
oder� mit acht als Maximalpunktzahl� um ���� # h�oher liegt als die bei
der holistischen Bewertung� Auch die Di�erenz zwischen den beiden Stan�
dardabweichungen von ����� Punkten ist im Vergleich zu den beiden bisher
betrachteten Problemstellungen recht gro �
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten
Nachdem im letzten Unterabschnitt die beiden holistischen Ergebnisse ein�
ander gegen�ubergestellt worden sind� werden nun speziell die Abh�angigkeiten
zwischen den in den einzelnen Phasen der analytischen Bewertung erreich�
ten Punktzahlen und den bei der holistischen Bewertung erreichten Punkten
miteinander verglichen�
Erreichte Punktzahl Durchschnittlich erreichte Punktzahl
bei der analytischen bei der holistischen Bewertung
Bewertung
f�ur die Phase ��� ��� Verstehen� ���
L�osen� ���
Beantworten�
� Punkte ������ Pkte ���� Pkte ����� Pkte
� Punkt ����� Pkte ������ Pkte ������ Pkte
� Punkte ������ Pkte ������ Pkte ������ Pkte
� Punkte ����� Pkte ����� Pkte
Korrelationskoe�zient ���� ���� ������
Tabelle ����� Der Zusammenhang zwischen den bei denbeiden Bewertungsmethoden �durchschnittlich� erreich�ten Punktzahlen
Bei den Werten der Phase�Verstehen� zeigen sich beim M�uhle�Problem im
Vergleich zu den anderen f�unf Problemen keine Besonderheiten� vergleiche
hierzu die Spalten eins und zwei der Tabelle ����� Es bestehen wieder die
bereits festgestellten Beziehungen zwischen den jeweils erreichten analyti�
schen und durchschnittlichen holistischen Punktzahlen� Ein hoher Korrelati�
onskoe�zient rMV mit rMV � �� �� l�a t die Aussage zu� da in der Phase
�Verstehen� des M�uhle�Problems ���� # aller Punktpaare in die gleiche
Richtung korrelieren�
Die Phase�L�osen� mu dagegen n�aher untersucht werden� da sich hier gewis�
se Besonderheiten im Vergleich zu den anderen Problemen der empirischen
Untersuchung zeigen� Arbeiten� die f�ur die Phase�L�osen� null analytische
Punkte erhalten haben� erreichten durchschnittlich ��� holistische Punkte�
dieses ist der niedrigste Wert im Vergleich mit den restlichen Problemen�
Gleiches gilt f�ur die Punktzahl eins� So haben Arbeiten mit einem analyti�
schen Punkt durchschnittlich nur ���� holistische Punkte erhalten� Die durch�
schnittliche holistische Punktzahl von ���� Punkten f�ur Arbeiten mit zwei
analytischen Punkten liegt im Mittelfeld� Dagegen gilt f�ur Arbeiten mit drei
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ���
analytischen Punkten wieder� da die durchschnittliche holistische Punkt�
zahl von ���� Punkten die geringste im Vergleich zu den anderen Problem�
stellungen ist� Trotzdem hat sich ein hoher Korrelationskoe�zient rML mit
rML � �� �� ergeben� der eine existierende sehr starke lineare Abh�angigkeit
zwischen den f�ur die Phase�L�osen� vergebenen analytischen Punkten und
den vergebenen holistischen Punkten verdeutlicht�
Wie bei den bereits zuvor ausgewerteten Problemen ist der Korrelationskoef�
�zient rMB f�ur die Phase�Beantworten� mit rMB � �� ���� deutlich geringer
als die Korrelationskoe�zienten der anderen beiden L�osungsphasen� Es er�
gibt sich jetzt ein Bestimmtheitsma rMB� mit rMB
� � �� ���� d�h� in der
Phase�Beantworten� korrelieren nur ���� # aller Punktpaare in die gleiche
Richtung�
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten
Auswertungsergebnisse
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen
� Die beiden Werte der Dachkategorie I unterscheiden sich um mehr als
�� # voneinander� die der Dachkategorie III um ��� #�
� Es zeigen sich erhebliche Di�erenzen bei den sich entsprechenden Wer�
ten der Kategorien eins ������ #�� drei ������ #� und f�unf ����� #��
Die Unterschiede bei den Punktzahlen eins und drei sind wahrschein�
lich bedingt durch unterschiedliche Au�assungen dar�uber� wann eine
Arbeit nur eine bedeutungslose Bearbeitung zeigt und wann bereits
ein gewisses Verst�andnis f�ur das Problem vorhanden ist�
� In der Kategorie acht ergibt sich ebenfalls eine deutliche Di�erenz von
���� #�
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen
� In der Phase�Verstehen� weisen die Anteile der Arbeiten mit zwei bzw�
mit drei Punkten jeweils eine Di�erenz von �uber �� # auf� Dieses zeigt�
da nicht bei allen Arbeiten eindeutig entschieden werden konnte� ob
das Problem teilweise oder v�ollig verstanden worden ist�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES M�UHLEPROBLEMS ��
� In der Phase�L�osen� zeigen sich bei allen vier Punktzahlen starke bis
sehr starke Unterschiede zwischen den sich entsprechenden Gesamtzah�
len zwischen � # �Punktzahl drei� und �� # �Punktzahl eins�� Dieses
deutet darauf hin� da es schwierig war zu entscheiden� inwieweit das
angewendete L�osungsverfahren als geeignet angesehen werden konnte�
� In der Phase�Beantworten� sind bei allen Punktzahlen Di�erenzen
zwischen ���� # �Punktzahl null� und ���� # �Punktzahl zwei� festge�
stellt worden�
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren
� Bei den Punktzahlen sechs� sieben und acht zeigen sich Di�erenzen von
��� #� von ��� # und von ���� #�
� Die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten ist mit ������ Punkten
verh�altnism�a ig gro �
� Gut �� # bzw� gut �� # aller Punktpaare korrelieren in den Phasen
�Verstehen� und
�L�osen� in eine Richtung� in der Phase
�Beantworten�
dagegen sind es nur gut �� # aller Punktpaare�
Kapitel ��
Die Auswertung des
W�urfelProblems
Am Anfang dieses Kapitels sollen noch einmal die wichtigsten Eigenschaften
dieser Problemstellung zusammengefa t werden� Das W�urfel�Problem ist ein
� einstu�ges� kombinatorisches Proze problem�
� geschlossenes Problem�
� divergentes Problem� zwar ist die gesuchte L�osungsmenge durch die
Problemstellung eindeutig festgelegt� aber aus seiner Formulierung geht
nicht hervor� ob es neben dem als Beispiel angegebenen Wurf noch
andere M�oglichkeiten f�ur W�urfe mit einer Augensumme von zw�olf gibt�
Das W�urfel�Problem ist durch die integrierte Zeichnung freundlich und ein�
ladend gestaltet worden� haupts�achlich sollte dadurch das Interesse f�ur die
Bearbeitung erh�oht werden� Nur ein Teil der Arbeitsb�ogen umfa te diese
Problemstellung� der andere Teil enthielt an seiner Stelle das Tier�Problem
sowie das Quadrate�Problem� Die Tabelle ���� gibt einen genauen Aufschlu
�uber die Klassen� in denen das Problem gestellt worden ist� sowie �uber die zu�
geh�origen Klassenst�arken� Das W�urfel�Problem haben �� von �� Sch�ulern
bearbeitet� das entspricht einem Anteil von ��� #� Damit ist das W�urfel�
Problem das am zweith�au�gsten bearbeitete Problem� Gr�unde hierf�ur k�onnen
in der durch die Zeichnung ansprechenden Optik der Problemstellung oder
in der praxisnahen und damit leicht vorstellbaren Problemsituation liegen�
jedes Kind hat bestimmt schon einmal gew�urfelt�
���
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
Schule Klasse Sch�uler bearbeitet davon davon
gesamt von weiblich m�annlich
MG A �� �� ��
MG B � �� �� ��
RD A � � �� ��
RD B � � � ��
RD C �� �� �� �
SB C �� �� ��
SB D �� �� ��
gesamt �� �� �� �
Tabelle ����� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes W�urfel�Problems
���� Ein Vergleich der beiden holistischen Be�
wertungen
Die klassen�ubergreifenden Verteilungen der Punktzahlen null bis acht � ei�
nerseits bei der Bewertung A und andererseits bei der Bewertung B � sind
in der Tabelle ���� dargestellt� Ein erster Vergleich der jeweiligen Werte der
unteren� der mittleren und der oberen Dachkategorie zeigt� da beim W�urfel�
Problem die Vergabe der Punkte sehr unterschiedlich erfolgt ist� Die Anteile
der diesen drei Kategorien zugewiesenen Arbeiten unterscheiden sich mit
��� #� ����� # und ���� # bei der Bewertung A deutlich von denen der
Bewertung B mit ���� #� ��� # und ����� #� Hierdurch ergeben sich
speziell Di�erenzen in der Dachkategorie II von ��� # und in der Dachka�
tegorie III von ���� #� Ein detaillierter Vergleich der Werte der Kategorien
null bis acht zwischen beiden Bewertungen ist erforderlich�
Die Di�erenzen zwischen den entsprechenden Werten der Kategorien null bis
zwei liegen jeweils unter ��� # und werden daher nicht weiter diskutiert�
Die deutlichsten Unterschiede zwischen beiden Bewertungen zeigen sich in
den Kategorien vier� f�unf und sechs� Bei der Bewertung A haben ���� #
aller Arbeiten vier Punkte erhalten� dem stehen allerdings nur ���� # der
Arbeiten bei der Bewertung B gegen�uber� woraus sich eine Di�erenz von
���� # ergibt� Bei f�unf Punkten steht einer Anzahl von ���� # bei der
Bewertung A eine Anzahl von ���� # bei der Bewertung B entgegen� und
bei sechs Punkten sind es ���� # der Arbeiten �Bewertung A� gegen�uber
���� # der Arbeiten �Bewertung B�� Dieses f�uhrt zu sehr gro en Di�erenzen
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ��
Bewertung A Bewertung B
des Autors der Studentin
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ���� � ���
Punktzahl � � ���� ����
Punktzahl � � ���� ����
Dachkategorie I � ��� � ����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � � �� ���� � ����
Punktzahl � � � ���� �� ����
Dachkategorie II �� ����� �� ���
Punktzahl � � ���� ����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � � ���� �� ����
Dachkategorie III �� ���� �����
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ��� ����
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ ������
Tabelle ����� Die Verteilung der Punkte bei beiden holi�stischen Bewertungen
von ��� # bzw� von ���� #� Die Di�erenz in der Kategorie sieben liegt
unter � # und ist damit wieder recht gering� Die Anteile der Kategorie acht
mit ���� # der Arbeiten �Bewertung A� gegen�uber ���� # der Arbeiten
�Bewertung B� unterscheiden sich schlie lich praktisch gar nicht�
Bei einer Vielzahl der L�osungen sind zwar andere m�ogliche W�urfelkombi�
nationen f�ur die Augensumme zw�olf aufgeschrieben oder aufgemalt worden�
aber eine Begr�undung� ob dieses alle M�oglichkeiten sind� fehlte� Auch lie
die Reihenfolge der anderen Kombinationen nicht auf eine systematische Er�
mittlung aller m�oglichen Kombinationen schlie en� Bei solchen Arbeiten ist
es z�B� nicht einfach zu entscheiden� ob der Sch�uler das Problem gr�o ten�
teils oder vollst�andig verstanden hat oder ob die L�osung falsch oder nicht
vollst�andig ist beispielsweise aufgrund von Mi verst�andnissen� falschen Wei�
terentwicklungen oder �Ubertragungs� bzw� Rechenfehlern� Im Kapitel �� wird
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
hierauf im Rahmen der Theoriebildung noch einmal genauer eingegangen�
Das W�urfel�Problem weist im Vergleich zu den anderen f�unf Problemen
der empirischen Untersuchung mit ��� Punkten �Bewertung A� bzw� mit
���� Punkten �Bewertung B� die beiden h�ochsten Mittelwerte aller Prob�
lemstellungen � bezogen auf ihre jeweiligen Bewertungen � auf� Es ergibt sich
hieraus ein Unterschied von ����� Punkten oder von ������ # �bei einer
H�ochstpunktzahl von acht�� Die Standardabweichungen von ������ Punkten
bzw� von ������ Punkten ergeben eine Di�erenz von ����� Punkten� welche
die h�ochste im Vergleich zu allen untersuchten Problemstellungen ist�
���� Ein Vergleich der beiden analytischen
Bewertungen
Nachdem im letzten Abschnitt Unterschiede und �Ubereinstimmungen zwi�
schen den Ergebnissen der beiden holistischen Bewertungen sowie m�ogliche
Ursachen f�ur aufgetretene Abweichungen herausgearbeitet worden sind� wer�
den in diesem Abschnitt die Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen
untersucht�
������ Die Phase Verstehen
Die zur Auswertung der Bewertungsergebnisse erforderlichen Daten sind in
der Tabelle ���� dargestellt� Wenn man mit einem Vergleich der Mittelwerte
und der Standardabweichungen beginnt� so stellt man fest� da � im Ver�
gleich zu allen anderen untersuchten Problemen � hier die mittleren vergebe�
nen Punktzahlen mit ������ Punkten bei der Bewertung A bzw� mit ������
Punkten bei der Bewertung B jeweils am h�ochsten sind� Aus diesen beiden
Werten ergibt sich eine Di�erenz von ������ Punkten� was bei einer maximal
zu vergebenden Punktzahl von drei einem Anteil von ���� # entspricht�
Weiter stellt man fest� da die entsprechenden Standardabweichungen jeweils
am geringsten sind� Bei den Werten der den einzelnen Punktzahlen zugewie�
senen Arbeiten zeigen sich jeweils leichte Unterschiede� Die beiden Werte bei
der Punktzahl drei weisen mit ���� # schon die gr�o te Di�erenz auf� Im
Prinzip kann man also sagen� da die Zuweisung der Punkte vergleichbar er�
folgt ist� Dieses zeigt� da die Sch�ulerarbeiten in der Regel guten Aufschlu
dar�uber gegeben haben� inwieweit das W�urfel�Problem verstanden wurde�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � ���� �� ���
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � �� ���� ��� �����
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Phase Verstehen� ������ ������
Standardabweichung
der Phase Verstehen� ����� �����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beidenanalytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Verstehen� des
W�urfel�Problems
������ Die Phase L�osen
Bei dieser Phase zeigen sich nun gro e Unterschiede zwischen beiden Be�
wertungen� speziell bei der Vergabe der beiden mittleren Punktzahlen �vgl�
hierzu Tabelle ������ Bei null und bei drei Punkten sind die Unterschiede
mit ��� # der Arbeiten bei der Bewertung A gegen�uber ��� # der Ar�
beiten bei der Bewertung B bzw� mit ���� # gegen�uber ���� # relativ
gering� Da diese Di�erenzen wohl durch Ungenauigkeiten in der Zuweisung
der Punkte bedingt sind� wird hierauf nicht weiter eingegangen� Sehr gro e
Unterschiede zeigen sich dagegen bei einem Punkt und bei zwei Punkten�
Bei der Bewertung A haben ���� # der Sch�uler die Punktzahl eins erreicht�
bei der Bewertung B dagegen sind es ���� # aller Sch�uler� �Ahnlich sieht
es bei der Punktzahl zwei aus� Hier betr�agt die Anzahl der Arbeiten bei der
A�Bewertung ���� # und die bei der B�Bewertung ����� #� Es ergeben sich
Di�erenzen von ����� # bzw� von ����� #�
Grunds�atzlich unterscheiden sich die Kriterien f�ur einen Punkt und f�ur zwei
Punkte darin� da f�ur die Vergabe von einem Punkt das L�osungsverfahren
nur teilweise geeignet sein mu oder da es bei der Anwendung eines richti�
gen L�osungsverfahrens zu schweren Fehlern kommt� F�ur die Vergabe von zwei
Punkten mu das L�osungsverfahren geeignet sein� es kommt nur zu kleinen
Fehlern oder zu einer nicht vollst�andigen L�osung� O�ensichtlich �uberschnei�
den sich die Kriterien dieser beiden Kategorien theoretisch nicht� Eine Ursa�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ��� �� ���
Punktzahl � � � ���� �� ����
Punktzahl � � � ���� �� �����
Punktzahl � �� ���� �� ����
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Phase L�osen� ������ �����
Standardabweichung
der Phase L�osen� ����� �����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�L�osen� des W�urfel�
Problems
che f�ur die unterschiedliche Zuweisung der Punkte f�ur die Phase�L�osen� des
W�urfel�Problems kann allerdings darauf beruhen� da bei vielen Arbeiten die
Anwendung eines L�osungsverfahrens im eigentlichen Sinne nicht festgestellt
werden konnte� Schwierigkeiten bei der Zuweisung einer Punktzahl ergeben
sich speziell bei solchen Arbeiten� bei denen unsystematisch und ohne irgend�
welche Begr�undungen andere m�ogliche W�urfelkombinationen aufgeschrieben
worden sind� Bei derartigen Arbeiten konnte nicht immer eindeutig entschie�
den werden� ob ein Sch�uler durch diese Vorgehensweise ein teilweise richtiges
Verfahren oder ein wirklich geeignetes Verfahren verwendet hat� Insbesondere
gilt dieses f�ur nicht fehlerfreie Arbeiten�
Was sich bereits bei der Auswertung der Phase�Verstehen� bez�uglich der
beiden Mittelwerte gezeigt hat� gilt auch f�ur diese Phase� Mit ������ Punkten
bzw� mit ����� Punkten sind dieses jeweils die h�ochsten Mittelwerte der
beiden Bewertungen f�ur die Phase�L�osen�� Man erh�alt hieraus eine Di�erenz
von ���� # �bei drei als h�ochster Punktzahl� oder von ����� Punkten�
Im Vergleich mit den anderen Problemen sind allerdings sowohl die Di�erenz
zwischen den beiden Mittelwerten als auch die Di�erenz zwischen den beiden
Standardabweichungen jeweils recht hoch�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
������ Die Phase Beantworten
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ���� �� ����
Punktzahl � � �� ���� �� ����
Punktzahl � �� ���� �� ���
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Phase Beantworten� ������ �����
Standardabweichung
der Phase Beantworten� ������ �����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Beantworten� des
W�urfel�Problems
Abschlie end wird in diesem Unterabschnitt die Verteilung der Punkte f�ur
die Phase�Beantworten� bei der Bewertung A mit der bei der Bewertung B
verglichen� Bei zwei Punkten stehen sich ���� # bzw� ��� # der Arbeiten
entgegen� Der Unterschied zwischen diesen Werten ist sehr gering und kann
als eine Konsequenz von Bewertungsungenauigkeiten angesehen werden� Da�
gegen ist die Zuweisung der Punkte null und eins recht unterschiedlich erfolgt�
So haben bei der Bewertung des Autors ���� # der Arbeiten null Punkte und
���� # der Arbeiten einen Punkt erhalten� bei der Bewertung der Studentin
hingegen waren es ���� # bzw� ���� # der Arbeiten� Die Kriterien f�ur die�
se beiden Punktzahlen weisen keine �Uberschneidungen auf� F�ur die Vergabe
von null Punkten mu die Antwort g�anzlich fehlen oder sie mu aufgrund
eines ungeeigneten L�osungsverfahrens falsch sein� f�ur die Vergabe von einem
Punkt hingegen mu die Antwort trotz eines angemessenen L�osungsverfah�
rens falsch sein� Dieses zeigt� da sich die bei der Untersuchung der Phase
�L�osen� ge�au erte Vermutung bewahrheitet hat� Eine Entscheidung� ob ein
Verfahren zur L�osung nur teilweise oder ganz geeignet war� war nicht immer
eindeutig m�oglich� Diese Festsetzung hat also einen direkten Ein�u auf die
Vergabe der Punkte f�ur die Phase�Beantworten��
Auch bei dieser L�osungsphase sind die beiden Mittelwerte des W�urfel�Prob�
lems in ihren Bewertungen� im Vergleich mit denen der restlichen f�unf Proble�
me� jeweils die h�ochsten� beide Standardabweichungen liegen dagegen im un�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
teren Bereich� Die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten ist mit �����
Punkten oder mit ���� # �bei einer Maximalpunktzahl von zwei� sehr ge�
ring� Die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichungen ist mit ������
Punkten dagegen die h�ochste �uberhaupt ermittelte Abweichung�
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungs�
verfahren
Nachdem in den beiden ersten Abschnitten dieses Kapitels die Ergebnisse
der beiden holistischen bzw� analytischen Bewertungen diskutiert worden
sind� erfolgt in diesem Abschnitt ein Vergleich der beiden unterschiedlichen
Bewertungsverfahren�
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergeb
nisse
Die f�ur diesen Vergleich ben�otigten Daten sind in der Tabelle ��� darge�
stellt� Wenn man die Anteile der Arbeiten bei allen neun Punktzahlen bei
beiden Bewertungen betrachtet� so lassen sich gewisse �Ahnlichkeiten mit den
Verteilungen der Punktzahlen beim M�uhle�Problem erkennen� Beide Proble�
me zeigen Di�erenzen bei den drei h�ochsten Punktzahlen� So haben bei der
holistischen Bewertung ����� # aller Arbeiten sechs Punkte erhalten� ���� #
aller Arbeiten sieben Punkte und ����� # aller Arbeiten acht Punkte� Dem
stehen bei der analytischen Bewertung Anteile von ���� #� ���� # und
���� # entgegen� Es ergeben sich somit Abweichungen von ���� #� ��� #
und ��� #� Die Di�erenzen bei den anderen Punktzahlen liegen s�amtlich
unter ��� #� M�ogliche Gr�unde hierf�ur werden im Kapitel �� dargelegt� Die�
se doch verschiedenen Verteilungen der Punkte bei beiden Bewertungsme�
thoden dr�ucken sich auch durch die beiden Mittelwerte aus� Es ergibt sich
zwischen diesen eine Di�erenz von ����� Punkten� bei der H�ochstpunkt�
zahl acht entspricht dieses ���� #� Dagegen ist die Di�erenz zwischen den
beiden Standardabweichungen mit ���� Punkten sehr klein�
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten
In diesem Abschnitt werden die f�ur die einzelnen Phasen des Probleml�osungs�
prozesses erreichten analytischen Punkte mit den durchschnittlich erreichten
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
Bewertungsmethode
holistisch analytisch
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � �� ��� ����
Punktzahl � �� ����� �� ����
Punktzahl �� ����� �� ����
Punktzahl � ���� � ����
Punktzahl � � ����� �� ����
gesamt �� ������� �� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ��� ����
Standardabweichung
der Punktverteilung ����� ������
Tabelle ���� Die Verteilungen der holistischen Gesamt�punktzahlen bei beiden Bewertungsmethoden
holistischen Punktzahlen verglichen�
Als erstes wird die Phase�Verstehen� untersucht� Die hierf�ur ben�otigten
Daten stehen in den Spalten eins und zwei der Tabelle ����� Arbeiten� die
null analytische Punkte erhalten haben� haben durchschnittlich ���� holi�
stische Punkte erreicht� Im Vergleich zu allen anderen Problemen ist dieses
die h�ochste durchschnittliche Punktzahl� die Arbeiten mit null analytischen
Punkten in der Phase�Verstehen� aufweisen� Die durchschnittlichen holi�
stischen Punktzahlen f�ur die analytischen Punktzahlen eins� zwei und drei
liegen dagegen mit ���� Punkten� mit ���� Punkten und mit ���� Punkten im
Vergleich mit den anderen Problemen im mittleren Bereich� F�ur die Phase
�Verstehen� ergibt sich ein Korrelationskoe�zient rWV mit rWV � �� �����
Dieses ist der niedrigste Korrelationskoe�zient� der f�ur die Phase�Verstehen�
berechnet worden ist� Allerdings besagt dieser� da immerhin noch ���� #
aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�
Die Daten f�ur die Phase�L�osen� stehen in den Spalten eins und drei der
Tabelle ����� Bei den durchschnittlichen holistischen Punktzahlen ist nur die
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ��
Erreichte Punktzahl Durchschnittlich erreichte Punktzahl
bei der analytischen bei der holistischen Bewertung
Bewertung
f�ur die Phase ��� ��� Verstehen� ���
L�osen� ���
Beantworten�
� Punkte ������ Pkte ������ Pkte ������ Pkte
� Punkt ������ Pkte ����� Pkte ����� Pkte
� Punkte ������ Pkte ����� Pkte ����� Pkte
� Punkte ������ Pkte ������ Pkte
Korrelationskoe�zient ������ ����� ������
Tabelle ����� Der Zusammenhang zwischen den bei denbeiden Bewertungsmethoden �durchschnittlich� erreich�ten Punktzahlen
f�ur die analytische Punktzahl zwei herauszustellen� Sie betr�agt ���� Punkte
und ist damit die h�ochste holistische Durchschnittspunktzahl� die Arbeiten
mit zwei analytischen Punkten in der Phase�L�osen� aufweisen� Im Vergleich
zur Phase�Verstehen� ergeben sich jetzt auch wieder mit rWL � �� ��� ein
deutlich h�oherer Korrelationskoe�zient und mit rWL� � �� ���� ein deutlich
h�oheres Bestimmtheitsma �
S�amtliche durchschnittlich erreichten holistischen Punktzahlen sowie der Kor�
relationskoe�zient f�ur die Phase�Beantworten� geh�oren � im Vergleich mit
den Werten der anderen f�unf Probleme in dieser Phase � zu den niedrigsten
bzw� h�ochsten Werten in dieser Phase� Arbeiten� die null analytische Punk�
te f�ur die Phase�Beantworten� erhalten haben� erreichten durchschnittlich
���� Punkte bei der holistischen Bewertung� dieses ist der niedrigste durch�
schnittliche Wert bei null analytischen Punkten� Dagegen sind die holisti�
schen Punktzahlen� die Arbeiten mit einem analytischen Punkt bzw� mit
zwei analytischen Punkten durchschnittlich erreicht haben� mit ���� bzw�
���� Punkten die h�ochsten� die in dieser Phase erreicht worden sind� Auch
der Korrelationskoe�zient rWB mit rWB � �� ���� ist der gr�o te Korrela�
tionskoe�zient� der f�ur die Phase�Beantworten� berechnet worden ist� Er
besagt� da ����� # aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten
Auswertungsergebnisse
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen
� In der Dachkategorie I weisen die entsprechenden Werte der beiden
Bewertungen Di�erenzen von ��� # auf� in den Dachkategorien II und
III von knapp unter �� # bzw� etwas �uber � #�
� Die gr�o ten Unterschiede in der Punktzuweisung zeigen sich in den
Kategorien vier ����� #�� f�unf ���� #� und sechs ����� #�� Eine
Ursache hierf�ur liegt m�oglicherweise in der Schwierigkeit� unsystema�
tisch aufgeschriebene W�urfelkombinationen zu beurteilen�
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen
� In der Phase�Verstehen� zeigen sich bei den entsprechenden Anteilen
der den Punktzahlen null bis drei zugewiesenen Arbeiten nur geringe
Di�erenzen bis zu �� #�
� In der Phase�L�osen� gibt es bei den Punktzahlen eins und zwei sehr
gro e Di�erenzen zwischen den jeweiligen Werten von �uber �� # bzw�
von �uber �� #� Die Schwierigkeit der Zuweisung einer bestimmten
Punktzahl zu Arbeiten mit unsystematisch aufgeschriebenen W�urfel�
kombinationen ist ein m�oglicher Grund f�ur diese Abweichungen�
� In der Phase�Beantworten� weisen die Anteile f�ur null Punkte und f�ur
einen Punkt Di�erenzen von etwa ��� # bzw� von fast �� # auf� Diese
ergeben sich h�ochstwahrscheinlich als Ursache aus den unterschiedli�
chen Zuweisungen der Punkte f�ur die Phase�L�osen��
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren
� Bei den Punktzahlen sechs bis acht zeigen die Werte Di�erenzen zwi�
schen ���� # und ���#�
� Die Di�erenz von ����� Punkten zwischen den beiden Mittelwerten
ist im Verh�altnis recht hoch�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES W�URFELPROBLEMS ���
� In den Phasen�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� korrelieren
jeweils gut � #� fast � # bzw� fast � # aller Punktpaare in die
gleiche Richtung�
� Der Korrelationskoe�zient rWV f�ur die Phase�Verstehen� mit rWV �
�� ���� ist im Vergleich mit denen der anderen untersuchten Probleme
der kleinste f�ur diese Phase berechnete Wert�
� Dagegen ist der Korrelationskoe�zient rWB f�ur die Phase�Beantwor�
ten� mit rWB � �� ���� im Vergleich zu den anderen untersuchten
Problemen der gr�o te f�ur diese Phase berechnete Wert�
Kapitel ��
Die Auswertung des
TierProblems
Nicht alle Arbeitsb�ogen beinhalteten das Tier�Problem� Entweder sind auf
den Arbeitsb�ogen das M�uhle�Problem oder gleichzeitig das W�urfel�Problem
und das Tier�Problem gestellt worden� Als die wichtigsten Eigenschaften die�
ses Problems lassen sich nennen�
� einstu�ges� algebraisches Proze problem�
� geschlossenes Problem�
� konvergentes Problem� die L�osung dieses Problems ist in der Regel auf
algorithmischem Wege m�oglich�
Die Schwierigkeit des Tier�Problems bestand darin� da zwei unterschiedliche
Daten f�ur die L�osung erkannt und verwendet werden mu ten und da � im
Gegensatz zum ebenfalls algebraischen Bonbon�Problem � auch zwei Werte
als L�osung gesucht waren� n�amlich die Anzahl der M�ause und die Anzahl der
Wellensittiche� Dieses Problem ist auf den Arbeitsb�ogen von �� Sch�ulern
gestellt worden� ��� Sch�uler davon haben es bearbeitet �vgl� hierzu auch
Tabelle ������ Damit liegt die Bearbeitungsquote von ���� # nur knapp
hinter der des �algebraischen� Bonbon�Problems�
��
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
Schule Klasse Sch�uler bearbeitet davon davon
gesamt von weiblich m�annlich
LF � A �� �� �� �
LF A �� �� � �
RD � A �� �� �
RD � B �� �� �� ��
RD � C �� �� ��
SB A � �� � ��
gesamt �� ��� �� ��
Tabelle ����� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Tier�Problems
���� Ein Vergleich der beiden holistischen Be�
wertungen
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der beiden holistischen Bewertun�
gen des Tier�Problems analysiert� die hierf�ur ben�otigten Daten liefert die Ta�
belle ����� Ein erster Vergleich der zusammenpassenden Werte in den Dach�
kategorien I bis III zeigt zun�achst keine gravierenden Unterschiede in den
Punktzuweisungen zwischen dem Autor und der Studentin� Die maximale
Di�erenz betr�agt �� #� Trotzdem ist es notwendig� die einzelnen Kategori�
en der Dachkategorien I und II noch einmal detailliert zu betrachten� F�ur die
Dachkategorie III ist dieses nicht erforderlich� da hier einerseits die Anteile
der Arbeiten mit ����� # bei der Bewertung A gegen�uber ����� # bei der Be�
wertung B fast �ubereinstimmen und andererseits die entsprechenden Werte
der Kategorien sechs bis acht jeweils eng beieinander liegen� Die Zuweisung
der Punkte bei guten bis sehr guten Arbeiten erwies sich o�ensichtlich f�ur
beide Bewerter als einfach und eindeutig�
Der Dachkategorie I� in welcher die Arbeiten keinen oder einen unklaren
L�osungsversuch bzw� nur unbedeutende Bearbeitungen zeigen� sind durch
den Autor ����� # der Arbeiten zugewiesen worden und durch die Vergleichs�
bewertung ����� # der Arbeiten� Au��allig bei dieser Dachkategorie sind die
Unterschiede der Werte in den Kategorien null und eins� So zeigen bei der
A�Bewertung ����� # aller Arbeiten ein Kriterium der Kategorie null und
��� # aller Arbeiten ein Kriterium der Kategorie eins� bei der B�Bewertung
sind es dagegen ���� # bzw� ��� #� Dieses f�uhrt zu Di�erenzen von ����� #
bzw� von ��� #� Es ist allerdings beim Bonbon�Problem schon festgestellt
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
Bewertung A Bewertung B
des Autors der Studentin
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � �� ����� � ����
Punktzahl � � �� ��� � ���
Punktzahl � � ��� � ���
Dachkategorie I �� ����� �� �����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � � ���� � ���
Punktzahl � � ���� � ���
Dachkategorie II �� ����� �� ��
Punktzahl � ��� � ���
Punktzahl � � ���� � ���
Punktzahl � �� ��� �� �����
Dachkategorie III �� ����� �� �����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ���� ������
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ �����
Tabelle ����� Die Verteilung der Punkte bei beiden holi�stischen Bewertungen
worden� da eine Unterscheidung zwischen den Kriterien der Kategorie null
und den Kriterien der Kategorie eins unter Umst�anden schwierig sein kann�
In der Dachkategorie II zeigen sich nicht zu erkl�arende Abweichungen� Jeweils
���� # der Arbeiten sind drei Punkte zugewiesen worden� Dagegen steht bei
vier Punkten einem Anteil von ���� # bei der Bewertung A ein Anteil von
nur ��� # bei der Bewertung B gegen�uber� Die Anteile in der Kategorie f�unf
sind mit einer Arbeit gegen�uber null Arbeiten wieder praktisch identisch�
Der Unterschied zwischen den beiden Mittelwerten ist mit ������ Punkten�
das entspricht bei einer gr�o tm�oglichen Punktzahl von acht Punkten einem
Anteil von ������ #� im Vergleich mit den anderen f�unf Problemstellungen
der h�ochste� Die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichungen liegt
im Mittelfeld�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
���� Ein Vergleich der beiden analytischen
Bewertungen
In diesem Abschnitt werden die beiden analytischen Bewertungen miteinan�
der verglichen� Hierzu werden wieder die Anteile der den einzelnen Punkt�
zahlen zugewiesenen Arbeiten getrennt nach den drei Phasen�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� des Probleml�osungsprozesses ausgewertet�
������ Die Phase Verstehen
Die Daten in der Tabelle ���� zeigen sofort� da f�ur die Phase�Verstehen�
die Punkte durch beide Bewertungen sehr �ahnlich vergeben worden sind�
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ���� �� �����
Punktzahl � � ���� �� ����
Punktzahl � �� ����� �� ���
Punktzahl � �� ����� �� �����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Phase Verstehen� ������ �����
Standardabweichung
der Phase Verstehen� ������ �����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beidenanalytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Verstehen� des
Tier�Problems
Die gr�o ten Di�erenzen zeigen sich bei null Punkten und bei einem Punkt mit
jeweils ungef�ahr � #� Diese Di�erenzen heben sich allerdings praktisch fast
auf� wenn man bei jeder Bewertung jeweils die Anteile der Arbeiten mit null
Punkten und mit einem Punkt aufsummiert und diese einander gegen�uber�
stellt� Bei zwei Punkten gibt es eine Di�erenz von gerade einmal einer Arbeit
und bei drei Punkten treten mit jeweils �� Arbeiten �uberhaupt keine Unter�
schiede zwischen den Anteilen auf� Fast das gleiche Ergebnis hat auch die
Auswertung der Phase�Verstehen� des Bonbon�Problems gezeigt� welches�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
genau wie das Tier�Problem� ein geschlossenes� algebraisches Proze problem
ist �vgl� hierzu auch Unterabschnitt �������� Diese Zuweisungen der Punkte
zeigen� da auch bei diesem Problem die Sch�ulerarbeiten in der Regel einen
guten Aufschlu dar�uber gegeben haben� inwieweit das Problem verstanden
worden ist� Sowohl die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten von nur
������ # mit der H�ochstpunktzahl drei als Basis als auch die Di�erenz zwi�
schen den beiden Standardabweichungen sind jeweils die zweitkleinsten aller
Probleme f�ur die Phase�Verstehen��
������ Die Phase L�osen
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � �� ��� �� ���
Punktzahl � ���� � ���
Punktzahl � �� ���� �� �����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Phase L�osen� ������ ������
Standardabweichung
der Phase L�osen� ������ ������
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�L�osen� des Tier�
Problems
Wie die Tabelle ���� zeigt� sind auch f�ur die Phase�L�osen� die Punkte bei
beiden Bewertungen sehr �ahnlich vergeben worden� von klaren Unterschie�
den kann man in diesem Fall nicht sprechen� So haben ����� # aller Arbeiten
bei der Bewertung A bzw� ����� # aller Arbeiten bei der Bewertung B null
Punkte erhalten und jeweils ���# aller Arbeiten einen Punkt� Die gr�o te
Di�erenz tritt bei zwei Punkten mit Anteilen von ���� # gegen�uber ��� #
auf� Die Werte f�ur drei Punkte unterscheiden sich nur durch eine einzige
Arbeit� Die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten ist mit ����� #
�bezogen auf drei maximal erreichbare Punkte� die zweitkleinste� die Di�e�
renz zwischen den beiden Standardabweichungen ist die kleinste im Vergleich
mit denen der anderen f�unf Probleme�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
������ Die Phase Beantworten
Im Gegensatz zu den beiden ersten Phasen zeigen sich nun zwischen den bei�
den Zuweisungen der Punkte gewisse Unterschiede� auch wenn die Tendenz
zur Verteilung der Punkte bei beiden Bewertungen gleich ist �vgl� hierzu auch
Tabelle ������
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � ���� � ����
Punktzahl � �� ����� �� ����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Phase Beantworten� ������ �����
Standardabweichung
der Phase Beantworten� ���� �����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Beantworten� des
Tier�Problems
So ergibt sich bei der Zuweisung der Punktzahl null eine Di�erenz von �� #
zwischen den Werten der beiden Bewertungen und bei der Punktzahl eins ei�
ne Di�erenz von ���� #� Bei zwei Punkten unterscheiden sich die beiden
Gesamtzahlen um genau eine Arbeit� d�h� um nur ��� #� Eine �ahnliche
Verteilung der Punkte f�ur die Phase�Beantworten� hatte sich auch beim
W�urfel�Problem gezeigt� Im Gegensatz zum jetzt untersuchten Problem sind
aber beim W�urfel�Problem ebenfalls gro e Di�erenzen in der Phase�L�osen�
festgestellt worden� Diese wurden als die Hauptursache f�ur die Abweichun�
gen bei den Punktzahlen null und eins bei der Phase�Beantworten� aus�
gemacht� Auch unterschiedliche Au�assungen �uber die Art bzw� �uber den
Umfang einer L�osung sind hier keine wahrscheinlich erscheinenden Gr�unde�
da algebraische Proze probleme normalen Textaufgaben doch recht �ahnlich
sind und daher das von Textaufgaben bekannte L�osungsschema�Frage !
Rechnung ! Antwort� auch bei dieser Problemart fast immer angewendet
worden ist� Die Di�erenz von ����� Punkten zwischen beiden Mittelwerten�
dieses sind ������ # bei einer maximal zu erreichenden Punktzahl von zwei�
ist die relativ niedrig f�ur die Phase�Beantworten��
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungs�
verfahren
Nachfolgend werden die beiden unterschiedlichen Bewertungsverfahren mit�
einander verglichen� Unterschiede und �Ubereinstimmungen zwischen den Er�
gebnissen der beiden Methoden werden herausgestellt�
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergeb
nisse
Die Daten in der Tabelle ��� zeigen� da die Verteilung der Punkte bei beiden
Bewertungsverfahren �ahnlich erfolgt ist� Allerdings werden auch Unterschiede
bei den Punktzahlen null und eins bzw� vier und f�unf von mehr als ��� #
sichtbar� Die Abweichungen bei den anderen Punktzahlen betragen weniger
als � # und m�ussen somit nicht mehr gesondert betrachtet werden�
Bei der holistischen Bewertung haben ���� # aller Arbeiten null Punkte und
����� # aller Arbeiten einen Punkt erhalten� bei der analytischen Bewertung
sind es ���� # und ��� #� Es ergeben sich Unterschiede zwischen diesen
Anteilen von ���� # bzw� von �� #� Betrachtet man allerdings die Anteile
der Arbeiten mit null Punkten und mit einem Punkt jeweils in der Summe�
so ergeben sich �� Arbeiten �holistische Bewertung� und �� Arbeiten �ana�
lytische Bewertung�� diese Anteile sind praktisch gleich� Entsprechendes gilt
auch f�ur die Punktzahlen vier und f�unf� Bei der holistischen Bewertung ha�
ben ���� # aller Arbeiten vier Punkte und ���� # aller Arbeiten f�unf Punkte
erhalten� bei der analytischen Bewertung sind es ���� # und ���� #� Betrach�
tet man nun jeweils wieder die Anteile der Arbeiten mit vier und mit f�unf
Punkten in der Summe� so stehen auf der einen Seite zehn Arbeiten und auf
der anderen Seite neun Arbeiten� woraus sich wiederum ein Unterschied von
nur genau einer Arbeit ergibt� Im Kapitel �� werden die soeben festgestell�
ten Unterschiede noch einmal im Zusammenhang mit den unterschiedlichen
Problemcharakteristiken aufgegri�en�
Die gro e �Ahnlichkeit zwischen den beiden Bewertungsmethoden zeigen auch
die Mittelwerte� Es ergibt sich zwischen diesen beiden eine Di�erenz von nur
����� Punkten� also ein prozentualer Anteil von ����� # bei der Maximal�
punktzahl acht� Auch die Di�erenz zwischen den beiden Standardabweichun�
gen ist mit ������ Punkten sehr klein�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ��
Bewertungsmethode
holistisch analytisch
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ���� � ����
Punktzahl � �� ����� � ���
Punktzahl � � �� ����
Punktzahl � � ����� �� �����
Punktzahl � ���� � ����
Punktzahl � � ���� ����
Punktzahl � ���� � ���
Punktzahl � � ��� � ���
Punktzahl � �� ����� �� �����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ���� �����
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ �����
Tabelle ���� Die Verteilungen der holistischen Gesamt�punktzahlen bei beiden Bewertungsmethoden
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten
S�amtliche Daten� die f�ur die Auswertungen in diesem Unterabschnitt ben�otigt
werden� sind in der Tabelle ���� dargestellt� Betrachtet man die Werte f�ur
die Phase�Verstehen� in den Spalten eins und zwei dieser Tabelle� so stellt
man fest� da die zu den analytischen Punktzahlen eins und zwei geh�oren�
den durchschnittlich erreichten holistischen Punktzahlen mit ���� Punkten
und mit ���� Punkten jeweils die h�ochsten Punktzahlen sind� die bei die�
ser Untersuchung im Vergleich mit allen sechs Problemen bei dieser Phase
erreicht worden sind� Auch die zur analytischen Punktzahl drei geh�orende
holistische Durchschnittspunktzahl von ���� Punkten ist immerhin noch die
zweith�ochste Punktzahl f�ur diese Phase� Dieses dr�uckt auch der Korrelati�
onskoe�zient rTV mit rTV � �� �� aus� Man kann hieraus schlie en� da
��� # aller Punktpaare in die gleiche Richtung korrelieren� Dieses ist die
h�ochste berechnete Korrelationsquote von allen sechs Problemen f�ur die Pha�
se�Verstehen��
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
Erreichte Punktzahl Durchschnittlich erreichte Punktzahl
bei der analytischen bei der holistischen Bewertung
Bewertung
f�ur die Phase ��� ��� Verstehen� ���
L�osen� ���
Beantworten�
� Punkte ���� Pkte ����� Pkte ����� Pkte
� Punkt ���� Pkte ���� Pkte ������ Pkte
� Punkte ������ Pkte ���� Pkte ���� Pkte
� Punkte ������ Pkte ��� Pkte
Korrelationskoe�zient ���� ����� �����
Tabelle ����� Der Zusammenhang zwischen den bei denbeiden Bewertungsmethoden �durchschnittlich� erreich�ten Punktzahlen
Bei der Phase�L�osen� weist das Tier�Problem keine Besonderheiten auf� Der
Korrelationskoe�zient rTL mit rTL � �� ��� ist in dieser Phase zwar etwas
geringer� aber er deutet noch immer auf eine sehr starke Abh�angigkeit zwi�
schen den in der Phase�L�osen� erreichten analytischen Punkten einer Arbeit
und den durchschnittlich erreichten holistischen Punkten hin� F�ur die Phase
�Beantworten� ist herauszustellen� da bei diesem Problem Arbeiten� denen
zwei analytische Punkte zugewiesen wurden� durchschnittlich nur ��� Punk�
te bei der holistischen Bewertung erhalten haben� dieses ist im Vergleich zu
den anderen Problemen die kleinste durchschnittliche Punktzahl� Als Kor�
relationskoe�zient f�ur die Phase�Beantworten� des Tier�Problems hat sich
der Wert rTB � �� ��� ergeben� d�h� ���� # aller Werte korrelieren in die
gleiche Richtung�
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten
Auswertungsergebnisse
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen
� Die Di�erenzen zwischen den entsprechenden Werten der Dachkatego�
rien I bzw� II belaufen sich auf ���� # bzw� auf �� #�
� Es zeigt sich jeweils eine deutliche Di�erenz zwischen beiden Werten
der Kategorie null ������ #� bzw� der Kategorie eins ���� #�� Es wird
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES TIERPROBLEMS ���
hierdurch wieder bekr�aftigt� da eine genaue Unterscheidung zwischen
den Kriterien f�ur null Punkte bzw� f�ur einen Punkt schwierig sein kann�
� In der Kategorie vier betr�agt die Di�erenz ��� # und ist damit verh�alt�
nism�a ig gro � Eine Ursache hierf�ur konnte nicht ermittelt werden�
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen
� In der Phase�Verstehen� liegen die Di�erenzen bei den Punktzahlen
null und eins zwischen ��� # und #�
� In der Phase�L�osen� liegen alle Abweichungen zwischen den Werten
der sich entsprechenden Punktzahlen jeweils unter �� #�
� In der Phase�Beantworten� gibt es Di�erenzen bei den Punktzahlen
null und eins von jeweils �uber � #� Sofern die Unterschiede nicht durch
die Phase�L�osen� oder durch unterschiedliche Au�assungen �uber das
Aussehen der L�osung bedingt sind� lassen sich keine Gr�unde daf�ur an�
geben�
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsverfahren
� Es zeigen sich bei den Punktzahlen null und eins Di�erenzen von ���� #
bzw� von �� #� Bei einer summenm�a igen Betrachtung heben sich
diese Unterschiede allerdings fast auf�
� Die Di�erenzen bei den Punktzahlen vier und f�unf belaufen sich auf
���� # bzw� auf ��� #� Bei einer summenm�a igen Betrachtung heben
sich diese Unterschiede ebenfalls fast auf�
� Bei den Phasen�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� korrelieren
jeweils fast � #� fast �� # bzw� fast � # aller Punktpaare in die
gleiche Richtung�
� Der Korrelationskoe�zient rTV f�ur die Phase�Verstehen� mit rTV �
�� �� ist im Vergleich mit den anderen untersuchten Problemen der
gr�o te f�ur diese Phase berechnete Wert�
Kapitel ��
Die Auswertung des
QuadrateProblems
Das sechste und damit letzte Problem der empirischen Untersuchung ist das
Quadrate�Problem� Es ist gekennzeichnet als
� geometrisches Proze problem�
� geschlossenes Problem�
� konvergentes Problem� das in der Regel anhand konvergenter Arbeits�
weisen gel�ost werden kann�
� zweistu�ges Problem� denn im Gegensatz zu allen anderen Problemen
der empirischen Untersuchung wird jetzt zum einen nach der Anzahl
der erforderlichen H�olzer f�ur zehn Quadrate und zum anderen nach der
Anzahl der erforderlichen H�olzer f�ur einhundert Quadrate gefragt�
Ein f�ur das Verstehen und L�osen dieses Problems zwingend notwendiger Teil
war die in die Problemstellung integrierte Zeichnung mit dem dar�uberstehen�
den Text� Die Antwort auf die Frage nach der Anzahl der ben�otigten H�olzer
f�ur zehn Quadrate wurde �uberwiegend auf graphischem Weg gefunden� die
gesuchte Anzahl f�ur einhundert Quadrate ist ausschlie lich rechnerisch er�
mittelt worden� Hierzu war ein gewisser Abstraktionsschritt erforderlich� Die
Tabelle ���� zeigt� in welchen Klassen das Quadrate�Problem gestellt worden
ist und wieviele Sch�uler einer Klasse dieses jeweils bearbeitet haben� Nach
dem Hallo�Problem und demW�urfel�Problem zeigt dieses Problem mit einem
Anteil von ���� # die dritth�ochste Bearbeitungsquote��
�Wenn man die Bearbeitungsquoten von allen sechs Problemen vergleicht� zeigt sich�da� Probleme mit integrierter Zeichnung � unabh�angig vom Schwierigkeitsgrad des Prob�
��
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
Schule Klasse Sch�uler bearbeitet davon davon
gesamt von weiblich m�annlich
LF � A �� �� �� ��
LF A �� �� �
RD � A �� �� �� ��
RD � B �� � �� ��
RD � C �� �� �� �
SB A � �� � ��
gesamt �� ��� �
Tabelle ����� Die klassenspezi�schen Bearbeitungszahlendes Quadrate�Problems
���� Ein Vergleich der beiden holistischen Be�
wertungen
Die Daten f�ur die Analyse der Ergebnisse der beiden holistischen Bewertun�
gen sind in der Tabelle ���� dargestellt� In der unteren und in der mittleren
Dachkategorie zeigen sich mit Di�erenzen von ���� # bzw� von ����� # sehr
starke Unterschiede zwischen den Anteilen der beiden Bewertungen� So steht
in der Dachkategorie I einem Anteil von ����� # bei der Bewertung A ein
Anteil von ����� # bei der Bewertung B gegen�uber� in der Dachkategorie II
ist es ein Anteil von ����� # gegen�uber einem Anteil von ����� #� Dagegen
ist der Unterschied in der Dachkategorie III mit einem Anteil von ���� # bei
der A�Bewertung und einem Anteil von ���� # bei der B�Bewertung extrem
gering�
Im Wertungsbereich von null bis zwei Punkten weisen die Kategorien null
und eins deutliche Unterschiede auf� Durch den Autor sind ����� # der Ar�
beiten mit null Punkten und ����� # der Arbeiten mit einem Punkt bewertet
worden� durch die Studentin waren es ���� # bzw� ����� #� Auch die Anteile
der Kategorien drei und vier weichen klar voneinander ab� Bei der Kategorie
drei ergibt sich mit ����� # gegen�uber ���� # eine geringe Di�erenz� bei der
Kategorie vier ist diese mit ����� # gegen�uber ����� # allerdings sehr stark�
Schwierigkeiten in der Zuweisung von null Punkten oder von einem Punkt
wurden auch bereits bei anderen Problemen festgestellt�
lems � sehr viel �ofter angegangen worden sind als solche ohne Zeichnung� Dieses legt dieVermutung nahe� da� auch die optische Gestaltung der Probleme die Bereitschaft derSch�uler zu einer Auseinandersetzung mit der Problemstellung beein�ussen kann�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
Punktzahl Bewertung A Bewertung B
des Autors der Studentin
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � �� ����� �� ����
Punktzahl � � � ����� �� �����
Punktzahl � � ���� ����
Dachkategorie I � ����� �� �����
Punktzahl � � �� ����� �� ����
Punktzahl � � �� ����� �� �����
Punktzahl � � ���� � ����
Dachkategorie II � ����� �� �����
Punktzahl � ���� � ����
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � ���� � ���
Dachkategorie III �� ���� �� ����
gesamt ��� ������� ��� �������
Mittelwert
der Punktverteilung ���� �����
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ �����
Tabelle ����� Die Verteilung der Punkte bei beiden holi�stischen Bewertungen
Es ist anzunehmen� da beim Quadrate�Problem ein Abschreiben von Anga�
ben� was bei dieser Art der Problemstellung wohl eher dem Abzeichnen der
Quadrate entspricht� einerseits als bedeutungslose Bearbeitung� andererseits
aber schon als geeignetes L�osungsverfahren verstanden worden ist� In diesem
Zusammenhang war o�enbar eine Entscheidung dar�uber schwierig� inwieweit
das angewendete Verfahren f�ur die L�osung geeignet ist� wenn das Endergebnis
der Arbeit selbst falsch ist� Auch die Zweistu�gkeit dieser Problemstellung
darf nicht au er Acht gelassen werden� Im Kapitel �� werden diese Aspekte
noch einmal aufgegri�en�
Die Mittelwerte sind mit ���� Punkten �Bewertung A� und mit �����
Punkten �Bewertung B� im Vergleich zu den holistischen Bewertungen der
anderen Probleme die niedrigsten� Ihre Di�erenz ist mit ������ Punkten bzw�
mit ������ # am zweitgr�o ten� Dagegen ist die Di�erenz der beiden Stan�
dardabweichungen mit ����� Punkten am kleinsten�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
���� Ein Vergleich der beiden analytischen
Bewertungen
Nachdem im letzten Abschnitt die Ergebnisse der beiden holistischen Be�
wertungen des Quadrate�Problems ausgewertet worden sind� werden nun die
Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen� nach den Phasen�Verste�
hen���L�osen� und
�Beantworten� getrennt� miteinander verglichen�
������ Die Phase Verstehen
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� �� ����
Punktzahl � � �� ���� �� ����
Punktzahl � � �� �� �� �����
Punktzahl � � �� ���� �� ����
gesamt ��� ������� ��� � ������
Mittelwert
der Phase Verstehen� ����� ������
Standardabweichung
der Phase Verstehen� ������ ����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beidenanalytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Verstehen� des
Quadrate�Problems
Die f�ur diese Auswertung ben�otigten Daten sind in der Tabelle ���� darge�
stellt� Ein erster Unterschied zeigt sich bei der Punktzahl null� So erhielten bei
der A�Bewertung ����� # aller Arbeiten null Punkte� bei der B�Bewertung
waren es hingegen nur ���� #� Deutlich gr�o er sind die Unterschiede bei den
�ubrigen drei Punktzahlen� So haben bei der A�Bewertung ���� # aller Arbei�
ten einen Punkt erhalten� bei der B�Bewertung aber ���� # aller Arbeiten�
Bei zwei Punkten stehen sich Anteile von �� # der Arbeiten �Bewertung A�
und von ����� # der Arbeiten �Bewertung B� gegen�uber� bei drei Punkten
sind es schlie lich Anteile von ���� # bzw� von ���� #� Eine Ursache hierf�ur
zu sehen ist schwierig� M�oglicherweise beruhen die Unterschiede darauf� da
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
es sich beim Quadrate�Problem um ein zweistu�ges Problem handelt� Bei der
Bewertung A ist die volle Punktzahl von drei Punkten bereits dann verge�
ben worden� wenn mindestens die Anzahl der notwendigen H�olzer f�ur zehn
Quadrate richtig berechnet worden ist� bei der Bewertung B hingegen nur
dann� wenn beide gesuchten Werte korrekt angegeben worden sind�� Diese
Problematik wird im Kapitel �� noch einmal diskutiert�
Ein Vergleich der beiden Mittelwerte zeigt sofort� da sich diese um ������
Punkte� was � bezogen auf die maximal erreichbare Punktzahl drei � einem
Anteil von ��� # entspricht� unterscheiden� Das ist die gr�o te f�ur die Phase
�Verstehen� berechnete Di�erenz� Auch ist der Unterschied zwischen den
beiden Standardabweichungen mit ������ Punkten der gr�o te f�ur diese Phase
berechnete Wert�
������ Die Phase L�osen
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � ���� � ����
Punktzahl � �� ����� �� �����
Punktzahl � � ��� � ����
Punktzahl � ���� � ���
gesamt ��� ������� ��� � ������
Mittelwert
der Phase L�osen� ������ ������
Standardabweichung
der Phase L�osen� ����� ������
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beidenanalytischen Bewertungen f�ur die Phase
�L�osen� des
Quadrate�Problems
Bei der Phase�Verstehen� hatten sich zwischen den beiden Verteilungen
deutliche Unterschiede gezeigt� Bei der Phase�L�osen� dagegen stimmen die
Verteilungen der Punkte durch die beiden Bewertungen praktisch v�ollig �uber�
�Bei keiner Sch�ulerarbeit ist ausschlie�lich die gesuchte Anzahl f�ur H�olzer berechnetworden� stets wurde mit der gesuchten Anzahl f�ur H�olzer begonnen�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
ein� Es gibt nun bei den ersten beiden Punktzahlen �uberhaupt keine Abwei�
chungen mehr� jeweils ���� # der Arbeiten haben null Punkte und jeweils
����� # der Arbeiten haben einen Punkt erhalten� Bei den anderen beiden
Punktzahlen liegt jeweils eine Di�erenz von genau einer Arbeit resp� von
���� # zwischen den Anteilen der beiden Bewertungen vor� Beide Mittelwer�
te sind bei ihren Bewertungen jeweils die niedrigsten f�ur die Phase�L�osen�
ermittelten Werte� Auch die hieraus resultierende Di�erenz von ������ Punk�
ten bzw� von nur ���� # ist die geringste berechnete Abweichung bei dieser
L�osungsphase� Sowohl die beiden Standardabweichungen als auch ihre Di�e�
renz liegen im Vergleich zu den anderen Problemen in der unteren H�alfte�
������ Die Phase Beantworten
In der Phase�Beantworten� zeigen sich wieder klare Unterschiede zwischen
den Anteilen der Arbeiten� die den einzelnen Punkten durch die beiden Be�
wertungen zugewiesenen worden sind� Die genauen Angaben sind in der Ta�
belle ���� dargestellt�
Bewertung A Bewertung B
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � � �� ���� � �����
Punktzahl � � �� ����� �� �����
Punktzahl � �� �� �� �����
gesamt ��� ������� ��� � ������
Mittelwert
der Phase Beantworten� ����� �����
Standardabweichung
der Phase Beantworten� ��� �����
Tabelle ����� Die Verteilungen der Punkte bei beiden ana�lytischen Bewertungen f�ur die Phase
�Beantworten� des
Quadrate�Problems
Bei der Punktzahl null stehen sich Anteile von ���� # �Bewertung A� und
von ����� # �Bewertung B� gegen�uber� bei der Punktzahl eins sind es Anteile
von ����� # und von ����� #� Es ergeben sich bei diesen beiden Punktzah�
len Di�erenzen von ����� # bzw� von ����� #� Mit Anteilen von �� #
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
gegen�uber ����� # bei der Punktzahl zwei braucht der sich hieraus ergeben�
de Unterschied nicht weiter ber�ucksichtigt zu werden� Aufgrund der beiden
Mittelwerte kann man sagen� da die Bewertung A zur Vergabe leicht h�oher�
er Punkte tendiert� Die Di�erenz zwischen diesen Werten liegt � bezogen
auf die maximal f�ur diese Phase erreichbare Punktzahl � bei ���� # und ist
damit am h�ochsten�
Auch f�ur die bei dieser Phase aufgetretenen Unterschiede in den Verteilun�
gen der Punkte sind keine Gr�unde o�ensichtlich� Zun�achst l�a t sich sagen�
da die Kriterien der Bewertungsskala f�ur die Phase�Beantworten� theore�
tisch keinerlei �Uberschneidungen zeigen� Sie beruhen im wesentlichen auf der
Anwendung eines nicht geeigneten bzw� eines geeigneten L�osungsverfahrens
�in der Phase�L�osen��� Ob in einer Arbeit aber ein ungeeignetes bzw� ein
geeignetes L�osungsverfahren angewendet worden ist� das ist bereits bei der
Bewertung der Phase�L�osen� selbst � und zwar durch beide Bewerter prak�
tisch identisch � entschieden worden� Eine M�oglichkeit f�ur die festgestellten
Unterschiede kann� wie auch zuvor schon herausgestellt� die unterschiedliche
Interpretation des Vorhandenseins einer Antwort sein�
���� Ein Vergleich der beiden Bewertungs�
verfahren
In diesem Abschnitt werden abschlie end die Ergebnisse der beiden verschie�
denen Bewertungsmethoden ausgewertet� Hierzu werden einerseits die Ge�
samtzahlen der den Punktzahlen null bis acht zugewiesenen Arbeiten mit�
einander verglichen� andererseits werden Beziehungen zwischen den bei den
beiden Bewertungsmethoden erreichten Punkten untersucht�
������ Ein Vergleich der holistischen Bewertungsergeb
nisse
Die beiden Verteilungen der Punkte f�ur das Quadrate�Problem sind in der
Tabelle ��� zusammenfa t� Es wird hieraus sofort ersichtlich� da sich die�
se deutlich von denen der bisher betrachteten Probleme unterscheiden� Bis
auf die Punktzahlen vier und f�unf ist die Zuweisung der Punkte bei bei�
den Bewertungsverfahren vergleichbar erfolgt� es ergeben sich geringe Unter�
schiede in einer Gr�o enordnung von bis zu maximal ���� #� Speziell bei den
Punktzahlen vier und f�unf zeigen sich allerdings sehr gro e Unterschiede in
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ��
Bewertungsmethode
holistisch analytisch
Punktzahl Anzahl der Arbeiten Anzahl der Arbeiten
absolut prozentual absolut prozentual
Punktzahl � �� ����� �� ����
Punktzahl � �� ���� � �����
Punktzahl � � ����� �� �����
Punktzahl � ���� �� ����
Punktzahl � � ����� ����
Punktzahl � � ��� �� �����
Punktzahl � ���� � ����
Punktzahl � � ��� � ���
Punktzahl � � ��� � ���
gesamt ��� ������� ��� � ������
Mittelwert
der Punktverteilung ����� ������
Standardabweichung
der Punktverteilung ������ ������
Tabelle ���� Die Verteilungen der holistischen Gesamt�punktzahlen bei beiden Bewertungsmethoden
den Werten� So haben bei der holistischen Bewertung ����� # aller Arbei�
ten vier Punkte und nur ���# aller Arbeiten f�unf Punkte erhalten� bei der
analytischen Bewertung ist die Vergabe mit ���� # bzw� ����� # praktisch
entgegengesetzt erfolgt� Es ergeben sich Di�erenzen von ����� # bzw� von
����� # zwischen den entsprechenden Anteilen� Zu beachten ist auch� da
bei beiden Bewertungsmethoden jeweils ��� # aller Arbeiten sieben Punkte
und ��� # aller Arbeiten acht Punkte erhalten haben� �Ubereinstimmende
Werte bei zwei Punktzahlen hatten sich bei noch keinem anderen Problem
gezeigt� M�ogliche Ursachen f�ur die Unterschiede zwischen den Ergebnissen
der beiden Bewertungsverfahren werden im Kapitel �� herausgearbeitet�
Diese Zuweisungen der Punkte dr�ucken sich auch in den Mittelwerten aus�
So liegt der Mittelwert der analytischen Bewertung um ����� Punkte bzw�
auf der Basis der Maximalpunktzahl acht um ������ # �uber dem der ho�
listischen Bewertung� Die Standardabweichung der analytischen Bewertung
������� Pkte� liegt bei einem Unterschied von ������ Punkten ebenfalls deut�
lich �uber der Standardabweichung der holistischen Bewertung ������� Pkte��
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
������ Beziehungen und Korrelationskoe�zienten
Im vorangegangenen Unterabschnitt ist untersucht worden� inwieweit sich die
holistischen Ergebnisse der analytischen Bewertung� jeweils gebildet durch
Summation der drei einzelnen Punkte� und die Ergebnisse der holistischen
Bewertung beim Quadrate�Problem voneinander unterscheiden� In diesem
Abschnitt werden Aussagen dazu getro�en� inwiefern die in den einzelnen
Phasen erreichten Teilpunkte der analytischen Bewertung mit der bei der
holistischen Bewertung erreichten Punktzahl in Verbindung stehen� Alle hier�
f�ur notwendigen Daten beinhaltet die Tabelle �����
Erreichte Punktzahl Durchschnittlich erreichte Punktzahl
bei der analytischen bei der holistischen Bewertung
Bewertung
f�ur die Phase ��� ��� Verstehen� ���
L�osen� ���
Beantworten�
� Punkte ������ Pkte ����� Pkte ������ Pkte
� Punkt ����� Pkte ������ Pkte ������ Pkte
� Punkte ����� Pkte ������ Pkte ����� Pkte
� Punkte ������ Pkte ������ Pkte
Korrelationskoe�zient ������ ����� ������
Tabelle ����� Der Zusammenhang zwischen den bei denbeiden Bewertungsmethoden �durchschnittlich� erreich�ten Punktzahlen
Zun�achst wird die Phase�Verstehen� untersucht� So haben Arbeiten� die f�ur
die Phase�Verstehen� null Punkte erhalten haben� durchschnittlich eine ho�
listische Punktzahl von ���� Punkten erreicht� Arbeiten� denen ein� zwei oder
drei Punkte bei der analytischen Bewertung zugewiesen worden sind� haben
im Durchschnitt ��� Punkte� ��� Punkte bzw� ��� Punkte bei der holisti�
schen Bewertung erhalten� Diese drei Werte sind s�amtlich die geringsten ho�
listischen Durchschnittspunktzahlen� die von Arbeiten mit einem� zwei bzw�
drei analytischen Punkten bei der Phase�Verstehen� erreicht worden sind�
Betrachtet man den Korrelationskoe�zient rQV f�ur die Phase�Verstehen�
des Quadrate�Problems� so zeigt sich� da dieser Wert mit rQV � �� ����
gar nicht so klein wie eventuell zuvor angenommen ist� Immerhin ergibt sich
hieraus ein Bestimmtheitsma von rQV� � �� �����
Auch die Phase�L�osen� weist im Vergleich mit den anderen f�unf Problemen
Besonderheiten auf� und zwar speziell bei den analytischen Punktzahlen eins
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ���
und zwei� So haben Arbeiten mit einem analytischen Punkt durchschnitt�
lich ���� holistische Punkte erhalten � dieses ist im Vergleich die h�ochste
durchschnittliche Punktzahl� die Arbeiten mit einem analytischen Punkt f�ur
die Phase�L�osen� aufweisen � und Arbeiten mit zwei analytischen Punkten
durchschnittlich ���� holistische Punkte� Dieses ist allerdings im Vergleich
zwischen allen sechs Problemen der empirischen Untersuchung die kleinste
Punktzahl� die Arbeiten mit zwei Punkten f�ur die Phase�L�osen� durch die
holistischen Bewertung durchschnittlich erhalten haben� Au��allig ist auch�
da bei keinem anderen Problem bei der Phase�L�osen� weniger Punktpaa�
re korrelieren als beim Quadrate�Problem� Mit rQL � �� ��� ist dieses der
kleinste Korrelationskoe�zient� der f�ur diese Phase berechnet worden ist�
Die letzte zu untersuchende Phase ist�Beantworten�� Es ergibt sich hierf�ur
ein Korrelationskoe�zient rQB mit rQB � �� ����� der auf eine deutliche
Abh�angigkeit zwischen den vergebenen analytischen Punkten einer Arbeit
und den holistischen Punkten f�ur diese Arbeit deutet� Die durchschnittlich
vergebene holistische Punktzahl f�ur Arbeiten� die bei der analytischen Bewer�
tung einen Punkt erhalten haben� ist mit ���� Punkten im Vergleich zu den
restlichen Problemstellungen die geringste mittlere Punktzahl f�ur derartige
Arbeiten�
���� Eine Zusammenfassung der wichtigsten
Auswertungsergebnisse
������ Der Vergleich der holistischen Bewertungen
� Bei den entsprechenden Werten in den Dachkategorien I und II zeigen
sich jeweils sehr starke Unterschiede von ���� # bzw� von ����� #�
� Die gr�o ten Unterschiede bei den einzelnen Kategorien zeigen sich bei
null Punkten ���� #�� bei einem Punkt ����� #�� bei drei Punkten
����� #� und bei vier Punkten ��� #�� Diese Unterschiede k�onnen be�
dingt sein durch die Schwierigkeit der Festlegung� inwieweit die gezeig�
te Bearbeitung schon als geeignetes L�osungsverfahren aufgefa t werden
kann� oder durch die Zweistu�gkeit der Problemstellung�
������ Der Vergleich der analytischen Bewertungen
� In der Phase�Verstehen� zeigen sich jeweils sehr starke Abweichungen
bei den Punktzahlen eins� zwei und drei mit Di�erenzen von ����� #�
KAPITEL ��� DIE AUSWERTUNG DES QUADRATEPROBLEMS ��
����� # bzw� ����� #� Diese k�onnen durch die Zweistu�gkeit der Prob�
lemstellung hervorgerufen worden sein�
� In der Phase�L�osen� zeigen sich allein bei den Punkten zwei und drei
Unterschiede von jeweils gerade einmal ���� #�
� In der Phase�Beantworten� zeigen sich bei den Punktzahlen null und
eins jeweils sehr gro e Di�erenzen von ����� # bzw� von ����� #� Even�
tuell ergeben sich diese Abweichungen durch unterschiedliche Interpre�
tationen des Vorhandenseins einer Antwort�
������ Der Vergleich der beiden Bewertungsmethoden
� Bei den Punktzahlen vier und f�unf zeigen sich mit Di�erenzen von
����� # bzw� von ����� # sehr starke Unterschiede�
� Der Mittelwert der analytischen Bewertung liegt ����� Punkte �uber
dem der holistischen Bewertung�
� In den Phasen�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� korrelieren
jeweils gut �� #� fast �� # bzw� gut �� # aller Punktpaare in die
gleiche Richtung�
� Der Korrelationskoe�zient rQL f�ur die Phase�L�osen� mit rQL � �� ���
ist im Vergleich zu den anderen untersuchten Problemen der kleinste
f�ur diese Phase berechnete Wert�
Kapitel ��
Die Zusammenfassung der
Auswertungsergebnisse
Eine Theoriebildung
In den vorangegangenen Kapiteln sind die Ergebnisse der Bewertungen� wel�
che die eigentliche Basis f�ur die empirische Untersuchung gebildet haben�
im Hinblick auf die im Kapitel � gestellten Forschungsfragen f�ur jedes der
sechs Probleme getrennt ausgewertet worden� und � sofern es m�oglich war
� sind im Rahmen dieser Auswertungen bereits potentielle Gr�unde f�ur die
festgestellten Unterschiede herausgearbeitet worden� Speziell umfa ten die
Auswertungen eines jeden Problems die folgenden drei Vergleiche�
� Ein Vergleich zwischen den Ergebnissen der holistischen Bewertung des
Autors und den Ergebnissen der holistischen Vergleichsbewertung der
Studentin�
� Ein Vergleich zwischen den Ergebnissen der beiden entsprechenden ana�
lytischen Bewertungen�
� Ein Vergleich zwischen den aus den beiden holistischen Bewertungen
gemittelten Ergebnissen und den aus den beiden analytischen Bewer�
tungen gemittelten Ergebnissen einschlie lich einer Betrachtung etwai�
ger Beziehungen zwischen den in den einzelnen Phasen bei der analyti�
schen Bewertung erreichten Punktzahlen und den zugeh�origen durch�
schnittlich erreichten Punktzahlen bei der holistischen Bewertung sowie
einer Analyse der zugeh�origen Korrelationskoe�zienten�
��
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
In diesem Kapitel werden nun die Ergebnisse� welche die Auswertungen
der Probleme erbracht haben� im Hinblick auf unterschiedliche Problem�
charakteristiken zusammengefa t und es wird versucht� hieraus eventuelle
Gesetzm�a igkeiten abzuleiten� um so Antworten auf die im Kapitel � gestell�
ten Forschungsfragen geben zu k�onnen� Speziell werden die Probleme dabei
hinsichtlich ihrer wichtigsten Eigenschaften ausgewertet �vgl� hierzu auch An�
hang F�� Im einzelnen sind dieses das mathematische Gebiet� dem ein Prob�
lem zugeordnet werden kann� sowie die Art des Denkens� die zur L�osung des
Problems ben�otigt wird� Auch auf den Umfang der geforderten L�osung� d�h�
ob eine einstu�ge oder eine mehrstu�ge L�osung gesucht war� wird an einigen
Stellen in dieser Zusammenfassung � allerdings nicht in gesonderten Unterab�
schnitten � eingegangen� obwohl einerseits die Kriterien der verwendeten Ska�
len im Prinzip auch Arbeiten zu mehrstu�gen Problemen ber�ucksichtigen und
obwohl andererseits von allen Problemen der empirischen Untersuchung nur
das Quadrate�Problem ein mehrstu�ges� genauer ein zweistu�ges Problem
ist� Bewertungsergebnisse eines vergleichbaren Problems liegen somit nicht
vor� Folglich ist eine Feststellung von Gesetzm�a igkeiten im Auftreten der
herausgearbeiteten Unterschiede zwischen den Bewertungsergebnissen nicht
m�oglich� Weil dar�uber hinaus alle sechs Probleme der empirischen Untersu�
chung geschlossen waren� es war also stets aus der Problemstellung zu erken�
nen� was gesucht war� ist eine Zusammenfassung hinsichtlich der O�en� bzw�
Geschlossenheit der Problemstellung nicht sinnvoll� Es wird hierauf daher
wissentlich verzichtet�
���� Die Zusammenfassung der Ergebnisse
der beiden holistischen Bewertungen
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Vergleiche zwischen den bei�
den holistischen Bewertungen von allen sechs Problemen zusammengefa t�
und zwar sowohl hinsichtlich der mathematischen Gebiete der Probleme als
auch hinsichtlich der zur L�osung der Probleme ben�otigten Denkprozesse� Da
es bei den Bewertungen von Probleml�osungen durch zwei unterschiedliche
Personen nie zu einer v�olligen �Ubereinstimmung kommen wird� ist davon
ausgegangen worden� da absolute Di�erenzen zwischen den entsprechenden
Anteilen in den Dachkategorien bzw� bei den einzelnen Punktzahlen bis zu
ungef�ahr � # durch Bewertungsungenauigkeiten bedingt sind�� Daher wer�
�Dieser Wert ist nur als Richtwert zu verstehen� In Abh�angigkeit von der Zuweisungder Punkte zu allen Arbeiten eines Problems kann dieser Wert gegebenenfalls auch etwash�oher oder etwas niedriger liegen�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
den bei dieser Zusammenfassung die Di�erenzen bis zu diesem Wert nicht
mehr speziell ber�ucksichtigt� Im Abschnitt G�� des Anhangs sind f�ur alle
sechs Probleme die prozentualen Anteile der Arbeiten in den drei Dachkate�
gorien sowie die prozentualen Anteile der Arbeiten in den Kategorien null bis
acht von beiden holistischen Bewertungen angegeben� bei denen die absolute
Di�erenz �uber � # liegt� Diese Tabelle dient als Basis f�ur die Theoriebildung�
������ Das mathematische Gebiet
Aus der im Anhang F aufgef�uhrten Tabelle geht noch einmal hervor� da die
Probleme der empirischen Untersuchung aus drei unterschiedlichen Gebieten
der Mathematik stammen� Das Hallo�Problem�� das M�uhle�Problem und das
W�urfel�Problem k�onnen der Kombinatorik zugeordnet werden� das Bonbon�
Problem und das Tier�Problem der Algebra und das Quadrate�Problem der
Geometrie�
Die Mittelwerte
Betrachtet man zuerst die Mittelwerte der kombinatorischen Probleme� so
zeigt sich� da diese bei den einzelnen Problemen sehr unterschiedlich hoch
sind� alle Di�erenzen zwischen den Mittelwerten der beiden Bewertungen
liegen allerdings jeweils zwischen ���� und ��� Punkten� Mit ��� bzw�
�� Punkten weist das W�urfel�Problem bei beiden Bewertungen jeweils die
h�ochste Durchschnittspunktzahl auf� gefolgt vom Hallo�Problem mit ���
bzw� ���� Punkten� Das M�uhle�Problem zeigt mit ���� bzw� �� Punkten
bei beiden Bewertungen jeweils die geringste durchschnittliche Punktzahl�
Diese unterschiedlich hohen Mittelwerte der einzelnen Probleme sind im all�
gemeinen begr�undet durch die Problemstellung selbst in Verbindung mit den
bereits von den Sch�ulern erworbenen allgemeinen Probleml�osef�ahigkeiten und
mit ihren bereits gemachten Erfahrungen beim L�osen von Problemen� die mit
dem vorgegebenen Problem in irgendeiner Verbindung stehen� Allein aus der
H�ohe des Mittelwertes k�onnen keine Schl�usse auf die allgemeine Verwendbar�
keit einer Bewertungsskala gezogen werden� Zweimal ist der Mittelwert bei
der Bewertung B h�oher �H�P� M�P� und einmal der Mittelwert bei der Be�
wertung A �W�P�� Betrachtet man die Mittelwerte der beiden algebraischen
Probleme� so zeigt sich� da diese Werte beim Bonbon�Problem mit ���� bzw�
���� Punkten praktisch identisch sind� die sich hieraus ergebende Di�erenz
betr�agt in diesem Fall nur ���� Punkte� Beim Tier�Problem hingegen liegen
die Mittelwerte der beiden Bewertungen bei ��� bzw� ���� Punkten� woraus
�Zur besseren �Ubersicht werden nachfolgend die Probleme auch wie folgt abgek�urzt�H�P f�ur Hallo�Problem� B�P f�ur Bonbon�Problem etc�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
sich eine Di�erenz von ���� Punkten ergibt� Bei den algebraischen Problemen
liegt also genau einmal der Mittelwert bei der Bewertung A h�oher und genau
einmal der Mittelwert bei der Bewertung B� Das Quadrate�Problem ist das
einzige geometrische Problem� Mit �� bzw� ��� Punkten sind dieses bei ih�
ren Bewertungen jeweils die geringsten �uberhaupt aufgetretenen Mittelwerte�
es ergibt sich eine Di�erenz von ���� Punkten�
Insgesamt kann festgehalten werden� da keine der beiden Bewertungen hin�
sichtlich des mathematischen Gebiets des Problems tendenziell durchschnitt�
lich h�ohere Punkte vergibt als die andere�
Die Dachkategorien
Um zu pr�ufen� inwieweit die Unterschiede zwischen den Zuweisungen der
Punkte zu den Arbeiten vommathematischen Gebiet des Problems abh�angen�
werden zun�achst die entsprechenden Anteile der Arbeiten in den einzelnen
Dachkategorien von beiden Bewertungen und sp�ater die entsprechenden An�
teile der Arbeiten mit den Punktzahlen von null bis acht von beiden Be�
wertungen zusammengefa t und dabei miteinander verglichen� Beginnt man
mit dem Vergleich zwischen den Anteilen der Arbeiten in den Dachkatego�
rien I bis III bei den drei kombinatorischen Problemen� so lassen sich keine
Gesetzm�a igkeiten �uber das Auftreten der Unterschiede ausmachen� Beim
Hallo�Problem zeigen sich Di�erenzen allein in den Dachkategorien I und II
von �� # und von ����� #� bei den anderen beiden Problemen dagegen
sind Abweichungen zwischen den Werten aller drei Dachkategorien festge�
stellt worden� Es ergeben sich beim M�uhle�Problem Di�erenzen von ����� #
�DI�� ���� # �DII� und ��� # �DIII�� beim W�urfel�Problem liegen die Ab�
weichungen bei ��� # �DI�� ��� # �DII� und ���� # �DIII�� Auch bei den
beiden algebraischen Problemen sind die Unterschiede in den Dachkategorien
zwischen den beiden Bewertungen v�ollig unterschiedlich� So kann man sagen�
da beim Bonbon�Problem die Punkte bei beiden Bewertungen im Hinblick
auf die drei Dachkategorien praktisch gleich vergeben worden sind� die drei
Di�erenzen liegen jeweils unter � #� Beim Tier�Problem dagegen zeigen sich
geringe Unterschiede von ���� # bzw� von �� # in den Dachkategorien
I und II� Beim Quadrate�Problem als dem einzigen geometrischen Problem
haben sich Unterschiede bei der Vergabe der Punkte in den Dachkategorien
I und II von ���� # bzw� von ����� # ergeben�
Man kann also sagen� da hinsichtlich des mathematischen Gebiets des Prob�
lems keine Gesetzm�a igkeiten �uber das Auftreten von Abweichungen zwi�
schen den Anteilen der Arbeiten in den drei Dachkategorien bei beiden Be�
wertungen manifestiert werden k�onnen�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
Die einzelnen Punktzahlen
Wenn man mit einer Auswertung der Di�erenzen� die sich zwischen den ent�
sprechenden Anteilen der Arbeiten bei den einzelnen Punktzahlen von beiden
Bewertungen ergeben haben� bei den kombinatorischen Problemen beginnt�
so wird deutlich� da diese Abweichungen bei allen drei Problemen bei un�
terschiedlichen Punktzahlen aufgetreten sind� Beim Hallo�Problem ergeben
sich Di�erenzen zwischen den beiden Bewertungen bei den Punktzahlen eins
���� #� und vier ����� #�� Dagegen liegen die Unterschiede beim M�uhle�
Problem bei den Punktzahlen eins ������ #�� drei ������ #�� f�unf ����� #�
und acht ����� #�� Beim W�urfel�Problem schlie lich treten Abweichungen
bei den Punktzahlen vier ����� #�� f�unf ���� #� und sechs ����� #�
auf� Bei der Auswertung des Hallo�Problems hatte sich bereits gezeigt� da
es bei diesem Problem schwierig war zu entscheiden� in welchen F�allen Li�
sten oder Zeichnungen nur bedeutungslose Versuche zur L�osung waren bzw�
wann sie bereits auf ein deutliches Verst�andnis f�ur das Problem hinwiesen
und schon ein teilweise geeignetes L�osungsverfahren darstellten �vgl� hierzu
Abschnitt ����� Die Di�erenzen beim M�uhle�Problem konnten nicht wirk�
lich begr�undet werden� Lediglich konnte festgestellt werden� da es einerseits
bei schlechten Arbeiten o�enbar kompliziert war festzulegen� inwieweit die
Bearbeitung bereits sinnvoll war oder inwieweit schon von einem gewissen
Verst�andnis f�ur das Problem ausgegangen werden konnte und da anderer�
seits die Di�erenzen bei der Punktzahl acht theoretisch nur aufgrund von Be�
wertungsungenauigkeiten zustande gekommen sein k�onnen �vgl� hierzu Ab�
schnitt ������ Auch bei der Auswertung des W�urfel�Problems sind bereits
m�ogliche Ursachen f�ur die aufgetretenen Di�erenzen diskutiert worden �vgl�
hierzu Abschnitt ������ So wurde deutlich� da Arbeiten� bei denen andere
� aber m�oglicherweise nicht alle � W�urfel�Kombinationen f�ur die Summe von
zw�olf Augen unsystematisch aufgeschrieben worden sind� nicht eindeutig eine
bestimmte Punktzahl zugewiesen werden konnte�
Nachfolgend werden nun Aussagen �uber die Anteile der Arbeiten mit den
Punktzahlen null bis acht f�ur die beiden algebraischen Probleme getro�en�
Zun�achst wird ersichtlich� da bei beiden Problemstellungen Di�erenzen zwi�
schen den Werten der beiden Bewertungen bei den Punktzahlen null �B�P�
���� #� T�P� ����� #� und eins �B�P� ���� #� T�P� ��� #� aufgetreten sind�
Bei den Auswertungen der Ergebnisse der holistischen Bewertungen dieser
Probleme ist bereits festgestellt worden� da es o�enbar zu Schwierigkeiten
bei der Unterscheidung zwischen einem einfachen Abschreiben der Daten aus
der Problemstellung und einer bedeutungslosen Bearbeitung gekommen ist�
Dar�uber hinaus zeigen sich beim Bonbon�Problem noch Unterschiede zwi�
schen den Werten bei den Punktzahlen f�unf ���� #� und sieben ����� #�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
und beim Tier�Problem noch zwischen den Werten bei der Punktzahl vier
���� #�� Da diese Abweichungen beim Bonbon�Problem recht gering sind�
wird darauf im folgenden nicht weiter eingegangen� F�ur die unterschiedlichen
Anteile der Arbeiten bei der Punktzahl vier des Tier�Problems konnten kei�
ne Ursachen gefunden werden� Betrachtet man abschlie end noch das einzige
geometrische Problem� so zeigen sich auch hier Di�erenzen bei den Punkt�
zahlen null ���� #� und eins ����� #�� in beiden F�allen ist der Anteil der
Arbeiten bei der Bewertung B h�oher als der Anteil bei der Bewertung A� Als
Ursachen hierf�ur k�onnen die zuvor erl�auterten Gr�unde angesehen werden�
Au erdem zeigen sich voneinander abweichende Anteile bei den Punktzah�
len drei ����� #� und vier ��� #�� nun liegen jeweils die Anteile bei der
Bewertung A �uber denen bei der Bewertung B�
Zusammenfassend l�a t sich festhalten� da bei einigen der untersuchten Prob�
leme Di�erenzen zwischen den Anteilen bei den Punktzahlen null und eins
aufgetreten sind� und zwar unabh�angig vom Gebiet der Mathematik� dem
das Problem zugeordnet werden kann� Dieses deutet darauf hin� da m�ogli�
cherweise eine Unterscheidung zwischen den Kriterien f�ur null Punkte und
denen f�ur einen Punkt schwierig sein kann� Speziell bei den kombinatori�
schen Problemen wurde deutlich� da es einerseits nicht einfach sein kann
zu entscheiden� inwieweit das gezeigte L�osungsverfahren wirklich geeignet ist
und da andererseits bei L�osungen� die keine gewisse Systematik erkennen
lassen� Schwierigkeiten bei der eindeutigen Zuweisung einer Punktzahl auf�
treten k�onnen�
������ Die ben�otigten Denkprozesse�
Die sechs Probleme der empirischen Untersuchung lassen sich unterteilen in
vier konvergente Probleme �Hallo�Problem� Bonbon�Problem� Tier�Problem�
Quadrate�Problem� und zwei divergente Probleme �M�uhle�Problem� W�urfel�
Problem�� In Analogie zum letzten Abschnitt wird auch jetzt mit einer Zu�
sammenfassung der Aussagen �uber die Mittelwerte begonnen� Hiernach fol�
gen die Zusammenfassungen der Aussagen �uber die Anteile der Dachkatego�
rien und �uber die Anteile der einzelnen Punktkategorien�
�Da alle Werte� die f�ur die Auswertungen in diesem Unterabschnitt ben�otigt werden�im Anhang im Abschnitt G� tabellarisch dargestellt sind und diese Werte auch im vor�angegangenen Unterabschnitt schon ausf�uhrlich diskutiert worden sind� wird darauf indiesem Unterabschnitt bewu�t verzichtet� Es werden haupts�achlich die mit Blick auf dief�ur die L�osung ben�otigten Denkprozesse festgestellten �Ubereinstimmungen zwischen denaufgetretenen Unterschieden verdeutlicht sowie m�ogliche Gr�unde daf�ur dargelegt�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG �
Die Mittelwerte
Eine Gegen�uberstellung der Di�erenzen � jeweils aus den Mittelwerten der
beiden Bewertungen gebildet � zeigt bei den konvergenten Problemen Ab�
weichungen zwischen ���� und ���� Punkten� Einmal liegt der Mittelwert
der Bewertung B �uber dem Wert der Bewertung A� zweimal ist es genau
umgekehrt und einmal sind die beiden Mittelwerte praktisch gleich� Bei den
beiden divergenten Problemen liegen die Di�erenzen bei ���� bzw� ��� Punk�
ten� einmal ist der Mittelwert der Bewertung A der h�ohere und einmal der der
Bewertung B� Generell tendiert also wiederum keine der beiden Bewertun�
gen zur Vergabe h�oherer Punkte hinsichtlich der f�ur die L�osung des Problems
ben�otigten Denkprozesse�
Die Dachkategorien
Betrachtet man nun die Anteile der Arbeiten in den Dachkategorien I bis III
der vier konvergenten Probleme� so erkennt man zun�achst� da bei keinem
Problem in der Dachkategorie III Di�erenzen von mehr als � # aufgetreten
sind� Bis auf das Bonbon�Problem� das in keiner Dachkategorie Abweichun�
gen zwischen den beiden zusammengeh�orenden Anteilen von mehr als � #
aufweist� zeigen die drei �ubrigen konvergenten Probleme allerdings Di�eren�
zen in den Dachkategorien I und II in einer Gr�o enordnung zwischen ���� #
und ����� #� Die beiden divergenten Probleme weisen dagegen in allen drei
Dachkategorien jeweils unterschiedlich hohe Di�erenzen zwischen den zusam�
mengeh�orenden Anteilen bis zu maximal ���� # auf�
Die einzelnen Punktzahlen
Zun�achst zeigen alle konvergenten Probleme Unterschiede zwischen den bei�
den Bewertungen bei den Anteilen der Arbeiten mit einem Punkt� Bis auf das
Hallo�Problem zeigen sich bei diesen Problemen auch jeweils Unterschiede
zwischen den beiden Anteilen bei null Punkten� Im letzten Abschnitt wurde
bereits dargelegt� da die Ursache hierf�ur wahrscheinlich in den zu fein un�
terschiedenen Kriterien der Wertungsskala liegt� Dar�uber hinaus treten bei
drei konvergenten Problemen �H�P� T�P� Q�P� Abweichungen bei der Punkt�
zahl vier auf und beim Quadrate�Problem ergibt sich zus�atzlich noch eine
Abweichung bei der Punktzahl drei� Mit Ausnahme des Bonbon�Problems�
welches noch sehr geringe Di�erenzen bei den Punktzahlen f�unf und sieben
zeigt� die im folgenden daher au er Acht gelassen werden� haben sich bei den
konvergenten Problemen �uberhaupt keine Abweichungen in einer Gr�o enord�
nung von mehr als � # bei den Punktzahlen f�unf bis acht ergeben� Bei allen
Arbeiten� bei denen das Problem mittels eines geeigneten L�osungsverfahrens
bearbeitet und gel�ost worden ist� sind bei der Zuweisung der Punkte im
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
Prinzip keine Schwierigkeiten aufgetreten� Vergleicht man noch die zusam�
mengeh�orenden Anteile der Arbeiten bei den einzelnen Punktzahlen speziell
bei den beiden divergenten Problemen� so lassen sich keine Gesetzm�a igkei�
ten �uber das Auftreten der Di�erenzen zwischen dem M�uhle�Problem und
dem W�urfel�Problem erkennen�
Es l�a t sich also festhalten� da bei konvergenten Problemen im allgemeinen
keine wesentlichen Schwierigkeiten bei der Zuweisung der Punkte zu einer
Arbeit aufgetreten sind� Je besser die Arbeit war� desto einfacher war dieses�
Dagegen m�ussen L�osungen von divergenten Problemen sehr genau analy�
siert werden und selbst dann ist eine eindeutige Zuweisung der Punkte noch
schwierig�
������ Fazit
In den beiden vorangegangenen Abschnitten sind die Ergebnisse der beiden
holistischen Bewertungen aller sechs Probleme zusammengefa t und noch
einmal miteinander verglichen worden� und zwar einerseits hinsichtlich des
Bereichs der Mathematik� dem das jeweilige Problem zugeordnet werden
kann� und andererseits hinsichtlich der bei der L�osung des jeweiligen Prob�
lems involvierten Denkprozesse� Auf der Basis dieser Zusammenfassungen
wird nun versucht� eine Antwort auf den ersten Teil der ersten Forschungsfra�
ge resp� darauf zu �nden� inwieweit das Bewertungsergebnis von schriftlichen
mathematischen Probleml�osungen� das sich bei der Bewertung der Sch�uler�
arbeiten mittels der verwendeten linearen Skala ergeben hat� als zuverl�assig
und vom Bewerter unabh�angig angesehen werden kann�
Es wurde deutlich� da sowohl hinsichtlich des mathematischen Gebiets� dem
das Problem zugeordnet werden kann� als auch hinsichtlich der zur L�osung
des Problems notwendigen Denkprozesse� keine der beiden Bewertungen ten�
denziell durchschnittlich h�ohere Punkte vergeben hat als die andere� Weiter
ist festgestellt worden� da es bei sehr schlechten Arbeiten allgemein schwierig
ist zu entscheiden� ob nur Angaben aus der Problemstellung abgeschrieben
worden sind oder ob es sich doch schon um eine bedeutungslose Bearbei�
tung handelt� Speziell bei kombinatorischen Problemen ist es o�enbar nicht
einfach zu entscheiden� inwieweit das angewendete L�osungsverfahren wirk�
lich geeignet ist� und bei L�osungen� die keine gewisse Systematik erkennen
lassen� k�onnen Schwierigkeiten bei der eindeutigen Zuweisung einer Punkt�
zahl auftreten� Schlie lich hat sich herausgestellt� da die Bewertung der
L�osungen von divergenten Problemstellungen schwieriger ist als die Bewer�
tung der L�osungen von konvergenten Problemen� da ersteren im allgemeinen
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
komplexere Denk� und L�osungsstrukturen zugrunde liegen� Selbst nach ei�
ner intensiven Analyse einer solchen Arbeit ist eine eindeutige Zuweisung
einer bestimmten Punktzahl noch schwierig� Im Hinblick auf diese Resultate
m�ochte ich den ersten Teil der ersten Forschungsfrage nun wie folgt beant�
worten�
Das Bewertungsergebnis� welches die lineare Skala bei der
Bewertung von schriftlichen mathematischen Probleml�osungen
liefert� ist in der Regel sowohl zuverl�assig als auch vom Bewerter
weitgehendst unabh�angig�
F�ur die Praxis bedeutet dieses� Wenn also in der Schule beispielsweise viele
Arbeiten in relativ kurzer Zeit bewertet werden sollen oder wenn die Sch�uler
nur ein Feedback �uber ihre Probleml�osef�ahigkeiten als Ganzes und kein Feed�
back �uber ihre F�ahigkeiten in den einzelnen Phasen des Probleml�osungspro�
zesses erhalten sollen� so ist eine Bewertung der Arbeiten anhand der in die�
ser Arbeit verwendeten linearen Skala im Prinzip m�oglich� Sollen L�osungen
von divergenten Problemstellungen bewertet werden� so m�ussen diese vor der
Zuweisung einer Punktzahl mit gro er Genauigkeit analysiert werden� Ent�
sprechendes gilt unter Umst�anden auch f�ur L�osungen von kombinatorischen
Problemen� Vor einer allgemeinen Anwendung dieser Skala w�are allerdings
eine Zusammenfassung der Kategorien null und eins zu einer einzigen Kate�
gorie sinnvoll� da die zugeh�origen Kriterien f�ur eine allgemeine Verwendung
in der Praxis o�enbar zu eng beieinander liegen�
���� Die Zusammenfassung der Ergebnisse
der beiden analytischen Bewertungen
In Analogie zum Abschnitt ���� werden nun die Ergebnisse des Vergleichs
der beiden analytischen Bewertungen eines jeden Problems zusammengefa t�
Wie bereits dargelegt wurde� wird es bei einer Bewertung von Probleml�osun�
gen durch zwei unterschiedliche Personen nie zu einer v�olligen �Ubereinstim�
mung kommen� Daher wird auch jetzt wieder davon ausgegangen� da Dif�
ferenzen zwischen den beiden Anteilen der Arbeiten bei allen neun Punkt�
zahlen bis zu ungef�ahr � # durch Bewertungsungenauigkeiten bedingt sind�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG �
Auf eine Ber�ucksichtigung derartiger Di�erenzen wird bei der nachfolgenden
Auswertung verzichtet�� Alle Daten� die dieser Zusammenfassung zugrunde
liegen� sind im Abschnitt G�� des Anhangs tabellarisch dargestellt�
������ Das mathematische Gebiet
Die Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden analytischen Bewertungen
hinsichtlich des mathematischen Gebiets� dem ein Problem zugeordnet wer�
den kann� erfolgt getrennt nach den drei Phasen�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� des Probleml�osungsprozesses� da bei dieser Bewertungsme�
thode f�ur jede einzelne L�osungsphase im Prinzip eine eigenst�andige Bewer�
tung durchgef�uhrt wird�
�������� Die Phase Verstehen
Die einzelnen Punktzahlen
Zun�achst werden die drei kombinatorischen Probleme betrachtet� Ein erster
Vergleich zwischen den Anteilen der den vier einzelnen Punktzahlen zuge�
ordneten Arbeiten zeigt sofort� da es einerseits bei der Punktzahl null gar
keine Di�erenzen mit mehr als � # Abweichung zwischen den beiden Bewer�
tungen gegeben hat� andererseits aber auch� da bei allen drei Problemen
unterschiedlich hohe Di�erenzen bei der Punktzahl drei aufgetreten sind�
Mit ���� # beim Hallo�Problem und mit ���� # beim W�urfel�Problem sind
diese vergleichsweise gering� dagegen ist der Unterschied von ���� # beim
M�uhle�Problem schon recht gro � Desweiteren zeigen sich noch unterschied�
lich auftretende Di�erenzen bei den Punktzahlen eins und zwei� So hat sich
beim Hallo�Problem bei der Punktzahl eins eine Abweichung von ���� #
ergeben und bei der Punktzahl zwei eine Abweichung von ���� #� Wie be�
reits im Abschnitt ����� dargelegt wurde� ging aus einigen Arbeiten o�enbar
nicht eindeutig hervor� ob das Problem weniger oder schon mehr verstanden
worden ist� Beim M�uhle�Problem ist neben der Di�erenz bei der Punktzahl
drei nur noch eine Di�erenz von ����� # bei der Punktzahl zwei aufgetreten�
Bei L�osungen zu diesem Problem konnte anscheinend nicht immer eindeutig
entschieden werden� ob das Problem nur teilweise oder doch vollst�andig ver�
standen worden ist� Beim W�urfel�Problem ist schlie lich noch eine Di�erenz
von ���� # bei der Punktzahl eins aufgetreten� Diese ist genau wie die bei
�Dieser Wert dient auch in diesem Abschnitt nur als ein Richtwert� In Abh�angigkeitvon der Zuweisung der Punkte zu allen Arbeiten eines Problems kann dieser Wert beieinzelnen Problemen gegebenenfalls auch etwas h�oher oder etwas niedriger liegen�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
der Punktzahl drei vergleichsweise gering und wird im folgenden nicht weiter
ber�ucksichtigt�
Eine Gegen�uberstellung der jeweiligen Werte der beiden algebraischen Prob�
leme verdeutlicht� da beim Bonbon�Problem bei allen vier Punktzahlen je�
weils die Di�erenzen zwischen den zusammengeh�orenden Anteilen der beiden
Bewertungen unter � # liegen� beim Tier�Problem gibt es allein Unterschie�
de von ���� # bei der Punktzahl null und von ��� # bei der Punktzahl
eins� Im Prinzip kann man sagen� da es bei algebraischen Problemen prak�
tisch eindeutig festzulegen war� inwieweit ein Sch�uler das zu bearbeitende
Problem verstanden hatte� Als einziges geometrisches Problem unterscheidet
sich das Quadrate�Problem deutlich von den anderen f�unf Problemen� Bei
jeder der vier Punktzahlen treten Di�erenzen zwischen den beiden Werten
auf ��P� ��� #� �P� ����� #� �P� ����� #� �P� ����� #�� Wie allerdings
bereits im Abschnitt ������ vermutet worden ist� beruhen diese Di�erenzen
wohl nicht auf dem mathematischen Gebiet des Problems sondern eher auf
dem Umfang der gesuchten L�osung�
Man kann zusammenfassend sagen� da es immer schwierig sein kann zu
entscheiden� ob das Problem v�ollig mi verstanden worden ist oder ob nur
unwesentliche Teile des Problems verstanden wurden� Bei kombinatorischen
Problemen ist es m�oglicherweise �uberhaupt kompliziert festzulegen� inwieweit
das Problem letztendlich verstanden worden ist�
Die Mittelwerte
Wenn man abschlie end noch die Di�erenzen zwischen den beiden zu jedem
Problem berechneten Mittelwerten aller Problemstellungen miteinander ver�
gleicht� so zeigt sich� da die hierbei aufgetretenen Unterschiede bei den bei�
den Bewertungen � mit Ausnahme des Quadrate�Problems � zwischen ����
und ���� Punkten liegen und damit recht gering sind� Bei dem einzigen geo�
metrischen Problem� also dem Quadrate�Problem� betr�agt die Di�erenz zwi�
schen den beiden Mittelwerten dagegen ���� Punkte� Bei den drei kombinato�
rischen Problemen liegt der Mittelwert der Bewertung B beim Hallo�Problem
�uber dem der Bewertung A� beim M�uhle�Problem und beim W�urfel�Problem
ist es genau umgekehrt� Bei den beiden algebraischen Problemen ist je einmal
der Mittelwert der Bewertung A und je einmal der Mittelwert der Bewertung
B der h�ohere�
Es kann also festgehalten werden� da keine der beiden Bewertungen hinsicht�
lich des mathematischen Gebiets des Problems tendenziell h�ohere Punkte
vergibt�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
�������� Die Phase L�osen
Die einzelnen Punktzahlen
Das Hallo�Problem als eines der drei kombinatorischen Probleme zeigt bei
keiner Punktzahl Abweichungen zwischen den Werten der beiden Bewertun�
gen von mehr als � #� Beim W�urfel�Problem dagegen sind Abweichungen bei
den Punktzahlen null ����� #�� eins ������ #� und zwei ������ #� aufgetre�
ten und beim M�uhle�Problem sogar bei allen vier Punktzahlen ��P� ��� #�
�P� ���� #� �P� ����� #� �P� ��� #�� M�ogliche Gr�unde f�ur die festge�
stellen Di�erenzen beim W�urfel�Problem sind bereits im Abschnitt ������
diskutiert worden� Als bei der Bewertung problematisch erwiesen haben sich
solche Arbeiten� die keine gewisse Systematik in der Aufzeichnung der ande�
ren W�urfelkombinationen erkennen lie en� Dagegen konnten f�ur die Abwei�
chungen zwischen den entsprechenden Anteilen beim M�uhle�Problem kon�
kret keine Ursachen angegeben werden �vgl� hierzu Abschnitt �������� Bei
den beiden algebraischen Problemen zeigen sich vollkommen unterschiedlich
auftretende Abweichungen zwischen den beiden Werten bei den vier einzel�
nen Punktzahlen� Beim Bonbon�Problem liegen bei allen vier Punktzahlen
Unterschiede zwischen den jeweiligen Anteilen der beiden Bewertungen vor
��P� ���� #� �P� ���� #� �P� ��� #� �P� ��� #�� beim Tier�Problem tritt al�
lein ein sehr geringer Unterschied von ���� # bei der Punktzahl zwei auf� der
nachfolgend auch nicht weiter ber�ucksichtigt wird� Das einzige geometrische
Problem schlie lich zeigt gar keine Unterschiede zwischen den zusammenge�
h�orenden Anteilen von mehr als � #�
F�ur die festgestellten Di�erenzen bei der Phase�L�osen� l�a t sich festhalten�
da man direkt keine Gesetzm�a igkeiten f�ur deren Auftreten hinsichtlich des
mathematischen Gebiets des Problems feststellen kann�
Die Mittelwerte
Auch die einzelnen Mittelwerte zeigen� da keine der beiden Bewertungen bei
einer speziellen Problemklasse der Tendenz nach h�ohere Punkte vergibt als
die andere� Alle Di�erenzen zwischen den beiden f�ur diese Phase berechne�
ten Mittelwerten eines jeden Problems liegen jeweils zwischen ���� und ����
Punkten� Bei den kombinatorischen Problemen ist der Mittelwert der Be�
wertung A beim W�urfel�Problem h�oher als der der Bewertung B und beim
Hallo�Problem sowie beim M�uhle�Problem ist dieser jeweils der niedrigere�
Bei den algebraischen Problemen ist jeweils einmal der Mittelwert jeder der
beiden Bewertungen der h�ohere� Beim geometrischen Problem sind die beiden
Mittelwerte mit einer Di�erenz von nur ���� Punkten im Prinzip identisch�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
�������� Die Phase Beantworten
Grunds�atzlich m�ussen zwei Aspekte bei der Vergabe der Punkte f�ur diese
Phase ber�ucksichtigt werden� die zu Di�erenzen zwischen den entsprechen�
den Anteilen der beiden Bewertungen f�uhren k�onnen� So ist zum einen die
Punktzahl� die einer Arbeit mit einer falschen Antwort f�ur die Phase�Be�
antworten� zugewiesen wird� auch davon abh�angig� wie diese Arbeit f�ur die
Phase�L�osen� bewertet worden ist� Arbeiten mit einer falschen Antwort� bei
denen festgestellt worden ist� da das angewendete L�osungsverfahren v�ollig
ungeeignet oder nur teilweise richtig ist � sie haben also f�ur die Phase�L�osen�
null Punkte oder einen Punkt erhalten � k�onnen f�ur die Phase�Beantwor�
ten� nur null Punkte erhalten� Dagegen erhalten Arbeiten� die ein geeignetes
L�osungsverfahren gezeigt haben � sie haben somit zwei oder drei Punkte f�ur
die Phase�L�osen� erhalten � bei einer falschen Antwort einen Punkt� Un�
terschiedliche Au�assungen �uber die Richtigkeit des L�osungsverfahrens bei
verschiedenen Bewertungen bewirken also gegebenenfalls auch unterschiedli�
che Punktzahlen in der Phase�Beantworten��
Auf der anderen Seite k�onnen aber auch subjektive Au�assungen eines Be�
wertenden �uber das geforderte Aussehen bzw� �uber den geforderten Umfang
der L�osung die Vergabe der Punkte f�ur die Phase�Beantworten� beein�us�
sen� Wird bei einer L�osung eines z�B� nicht sehr komplexen� algebraischen
Problems der gesuchte Wert auf algorithmischem Weg berechnet� das gefun�
dene Ergebnis dann unterstrichen und kein zus�atzlicher Antwortsatz mehr
formuliert� so kann dieses bei einer Bewertung m�oglicherweise schon als aus�
reichende Antwort aufgefa t werden� Bei einer anderen Bewertung dagegen
k�onnte dieses aber auch als ein Fehlen der Antwort interpretiert werden� weil
die Arbeit ja konkret keine explizit formulierte Antwort aufweist�
Die einzelnen Punktzahlen
Betrachtet man zuerst wieder die drei kombinatorischen Probleme� so f�allt
auf� da beim Hallo�Problem � genau wie auch schon in der Phase�L�osen� �
keine Di�erenzen von mehr als � # aufgetreten sind� Beim W�urfel�Problem
zeigen sich dagegen Unterschiede bei den Punktzahlen null ����� #� und
eins �� #� und beim M�uhle�Problem sogar bei allen drei Punktzahlen
��P� ���� #� �P� ���� #� �P� ���� #�� Auch bei den beiden algebraischen
Problemen sind die festgestellten Unterschiede zwischen den Anteilen ver�
schieden aufgetreten� So weist das Bonbon�Problem� welches in der Phase
�Verstehen� keine Di�erenzen �uber � # gezeigt hatte� in dieser Phase Unter�
schiede bei den Punktzahlen null ���� #� und zwei ����� #� auf� das Tier�
Problem dagegen bei den Punktzahlen null ��� #� und eins ����� #�� Das
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
Quadrate�Problem� also das einzige geometrische Problem der empirischen
Untersuchung� mu bei dieser Zusammenfassung klar hervorgehoben werden�
Es zeigen sich bei den Punktzahlen null und eins Di�erenzen von ����� #
bzw� von ����� #� die damit deutlich �uber allen festgestellten Di�erenzen der
anderen f�unf Probleme liegen� Es mu an dieser Stelle noch einmal darauf
hingewiesen werden� da bei der Phase�L�osen� des Quadrate�Problems gar
keine Di�erenzen �uber � # aufgetreten sind� d�h� bei beiden Bewertungen ist
die Beurteilung �uber das angewendete L�osungsverfahren bei allen Arbeiten
praktisch gleich erfolgt� Diese Unterschiede sind aber vermutlich nicht be�
dingt durch das mathematische Gebiet dieses Problems� Vielmehr beruhen
sie wohl auf der geforderten zweiteiligen Antwort und den unterschiedlichen
Au�assungen der beiden Bewerter �uber deren Vollst�andigkeit bzw� Richtig�
keit�
Auch in dieser Phase lassen sich keine Regelm�a igkeiten bei den aufgetrete�
nen Di�erenzen in Bezug auf das mathematische Gebiet des Problems erken�
nen�
Die Mittelwerte
Wenn man abschlie end noch die Abweichungen zwischen den Mittelwerten
der beiden Bewertungen f�ur jedes Problem miteinander vergleicht� so zeigen
sich bei den drei kombinatorischen Problemen Unterschiede zwischen ����
und ���� Punkten und bei den beiden algebraischen Problemen von ���� bzw�
von ���� Punkten� Bei beiden Problemtypen liegt nicht stets der Mittelwert
der einen Bewertung �uber dem der anderen� Bei dem einzigen geometrischen
Problem liegt ein Unterschied von ���� Punkten vor� Im Prinzip vergibt also
wieder keine der beiden Bewertungen generell wirklich h�ohere Punkte�
������ Die ben�otigten Denkprozesse
In diesem Unterabschnitt werden die bei den Phasen�Verstehen��
�L�osen�
und�Beantworten� festgestellten Di�erenzen noch einmal hinsichtlich der zur
L�osung des Problems ben�otigten Denkprozesse zusammengefa t und Unter�
schiede oder �Ubereinstimmungen in ihrem Auftreten f�ur die Theoriebildung
des n�achsten Abschnitts herausgearbeitet�
�Wie bereits im letzten Abschnitt erl�autert wurde� wird auch jetzt auf eine erneuteDiskussion der Werte verzichtet� Es werden nur die beobachteten �Ubereinstimmungenund Abweichungen im Auftreten zwischen den Unterschieden sowie m�ogliche Gr�unde daf�urdargelegt�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
�������� Die Phase Verstehen
Die einzelnen Punktzahlen
Im Prinzip zeigen die Unterschiede zwischen den Anteilen bei den Punktzah�
len null bis drei weder bei den konvergenten Problemen �H�P� B�P� T�P� Q�P�
noch bei den divergenten Problemen �M�P� W�P� eine gewisse Regelm�a igkeit
hinsichtlich ihres Auftretens�
Die Mittelwerte
Die Di�erenzen zwischen den beiden Mittelwerten eines jeden Problems lie�
gen bei den vier konvergenten Problemen zwischen ���� Punkten �Bonbon�
Problem� und ���� Punkten �Quadrate�Problem�� Zweimal ist der Mittelwert
der Bewertung A der h�ohere und zweimal ist es genau umgekehrt� Bei den
divergenten Problemen liegen die Di�erenzen bei ���� bzw� ���� Punkten�
in beiden F�allen liegt der Mittelwert der Bewertung A etwas h�oher� Dieses
ist allerdings aufgrund der vergleichsweise geringen Abweichungen in diesem
Fall nicht wirklich entscheidend�
�������� Die Phase L�osen
Die einzelnen Punktzahlen
Die tabellarische Darstellung der aufgetretenen Di�erenzen bei den einzel�
nen Punktzahlen im Abschnitt G�� des Anhangs verdeutlicht die vorhande�
nen Unterschiede zwischen den vier konvergenten und den zwei divergenten
Problemen� Bei zwei konvergenten Problemen� n�amlich dem Hallo�Problem
und dem Quadrate�Problem� zeigen sich gar keine Di�erenzen von �uber � #
f�ur die Phase�L�osen�� Das Tier�Problem weist allein bei der Punktzahl zwei
einen nur minimalen Unterschied von ���� # auf� Eine Ausnahme bildet das
Bonbon�Problem� Allerdings sind die aufgetretenen Unterschiede nicht sehr
hoch und sie heben sich� wie bereits im Abschnitt ���� erl�autert� jeweils
auf� wenn man einerseits die Anteile der Arbeiten mit den Punktzahlen null
und eins in der Summe berachtet und andererseits die Anteile der Arbeiten
mit den Punktzahlen zwei und drei� Die aufgetretenen Unterschiede bei der
Punktzahl drei k�onnen dabei theoretisch allein auf Fehlern in den Bewertun�
gen beruhen� Dagegen zeigen sich bei beiden divergenten Problemen deutliche
Unterschiede zwischen den beiden Bewertungen� Die Di�erenzen liegen beim
W�urfel�Problem in einer Gr�o enordnung zwischen ���� # und ����� # bei
den Punktzahlen null� eins und zwei� dagegen beim M�uhle�Problem sogar bei
allen vier Punktzahlen in einer Gr�o enordnung zwischen ��� # und ���� #�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
Insgesamt legt dieses die Vermutung nahe� da bei divergenten Problemstel�
lungen die Bewertung einer Arbeit f�ur die Phase�L�osen� kompliziert sein
kann und da die Vergabe einer entsprechenden Punktzahl unter Umst�anden
nicht eindeutig m�oglich ist� Dieses gilt insbesondere f�ur solche Arbeiten� die
kein richtiges L�osungsverfahren im eigentlichen Sinne zeigen oder bei denen
das angewendete L�osungsverfahren nicht wirklich zu verstehen ist� Bei kon�
vergenten Problemen tritt diese Schwierigkeit dagegen im allgemeinen nicht
auf�
Die Mittelwerte
Die Feststellungen des vorangegangenen Unterabschnitts hinsichtlich der Dif�
ferenzen zwischen den zusammengeh�orenden Mittelwerten der beiden Bewer�
tungen gelten entsprechend im Prinzip auch hier� Keine der beiden Bewer�
tungen vergibt tendenziell wirklich h�ohere Punkte f�ur die Phase�L�osen� im
Hinblick auf die zur L�osung ben�otigten Denkprozesse�
�������� Die Phase Beantworten
Die einzelnen Punktzahlen
Zum Abschlu der Zusammenfassung der Ergebnisse der beiden analytischen
Bewertungen hinsichtlich der zur L�osung des Problems notwendigen Denk�
prozesse l�a t sich f�ur die Phase�Beantworten� festhalten� da die Di�eren�
zen zwischen den entsprechenden Anteilen der Arbeiten bei den Punktzahlen
null� eins und zwei weder bei den konvergenten Problemen noch bei den diver�
genten Problemen eine Regelm�a igkeit in ihrem Auftreten erkennen lassen�
Herauszustellen ist an dieser Stelle allerdings wieder das Quadrate�Problem�
Obwohl die Arbeiten f�ur die Phase�L�osen� bei beiden Bewertungen prak�
tisch gleich bewertet worden sind� treten bei dieser Phase sehr gro e Di�e�
renzen zwischen den Anteilen der beiden Bewertungen bei den Punktzahlen
null und eins auf� die weder die �ubrigen drei konvergenten noch die beiden
divergenten Probleme zeigen� Ein m�oglicher Grund hierf�ur kann in der un�
terschiedlichen Interpretation des Vorhandenseins einer Antwort liegen �vgl�
hierzu Abschnitt ��������
Die Mittelwerte
Einerseits die Betrachtung aller Mittelwerte der konvergenten und der di�
vergenten Probleme und andererseits die Betrachtung aller sich aus den bei�
den Mittelwerten eines Problems ergebenden Di�erenzen deuten darauf� da
wiederum keine der beiden Bewertungen stets den Arbeiten durchschnittlich
h�ohere Punkte zuweist�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
������ Fazit
Die Zusammenfassungen der Ergebnisse der beiden analytischen Bewertun�
gen in den zwei vorangegangenen Unterabschnitten dienen nun als Grundla�
ge f�ur die Theoriebildung� Es wird in diesem Abschnitt versucht� eine Ant�
wort auf den zweiten Teil der ersten Forschungsfrage resp� darauf zu �nden�
inwieweit das Bewertungsergebnis von schriftlichen mathematischen Prob�
leml�osungen� welches sich bei der Bewertung der Sch�ulerarbeiten mittels der
verwendeten vektoriellen Skala ergeben hat� als zuverl�assig und vom Bewerter
unabh�angig angesehen werden kann�
S�amtliche Ausf�uhrungen dieses Abschnitts haben gezeigt� da weder hin�
sichtlich des mathematischen Gebiets� dem ein Problem zugeordnet werden
kann� noch hinsichtlich der zur L�osung des Problems notwendigen Denk�
prozesse eine der beiden Bewertungen in einer der drei einzelnen Phasen
tendenziell h�ohere Punkte vergibt als die andere� Bei der Phase�Verstehen�
konnten weder mit Blick auf das mathematische Gebiet noch mit Blick auf
die ben�otigten Denkprozesse wirkliche Gesetzm�a igkeiten f�ur das Auftreten
der Di�erenzen festgestellt werden� Allerdings wurde deutlich� da die Ar�
beiten nicht immer ausreichend Informationen dar�uber geben� inwieweit das
Problem letztendlich wirklich verstanden worden ist� dieses gilt jedoch f�ur
algebraische Probleme in der Regel weniger� Eine Unterscheidung zwischen
einem v�olligen Mi verst�andnis und einem teilweisen Verst�andnis des Prob�
lems war ebenfalls kaum m�oglich� Hierdurch kann eine eindeutige Zuweisung
der Punkte f�ur die Phase�Verstehen� schwierig sein� verschiedene Bewerter
k�onnten zu unterschiedlichen Entscheidungen diesbez�uglich gelangen�
Die bei der Phase�L�osen� aufgetretenen Di�erenzen waren nicht vom mathe�
matischen Gebiet des betrachteten Problems abh�angig� Dagegen haben sich
zwischen konvergenten und divergenten Problemen deutliche Unterschiede
gezeigt� Im Prinzip konnte bei konvergenten Problemen� die im allgemeinen
algorithmisch gel�ost werden k�onnen� eindeutig festgelegt werden� inwieweit
das gew�ahlte L�osungsverfahren geeignet und die L�osung selbst korrekt war�
Bei divergenten Problemen war dieses allerdings deutlich komplizierter� Eine
eindeutige Zuweisung einer bestimmten Punktzahl zu einer Arbeit war be�
sonders dann nicht m�oglich� wenn aus der Arbeit das angewendete L�osungs�
verfahren nicht eindeutig zu erkennen oder zu verstehen war� Die Di�erenzen�
die bei der Phase�Beantworten� festgestellt wurden� sind weniger bedingt
durch das mathematische Gebiet des Problems oder durch die zur L�osung
ben�otigten Denkprozesse� Vielmehr sind diese o�enbar begr�undet durch die
schon f�ur die Phase�L�osen� vergebenen Punkte �dieses gilt insbesondere f�ur
Arbeiten mit einer falschen Antwort� oder durch individuelle Au�assungen
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
der Bewertenden dar�uber� wie sie das geforderte Aussehen und den geforder�
ten Umfang einer Antwort festlegen �dieses gilt insbesondere f�ur mehrstu�ge
Probleme��
Vor diesem Hintergrund l�a t sich eine Antwort auf den zweiten Teil der ersten
Forschungsfrage wie folgt formulieren�
Die Zuverl�assigkeit des Bewertungsergebnisses� welches die analy�
tische Skala bei der Bewertung von schriftlichen mathematischen
Probleml�osungen liefert� h�angt einerseits ab von der Art der zur
L�osung des Problems ben�otigten Denkprozesse� andererseits auch
von der Qualit�at der zu bewertenden Arbeit selbst� Aber auch
der Umfang der gesuchten L�osung kann die Zuverl�assigkeit des
Bewertungsergebnisses beein�ussen� Je weniger Aufschlu eine
Arbeit �uber das Verstehen der Problemstellung gibt und je un�
verst�andlicher � aber auch komplexer � der gew�ahlte L�osungsweg
ist� desto mehr k�onnen subjektive Ansichten des Bewertenden
das Bewertungsergebnis beein�ussen�
Hieraus k�onnen sich Folgerungen f�ur den Schulunterricht ergeben� Sollen im
Rahmen der Leistungsmessung beim Probleml�osen der Stand des Lernpro�
zesses eines jeden Sch�ulers in den drei einzelnen L�osungsphasen sowie seine
individuellen St�arken und Schw�achen diesbez�uglich deutlich gemacht werden�
so ist eine Bewertung der Probleml�osungen anhand der verwendeten analyti�
schen Skala im Prinzip m�oglich� Hierzu ist in der Regel allerdings ein gro er
Zeitaufwand erforderlich� eine intensive Analyse jeder Arbeit in Bezug auf
die drei L�osungsphasen ist f�ur ein zuverl�assiges Bewertungsergebnis zwin�
gend notwendig� Dieses gilt insbesondere f�ur divergente Problemstellungen�
die im allgemeinen nicht algorithmisch gel�ost werden k�onnen� Vielmehr gibt
es f�ur die L�osung solcher Probleme normalerweise verschiedene M�oglichkei�
ten� von denen einige L�osungswege dem Bewertenden sehr unverst�andlich er�
scheinen k�onnen� Und dieses gilt ebenfalls f�ur mehrstu�ge Probleme� Obwohl
die analytische Skala theoretisch auch bei diesen Problemtypen angewendet
werden kann� sind doch Schwierigkeiten bei der Zuweisung einer eindeutigen
Punktzahl bei den Phasen�Verstehen� und
�Beantworten� aufgetreten� Im
Verlauf der empirischen Untersuchung hat sich herausgestellt� da eine Un�
terscheidung zwischen einem v�olligen Mi verst�andnis des Problems und dem
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
Verstehen von unwesentlichen Teilen bei Problemstellungen� wie sie im Un�
terricht im Rahmen einer Schulstunde gestellt werden k�onnen� kaum m�oglich
ist� Aus diesem Grund w�are eine Zusammenfassung der Punktkategorien null
und eins der Phase�Verstehen� zu einer einzigen Kategorie einschlie lich ei�
ner geringen Modi�zierung der zugeh�origen Kriterien vor einer praktischen
Verwendung dieser Skala sinnvoll�
���� Die Zusammenfassung der gemittelten
Ergebnisse der beiden Bewertungsme�
thoden
Im letzten Abschnitt dieses Kapitels werden die gemittelten Ergebnisse der
holistischen Bewertung und die gemittelten Ergebnisse der analytischen Be�
wertung sowie die bei jedem Problem gewonnenen Erkenntnisse �uber beste�
hende Zusammenh�ange zwischen den durch die beiden Bewertungsmethoden
vergebenen Punkte zusammengefa t� um so zu einer Theoriebildung hin�
sichtlich der zweiten Forschungsfrage zu gelangen� Im Gegensatz zu den Zu�
sammenfassungen der holistischen bzw� der analytischen Bewertungsergeb�
nisse ist es bei dieser Auswertung nicht m�oglich� bei Punktzahlen� deren Ge�
samtzahlen Di�erenzen aufweisen� zugeh�orige Bewertungskriterien direkt zu
diskutieren� Zwar liegen den gemittelten holistischen Bewertungsergebnissen
Kriterien f�ur jede einzelne Punktzahl durch die holistische Skala zugrunde�
aber die �Gesamt��Punktzahlen der gemittelten analytischen Bewertungser�
gebnisse haben sich jeweils durch Summation der in den drei einzelnen Phasen
erreichten gemittelten Punktzahlen ergeben��
Die Ergebnisse der beiden Bewertungsmethoden werden zun�achst unabh�angig
von den spezi�schen Charakteristiken der Probleme zusammengefa t� Es wer�
den hierbei die festgestellten Ursachen f�ur die bei den einzelnen Punktzahlen
aufgetretenen Di�erenzen� die schon bei den Auswertungen der einzelnen
Probleme angegeben worden sind� noch einmal res�umiert und weitere m�ogli�
che Gr�unde hierf�ur diskutiert� Desweiteren werden die gefundenen Ergebnisse
hinsichtlich der Mittelwerte und hinsichtlich der Korrelationskoe�zienten zu�
sammengefa t� Hieran anschlie end wird untersucht� ob sich Aussagen �uber
eine Gesetzm�a igkeit bez�uglich des Auftretens der festgestellten Di�erenzen
�Jede Gesamtpunktzahl beruht somit auf jeweils drei verschiedenen analytischen Krite�rien� Diese Kriterien k�onnen bei den Auswertungen nicht in jedem Fall diskutiert werden�da Arbeiten mit gleicher Gesamtpunktzahl f�ur die einzelnen Phasen v�ollig unterschiedlicheTeilpunkte erreichten haben k�onnen und daher gleiche Gesamtpunktzahlen auch auf v�olligunterschiedlichen Kriterien beruhen k�onnen�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
im Hinblick auf das mathematische Gebiet des Problems oder im Hinblick
auf die zur L�osung des Problems ben�otigten Denkprozesse tre�en lassen� Alle
Daten� die im Rahmen dieser Zusammenfassung diskutiert werden� sind im
Abschnitt G�� des Anhangs tabellarisch dargestellt� Die zweite hier aufgef�uhr�
te Tabelle enth�alt dabei nur diejenigen Werte� bei denen die Abweichungen
zwischen den entsprechenden Werten der beiden Bewertungsmethoden gr�o er
oder gleich einem Richtwert von ��� # sind�
������ Eine Zusammenfassung ohne Ber�ucksichtigung
der spezi�schen Problemcharakteristiken
In diesem Unterabschnitt werden die Ergebnisse der beiden Bewertungsme�
thoden unabh�angig von den individuellen Eigenschaften der Probleme zu�
sammengefa t� Die festgestellten Unterschiede zwischen den beiden Bewer�
tungsergebnissen werden diskutiert und alle bereits berechneten Korrelati�
onskoe�zienten noch einmal im Zusammenhang miteinander verglichen� Die
hierf�ur ben�otigten Daten sind im Abschnitt G�� des Anhangs dargestellt�
�������� Die Bewertungsergebnisse
Bei einer ersten globalen Betrachtung der Daten im Abschnitt G�� des An�
hangs f�allt auf� da sich bei allen Problemen nur bei relativ wenigen Punkt�
zahlen deutliche Di�erenzen zwischen den durch die beiden Bewertungsme�
thoden vergebenen Punktzahlen ergeben haben� im allgemeinen sind die auf�
getretenen Abweichungen � bis auf die beiden Ausnahmen beim Quadrate�
Problem mit zweimal je �uber �� # � nicht sehr hoch� Dar�uber hinaus lassen
sie eine gewisse Regelm�a igkeit in ihrem Auftreten erkennen�� Diese Unter�
schiede werden im folgenden genauer untersucht�
Die Punktzahlen null und eins
Bei allen sechs Problemen liegt der Anteil der Arbeiten mit null Punkten
bei der analytischen Bewertung �uber dem der holistischen Bewertung� Bei
der Punktzahl eins ist dieses dagegen genau umgekehrt� Diese Unterschiede
k�onnen direkt durch die Kriterien der beiden Wertungsskalen begr�undet wer�
den Bei der holistischen Bewertung erhalten Arbeiten nur dann null Punkte�
wenn sie gar keine Bearbeitung oder nur aus der Problemstellung abgeschrie�
bene Daten zeigen oder wenn sie nur eine falsche Anwort und keine weitere
�Dieses gilt vor allem f�ur die Punktzahlen� bei denen sich Di�erenzen in einer Gr�o�en�ordnung von �� � und mehr ergeben haben�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
Bearbeitung aufweisen� Dagegen wird einer Arbeit schon f�ur eine bedeutungs�
lose Bearbeitung ein Punkt bei dieser Bewertungsmethode zugewiesen� Wird
nun eine Arbeit� die eine solche bedeutungslose Bearbeitung zeigt� mittels der
analytischen Methode bewertet� so erh�alt diese im allgemeinen die Punkte
�!�!� �Phase�Verstehen�� Das Problem wurde v�ollig mi verstanden bzw�
es ist nicht zu erkennen� ob das Problem verstanden worden ist� ! Phase
�L�osen�� Die L�osung fehlt oder ist v�ollig falsch� ! Phase
�Beantworten�� Die
Antwort fehlt��� woraus sich eine Gesamtsumme von null Punkten ergibt� Es
sei noch einmal an die Ergebnisse des Abschnitts ������ erinnert� Hier wurde
dargelegt� warum es bei dieser holistischen Skala sinnvoll ist� aus den Kate�
gorien null und eins vor einer allgemeinen Verwendung eine einzige Kategorie
zu bilden� Insgesamt kann man also sagen� da die bei den Punktzahlen null
und eins aufgetretenen Unterschiede wohl durch die Eigenschaften der Wer�
tungsskalen bedingt sind und nicht durch bestimmte Charakteristiken der
Probleme�
Die Punktzahlen zwei und drei
Die Abweichungen� die sich bei den Punktzahlen zwei und drei ergeben ha�
ben� sind sehr gering� Mit ���� # weist die Punktzahl zwei des Quadrate�
Problems bereits die h�ochste Di�erenz auf� die �ubrigen Unterschiede liegen
bei einer Gr�o enordnung von etwas �uber � # bzw� um � #� Im Prinzip
kann man sagen� da in diesem Bereich die Punkte durch die beiden Be�
wertungsmethoden fast gleich vergeben worden sind� Es l�a t sich auch nicht
de�nitiv sagen� da eine Bewertung immer zur Vergabe der niedrigeren oder
der h�oheren Punktzahl neigt� Festzuhalten bleibt allerdings� da bei f�unf der
sechs Probleme der Anteil der Arbeiten mit drei Punkten bei der holisti�
schen Bewertung h�oher ist als der bei der analytischen Bewertung� nur beim
Bonbon�Problem ist dieses umgekehrt�
Die Punktzahlen vier und f�unf
Bei den Punktzahlen vier und f�unf zeigen sich beim Quadrate�Problem und
beim Tier�Problem Di�erenzen zwischen den Anteilen� Mit ����� # bei der
Punktzahl vier und mit ����� # bei der Punktzahl f�unf �jeweils beim Qua�
drate�Problem� sind dieses die gr�o ten bei diesem Vergleich aufgetretenen
Di�erenzen �uberhaupt�
Nachfolgend werden die Abweichungen des Quadrate�Problems n�aher analy�
siert �vgl� auch Tabelle ������ Bei der holistischen Bewertung haben � Ar�
beiten vier Punkte und zwei Arbeiten f�unf Punkte erhalten� dagegen waren
es bei der analytischen Bewertung sechs Arbeiten mit vier Punkten und ��
Arbeiten mit f�unf Punkten� Von den � Arbeiten mit vier holistischen Punk�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
Quadrate�Problem
Holistische Bewertung Analytische Bewertung
� Arbeiten mit � Punkten Arbeiten mit � Punkten
� Arbeiten mit � Punkten �� Arbeiten mit � Punkten
� holistische Punkte ��� Arbeiten�
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
�� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
� Arbeit erhielt analytische Punkte
holistische Punkte �� Arbeiten�
� Arbeiten erhielten analytische Punkte
Tabelle ����� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf�Gesamt��Punkten beim Quadrate�Problem
ten haben drei Arbeiten drei analytische Punkte erhalten� zwei Arbeiten vier
analytische Punkte� �� Arbeiten f�unf analytische Punkte und eine Arbeit
sechs analytische Punkte� Die zwei Arbeiten mit f�unf holistischen Punkten
haben beide bei der analytischen Bewertung sechs Punkte erhalten� Eine de�
taillierte Betrachtung der drei einzelnen analytischen Punkte� aus denen die
analytische Gesamtsumme gebildet worden ist� bei speziellen Arbeiten zeigt
den Grund f�ur diese Abweichungen� Von den �� Arbeiten mit f�unf analy�
tischen Punkten hatte eine Arbeit die Einzelpunktzahlen �!�!� und �
Arbeiten hatten die Einzelpunktzahlen �!�!�� Alle �� Arbeiten haben bei
der holistischen Bewertung nur vier Punkte erhalten� Bei allen Arbeiten mit
den analytischen Punktzahlen �!�!� ist die gesuchte Anzahl der Holzst�abe
f�ur zehn Quadrate korrekt ermittelt und angegeben worden� aber bei der Be�
rechnung der ben�otigten H�olzer f�ur ��� Quadrate sind Fehler aufgetreten
und infolge dessen war der hierzu geh�orende Teil der Antwort falsch� Das
Problem wurde also v�ollig verstanden ��P�� das angewendete L�osungsverfah�
ren ist geeignet� aber im Verlauf kommt es zu schweren Fehlern ��P�� die
Antwort ist falsch bzw� unvollst�andig trotz eines angemessenen L�osungsver�
fahrens ��P�� Betrachtet man nun eine derartige Arbeit im Hinblick auf die
lineare Skala� so erf�ullt diese genau die Kriterien f�ur die Punktzahl vier� Ein
Teilziel wird erfolgreich erreicht� dann erfolgt ein Abbruch bzw� eine falsche
Weiterentwicklung� Es l�a t sich daher sagen� da die beim Quadrate�Problem
aufgetretenen Unterschiede dadurch bedingt sind� da� sich die f�ur teilweise
korrekt gel�oste� mehrstu�ge Probleme vergebenen Punkte der beiden Bewer�
tungsmethoden unterscheiden F�ur sich allein betrachtet sind die Kriterien
jeder einzelnen Wertungsskala f�ur derartige Arbeiten in sich jedoch schl�ussig�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
Tier�Problem
Holistische Bewertung Analytische Bewertung
Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten
� Arbeiten mit � Punkten Arbeiten mit � Punkten
� holistische Punkte �� Arbeiten�
Arbeiten erhielten � analytische Punkte
holistische Punkte �� Arbeiten�
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
� Arbeit erhielt analytische Punkte
Tabelle ����� Die Anteile der Arbeiten mit vier und f�unf�Gesamt��Punkten beim Tier�Problem
Auch beim Tier�Problem treten mit ���� # ��P� und ��� # ��P� bei diesen
beiden Punktzahlen Unterschiede auf� die n�aher untersucht werden m�ussen
�vgl� hierzu Tabelle ������ So haben bei der holistischen Bewertung sechs
Arbeiten vier Punkte und vier Arbeiten f�unf Punkte erhalten� Dem stehen
null Arbeiten mit vier Punkten und neun Arbeiten mit f�unf Punkten bei der
analytischen Bewertung gegen�uber� Die sechs Arbeiten� die vier holistische
Punkte erhalten haben� haben s�amtlich f�unf analytische Punkte bekommen�
Von den vier Arbeiten� die f�unf holistische Punkte erhalten haben� haben
drei ebenfalls f�unf analytische Punkte erhalten� eine Arbeit sogar sechs� Die
aufgetretenen Unterschiede sind bedingt durch die Arbeiten mit f�unf analy�
tischen Gesamtpunkten� welche die Einzelpunktzahlen �!�!� haben� Von
diesen sieben Arbeiten hat nur eine Arbeit ebenfalls f�unf holistische Punkte
erreicht�� die �ubrigen sechs Arbeiten entsprechen genau den sechs Arbeiten
mit vier holistischen Punkten� Diese Arbeiten zeigen alle eine Gemeinsam�
keit� Es ist erkannt worden� da eine Anzahl von M�ausen mit vier Beinen und
eine Anzahl von Wellensittichen mit zwei Beinen gesucht waren� Rechnerisch
oder mit Hilfe von Listen sind nun diese beiden Werte so ermittelt worden�
da es insgesamt � Tierbeine� d�h� also die in der Problemstellung vorge�
gebene Anzahl� waren� Allerdings ist bei allen Arbeiten nicht mehr ber�uck�
sichtigt worden� da es insgesamt elf Tiere sein mu ten� Als Antworten sind
bei diesen Arbeiten vorgekommen��zwei Wellensittiche und acht M�ause�
oder�sechs Wellensittiche und sechs M�ause�� Bei der analytischen Bewer�
tung wurden solche Arbeiten wie folgt interpretiert� Das Problem ist teilwei�
se verstanden worden� was eine deutliche Ann�aherung an das Ziel erm�oglicht
�Dieses ist allerdings ein Fehler in der Zuweisung der holistischen Punktzahl� da dieseArbeit genau die gleichen Merkmale � wie die anderen sechs Arbeiten auch � aufweist�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
hat ��P�� das angewendete L�osungsverfahren war geeignet� aber im Verlauf
ist es zu schweren Fehlern gekommen ��P�� die Antwort war falsch trotz ei�
nes angemessenen L�osungsverfahrens ��P�� Bei der holistischen Bewertung
sind f�ur diese Arbeiten vier Punkte vergeben worden� weil gro e Teile des
Problems verstanden worden sind� es aber aufgrund von Mi verst�andnissen
zu einer teilweise falschen L�osung gekommen ist� Man kann davon ausgehen�
da diese Unterschiede weder durch eine spezielle Eigenschaft dieses Prob�
lems begr�undet werden k�onnen noch generell durch die Charakteristiken der
Wertungsskalen Bei dieser einen Problemstellung hat es sich einmal ergeben�
da nur diese speziellen L�osungen unterschiedlich bewertet worden sind�
Eine Abweichung von mehr als ��� # zwischen den Anteilen der beiden Be�
wertungsmethoden bei den Punktzahlen vier und f�unf zeigt sich mit �� #
sonst nur noch beim Bonbon�Problem bei vier Punkten� Bei der Punktzahl
f�unf liegt diese sogar nur bei ���� #� Aufgrund dieser geringen H�ohen wird
auf eine detaillierte Betrachtung verzichtet�
Die Punktzahlen sechs bis acht
Auch bei den Punktzahlen sechs bis acht zeigen sich bei drei Problemen
Di�erenzen� die allerdings alle unter �� # liegen� Trotzdem soll in diesem
Abschnitt noch gepr�uft� inwieweit sich auch hierf�ur m�ogliche Ursachen fest�
stellen lassen� Zun�achst wird das Hallo�Problem betrachtet �vgl� hierzu auch
Tabelle ������
Hallo�Problem
Holistische Bewertung Analytische Bewertung
�� Arbeiten mit Punkten �� Arbeiten mit Punkten
�� Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten
� holistische Punkte ��� Arbeiten�
�� Arbeiten erhielten analytische Punkte
� holistische Punkte ��� Arbeiten�
Arbeiten erhielten analytische Punkte
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
Tabelle ����� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� siebenund acht �Gesamt��Punkten beim Hallo�Problem
Es zeigen sich Unterschiede von ���� # bzw� von ��� # bei den Punktzahlen
sechs und sieben� Bei der holistischen Bewertung haben �� Arbeiten sechs
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
Punkte und zw�olf Arbeiten sieben Punkte erhalten� dem stehen �� Arbei�
ten mit sechs Gesamtpunkten und drei Arbeiten mit sieben Gesamtpunkten
bei der analytischen Bewertung entgegen� Wenn man die Bewertungen aller
einzelnen Arbeiten vergleicht� so zeigt sich� da alle �� Arbeiten mit sechs ho�
listischen Punkten auch sechs analytische Punkte erhalten haben� Von den
zw�olf Arbeiten mit sieben holistischen Punkten haben sechs Arbeiten nur
sechs analytische Punkte erhalten� drei Arbeiten haben ebenfalls sieben ana�
lytische Punkte erhalten und drei Arbeiten sogar acht analytische Punkte�
Von den noch verbleibenden acht Arbeiten mit sechs analytischen Punkten
haben sieben Arbeiten f�unf holistische Punkte erhalten und eine Arbeit hat
vier holistische Punkte erreicht�
�Ahnlich sieht es auch beim M�uhle�Problem und beim W�urfel�Problem aus�
Bei beiden Problemen haben sich Unterschiede zwischen den Werten der
Punkte sechs� sieben und acht ergeben� Bei der holistischen Bewertung des
M�uhle�Problems gibt es neun Arbeiten mit sechs Punkten� acht Arbeiten
mit sieben Punkten und wiederum neun Arbeiten mit acht Punkten� Bei
der analytischen Bewertung haben sich Anteile von �� Arbeiten �P�� zwei
Arbeiten ��P� und �� Arbeiten ��P� ergeben �vgl� hierzu Tabelle ������
M�uhle�Problem
Holistische Bewertung Analytische Bewertung
Arbeiten mit Punkten �� Arbeiten mit Punkten
� Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten
Arbeiten mit � Punkten �� Arbeiten mit � Punkten
� holistische Punkte �� Arbeiten�
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
Arbeiten erhielten analytische Punkte
� Arbeit erhielt � analytische Punkte
� holistische Punkte �� Arbeiten�
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
� holistische Punkte �� Arbeiten�
Arbeiten erhielten � analytische Punkte
Tabelle ����� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� siebenund acht �Gesamt��Punkten beim M�uhle�Problem
Von den neun Arbeiten mit sechs holistischen Punkten haben sechs Arbei�
ten bei der analytischen Bewertung ebenfalls sechs Punkte erhalten� zwei
Arbeiten haben nur f�unf analytische Punkte erhalten und eine Arbeit so�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
gar sieben analytische Punkte� Alle acht Arbeiten mit sieben holistischen
Punkten haben acht analytische Punkte erhalten� ebenso alle neun Arbeiten
mit acht holistischen Punkten� Es verbleiben bei der analytischen Bewertung
noch sieben Arbeiten mit sechs Punkten und eine Arbeit mit sieben Punkten�
Diese Arbeiten haben s�amtlich bei der holistischen Bewertung f�unf Punkte
erhalten�
Beim W�urfel�Problem haben durch die holistische Bewertung �� Arbeiten
sechs Punkte� neun Arbeiten sieben Punkte und � Arbeiten acht Punkte
erhalten� bei der analytischen Bewertung waren es �� Arbeiten mit sechs
Punkten� zwei Arbeiten mit sieben Punkten und �� Arbeiten mit acht Punk�
ten �vgl� hierzu Tabelle ������
W�urfel�Problem
Holistische Bewertung Analytische Bewertung
�� Arbeiten mit Punkten �� Arbeiten mit Punkten
Arbeiten mit � Punkten � Arbeiten mit � Punkten
� Arbeiten mit � Punkten �� Arbeiten mit � Punkten
� holistische Punkte ��� Arbeiten�
� Arbeiten erhielten analytische Punkte
� Arbeiten erhielt � analytische Punkte
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
� holistische Punkte �� Arbeiten�
� Arbeit erhielt analytische Punkte
� Arbeit erhielt � analytische Punkte
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
� holistische Punkte ��� Arbeiten�
� Arbeiten erhielten � analytische Punkte
Tabelle ����� Die Anteile der Arbeiten mit sechs� siebenund acht �Gesamt��Punkten beim W�urfel�Problem
Wenn man auch bei diesem Problem noch einmal beide Bewertungen dieser
Arbeiten einander gegen�uberstellt� wird deutlich� da auch jetzt die Punkte
durch beide Bewertungen weitgehendst gleich vergeben worden sind� Von
den �� Arbeiten mit sechs holistischen Punkten haben � ebenfalls sechs
analytische Punkte erhalten� eine Arbeit hat sieben Punkte bekommen und
vier Arbeiten acht Punkte� Von den neun Arbeiten mit sieben holistischen
Punkten hat nur eine Arbeit ebenfalls sieben analytische Punkte erhalten�
sieben Arbeiten wurden acht analytische Punkte zugewiesen und einer Arbeit
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
nur sechs Punkte� Alle � Arbeiten mit acht holistischen Punkten haben auch
acht analytische Punkte erreicht� Es ergibt sich nun allein eine Di�erenz
bei der Punktzahl sechs der analytischen Bewertung von �� Arbeiten� Diese
Arbeiten haben bei der holistischen Bewertung s�amtlich f�unf Punkte erreicht�
Ein m�oglicher Grund f�ur die aufgetretenen Di�erenzen bei den Punktzah�
len sechs und sieben wird erkennbar� wenn man noch einmal die f�ur die drei
Phasen bei der analytischen Bewertung erreichten Punktzahlen von einzelnen
Arbeiten und die zugeh�origen holistischen Punktzahlen dieser Arbeiten genau
untersucht� Beim Hallo�Problem haben von den �� Arbeiten mit sechs analy�
tischen Gesamtpunkten � Arbeiten die Punktzahlen �!�!� �die holistische
Bewertung dieser Arbeiten� �� mal sechs Punkte� einmal f�unf Punkte�� je eine
Arbeit hat die Punktzahlen �!�!� �bewertet mit vier holistischen Punkten�
bzw� �!�!� �bewertet mit f�unf holistischen Punkten�� zehn Arbeiten haben
die Punktzahlen �!�!� �die holistische Bewertung dieser Arbeiten� f�unf mal
f�unf Punkte� f�unf mal sechs Punkte� und sechs Arbeiten haben die Punktzah�
len �!�!� �bewertet jeweils mit sieben holistischen Punkten�� Ganz anders
sieht es dagegen beim M�uhle�Problem und beim W�urfel�Problem aus� Beim
M�uhle�Problem haben �� Arbeiten sechs analytische Gesamtpunkte erhalten�
diese haben alle die Einzelpunktzahlen �!�!�� Von diesen Arbeiten haben
sechs die holistische Punktzahl sechs und sieben die holistische Punktzahl
f�unf erhalten� Entsprechendes gilt f�ur das W�urfel�Problem� Alle �� Arbei�
ten mit analytischen Gesamtpunkten haben ebenfalls die Einzelpunktzah�
len �!�!�� Von diesen �� Arbeiten haben zw�olf Arbeiten f�unf holistische
Punkte erhalten� � Arbeiten sechs holistische Punkte und eine Arbeit sieben
holistische Punkte�
Die Werte des Hallo�Problems verdeutlichen� da die Unterschiede bei den
Punktzahlen sechs und sieben� sofern sie auftreten� auch durch die Eigenhei�
ten der Wertungsskalen selbst hervorgerufen werden k�onnen Arbeiten� bei
denen das Problem v�ollig verstanden wurde und bei denen ein geeignetes
L�osungsverfahren korrekt angewendet worden ist� bei denen aber allein die
Antwort fehlt� erhalten bei der analytischen Bewertung die Punkte �!�!��
es ergibt sich also eine Gesamtpunktzahl von sechs Punkten� Dagegen erhal�
ten diese Arbeiten aber bei der holistischen Bewertung sieben Punkte� weil
die zuvor beschriebenen Merkmale der Arbeit � mit Ausnahme des Verste�
hens des Problems � genau die Kriterien f�ur die Vergabe von sieben holisti�
schen Punkten sind�
Aus den Werten des M�uhle�Problems und des W�urfel�Problems dagegen geht
hervor� da fast alle Arbeiten mit sieben holistischen Punkten acht analyti�
sche Gesamtpunkte und somit die Einzelpunktzahlen �!�!� erhalten ha�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
ben� Das Kriterium f�ur sieben holistische Punkte ist eindeutig��Das Prob�
lem ist mittels eines geeigneten L�osungsverfahrens korrekt gel�ost worden�
Allerdings ist die Antwort aus nicht ersichtlichen Gr�unden falsch oder fehlt
g�anzlich�� Bei der analytischen Bewertung dieser Arbeiten sind f�ur die Pha�
se�Beantworten� allerdings zwei Punkte vergeben worden� d�h� die Antwort
wurde als vorhanden und v�ollig richtig angesehen� F�ur diese Unterschiede
lassen sich � bis auf Bewertungsfehler � keine triftigen Ursachen angeben�
�������� Die Mittelwerte
Ein Vergleich der beiden zu jedem Problem geh�orenden Mittelwerte zeigt
zun�achst� da bei f�unf Problemen der Mittelwert der analytischen Bewer�
tung etwas h�oher ist als der Wert der holistischen Bewertung� Allein beim
Tier�Problem� bei welchem sich allerdings die kleinste Abweichung �uberhaupt
ergeben hat� ist dieses genau umgekehrt� Beim Hallo�Problem� beim Bonbon�
Problem und beim Tier�Problem liegen die ermittelten Di�erenzen zwischen
����� # und ����� #� d�h� der Unterschied liegt maximal bei ���� # �be�
zogen auf die Maximalpunktzahl acht� und ist damit wirklich verschwin�
dend gering� Dagegen liegen die Abweichungen zwischen den Mittelwerten
beim M�uhle�Problem� beim W�urfel�Problem und beim Quadrate�Problem
mit Werten bis zu ������ #� was im Hinblick auf die maximal erreichbare
Punktzahl acht einem Anteil von ��� # entspricht� erheblich h�oher�
�������� Die Korrelationskoe�zienten
Der Vergleich zwischen den bei der holistischen Bewertung vergebenen Punk�
ten und den bei der analytischen Bewertung vergebenen Gesamtpunkten hat
gezeigt� da � mit Ausnahme des Quadrate�Problems � zwischen den Ergeb�
nissen der beiden Bewertungsmethoden keine wirklich gravierenden Unter�
schiede hinsichtlich der erreichten Punktzahlen aufgetreten sind� Die enge
lineare Abh�angigkeit zwischen den durch die beiden Bewertungsverfahren
einer Arbeit zugewiesenen Punktzahlen zeigen auch die f�ur jedes Problem
ermittelten drei Korrelationskoe�zienten� In den Tabellen im Abschnitt G��
des Anhangs sind diese Werte noch einmal festgehalten�
Die Werte der Korrelationskoe�zienten aus den f�ur die Phase�Verstehen�
bei der analytischen Bewertung erreichten Punkten aller Arbeiten und aus
den bei der holistischen Bewertung erreichten Punktzahlen dieser Arbei�
ten liegen zwischen rWV � �� ���� �W�urfel�Problem� und rTV � �� ��
�Tier�Problem�� Die Werte der entsprechenden Korrelationskoe�zienten f�ur
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ���
die Phase�L�osen� liegen zwischen rQL � �� ��� �Quadrate�Problem� und
rBL � �� �� �Bonbon�Problem�� F�ur beide Phasen sind die ermittelten
Werte jeweils sehr hoch� Zwischen enorm vielen Punktpaaren �pa� ph� mit paals der Punktzahl� die eine Arbeit f�ur die untersuchte Phase der analytischen
Bewertung erreicht hat� und ph als der Punktzahl� die diese Arbeit bei der ho�
listischen Bewertung erreicht hat� besteht ein linearer Zusammenhang� Etwas
geringer� aber immer noch vergleichsweise hoch� sind die Korrelationskoef�
�zienten f�ur die Phase�Beantworten�� Diese liegen zwischen rHB � �� ����
�Hallo�Problem� und rWB � �� ���� �W�urfel�Problem�� Bei allen sechs Prob�
lemen liegt jeweils der Korrelationskoe�zient f�ur die Phase�Verstehen� unter
dem Koe�zient f�ur die Phase�L�osen��
������ Eine Zusammenfassung mit Ber�ucksichtigung
der spezi�schen Problemcharakteristiken
Im vorangegangenen Unterabschnitt sind die Di�erenzen zwischen den An�
teilen der Arbeiten bei den einzelnen Punktzahlen von beiden Bewertungs�
methoden� die gr�o er oder gleich ��� # waren� ausf�uhrlich dargelegt und
m�ogliche Ursachen f�ur deren Auftreten diskutiert worden� Es soll jetzt noch
einmal kurz darauf eingegangen werden� inwieweit sich f�ur das Auftreten der
festgestellten Abweichungen hinsichtlich des mathematischen Gebiets� dem
das Problem zugeordnet werden kann� oder hinsichtlich der zur L�osung des
Problems ben�otigten Denkprozesse oder hinsichtlich des gesuchten Umfangs
der L�osung Gesetzm�a igkeiten erkennen lassen� Auf eine erneute Diskussion
der genauen Werte wird dabei allerdings verzichtet� Da weiter bereits fest�
gestellt worden ist� da die Di�erenzen bei den Punktzahlen null und eins
von den beiden Bewertungsmethoden resp� von den Kriterien der zugrunde
liegenden Skalen abh�angig sind� werden diese hier nicht mehr ber�ucksichtigt�
�������� Das mathematische Gebiet
Die drei kombinatorischen Probleme zeigen allesamt Abweichungen bei den
Punktzahlen sechs und sieben� zwei davon zus�atzlich noch bei der Punktzahl
acht� Aufgrund der im letzten Unterabschnitt gefundenen Ursachen l�a t sich
sagen� da die Di�erenzen bei den Punktzahlen sechs bis acht nicht unbedingt
durch das mathematische Gebiet des Problems begr�undet sind� Beide alge�
braischen Probleme weisen Abweichungen bei der Punktzahl vier auf� das
Tier�Problem zeigt zus�atzlich noch eine Di�erenz bei der Punktzahl f�unf�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
Auch diese Unterschiede beruhen wahrscheinlich nicht auf dem mathemati�
schen Gebiet des Problems� Gleiches gilt auch f�ur das geometrische Problem
bei den Punktzahlen vier und f�unf� Sowohl jeweils die beiden Mittelwerte
eines jeden Problems als auch die Di�erenzen zwischen diesen beiden Werten
lassen in diesem Fall keine allgemeing�ultigen Aussagen zu�
�������� Die ben�otigten Denkprozesse
Wenn dagegen die zur L�osung ben�otigten Denkprozesse als Charakterisie�
rungsmerkmal dienen� so l�a t sich aufgrund der bei den beiden divergenten
Problemen festgestellten Unterschiede bei den Punktzahlen sechs bis acht sa�
gen� da die beiden Bewertungsverfahren f�ur gute bis sehr gute L�osungen von
divergenten Problemstellungen etwas unterschiedliche Gesamtpunkte verge�
ben� Bei konvergenten Problemen lassen sich keine Gesetzm�a igkeiten hin�
sichtlich des Auftretens der Unterschiede erkennen� Es zeigt sich ferner� da
einerseits die Di�erenz zwischen den beiden Mittelwerten bei divergenten
Problemen im allgemeinen h�oher ist als die bei konvergenten Problemen und
da andererseits bei divergenten Problemen die Mittelwerte der analytischen
Bewertung in der Regel etwas h�oher liegen als die der holistischen Bewertung�
�������� Der gesuchte Umfang der L�osung
Die Di�erenzen bei den Punktzahlen vier und f�unf des Quadrate�Problems
beruhen o�enbar auf dem Umfang der gesuchten L�osung� Zweistu�ge Prob�
leme� bei denen nur einer der beiden geforderten Teile des Problems richtig
gel�ost worden ist� der zweite aber nicht� erhalten durch die beiden Bewer�
tungsmethoden im allgemeinen Gesamtpunkte mit einem Punkt Di�erenz�
Hierdurch bedingt tendiert die analytische Bewertung bei zweistu�gen Prob�
lemen zur Vergabe etwas h�oherer Punkte�
������ Fazit
Auf der Grundlage der Zusammenfassungen der festgestellten Ursachen f�ur
die aufgetretenen Unterschiede zwischen den Anteilen der Arbeiten bei den
einzelnen Punktzahlen von den beiden unterschiedlichen Bewertungsmetho�
den wird in diesem Abschnitt versucht� eine Antwort auf die zweite For�
schungsfrage resp� darauf zu geben� welche Aussagen sich �uber die Konsi�
stenz der vektoriellen Skala und der linearen Skala in Abh�angigkeit von der
Problemstellung machen lassen�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
Zun�achst wurde deutlich� da sich nur bei relativ wenigen Punktzahlen der
einzelnen Probleme �uberhaupt Di�erenzen zwischen den durch die beiden Be�
wertungsmethoden vergebenen Gesamtpunktzahlen ergeben haben� Dar�uber
hinaus waren diese Di�erenzen� bis auf zwei Ausnahmen beim Quadrate�
Problem mit einem Unterschied von jeweils mehr als �� #� auch nicht sehr
hoch� Es ist speziell herausgearbeitet worden� da die aufgetretenen Di�e�
renzen bei den Punktzahlen null und eins � unabh�angig von den Charakte�
ristiken des jeweiligen Problems � allein auf den spezi�schen Kriterien der
beiden Wertungsskalen beruhen� Zu den Di�erenzen bei den Punktzahlen
sechs und sieben ist festgestellt worden� da diese bei solchen Arbeiten� bei
denen ein geeignetes L�osungsverfahren korrekt angewendet� aber keine Ant�
wort formuliert worden ist� ebenfalls im allgemeinen durch die Kriterien der
Wertungsskalen selbst bedingt sind�
Zu den bei den Punktzahlen vier und f�unf aufgetretenen Abweichungen konn�
te allein festgestellt werden� da diese beim zweistu�gen Quadrate�Problem
bei solchen Arbeiten durch die Kriterien der beiden Wertungsskalen be�
gr�undet werden k�onnen� bei denen der erste Teil der Problemstellung korrekt
gel�ost worden ist und der zweite nicht� Bei einstu�gen Problemen konnte kei�
ne Aussage diesbez�uglich getro�en werden� Abschlie end wurde ersichtlich�
da bei divergenten Problemstellungen vermehrt Di�erenzen bei den Punk�
ten sechs bis acht aufgetreten sind� wobei die analytische Bewertung speziell
bei den Punktzahlen sieben und acht tendenziell eher die h�ohere dieser bei�
den Punktzahlen vergibt� Arbeiten mit sieben holistischen Punkten haben
fast immer acht Punkte bei der analytischen Bewertung erhalten� Gr�unde�
mit Ausnahme von Bewertungsfehlern� konnten hierf�ur allerdings nicht an�
gegeben werden�
Die beiden zu jedem der sechs Probleme berechneten Mittelwerte haben ge�
zeigt� da � wenn �uberhaupt � bei der analytischen Bewertung wenig h�ohere
durchschnittliche Gesamtpunktzahlen vergeben werden� Dieses gilt insbeson�
dere f�ur divergente Problemstellungen� Durch die f�ur die drei L�osungsphasen
�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten� eines jeden Problems berechneten
drei Korrelationskoe�zienten wurde deutlich� da bei jedem Problem zwi�
schen allen bei der analytischen Bewertung f�ur die jeweilige Phase erreichten
Punkten und allen bei der holistischen Bewertung erreichten Punktzahlen ei�
ne sehr hohe lineare Abh�angigkeit besteht� Vor diesem Hintergrund l�a t sich
eine Antwort auf die zweite Forschungsfrage wie folgt formulieren�
KAPITEL ��� ZUSAMMENFASSUNG UND THEORIEBILDUNG ��
Die einer Probleml�osung bei der analytischen Bewertung zu�
gewiesenen drei Einzelpunktzahlen und die dieser L�osung bei
der holistischen Bewertung zugewiesene Punktzahl stehen im
allgemeinen jeweils in einem sehr engen linearen Zusammenhang�
Dieses gilt unabh�angig vom mathematischen Gebiet� dem das
Problem zugeordnet werden kann� unabh�angig von den zur
L�osung ben�otigten Denkprozessen und unabh�angig vom Umfang
der gesuchten L�osung� Bei beiden Bewertungsmethoden werden
den einzelnen Arbeiten unabh�angig von den spezi�schen Cha�
rakterisierungsmerkmalen des Problems fast immer die gleichen�
zumindest aber sehr �ahnliche �Gesamt��Punktzahlen zugewiesen�
Dieses zeigt insgesamt die hohe Konsistenz der vektoriellen Skala
und der linearen Skala� unabh�angig von der Art der Problemstel�
lung�
Es mu an dieser Stelle noch einmal herausgestellt werden� da hinter die�
sen beiden Bewertungsmethoden ganz verschiedene Zielsetzungen stehen� Die
Notwendigkeit eines Vergleichs zwischen der durch die analytische Bewer�
tung erreichten Gesamtpunktzahl und der durch die holistische Bewertung
erreichten Punktzahl wird in der Praxis nicht auftreten� Infolge dessen ist
es auch nicht wirklich von gro er Bedeutung� ob eine Bewertungsmethode�
in der Summe betrachtet� einer Arbeit einen Punkt mehr oder weniger zu�
weist� Entscheidend ist vielmehr� da eine Skala in sich schl�ussig ist� da ja
alle Arbeiten� beispielsweise einer Klasse� mit ein und derselben Skala bewer�
tet werden und allein dieses Bewertungsergebnis in sich widerspruchsfrei sein
mu � Im Hinblick auf die gefundene Antwort auf die zweite Forschungsfrage
kann man daher f�ur die Praxis sagen� da es f�ur das Bewertungsergebnis als
solches im Prinzip keinen Unterschied macht� welche Skala man bei der Be�
wertung von Sch�ulerarbeiten ausw�ahlt� Die Entscheidung� welche Skala die
Basis f�ur die Leistungsmessung bilden wird� sollte grunds�atzlich zun�achst auf
dem gew�unschten Zweck bzw� auf dem angestrebten Ziel der Bewertung be�
ruhen� gegebenenfalls dann noch darauf� wieviel Zeit f�ur die Bewertung zur
Verf�ugung steht�
Kapitel ��
Nachwort und Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit ist untersucht worden� inwieweit die analytische
Bewertung anhand einer vektoriellen Skala und die holistische Bewertung
anhand einer linearen Skala f�ur die Leistungsmessung bei schriftlichen ma�
thematischen Probleml�osungen von Sch�ulern angewendet werden k�onnen und
welche Schwierigkeiten bei der praktischen Anwendung dieser Methoden in
Abh�angigkeit von speziellen Eigenschaften der Problemstellung gegebenen�
falls auftreten k�onnen� Es hat sich herausgestellt� da zwischen den vergebe�
nen Punkten der beiden Bewertungsmethoden enge Zusammenh�ange existie�
ren� und zwar sowohl zwischen den f�ur die einzelnen Phasen bei der analyti�
schen Bewertung erreichten Einzelpunktzahlen und der bei der holistischen
Bewertung erreichten Punktzahl� als auch zwischen der aus den drei Einzel�
punktzahlen der analytischen Bewertung gebildeten Gesamtpunktzahl und
der Punktzahl bei der holistischen Bewertung� Es wurde deutlich� da f�ur
eine angemessene Leistungsmessung von schriftlichen mathematischen Prob�
leml�osungen von Sch�ulern prinzipiell beide Methoden gleicherma en verwen�
det werden k�onnen� F�ur die Wahl der Bewertungsmethode sollte vor allem
der Zweck� dem die Leistungsmessung dienen soll� ausschlaggebend sein�
Es wurde aber ebenso ersichtlich� da die Zuverl�assigkeit der Vergabe der
Punkte bei beiden Bewertungsmethoden auch von den spezi�schen Eigen�
schaften des jeweiligen Problems beein�u t werden kann� So erfordert die
Bewertung einer L�osung eines divergenten Problems vor der Zuweisung der
Punktzahl eine �au erst genaue und m�oglicherweise zeitintensive Auseinan�
dersetzung mit der kompletten Arbeit� bei konvergenten Problemstellungen
geht diese Analyse im allgemeinen einfacher und schneller� Auch erfordern
die Bewertung von L�osungen zu kombinatorischen Problemen und die Bewer�
tung von L�osungen zu mehrstu�gen Problemen m�oglicherweise eine erh�ohte
Aufmerksamkeit des Bewertenden�
��
KAPITEL ��� NACHWORT UND AUSBLICK ��
Die Diskussionen in dieser Arbeit haben gezeigt� da ein zeitgem�a er Mathe�
matikunterricht auf Probleml�osen als einen festen Bestandteil nicht mehr
vollends verzichten kann� Diese Forderung wurde in erster Linie gest�utzt
durch gesellschaftliche und motivatorische Gr�unde� aber auch durch weitere
Argumente� wie die Weiterentwicklung des Bildungssystems und des Mathe�
matikunterrichts als ein Teil davon oder wie die Ver�anderung der Vorstellun�
gen �uber die Mathematik und �uber das Bild der �Schul��Mathematik� Die
Hauptaufgabe einer Schule ist unver�andert� Sie mu einen Sch�uler auf das
sp�atere Leben in unserer Gesellschaft vorbereiten� Daher mu eine Schule
einem Sch�uler die F�ahigkeit vermitteln� Dinge eigenst�andig zu erlernen� die
f�ur ihn bisher unbekannt waren� Es wurde o�enkundig� da hierzu allerdings
die Vermittlung von reinem Wissen im Unterricht nicht mehr ausreicht� die
hierf�ur notwendigen Wissensstrukturen m�ussen umfassender und komplexer
sein�
Nach den im Rahmen dieser Arbeit zitierten Richtlinien und Lehrpl�anen f�ur
den Mathematikunterricht an Gesamtschulen und Gymnasien in Nordrhein�
Westfalen in der Sekundarstufe I bzw� in der Sekundarstufe II sollte Prob�
leml�osen bereits heute ein fester Bestandteil des Unterrichts sein� Daher ist
es f�ur jeden Lehrenden zwingend notwendig� sich mit geeigneten Methoden
zur Messung von schriftlichen Leistungen� die im Rahmen des Probleml�osens
erbracht werden� auseinanderzusetzen� Zu diesen z�ahlen insbesondere auch
die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden� O�en bleibt allerdings die Frage�
ob zur Messung der schriftlich erbrachten Leistungen beim Probleml�osen
�uberhaupt die aufgezeigten Methoden angewendet werden m�ussen oder ob
es noch andere Bewertungsm�oglichkeiten gibt� welche einerseits die an eine
angemessene Leistungsmessung gestellten allgemeinen Forderungen erf�ullen�
welche andererseits aber auch den an eine angemessene Leistungsmessung
speziell beim Probleml�osen gestellten Forderungen v�ollig gerecht werden�
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A�� Skala von Charles und Lester�
Phase Points Criteria
Understanding � Completely misinterprets the problem
the problem � Misinterprets part of the problem
� Complete understanding of the problem
Solving � No attempt or a totally inappropriate plan
the problem � Partly correct procedure based on part of the
problem interpreted correctly
� A plan that could lead to a correct solution
with no arithmetic errors
Answering
the problem
� No answer or wrong answer based on an in�
appropriate plan
� Copying error� computational error� partial
answer for a problem with multiple answers�
answer labeled incorrectly
� Correct solution
�Vergleiche hierzu �Charles�Lester���� und �Charles u�a������
ANHANG A� VEKTORIELLE BEWERTUNGSSKALEN ���
A�� Modi�zierte Skala nach Charles und
Lester�
Phase Punkte Kriterien
Verstehen � Das Problem wurde v�ollig mi verstanden�
des Problems � Ein unerheblicher Anteil der Angaben �bzw�
Bedingungen� wurde verstanden� wobei das
Ziel g�anzlich unklar bleibt�
� Ein wichtiger Anteil der Angaben wurde ver�
standen� was eine deutliche Ann�aherung an
das Ziel erm�oglicht�
� Alle wesentlichen Angaben� die zum Errei�
chen des Ziels n�otig sind� wurden verstanden�
� Das Problem wurde in allen Einzelheiten ver�
standen� das Ziel ist deutlich vor Augen�
L�osen
des Problems
� Die L�osung fehlt oder ist v�ollig unangemes�
sen�
� Teile einer richtigen L�osung sind erkennbar�
aber ein L�osungsverfahren fehlt oder es ist
falsch�
� Ein teilweise richtiges L�osungsverfahren l�a t
ein Verst�andnis f�ur ein wichtiges Teilproblem
erkennen�
� Das L�osungsverfahren ist im wesentlichen
richtig� aber es treten periphere Fehler auf
�z�B� nicht erf�ullte Randbedingungen oder
arithmetische Fehler��
� Die L�osung ist bis auf banale Rechen�� Lese�
bzw� Abschreibfehler v�ollig richtig�
Beantworten
des Problems
� Die Antwort fehlt oder ist falsch� weil sie auf
einem unzureichenden �unangemessenen� un�
vollst�andigen� L�osungsverfahren basiert�
� Die Antwort ist trotz eines angemessenen
L�osungsverfahrens falsch bzw� unvollst�andig�
� Die Antwort ist v�ollig richtig�
�Vergleiche hierzu �Charles�Lester�����
ANHANG B� LINEARE BEWERTUNGSSKALEN ���
B�� Skala von Malone�
Points Criteria which the papers have to show
� Noncommencement
The student is unable to begin the problem or hands in
work that is meaningless�
� Approach
The student approaches the problem with meaningful
work� indicating some understanding of the problem� but
an early impasse is reached�
� Substance
Su�cient detail demonstrates that the student has pro�
ceeded toward a rational solution� but major errors or mis�
interpretations obstruct the correct solution process�
� Result
The problem is very nearly solved� minor errors produce
an invalid �nal solution�
� Completion
An appropriate method is applied to yield a valid solution�
�Vergleiche hierzu �Malone u�a��� ��
ANHANG B� LINEARE BEWERTUNGSSKALEN ���
B�� Skala von Woods�
Points Criteria which the paper have to show
� No work shown
� Pertinent facts shown but no procedure
� Pertinent facts shown with inappropriate procedure
Appropriate plan introduced
Some progress� but wrong turn taken
Failure to complete good plan
� Clear an appropriate plan developed
Error in calculation or transcription
Answer incomplete
�� Correct answer
Awareness that answer is reasonable
�Vergleiche hierzu �Szetela�����
ANHANG B� LINEARE BEWERTUNGSSKALEN ��
B�� Skala von Zielinski�
Punkte Beschreibung des Mathematisierungsprozesses
� keine sinnvolle Bearbeitung
� ein unerheblicher Anteil der Angaben ist verstanden� wobei
keine richtigen Teill�osungen erkennbar sind
� unklarer L�osungsversuch ersichtlich� bewu tes Ansprechen
der Aufgabendaten� aber kein erfolgversprechendes Verfah�
ren absehbar
� ein wichtiger Anteil ist verstanden� aber ein L�osungsver�
fahren fehlt oder ist v�ollig unsachgem�a
� ausbauf�ahiger L�osungsversuch erkennbar� jedoch kein
ad�aquates Arbeiten mit den Vorgaben
� wesentliche Teile des Problems sind verstanden� die Prob�
leml�osung ist in Angri� genommen� aber das L�osungsver�
fahren ist teilweise dysfunktional oder nicht sachbezogen
angemessenes L�osungsverfahren ersichtlich� Fortschritte
bei der L�osung� aber falsche Weiterentwicklung oder Ab�
bruch
� das Problem ist in allen Einzelheiten verstanden� das Ver�
fahren ist im wesentlichen richtig� das Ergebnis jedoch ist
nicht zutre�end� da im L�osungsgang grundlegende Fehler
auftreten
� klarer und angemessener L�osungsalgorithmus wird deut�
lich gemacht� aber Rechen� oder �Ubertragungsfehler und
unvollst�andige oder nicht sinnvolle Antwort
das Problem ist bis auf periphere Fehler vollst�andig gel�ost�
eine sinnvolle Antwort ist ersichtlich
�� korrekte L�osung mit richtiger Antwort
�Diese Skala entstand durch Verfeinerung der Skala vonWoods� vgl� �Zielinski���� S� ����
ANHANG B� LINEARE BEWERTUNGSSKALEN ���
B�� Skala von Charles und Lester�
Points Characteristics which the papers have to show�
� They are blank�
The data in the problem may be simply recopied� but
nothing is done with the data or there is work but no ap�
parent understanding of the problem�
There is an incorrect answer and no other work is shown�
� There is a start toward �nding the solution beyond just
copying data that re�ects some understanding� but the ap�
proach used would not have led to a correct solution�
An inappropriate strategy is started but not carried out�
and there is no evidence that the student turned to another
strategy� It appears that the student tried one approach
that did not work and then gave up�
The student tried to reach a subgoal but never did�
� The student used an inappropriate strategy and got an
incorrect answer� but the work showed some understanding
of the problem�
An appropriate strategy was used� but !
a� it was not carried out far enough to reach a solution
�e�g�� there were only � entries in an organized list��
b� it was implemented incorrectly and thus led to no
answer or an incorrect answer�
The student successfully reached a subgoal� but went no
further�
The correct answer ist shown� but !
a� the work is not understandable�
b� no work is shown�
Fortsetzung auf der n�achsten Seite
�Vergleiche hierzu �Charles u�a����� S� ���
ANHANG B� LINEARE BEWERTUNGSSKALEN ���
Fortsetzung der vorherigen Seite
�� The student has implemented a solution strategy that
could have led to the correct solution� but he or she mis�
understood part of the problem or ignored a condition in
the problem�
Appropriate solution strategies were properly applied�
but !
a� the student answered the problem incorrectly for no
apparent reason�
b� the correct numerical part of the answer was given
and the answer was not labeled or was labeled incor�
reclty�
c� no answer is given�
The correct answer is given� and there is some evidence that
appropriate solution strategies were selected� However� the
implementation of the strategies is not completely clear�
�� The student made an error in carrying out an appropria�
te solution strategy� However� this error does not re�ect
misunderstanding of either the problem or how to imple�
ment the strategy� but rather it seems to be a copying or
computational error�
Appropriate strategies were selected and implemented� The
correct answer was given in terms of the data in the prob�
lem�
�Zum Erreichen einer Punktzahl mu� die Arbeit eines der hierzu angegebenen Kriterienerf�ullen�
ANHANG C� DIE SKALEN DER UNTERSUCHUNG ���
C�� Die vektorielle Skala
Phase bzw� Punkte Kriterien�
Kategorie welche die Arbeit aufweisen mu��
�A� Verstehen
des Problems
� Das Problem wurde v�ollig mi verstan�
den�
Es ist nicht zu erkennen� ob das Prob�
lem verstanden wurde� weil es lediglich
eine falsche Antwort gibt�
� Nur unwesentliche Teile des Problems
wurden verstanden� das Ziel bleibt un�
klar�
Es ist nicht zu erkennen� ob das Prob�
lem verstanden wurde �z�B� v�ollig un�
verst�andliche L�osung oder nur eine
richtige Antwort ohne eine Bearbei�
tung��
� �Wichtige� Teile des Problems wurden
verstanden oder richtig interpretiert� ei�
ne deutliche Ann�aherung an das Ziel ist
m�oglich�
� Das Problem wurde v�ollig verstanden�
Fortsetzung auf der n�achsten Seite
�Sind einer Punktzahl verschiedene Kriterien zugeordnet� so mu� die Arbeit zum Er�reichen dieser Punktzahl selbstverst�andlich nur eines dieser Kriterien aufweisen�
ANHANG C� DIE SKALEN DER UNTERSUCHUNG ���
Fortsetzung der vorherigen Seite
�B� L�osen � Die L�osung fehlt�
des Problems Die L�osung ist v�ollig falsch�
Das verwendete L�osungsverfahren ist
v�ollig ungeeignet�
� Ein teilweise richtiges L�osungsverfah�
ren ist angewendet worden �z�B� weil
nur Teile des Problems richtig verstan�
den worden sind��
Das angewendete L�osungsverfahren ist
im Prinzip geeignet� aber im Verlauf
der L�osung kommt es zu schweren Feh�
lern�
Die L�osung ist nicht zu verstehen�
� Trotz eines geeigneten L�osungsverfah�
rens hat die L�osung kleine Fehler
�z�B� arithmetische Fehler oder �Uber�
tragungsfehler��
Trotz eines geeigneten L�osungsverfah�
rens ist die L�osung nicht vollst�andig
�z�B� bei mehrstu�gen Problemen��
Trotz eines geeigneten L�osungsverfah�
rens kommt es zum Abbruch�
� Das angewendete L�osungsverfahren ist
geeignet� die L�osung ist v�ollig richtig�
�C� Beant� � Die Antwort fehlt�
worten
des Problems
Es gibt ausschlie lich eine falsche Ant�
wort�
Die Antwort ist falsch bzw� unvoll�
st�andig� da sie auf einem �teilweise� un�
geeigneten L�osungsverfahren beruht�
� Die Antwort ist trotz eines angemesse�
nen L�osungsverfahrens falsch oder un�
vollst�andig �z�B� durch Rechen� oder�Ubertragungsfehler��
� Die Antwort ist v�ollig richtig�
ANHANG C� DIE SKALEN DER UNTERSUCHUNG ���
C�� Die lineare Skala
Dach� Punkte � Kriterien�
kategorie Kategorie welche die Arbeit aufweisen mu��
I � Das Problem wurde nicht bearbeitet�
Es sind lediglich Angaben aus der Prob�
lemstellung abgeschrieben worden� jedoch
wurde hiermit keine sinnvolle Bearbeitung
durchgef�uhrt�
Es gibt lediglich eine falsche Antwort und
sonst keinerlei Bearbeitungen�
� Es gibt eine gewisse �bedeutungslose�
Bearbeitung� aber es ist kein echtes
Verst�andnis f�ur das Problem zu erkennen�
� Es gibt einen unklaren L�osungsver�
such durch bewu tes Ansprechen �z�B��Ubertragung� der Angaben� welcher auf
ein gewisses Verst�andnis hindeutet� Ein
L�osungsverfahren wird nicht angewendet�
Es wird erfolglos versucht� ein Teilziel zu
erreichen�
Es gibt lediglich eine korrekte Antwort f�ur
ein Teilproblem oder eine im Prinzip rich�
tige� aber nicht vollst�andige Antwort �z�B�
bei mehrstu�gen Problemen��
II � Die Arbeit zeigt ein gewisses Verst�andnis
f�ur das Problem�
� die Anwendung eines �teilweise�
falschen L�osungsverfahrens f�uhrt zu
einem falschen Ergebnis oder
� die L�osung des Problems wird in
Angri� genommen� aber im Verlauf
kommt es zu schweren Fehlern�
Es gibt bis auf eine korrekte Antwort keine
weitere Bearbeitung�
Fortsetzung auf der n�achsten Seite
�Sind einer Punktzahl verschiedene Kriterien zugeordnet� so mu� die Arbeit zum Er�reichen dieser Punktzahl selbstverst�andlich nur eines dieser Kriterien aufweisen�
ANHANG C� DIE SKALEN DER UNTERSUCHUNG ��
Fortsetzung der vorherigen Seite
� Gro e Teile des Problems wurden ver�
standen� Die L�osung des Problems ist
in Angri� genommen worden� Aber das
L�osungsverfahren ist teilweise nicht geeig�
net bzw� aufgrund von Mi verst�andnis�
sen kommt es zu einer teilweise falschen
L�osung�
Ein Teilziel wird erfolgreich erreicht� aber
dann erfolgt ein Abbruch bzw� eine falsche
Weiterentwicklung�
Die Antwort ist korrekt� aber die Bearbei�
tung ist nicht zu verstehen�
� Das angewendete L�osungsverfahren ist an�
gemessen und deutet auf ein Verst�andnis
des Problems� Im Verlauf der Bearbeitung
� erfolgt ein Abbruch oder
� kommt es zu einer falschen Weiter�
entwicklung und infolge dessen zu
einer falschen oder keiner Antwort
oder
� kommt es zu einer falschen Weiter�
entwicklung� aber trotzdem ist die
Antwort korrekt�
III Das gew�ahlte L�osungsverfahren ist geeig�
net� Kleine Fehler �z�B� �Ubertragungs�
oder Rechenfehler� f�uhren zu einer
falschen oder unvollst�andigen Antwort�
Trotz kleiner Fehler in der L�osung ist die
Antwort richtig�
� Das Problem ist mittels eines geeig�
neten L�osungsverfahrens korrekt gel�ost
worden� Allerdings ist die Antwort aus
nicht erkennbaren Gr�unden falsch� nicht
vollst�andig oder fehlt g�anzlich�
� Das Problem ist mittels eines geeigneten
L�osungsverfahrens korrekt gel�ost worden�
die Antwort ist richtig und vollst�andig�
ANHANG D� FOLIE MIT DEN TIPS ZUR VORGEHENSWEISE ���
Tips zur Vorgehensweise
�� Schreibe als erstes deinen Vornamen auf den Arbeitsbogen
und auf das Karopapier�
�� Lies dir dann zun�achst einmal alle Aufgaben durch�
�� �Uberlege nun� welche der Aufgaben dir am meisten Spa
bringt und kreuze diese an�
�� Versuche jetzt diese Aufgabe zu l�osen�
�� Versuche danach auch die �ubrigen Aufgaben zu l�osen� Die
Reihenfolge ist dabei egal�
� Schreibe auf jeden Fall bei der L�osung einer Aufgabe alle
� Ideen�
� �Uberlegungen�
� Nebenrechnungen�
� Begr�undungen usw�
mit auf das Karopapier� auch wenn sie dir vielleicht unwich�
tig erscheinen�
Viel Spa� ���
ANHANG E� DIE PROBLEMSTELLUNGEN ���
E�� Die Einleitung in die Situation
Sascha hat Geburtstag� Zu der Geburtstagsfeier sind Tim� Eike� Andrea und
Manu eingeladen�
E�� Das Hallo�Problem
Saschas G�aste kommen zusammen an� Jeder begr�u t jeden mit einem lauten
HALLO� Wieviele HALLOs waren insgesamt zu h�oren
HALLO
HALLO
E�� Das Bonbon�Problem
Die Kinder haben�Schi�e versenken� gespielt� Anschlie end kommt die Mut�
ter von Sascha mit �� Bonbons und verteilt diese an die f�unf Kinder als Preise
f�ur das Spiel�
Der Verlierer bekommt zum Trost als F�unfter nur wenige Bonbons�
Der Vierte bekommt schon � Bonbons mehr als der F�unfte� Der Dritte be�
kommt � Bonbons mehr als der Vierte� Der Zweite bekommt � Bonbons mehr
als der Dritte und der Erste noch � Bonbons mehr als der Zweite�
Wieviele Bonbons hat der Verlierer zum Trost bekommen
E�� Das M�uhle�Problem
Sascha m�ochte mit den Kindern M�uhle spielen� Dazu legt er seine M�uhlebret�
ter auf den Tisch� Jeder soll einmal mit jedem anderen spielen�
Manu m�ochte� da alle diese Spiele so schnell wie m�oglich gespielt werden�
Die Kinder stellen dazu gemeinsam einen Plan auf� auf dem steht� wer gegen
wen spielt und welche Spiele gleichzeitig statt�nden k�onnen�
Wie w�urde dein Plan aussehen
ANHANG E� DIE PROBLEMSTELLUNGEN ���
E� Das W�urfel�Problem
Die Kinder spielen nun ein W�urfelspiel� Jeder darf mit � gleichen W�urfeln
gleichzeitig w�urfeln� Weil Sascha den ��� Geburtstag feiert� bekommt derje�
nige� der eine Augensumme von �� w�urfelt� einen Punkt�
Eike beginnt� Andrea ruft��Deine Augensumme ist ��� Du bekommst einen
Punkt"�
K�onnten auch andere Augen als dreimal die Vier bei einer Augensumme von
�� oben gewesen sein Wenn ja� welche
E� Das Tier�Problem
Sascha m�ochte den anderen Kindern die Haustiere der Familie zeigen� wei e
M�ause und Wellensittiche�
Eike fragt��Wieviele Tiere hast du denn � Sascha antwortet�
�Ich habe ��
Tiere und zusammen haben sie � Beine"� Manu ruft��Ich wei � wieviele
M�ause und Wellensittiche du hast"�
Kannst du das auch ausrechnen
ANHANG E� DIE PROBLEMSTELLUNGEN ���
E�� Das Quadrate�Problem
Andrea hat mit Holzst�aben die folgenden Figuren gelegt�
1. Figur: 1 Quadrat
2. Figur: 2 Quadrate
3. Figur: 3 Quadrate
Sie fragt die anderen Kinder� wieviele St�abe sie wohl f�ur �� Quadrate ben�oti�
gen wird� Was meinst du dazu
Und wieviele Holzst�abe w�urde Andrea f�ur ��� Quadrate ben�otigen Begr�unde
deine Antwort ausf�uhrlich"
ANHANG F� DIE CHARAKTERISTIKEN DER PROBLEME ���
Klassi�zierung Problemstellungen
der Probleme des Arbeitsbogens
hinsichtlich ��� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P
��� des Gebiets der Mathematik
Kombinatorik � � �
Algebra � �
Geometrie �
��� der zur L�osung ben�otigten Denkprozesse
konvergent � � � �
divergent � �
��� der Geschlossenheit
o�en
geschlossen � � � � � �
��� des Umfangs der gesuchten L�osung
einstu�g � � � � �
zweistu�g �
ANHANG G� BEWERTUNGSERGEBNISSE� �UBERSICHT ��
G�� Die Ergebnisse der beiden holistischen
Bewertungen
Proz� Anteile mit Di�erenzen � � absolut zwischen beiden Bewertungen�
Dachk� � Bew� Problemstellungen
Punkte � A�B des Arbeitsbogens
Mittelw� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P
DI A ����� ! ����� ��� ����� �����
B ����� ! ��� ����� ������ ������
DII A ����� ! ����� ����� ������ ������
B ������ ! ���� ���� �� �����
DIII A ! ! ����� ����� ! !
B ! ! ������ ����� ! !
� Punkte A ! ����� ! ! ����� �����
B ! ������ ! ! ����� �����
� Punkt A ������ ������ ����� ! ���� �����
B ��� ����� ����� ! ��� ������
� Punkte A ! ! ! ! ! !
B ! ! ! ! ! !
� Punkte A ! ! ��� ! ! ������
B ! ! ������ ! ! ����
� Punkte A ���� ! ! ����� ����� ������
B ��� ! ! ���� ��� �����
� Punkte A ! ����� ���� ���� ! !
B ! ��� ���� ����� ! !
Punkte A ! ! ! ����� ! !
B ! ! ! ���� ! !
� Punkte A ! ���� ! ! ! !
B ! ����� ! ! ! !
� Punkte A ! ! ����� ! ! !
B ! ! ������ ! ! !
MA A ��� ������ ������ ��� ���� ����
MB B ���� ������ ���� ���� ������ �����
jMA �MBj ������ ����� ������ ����� ������ ������
�Die Tabelle enth�alt nachfolgend die prozentualen Anteile der Arbeiten in den Dach�kategorien I bis III bzw� in den Punktkategorien null bis acht� bei denen sich Di�erenzenzwischen der Bewertung A und der Bewertung B von mehr als � � ergeben haben�
ANHANG G� BEWERTUNGSERGEBNISSE� �UBERSICHT ���
G�� Die Ergebnisse der beiden analytischen
Bewertungen
Proz� Anteile mit Di�erenzen � � absolut zwischen beiden Bewertungen�
Punkte � Bew� Problemstellungen
Mittelw� A�B des Arbeitsbogens
H�P B�P M�P W�P T�P Q�P
Die Phase�Verstehen�
� Punkte A ! ! ! ! ���� ������
B ! ! ! ! ������ ����
� Punkt A ������ ! ! ���� ����� ����
B ����� ! ! ���� ���� �����
� Punkte A ���� ! ��� ! ! ��
B ����� ! ���� ! ! ������
� Punkte A ����� ! ������ ����� ! �����
B ����� ! ���� ����� ! ����
MA A ����� ���� ����� ������ ������ �����
MB B ����� ������ ����� ������ ����� ������
jMA �MBj ������ ������ ����� ������ ��� ������
Die Phase�L�osen�
� Punkte A ! ������ ����� ��� ! !
B ! ���� ����� ���� ! !
� Punkt A ! ���� ����� ���� ! !
B ! ���� ���� ����� ! !
� Punkte A ! ����� ������ ����� ����� !
B ! ���� ��� ����� ��� !
� Punkte A ! ��� ���� ! ! !
B ! ����� ������ ! ! !
MA A ������ ������ ������ ������ ������ ������
MB B ����� ����� ����� ����� ������ ������
jMA �MBj ����� ������ ���� ����� ����� ������
Fortsetzung auf der n�achsten Seite
ANHANG G� BEWERTUNGSERGEBNISSE� �UBERSICHT ���
Fortsetzung der vorherigen Seite
Die Phase�Beantworten�
� Punkte A ! ��� ����� ���� ����� ����
B ! ������ ���� ����� ������ ������
� Punkt A ! ! ����� ����� ����� ������
B ! ! ��� ���� ���� �����
� Punkte A ! ������ ���� ! ! !
B ! ��� ���� ! ! !
MA A ����� ����� ������ ������ ������ �����
MB B ����� ���� ����� ����� ����� �����
jMA �MBj ������ ������ ������ ����� ����� �����
�Die Tabelle enth�alt nachfolgend die prozentualen Anteile der Arbeiten mit den Punkt�zahlen null bis drei bzw� null bis zwei der Phasen
�Verstehen��
�L�osen� und
�Beantworten��
bei denen sich Di�erenzen zwischen der Bewertung A und der Bewertung B von mehr als� � ergeben haben�
ANHANG G� BEWERTUNGSERGEBNISSE� �UBERSICHT ��
G�� Die gemittelten Ergebnisse der beiden
Bewertungsmethoden
Alle prozentualen Anteile der beiden Bewertungsmethoden
Punkte Bew�� Problemstellungen
Mittelw� h � a des Arbeitsbogens
Korrelat�� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P
� Punkte h ���� ���� ���� ���� ���� �����
a ���� ������ ���� ����� ����� �����
jh� aj ��� ���� ���� ��� ���� ����
� Punkt h ����� ����� ������ ����� ������ �����
a ���� ����� ��� ���� ��� �����
jh� aj ���� ���� ���� ���� �� ����
� Punkte h ���� ��� ����� ���� �� ������
a ���� ����� ����� ���� ����� �����
jh� aj ���� ���� ���� ���� ��� ����
� Punkte h ���� ����� ����� ����� ������ �����
a ����� ������ ����� ���� ����� ����
jh� aj ���� ���� ���� ���� ��� ���
� Punkte h ����� ����� ��� ���� ����� ������
a ���� ���� ����� ���� ���� ����
jh� aj ��� �� ���� ���� ���� �����
� Punkte h ��� ���� ������ ������ ���� ���
a ��� ���� ���� ���� ����� ������
jh� aj ���� ���� ��� ���� ��� �����
Punkte h ��� ���� ��� ����� ���� ����
a ����� ����� ������ ����� ���� �����
jh� aj ���� ���� ��� ���� ��� ����
� Punkte h ���� ����� ����� ����� ��� ���
a ��� ��� ���� ���� ���� ���
jh� aj ��� ��� ��� ��� ��� ����
Fortsetzung auf der n�achsten Seite
ANHANG G� BEWERTUNGSERGEBNISSE� �UBERSICHT ���
Fortsetzung der vorherigen Seite
� Punkte h ����� ������ ��� ����� ������ ���
a ���� ���� ������ ����� ����� ���
jh� aj ��� ��� ���� ��� ��� ����
Mh h ������ ����� ����� ��� ���� �����
Ma a ����� ������ ���� ���� ����� ������
jMh �Maj ����� ������ ������ ����� ����� �����
rV ���� ���� ���� ������ ���� ������
rL ����� ���� ���� ����� ����� �����
rB ������ ������ ������ ������ ����� ������
�Wie bereits in den Auswertungskapiteln der einzelnen Probleme erl�autert wurde� er�gibt sich der Wert der Korrelation rV aus den von allen Arbeiten erreichten� gemitteltenPunkten f�ur die Phase
�Verstehen� bei der analytischen Bewertung und aus den von allen
Arbeiten erreichten� gemittelten Punkten bei der holistischen Bewertung� Entsprechendergeben sich die Werte der Korrelationen rL und rB f�ur die Phasen
�L�osen� und
�Beant�
worten���h bezeichne die holistische Bewertung� a die analytische Bewertung�
ANHANG G� BEWERTUNGSERGEBNISSE� �UBERSICHT ���
Proz� Anzahlen mit Di�erenzen ab �� � � zwischen beiden Bewertungen�
Punkte Bew� Problemstellungen
Mittelw� h � a des Arbeitsbogens
Korrelat� H�P B�P M�P W�P T�P Q�P
� Punkte h ! ! ! ! ���� �����
a ! ! ! ! ����� �����
� Punkt h ����� ����� ������ ! ������ !
a ���� ����� ��� ! ��� !
� Punkte h ! ! ! ! ! ������
a ! ! ! ! ! �����
� Punkte h ! ! ! ! ! !
a ! ! ! ! ! !
� Punkte h ! ����� ! ! ����� ������
a ! ���� ! ! ���� ����
� Punkte h ! ! ! ! ���� ���
a ! ! ! ! ����� ������
Punkte h ��� ! ��� ����� ! !
a ����� ! ������ ����� ! !
� Punkte h ���� ! ����� ����� ! !
a ��� ! ���� ���� ! !
� Punkte h ! ! ��� ����� ! !
a ! ! ������ ����� ! !
Mh h ������ ����� ����� ��� ���� �����
Ma a ����� ������ ���� ���� ����� ������
jMh �Maj ����� ������ ������ ����� ����� �����
rV ���� ���� ���� ������ ���� ������
rL ����� ���� ���� ����� ����� �����
rB ������ ������ ������ ������ ����� ������
�Die Tabelle enth�alt nachfolgend die prozentualen Anteile der Arbeiten in den Punkt�kategorien null bis acht� bei welchen sich Di�erenzen zwischen den gemittelten Ergebnissender beiden holistischen Bewertungen und den gemittelten Ergebnissen der beiden analy�tischen Bewertungen von �� � und mehr ergeben haben�
ANHANG H� ERGEBNISSE VORUNTERSUCHUNG ���
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)(bei Anwendung der linearen Skala)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel
1 Arijane w 9
2 Christina w 10 8
3 Janine w 10 5
4 Karina w 9
5 Naima w 1 8
6 Nora w 10 0
7 Romy w 10 0
8 Sarah2 w 10
9 Sarah1 w 5 8
10 Svenja w 10 8
11 Lehna w 10 7 8
12 Adrian m 10 8
13 Daniel1 m 10 8
14 Daniel2 m 10 3 10
15 Dominik2 m 10 2 10
16 Dominik1 m 10 2 10
17 Elif m 10 8
18 Emanuel m 5 2
19 Farkad m 10 6
20 Hüseyin m 2
21 Lawrence m 10 8
22 Leander m 10 10
23 Matthias2 m 9 0 10
24 Matthias1 m 3 4 3
25 Oliver m 10
26 Osman m 10 8
27 Simon m 10 628 Sebastian m 10 0 10
Mittelwert: 8,6786 2,0000 8,0000Standardabweichung: 2,7087 2,2608 1,8638
Voruntersuchung
Problemstellung
ANHANG H� ERGEBNISSE VORUNTERSUCHUNG ���
Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.1999)(bei Anwendung der linearen Skala)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel
1 Cathrin w 10 7 6
2 Denise w 6 10
3 Diana w 10 8
4 Esra w 9 7 10
5 Gülhan w 10 7
6 Hanna w 10 10 8
7 Inga w 10 7 10
8 Jessica w 5 7 10
9 Miriam w 10 10
10 Ouafaa w 10 7 10
11 Sarah w 10 0 6
12 Stefanie w 10 5
13 Tessa w 10 10 10
14 Carsten m 4 1 6
15 Daniel m 4 0 6
16 David m 0
17 Dominik m 0 0 6
18 Engin m 0 8
19 Jan m 10 7 7
20 Marco m 10 3 8
21 Martin m 10 10 8
22 Mathias m 10 7 1
23 Max m 10 3
24 Merih m 10 10 6
25 Mumin m 0 0 10
26 Peter m 10 1 6
27 Sebastian1 m 9 1
28 Sebastian2 m 2 1 1029 Thorsten m 4 1 8
Mittelwert: 7,3448 4,6522 7,7200Standardabweichung: 3,8292 3,7972 2,2457
Voruntersuchung
Problemstellung
ANHANG H� ERGEBNISSE VORUNTERSUCHUNG ���
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)
(bei Anwendung der vektoriellen Skala)
Nr. Name G
1 Arijane w 4 4 1 9
2 Christina w 4 4 2 10 4 3 1 8
3 Janine w 4 2 2 8 4 1 0 5
4 Karina w 4 4 1 9
5 Naima w 1 0 0 1 4 3 1 8
6 Nora w 4 4 2 10 0 0 0 0
7 Romy w 4 4 2 10 0 0 0 0
8 Sarah2 w 4 4 2 10
9 Sarah1 w 2 2 1 5 4 3 1 8
10 Svenja w 4 4 2 10 4 3 1 8
11 Lehna w 4 4 2 10 4 2 1 7 4 3 1 8
12 Adrian m 4 4 2 10 4 3 1 8
13 Daniel1 m 4 4 2 10 4 3 1 8
14 Daniel2 m 4 4 2 10 1 0 0 1 4 4 2 10
15 Dominik2 m 4 4 2 10 1 0 0 1 4 4 2 10
16 Dominik1 m 4 4 2 10 1 0 0 1 4 4 2 10
17 Elif m 4 4 2 10 4 3 1 8
18 Emanuel m 4 0 2 6 1 0 0 1
19 Farkad m 4 4 2 10 3 3 1 7
20 Hüseyin m 1 0 0 1
21 Lawrence m 4 4 2 10 4 3 1 8
22 Leander m 4 4 2 10 4 4 2 10
23 Matthias2 m 4 4 1 9 0 0 0 0 4 4 2 10
24 Matthias1 m 4 0 2 6 2 2 0 4 2 0 0 2
25 Oliver m 4 4 2 10
26 Osman m 4 4 2 10 4 3 1 8
27 Simon m 4 4 2 10 3 3 1 728 Sebastian m 4 4 2 10 0 0 0 0 4 4 2 10
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.: 0,8545 1,2472 0,52318,7143 1,5000 8,0500
0,5998 0,3162 0,61561,7143 0,1000 1,2000
1,4620 0,8433 0,99873,2857 0,4000 3,0500
2,6165 2,3452 1,92858,6667 1,6667 7,9474
Hallo Mühle Würfel
Voruntersuchung
Problemstellung
ANHANG H� ERGEBNISSE VORUNTERSUCHUNG ��
Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.2001)
(bei Anwendung der vektoriellen Skala)
Nr. Name G
1 Cathrin w 4 4 2 10 4 3 1 8 3 3 1 7
2 Denise w 3 3 1 7 4 4 2 10
3 Diana w 4 4 2 10 4 3 1 8
4 Esra w 4 4 2 10 4 3 1 8 4 4 2 10
5 Gülhan w 4 4 2 10 4 3 1 8
6 Hanna w 4 4 2 10 4 4 2 10 4 3 1 8
7 Inga w 4 4 2 10 4 3 1 8 4 4 2 10
8 Jessica w 2 3 0 5 4 3 1 8 4 4 2 10
9 Miriam w 4 4 2 10 4 4 2 10
10 Ouafaa w 4 4 2 10 4 3 1 8 4 4 2 10
11 Sarah w 4 4 2 10 0 0 0 0 2 3 1 6
12 Stefanie w 4 4 2 10 3 2 0 5
13 Tessa w 4 4 2 10 4 4 2 10 4 4 2 10
14 Carsten m 4 0 2 6 0 0 0 0 3 3 1 7
15 Daniel m 4 0 2 6 0 0 0 0 3 3 1 7
16 David m 0 0 0 0
17 Dominik m 0 0 0 0 0 1 0 1 3 3 1 7
18 Engin m 0 0 0 0 4 3 1 8
19 Jan m 4 4 2 10 4 3 1 8 4 3 1 8
20 Marco m 4 4 2 10 0 2 0 2 4 3 1 8
21 Martin m 4 4 2 10 4 4 2 10 4 3 1 8
22 Mathias m 4 4 2 10 4 3 1 8 0 0 0 0
23 Max m 4 4 2 10 4 0 0 4
24 Merih m 4 4 2 10 4 4 2 10 2 3 1 6
25 Mumin m 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 2 10
26 Peter m 4 4 2 10 1 0 0 1 3 3 1 7
27 Sebastian1 m 4 4 1 9 0 0 0 0
28 Sebastian2 m 1 0 0 1 0 0 0 0 4 4 2 1029 Thorsten m 4 0 2 6 0 0 0 0 4 3 1 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Hallo Mühle Würfel
3,2414 2,3043 3,44001,4797 1,9871 0,9609
2,8276 1,8696 3,20001,7942 1,6598 0,8660
1,5172 0,6957 1,2800
0,8290 0,7648 0,6137
7,5862 4,8696 7,92003,7957 4,2447 2,2933
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Alexandra1 w 8 6 4 0 8 0 0 0
2 Alexandra2 w 8 1 3 1 8 1 0 1
3 Alicia w 8 7 0 1 8 7 0 1
4 Ann-Catrin w 7 1 3 1 7 3 0 1
5 Carina w 8 1 3 1 8 3 0 0
6 Christina w 1 8 4 1 3 0
7 Hannah w 3 7 3 1 7 8 0 1
8 Jennifer w 8 3 3 1 3 7 0 1
9 Julia w 1 8 8 4 1 3 8 4
10 Marah w 1 1 1 2 4 1 0 1
11 Sarah1 w 1 1 8 0 1 0 7 2
12 Sarah2 w 0 3 0 0 0 3 0 2
13 Silke w 8 8 4 7 8 8 3 7
14 Uta w 1 1 1 1 0 1
15 Alexander m 1 5 8 7 1 3 8 8
16 Björn m 0 4 0 3
17 Christian m 3 0 3 0
18 DanielK m 8 0 8 0
19 DanielR m 3 0 0 3 3 0 0 3
20 Dennis m 6 0
21 Frank m 8 0 3 3 0 3
22 Hannes m 1 8 4 3 1 8 3 0
23 Julian m 3 0 0 0
24 Leonhard m 4 4 5 4
25 Marius m 0 2 5 0
26 Mathias m 7 2 0 0 7 0 0 3
27 Peter m 1 4 5 4
28 Philip m 7 0 7 1
29 Raphael m 0 5 8 4 0 1 8 430 Stefan m
Mittelwert: 3,9655 3,5263 3,2857 2,3200 3,8966 2,9474 1,9048 2,2000Standardabweichung: 3,2676 3,0435 3,0683 2,0559 3,1207 3,0997 3,0968 2,1213
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Kristina w 3 8 4 1 1 8 3 1
2 Marie-Chrisw 4 3 3 0 8 7 8 0
3 Andreas m 0 3 0 3
4 JanA m 1 1 8 3 4 1 8 1
5 Jan m 3 8 4 7 8 8 3 6
6 Jonas m 3 8 1 8 8 1
7 Muji m 1 0 0 5 0 0
8 Pedro m 3 8 8 4 3 8 8 4
9 Simon m 0 8 7 8 5 7 7 8
10 Stehen m 1 8 1 4 8 011 Tim m 8 4 0 8 8 4 3 8
Mittelwert: 2,4545 5,7143 5,0000 3,2727 4,9091 6,1429 5,6000 2,9091Standardabweichung: 2,2962 2,9841 3,2660 3,1013 2,8794 2,6726 3,0258 3,1450
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel Hallo Mühle Würfel
1 Arijane w 6 6
2 Christina w 8 5 8 2
3 Janine w 8 3 8 3
4 Karina w 6 6
5 Naima w 0 6 1 5
6 Nora w 8 1 8 0
7 Romy w 8 1 8 1
8 Sarah2 w 8 8
9 Sarah1 w 3 6 3 1
10 Svenja w 8 6 8 2
11 Lehna w 8 5 6 8 6 2
12 Adrian m 8 8 8 5
13 Daniel1 m 8 6 8 2
14 Daniel2 m 8 2 4 8 2 6
15 Dominik2 m 8 1 8 8 3 8
16 Dominik1 m 8 6 8 8 8 8
17 Elif m 8 6 8 2
18 Emanuel m 3 1 3 1
19 Farkad m 3 6 8 5
20 Hüseyin m 1 1
21 Lawrence m 8 6 8 5
22 Leander m 8 5 8 5
23 Matthias2 m 8 2 8 5 1 8
24 Matthias1 m 3 6 2 3 6 1
25 Oliver m 8 8
26 Osman m 8 6 8 5
27 Simon m 8 4 8 528 Sebastian m 8 2 8 8 1 8
Mittelwert: 6,6071 2,7000 5,8500 6,7143 2,9000 4,4000Standardabweichung: 2,4846 2,1108 1,6944 2,3071 2,7669 2,4149
Problemstellung
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel Hallo Mühle Würfel
1 Cathrin w 8 6 4 8 6 5
2 Denise w 4 8 5 8
3 Diana w 8 6 8 5
4 Esra w 8 6 8 8 4 8
5 Gülhan w 8 6 8 4
6 Hanna w 8 8 6 8 8 5
7 Inga w 8 6 8 8 6 8
8 Jessica w 3 6 8 5 4 8
9 Miriam w 8 8 8 8
10 Ouafaa w 8 6 8 8 2 8
11 Sarah w 8 2 3 8 1 6
12 Stefanie w 8 6 8 5
13 Tessa w 8 8 8 8 8 8
14 Carsten m 3 1 4 4 1 1
15 Daniel m 3 1 4 4 1 3
16 David m 0 0
17 Dominik m 2 2 4 3 1 8
18 Engin m 0 6 3 5
19 Jan m 8 6 8 8 1 8
20 Marco m 8 4 8 8 1 8
21 Martin m 8 8 6 8 8 5
22 Mathias m 8 6 0 8 8 0
23 Max m 8 2 8 2
24 Merih m 8 8 6 8 8 4
25 Mumin m 0 3 8 0 3 8
26 Peter m 8 2 4 8 2 6
27 Sebastian1 m 8 4 8 0
28 Sebastian2 m 0 4 8 1 4 829 Thorsten m 8 4 6 8 1 2
Mittelwert: 6,0345 4,7391 6,1200 6,3793 3,6522 5,9200Standardabweichung: 3,1108 2,3202 2,1276 2,6781 2,8382 2,4481
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Abigail w 1 0 0 1 0 0
2 Edith w 7 1 3 1 7 3 3 1
3 Ines w 1 0 1 0 1 0 0 0
4 Jessica w 1 1 1 4 1 0
5 Lisa1 w 8 1 1 1 8 1 1 1
6 Lisa2 w 1 1 7 1 4 1 7 1
7 MarieC w 8 4 8 0
8 Ronja1 w 1 1 4 1 4 1 5 1
9 Ronja2 w 8 1 2 8 1 0
10 Sarah w 1 3 1 1 4 8 1 1
11 Stefanie w 0 0 0 4 0 0 0 3
12 Adnan m 1 0 0 5 4 0 0 2
13 André m 0 0
14 Andrei m 0 0 3 3 3 0 3 3
15 Dominik m 1 1 1 4 1 1
16 Felix m 0 3 3 4 0 3 3 4
17 Fritz m 8 3 0 8 3 0
18 Heiko m 7 7 3 4 7 7 3 4
19 JanA m 1 1 1 1
20 JanB m 0 3 3 0 0 3 3 0
21 Marcel m 1 1 3 4 3 1
22 Sebastian m 1 3 5 1
23 Sören m 1 3 3 4 4 3 3 424 Stephan m 1 3 0 4 4 0 1 4
Mittelwert: 2,4583 1,7368 2,0000 2,1905 3,8750 2,0526 2,0000 1,5238Standardabweichung: 3,1065 1,7270 1,8708 1,6917 2,7554 2,2724 2,0000 1,5040
Problemstellung Problemstellung
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 b (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Alexandra w 3 3 1 3 7 1
2 Anna w 0 7 0 4 0 7 0 2
3 Catrin w 0 1 0 0 0 0 0 1
4 Hanna w 3 1 3 1
5 Katharina w 8 0 8 4 8 2 8 4
6 Mandy w 8 0 2 4 8 0 0 4
7 Manuela w 3 5 4 3 1 2
8 Maria w 0 0 0 2 0 0
9 Nora w 3 0 0 4 3 0 0 4
10 Rebekka w 3 0 3 4 8 2 3 4
11 Yvonne w 0 0 0 0 0 0 0 0
12 Nicole w 0 3 0 0 0 3 0 0
13 Sandra w 0 0 0 0 0 0 0 0
14 Abdul m 3 0 0 0 3 0 0 0
15 Andre m 0 0 0 0
16 Andreas m 3 3 3 0 3 3 3 0
17 David m 8 0 3 0 3 0 3 0
18 Isabd m 3 0 3 3 3 0 3 1
19 Jakob m 3 8 4 3 8 4
20 Jan m 3 0 0 4 3 0 0 1
21 Kevin m 3 0 0 4 3 0 0 1
22 KevinV m 6 0 0 4 8 0 0 0
23 Marcel m 8 5 3 0 3 2 3 0
24 Markus m 7 8 8 6 7 7 8 2
25 Patrick m 0 3 0 0 0 3 0 0
26 Sebastian m 3 1 8 4 8 0 3 4
27 Thomas m 0 0 0 0 0 028 ThomasS m 8 8 1 3 8 0
Mittelwert: 3,2963 1,8077 2,3478 1,9615 3,2593 1,7308 1,9565 1,2692Standardabweichung: 2,9064 2,6836 2,9788 2,0684 2,7955 2,6315 2,7216 1,6385
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 c (Gymnasium RD, 30.09.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Alice w 3 0 8 8 0 8
2 Alina w 8 8 3 0 8 8 3 1
3 Heike w 2 8 8 2 0 8 8 0
4 Jennifer w 0 8 1 1 8 0
5 Kerstin w 1 8 8 3 0 8 8 0
6 Lena w 3 0 3 4 8 0 3 4
7 Nele w 4 8 4 4 8 8 4 4
8 Pia w 8 3 3 1 8 6 6 1
9 Rebecca w 8 3 0 1 8 6 0 1
10 Sara w 8 8 3 0 8 8 6 1
11 Sarah w 8 8 3 1 8 8 3 3
12 Simone w 8 8 4 1 8 8 3 3
13 Sonja w 8 8 3 4 8 8 3 4
14 Viktoria w 8 8 8 3 8 8 8 1
15 Alexander m 8 3 8 1 8 3 8 2
16 Andreas m 0 3 3 4 0 0 3 4
17 AndreasR m 5 2 2 0
18 Benedikt m 8 8 6 3 8 8 6 1
19 Christoph m 1 0 1 0 0 0
20 Daniel m 1 0 1 3 0 0 0 1
21 Fabian m 8 8 8 4 8 8 8 4
22 Jan m 1 1 0 0
23 Merve m 1 0 0 1 0 0 0 0
24 Simon m 6 8 7 8
25 Thomas m 8 8 8 4 8 8 8 4
26 Tugba m 1 1 1 127 Volker m 0 0 3 4 0 0 3 1
Mittelwert: 4,6296 4,7407 4,1905 2,5909 4,8519 4,7407 4,3333 2,1818Standardabweichung: 3,3644 3,5690 2,8039 1,8938 3,8200 3,7784 2,9721 2,0151
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium RD, 27.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel Hallo Mühle Würfel
1 Andrea w 8 1 4 8 1 5
2 AnnC w 1 0 6 0 0 5
3 Denise w 0 1 1 0 3 0
4 Elisabeth w 1 0 6 5 4 5
5 Eva w 8 4 8 5
6 Hannah w 3 0 6 3 0 5
7 Janett w 8 5 6 8 5 5
8 Jennifer w 3 1 6 3 3 5
9 Julia1 w 8 0 6 8 4 1
10 Julia2 w 8 1 6 8 1 8
11 Lena w 0 8 0 8
12 Lisa w 3 1 6 3 3 0
13 Sarah1 w 8 6 8 5
14 Sarah2 w 8 3 6 8 8 5
15 Stefanie w 3 1 5 3 1 5
16 Bernd m 1 0 0 4 0 0
17 Christian m 0 5 6 5 6 5
18 Christoph1 m 3 8 6 3 3 4
19 Christoph2 m 0 1 4 0 4 5
20 Dennis m 4 1 0 8 3 0
21 Fritzof m 1 5 8 4 5 8
22 Jonas m 1 5 8 4 5 8
23 Julian m 0 1 1 0 3 0
24 Marcel m 0 8 0 8
25 Markus m 8 5 6 8 6 3
26 Martin m 1 1 6 4 3 3
27 Simon m 8 5 6 8 3 5
28 Tim m 8 5 8 8 1 829 Ulrich m 8 5 4 8 5 5
Mittelwert: 3,8966 2,4400 5,2759 4,7241 3,2000 4,4483Standardabweichung: 3,4366 2,3643 2,2662 3,1611 2,0817 2,6402
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium RD, 19.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel Hallo Mühle Würfel
1 Britta w 3 4 3 5
2 Dania w 3 0 8 3 0 5
3 Janina w 8 1 8 8 3 8
4 Jasmin w 3 4 8 3 4 8
5 Johanna w 3 4 3 5
6 JuliaM w 8 0 4 8 0 8
7 JuliaG w 3 8 3 8
8 Juliane w 3 8 3 8
9 Lisa w 3 6 3 5
10 LisaB w 8 1 8 8 3 8
11 Miriam w 8 1 8 8 2 8
12 Nathalie w 3 1 8 3 1 8
13 Sarah w 3 4 8 3 6 8
14 Simone w 3 5 6 3 8 5
15 Sophia w 8 5 8 8 0 8
16 Verena w 8 4 8 8 5 8
17 Bernd m 3 8 3 8
18 Christian m 1 0 6 4 0 8
19 Christopher m 7 8 7 8
20 David m 3 5 8 3 8 8
21 Hamed m 6 8 8 8
22 Hendrik m 3 0 8 3 0 8
23 Jens m 0 1 4 0 0 1
24 Marco m 1 0 1 4 0 0
25 Sebastian m 1 4 4 526 Volker m 8 8 8 8
Mittelwert: 4,2692 2,0000 6,7308 4,6923 2,5000 6,7308Standardabweichung: 2,6767 2,0656 1,9911 2,4782 2,9212 2,2371
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium RD, 20.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel Hallo Mühle Würfel
1 Anke w 8 8 8 8
2 Anne w 5 1 6 4 3 5
3 AnneP w 8 1 6 8 4 5
4 Hanna w 8 5 8 8 8 8
5 JaninaM w 8 3 4 8 3 1
6 JaninaR w 8 8 8 8
7 Kathrin w 8 5 8 8 8 8
8 Maiken w 1 8 4 8
9 Margot w 8 3 8 8 3 8
10 Nadine w 5 1 8 3 5 8
11 Nina w 8 6 8 5
12 Pia w 8 6 8 4
13 Rebecca w 8 4 8 8 4 8
14 Stefanie w 8 5 4 5 3 5
15 Axel m 8 8 8 8
16 Benjamin m 8 1 6 8 1 5
17 Christian m 0 8 8 0 8 8
18 Daniel m 1 8 8 4 8 8
19 David m 3 5 8 3 8 8
20 Michael m 8 8 8 8 8 8
21 Moritz1 m 1 8 8 4 8 8
22 Moritz2 m 1 8 4 8
23 Philipp m 8 8 8 3 8 8
24 Rolf m 8 5 6 8 8 5
25 Sebastian m 8 1 8 8 5 8
26 Simon m 4 5 6 6 5 5
27 Sinan m 1 1 4 4 1 5
28 Stefan m 1 4 4 5
29 Sven m 1 1 4 4 3 530 Thorulf m 3 5 8 3 6 8
Mittelwert: 5,4333 4,1818 6,8667 5,8333 5,3636 6,6333Standardabweichung: 3,1806 2,6839 1,5477 2,3793 2,5175 1,8473
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Annika w 8 8 8 8
2 Carina w 8 4 8 4
3 Jennifer w 8 4 8 4
4 Janine w 8 2 8 3
5 Janina w 8 4 8 4
6 Jaqueline w 7 2 8 4 8 1 8 4
7 Linda w 0 7 2 1 7 1
8 Nesrin w 8 4 8 4
9 Viola w 8 4 8 4
10 André m 8 4 8 4
11 Benjamin m 8 1 8 1
12 Daniel1 m 8 7 8 3 8 7 8 0
13 Daniel2 m 8 8 4 8 8 3
14 Dennis m 1 8 4 1 8 4
15 Erdogan m 8 8 8 1 8 8 8 1
16 Hannes m 8 8 7 3 8 8 8 4
17 Henning m 1 8 3 8 3 8 7 8
18 Marc m 0 0
19 Michael m 8 8 8 4 8 8 8 1
20 Philip m 8 8 7 8
21 Philipp m 6 8 8 6 8 8
22 Shaum m 6 2
23 Sören m 8 4 7 4
24 Thilo m 8 8 8 4 8 8 8 6
25 Tobias m 8 8 8 4 8 8 8 626 Yannik m 6 8 3 8
Mittelwert: 6,5769 6,7273 7,0000 4,2500 6,3846 6,6364 7,4615 4,1000Standardabweichung: 2,7302 2,6112 2,0412 1,8028 2,7288 2,8026 1,3914 2,2919
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewetungsergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)
Nr. Name G
Hallo BV Würfel Hallo BV Würfel
1 Anne-Kati w 8 1 8 8 1 8
2 Ergi w 8 8 8 8 8 8
3 Mara w 1 6 1 6
4 Miriam w 1 6 2 6
5 Nina w 8 0 8 8 0 7
6 Sarah2 w 3 0 8 3 0 8
7 Sarah1 w 8 6 8 8 7 8
8 Selma w 8 8 8 8
9 Sibel w 8 8 8 8 8 8
10 Yvonne w 8 6 6 8 7 7
11 Alexander m 8 8 8 8 8 8
12 Christian m 8 8 8 8 8 8
13 Dennis m 6 8 8 3 8 8
14 Dustin m 8 8 8 8 8 8
15 Jan m 8 5 4 8 5 8
16 Kail m 8 8 6 8 8 8
17 Maik m 5 6 4 3
18 Marcel m 8 8 8 7 8 8
19 Michael m 0 6 1 6
20 Niclas m 8 8 6 8 8 8
21 Roman m 8 8 8 8 8 7
22 Sebastian m 8 8 6 8 8 523 Tobias m 1 1 4 1 3 8
Mittelwert: 6,3043 6,0526 6,9091 6,1739 6,2632 7,2273Standardabweichung: 2,8831 3,0817 1,3420 2,8067 2,9409 1,3068
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG I� ERGEBNISSE HOLISTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.1999)
Nr. Name G
Hallo BV Würfel Hallo BV Würfel
1 Bettina w 6 4 4 5
2 Daniela w 8 6 8 5
3 Jessica w 8 8
4 Johanna w 8 8 8 8
5 Julia w 8 5 8 8 4 8
6 Julyana w 8 8
7 Liba w 8 4 8 8 8 7
8 Lena w 7 1 6 8 3 5
9 Linda w 3 3 4 5
10 Mirella w 8 6 8 5
11 Nicole w 8 8
12 Patricia w 8 8 8 8 7 8
13 Sanja w 8 7 6 8 8 5
14 Susanne w 8 8 8 8
15 DanielM m 3 3 6 4 4 5
16 Felix m 8 3 8 8 3 8
17 Jannik m 8 8 8 8
18 Jens m 0 8 8 1 8 8
19 Malte m 8 8 8 8
20 Marian m 8 0 8 8 1 8
21 Marwin m 6 8 4 8
22 Merih m 8 4 8 4
23 Nico m 8 3 8 8 3 5
24 Nils m 6 8 6 5 8 5
25 Norman m 8 8 8 8 8 8
26 Samy m 8 6 7 5
27 Sebastian m 1 8 6 5 8 7
28 Sven m 3 4 6 1 4 5
29 Tim m 8 8 6 8 8 530 Yassin m 8 3 6 8 3 5
Mittelwert: 6,7500 5,4762 6,7083 6,8214 5,7143 6,2917Standardabweichung: 2,3824 2,6574 1,3981 2,1612 2,4524 1,4590
Bewertung A des Autors Bewertung B der StudentinProblemstellung Problemstellung
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
1 Alexandra1 w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 Alexandra2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
3 Alicia w 3 3 2 8 3 2 2 7 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 1 7 0 0 0 0 1 0 0 1
4 Ann-Catrin w 3 3 0 6 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 0 6 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 0 1
5 Carina w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
6 Christina w 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5 1 1 0 2 1 0 2 3 0 0 0 0
7 Hannah w 1 0 2 3 3 2 2 7 1 1 0 2 1 0 0 1 3 3 0 6 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 0 1
8 Jennifer w 3 3 2 8 1 0 2 3 1 1 0 2 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 0 6 0 0 0 0 1 0 0 1
9 Julia w 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 1 1 0 2 1 0 2 3 3 3 2 8 2 1 0 3
10 Marah w 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
11 Sarah1 w 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 3 3 0 6 1 1 0 2
12 Sarah2 w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 1 0 2
13 Silke w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 1 7 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 0 6
14 Uta w 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1
15 Alexander m 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 3 3 1 7 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8
16 Björn m 0 0 0 0 3 1 1 5 0 0 0 0 2 1 0 3
17 Christian m 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0
18 DanielK m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0
19 DanielR m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3
20 Dennis m 3 2 1 6 0 0 0 0
21 Frank m 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3
22 Hannes m 1 0 0 1 3 3 2 8 2 2 1 5 2 0 0 2 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 0 3 0 0 0 0
23 Julian m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
24 Leonhard m 2 2 1 5 3 1 1 5 3 2 1 6 2 1 0 3
25 Marius m 0 0 0 0 3 0 0 3 3 2 1 6 0 0 0 0
26 Mathias m 3 3 0 6 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3
27 Peter m 1 1 0 2 3 1 1 5 3 2 1 6 2 1 0 3
28 Philip m 3 3 0 6 0 0 0 0 3 3 0 6 1 0 0 1
29 Raphael m 0 0 0 0 2 2 1 5 3 3 2 8 3 1 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 0 330 Stefan m
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
0,9366 0,8646
1,1618 1,2188
1,05261,2236
1,2857
1,2381
0,6190
1,60001,1547
1,2209
1,1892
0,5200
0,4800
0,8718
1,7241
1,4138
0,8966 0,8947
1,3763
1,4737
0,6532
2,25464,03453,0762 3,1502 3,2293
3,4211 2,60003,1429
0,9763
1,7931 1,2632 0,8095 1,16001,2065 1,1945 1,2498 0,8505
1,4483 0,8421 0,6667 0,52001,2980 1,3443 1,1972 0,8718
0,7241 0,7895 0,3810 0,32000,9218 0,9763 0,8047 0,7483
3,9655 2,8947 1,8571 2,00002,9457 3,0349 3,0214 1,9149
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
Hallo Bonbon Tier Quadrate Hallo Bonbon Tier Quadrate
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
1 Kristina w 2 1 0 3 3 3 2 8 2 2 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 0 3 1 0 0 1
2 Marie-Chrisw 1 1 2 4 1 0 2 3 3 0 2 5 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 0 0 0 0
3 Andreas m 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3
4 JanA m 1 1 0 2 0 0 0 0 3 3 2 8 2 0 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 0 1
5 Jan m 1 0 2 3 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 2 7 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 2 7
6 Jonas m 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1
7 Muji m 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0
8 Pedro m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3
9 Simon m 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 0 6 3 3 0 6 3 3 2 8
10 Stehen m 1 1 0 2 3 3 2 8 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8 0 0 0 011 Tim m 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 0 3 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:Standardabw. Ph.3
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Hallo Bonbon Tier QuadrateHallo Bonbon Tier Quadrate
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
3,0151 2,7516 2,9907 3,2390
1,0909 1,1429
4,9091 5,7143
0,9439 1,0690
1,2863 1,4639 1,1972 1,2505
2,1818 2,4286
1,6364 2,1429
1,0787 0,9759
2,90915,5000
0,72731,00001,0541 1,0090
0,81822,1000
1,36362,40000,9661 1,20601,2910 1,2293 1,2933
1,7143 1,9000 0,81821,6036 1,3703 1,2505
3,1818
0,7559 0,9189 0,98161,7143 1,2000 0,8182
3,25022,72732,1490 3,3594 3,0930
5,4286 5,3000
0,90911,0445
0,7273
0,8312
0,9045
2,0000 2,2000 1,54551,0909
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)
Nr. Name G
1 Arijane w 3 2 1 6 3 2 1 6
2 Christina w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 1 0 2
3 Janine w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 1 1 1 3
4 Karina w 3 2 1 6 3 2 1 6
5 Naima w 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 0 1 2 2 1 5
6 Nora w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0
7 Romy w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1
8 Sarah2 w 3 3 2 8 3 3 2 8
9 Sarah1 w 1 1 0 2 3 2 1 6 1 0 0 1 1 0 0 1
10 Svenja w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 2 0 3
11 Lehna w 3 3 2 8 3 1 0 4 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6 1 2 0 3
12 Adrian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5
13 Daniel1 m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 2 0 3
14 Daniel2 m 3 3 2 8 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6
15 Dominik2 m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 2 1 4 3 3 2 8
16 Dominik1 m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
17 Elif m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 1 2
18 Emanuel m 1 0 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 1 0 0 1
19 Farkad m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6
20 Hüseyin m 1 0 0 1 1 0 0 1
21 Lawrence m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 1 4
22 Leander m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8 2 2 1 5
23 Matthias2 m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5 1 0 0 1 3 3 2 8
24 Matthias1 m 1 0 2 3 3 2 1 6 1 0 1 2 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 0 1
25 Oliver m 3 3 2 8 3 3 2 8
26 Osman m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 1 4
27 Simon m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8 2 2 1 528 Sebastian m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
2,5714
0,83576,6071
0,8357
2,32141,1880
0,65871,7143
1,4000 2,6500
2,3000 5,9500
1,1738 0,6708
0,7000 2,10000,8233 0,7182
0,2000 1,2000
1,1738 0,6708
0,4216 0,5231
2,6429 1,4000 1,90000,7800 0,9661 0,8522
2,3214 0,9000 1,70001,1880 1,1972 0,9787
1,6786 0,5000 0,90000,6696 0,7071 0,7182
6,6429 2,8000 4,50000,7800 0,9661 0,8522
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Probemstellung Problemstellung
Mühle WürfelHallo Mühle Würfel Hallo
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.2001)
Nr. Name G
1 Cathrin w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 3 3 2 8 3 2 2 7 2 2 1 5
2 Denise w 2 2 1 5 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8
3 Diana w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 2 1 5
4 Esra w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 8
5 Gülhan w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 1 4
6 Hanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5
7 Inga w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8
8 Jessica w 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8 2 2 1 5 2 1 1 4 3 3 2 8
9 Miriam w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
10 Ouafaa w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 1 3 3 3 2 8
11 Sarah w 3 3 2 8 1 1 0 2 1 1 0 2 3 3 2 8 0 1 0 1 3 2 2 7
12 Stefanie w 3 3 2 8 2 2 2 6 3 3 2 8 3 1 1 5
13 Tessa w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
14 Carsten m 1 0 2 3 1 0 0 1 2 2 1 5 3 0 2 5 0 1 0 1 0 1 0 1
15 Daniel m 1 0 2 3 0 0 0 0 2 2 1 5 3 0 2 5 1 1 0 2 2 2 1 5
16 David m 0 0 0 0 0 0 0 0
17 Dominik m 1 1 0 2 1 1 0 2 2 2 1 5 1 1 0 2 0 1 0 1 3 3 2 8
18 Engin m 0 0 0 0 3 2 1 6 1 1 0 2 3 2 1 6
19 Jan m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
20 Marco m 3 3 2 8 2 2 0 4 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
21 Martin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
22 Mathias m 3 3 2 8 3 2 1 6 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0
23 Max m 3 3 2 8 2 0 0 2 3 3 2 8 1 1 0 2
24 Merih m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 1 3
25 Mumin m 0 0 0 0 1 2 1 4 3 3 2 8 0 0 0 0 1 2 1 4 3 3 2 8
26 Peter m 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6
27 Sebastian1 m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 0 0 0 0
28 Sebastian2 m 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8 1 0 0 1 2 1 1 4 3 3 2 829 Thorsten m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8 0 1 0 1 1 1 1 3
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
2,3448
3,06096,1034
1,0782
2,20691,2643
0,8275
1,5517
2,2174 2,5600
4,6957 6,2800
0,9514 0,7681
1,6957 2,32000,9740 0,7483
0,7826 1,4000
2,5736 2,0572
0,7952 0,6455
2,5517 1,5652 2,48000,9482 1,1610 0,9626
2,2414 1,5217 2,20001,2146 0,8980 0,9129
1,5862 0,8261 1,4400
0,7800 0,8341 0,6506
6,3793 3,9130 6,12002,7629 2,7243 2,3896
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
Mühle WürfelHallo Mühle Würfel Hallo
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
1 Abigail w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 Edith w 3 3 1 7 1 0 0 1 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 0 6 1 1 0 2 1 1 0 2 1 0 0 1
3 Ines w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 Jessica w 1 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0
5 Lisa1 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
6 Lisa2 w 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 1 6 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 0 1 2 3 0 5 1 0 0 1
7 MarieC w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0
8 Ronja1 w 1 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 5 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 0 1 2 2 0 4 1 0 0 1
9 Ronja2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0
10 Sarah w 1 1 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1
11 Stefanie w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3
12 Adnan m 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2
13 André m 0 0 0 0 0 0 0 0
14 Andrei m 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3
15 Dominik m 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1
16 Felix m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 3 3 1 7 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 2 1 1 4
17 Fritz m 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0
18 Heiko m 3 3 0 6 3 0 2 5 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 0 6 3 3 0 6 1 0 2 3 2 1 0 3
19 JanA m 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
20 JanB m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0
21 Marcel m 1 1 0 2 1 0 0 1 2 0 0 2 2 1 0 3 2 1 0 3 1 0 0 1
22 Sebastian m 1 1 0 2 2 0 0 2 3 2 1 6 1 0 0 1
23 Sören m 1 1 0 2 1 0 2 3 1 0 2 3 3 1 1 5 2 1 0 3 1 0 2 3 1 0 2 3 2 1 1 424 Stephan m 1 1 0 2 1 0 2 3 0 0 0 0 3 1 1 5 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 1 4
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Hallo Bonbon Tier QuadrateHallo Bonbon Tier Quadrate
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
2,7184 2,1467 1,6494 1,43593,4583 1,9474 1,7059 1,4762
0,7697 0,9048 0,9393 0,65830,3750 0,5263 0,5882 0,3333
1,1516 0,9612 0,8618 0,43641,2500 0,4211 0,3529 0,2381
1,0495 0,8819 0,6642 0,70031,8333 1,0000 0,7647 0,9048
0,9551 0,9196 0,5774
0,9474 0,7647 1,28570,7050 0,7524 1,3836
0,73030,2294
0,3750 0,6316 0,7059 0,3333
1,2500
2,89932,8333
1,1132
1,20831,1413
0,7697
0,3333
2,29081,9524
0,0526 0,35290,8618
1,4225 1,94411,6316 1,8235
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 b (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
1 Alexandra w 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 3 3 0 6 1 0 0 1
2 Anna w 0 0 0 0 3 3 0 6 0 0 0 0 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 0 6 0 0 0 0 1 1 0 2
3 Catrin w 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
4 Hanna w 1 0 2 3 1 0 0 1 1 0 2 3 1 0 0 1
5 Katharina w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 2 1 0 3
6 Mandy w 3 3 2 8 0 0 0 0 1 1 0 2 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3
7 Manuela w 1 0 2 3 2 2 0 4 1 1 0 2 1 0 2 3 1 0 0 1 1 1 0 2
8 Maria w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
9 Nora w 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 5 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 4
10 Rebekka w 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 1 0 2 3 2 1 1 4
11 Yvonne w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12 Nicole w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
13 Sandra w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 Abdul m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 Andre m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 Andreas m 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0
17 David m 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0
18 Isabd m 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 1 1 3 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 0 1
19 Jakob m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 1 1 5 1 0 2 3 3 3 2 8 2 1 0 3
20 Jan m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 4 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
21 Kevin m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 1 4 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
22 KevinV m 3 2 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 Marcel m 3 3 2 8 2 2 1 5 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 1 0 2 1 0 2 3 0 0 0 0
24 Markus m 3 3 0 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 0 6 3 3 0 6 3 3 2 8 1 1 0 2
25 Patrick m 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
26 Sebastian m 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 1 4
27 Thomas m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 028 ThomasS m 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 3 3 2 8 0 0 0 0
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Hallo Bonbon Tier QuadrateHallo Bonbon Tier Quadrate
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
2,7503 2,4013 2,7216 1,46133,2222 1,6154 1,9565 1,1538
0,9608 0,7359 0,9980 0,32581,3333 0,3077 0,7826 0,1154
1,2654 1,1017 1,0369 0,47070,7037 0,5769 0,4348 0,3077
1,0755 1,0792 1,0098 0,82741,1852 0,7308 0,7391 0,7308
2,37812,1538
1,4358
0,42310,5778
0,4231
2,90643,2963
1,1547
0,7407
0,9980
0,5000 0,6087
1,2222
1,3333 0,5000 0,7826
1,06771,2888 1,1575
0,7308 0,8696 1,30771,0414 1,0998
0,5038
2,5699 2,95751,7308 2,2609
0,9608 0,8602
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ���
Bewertungsergebnisse der Klasse 5 c (Gymnasium RD, 30.09.1999)
Nr. Name G
1 Alice w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
2 Alina w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 0 1
3 Heike w 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0
4 Jennifer w 1 0 0 1 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 0 1 3 3 2 8 0 0 0 0
5 Kerstin w 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0
6 Lena w 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 1 2 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 0 3
7 Nele w 1 1 2 4 3 3 2 8 2 2 1 5 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 2 1 1 4
8 Pia w 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 2 2 7 3 2 2 7 1 0 0 1
9 Rebecca w 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 8 3 2 2 7 0 0 0 0 1 0 0 1
10 Sara w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 1 0 0 1
11 Sarah w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 2 1 0 3
12 Simone w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 2 1 0 3
13 Sonja w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 0 3
14 Viktoria w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1
15 Alexander m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 1 1 0 2
16 Andreas m 0 0 0 0 2 1 0 3 1 0 2 3 3 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 0 3
17 AndreasR m 2 2 1 5 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1
18 Benedikt m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 1 0 0 1
19 Christoph m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 Daniel m 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
21 Fabian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4
22 Jan m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 Merve m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
24 Simon m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8
25 Thomas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4
26 Tugba m 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 127 Volker m 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 0 1
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Hallo Bonbon Tier QuadrateHallo Bonbon Tier Quadrate
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
3,8032 3,7693 3,0760 1,91434,8148 4,8519 4,5238 2,0455
1,0127 0,9842 0,9207 0,52841,1111 1,2593 1,3810 0,2273
1,4686 1,4627 1,3166 0,73851,8148 1,7037 1,3333 0,5455
1,3960 1,3960 1,2091 0,82701,8889 1,8889 1,8095 1,27271,7778
3,54504,4815
1,3107
1,5185
1,1852
3,01034,6296 4,1905
1,2868
0,36361,5926 1,14290,7267
1,2593 1,4286 0,3636
1,50021,4510 1,3887
1,7778 1,6190 1,31821,3681 1,1609
0,58110,9623 0,9842 0,8701
2,38002,0455
3,6914
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium RD, 29.05.1999)
Nr. Name G
1 Andrea w 3 3 2 8 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 0 5
2 AnnC w 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6
3 Denise w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0
4 Elisabeth w 1 1 0 2 0 0 0 0 3 2 1 6 3 2 1 6 2 2 1 5 3 2 1 6
5 Eva w 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8 3 2 0 5
6 Hannah w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 2 1 6 1 0 2 3 0 0 0 0 3 1 1 5
7 Janett w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 0 5 3 1 1 5
8 Jennifer w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 2 3 1 1 0 2 3 1 1 5
9 Julia1 w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 2 1 6 3 3 2 8 2 2 1 5 2 0 0 2
10 Julia2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8
11 Lena w 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
12 Lisa w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 2 3 2 1 0 3 0 0 0 0
13 Sarah1 w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 1 5
14 Sarah2 w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
15 Stefanie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6
16 Bernd m 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0
17 Christian m 0 0 0 0 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 1 6
18 Christoph1 m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 2 1 6 1 0 2 3 1 1 0 2 2 1 0 3
19 Christoph2 m 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 5 0 0 0 0 2 1 0 3 2 2 1 5
20 Dennis m 1 1 2 4 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 2 1 0 3 0 0 0 0
21 Fritzof m 1 1 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8
22 Jonas m 1 1 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8
23 Julian m 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0
24 Marcel m 0 0 0 0 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
25 Markus m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6 2 1 0 3
26 Martin m 1 1 0 2 1 0 0 1 3 2 1 6 2 1 0 3 1 1 0 2 2 1 0 3
27 Simon m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 1 1 0 2 3 1 1 5
28 Tim m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 829 Ulrich m 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Mühle WürfelHallo Mühle Würfel Hallo
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
4,6552 3,1200 4,62073,2324 2,3331 2,6781
1,2414 0,3600 0,82760,9508 0,5686 0,7592
1,5172 1,1200 1,51721,3789 0,8813 1,0563
1,8966 1,6400 2,27591,2348 1,0360 1,1306
2,7797 2,2916
0,8000 1,89661,0408 0,8596
1,4800 2,4828
2,6800 5,4138
1,2288 0,9864
0,4000 1,03450,5774 0,5659
1,5172
3,34334,0345
1,2427
1,34481,3700
1,17241,0025
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium RD, 19.05.1999)
Nr. Name G
1 Britta w 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 2 3 2 2 1 5
2 Dania w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 2 2 1 5
3 Janina w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
4 Jasmin w 1 0 2 3 3 0 0 3 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 0 3 3 3 2 8
5 Johanna w 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 2 3 2 2 1 5
6 JuliaM w 3 3 2 8 0 0 0 0 2 2 1 5 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
7 JuliaG w 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8
8 Juliane w 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8
9 Lisa w 1 0 2 3 3 2 1 6 1 0 2 3 3 2 1 6
10 LisaB w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
11 Miriam w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
12 Nathalie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8
13 Sarah w 1 0 2 3 3 0 0 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8
14 Simone w 1 0 2 3 3 2 1 6 3 2 1 6 1 0 2 3 3 3 2 8 3 2 1 6
15 Sophia w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
16 Verena w 3 3 2 8 3 0 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8
17 Bernd m 1 0 2 3 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8
18 Christian m 1 1 0 2 0 0 0 0 3 2 1 6 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8
19 Christopher m 3 3 0 6 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8
20 David m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8
21 Hamed m 2 2 2 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
22 Hendrik m 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8
23 Jens m 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
24 Marco m 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0
25 Sebastian m 1 0 0 1 2 2 1 5 2 1 0 3 3 2 1 626 Volker m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
1,4375 2,73081,3150 0,5335
2,2509 1,74182,0000 6,9231
0,4031 0,5711
0,3750 2,5769
0,1875 1,6154
0,8062 0,7027
1,6154
2,55764,3077
0,9829
1,0769
0,80381,6154
1,3834
1,7692 1,0625 2,69230,9923 1,1815 0,7359
1,1538 0,8750 2,53851,4055 1,0878 0,8593
1,6154 0,3750 1,61540,8038 0,7188 0,6373
4,5385 2,3125 6,84622,5017 2,8918 2,1669
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
Mühle WürfelHallo Mühle Würfel Hallo
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium RD, 20.05.1999)
Nr. Name G
1 Anke w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
2 Anne w 3 2 0 5 1 0 0 1 3 2 1 6 3 1 0 4 2 1 0 3 3 1 1 5
3 AnneP w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 1 1 5
4 Hanna w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
5 JaninaM w 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 1 0 0 1
6 JaninaR w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
7 Kathrin w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
8 Maiken w 1 1 0 2 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8
9 Margot w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
10 Nadine w 3 2 0 5 1 0 0 1 3 3 2 8 1 0 2 3 2 1 1 4 3 3 2 8
11 Nina w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 1 5
12 Pia w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3
13 Rebecca w 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8
14 Stefanie w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5 3 2 1 6 1 1 0 2 2 2 1 5
15 Axel m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
16 Benjamin m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 1 2 3 2 1 6
17 Christian m 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8
18 Daniel m 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8
19 David m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8
20 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
21 Moritz1 m 1 1 0 2 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8
22 Moritz2 m 1 1 0 2 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8
23 Philipp m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8
24 Rolf m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5
25 Sebastian m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8
26 Simon m 1 1 2 4 3 2 1 6 3 2 1 6 3 2 2 7 3 2 1 6 3 1 1 5
27 Sinan m 1 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 5 2 1 0 3 1 0 0 1 2 1 1 4
28 Stefan m 1 1 0 2 2 2 1 5 2 1 0 3 2 2 1 5
29 Sven m 1 1 0 2 1 0 0 1 2 2 1 5 2 1 0 3 1 1 0 2 2 1 1 430 Thorulf m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8 1 0 2 3 3 2 0 5 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Mühle WürfelHallo Mühle Würfel Hallo
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
5,6667 5,1364 6,56672,6042 2,7307 1,9597
1,3667 1,0000 1,53330,9279 0,9258 0,6288
1,9000 1,8636 2,26671,2134 1,0821 0,9803
2,4000 2,2727 2,76670,8550 0,8827 0,5040
2,9039 1,2452
1,4545 2,60001,1843 0,4983
2,1364 2,8333
4,3636 7,0333
0,9902 0,3790
0,7727 1,60000,8125 0,4983
2,2333
2,85675,6667
1,0400
2,10001,1250
1,33330,9589
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.2001)
Nr. Name G
1 Annika w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
2 Carina w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4
3 Jennifer w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4
4 Janine w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 1 1 0 2
5 Janina w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4
6 Jaqueline w 3 2 2 7 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 2 1 1 4
7 Linda w 1 0 0 1 3 3 0 6 2 0 0 2 1 0 0 1 3 3 1 7 1 0 0 1
8 Nesrin w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4
9 Viola w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 1 1 4
10 André m 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 2 0 0 2
11 Benjamin m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 1 0 0 1
12 Daniel1 m 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 2 0 0 2 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 0 0 0 0
13 Daniel2 m 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 2 4 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2
14 Dennis m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 1 1 5 1 1 0 2 3 3 2 8 2 0 0 2
15 Erdogan m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1
16 Hannes m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 2 6 3 0 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3
17 Henning m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 0 0 3 3 3 2 8 2 2 0 4 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8
18 Marc m 0 0 0 0 0 0 0 0
19 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1
20 Philip m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8
21 Philipp m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8
22 Shaum m 3 2 1 6 1 3 0 4
23 Sören m 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 1 7 2 1 1 4
24 Thilo m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
25 Tobias m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 626 Yannik m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 0 4 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Hallo Bonbon Tier QuadrateHallo Bonbon Tier Quadrate
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
2,4695 2,8058 1,6602 2,41926,5385 6,5455 7,3846 3,8000
0,8566 0,9342 0,6304 0,71641,4231 1,4545 1,6923 0,7500
0,9899 1,2136 0,5547 1,05012,5000 2,4545 2,8462 1,0500
0,8521 0,8090 0,5547 0,79472,6154 2,6364 2,8462 2,0000
2,5455 2,4615
1,4545 1,5385
2,5455 2,84621,0357 0,5547
1,0357 1,0500
1,97024,7500
2,8413 2,07556,5455 6,8462
0,9342 0,8771
2,70000,7327
0,9445
0,6489
1,0500
1,0000
2,6538
2,63936,6154
0,8458
2,38461,0983
1,57690,7575
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)
Nr. Name G
1 Anne-Kati w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8
2 Ergi w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
3 Mara w 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 0 1 3 2 1 6
4 Miriam w 1 0 0 1 3 2 1 6 1 1 0 2 3 2 1 6
5 Nina w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 1 7
6 Sarah2 w 1 0 0 1 0 0 0 0 3 3 2 8 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8
7 Sarah1 w 3 3 2 8 3 2 2 7 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8
8 Selma w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
9 Sibel w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
10 Yvonne w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 1 7 3 2 1 6
11 Alexander m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
12 Christian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
13 Dennis m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8
14 Dustin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
15 Jan m 3 3 2 8 3 2 0 5 2 2 1 5 3 3 2 8 2 3 0 5 3 3 2 8
16 Kail m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
17 Maik m 3 1 2 6 3 2 1 6 2 0 2 4 2 1 0 3
18 Marcel m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8 3 3 2 8
19 Michael m 1 0 0 1 3 2 1 6 1 0 0 1 3 2 1 6
20 Niclas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
21 Roman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7
22 Sebastian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 623 Tobias m 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 5 1 0 0 1 2 1 0 3 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1.
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
2,5217
3,00336,2609
0,9472
2,21741,2777
1,15476,1053 7,0000
1,5217 1,4211 1,5455
3,0893
1,0733 0,2942
1,2283
0,8458 0,9016 0,5096
2,2105 2,54550,5096
2,95450,2132
2,4737 2,9091 2,5217 2,47370,7903 1,0203
1,59090,5903
2,2174 2,42111,2416 1,1698
2,68180,5679
1,4348 1,36840,8958 0,8951
6,1739 6,26322,8067 2,9409
7,22731,2699
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
Bonbon WürfelHallo Bonbon Würfel Hallo
ANHANG J� ERGEBNISSE ANALYTISCHE BEWERTUNGEN ��
Bewertungsergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.2001)
Nr. Name G
1 Bettina w 3 2 1 6 2 2 1 5 3 1 0 4 3 2 1 6
2 Daniela w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6
3 Jessica w 3 3 2 8 3 3 2 8
4 Johanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
5 Julia w 3 3 2 8 3 2 0 5 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8
6 Julyana w 3 3 2 8 3 3 2 8
7 Liba w 3 3 2 8 3 0 2 5 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 1 7
8 Lena w 3 3 1 7 0 0 0 0 3 2 1 6 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6
9 Linda w 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 6
10 Mirella w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 1 1 5
11 Nicole w 3 3 2 8 3 3 2 8
12 Patricia w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8
13 Sanja w 3 3 2 8 3 3 1 7 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
14 Susanne w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
15 DanielM m 1 1 0 2 1 0 2 3 3 2 1 6 2 1 0 3 3 1 2 6 3 2 1 6
16 Felix m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8
17 Jannik m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
18 Jens m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8
19 Malte m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
20 Marian m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
21 Marwin m 3 2 0 5 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8
22 Merih m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8 2 1 0 3
23 Nico m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 2 2 1 5
24 Nils m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6
25 Norman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
26 Samy m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 1 7 3 2 1 6
27 Sebastian m 1 1 0 2 3 3 2 8 2 3 1 6 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 1 7
28 Sven m 2 1 0 3 2 1 0 3 3 2 1 6 1 0 0 1 2 1 0 3 3 2 1 6
29 Tim m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 630 Yassin m 3 3 2 8 2 0 0 2 3 2 1 6 3 3 2 8 2 1 0 3 3 1 1 5
Mittelwert Phase 1:
Standardabw.Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittel wert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Bonbon WürfelHallo Bonbon Würfel Hallo
Bewertung A des Autors Bewertung B der Studentin
Problemstellung Problemstellung
6,8214 5,4762 6,70832,2287 2,7316 1,1221
1,5357 1,2381 1,37500,7927 0,9952 0,4945
2,5000 1,9048 2,37500,9623 1,2209 0,6469
2,7857 2,3333 2,95830,5681 0,9129 0,2041
2,2857 2,83331,0556 0,4815
1,3836
0,7927 0,9562 0,5836
1,45905,2857 6,7083
1,5357 1,2857 1,4167
1,7143 2,4583
2,6786
2,33536,7500
0,7228
2,53570,8812 0,5882
2,8486
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE �
Ergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Alexandra1 w 8 3 2 0
2 Alexandra2 w 8 1 2 1
3 Alicia w 8 7 0 1
4 Ann-Catrin w 7 2 2 1
5 Carina w 8 2 2 1
6 Christina w 1 6 2
7 Hannah w 5 8 2 1
8 Jennifer w 6 5 2 1
9 Julia w 1 6 8 4
10 Marah w 3 1 1 2
11 Sarah1 w 1 1 8 1
12 Sarah2 w 0 3 0 1
13 Silke w 8 8 4 7
14 Uta w 1 1 1
15 Alexander m 1 4 8 8
16 Björn m 0 4
17 Christian m 3 0
18 DanielK m 8 0
19 DanielR m 3 0 0 3
20 Dennis m 3
21 Frank m 6 0 3
22 Hannes m 1 8 4 2
23 Julian m 2 0
24 Leonhard m 5 4
25 Marius m 3 1
26 Mathias m 7 1 0 2
27 Peter m 3 4
28 Philip m 7 1
29 Raphael m 0 3 8 430 Stefan m
Mittelwert: 4,0345 3,3158 2,8571 2,4000Standardabweichung: 2,9578 2,8685 2,9881 1,9791
gemittelte Bewertung
Problemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Kristina w 2 8 4 1
2 Marie-Chrisw 6 5 6 0
3 Andreas m 0 3
4 JanA m 3 1 8 2
5 Jan m 6 8 4 7
6 Jonas m 6 8 1
7 Muji m 3 0 0
8 Pedro m 3 8 8 4
9 Simon m 3 8 7 8
10 Stehen m 3 8 111 Tim m 8 4 2 8
Mittelwert: 3,9091 6,0000 5,5000 3,1818Standardabweichung: 2,3002 2,7689 2,8771 3,1247
gemittelte Bewertung
Problemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel
1 Arijane w 6
2 Christina w 8 4
3 Janine w 8 3
4 Karina w 6
5 Naima w 1 6
6 Nora w 8 1
7 Romy w 8 1
8 Sarah2 w 8
9 Sarah1 w 3 4
10 Svenja w 8 4
11 Lehna w 8 6 4
12 Adrian m 8 7
13 Daniel1 m 8 4
14 Daniel2 m 8 2 5
15 Dominik2 m 8 2 8
16 Dominik1 m 8 7 8
17 Elif m 8 4
18 Emanuel m 3 1
19 Farkad m 6 6
20 Hüseyin m 1
21 Lawrence m 8 6
22 Leander m 8 5
23 Matthias2 m 7 2 8
24 Matthias1 m 3 6 2
25 Oliver m 8
26 Osman m 8 6
27 Simon m 8 528 Sebastian m 8 2 8
Mittelwert: 6,7143 3,0000 5,3500Standardabweichung: 2,2748 2,3570 1,7852
gemittelte Bewertung
Problemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE �
Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel
1 Cathrin w 8 6 5
2 Denise w 5 8
3 Diana w 8 6
4 Esra w 8 5 8
5 Gülhan w 8 5
6 Hanna w 8 8 6
7 Inga w 8 6 8
8 Jessica w 4 5 8
9 Miriam w 8 8
10 Ouafaa w 8 4 8
11 Sarah w 8 2 5
12 Stefanie w 8 6
13 Tessa w 8 8 8
14 Carsten m 4 1 3
15 Daniel m 4 1 4
16 David m 0
17 Dominik m 3 2 6
18 Engin m 2 6
19 Jan m 8 4 8
20 Marco m 8 3 8
21 Martin m 8 8 6
22 Mathias m 8 7 0
23 Max m 8 2
24 Merih m 8 8 5
25 Mumin m 0 3 8
26 Peter m 8 2 5
27 Sebastian1 m 8 2
28 Sebastian2 m 1 4 829 Thorsten m 8 3 4
Mittelwert: 6,3103 4,3043 6,2000Standardabweichung: 2,7530 2,3633 2,0412
gemittelte Bewertung
Problemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Abigail w 1 0 0
2 Edith w 7 2 3 1
3 Ines w 1 0 1 0
4 Jessica w 3 1 1
5 Lisa1 w 8 1 1 1
6 Lisa2 w 3 1 7 1
7 MarieC w 8 2
8 Ronja1 w 3 1 5 1
9 Ronja2 w 8 1 1
10 Sarah w 3 6 1 1
11 Stefanie w 0 0 0 4
12 Adnan m 3 0 0 4
13 André m 0
14 Andrei m 2 0 3 3
15 Dominik m 3 1 1
16 Felix m 0 3 3 4
17 Fritz m 8 3 0
18 Heiko m 7 7 3 4
19 JanA m 1 1
20 JanB m 0 3 3 0
21 Marcel m 3 2 2
22 Sebastian m 3 2
23 Sören m 3 3 3 424 Stephan m 3 2 1 4
Mittelwert: 3,3750 1,9474 2,1176 1,9048Standardabweichung: 2,7790 1,9285 1,9001 1,5461
gemittelte Bewertung
Problemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 5 b (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Alexandra w 3 5 1
2 Anna w 0 7 0 3
3 Catrin w 0 1 0 1
4 Hanna w 3 1
5 Katharina w 8 1 8 4
6 Mandy w 8 0 1 4
7 Manuela w 3 3 3
8 Maria w 1 0 0
9 Nora w 3 0 0 4
10 Rebekka w 6 1 3 4
11 Yvonne w 0 0 0 0
12 Nicole w 0 3 0 0
13 Sandra w 0 0 0 0
14 Abdul m 3 0 0 0
15 Andre m 0 0
16 Andreas m 3 3 3 0
17 David m 6 0 3 0
18 Isabd m 3 0 3 2
19 Jakob m 3 8 4
20 Jan m 3 0 0 3
21 Kevin m 3 0 0 3
22 KevinV m 7 0 0 2
23 Marcel m 6 4 3 0
24 Markus m 7 8 8 4
25 Patrick m 0 3 0 0
26 Sebastian m 6 1 6 4
27 Thomas m 0 0 028 ThomasS m 6 8 1
Mittelwert: 3,3704 1,8462 2,1739 1,6923Standardabweichung: 2,7054 2,6030 2,8228 1,7383
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 5 c (Gymnasium RD, 30.09.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Alice w 6 0 8
2 Alina w 8 8 3 1
3 Heike w 1 8 8 1
4 Jennifer w 1 8 1
5 Kerstin w 1 8 8 2
6 Lena w 6 0 3 4
7 Nele w 6 8 4 4
8 Pia w 8 5 5 1
9 Rebecca w 8 5 0 1
10 Sara w 8 8 5 1
11 Sarah w 8 8 3 2
12 Simone w 8 8 4 2
13 Sonja w 8 8 3 4
14 Viktoria w 8 8 8 2
15 Alexander m 8 3 8 2
16 Andreas m 0 2 3 4
17 AndreasR m 4 1
18 Benedikt m 8 8 6 2
19 Christoph m 1 0 1
20 Daniel m 1 0 1 2
21 Fabian m 8 8 8 4
22 Jan m 1 1
23 Merve m 1 0 0 1
24 Simon m 7 8
25 Thomas m 8 8 8 4
26 Tugba m 1 127 Volker m 0 0 3 3
Mittelwert: 4,9259 4,8148 4,3810 2,5455Standardabweichung: 3,3618 3,5953 2,7835 1,7107
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium RD, 27.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel
1 Andrea w 8 1 5
2 AnnC w 1 0 6
3 Denise w 0 2 1
4 Elisabeth w 3 2 6
5 Eva w 8 5
6 Hannah w 3 0 6
7 Janett w 8 5 6
8 Jennifer w 3 2 6
9 Julia1 w 8 2 4
10 Julia2 w 8 1 7
11 Lena w 0 8
12 Lisa w 3 2 3
13 Sarah1 w 8 6
14 Sarah2 w 8 6 6
15 Stefanie w 3 1 5
16 Bernd m 3 0 0
17 Christian m 3 6 6
18 Christoph1 m 3 6 5
19 Christoph2 m 0 3 5
20 Dennis m 6 2 0
21 Fritzof m 3 5 8
22 Jonas m 3 5 8
23 Julian m 0 2 1
24 Marcel m 0 8
25 Markus m 8 6 5
26 Martin m 3 2 5
27 Simon m 8 4 6
28 Tim m 8 3 829 Ulrich m 8 5 5
Mittelwert: 4,4138 2,9200 5,1724Standardabweichung: 3,1341 2,0396 2,2689
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium RD, 19.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel
1 Britta w 3 5
2 Dania w 3 0 7
3 Janina w 8 2 8
4 Jasmin w 3 4 8
5 Johanna w 3 5
6 JuliaM w 8 0 6
7 JuliaG w 3 8
8 Juliane w 3 8
9 Lisa w 3 6
10 LisaB w 8 2 8
11 Miriam w 8 2 8
12 Nathalie w 3 1 8
13 Sarah w 3 5 8
14 Simone w 3 7 6
15 Sophia w 8 3 8
16 Verena w 8 5 8
17 Bernd m 3 8
18 Christian m 3 0 7
19 Christopher m 7 8
20 David m 3 7 8
21 Hamed m 7 8
22 Hendrik m 3 0 8
23 Jens m 0 1 3
24 Marco m 3 0 1
25 Sebastian m 3 526 Volker m 8 8
Mittelwert: 4,5385 2,4375 6,8846Standardabweichung: 2,4857 2,4757 1,8183
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium RD, 20.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Mühle Würfel
1 Anke w 8 8
2 Anne w 5 2 6
3 AnneP w 8 3 6
4 Hanna w 8 7 8
5 JaninaM w 8 3 3
6 JaninaR w 8 8
7 Kathrin w 8 7 8
8 Maiken w 3 8
9 Margot w 8 3 8
10 Nadine w 4 3 8
11 Nina w 8 6
12 Pia w 8 5
13 Rebecca w 8 4 8
14 Stefanie w 7 4 5
15 Axel m 8 8
16 Benjamin m 8 1 6
17 Christian m 0 8 8
18 Daniel m 3 8 8
19 David m 3 7 8
20 Michael m 8 8 8
21 Moritz1 m 3 8 8
22 Moritz2 m 3 8
23 Philipp m 6 8 8
24 Rolf m 8 7 6
25 Sebastian m 8 3 8
26 Simon m 5 5 6
27 Sinan m 3 1 5
28 Stefan m 3 5
29 Sven m 3 2 530 Thorulf m 3 6 8
Mittelwert: 5,8000 4,9091 6,9333Standardabweichung: 2,5107 2,5243 1,4368
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Tier Quadrate
1 Annika w 8 8
2 Carina w 8 4
3 Jennifer w 8 4
4 Janine w 8 3
5 Janina w 8 4
6 Jaqueline w 8 2 8 4
7 Linda w 1 7 2
8 Nesrin w 8 4
9 Viola w 8 4
10 André m 8 4
11 Benjamin m 8 1
12 Daniel1 m 8 7 8 2
13 Daniel2 m 8 8 4
14 Dennis m 1 8 4
15 Erdogan m 8 8 8 1
16 Hannes m 8 8 8 4
17 Henning m 2 8 5 8
18 Marc m 0
19 Michael m 8 8 8 3
20 Philip m 8 8
21 Philipp m 6 8 8
22 Shaum m 4
23 Sören m 8 4
24 Thilo m 8 8 8 5
25 Tobias m 8 8 8 526 Yannik m 5 8
Mittelwert: 6,5769 6,7273 7,3077 4,3000Standardabweichung: 2,6408 2,6112 1,5484 1,8666
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)
Nr. Name G
Hallo Bonbon Würfel
1 Anne-Kati w 8 1 8
2 Ergi w 8 8 8
3 Mara w 1 6
4 Miriam w 2 6
5 Nina w 8 0 8
6 Sarah2 w 3 0 8
7 Sarah1 w 8 7 8
8 Selma w 8 8
9 Sibel w 8 8 8
10 Yvonne w 8 7 7
11 Alexander m 8 8 8
12 Christian m 8 8 8
13 Dennis m 5 8 8
14 Dustin m 8 8 8
15 Jan m 8 5 6
16 Kail m 8 8 7
17 Maik m 5 5
18 Marcel m 8 8 8
19 Michael m 1 6
20 Niclas m 8 8 7
21 Roman m 8 8 8
22 Sebastian m 8 8 623 Tobias m 1 2 6
Mittelwert: 6,3478 6,2105 7,1818Standardabweichung: 2,7238 3,0107 1,0065
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG K� GEMITTELTE HOLISTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.1999)
Nr. Name G
Hallo BV Würfel
1 Bettina w 5 5
2 Daniela w 8 6
3 Jessica w 8
4 Johanna w 8 8
5 Julia w 8 5 8
6 Julyana w 8
7 Liba w 8 6 8
8 Lena w 8 2 6
9 Linda w 4 4
10 Mirella w 8 6
11 Nicole w 8
12 Patricia w 8 8 8
13 Sanja w 8 8 6
14 Susanne w 8 8
15 DanielM m 4 4 6
16 Felix m 8 3 8
17 Jannik m 8 8
18 Jens m 1 8 8
19 Malte m 8 8
20 Marian m 8 1 8
21 Marwin m 5 8
22 Merih m 8 4
23 Nico m 8 3 7
24 Nils m 6 8 6
25 Norman m 8 8 8
26 Samy m 8 6
27 Sebastian m 3 8 7
28 Sven m 2 4 6
29 Tim m 8 8 630 Yassin m 8 3 6
Mittelwert: 6,8929 5,7143 6,7917Standardabweichung: 2,1141 2,4524 1,1788
gemittelte BewertungProblemstellung
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
1 Alexandra1 w 3 3 2 8 2 1 1 4 1 1 1 3 0 0 0 0
2 Alexandra2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1
3 Alicia w 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0 1 0 0 1
4 Ann-Catrin w 3 3 0 6 1 0 1 2 1 1 0 2 1 0 0 1
5 Carina w 3 3 2 8 1 0 1 2 1 1 0 2 1 0 0 1
6 Christina w 1 1 0 2 2 2 2 6 2 1 1 4
7 Hannah w 2 2 1 5 3 3 2 8 1 1 0 2 1 0 0 1
8 Jennifer w 3 2 1 6 2 2 1 5 1 1 0 2 1 0 0 1
9 Julia w 1 1 0 2 2 2 2 6 3 3 2 8 3 1 1 5
10 Marah w 2 1 0 3 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 2
11 Sarah1 w 1 1 0 2 0 0 0 0 3 3 1 7 1 1 0 2
12 Sarah2 w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 1 1 0 2
13 Silke w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 1 7
14 Uta w 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1
15 Alexander m 1 0 0 1 2 2 1 5 3 3 2 8 3 3 2 8
16 Björn m 0 0 0 0 3 1 1 5
17 Christian m 1 0 2 3 0 0 0 0
18 DanielK m 3 3 2 8 0 0 0 0
19 DanielR m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3
20 Dennis m 2 1 1 4
21 Frank m 2 2 2 6 0 0 0 0 1 0 2 3
22 Hannes m 1 0 0 1 3 3 2 8 2 2 1 5 1 0 0 1
23 Julian m 1 0 1 2 0 0 0 0
24 Leonhard m 3 2 1 6 3 1 1 5
25 Marius m 2 1 1 4 2 0 0 2
26 Mathias m 3 3 0 6 1 1 0 2 0 0 0 0 1 0 1 2
27 Peter m 2 2 1 5 3 1 1 5
28 Philip m 3 3 0 6 1 0 0 1
29 Raphael m 0 0 0 0 2 1 1 4 3 3 2 8 3 1 1 530 Stefan m
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
1,1233 0,95741,1905 1,6000
1,1526 0,86601,5172 1,1053 1,1429 0,6000
0,8106 0,71180,8621 0,9474 0,5714 0,5600
2,9984 2,14634,2414 3,5263 2,9048 2,7600
1,8621 1,4737
2,7341 2,9883
0,8752 0,8481
1,2136 1,2425
1,0598 1,0733
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Hallo Bonbon Tier Quadrate
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium LF, 21.05.1999)
Nr. Name G
1 Kristina w 2 1 0 3 3 3 2 8 2 2 1 5 1 0 0 1
2 Marie-Chrisw 2 2 2 6 2 2 1 5 3 2 2 7 0 0 0 0
3 Andreas m 0 0 0 0 1 0 2 3
4 JanA m 2 1 0 3 1 0 0 1 3 3 2 8 2 0 0 2
5 Jan m 2 2 2 6 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 2 7
6 Jonas m 2 2 2 6 3 3 2 8 1 0 0 1
7 Muji m 2 2 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0
8 Pedro m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5
9 Simon m 2 1 1 4 3 3 1 7 3 3 0 6 3 3 2 8
10 Stehen m 2 1 0 3 3 3 2 8 1 0 0 111 Tim m 3 3 2 8 1 0 2 3 1 1 0 2 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:Standardabw. Ph.3
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.: 3,16523,2727
0,98160,8182
1,25050,8182
1,20601,6364
Problemstellung
Hallo Bonbon Tier Quadrate
4,2727 5,71432,1950 2,8115
0,9244 1,4142
5,70002,7909
1,0909 1,42860,9439 0,7868
1,20000,9189
2,20001,0328
1,8182 2,28570,7508 0,9512
2,30001,0593
1,3636 2,0000
gemittelte Bewertung
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium MG, 03.05.1999)
Nr. Name G
1 Arijane w 3 2 1 6
2 Christina w 3 3 2 8 2 2 1 5
3 Janine w 3 3 2 8 1 1 1 3
4 Karina w 3 2 1 6
5 Naima w 1 0 0 1 3 2 1 6
6 Nora w 3 3 2 8 0 0 0 0
7 Romy w 3 3 2 8 1 0 0 1
8 Sarah2 w 3 3 2 8
9 Sarah1 w 1 1 0 2 2 1 1 4
10 Svenja w 3 3 2 8 2 2 1 5
11 Lehna w 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5
12 Adrian m 3 3 2 8 3 3 2 8
13 Daniel1 m 3 3 2 8 2 2 1 5
14 Daniel2 m 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6
15 Dominik2 m 3 3 2 8 1 1 1 3 3 3 2 8
16 Dominik1 m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
17 Elif m 3 3 2 8 2 1 1 4
18 Emanuel m 1 0 2 3 1 0 0 1
19 Farkad m 2 2 2 6 3 2 1 6
20 Hüseyin m 1 0 0 1
21 Lawrence m 3 3 2 8 3 2 1 6
22 Leander m 3 3 2 8 2 2 1 5
23 Matthias2 m 3 2 2 7 1 1 0 2 3 3 2 8
24 Matthias1 m 1 0 2 3 3 2 1 6 1 0 1 2
25 Oliver m 3 3 2 8
26 Osman m 3 3 2 8 3 2 1 6
27 Simon m 3 3 2 8 2 2 1 528 Sebastian m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.: 0,7860 1,0801 0,68066,6786 3,0000 5,6500
0,6587 0,7071 0,44431,7143 0,5000 1,2500
1,0959 1,0541 0,79472,3571 1,0000 2,0000
0,7860 1,0801 0,68062,6071 1,5000 2,4000
Hallo Mühle Würfel
gemittelte Bewertung
Problemstellung
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium MG, 03.05.2001)
Nr. Name G
1 Cathrin w 3 3 2 8 3 2 2 7 2 2 1 5
2 Denise w 3 2 1 6 3 3 2 8
3 Diana w 3 3 2 8 3 2 1 6
4 Esra w 3 3 2 8 3 2 2 7 3 3 2 8
5 Gülhan w 3 3 2 8 3 2 1 6
6 Hanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
7 Inga w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8
8 Jessica w 2 2 1 5 3 2 1 6 3 3 2 8
9 Miriam w 3 3 2 8 3 3 2 8
10 Ouafaa w 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8
11 Sarah w 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5
12 Stefanie w 3 3 2 8 3 2 2 7
13 Tessa w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
14 Carsten m 2 0 2 4 1 1 0 2 1 2 1 4
15 Daniel m 2 0 2 4 1 1 0 2 2 2 1 5
16 David m 0 0 0 0
17 Dominik m 1 1 0 2 1 1 0 2 3 3 2 8
18 Engin m 1 1 0 2 3 2 1 6
19 Jan m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 3 2 8
20 Marco m 3 3 2 8 2 2 0 4 3 3 2 8
21 Martin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
22 Mathias m 3 3 2 8 3 3 2 8 0 0 0 0
23 Max m 3 3 2 8 2 1 0 3
24 Merih m 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5
25 Mumin m 0 0 0 0 1 2 1 4 3 3 2 8
26 Peter m 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6
27 Sebastian1 m 3 3 2 8 1 1 0 2
28 Sebastian2 m 1 0 0 1 2 1 1 4 3 3 2 829 Thorsten m 3 3 2 8 1 1 0 2 2 2 1 5
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Hallo Mühle Würfel
2,4828 2,0870 2,60000,9495 0,9002 0,7638
2,2759 1,8261 2,40001,1921 0,7777 0,7071
1,5862 0,9130 1,4800
0,7800 0,8482 0,5859
6,3448 4,8261 6,48002,8002 2,3941 1,9332
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 5 a (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
1 Abigail w 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 Edith w 3 3 1 7 1 1 0 2 2 1 0 3 1 0 0 1
3 Ines w 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 Jessica w 2 1 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0
5 Lisa1 w 3 3 2 8 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
6 Lisa2 w 2 1 0 3 1 0 0 1 2 3 1 6 1 0 0 1
7 MarieC w 3 3 2 8 2 1 1 4
8 Ronja1 w 2 1 0 3 1 0 0 1 2 2 1 5 1 0 0 1
9 Ronja2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 0 0 0 0
10 Sarah w 2 1 0 3 3 2 1 6 1 0 0 1 1 0 0 1
11 Stefanie w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 3
12 Adnan m 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3
13 André m 0 0 0 0
14 Andrei m 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3
15 Dominik m 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1
16 Felix m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 3 2 1 6
17 Fritz m 3 3 2 8 1 0 2 3 0 0 0 0
18 Heiko m 3 3 0 6 3 2 1 6 1 0 2 3 3 1 1 5
19 JanA m 1 0 0 1 1 0 0 1
20 JanB m 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0
21 Marcel m 2 1 0 3 2 1 0 3 2 0 0 2
22 Sebastian m 2 2 1 5 2 0 0 2
23 Sören m 2 1 0 3 1 0 2 3 1 0 2 3 3 1 1 524 Stephan m 2 1 0 3 1 0 1 2 1 0 0 1 3 1 1 5
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Hallo Bonbon Tier Quadrate
1,7917 1,0526
2,7343 1,8097
0,7755 0,8377
1,1516 0,6710
1,9001 1,94693,4583 1,9474 1,8824 2,0952
0,9196 0,58960,4167 0,5789 0,7059 0,3810
0,8618 0,57740,3529 0,3333
1,0206 0,8481 0,7276 1,07130,8235 1,3810
1,2500 0,3158
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 5 b (Gymnasium RD, 01.10.1999)
Nr. Name G
1 Alexandra w 1 0 2 3 2 2 1 5 1 0 0 1
2 Anna w 0 0 0 0 3 3 0 6 0 0 0 0 2 1 0 3
3 Catrin w 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
4 Hanna w 1 0 2 3 1 0 0 1
5 Katharina w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5
6 Mandy w 3 3 2 8 0 0 0 0 1 1 0 2 3 1 1 5
7 Manuela w 1 0 2 3 2 1 0 3 1 1 0 2
8 Maria w 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
9 Nora w 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 5
10 Rebekka w 2 2 2 6 1 1 0 2 1 0 2 3 3 1 1 5
11 Yvonne w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12 Nicole w 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
13 Sandra w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 Abdul m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 Andre m 0 0 0 0 0 0 0 0
16 Andreas m 1 0 2 3 1 0 2 3 1 0 2 3 0 0 0 0
17 David m 2 2 2 6 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0
18 Isabd m 1 0 2 3 0 0 0 0 1 0 2 3 1 1 1 3
19 Jakob m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 1 1 5
20 Jan m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 3
21 Kevin m 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 3
22 KevinV m 3 3 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 4
23 Marcel m 2 2 2 6 2 2 1 5 1 0 2 3 0 0 0 0
24 Markus m 3 3 0 6 3 3 1 7 3 3 2 8 2 2 1 5
25 Patrick m 0 0 0 0 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
26 Sebastian m 2 2 2 6 1 0 0 1 2 2 2 6 3 1 1 5
27 Thomas m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 028 ThomasS m 2 2 2 6 3 3 2 8 0 0 0 0
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Hallo Bonbon Tier
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Quadrate
1,2222 0,8462 0,8261 1,19231,0127 1,0466 1,0292 1,2655
0,8519 0,6154 0,5652 0,42311,1995 1,0612 1,0798 0,5778
1,3333 0,4231 0,7826 0,42310,9608 0,7575 0,9980 0,5038
3,4074 1,8846 2,1739 2,03852,6927 2,4711 2,8067 2,1997
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 5 c (Gymnasium RD, 30.09.1999)
Nr. Name G
1 Alice w 2 2 2 6 0 0 0 0 3 3 2 8
2 Alina w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 1 0 0 1
3 Heike w 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1
4 Jennifer w 1 0 0 1 3 3 2 8 0 0 0 0
5 Kerstin w 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1
6 Lena w 2 2 2 6 0 0 0 0 1 0 2 3 2 1 1 4
7 Nele w 2 2 2 6 3 3 2 8 2 2 1 5 3 1 1 5
8 Pia w 3 3 2 8 2 1 2 5 2 1 2 5 1 0 0 1
9 Rebecca w 3 3 2 8 2 1 2 5 0 0 0 0 1 0 0 1
10 Sara w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 2 5 1 0 0 1
11 Sarah w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 0 3 1 1 0 2
12 Simone w 3 3 2 8 3 3 2 8 2 2 1 5 1 1 0 2
13 Sonja w 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 2 3 3 1 1 5
14 Viktoria w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 0 2
15 Alexander m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8 1 1 0 2
16 Andreas m 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 2 3 3 1 1 5
17 AndreasR m 2 2 1 5 1 0 0 1
18 Benedikt m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 2 0 0 2
19 Christoph m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 Daniel m 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2
21 Fabian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5
22 Jan m 0 0 0 0 0 0 0 0
23 Merve m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
24 Simon m 3 3 1 7 3 3 2 8
25 Thomas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 1 1 5
26 Tugba m 1 0 0 1 1 0 0 127 Volker m 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 3 1 0 0 1
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.: 3,5522 3,6409 2,9592 2,10964,8148 4,7778 4,4286 2,5455
0,9623 0,9842 0,8701 0,58111,1852 1,2593 1,4286 0,3636
1,4031 1,4412 1,3093 0,73851,7407 1,6667 1,2857 0,5455
1,2506 1,3215 1,1464 1,00221,8889 1,8519 1,7143 1,6364
Hallo Bonbon Tier Quadrate
gemittelte Bewertung
Problemstellung
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium RD, 29.05.1999)
Nr. Name G
1 Andrea w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 2 1 6
2 AnnC w 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 1 6
3 Denise w 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0
4 Elisabeth w 2 2 1 5 1 1 1 3 3 2 1 6
5 Eva w 3 3 2 8 3 2 1 6
6 Hannah w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 2 1 6
7 Janett w 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6
8 Jennifer w 1 0 2 3 1 1 0 2 3 2 1 6
9 Julia1 w 3 3 2 8 1 1 1 3 3 1 1 5
10 Julia2 w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8
11 Lena w 0 0 0 0 3 3 2 8
12 Lisa w 1 0 2 3 2 1 0 3 2 1 1 4
13 Sarah1 w 3 3 2 8 3 2 1 6
14 Sarah2 w 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 1 6
15 Stefanie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 2 1 6
16 Bernd m 2 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0
17 Christian m 2 1 1 4 3 2 1 6 3 2 1 6
18 Christoph1 m 1 0 2 3 2 2 1 5 3 2 1 6
19 Christoph2 m 0 0 0 0 2 1 0 3 2 2 1 5
20 Dennis m 2 2 2 6 2 1 0 3 0 0 0 0
21 Fritzof m 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8
22 Jonas m 2 1 0 3 3 2 1 6 3 3 2 8
23 Julian m 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 0 1
24 Marcel m 0 0 0 0 3 3 2 8
25 Markus m 3 3 2 8 3 2 1 6 3 2 1 6
26 Martin m 2 1 0 3 1 1 0 2 3 2 1 6
27 Simon m 3 3 2 8 2 2 1 5 3 2 1 6
28 Tim m 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 829 Ulrich m 3 3 2 8 3 2 1 6 2 2 1 5
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
4,4828 3,2400 5,44833,1580 2,1268 2,3541
1,2414 0,4800 1,06900,9508 0,5099 0,5935
1,4483 1,1200 1,86211,3519 0,7810 0,9151
1,7931 1,6400 2,51721,1765 0,9950 0,9864
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Hallo Mühle Würfel
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ���
Ergebnisse der Klasse 6 b (Gymnasium RD, 19.05.1999)
Nr. Name G
1 Britta w 1 0 2 3 2 2 1 5
2 Dania w 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8
3 Janina w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
4 Jasmin w 1 0 2 3 3 1 0 4 3 3 2 8
5 Johanna w 1 0 2 3 2 2 1 5
6 JuliaM w 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
7 JuliaG w 1 0 2 3 3 3 2 8
8 Juliane w 1 0 2 3 3 3 2 8
9 Lisa w 1 0 2 3 3 2 1 6
10 LisaB w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
11 Miriam w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
12 Nathalie w 1 0 2 3 1 0 0 1 3 3 2 8
13 Sarah w 1 0 2 3 3 1 1 5 3 3 2 8
14 Simone w 1 0 2 3 3 3 2 8 3 2 1 6
15 Sophia w 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 8
16 Verena w 3 3 2 8 3 1 1 5 3 3 2 8
17 Bernd m 1 0 2 3 3 3 2 8
18 Christian m 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8
19 Christopher m 3 3 0 6 3 3 2 8
20 David m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8
21 Hamed m 3 3 2 8 3 3 2 8
22 Hendrik m 1 0 2 3 0 0 0 0 3 3 2 8
23 Jens m 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 1 4
24 Marco m 2 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1
25 Sebastian m 2 1 0 3 3 2 1 626 Volker m 3 3 2 8 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
1,1538 0,8125 2,6154
1,2583 0,4915
1,6923
1,4055 0,9811 0,7524
1,6154 0,4375
2,6250 7,1154
0,8038 0,7274 0,5491
4,53852,5017 2,7538 1,7280
1,7692 1,3750 2,80770,9923
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Hallo Mühle Würfel
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium RD, 20.05.1999)
Nr. Name G
1 Anke w 3 3 2 8 3 3 2 8
2 Anne w 3 2 0 5 2 1 0 3 3 2 1 6
3 AnneP w 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6
4 Hanna w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
5 JaninaM w 3 3 2 8 1 1 0 2 2 1 1 4
6 JaninaR w 3 3 2 8 3 3 2 8
7 Kathrin w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
8 Maiken w 2 1 0 3 3 3 2 8
9 Margot w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8
10 Nadine w 2 1 1 4 2 1 1 4 3 3 2 8
11 Nina w 3 3 2 8 3 2 1 6
12 Pia w 3 3 2 8 3 2 1 6
13 Rebecca w 3 3 2 8 2 1 0 3 3 3 2 8
14 Stefanie w 3 3 2 8 2 2 1 5 2 2 1 5
15 Axel m 3 3 2 8 3 3 2 8
16 Benjamin m 3 3 2 8 1 0 1 2 3 2 1 6
17 Christian m 0 0 0 0 3 3 2 8 3 3 2 8
18 Daniel m 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8
19 David m 1 0 2 3 3 3 2 8 3 3 2 8
20 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
21 Moritz1 m 2 1 0 3 3 3 2 8 3 3 2 8
22 Moritz2 m 2 1 0 3 3 3 2 8
23 Philipp m 2 2 2 6 3 3 2 8 3 3 2 8
24 Rolf m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
25 Sebastian m 3 3 2 8 2 1 1 4 3 3 2 8
26 Simon m 2 2 2 6 3 2 1 6 3 2 1 6
27 Sinan m 2 1 0 3 1 0 0 1 2 2 1 5
28 Stefan m 2 1 0 3 2 2 1 5
29 Sven m 2 1 0 3 1 1 0 2 2 2 1 530 Thorulf m 1 0 2 3 3 2 1 6 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
0,9279 0,8679
5,8667 5,22732,5289 2,6535
7,00001,3131
1,60000,4983
2,0667 1,86361,1121 1,0821
2,56670,5683
1,3667 1,0909
2,83330,3790
Hallo Mühle
2,4333 2,27270,7739 0,8270
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Würfel
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 6 a (Gymnasium SB, 21.05.2001)
Nr. Name G
1 Annika w 3 3 2 8 3 3 2 8
2 Carina w 3 3 2 8 3 1 1 5
3 Jennifer w 3 3 2 8 3 1 1 5
4 Janine w 3 3 2 8 1 1 0 2
5 Janina w 3 3 2 8 3 1 1 5
6 Jaqueline w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5
7 Linda w 1 0 0 1 3 3 1 7 2 0 0 2
8 Nesrin w 3 3 2 8 3 1 1 5
9 Viola w 3 3 2 8 3 1 1 5
10 André m 3 3 2 8 3 1 1 5
11 Benjamin m 3 3 2 8 1 0 0 1
12 Daniel1 m 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8 1 0 0 1
13 Daniel2 m 3 3 2 8 3 3 2 8 2 0 1 3
14 Dennis m 1 1 0 2 3 3 2 8 3 1 1 5
15 Erdogan m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 1 0 0 1
16 Hannes m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 2 7 3 1 0 4
17 Henning m 2 1 0 3 3 3 2 8 3 2 1 6 3 3 2 8
18 Marc m 0 0 0 0
19 Michael m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 2 1 1 4
20 Philip m 3 3 2 8 3 3 2 8
21 Philipp m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8
22 Shaum m 2 3 1 6
23 Sören m 3 3 2 8 3 1 1 5
24 Thilo m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
25 Tobias m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 626 Yannik m 3 2 1 6 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
2,8462 2,65000,7971 0,8090 0,5547 0,6708
0,6304 0,95152,5385 2,5455 2,6923 1,2000
0,6304 0,60481,5769 1,4545 1,6923 0,9500
1,6909 1,98946,7692 6,6364 7,2308 4,8000
2,6538 2,6364
2,4217 2,6181
0,7575 0,9342
0,9479 1,0357
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Hallo Bonbon Tier Quadrate
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 6 c (Gymnasium SB, 10.05.1999)
Nr. Name G
1 Anne-Kati w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8
2 Ergi w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
3 Mara w 1 0 0 1 3 2 1 6
4 Miriam w 1 1 0 2 3 2 1 6
5 Nina w 3 3 2 8 1 0 0 1 3 3 2 8
6 Sarah2 w 2 1 0 3 0 0 0 0 3 3 2 8
7 Sarah1 w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
8 Selma w 3 3 2 8 3 3 2 8
9 Sibel w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
10 Yvonne w 3 3 2 8 3 3 1 7 3 2 1 6
11 Alexander m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
12 Christian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
13 Dennis m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 3 2 8
14 Dustin m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
15 Jan m 3 3 2 8 3 3 0 6 3 3 2 8
16 Kail m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
17 Maik m 3 1 2 6 3 2 1 6
18 Marcel m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
19 Michael m 1 0 0 1 3 2 1 6
20 Niclas m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
21 Roman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
22 Sebastian m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 623 Tobias m 1 0 0 1 1 1 0 2 3 3 2 8
Mittelwert Phase 1:
Standardabw. Ph.1.
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittelwert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
Hallo BV Würfel
gemittelte Bewertung
Problemstellung
0,7827 0,9643 0,00002,6087 2,5263 3,0000
1,1455 1,1698 0,45582,3043 2,4211 2,7273
0,8458 0,9016 0,45581,5217 1,4211 1,7273
2,6939 2,9100 0,91176,4348 6,3684 7,4545
ANHANG L� GEMITTELTE ANALYTISCHE ERGEBNISSE ��
Ergebnisse der Klasse 6 d (Gymnasium SB, 20.05.2001)
Nr. Name G
1 Bettina w 3 2 1 6 3 2 1 6
2 Daniela w 3 3 2 8 3 2 1 6
3 Jessica w 3 3 2 8
4 Johanna w 3 3 2 8 3 3 2 8
5 Julia w 3 3 2 8 3 2 0 5 3 3 2 8
6 Julyana w 3 3 2 8
7 Liba w 3 3 2 8 3 2 2 7 3 3 2 8
8 Lena w 3 3 2 8 1 1 0 2 3 2 1 6
9 Linda w 2 1 0 3 2 2 1 5
10 Mirella w 3 3 2 8 3 2 1 6
11 Nicole w 3 3 2 8
12 Patricia w 3 3 2 8 3 3 1 7 3 3 2 8
13 Sanja w 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 6
14 Susanne w 3 3 2 8 3 3 2 8
15 DanielM m 2 1 0 3 2 1 2 5 3 2 1 6
16 Felix m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8
17 Jannik m 3 3 2 8 3 3 2 8
18 Jens m 1 0 0 1 3 3 2 8 3 3 2 8
19 Malte m 3 3 2 8 3 3 2 8
20 Marian m 3 3 2 8 0 0 0 0 3 3 2 8
21 Marwin m 3 2 0 5 3 3 2 8
22 Merih m 3 3 2 8 2 1 0 3
23 Nico m 3 3 2 8 1 0 2 3 3 3 2 8
24 Nils m 3 2 1 6 3 3 2 8 3 2 1 6
25 Norman m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 3 2 8
26 Samy m 3 3 2 8 3 2 1 6
27 Sebastian m 2 2 1 5 3 3 2 8 3 3 1 7
28 Sven m 2 1 0 3 2 1 0 3 3 2 1 6
29 Tim m 3 3 2 8 3 3 2 8 3 2 1 630 Yassin m 3 3 2 8 2 1 0 3 3 2 1 6
Mittelwert Phase 1:
Standardabw.Ph.1:
Mittelwert Phase 2:
Standardabw. Ph.2:
Mittel wert Phase 3:
Standardabw. Ph.3:
Mittelwert Summe:
Standardabw. Sum.:
gemittelte Bewertung
Problemstellung
Würfel
2,95830,2041
Hallo BV
2,7857 2,38100,4987 0,9207
1,45830,5090
2,5714 1,95240,8357 1,1609
2,50000,5108
1,6071 1,28570,7373 0,9562
6,9643 5,61902,0273 2,5976
6,91671,0598