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Prof. Dr. DietrichStauffer, Institut fürTheoretische Physik,Universität Köln,Zülpicher Str. 77,50937 Köln – Prof.Stauffer wurde fürseine Beiträge zumVerständnis vonPhasenübergängenmit dem deutsch-französischen Gent-ner-Kastler-Preis1999 ausgezeichnet.

Computer-Simulationen mitZufallszahlen, auch als Monte-Carlo-Verfahren bekannt, wurdenin den letzten Jahren vermehrt aufdie Modellierung von Börsen-kursen angewandt. Dieser Artikelbeschreibt einen der Versuche, diePreisfluktuationen von Märktenzu verstehen, und weniger, sievorherzusehen.

Computer-Physik ist mehr alsdie numerische Lösung parti-eller Differentialgleichungen.

Mehr und mehr werden Methodenetwa der Statistischen Physik aufbiologische oder soziologische Fra-gen angewandt, aber auch durchdas Schreiben von Büchern darüber[1 – 4] wird man selten reich.

Daß Physiker Physikproblemeauf den Computern simulieren undWirtschaftswissenschaftler keinePhysik machen, ist eine Meinung,die nicht hundertprozentig stimmt.Einige Wirtschaftswissenschaftlerwie der neu nach Bonn berufeneProfessor Lux zitieren in ihren Ar-beiten auch Physikbücher zur „Syn-ergetik“, und in den letzten Jahrenhaben so viele Physiker versucht,Börsen zu analysieren und zu mo-dellieren, daß sich Stanleys Begriff„Econophysics“ durchgesetzt hat.Im Juli 1999 findet in Dublin dieerste Konferenz der EuropäischenPhysikalischen Gesellschaft dazustatt, wobei allerdings das franzö-sischsprachige Europa zu dominie-ren scheint. An der Ulmer Uni gibtes sogar einen eigenen Diplomstu-diengang Wirtschaftsphysik.

Drei frühere Artikel in diesenPhysikalischen Blättern betonten diephänomenologische Beschreibung,etwa analog zu turbulenten Strö-mungen [5]. Dies ist auch derSchwerpunkt in Ref. [1, 3], währendin diesem Überblick mehr die mi-kroskopischen Modelle mit einzel-nen Investoren behandelt werden,so wie wir in der Physik gerne miteinzelnen Teilchen arbeiten [6]; an-dere wirtschaftliche Phänomene, wieetwa das Wachstum von Firmen [3],ignoriere ich ganz. Zur weiterenLektüre sei auf [2, 6 – 8] hingewie-sen.

Als Ausgangspunkt eines mikro-skopischen Modells betrachten wireine Vielzahl von Investoren, diemiteinander handeln. Die Modellie-rung behandelt die einzelnen Inve-storen getrennt und addiert ihr Ver-halten, um daraus den Preis zu be-stimmen gemäß Angebot undNachfrage. Physiker machen dasgerne mit Monte-Carlo-Methoden,bei denen die zeitliche Entwicklungdurch Zufallszahlen gesteuert wird,auch weil man die Details gar nichtgenau genug kennt und daher er-satzweise nur würfelt. In der Regelwird nur ein einziger Börsenkurssimuliert. Schon vor Jahrzehntenentwickelte der spätere Wirtschafts-nobelpreisträger Markowitz eineProgrammiersprache für Computer-simulationen, und 1989 veröffent-lichte er mit einem Doktorandeneine solche Simulation, die denKrach von 1987 erklären sollte [9].Hierbei wurde das Verhalten derInvestoren auch durch Zufall be-stimmt, was vielleicht manchenWirtschaftsexperten widerstrebt,woran aber Physiker seit Boltz-mann gewöhnt sind: Ob Atomeoder Investoren, Monte-Carlo-Methoden simulieren das Verhaltenvon beiden. Man kann auch Kimund Markowitz folgen und anneh-men, daß die Investoren sich völligrational verhalten. Nur müssen sieauf ihre Kunden Rücksicht nehmen,die aus für den Investor nicht vor-hersehbaren Gründen wie Krank-heit, Erbschaft, Unfall u. ä. Geldvom Bankkonto abziehen oderdarauf einzahlen und so ihren Inve-stor zwingen, neue Entscheidungenzu treffen.

Unter anderem bemühten sichKölner Lehramtskandidaten (T. Hellthaler, R. Kohl, E. Egenter)und der Autor darum, bei denModellen aus Ref. [9 – 11] die Zahlder Investoren zu variieren undfestzustellen, inwieweit sich danndie Kursschwankungen qualitativändern. Aus der Beschreibung vonbeispielsweise Flüssigkeiten oderMagneten sind solche „finite size“-Effekte bekannt und gefürchtet,weil man natürlich nicht alle 1025

Moleküle in einem Glas Bier in den

Computer stecken kann (oder soll-te). Bei Börsenkursen ist die analo-ge Frage, ob die in der Realität be-obachteten starken Fluktuationenauf der begrenzten Zahl der wirk-lich wichtigen Investoren beruhen.Bei den sechs bisher daraufhin un-tersuchten Modellen lautet die Ant-wort „Ja“, d. h. die unvorherseh-baren Fluktuationen werden um so

kleiner, je mehr Investoren manberücksichtigt; nur im jetzt folgen-den Perkolationsmodell ist es genauam kritischen Punkt anders.

PerkolationDerzeit ist nicht klar, welches

der vielen Modelle (gesammelt in[6, 4]) die Realität am besten be-schreibt. Daher beschränke ichmich hier aus Gründen der Kompe-tenz auf das Perkolations-Modellvon Cont und Bouchaud [12] undderen Schülern.

Bei den Perkolations-Rechnun-gen wird jeder Punkt eines großenGitters zufällig besetzt oder frei-gelassen; benachbarte besetzte Plät-ze bilden ein „Cluster“ [13]. (Eskönnen auch alle Plätze besetztsein und statt dessen Bindungenzwischen Nachbarn zufällig gebil-det werden.) Wenn im Grenzfallgroßer Gitter bei wachsender Kon-zentration p erstmals ein zusam-menhängender Pfad besetzter Plät-

Monte-Carlo-Simulation mikroskopischer Börsenmodelle

Dietrich Stauffer

Physikalische Blätter55 (1999) Nr. 50031-9279/99/0505-49$17.50+50/0© WILEY-VCH Verlag GmbH,D-69451 Weinheim, 1999

Das Auf und Ab von Börsenkursen zu beschreiben ist eines derAnliegen des noch recht jungen Gebiets „Econophysics“. Phä-nomenologische Modelle setzen Methoden ein, die beispiels-weise zur Beschreibung turbulenter Strömungen entwickeltwurden, und konkurrieren mit mikroskopischen Modellen, indenen sich das Marktgeschehen aus dem Zusammenspiel vielerindividueller Aktienhändler ergibt.

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ze den oberen Rand mit dem unte-ren Rand des Gitters verbindet, soist der Schwellenwert p = pc er-reicht; erst dann kann in einer Kaf-feemaschine ( = percolator in denUSA) das Wasser durch die Porenim Pulver fließen. Genau an diesemkritischen Punkt pc sind die Fluk-tuationen so groß wie die Mittel-werte, auch wenn das System sehrgroß wird. Entfernt man sich vomkritischen Punkt, so geht das Ver-hältnis von Fluktuationen zu Mit-telwert gegen Null, wenn die Sy-stemgröße gegen Unendlich geht,und dies hängt damit zusammen,daß dann die Wahrscheinlichkeitfür besonders große Fluktuationenexponentiell gegen Null geht, genauam kritischen Punkt aber nur miteinem Potenzgesetz.

Im Cont-Bouchaud-Modell fürBörsen schließen sich die Investo-ren zufällig zu „Perkolations“-Clustern zusammen, verschiedeneCluster treffen ihre Entscheidungenüber Kauf und Verkauf unabhängigvoneinander und rein zufällig,

während alle Investoren des glei-chen Clusters gemeinsam handeln.Überwiegt das Angebot die Nach-frage, so sinkt der Preis proportio-nal zur Differenz; sonst steigt erentsprechend. Zu jedem Zeitschritttrifft jedes Cluster mit der Wahr-scheinlichkeit a ( = Aktivität) eineKauf- oder Verkaufsentscheidung,während es mit Wahrscheinlichkeit1 – a nichts tut. Cont und Bouchaudbetrachteten dieses Modell imGrenzfall unendlich langer Reich-

weite, wenn also jeder Gitterpunktmit jedem anderen Gitterpunkt eineBindung eingehen kann oder alleInvestoren mit allen anderen Inve-storen auf dem Markt gleich guteBeziehungen haben. Cluster sinddann wie Familien, die sich überdie Kontinente verstreut haben,aber durch Post oder Telefon engenKontakt miteinander halten. Dieser„Mean-Field“-Grenzfall wurde alserste Perkolationstheorie schon1941 von Flory für die Gelierung(Wackelpudding) behandelt undspäter von Kauffman [14] für dieEntstehung des Lebens durch auto-katalytische Reaktionen in der Ur-suppe vorgeschlagen.

Qualitativ ähnliche Resultate er-halten wir, wenn wir ein d-dimen-sionales Gitter am Computer simu-lieren, was zur durchgezogenenLinie in Abb. 1 führt und „rechtvernünftig“ aussieht. Jetzt lassensich verschiedene Verbesserungenleichter vornehmen. So kann manden Investoren etwas Vernunft zu-gestehen und sie bevorzugt eineKaufentscheidung treffen lassen,wenn der Preis niedriger ist als einfester „Fundamentalpreis“, währendsie bevorzugt verkaufen bei einemhöheren Preis („Ornstein-Uhlen-beck“-Diffusion; der Fundamental-preis könnte die Kaufkraft beiWährungen sein). Dann liegt derPreis meistens näher am Funda-mentalpreis: + in der Abbildung.Danach kann man den Fundamen-talpreis nach einer Gaußverteilungschwanken lassen (gepunkteteLinie in der Abbildung), was eherdem Wert eines zur Aktiengesell-schaft umgewandelten Vereins derFußball-Bundesliga entsprechenkönnte (ändert sich durch jedesTor) und wieder zu etwas stärkerenFluktuationen (×) des simuliertenPreises führt. Schließlich kann mandie Investoren auf dem Gitter lang-sam diffundieren lassen, was zuzeitlichen Korrelationen im Abso-lutwert der Preisfluktuationen führt(�).

All diese Varianten geben aberim wesentlichen das gleiche Bild fürdie Wahrscheinlichkeitsverteilungder Preisfluktuationen: Es gibt vielekleine und wenig große Fluktuatio-nen, und die Kurve ist etwa symme-trisch: Gewinn und Verlust haltensich die Waage (Abb. 2). Am kriti-schen Punkt der Perkolation ist derSchwanz dieser Verteilung ein Po-tenzgesetz, falls a << 1. Für großeAktivität a hingegen ähneln die Re-sultate einer Gaußkurve. Geht man

etwas vom kritischen Punkt weg, sotreten auch schon bei kleiner Akti-vität exponentielle Abweichungenvom Potenzverhalten auf, die sichnäherungsweise durch ein Potenz-gesetz mit größeren effektiven Ex-ponenten fitten lassen. All dieseEigenschaften stimmen recht gutmit realen Aktienbörsen überein[15]. Diese Simulationen liefernrelative Fluktuationen und ihre Ver-teilung. Es ist trivial, daß sich derMarkt mehr bewegt, wenn mehrHändler kaufen und verkaufen,aber es ist nicht trivial, daß mandann zwischen Potenz und Gauß-kurve wechselt.

In der Computer-Simulationwerden zunächst nach seit Jahr-zehnten bekannten Algorithmen diediversen Cluster und die Zahl s derInvestoren ( = Gitterpunkte) in je-dem Cluster bestimmt. Dann klärtman durch eine Zufallszahl, ob dasCluster zum jetzigen Zeitpunkt ak-tiv ist. Wenn es aktiv ist, dann wirddurch eine weitere Zufallszahl be-stimmt, ob dieses Cluster kauft oderverkauft. Bei Kauf wird s zu einerSumme addiert, bei Verkauf wird esvon ihr subtrahiert. Hat man so dasgesamte System analysiert, so istdiese Summe � �s die Differenzzwischen Nachfrage und Angebot,und der Preis (genauer: dessenLogarithmus) ändert sich um einenBeitrag proportional zu dieser Sum-me. Damit hat man eine Iterationgeschafft und geht zur nächstenüber. Falls die Konzentration grö-ßer ist als die kritische Konzentrati-on pc, so wurde unter allen Clu-stern das dann vorhandene einzelneunendliche Cluster ignoriert, alsoals unendlich träge betrachtet (ähn-lich wie bei großen Unis). Die besteÜbereinstimmung mit realen Kurs-fluktuationen fanden wir bei einerKonzentration leicht oberhalb pc,während bei p = pc die Fluktuatio-nen am stärksten sind, so daß Contund Bouchaud diesen kritischenPunkt mit Börsenkrächen identifi-zieren.

Auch wenn es für die bisher dis-kutierten Resultate nicht so wichtigist, so kann man sich doch überle-gen, welchen Sinn ein Gittermodellmacht. Wenn die handelnden Profisweltweit über Computernetze ver-bunden sind, alle die Informationenetwa gleichzeitig kriegen, und sichohne Rücksicht auf Grenzen zuClustern zusammenschließen, dannist die Cont-Bouchaud-Annahme ei-ner unendlichen Reichweite ver-nünftig. (Üblicherweise sind solche

Abb. 1:Zeitabhängigkeit eines simulierten Börsenkurses (durchgezoge-ne Linie) im einfachen Perkolationsmodell auf einem 251 ×× 251-Quadratgitter mit einer Konzentration genau am kritischenPunkt, der bei einer Konzentration von ca. 59 % liegt. Insgesamtgibt es rund 37 300 Investoren. Bei der Gesamtzeit von 400 Ite-rationen hat ein Fünftel aller Investorencluster eine Entschei-dung zum Handel (Kauf oder Verkauf) getroffen. Die Preisskalaist willkürlich. Zur Erläuterung der Symbole s. Text.

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1) Zur Vorhersage mitneuronalen Netzen sieheH. G. Zimmermann undR. Neuneier, S. 59 in„Physik – Informatik –Informationstechnik“16. 3. 99, hrsg. von W.Kluge.

Modelle mit unendlicher Reichwei-te exakt lösbar, und ihr Verhaltenähnelt dem in unendlich hoherDimension und in einfachen theo-retischen Näherungen.) Wenn stattdessen die handelnden PersonenKleinanleger sind, die zur benach-barten Bank gehen und deren Ratfolgen, so ist das Problem eherzweidimensional; wer umzieht,wechselt das Cluster und „diffun-diert“ so im Quadratgitter. Schließ-lich könnten sich einige Händler ineinem großen Finanzhochhaus vorallem beim gemeinsamen Kaffee-Trinken aussprechen über Chancenund Risiken und so ein dreidimen-sionales Cluster bilden.

VorhersagenReich werden Sie mit diesem

und vielen anderen Modellennicht1). Denn durch seine Konstruk-tion sind im einfachen Cont-Bou-chaud-Modell (ohne Fundamental-preis) positive und negative Vorzei-chen der Preisänderungen gleichwahrscheinlich, und es gibt keiner-lei zeitliche Korrelationen in diesenVorzeichen, nur in den Absolutbe-trägen. Systematische Trends sindausgeschlossen. Sornette und ande-re aber finden log-periodische Os-zillationen � sin(v ln�t–tc�) vor odernach Börsenkrächen (Zeitpunkt tc),bei Erdbeben, bei Diffusion in un-geordneten Medien usw. [16]. Aufdiese Weise wurde vorhergesagt,daß der Nikkei-Index in Tokio 1999eher nach oben als nach unten ge-hen soll. Sie können also bald inder Zeitung nachlesen, ob dieseModelle die Realität richtig be-schreiben. Allerdings machte imHerbst 1998 der von den Wirt-schafts-Nobelpreiträgern Scholesund Merton beratene Long TermCapital Management Fond 5 Mrd.Mark Verlust; dies zeigt, wie wenigheute die Risiken wirklich be-herrscht werden.

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S. Solomon führte mich in diesesGebiet ein, und ich lernte auch vielvon D. Sornette, M. Ausloos, R.Cont, J.-P. Bouchaud, Y. C. Zhang,T. Lux und H. Markowitz. Insbe-sondere danke ich meinen Koauto-ren T. J. P. Penna, P. M. C. de Olivei-ra, A. T. Bernardes, D. Chowdhuryund I. Chang. Eine interdisziplinäreHeraeus-Konferenz zu diesem undähnlichen Themen findet vom 7. bis10. Juni 1999 in Schloß Rauisch-holzhausen statt (Facets of Univer-sality in complex systems: Climate,biodynamics and stock market); e-mail: Armin.Bunde@uni-giessen.de.Informationen im Internet findenSie unter http://www.unifr.ch/econophysics.

Literatur[1] J. P. Bouchaud, M. Potters,

Théorie des Risques Finan-cieres, Alea-Saclay/Eyrolles,Paris 1997; englische Über-setzung weitgehend fertig;J. P. Bouchaud, Physica A263, 415 (1999)

[2] J. Kertész, I. Kondor, Econo-physics: An emerging scien-ce, Kluwer, Dordrecht 1999

[3] R. N. Mantegna, H. E. Stan-ley, Econophysics: An intro-duction, Cambridge Universi-ty Press, Cambridge 1999, imDruck

[4] S. Moss de Oliveira, P. M. Cde Oliveira, D. Stauffer, Evo-lution, Money, War andComputers, Teubner, Stutt-gart-Leipzig 1999

[5] W. Breymann et al., Phys.Bl., April 1997, S. 339 undJanuar 1998, S. 20; D. Obertet al., Phys. Bl., Februar1999, S. 14.

[6] D. Stauffer, Ann. Physik 7,529 (1998)

[7] J. D. Farmer, preprint adap-org/9812005; C. Busshaus,H. Rieger, Physica A, imDruck

[8] M. Ausloos, EurophysicsNews 29, 70 (1998); J. P.Bouchaud et al., PhysicsWorld 12, 25 (Januar 1999)

[9] G. W. Kim, H. M. Markowitz,J. Portfolio Management 16,45 (1989); Vgl. auch K. Co-hen et al.: The Microstructu-re of Securities Markets,Englewood Cliffs, 1986

[10] M. Levy, M. Levy, S. Solo-mon, Econ. Lett. 94, 103(1994) und J. Physique I 5,1087 (1995)

[11] T. Lux, M. Marchesi, Nature397, 498 (1999); vgl. Financi-al Times, 11. Februar 1999, S. 10.

[12] R. Cont, J.P. Bouchaud, pre-print cond-mat/9712318 undS. 71 in [1]

[13] A. Bunde, H. E. Roman,Physik in unserer Zeit 27,246 (1996)

[14] S. A. Kauffman, At Home inthe Universe, Oxford Univer-sity Press, New York 1995

[15] T. Lux, Appl. Financial Eco-nomics 6, 463 (1996); P. Go-pikrishnan, M. Meyer, L. A.Nunes Amaral, H. E. Stanley,Eur. Phys. J. B 3, 139 (1998)

[16] D. Sornette, Physics Reports,297, 239 (1998); A. Johan-sen, D. Sornette, Int. J. Mod.Phys. C 10, im Druck

Abb. 2: Histogramm derPreisänderungenin einem dreidi-mensionalen Cont-Bouchaud-Börsen-modell am kriti-schen Punkt; Preisin willkürlichenEinheiten. DieAktivität der Inve-storen variiert von1,25 % (Rauten,Potenzverhalten)über 2,5 %, 10 %,20 % bis 40 %(Sterne, Gauß-kurve).