Fakultat fur Physik
Numerische Simulation von
Schwerionenkollisionen mit Hilfe von
dissipativer relativistischer Hydrodynamik
Masterarbeit
vorgelegt von
Sascha Fleer
im
Februar 2015
betreut von
Prof. N. Borghini
Gutachter: Prof. N. Borghini
Prof. E. Laermann
Eidesstattliche Erklarung
Ich erklare hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbstandig und nur unter Benutzung
der angegebenen Literatur und Hilfsmittel angefertigt habe. Wortlich ubernommene Satze
oder Satzteile sind als Zitat belegt, andere Anlehnungen hinsichtlich Aussage und Umfang
unter Quellenangabe kenntlich gemacht.
Ich erklare weiterhin, dass die vorliegende Arbeit noch nicht im Rahmen eines anderen
Prufungsverfahrens eingereicht wurde.
Ort, Datum Unterschrift
Ziel dieser Arbeit ist, das bei Schwerionenkollisionen entstehende Quark-Gluon-
Plasma mit Hilfe numerischer relativistischer Hydrodynamik zu untersuchen.
Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf der Implementierung von dissi-
pativen Effekten mit Hilfe erst kurzlich entwickelter Methoden. Des Weite-
ren soll sowohl durch eine Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik, als
auch durch die Berucksichtigung des Landau-Modells die Simulationen so rea-
litatsnah wie moglich gestaltet werden.
Inhaltsverzeichnis I
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 1
2. Newtonsche Hydrodynamik 3
3. Relativistische Hydrodynamik 5
3.1. Konservative und primitive Formulierung der Hydrodynamik . . . . . . . . 6
3.2. Einfache Wellen, Selbstahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Verdunnungswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.1. Die Verdunnungswelle bei einer polytropen Zustandsgleichung . . . . 14
3.4. Stoßwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.1. Das Taub Adiabat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.2. Die Geschwindigkeit hinter einer Stoßwelle . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.3. Die Stoßwelle bei einer polytropen Zustandsgleichung . . . . . . . . 20
3.5. Losung des eindimensionalen Riemann Problems . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5.1. Der exakte Riemann Solver fur ein polytropes Gas . . . . . . . . . . 25
3.6. Israel-Stewart Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.1. Die Israel-Stewart Theorie in 1+1 Dimensionen . . . . . . . . . . . . 30
4. Quantenchromodynamik 33
4.1. Eine Zustandsgleichung der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Numerische Methoden 40
5.1. Newton-Raphson Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2. Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3. Numerische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4. HRSC-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.1. Finite Volume-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.2. Die MUSCL-Hancock Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5. Strang-Operator-Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6. Numerische Implementierung der Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP 61
6.1. Abbildung der Losung auf den Punkt xt “ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1.1. Wiederherstellung der primitiven Variablen . . . . . . . . . . . . . . 67
7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen 71
7.1. Die Phasen einer Schwerionenkollision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2. Das Landau-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3. Das Bjorken-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
II Inhaltsverzeichnis
8. Numerische Simulation von QGP 75
8.1. Shocktube-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.1.1. Der Vergleich zweier Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.1.2. Das Shocktube-Problem fur QGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2. Numerische Berechnungen zum Landau-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.2.1. Auswirkung dissipativer Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2.2. Betrachtung einer kleinen Storung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9. Zusammenfassung & Ausblick 93
A. Eigenvektoren der idealen relativistischen Hydrodynamik 95
B. Riemann Invarianten 97
1
1. Einleitung
Ein großes Ziel der Teilchenphysik ist es, die Entstehung von kollektiven physikalischen
Phanomenen, sowie die Eigenschaften von Materie auf fundamentale Wechselwirkungen
der elementaren Teilchen zuruckzufuhren. Die Schwerionenphysik stellt sich dieser Fra-
gestellung unter Betrachtung der starken Wechselwirkung bei sehr hohen Energien. Die
elementaren Teilchen, die der starken Wechselwirkung unterliegen und somit durch die
Quantenchromodynamik (QCD) beschrieben werden, sind die Quarks und die Gluonen.
Sie sind die fundamentalen Grundbausteine der hadronischen Materie.
In Experimenten an Teilchenbeschleunigern wie dem LHC oder dem RHIC kollidieren
vollstandig ionisierte schwere Atomkerne, wie Gold oder Blei, bei sehr hohen Energien
miteinander. Bei diesen Kollisionen, in denen relativistische Effekte berucksichtigt werden
mussen, erhalt man stark wechselwirkende Materie bei sehr hohen Temperaturen, die den
Gesetzen der QCD unterliegt. Im Zuge dieser Entdeckung hat man vermutet, dass bei so
hohen Energiedichten ein neuer Zustand entsteht, in dem sich die Quarks und Gluonen
unabhangig voneinander bewegen konnen und somit ein Plasma bilden.
Dieses Quark-Gluon-Plasma (QGP) spielt in vielen Bereichen der Physik eine wich-
tige Rolle, da zum Beispiel seine Existenz auch in der ersten Phase nach dem Urknall
angenommen wird. Somit ist das Quark-Gluon-Plasma ein Verbindungsglied zwischen
der Kernphysik und der Kosmologie. Mit Hilfe von Schwerionenkollisionen konnte somit
der gleiche, aber naturlich in einem anderen Maßstab stattfindende Phasenubergang vom
Quark-Gluon-Plasma zu den Hadronen untersucht werden, der kurz nach dem Urknall
stattgefunden hat.
Die Aufgabe in der Schwerionenphysik ist nun, die Eigenschaften der bei den Schwerio-
nenkollisionen entstandenen quantenchromodynamischen Materie zu charakterisieren.
Vor nicht allzu langer Zeit wurden erste Hinweise gefunden, dass sich diese Materie fast
wie ein ideales Fluid verhalt und somit den Gleichungen der Hydrodynamik genugt, ob-
wohl sie nur aus ein paar tausend elementaren Teilchen besteht [1]. Ein ideales Fluid ist
das Modell eines reibungsfreien Fluids, auf das dementsprechend keine Tangentialkrafte
wirken und sich somit im globalen thermischen Gleichgewicht befindet. Schon allein mit
Hilfe der idealen Hydrodynamik konnten viele Effekte, die in Experimenten von Gold-Gold-
Kollisionen am RHIC beobachtet wurden, reproduziert werden. Dazu gehoren zum Beispiel
die Abhangigkeit des elliptischen Flusses vom Stoßparameter oder auch die Abhangigkeit
des Hadronenspektrums vom Transversalimpuls (fur pT ď 1, 5 GeV). Ein großer Erfolg war
schließlich die Bestatigung der Entstehung stark wechselwirkenden Quark-Gluon-Plasmas
in Schwerionenkollisionen am RHIC mit Hilfe der idealen Hydrodynamik, da diese als ein-
zige Theorie den in Experimenten gemessenen starken elliptischen Fluss erklaren konnte,
welcher als direkter Hinweis auf das stark wechselwirkende Quark-Gluon-Plasma gesehen
wurde [2].
Zusatzlich zu den Erfolgen wurden aber auch die Probleme und Grenzen der Theorie
deutlich. Da die Gleichungen der relativistischen Hydrodynamik aufgrund des Lorentz-
2 1. Einleitung
Faktors stark nicht-linear sind, konnen viele Phanomene (bis auf vereinfachte Falle) aus-
schließlich durch numerische Simulationen untersucht werden [3]. Zum anderen ist die
Voraussetzung zur Verwendung der Beschreibung durch ideale Hydrodynamik eine viel
zu geringe Thermalisationszeit von τ0 ă 1 fm/c, bei der eigentlich keine Vielteilchen-
Stoßprobleme schwach gekoppelter Teilchen auf naturliche Weise auftreten. Außerdem
uberstieg der mit der idealen Hydrodynamik berechnete elliptische Fluss die im Experi-
ment gemessenen Werte. Erst durch die Implementierung von endlicher Reibung in die
hydrodynamischen Modelle ließen sich die Daten angemessen interpretieren. Dies war ein
Anzeichen dafur, dass die Reibung fur die Beschreibung des Quark-Gluon-Plasmas nicht
vernachlassigbar ist.
Die Nutzung einer dissipationsabhangigen dynamischen Theorie zur Beschreibung der
Schwerionenkollisionen hatte nun zur Folge, dass weitere Eigenschaften, wie die Schervisko-
sitat, die Dehnviskositat oder auch die Warmleitfahigkeit zur korrekten Beschreibung des
Quark-Gluon-Plasmas untersucht werden mussten. Außerdem ergaben sich neue Schwie-
rigkeiten, da eine sehr gute Kenntnis uber die Abweichung des Systems vom Gleichgewicht
notig ist, um dissipative Hydrodynamik verwenden zu konnen. Des Weiteren ist die Hy-
drodynamik als dynamische Theorie zwar frei von Parametern, ihre Gute als Modell zur
Beschreibung der Kollisionsprozesse jedoch stark von den Anfangsbedingungen abhangig,
was unter Berucksichtigung dissipativer Effekte noch viel starker zu Tage tritt.
In dieser Arbeit soll nun das Verhalten des bei Schwerionenkollisionen entstehenden
Quark-Gluon-Plasmas mit Hilfe von numerischen Simulationen in einer Ortsdimension
untersucht werden. Dabei wird insbesondere auf die Implementierung der dissipativen Ef-
fekte und ihre Auswirkungen auf die Entwicklung des Systems eingegangen. Obwohl nur
die zeitliche Entwicklung einer Ortsdimension simuliert wird, ist es trotzdem moglich,
im Rahmen des Landau-Modells sinnvolle Ergebnisse zu erzielen und Aussagen uber die
Entwicklung des Systems zu machen. Die dafur benotigten Anfangsbedingungen werden
in dieser Arbeit diskutiert und numerische Simulationen mit ihnen durchgefuhrt. Zum
Abschluss wird in das System eine kleine Storung eingebaut und ihre Auswirkungen un-
tersucht.
3
2. Newtonsche Hydrodynamik
Die Hydrodynamik ist eine effektive Feldtheorie, welche die Entwicklung von flussiger
und gasformiger Materie mit Hilfe von Feldern beschreibt. Auf diesen Feldern sind alle
physikalische Großen, wie zum Beispiel das Geschwindigkeitsfeld vpx, y, z, tq, definiert.
Mit Hilfe der Felder lasst sich nun das Verhalten aller relevanten physikalischen Großen
des Fluids an jedem Orts- und Zeitpunkt bestimmen.
Um dies zu realisieren definiert man an jedem Punkt des Fluids ein Fluidteilchen. Ein
Fluidteilchen fasst alle Materieteilchen innerhalb eines infinitesimalen Volumenelementes
zusammen. Dabei ist das angesprochene Volumen wesentlich kleiner als das Volumen des
betrachteten Systems, aber trotzdem wesentlich großer als die fur das Problem relevante
mikroskopische Skala, sodass sich die physikalischen Großen nur geringfugig andern. Da
nun fur die Beschreibung des Systems das Verhalten von Fluidteilchen innerhalb eines
Kontrollvolumens untersucht werden soll, ist es ein naturlicher Folgeschritt, die Dichten
der physikalischen Großen zu betrachten.
Die einzige, jedoch sehr starke Annahme, die man treffen muss ist, dass sich das zu unter-
suchende System im globalen thermischen Gleichgewicht befindet. Die Bewegungsleichun-
gen der Hydrodynamik, die unter dieser Annahme hergeleitet werden, beschreiben ideale
Fluide. Diese Bewegungsgleichungen beruhen auf den fundamentalen Erhaltungssatzen
des betrachteten Systems. Die Teilchenzahl- beziehungsweise Massenerhaltung fuhrt zur
KontinuitatsgleichungBρpx, tq
Bt ` ∇ ¨ rρpx, tqvpx, tqs “ 0, (2.1)
wahrend die Erhaltung des Impulses zur Eulergleichung
ρpx, tq„Bvpx, tq
Bt ` rvpx, tq ¨ ∇svpx, tq
“ ´∇ppx, tq (2.2)
fuhrt.
Die letzte der funf Gleichungen, die man benotigt, um die Anderung der drei Geschwin-
digkeitskomponenten v, der Massendichte ρ und des Drucks p zu beschreiben, ist durch
die Gleichgewichtsverteilungsfunktion des Systems gegeben. Da diese in der Praxis aber
in den wenigsten Fallen bekannt ist, wird haufig auf die Zustandsgleichung des Systems
zuruckgegriffen, welche die Abhangigkeit des Drucks von anderen Großen wie der Energie-
und der Massendichte beschreibt. Die Zustandsgleichung bringt außerdem die einzigen
systemspezifischen Informationen in die allgemeinen hydrodynamischen Gleichungen ein.
Weitere Details zur Newtonschen Hydrodynamik lassen sich zum Beispiel in Buchern
wie [4] finden. Zusatzliche Quellen sind [5], [6] und [7].
4 2. Newtonsche Hydrodynamik
5
3. Relativistische Hydrodynamik
Die relativistische Hydrodynamik beschreibt Fluide, dessen Fluidteilchen sich nahezu mit
Lichtgeschwindigkeit bewegen. Im weiteren Verlauf wird die relativistische Hydrodynamik
auf den Fall der speziellen Relativitatstheorie beschrankt. Der Einfachheit halber gilt
c “ ~ “ 1 und fur die Metrik diag pηµνq “ p1,´1,´1,´1q1.Wie in der Relativitatstheorie ublich, werden alle physikalischen Großen im lokalen
Ruhesystem definiert. Im lokalen Ruhesystem bewegt sich der Beobachter mit der gleichen
Geschwindigkeit wie das Fluid. Die Vierer-Geschwindigkeit uµpx, tq des Fluids ist also im
Ruhesystem durch
uµpx, tq|LR “ p1, 0, 0, 0q,
beziehungsweise in einem willkurlichen Bezugssystem als
dxµptqdτ
“ uµpx, tq “ γp1,vq mit γ “ 1?1 ´ v2
definiert2.
Analog zur Newtonschen Physik wird die Entwicklung des Systems uber Felder fpxµqbeschrieben, bei denen aus Grunden der Ubersichtlichkeit meistens die explizite Orts- und
Zeitabhangigkeit weggelassen wird. Im Vergleich zur Newtonschen Physik lassen sich je-
doch zwei gravierende Unterschiede feststellen. Zum einen wird die Massenenergie mc2
mit zur inneren Energie gezahlt. Zum anderen ist die Anzahl der Teilchen nicht mehr
erhalten, da bei hohen Energien Paare von Teilchen und Antiteilchen aus dem Vakuum
erzeugt, beziehungsweise vernichtet werden konnen. Somit kann die Teilchenzahl nicht als
Erhaltungsgroße fungieren. Besitzen die zu betrachtenden Teilchen jedoch eine erhaltene
Quantenzahl, lasst sich dieses Problem umgehen, da somit zumindest die Differenz der
Teilchen und Antiteilchen erhalten bleiben muss. Im weiteren Verlauf als Teilchenzahl ist
also immer die Nettoteilchenzahl gemeint. Da im Verlauf dieser Arbeit das hydrodyna-
mische Verhalten von Quark-Gluon-Plasma untersucht werden soll, bietet es sich an, die
Baryonzahl als erhaltene Quantenzahl einzufuhren.
Wie auch schon in der klassische Hydrodynamik, folgen die Bewegungsgleichungen aus
den Erhaltungssatzen des Systems. Die verwendeten Erhaltungssatze sind die Erhaltung
der Baryonzahl NBpx, tq und die Erhaltung des Energie-Impuls-Tensors T µνpx, tq, die sichim relativistischen Fall in sehr kurzer Form darstellen lassen.
BµNµBpx, tq “ 0; BµT µνpx, tq “ 0 (3.1)
Die Erhaltung der Baryonzahl wird mit Hilfe des Vierer-Baryonstroms NµB “ nBu
µ
definiert, wobei nB die Baryondichte bezeichnet.
Die Energie-Impuls-Erhaltung kann durch den symmetrischen Energie-Impuls-Tensor
1griechische Buchstaben laufen von 0 bis 3 und lateinische Buchstaben von 1 bis 32xµ “ pt, x, y, zq sind die Viererkoordinaten und τ die Eigenzeit des Fluids.
6 3. Relativistische Hydrodynamik
T µν formuliert werden. Er beinhaltet
• die Energiedichte (T 00);
• die Energiestromdichte in die j-te Richtung (T 0j);
• die Komponenten der Impulsdichte in die jeweiligen Richtungen (T i0);
• die Impulsstromdichte (T ij).
Im Fall eines idealen relativistischen Fluids hat der Energie-Impuls-Tensor die Form
T µν “ re ` psuµuν ´ pηµν , (3.2)
mit dem Druck p und der inneren Energiedichte e.
Insgesamt hat man also funf unabhangige Funktionen zur Verfugung, um das System
zu beschreiben. Da das System jedoch von sechs Feldern abhangt3, wird - wie in der
Newtonschen Mechanik - eine weitere Gleichung gebraucht. Diese ist meistens die Zu-
standsgleichung p “ ppe, nq des Systems.
3.1. Konservative und primitive Formulierung der Hydrodynamik
Schreibt man nun die Baryonzahlerhaltung (3.1) aus, so erhalt man mit der neu ein-
gefuhrten erhaltenen Baryondichte D “ γnB in einem festgelegten Bezugssystem
BBt pγnBq ` ∇ pγnBvq “ B
BtD ` ∇ pDvq “ 0. (3.3)
Der Energie-Impuls-Tensor (3.2) liefert die Erhaltungsgleichung fur die erhaltene Impuls-
dichte4 m “ re ` ps γ2v. Sie ist durch
BBt re ` ps γ2v ` ∇
re ` ps γ2v2 ` p ¨ 13ˆ3
(
“ BBtm ` ∇ tmv ` p ¨ 13ˆ3u “ 0 (3.4)
gegeben. Analog erhalt man aus (3.2) fur die erhaltene Energiedichte 5 E “ re ` ps γ2 ´ p
die Erhaltungsgleichung
BBt
re ` ps γ2 ´ p
(` ∇ re ` ps γ2v
“ BBtE ` ∇m “ 0. (3.5)
3Die Felder sind die Energiedichte epx, tq, der Druck ppx, tq, die Baryondichte nBpx, tq und das Vierer-Geschwindigkeitsfeld uµ, wobei uµ aufgrund der Beschrankung uµuµ “ 1 nur drei Freiheitsgrade besitzt.
4BµTµjpxµq “ 0
5BµTµ0pxµq “ 0
7
Die Dichten
D “ N0B “ γnB,
m “ T 0j “ re ` ps γ2v (3.6)
und
E “ T 00 “ re ` ps γ2 ´ p
werden als konservative Variablen bezeichnet. Fasst man diese in einem Vektor V “pD,m, EqJ zusammen, lassen sich die Gleichungen (3.3),(3.4) und (3.5) in einer geschlos-
senen Matrixform zusammenfassen. In dieser Form hangt die zeitliche Anderung der kon-
servativen Variablen V uber ein endliches Volumen nur von der raumlichen Anderung
einer Matrix FpVq ab.
Bt
¨˚D
m
E
˛‹‚` ∇
¨˚
Dv
mv ` p ¨ 13ˆ3
m
˛‹‚“ BtV ` ∇ ¨ F pVq “ 0 (3.7)
Diese Matrix F wird als Flussvektor bezeichnet.
Analog zu den Gleichungen (2.1) und (2.2) der newtonschen Hydrodynamik lassen sich
auch in der relativistischen Hydrodynamik Erhaltungsgleichungen in Abhangigkeit der
primitiven Variablen nB, v und p finden, die sich - wie auch die konservativen Variablen
- in einem Vektor U “ pnB,v, pqJ zusammenfassen lassen. Es ist zwar analytisch moglich
die konservativen Variablen aus den primitiven Variablen zu erhalten (V “ V pUq), jedochnicht umgekehrt.
Um dennoch die Gleichungen in Abhangigkeit der primitiven Variablen zu erhalten,
erweitert man im eindimensionalen Fall6 der Gleichung (3.7) lediglich mit BU.
BVBt ` BF pVq
Bx “0
ô BVBU
BUBt ` BF
BUBUBx “0
Multipliziert man nun die Gleichung mit`
BVBU
˘´1, erhalt man die Matrixform der Glei-
chungen fur die primitiven Variablen U.
BUBt `
«ˆBVBU
˙´1ˆ BFBU
˙ff¨ˆBU
Bx
˙“ BU
Bt ` A ¨ˆBU
Bx
˙“ 0 (3.8)
Da die Matrix A pUq unabhangig von BxU ist, ist (3.8) eine quasilineare partielle Dif-
ferentialgleichung.`
BFBU
˘“ J ist die Jakobimatrix des Flussvektors im Bezug zum Vektor
U. Anhand dieser wird deutlich, dass der Flussvektor nicht eindeutig ist, sondern unter-
6Bt
¨˝D
m
E
˛‚` Bx
¨˝
Dv
mv ` p
m
˛‚“ BtVpUq ` BxF pVpUqq “ 0
8 3. Relativistische Hydrodynamik
schiedliche Flusse F die gleiche Jakobimatrix J liefern konnen.
Die explizite Berechnung der Matrix`
BVBU
˘unter Benutzung der Definition der Schall-
geschwindigkeit BeBp “ 1
c2S
liefert
ˆBVBU
˙“
¨˚
BnBD BvD BpD
BnBm Bvm Bpm
BnBE BvE BpE
˛‹‚“
¨˚˝
γ γ3vnB 0
0 pe ` pq“2γ4v2 ` γ2
‰ ´1c2s
` 1¯γ2v
0 pe ` pq2γ4v´
1c2s
` 1¯γ2 ´ 1
˛‹‹‚.
Durch Invertieren ergibt sich
ˆBVBU
˙´1
“
¨˚˚˝
1γ
´ vnB
pe`pqp1´c2Sv2q
vn2Bp1`c2Sq
pe`pqp1´c2Sv2q
01`v2c2S
γ4pe`pqp1´c2Sv2q ´ vp1`c2Sq
γ2pe`pqp1´c2Sv2q
0 ´2v3c2S´v`1
vp1´v2c2Sq
p1`v2qc2Sp1´c2
Sv2q
˛‹‹‹‹‚. (3.9)
Die Losung der Jakobimatrix J lautet
J “ˆ BF
BU
˙“
¨˚
BnBpDvq Bv pDvq Bp pDvq
BnBpmv ` pq Bv pmv ` pq Bp pmv ` pqBnB
m Bvm Bpm
˛‹‚
“
¨˚˝
γv nBγ`γ2v2 ` 1
˘0
0 2γ2pe ` pq`γ2v3 ` v
˘ ´1 ` 1
c2S
¯γ2v2 ` 1
0 γ2pe ` pq`2γ2v2 ` 1
˘ ´1 ` 1
c2S
¯γ2v2
˛‹‹‚. (3.10)
Nun ist es moglich, die Matrix A aus (3.8) zu berechnen und letztendlich die hydro-
dynamischen Gleichungen in ihrer quasi linearen primitiven Form explizit darzustellen7.
Man erhalt
A “«ˆBV
BU
˙´1ˆ BFBU
˙ff“
¨˚˚˝
v nB
1´v2c2S
´ vnB
pe`pqγ2p1´v2c2Sq
0vp1´c2
Sq1´v2c2
S
1
pe`pqγ4p1´v2c2Sq
0pe`pqc2
S
1´v2c2S
vp1´c2Sq1´v2c2
S
˛‹‹‹‹‚
und somit insgesamt
BUBt ` A ¨
ˆBUBx
˙“ Bt
¨˚nB
v
p
˛‹‚`
¨˚˚˝
v nB
1´v2c2S
´ vnB
pe`pqγ2p1´v2c2Sqq
0vp1´c2Sq1´v2c2
S
1
pe`pqγ4p1´v2c2Sqq
0pe`pqc2S1´v2c2
S
vp1´c2Sq
1´v2c2S
˛‹‹‹‹‚
¨
»—–Bx
¨˚nB
v
p
˛‹‚
fiffifl . (3.11)
7vgl. [8],[9] fur den dreidimensionalen Fall
9
Die hydrodynamischen Gleichungen lassen sich also in ein System der Form
BtU ` A pUq ¨ BxU “ 0 (3.12)
zusammenfassen. Dieses System ist hyperbolisch. Das bedeutet, dass die Matrix A in eine
diagonalisierte Form
Λ “ R´1AR “ diagpλ1, ..., λN q
gebracht werden kann. R ist eine Matrix aus den rechten Eigenvektoren ri. Sie sind zu-
sammen mit den dazugehorigen Eigenwerten λi uber
Ari “ λiri
definiert. Wenn die Eigenwerte λi zusatzlich reell sind, wird das System als stark hyperbo-
lisch bezeichnet. Da (3.11) von hyperbolischer Natur ist, hat A sowohl in der primitiven
(Ap) als auch in der konservativen (Ak) Formulierung die gleichen Eigenwerte λi.
Man erhalt
BtU ` Ap ¨ BxU “0
ô BUBV
BVBt ` RpΛpR
´1p
BUBV
BVBx “0
ô BVBt `
ˆBUBV
˙´1
RpΛpR´1p
BVBU
BVBx “0
ô BVBt ` RkΛpR
´1k
BVBx “0
ô BtV ` Ak ¨ BxV “0
mit den Definitionen
Rk :“ BUBVRp, R´1
k :“ R´1p
ˆBUBV
˙´1
und
Λk :“ Λp.
Sowohl die rechten Eigenvektoren ri, als auch die Eigenwerte λi werden in Appendix A
berechnet.
Die Eigenwerte
λ´ “ v ´ cS
1 ´ vcS, λ0 “ v und λ` “ v ` cS
1 ` vcS(A.1)
reprasentieren unterschiedliche Klassen von Wellen, in denen sich die Information mit
der Geschwindigkeit λ0,˘ ausbreitet. Solche Wellenfamilien sind zum Beispiel Stoß- oder
Verdunnungswellen.
10 3. Relativistische Hydrodynamik
Fur die rechten Eigenvektoren ri ergibt sich
r´ “
¨˚
´nBγ2
cS
1
´cSγ2pe ` pq
˛‹‚ r0 “
¨˚1
0
0
˛‹‚ r` “
¨˚
nBγ2
cS
1
cSγ2pe ` pq
˛‹‚. (A.2)
Gleichung (3.11) ist ein Anfangswertproblem. Es wird also eine Losung U px, tq fur die
partielle Differentialgleichung gesucht, die von einer gegebenen AnfangsbedingungU px, t0qzum Startzeitpunkt t0 abhangt. Die Matrix A enthalt die gesamten Informationen uber die
Bewegung des Systems und spielt aus diesem Grund fur die Untersuchung des zeitlichen
Verhaltens von relativistischen Fluiden eine große Rolle.
Zudem sind hyperbolische Systeme gut konditioniert8. Als gut konditioniertes Problem
wird eine partielle Differentialgleichung bezeichnet, deren Losung durchgangig von der An-
fangsbedingung U px, t0q abhangt und deshalb gut fur die Verwendung numerischer Me-
thoden geeignet ist. Obwohl es intuitiver ist, mit den primitiven Variablen U zu arbeiten,
bringen konservative Variablen erhebliche Vorteile, sobald in der Losung der Gleichungen
Stoßwellen (siehe Kapitel 3.4) oder Unstetigkeitsstellen auftreten.
Auf Grund von zwei Theoremen9 kann bei der Nutzung der konservativen Form der
Gleichungen (3.7) in numerischen Berechnungen davon ausgegangen werden, dass diese
immer zur richtigen Losung konvergieren. Die Nutzung der primitiven Formulierung fuhrt
hingegen immer zu falschen Losungen.
Weitere Details zu den Gleichungen der relativistischen Hydrodynamik lassen sich in
[4], [6], [2] und [5] finden.
3.2. Einfache Wellen, Selbstahnlichkeit
Es ist moglich, fur die vorgestellten hydrodynamischen Gleichungen (3.11) Losungen der
Art U pϕpx, tqq zu finden. Mit diesen Losungen reduziert sich das Gleichungssystem fur
jeden Eigenwert λ0,˘ auf eine einfache Differentialgleichung der Form
dU
dϕ“ αr0,˘,
mit einem Proportionalitatsfaktor α.
Solche Losungen werden als einfache Wellen bezeichnet. Fur sie lassen sich skalare
Großen JipUq finden, welche fur die jeweilige Wellenklasse konstant entlang der Kurve
Upϕq sind. Die charakteristische Phase ϕ kann somit als Parameter der Kurve gesehen
8engl.: well posed9
• Das von Hou und LeFloch [10] aufgestellte Theorem besagt, dass Systeme, die nicht in konservativerForm geschrieben sind, in Anwesenheit von Stoßwellen nicht gegen die richtige Losung konvergieren.
• Das Theorem von Lax und Wendroff [11] besagt, dass Systeme in der konservativen Form immergegen die schwache Losung konvergieren, falls sie konvergieren.
11
werden. Die Großen JipUq werden als Riemann Invarianten bezeichnet und in Appendix
B fur die relativistischen hydrodynamischen Gleichungen (3.11) hergeleitet.
Einfache Wellen sind selbstahnliche Losungen10 und konnen somit uber eine Selbstahn-
lichkeitsvariable dargestellt werden, die in den meisten Fallen eine Kombination aus den
Ortskoordinaten und der Zeitkoordinate ist. Mathematische Probleme mit selbstahnlichen
Losungen haben mehrere Vorteile. Zum einen ist es wesentlich einfacher, analytische
Losungen in Abhangigkeit der Ahnlichkeitsvariable zu finden. Zum anderen scheint die
Natur Losungen zu bevorzugen, die ahnlich zu einander sind.
Fur ein eindimensionales hydrodynamisches Problem ist ξ “ xt mit ´1 ď ξ ď 1 die
Selbstahnlichkeitsvariable, mit deren Hilfe alle physikalischen Großen dargestellt werden
konnen. Sie kann zum Beispiel als Geschwindigkeit interpretiert werden, mit der sich ein
bestimmtes Merkmal der Losung fortbewegt und ist generell ungleich der Geschwindigkeit
des Fluids an dem durch ξ beschriebenen Punkt.
3.3. Verdunnungswellen
Wenn der Druck p und die Baryondichte nB in dem Bereich, in dem sich eine einfache
Welle fortbewegt, abfallt, wird diese Welle als Verdunnungswelle bezeichnet. Sie werden
zum Beispiel in [4], [5] und [12] behandelt.
Abbildung 1: Schematische Darstellung der Verdunnungswelle im Bezugssystem des Wel-lenkopfes (ρpx “ xµq bezeichnet hier die Massendichte und ist analog zunBpxµq zu betrachten) [5, Fig. 4.4]
Verdunnungswellen sind einfache Wellen, aber nicht alle einfachen Wellen sind Verdun-
nungswellen. Die Verdunnungswellen bestehen, wie in Abbildung 1 zu sehen ist, aus drei
Teilen. Der Kopf11 der Verdunnungswelle ist der an das ungestorte Fluid angrenzende
Teil, welcher somit die hochste Geschwindigkeit innerhalb der Verdunnungswelle aufweist.
10engl.: self-similar11engl.: rarefaction head
12 3. Relativistische Hydrodynamik
Nach dem Inneren der Welle, in dem der Druck und die Dichte abfallen, - auch Facher12
genannt - folgt der Schweif13 der Verdunnungswelle. Dieser bewegt sich mit der geringsten
Geschwindigkeit innerhalb der Verdunnungswelle fort.
In den meisten Fallen ist die Geschwindigkeit des ungestorten Fluids bekannt und es
wird die Geschwindigkeit hinter dem Schweif der Verdunnungswelle gesucht. Dies wird in
Kapitel 3.3.1 fur den Spezialfall einer polytropen Zustandsgleichung behandelt.
Um nun die Entwicklung der physikalischen Großen entlang der Verdunnungswelle zu
betrachten, nutzt man aus, dass es sich bei Verdunnungswellen um Losungen einer selbst-
ahnlichen Stromung handelt und diese sich durch die Selbstahnlichkeitsvariable ξ “ xt(siehe Kap. 3.2) darstellen lassen. Stellt man die Orts- und Zeitableitung durch Ableitun-
gen nach ξ dar, erhalt man die hydrodynamischen Gleichungen (3.3), (3.4) und (3.5) in
Abhangigkeit von ξ.
Bt “ BBξ
BξBt “
´Btx
t
¯ BBξ “ ´ξ
t
BBξ
Bx “ BBξ
BξBx “
´Bx
x
t
¯ BBξ “ 1
t
BBξ
Die Gleichung fur die Erhaltung der Ruhemasse
BBt pγnBq ` ∇ pγnBvq “ 0 (3.3)
wird im eindimensionalen Fall zu
γ BtnB ` γv BxnB ` γ3nB Btv ` γnB
`γ2v ` 1
˘Bxv
“ ´γξ
t
BnB
Bξ ` γv
t
BnB
Bξ ` γ3nB
ˆ´ξ
t
BvBξ
˙` nBγ
t
`γ2v ` 1
˘ BvBξ
“ pv ´ ξqBnB
Bξ ` nBγ2 rpv ´ ξq ` 1s Bv
Bξ “ 0. (3.13)
Aus den Erhaltungsgleichungen der Impulsdichte und der Energiedichte
BBt re ` ps γ2v ` ∇
re ` ps γ2v2 ` p
(“ 0 (3.4)
BBt
re ` ps γ2 ´ p
(` ∇ re ` ps γ2v “ 0 (3.5)
12engl.: rarefaction fan13engl.: rarefaction tail
13
erhalt man im eindimensionalen Fall durch Ausmultiplizieren
BBt
re ` ps γ2 ´ p
(` Bx re ` ps γ2v “ 0
ˇˇˇ ¨ v
´ BBt re ` ps γ2v ` Bx
re ` ps γ2v2 ` p
(“ 0
v Btp ` Bxp ` pe ` pqγ2 Btv ` pe ` pqγ2v Bxv “ 0
ô ´vξ
t
BpBξ ` 1
t
BpBξ ` pe ` pqγ2
„´ξ
t
BvBξ ` v
t
BvBξ
“ 0
ô pe ` pqγ2pv ´ ξqBvBξ ` p1 ´ vξqBp
Bξ “ 0. (3.14)
Eine dritte Gleichung lasst sich aus der thermodynamischen Beziehung
c2S “ nB
e ` p
ˆ BpBnB
˙
s
ô c2S “ nB
e ` p
ˆBpBξ
BξBnB
˙
s
ô BpBξ “ pe ` pq
nB
c2SBnB
Bξ (3.15)
herleiten.
Die physikalischen Großen entwickeln sich also entlang einer Verdunnungswelle uber
drei nicht-lineare gewohnliche Differentialgleichungen (3.13), (3.14) und (3.15), die im
Allgemeinen numerisch gelost werden mussen.
Um dennoch etwas uber die Verdunnungswelle auszusagen, kann man aus (3.13), (3.14)
und (3.15) ein Gleichungssystem der Form
A ¨ x “
¨˚
pv ´ ξq nBγ2 rpv ´ ξq ` 1s 0
0 pe ` pqγ2pv ´ ξq p1 ´ vξqpe`pqc2
S
nB0 ´1
˛‹‚¨ Bξ
¨˚nB
v
p
˛‹‚“ 0
aufstellen und die lokale Schallgeschwindigkeit cS innerhalb der Verdunnungswelle berech-
nen. Dafur fordert man detA “ 0, um eine nicht-triviale Losung zu erhalten.
detA “ ´pe ` pqγ2pv ´ ξq2 ` pe ` pqc2SnB
nB
“γ2vpv ´ ξq ` 1
‰¨ p1 ´ vξq “ 0
ô pv ´ ξq21 ´ vξ
“ c2S
„v2 ´ vξ ` 1
γ2
ôˆ
v ´ ξ
1 ´ vξ
˙2
“ c2S
ô cS “ ˘ v ´ ξ
1 ´ vξ(3.16)
14 3. Relativistische Hydrodynamik
Das Vorzeichen von (3.16) gibt an, ob sich die Verdunnungswelle nach links (´) oder rechts
(`) bewegt.
In Kapitel 3.2 wurde erwahnt, dass sich ξ als Fortbewegungsgeschwindigkeit interpre-
tieren lasst. Die Geschwindigkeit fur den Kopf und den Schweif der Verdunnungswelle ist
somit durch ξ gegeben, welches man durch Invertieren von (3.16) erhalt. Es ergibt sich
ξ “ v ¯ cS
1 ¯ vcS. (3.17)
Bewegt sich hier jedoch das Fluid nach links ist das Vorzeichen ` und nach rechts ´. v
ist die Geschwindigkeit des ungestorten Fluids vor dem Kopf oder die Geschwindigkeit
hinter dem Schweif der Verdunnungswelle, je nachdem ob die Geschwindigkeit des Kopfes
ξK oder des Schweifs ξS berechnet werden soll. Ist zum Beispiel die Geschwindigkeit v des
Fluids vor dem Kopf der Verdunnungswelle 0, propagiert dieser mit Schallgeschwindigkeit
ξK “ ¯cS .
3.3.1. Die Verdunnungswelle bei einer polytropen Zustandsgleichung
Als Spezialfall soll nun kurz das polytrope Gas erwahnt werden. Bei dieser Art von Fluiden
ist es moglich, uber die Riemann Invarianten die Geschwindigkeit hinter dem Schweif der
Stoßwelle zu bestimmen. Dieser Ausdruck wird dann in der in Kapitel 3.5.1 kurz vorge-
stellten Methode verwendet, um die Entwicklung eines polytropen Fluids zu beschreiben.
Die polytrope Zustandsgleichung hat die Form
p “ K nΓB
mit dem adiabatischen Index des Fluids Γ und der polytropen Konstante K. Fur solch
ein Fluid lasst sich die Schallgeschwindigkeit des Fluids cS aus der Zustandsgleichung
herleiten.
c2S “ KΓpΓ ´ 1qnΓ´1B
pΓ ´ 1q ` KΓnΓ´1B
Einfache Wellen sind mit den Eigenwerten λ˘ verknupft. Mit dem Ausdruck fur das
Quadrat der Schallgeschwindigkeit lassen sich nun die Riemann-Invarianten J˘ aus (B.4)
und (B.5) berechnen. Es ergibt sich
J˘ “ˆ1 ` v
1 ´ v
˙«pΓ ´ 1q 1
2 ` cS
pΓ ´ 1q 12 ´ cS
ff˘2pΓ´1q´ 12
“ konst.
Da die Riemann-Invarianten konstant entlang der Fluid-Linien sind, ist es nun moglich
die Geschwindigkeiten vor (va) und hinter (vb) der Verdunnungswelle miteinander in Be-
ziehung zu setzen und bei gegebenem va ein Ergebnis fur die Geschwindigkeit des Fluids
15
hinter dem Schweif der Verdunnungswelle vb zu erhalten14.
ˆ1 ` va
1 ´ va
˙«pΓ ´ 1q 1
2 ` cSppaqpΓ ´ 1q 1
2 ´ cSppaq
ff˘2pΓ´1q´ 12
“ konst. “ˆ1 ` vb
1 ´ vb
˙«pΓ ´ 1q 1
2 ` cSppbqpΓ ´ 1q 1
2 ´ cSpp ´ bq
ff˘2pΓ´1q´ 12
ôˆ1 ` va
1 ´ va
˙«pΓ ´ 1q 1
2 ` cSppaqpΓ ´ 1q 1
2 ´ cSppaqpΓ ´ 1q 1
2 ´ cSppbqpΓ ´ 1q 1
2 ` cSppbq
ff˘2pΓ´1q´ 12
loooooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooooonA˘ppbq
“ 1 ` vb
1 ´ vb
ô vb “ p1 ` vaqA˘ppbq ´ p1 ´ vaqp1 ` vaqA˘ppbq ` p1 ´ vaq (3.18)
3.4. Stoßwellen
Im Gegensatz zu Verdunnungswellen, uber denen die Dichte und der Druck stetig abfallen,
gibt es auch Wellen, bei denen ein abrupter unstetiger Abfall der physikalischen Großen,
wie der Geschwindigkeit, des Drucks und der Baryondichte stattfindet und somit eine
Unstetigkeitsstelle entsteht. Zu diesen unstetigen Wellen15 gehoren die Stoßwellen, die in
[5], [4], [13] und [12] ausfuhrlich diskutiert werden. Befindet man sich im Bezugssystem
der Stoßwelle, gibt es, wie in Abbildung 2 zu sehen, einen unbeeinflussten Bereich vor und
einen beeinflussten Bereich nach der Stoßwelle, die beide durch eine Unstetigkeitsstelle
getrennt sind.
Abbildung 2: Schematische Darstellung der Stoßwelle (ρpx “ xµq bezeichnet hier die Mas-sendichte und ist analog zu nBpxµq zu betrachten) [5, Fig. 4.6]
Die Unstetigkeitsstelle ist auch der Grund, warum die differentiellen Erhaltungsglei-
chungen der relativistischen Hydrodynamik (3.1) nicht direkt zur Beschreibung der Stoß-
welle genutzt werden konnen. Um nun doch etwas uber die Unstetigkeitsstelle aussagen
14Diese ist nicht zu verwechseln mit der im vorigen Kapitel 3.3 vorgestellten Fortbewegungsgeschwindigkeitder Welle an sich.
15engl.: discontinous waves
16 3. Relativistische Hydrodynamik
zu konnen, fugt man jeweils eine willkurliche Funktion f , beziehungsweise λν in die Er-
haltungsgleichungen (3.1) ein:
f BµNµBpxµq “ 0 λν BµT µνpxµq “ 0
Mit Hilfe der Produktregel erhalt man die Gleichungen
Bµ`fN
µB
˘“ f BµNµ
Bpxµqloooooomoooooon“0
`NµB pBµfq und Bµ pT µνλνq “ λν BµT µν
loooomoooon“0
`T µν pBµλνq ,
die nun uber ein Vierer-Volumen integriert werden.
ż
V
Bµ`fN
µB
˘d4x “
ż
V
NµB pBµfq d4x
und (3.19)ż
V
Bµ pT µνλνq d4x “ż
V
T µν pBµλνqd4x
Als nachstes wendet man den Satz von Stokes auf die linken Terme an. Man erhalt als
Ergebnis
ż
V
Bµ`fN
µB
˘d4x “
¿
BV
fNµBnµ dξ und
ż
V
Bµ pT µνλνqd4x “¿
BV
T µνλνnµ dξ
mit dem Vierer-Vektor nµ, der senkrecht auf der Oberflache des Vierer-Volumens BV steht.
Fur ihn gilt nµnµ “ ´1. Im Limit limVÑ0 wird das Vierer-Volumen (im Bezugssystem der
Stoßwelle) auf einen Punkt verkleinert und es verschwinden schließlich die Integrale (3.19),
wahrend fur die Oberflachenintegrale die Großen auf beiden Seiten der Unstetigkeitsstelle
berechnet werden mussen.
0 “¿
BV
”N
µBa
´ NµBb
ıfnµ dξ und 0 “
¿
BV
“T µνa ´ T
µνb
‰λνnµ dξ
Die willkurlichen Funktionen f und λν konnen jetzt so gewahlt werden, dass sie zusam-
men mit dem Oberflachenintegral verschwinden. Fuhrt man nun die Notation
vQw :“ Qa ´ Qb
ein, so erhalt man die relativistischen Rankine-Hugoniot Grenzbeziehungen
vNµBwnµ “ 0 (3.20)
und
vT µνwnµ “ 0. (3.21)
17
Als nachstes wird der eindimensionale Fall im Ruhesystem der Stoßwelle betrachtet
(nµ “ p0, 1, 0, 0q).Somit ist der Beitrag aus (3.20)
NµBa
nµ “ NµBbnµ
ô nBauµanµ “ nBb
uµb nµ
ô nBaγava “ nBb
γbvb, (3.22)
der uber die Definition des Baryonflusses j “ nBγv zu
ja “ jb
vereinfacht werden kann.
Da der Baryonfluss invariant unter Lorentz-Transformationen in x-Richtung ist, kann
man fur den Normalvektor nµ in (3.20) ein Bezugssystem annehmen, in dem sich die
Stoßwelle mit der Koordinatengeschwindigkeit vsh entlang der x-Achse bewegt. In diesem
System wird der Normalvektor nµ durch
nµ “ γshp´vsh, 1, 0, 0q mit γsh “ 1
1 ´ v2sh(3.23)
dargestellt.
Der Baryonfluss kann nun in der Form
j2 “ γ2shD2apvsh ´ vaq2 “ γ2shD
2b pvsh ´ vbq2 (3.24)
mit D “ γnB geschrieben werden. Fuhrt man nun die Variable ζ “ γshj ein, lasst sich
(3.22) mit (3.24) zum kompakteren Ausdruck
21
D
:“ ´ζvvw (3.25)
zusammenfassen.
Die Beitrage aus (3.21) sind im eindimensionalen Fall
T 0 µa nµ “ T
0 µb nµ und T 1 µ
a nµ “ T1 µb nµ.
Durch Einsetzen der Definition des Energie-Impuls-Tensors (3.2) ergibt sich schließlich
pea ` paqγ2ava “ peb ` pbqγ2b vb und pea ` paqγ2av2a ` pa “ peb ` pbqγ2b v2b ` pb,
beziehungsweise
vhγvw “ ζvpw und1hγ ´ p
D
9“ ζvpvw. (3.26)
18 3. Relativistische Hydrodynamik
mit der Definition der spezifischen freien Enthalpie h “ e ` p
nB
. Zusammen mit (3.22) sind
dies die Grenzbeziehungen von Taub.
3.4.1. Das Taub Adiabat
Die Grenzbeziehungen von Taub (3.22), (3.26) lassen sich auch in einer anderen Weise
darstellen. Quadriert man (3.22) und nutzt die Definition von j, ergibt sich
vj2w “ 0.
Da fur den Baryonfluss j “ nBaγava “ nBbγbvb gilt, werden (3.26) zu
j2 “ ´ vpwvhnBw und vhγw “ 0. (3.27)
j2 kann man nun noch weiter umschreiben.
j2 “ ´ vpwvhnBw
ˇˇˇ ¨ˆ
ha
nBa
` hb
nBb
˙¨ vhnBw
ô j2 ¨ˆ
ha
nBa
´ hb
nBb
˙ˆha
nBa
` hb
nBb
˙
loooooooooooooooooomoooooooooooooooooonh2a
n2Ba
´h2b
n2Bb
“ ´ˆ
ha
nBa
` hb
nBb
˙¨ vpw
ˇˇˇj
2 “ n2Ba
γ2av2a “ n2
Bbγ2b v
2b
ô h2aγ2av
2a ´ h2bγ
2b v
2b “ ´
ˆha
nBa
` hb
nBb
˙¨ vpw
ˇˇˇvhγw2 “ 0
ô h2aγ2av
2a ´ h2bγ
2b v
2b ´ ph2aγ2a ´ h2bγ
2b qlooooooomooooooon
“0
“ ´ˆ
ha
nBa
` hb
nBb
˙¨ vpw
ˇˇˇγ
2 “ 1
1 ´ v2
ô h2av2a
1 ´ v2a´ h2bv
2b
1 ´ v2b´ h2a
1 ´ v2a` h2b
1 ´ v2b“ ´
ˆha
nBa
` hb
nBb
˙¨ vpw
ô h2a ´ h2b “ˆ
ha
nBa
` hb
nBb
˙¨ vpw
Am Ende erhalt man die relativistische Verallgemeinerung des klassischen Hugoniot
Adiabates fur Fronten Newtonscher Stoßwellen, das Taub Adiabat :
vh2w “ˆ
ha
nBa
` hb
nBb
˙¨ vpw (3.28)
19
3.4.2. Die Geschwindigkeit hinter einer Stoßwelle
Die ersten beiden Terme der Gleichung (3.24), welche den Baryonfluss mit der Geschwin-
digkeit der Stoßwelle vsh verknupfen, lassen sich nutzen, um einen Ausdruck fur die in den
Grenzbeziehungen (3.25) und (3.26) verwendete Variable ζ “ γshj zu erhalten, der nur
noch abhangig von Großen vor der Stoßwelle ist.
Unter Verwendung von
j “γshDapvsh ´ vaq
ô Davsh “1
ζ` Dava
erhalt man eine quadratische Gleichung in ζ
j2 “γ2shD2apvsh ´ vaq2
ô j2
D2a
“γ2shv2sh ´ 2γshvavsh ´ γ2shv
2a ´ 2γ2sh ` 2γ2sh
ô 0 “ ´ γ2shp1 ´ v2shqloooooomoooooon“1
´2γ2shvavsh ´ γ2shp1 ´ v2aq ` 2γ2sh ´ j2
D2a
ô 0 “ ´ 1 ` 2γ2shp1 ´ vavshq ´ γ2shp1 ´ v2aq ´ j2
D2a
ˇˇˇ ¨ 1
j2
ô 0 “ ´ ζ2p1 ´ v2aq ` 2ζ2
DapDa ´ vaDavshq ´ 1
Da´ 1
j2
ô 0 “ ´ ζ2p1 ´ v2aq ` 2ζ2
DapDa ´ va
ζ´ Dav
2aq ´ j2 ` D2
a
j2D2a
ô 0 “ζ2p1 ´ v2aq ´ 2vaζ
Da´ j2 ` D2
a
j2D2a
,
die als Ergebnis
ζ˘ppq “ γsh
jppq “vaDa
˘b
1D2
a` p1´v2aq
j2
1 ´ v2a. (3.29)
liefert.
Mit Hilfe der Grenzbeziehungen (3.25) und (3.26) ist es jetzt moglich die Geschwindig-
keit vb hinter der Stoßwelle zu berechnen. Man beginnt mit der ersten Grenzbeziehung aus
(3.26):
vhγvw “ζvpw
ô vb “haγa ` ζvpwhbγb
(3.30)
20 3. Relativistische Hydrodynamik
Nun berechnet man einen Ausdruck fur haγa aus der zweiten Grenzbeziehung in (3.26)
1hγ ´ p
D
9“ζvpvw
ô hbγb ´ haγa ´1 p
D
9“ζvpvw
ô hbγb “ζvpvw ` haγa ´ pb
Db` pa
Da
und setzt fur 1Da den Ausdruck
21
D
:“ ´ ζvvw
ô 1
Da“ζvb ´ ζva ` 1
Db
ein, den man aus (3.25) gewinnt. haγa wird somit zu
hbγb “ζvpvw ` haγa ´ pb
Db` pa
Da
ô hbγb “vpwˆζva ` 1
Da
˙.
Wenn man hbγb nun in (3.30) einsetzt, ist die Stoßgeschwindigkeit nur noch von den Großen
vor der Stoßwelle und dem Druck als freie Variable abhangig.
vbppq “ haγava ` vpwζ˘,appqhaγa ` vpw
´ζ˘,appqva ` 1
Da
¯ (3.31)
Sofern man einen Ausdruck fur die freie Enthalpie h kennt, ist der Baryonfluss durch
(3.27) gegeben und die Geschwindigkeit hinter einer Stoßwelle kann berechnet werden.
Da bis jetzt die Geschwindigkeit unabhangig von der Zustandsgleichung berechnet wur-
de, muss diese nun verwendet werden, um einen Ausdruck fur h zu finden. Dies wird
beispielhaft fur eine polytrope Zustandsgleichung in Kapitel 3.4.3 behandelt.
3.4.3. Die Stoßwelle bei einer polytropen Zustandsgleichung
Wie in Kapitel 3.3.1 kann man nun den Spezialfall eines Fluides mit polytroper Zustands-
gleichung betrachten. Fur dieses Fluid ist die Baryondichte mit dem Druck p, der freien
Enthalpie h und dem adiabatischen Index Γ uber
nB “ Γp
pΓ ´ 1qph ´ 1q
verknupft.
Setzt man diese Verknupfung nun in das Taub-Adiabat (3.28) ein, erhalt man die qua-
21
dratische Gleichung
h2b
ˆ1 ` pΓ ´ 1qvpw
Γpb
˙
loooooooooomoooooooooonα
´ pΓ ´ 1qvpwΓpblooooomooooonβ
hb ` havpwnBa
´ h2alooooomooooon
ε
“0
ô h2b ´ β
αhb ` ε
α“0
Man erhalt fur hb zwei Nullstellen
hb˘ “ β
2α˘
aβ2 ´ 4αε
2α(3.32)
von denen eine aufgrund der Bedingungen
1 ą Γ ´ 1
Γ
pb ´ pa
pbund ha ą pa ´ pb
nBa
immer negativ ist und verworfen werden kann. Die andere Nullstelle gibt die freie Enthalpie
hinter einer Stoßwelle an.
3.5. Losung des eindimensionalen Riemann Problems
Unter einem Riemann Problem versteht man ein Anfangswertproblem (t “ 0) der Form
Apx, 0q “
$’&’%
L fur x ă 0
R fur x ą 0
,
in dem der linke Anfangszustand des Systems durch L und der rechte Anfangszustand des
Systems durch R charakterisiert wird16.
Die Losung dieses Problems ergibt ein Stromungsprofil der charakteristischen physi-
kalischen Großen fur einen gewahlten Zeitpunkt t uber das System der Lange L. Zum
Zeitpunkt t “ 0 existieren nur die beiden Anfangszustande L und R, die durch eine Uns-
tetigkeitsstelle von einander getrennt sind. Das System entwickelt sich uber die Zeit t wie in
Abbildung 3 dargestellt und es entstehen vier Losungszonen, die je nach Wahl der Anfangs-
werte und naturlich auch der benutzten hyperbolischen Gleichungen, Verdunnungswellen
(Kapitel 3.3), Stoßwellen (Kapitel 3.4) oder Unstetigkeitsstellen sein konnen.
16L “ pnB,L, vL, pLqJ und R “ pnB,R, vR, pRqJ
22 3. Relativistische Hydrodynamik
t
x
WÐ C WÑ
L L˚ R˚ R
Abbildung 3: Orts-Zeit Darstellung der Losung des Riemann Problems (Riemann Facher)
Zusammenfassend ergibt sich also fur Zeiten großer null eine Losung, die aus funf Teilen
besteht. Zum einen sind die Anfangszustande (L, R) vorhanden. Von da aus zerfallt die
Unstetigkeitsstelle in zwei Wellen (WÐ, WÑ), die sich auf die Anfangszustande zu bewegen.
Hinter den Wellen bilden sich von der Unstetigkeitsstelle17 C getrennte neue Zustande L‹
und R‹ (Abbildung 5). Diese mussen beide den selben Druck pL‹ “ pR‹ “ p‹ und auch
dieselbe Geschwindigkeit vL‹pp‹,Lq “ vR‹pp‹,Rq “ v‹ haben, wahrend die Baryondichte
in beiden Zustanden unterschiedlich sein kann. Dies lasst sich insgesamt schematisch als
L WÐ L‹ C R‹ WÑ R fur t ą 0
darstellen.
Ist der Druck des Anfangszustandes L, beziehungsweise R großer als der im Zustand
L‹ bzw. R‹, so bildet sich eine Verdunnungswelle17 (R) in Richtung des jeweiligen An-
fangszustandes. Ist der Druck eines der Anfangszustande jedoch kleiner, so entsteht eine
Stoßwelle (S ).
W “
$’&’%
R falls p ď p‹
S falls p ą p‹
(3.33)
Die Zwischenzustande L‹ und R‹ lassen sich nun im Fall einer Verdunnungswelle uber
die Selbstahnlichkeit und im Fall einer Stoßwelle uber die Rankine-Hugoniot Grenzbezie-
hungen mit der Unstetigkeitsstelle verbinden. Es gibt somit drei18 mogliche Losungen, die
das gesamte System je nach Anfangszustanden annehmen kann. Sie sind in Abbildung 4
(S. 24) dargestellt.
17Aus konventionellen Grunden wird die Unstetigkeitsstelle mit einem C (engl.: contact discontinuity) undim Folgenden die Verdunnungswelle mit einem R (engl.: rarefaction wave) gekennzeichnet.
18Eigentlich 4 Losungen, wenn man (3.35) und (3.36) jeweils als einzelne Losungen betrachtet
23
Die erste Moglichkeit ist, dass sich zwei Stoßwellen bilden, die jeweils in die Richtung
der Anfangszustande laufen.
L SÐ L‹ C R‹ SÑ R (3.34)
Moglichkeit zwei ist die Bildung einer Stoß- und einer Verdunnungswelle.
L RÐ L‹ C R‹ SÑ R (3.35)
oder
L SÐ L‹ C R‹ RÑ R (3.36)
Als letzte Moglichkeit konnen sich auch zwei Verdunnungswellen bilden, die auf die An-
fangszustande zulaufen (Abbildung 5, S. 26).
L RÐ L‹ C R‹ RÑ R (3.37)
Leider gibt es bis zum jetzigen Zeitpunkt weder fur den Newtonschen noch fur den rela-
tivistischen Fall eine geschlossene analytische Losung fur das allgemeine Riemann Problem
in einer Dimension (und somit naturlich auch nicht fur hohere Dimensionen). Was jedoch
existiert, sind numerische Losungen beliebiger Genauigkeit, die man aus diesem Grund als
exakte Riemann Solver bezeichnet. Der erste allgemeine exakte Riemann Solver fur ein
relativistisches ideales Fluid wurde 1993 von Martı und Muller [12] entwickelt und wird
im folgenden Kapitel kurz skizziert.
Weitere Informationen zum Riemann Problem sind in [5], [14], [12], [2] und [15] zu
finden.
24 3. Relativistische Hydrodynamik
0
1
2
3
4
50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Baryondichte
nB
x
0 0.5 1
SÐ C SÑ
(a)
0
2
4
6
8
10
12
14
160 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Baryondichte
nB
x
0 0.5 1
RÐ C RÑ
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Baryondichte
nB
x
0 0.5 1
RÑ C SÐ
(c)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Baryondichte
nB
x
0 0.5 1
SÐ C RÑ
(d)
Abbildung 4: Beispielbilder der unterschiedlichen Losungen des Riemann Problems unterVerwendung der von Martı und Muller [12] entwickelten und in Kapitel 3.5.1kurz vorgestellten exakten Losung. (Darstellung stark angelehnt an [5, Fig.4.11])
25
3.5.1. Der exakte Riemann Solver fur ein polytropes Gas
In diesem Abschnitt wird knapp der exakte Riemann Solver fur ein ideales Gas mit einem
adiabatischen Index Γ (siehe [12]) zusammengefasst.
Das allgemeine Losungskonzept ist folgendes:
1. Berechne den Druck p‹ und die Geschwindigkeit v‹.
2. Verbinde L und L‹ entweder mit einer Stoß- oder Verdunnungswelle.
3. Verbinde R und R‹ entweder mit einer Stoß- oder Verdunnungswelle.
4. Verbinde L‹ und R‹ uber die Unstetigkeitsstelle
Die Losung ist selbstahnlich. Sie ist dementsprechend nur abhangig von den Anfangs-
zustanden L und R, sowie dem Verhaltnis von Ort x und Zeit t zum Ort x0 der Unstetig-
keitsstelle und dem Anfangszeitpunkt t0. Wie schon in Kapitel 3.5 erwahnt, sind der Druck
p‹ und die Geschwindigkeit v‹pp‹q der Zwischenzustande L‹ und R‹ gleich, wahrend die
Baryondichte einen Sprung macht. Sie lassen sich uber die Rankine-Hugoniot Grenzbezie-
hungen, beziehungsweise uber die Selbstahnlichkeit mit der Unstetigkeitsstelle verbinden.
Uber vL‹pp‹,Lq “ vR‹pp‹,Rq “ v‹ kann nun mit Hilfe numerischer Verfahren der Druck
p‹ bestimmt werden.
Bei diesem Riemann Solver wird aus pL und pR ein maximaler Druck pmax und ein
minimaler Druck pmin ermittelt. Mit diesen Drucken berechnet man jeweils die Geschwin-
digkeiten vS‹ (mit S “ L oder S “ R) hinter der jeweiligen, uber (3.33), bestimmten
Welle auf beiden Seiten der Unstetigkeitsstelle. Sind die Geschwindigkeiten vS‹pp‹q gleich,so hat man sowohl p‹ als auch v‹ gefunden.
Im Fall des idealen Gases ist fur eine Verdunnungswelle die Geschwindigkeit hinter der
Welle uber (3.18) gegeben:
vb “ p1 ` vaqA˘ppbq ´ p1 ´ vaqp1 ` vaqA˘ppbq ` p1 ´ vaq (3.18)
Fur eine Stoßwelle ist die Geschwindigkeit hinter der Welle hingegen uber (3.31) zu
berechnen.
vbppq “ haγava ` vpwζ˘,appqhaγa ` vpw
´ζ˘,appqva ` 1
Da
¯ (3.31)
Hat man letztendlich p‹ gefunden, lassen sich die restlichen Großen der jeweiligen
Zustande dank der Selbstahnlichkeit der Losung ohne weitere Schwierigkeiten aus den
Anfangszustanden S bestimmen.
In Abbildung 4 ist als Beispiel ein Stromungsprofil der Variablen v, nB und p nach 0.5
Zeitschritten dargestellt, welches mit dem vorgestellten exakten Riemann Solver berechnet
wurde.
26 3. Relativistische Hydrodynamik
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x
Druck pBaryondichte nB
Geschwindigkeit v
(a) t “ 0 : L R
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x
Druck pRestmassendichte ρGeschwindigkeit v
(b) t “ 0, 5 : L RÐ L‹ C R‹ SÑ R
Abbildung 5: Beispiel fur die zeitliche Entwicklung der Losung des Riemann Pro-blems unter Verwendung der von Martı und Muller [12] entwickelten undin Kapitel 3.5.1 kurz vorgestellten exakten Losung fur eine polytropeZustandsgleichung.
3.6. Israel-Stewart Theorie
Betrachtet man die Erhaltung der Baryonzahl (3.1) genauer und nutzt die Produktregel,
erhalt man
BµNµB “ nBBµuµ ` uµBµnB “ 0.
Im ersten Term taucht der Vierergradient der Geschwindigkeit (Expansionsrate)
Bµuµ “ Btγ ` Bxpγvxq ` Bypγvyq ` Bzpγvzq “ Θ
auf, der die lokale und temporare raumliche Anderung der makroskopischen Großen des
Fluids misst. Im zweiten Term befindet sich die mitbewegte Zeitableitung19 uµBµ, welcheauf die Baryondichte wirkt. Physikalisch beschreibt die Gleichung somit die Erhaltung
des lokalen Gleichgewichts und der Isotropie durch mikroskopische Prozesse innerhalb des
Fluids.
Ist der Vierergradient der Geschwindigkeit jedoch zu groß, schafft es das System nicht
mehr diesen innerhalb der betrachteten makroskopischen Zeitskala auszugleichen und so-
mit einen lokalen Gleichgewichtszustand zu erreichen. Damit also ein lokales Gleichgewicht
und damit auch die Isotropie des Systems erhalten bleibt, muss die Reaktionsrate der mi-
kroskopischen Prozesse im Fluid großer sein als der Geschwindigkeitsgradient. Da dies
jedoch in der Natur und dementsprechend auch beim Quark-Gluon-Plasma nicht der Fall
ist, wird die Betrachtung von Reibungprozessen (Dissipation) zwingend notwendig, um
das zu untersuchende System moglichst realitatsnah zu beschreiben.
Hierfur werden der Baryonfluss und der Energie-Impuls-Tensor um Terme erganzt, wel-
che die Abweichung vom Gleichgewicht charakterisieren und man erhalt allgemein die
19Die mitbewegte Zeitableitung wird im Ruhesystems des Fluids uµ “ p1, 0, 0, 0q zu uµBµ “ Bt.
27
Gleichungen20
NµB “ N
µBeq.
` δNµB “ N
µB ` ν
µB (3.38)
T µν “ T µνeq. ` δT µν “ euµuν ´ pp ` Πq∆µν ` W µuν ` W νuµ ` πµν , (3.39)
die fur νµB “ W µ “ Π “ πµν “ 0 wieder in die Darstellung eines idealen Fluids ubergehen.
∆µν “ ηµν ´uµuν stellt eine Projektion senkrecht zur Fluidgeschwindigkeit uµ dar und hat
somit die Eigenschaften eines Projektors (∆µλ∆νλ “ ∆µν ,∆µνuν “ 0). Der Energie-Impuls-
Tensor enthalt nun einen Term, der den lokalen isotropen Druck pp ` Πq “ ´1
3∆µνT
µν
beschreibt. Er besteht aus dem Druck p der im lokalen Gleichgewicht herrscht und einer
neuen Große, die ein Maß fur die Abweichung von p durch innere Reibung darstellt. Π
beschreibt also einen durch Dehnviskositat hervorgerufenen Druck.
Der Tensor πµν “ xxT µνyy ist die ’raumliche’, spurlose, symmetrische Projektion des
Energie-Impuls-Tensors senkrecht auf die Fluidgeschwindigkeit uµ. Es gilt allgemein
xxXµνyy ” ∆µρ∆νσ
„Xρσ ` Xσρ
2´ ∆ρσ∆
αβXαβ
3
. (3.40)
Damit hat der Tensor πµν die Eigenschaften πµν “ πνµ und πµνuν “ 0. Er beschreibt die
Scherviskositat.
Da in der Relativitatstheorie die Aquivalenz von Masse und Energie herrscht, ist es auch
moglich, dass Energie uber den Baryonfluss transportiert wird.
W µ “ ∆µαTαβuβ “ qµ ` pe ` pqνµB
NµBuµ
ist dementsprechend ein Maß fur den Energiestrom senkrecht zur Fluidgeschwindigkeit uµ
und beschreibt mit Hilfe des Warmeflusses qµ die senkrecht zur Bewegung des Fluidteil-
chens austretende Energie in Form von Warme. Die restliche Energie, die durch Fluktuatio-
nen aus dem Fluidteilchen entweicht, wird uber den Baryondiffusionsstrom νµB “ NBν∆
νµ
charakterisiert, wobei νµBuµ “ 0.
An diesem Punkt muss nun geklart werden, wie die Geschwindigkeit des Fluidteil-
chens uµ definiert ist. Es tritt die berechtigte Frage auf, ob sich uµ parallel zum Vierer-
Baryonstrom oder parallel zum Energiestrom bewegt, uber den die Energie in Form von
Warme ubertragen werden kann. Die gebrauchlichsten Herangehensweisen wurden von
Landau, Lifschitz [4] und Eckart vorgestellt. Das Bezugssystem, in dem uµ parallel zum
Energiestrom ist und somit die senkrechte KomponenteW µ verschwindet, wird als Landau-
Frame bezeichnet. Ist uµ hingegen parallel zum Vierer-Baryonstrom, verschwindet νµB und
die Konfiguration wird Eckart-Frame genannt.
Da in dieser Arbeit die Eigenschaften von Quark-Gluon-Plasma bei verschwindendem
chemischen Potential untersucht werden sollen, muss dementsprechend auch die Wahl
20Der Index eq. kennzeichnet die jeweilige Große im Gleichgewichtszustand (engl.: equilibrium) und es giltimmer nB “ nB,eq., e “ eeq..
28 3. Relativistische Hydrodynamik
des Frames fur das System geeignet sein. Wahlt man den Eckart-Frame, ist die Fluidge-
schwindigkeit parallel zum Vierer-Baryonstrom NµB “ nBu
µ “ pnBγ, nBγvq definiert. Da
die Baryondichte nB im Gleichgewicht verschwindet, ist somit die Definition des Vierer-
Baryonstroms NµB,eq. “ p0, 0, 0, 0q und damit auch die Definition der Fluidgeschwindigkeit
uµ nicht eindeutig. Der Landau-Frame hingegen birgt keinerlei solcher Probleme, weswegen
er fur die Beschreibung des Quark-Gluonen-Plasma gut geeignet ist und auch im weiteren
Verlauf der Arbeit verwendet wird.
Die Erhaltungsgleichungen (3.38), (3.39) im Landau-Frame lauten
NµB “ N
µBeq.
` δNµB “ N
µB ` ν
µB (3.41)
und
T µν “ T µνeq. ` δT µν “ euµuν ´ pp ` Πq∆µν ` πµν . (3.42)
Durch das Einfuhren der neuen Felder sind in den erhaltenen Stromen nun 14 Frei-
heitsgrade vorhanden. Es ist nun nicht mehr moglich das System alleine durch die zwei
Erhaltungsgleichungen (3.1) und die Zustandsgleichung p “ ppe, nBq zu beschreiben, die
nur zu funf Gleichungen fuhren.
Da die dissipativen Variablen durch die Fluidvariablen nB,v, p darstellbar sein mussen,
lasst sich das System wieder schließen, wenn man einen Ausdruck fur den Entropiestrom
findet, der jedoch einigen Einschrankungen unterliegen muss. Zum einen muss der zweite
Hauptsatz der Thermodynamik gelten und die Entropiedichte sµuµ somit im Gleichgewicht
maximal sein. Des Weiteren soll der Entropiestrom keine Ableitungen enthalten. Konstru-
iert man nun solch einen Entropiestrom, wird dieser, wie auch in (3.41) und (3.42), neue
Terme besitzen. In erster Ordnung sind diese Proportional zu uµ und nB. Man erhalt 3
neue Proportionalitatskonstanten. Diese in den Gleichungen auftauchenden Konstanten
ζ, η, σ ě 0 sind die Dehn- und Scherviskositat, sowie die Konduktivitat der Baryonzahl.
Man wird jedoch feststellen, dass das System fur kleine Storungen instabil wird und un-
physikalisch ist, da die Entwicklung in den Gleichgewichtszustand instantan erfolgt.
Dieses Problem wird gelost, in dem der Entropiestrom durch neuen Terme zweiter Ord-
nung im Warmefluss und in der Geschwindigkeit erweitert wird und dementsprechend wei-
tere neue Parameter, wie zum Beispiel Relaxationszeiten τi, eingefuhrt werden. Bisher war
es jedoch nicht moglich, eine Theorie zweiter Ordnung uber systematische Uberlegungen
zu entwickeln. Israel und Stewart haben darauf einen auf phanomenologischen Grundlagen
basierenden Entropiestrom aufgestellt, in dem die dissipativen Großen zweiter Ordnung
auftreten.
Damit der zweite Hauptsatz der Thermodynamik (Bµsµ ě 0) gilt und somit die Entropie
29
nicht geringer wird, mussen νµB, π
µν und Π den Israel-Stewart-Gleichungen
`Bt ` viBi
˘Π “ ´Π ´ ΠNS
γτζ(3.43)
`Bt ` viBi
˘πµν “ ´πµν ´ π
µνNS
γτη´ 1
γpπµαuν ` πναuµquρBρuα (3.44)
`Bt ` viBi
˘νµ “ ´νµ ´ ν
µNS
γτσ´ 1
γpqαuρBρuαquµ (3.45)
genugen. Sie beschreiben die Entwicklung von νµB, Π, π
µν , wobei die Kopplung der dissi-
pativen Großen untereinander in dieser Arbeit vernachlassigt wird. Dabei sind
τζ ” β0ζ, τσ ” β1σ, τη “ 2β2η. (3.46)
die jeweiligen Relaxationszeiten.
ΠNS ” ´ζ∆µνBµuν , πµνNS ” 2η xxBµuνyy , ν
µB, NS ” σ∆µρTBρ
´µB
T
¯(3.47)
bezeichnen die Navier-Stokes-Großen, die Landau und Lifschitz im Rahmen ihrer relativis-
tischen Erweiterung der Navier-Stokes-Gleichung berechnet haben. Die zeitliche Entwick-
lung der dissipativen Strome Π, πµν , νµ liefert nun die benotigten fehlenden 9 Gleichungen,
um das System (3.41), (3.42) zu schließen.
Ausgehend von der Annahme, dass die Gradienten der Fluidvariablen nicht zu groß
werden, lassen sich (3.44) und (3.45) uber den linearen Teil ihrer Ortskomponenten ap-
proximieren.
`Bt ` viBi
˘πij “ ´πij ´ π
ijNS
γτη(3.48)
`Bt ` viBi
˘νi “ ´νi ´ νiNS
γτσ(3.49)
Man kann schließlich mit den Erhaltungsgleichungen (3.1) des erweiterten Vierer-Baryon-
stroms (3.41) und des erweiterten Energie-Impuls-Tensors (3.42) mit der konservativen
Formulierung der idealen relativistischen Fluidgleichungen (3.7) die Bewegungsgleichun-
gen der dissipativen relativistischen Hydrodynamik in Matrixform aufstellen:
Bt
¨˚
D ` ν0B
mi ´ Π∆0i ` π0i
E ´ Π∆00 ` π00
˛‹‚` Bj
¨˚
Dvj ` νjB
mivj ` pδij ´ Π∆ij ` πij
mj ´ Π∆0j ` π0j
˛‹‚“ 0 (3.50)
Die dissipativen Variablen entwickeln sich gemaß der Israel-Stewart Gleichungen (3.43),
(3.48) und (3.49).
Im Verlauf dieser Arbeit wird ein Quark-Gluon-Plasma bei verschwindender Baryon-
30 3. Relativistische Hydrodynamik
dichte betrachtet. Dementsprechend ist der Baryondiffusionsstrom νB zu vernachlassigen.
Die Dehnviskositat ζ lasst sich approximativ als Funktion der Scherviskositat η und der
Schallgeschwindigkeit cs darstellen
ζ “ κ
ˆ1
3´ c2s
˙2
η, (3.51)
wobei der Koeffizient κ in der Literatur von κ “ 15 [16] bis κ “ 75 [17] variiert. Somit muss
fur die Simulationen nur η als Koeffizient vorgegeben werden, wenn dissipative Effekte
berucksichtigt werden sollen.
3.6.1. Die Israel-Stewart Theorie in 1+1 Dimensionen
Im vorherigen Kapitel wurde schon erwahnt, dass fur die Betrachtung von Quark-Gluon-
Plasma bei verschwindender Baryondichte der Baryondiffusionsstrom vernachlassigt wer-
den kann und nur noch die Großen ΠNS und πµν betrachtet werden mussen.
Da im lokalen Ruhesystem uµBµuν “ Btuν “ 0 gilt, lasst sich die Navier-Stokes-Große
der Dehnviskositat vereinfachen zu:
ΠNS “ ´ζ r∆µνBµuνs“ ´ζ rpηµν ´ uµuνqBµuνs“ ´ζ rBνuν ´ uνuµBµuνs“ ´ζ rBνuνs“ ´ζΘ
Berucksichtigt man nun nur eine Ortsdimensionen, das heißt uµ “ γp1, v, 0, 0q, erhaltman mit Hilfe der zeitlichen und raumlichen Ableitungen von γ,
Btγ “ Bt1
1 ´ v2“ γ3vpBtvq und Bxγ “ γ3vpBxvq,
den Ausdruck
ΠNS “ ´ζΘ
“ ´ζ rBtγ ` Bxpγvqs“ ´ζ
“γ3vpBtvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq
‰. (3.52)
Da das System nur in x-Richtung betrachtet wird, mussen fur die Dehnviskositat nur
die Großen π00NS, π
0xNS, π
x0NS und πxx
NS berechnet werden. Mit der Definition (3.40) erhalt man
31
allgemein
πµνNS “ 2η xxBµuνyy
“ 2η∆µρ∆νσ
„Bρuσ ` Bσuρ2
´ ∆ρσ∆αβBαuβ3
“ 2η
«Bµuν ` Bνuµ ´ uµBρuρuν ´ uνBσuσuµ
2´ ∆µν
`Bβuβ ´ uβuαBαuβ
˘
3
ff
“ 2η
„Bµuν ` Bνuµ ´ uµBρuρuν ´ uνBσuσuµ2
´ Θ∆µν
3
.
Da πµν symmetrisch ist und außerdem
πµνuν “0
ô πµ0u0 “ ´ πµiui
gilt, erhalt man als Relation zwischen den unterschiedlichen Komponenten
πi0u0 “ ´ πijuj
und
π00u0 “ ´ π0juj “ πij ujui
u0.
Da diese Relationen auch fur πµνNS gelten, benotigt man demnach fur 1+1 Dimensionen nur
πxxNS, um auf alle relevanten Bereiche von π
µνNS zugreifen zu konnen.
πxxNS “ 2η
„´Bxpγvq ´ γvpγBt ` γvBxqpγvq ` p1 ´ γ2v2qΘ
3
“ 2ηpγ3v2 ` γq“´Bxv ´ γ2v tpBtvq ` vpBxvqu
‰
` 2
3η“p1 ` γ2v2qpγ3v2Btvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq
‰(3.53)
Ausfuhrlichere Informationen zur Israel-Stewart Theorie sind in [1], [2], [18], [19] und
naturlich in [20] zu finden.
32 3. Relativistische Hydrodynamik
33
4. Quantenchromodynamik
Um das Jahr 1930 kam in der Physik die Frage auf, was den Atomkern (Nukleus) zusammen
halt, der wie man mittlerweile wusste, aus Protonen und Neutronen (Nukleonen) besteht.
Beantwortet wurde diese Frage mit der Entdeckung der starken Wechselwirkung. Sie ist
eine kurzreichweitige Kraft, welche die spater entdeckten Quarks in den Protonen und
Neutronen bindet. Die Teilchen, welche die starke Wechselwirkung ubermitteln, bezeich-
nete man als Gluonen und die Teilchen, die wie die Protonen und Neutronen aus Quarks
und Gluonen bestehen, als Hadronen. Auf diesen neuen Entdeckungen aufbauend, wur-
de eine neue Theorie entwickelt, welche die starke Wechselwirkung zwischen Quarks und
Gluonen beschreibt, die Quantenchromodynamik (QCD). Die Quantenchromodynamik ist
somit die fundamentale Theorie auf nuklearer Ebene.
In dieser neuen Theorie ist die Kopplungskonstante zwischen den Teilchen, im fur uns
relevanten Bereich, nicht - wie in der Quantenelektrodynamik - konstant. Sie steigt mit
wachsendem Abstand der Quarks und somit kleiner werdender Energie an, weshalb die
Quarks und Gluonen innerhalb der Hadronen eingeschlossen sind. In diesem, als confined
bezeichneter Zustand, bilden sie die Bausteine unseres Universums. Innerhalb eines Ha-
drons, also bei geringem Abstand und hoher Energie, konnen sich die Quarks und auch
die Gluonen jedoch frei bewegen (asymptotische Freiheit).
Die typische Energieskala auf der die quantenchromodynamischen Prozesse stattfinden,
liegt bei ΛQCD „ 200 MeV. In diesem Bereich wird ein Phasenubergang erwartet, der also
bei einer Temperatur von T „ ΛQCD „ Op1012q K beziehungsweise bei einer Baryondichte
von nB „ Λ3QCD „ 1 fm´3 liegt. Abbildung 6 zeigt eine schematische Darstellung der
Phasenubergange innerhalb der Quantenchromodynamik.
µB
T
„ 0.2 GeV
„ 1 GeV
Quark-Gluon-Plasma
HadronischePhase
CSC
Normale Atomkerne
Schwerionenkollis
ionen
FruhesUniversum
Neutronen Stern
Abbildung 6: Schematische Darstellung des Phasendiagramms in der QCD (stark ange-lehnt an [2, FIG. 1])
Die einfachste Moglichkeit ist, die QCD in Abhangigkeit von zwei externen Parametern,
der Temperatur T und dem chemischen Potential µB, darzustellen. Bei hohen Temperatu-
ren (T ą ΛQCD) und niedrigem chemischen Potential entsteht das Quark-Gluon-Plasma.
Aufgrund der hohen Energiedichte wird innerhalb des Plasmas das Confinement aufgeho-
34 4. Quantenchromodynamik
ben und die Quarks und Gluonen konnen sich frei von einander bewegen. Bei niedrigen
Temperaturen (T ă ΛQCD) und hohem chemischen Potential, wie man es in Neutronenster-
nen findet, bildet sich eine supraleitende Phase21 (CSC). Wie auch in der Festkorperphysik,
wo sich in metallischen Supraleitern Elektronen zu Cooper-Paaren zusammenfinden, gibt
es bei der Farbsupraleitung ein Kondensat aus Quark-Cooper-Paaren. Die Beschreibung
der CSC ist jedoch wesentlich komplizierter, da Quarks nicht nur den Spin als Quantenzahl
haben, sondern auch noch die Farbe und den Flavour.
Im weiteren Verlauf der Arbeit soll nun Quark-Gluon-Plasma bei hoher Temperatur
und niedrigem chemischen Potential betrachtet werden, wie es auch am RHIC (µB „24 MeV) oder auch am LHC (µB „ 1 MeV) erzeugt wird (gruner Bereich in Abbildung
6). Man erwartet, dass in diesem Bereich auf Grund der Symmetrie der QCD unter La-
dungskonjugation die thermodynamischen Großen gut uber die fuhrende Ordnung des
chemischen Potentials dargestellt werden konnen. Das bedeutet, dass Großen, die unter
der Ladungskonjugation ihr Vorzeichen nicht wechseln, durch ihre Werte bei verschwin-
dendem chemischen Potential dargestellt werden.
Beispiele sind der Druck
ppT, µBq “ ppT, 0q ` 1
2χpT, 0qµ2
B ` Opµ4Bq « ppT, 0q “ ppT q, (4.1)
oder auch die Energiedichte epT, µBq « epT, 0q und die Temperatur T . Sie sind somit un-
abhangig von µB. Großen wie die Baryondichte und das chemische Potential selbst, die
unter Ladungskonjugation ihr Vorzeichen wechseln, werden hingegen uber Terme appro-
ximiert, die linear in µB und dementsprechend auch verschwindend gering sind, wie
nBpT, µBq “ BppT, µBqBµB
“ χpT, 0q ` Opµ3Bq « χpT, 0qµB. (4.2)
χpT, 0q ist die Suzeptibilitat der Baryonzahl bei verschwindendem chemischen Potential,
die uber die Zustandsgleichung gegeben werden muss.
Naheres zur Quantenchromodynamik lasst sich in [21] nachlesen. Speziell fur den Fall
eines Quark-Gluon-Plasmas bei hoher Temperatur sei auf [2] verwiesen.
4.1. Eine Zustandsgleichung der QCD
Die Zustandsgleichung ist eine Funktion, welche die Beziehungen der unterschiedlichen
thermodynamischen Großen untereinander im Gleichgewichtszustand charakterisiert und
fur die dynamische Analyse von thermalen Systemen von fundamentaler Bedeutung ist.
Das Quark-Gluon-Plasma unterliegt den Gesetzen der starken Wechselwirkung. Soll
dieses nun mit Hilfe von relativistischer Hydrodynamik analysiert werden, ist folglich eine
Zustandsgleichung der QCD unabdingbar.
Die QCD stellt die Physik jedoch vor eine starke Herausforderung, da sie nicht ana-
lytisch mit einem storungstheoretischen Ansatz untersucht werden kann und numerische
21engl.: Colour Superconductivity
35
Simulationen in der diskretisierten Raum-Zeit (Gitter) momentan die einzige Moglichkeit
bieten, ihre Eigenschaften zu beschreiben. Somit wird die Zustandsgleichung fur die QCD
aus Gitterberechnungen extrahiert.
Da die QCD bei endlichen Temperaturen sich in ihrem Verhalten einem freien Gas
ahnelt, ließen sich viele Eigenschaften aus einem intuitiven Vergleich mit den im freien
Gas auftretenden Phanomenen herleiten. Die Erwartung eines Druckanstiegs als Indikator
fur das Deconfinement basiert zum Beispiel auf einem idealen Resonanz-Gas aus Hadro-
nen bei niedriger Temperatur und einem idealen Gas aus Quarks und Gluonen bei hoher
Temperatur.
Aus diesem Grund ist es sinnvoll ein weiteres Mal den Energie-Impuls-Tensor fur ein
ideales Fluid (3.2) zu betrachten, dessen Spur Tµµ “ e ´ 3p fur ein ideales Gas (e “ 3p)
verschwindet. Die QCD hat jedoch eine nicht-verschwindende Spur (T µµ ‰ 0), die sich uber
T µµ pT q “ IpT q “ T 5 B
BTppT qT 4
(4.3)
darstellen lasst.
In numerischen Simulationen auf dem Gitter wird nun diese Spuranomalie berechnet
und mit ihrer Hilfe die benotigten thermodynamischen Großen wie der Druck, die Ener-
giedichte, oder auch die Schallgeschwindigkeit uber numerische Integration der erhaltenen
Daten berechnet.
Integriert man die Spuranomalie uber die Temperatur erhalt man eine Formel fur den
Druck ppT q:
ppT q “ T 4
Tż
0
dT
T
IpT qT 4
(4.4)
Die Energie ist durch die aus der Spur von T µν folgende Relation
e “ I ` 3p (4.5)
gegeben.
Dank (4.3) und (4.5) lassen sich die erste und zweite Ableitung des Drucks nach der
Temperatur leicht berechnen:
p1 “ BpBT “ I ` 4ppT q
T“ e ` p
T(4.6)
p2 “ B2pBT 2
“ I 1 ` 3p1
T“ e1
T(4.7)
Nun muss nur noch eine Gleichung fur die Schallgeschwindigkeit cs gefunden werden.
Dazu schreibt man deren Quadrat als Ableitung des Drucks und der Energiedichte, um
mit Hilfe von (4.6) und (4.7) einen allgemeinen Ausdruck zu finden, der mit Hilfe der
36 4. Quantenchromodynamik
Anomalie I und ihrer Ableitung I 1 berechnet werden kann.
c2s “ dp
de“ dp
dT
dT
de“ p1
e1“ p1
Tp2“ p1
I 1 ` 3p1“ e ` p
TI 1 ` 3pe ` pq (4.8)
Weitere Details sind in [22], [23] und [24] zu finden.
In wird [25] wird eine mogliche Zustandsgleichung fur die Quantenchromodynamik mit
physikalischen Quarkmassen vorgestellt. Die Berechnungen fur die Zustandsgleichung wer-
den mit dynamischen Quarks durchgefuhrt. Es wird also die Entstehung von Quark-
Antiquark-Paaren in virtuellen Quark-Loops zugelassen. Anstelle der sechs bekannten
Quark-Flavour (up, down, strange, charm, beauty und top) werden jedoch nur die drei
leichtesten (up, down, strange) berucksichtigt (2+1 Flavour).
Um die Zustandsgleichung zu erhalten, wird uber Gittersimulationen die Spuranomalie
des Energie-Impuls-Tensors berechnet und mit Hilfe der gewonnenen Daten eine globale
Parametrisierung
IpT qT 4
“ exp
„´h1
t´ h2
t2
¨ˆh0 ` f0 rtanhpf1t ` f2q ` 1s
1 ` g1t ` g2t2
˙(4.9)
der Anomalie (mit t “ T 200 MeV) als Funktion der Temperatur erstellt22.
Die Ableitung lautet
BIBT “ exp
„´ h1
Tκ´ h2
T 2κ2
¨ˆ4T 3 rh0 ` As ` T 4
"ˆh1
T 2κ` 2
h2
T 3κ2
˙rh0 ` As (4.10)
` f0f1κ
cosh2pf1Tκ ` f2q ¨ p1 ` g1Tκ ` g2T 2κ2q´ A
1 ` g1Tκ ` g2T 2κ2¨ pg1κ ` 2g2Tκ
2q*˙
,
wobei
A “ f0 rtanhpf1Tκ ` f2q ` 1s1 ` g1Tκ ` g2T 2κ2
und κ “ 1
200 MeV.
Die Funktion IpT q gibt das Verhalten der Anomalie fur einen Temperaturbereich von
100 ´ 1000 MeV mit einer Genauigkeit von ∆`IpT qT 4
˘ď 0.07 wieder und approximiert
unterhalb der 100 MeV Grenze die Vorhersagen des Hadron Resonanzgas-Modells (HRG-
Modell). Die benutzten Parameter sind in Tabelle 1 aufgelistet:
h0 h1 h2 f0 f1 f2 g1 g20.1396 ´0.18 0.035 2.76 6.79 ´5.29 ´0.47 1.04
Tabelle 1: Auflistung der benutzten Parameter fur die Anomalie I in (4.9)
f0,1,2 regulieren die Schrittgroße im Bereich des Phasenuberganges. g1,2 beschreiben den
Abfall der Funktion fur hohe Temperaturen, wahrend h0,1,2 die Voraussagen des HRG-
22Das Integral (4.4) wird mit einem Fehler von 10´12 berechnet.
37
Modells fur Temperaturen unterhalb 100 MeV modellieren. Abbildung 7(a) zeigt einen
Plot der parametrisierten Funktion IpT q bis zu einer Temperatur von T “ 1000 MeV.
Außerdem wird der mit Hilfe von (4.4) berechnete Druck in Abbildung 7(b) aufgetragen.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 200 400 600 800 1000
IpT
qT4
T rMeVs
(a)
0
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250 300 350 400
p“ G
eVfm
3‰
T rMeVs
QCD
(b)
Abbildung 7: (a) Plot der in [25] vorgestellten globalen Parametrisierung fur die Spuran-omalie von T µν
(b) Plot des mit Hilfe von IpT q berechneten Drucks ppT q
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
p“ G
eVfm
3‰
e“GeVfm3
‰
QCDFreies Gluon-Gas
T “ 200MeVT “ 300MeVT “ 400MeV
(a)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 50 100 150 200 250 300 350 400
c2 s
T rMeVs
c2s “ 13
(b)
Abbildung 8: (a) Auftragung der QCD-Zustandsgleichung und dem freien Gluon-Gas (Ab-bildung stark angelehnt an [2, Fig. 2]).(b) Plot der Schallgeschwindigkeit c2s fur die in [25] vorgestellte Zustands-gleichung der QCD.
In Abbildung 8(a) ist zusatzlich das Verhalten des Drucks p in Abhangigkeit der Ener-
giedichte e zu sehen. Zum Vergleich ist die ’einfachere’ Zustandsgleichung eines freien
Gluon-Gases, welche die Eigenschaften der QCD in einem gewissen Rahmen approximiert,
mit abgebildet. Fur das freie Gluon-Gas gilt die Zustandsgleichung e “ 3p, wahrend die
Energiedichte uber epT q “ 48T 4π2 parametrisiert wird. ([1] [2])
An dieser Stelle sei schon erwahnt, dass Simulationen mit dem freien Gluon-Gas auf
Grund der relativ einfachen Relationen zwischen Temperatur, Energie und Druck eine
38 4. Quantenchromodynamik
wesentlich geringere Rechenzeit haben, als Simulationen mit der Zustandsgleichung der
QCD.
Die in dem Plot markierten Temperaturen vermitteln einen ersten Eindruck von dem
Verhalten der beiden Zustandsgleichungen. Im Vergleich zum freien Gluon-Gas steigt der
Druck der QCD bei einer Temperatur von ungefahr 200 MeV stark an und es entsteht
ein deutlicher Unterschied zwischen den beiden Zustandsgleichungen. Das Verhalten des
Quadrates der Schallgeschwindigkeit ist in 8(b) abgebildet.
Wie fur alle relativistischen idealen Gase gilt fur das freie Gluon-Gas immer c2s “ 13.Fur die Zustandsgleichung der QCD steigt c2s im Bereich von 0-50 MeV von einem geringen
Anfangswert c2s „ 0.04 stark an. Ab 150 MeV nahert sich die Kurve dem Wert des freien
Gluon-Gases von 13, erreicht diesen aber innerhalb des geplotteten Temperaturbereiches
nicht23.
Nun lassen sich schon einige Bemerkungen und Vermutungen anstellen. Die Tempera-
tur, ab der anstatt Hydrodynamik wieder eine kinetische Theorie betrachtet werden muss
(Freeze-Out), liegt unterhalb der Temperatur des Phasenubergangs, wo die Quarks und
Gluonen des Plasmas anfangen sich zu Hadronen zusammen zu schließen. Dieser unte-
re Gultigkeitsbereich fur die hydrodynamischen Simulationen liegt zwischen 100 und 200
MeV [26]. Man sieht in Abbildung 8(b), dass das Quadrat der Schallgeschwindigkeit in-
nerhalb dieses Bereiches stark von c2s “ 13 abweicht. Da die approximative Darstellung
der Dehnviskositat (3.51) vom Quadrat der Abweichung der Schallgeschwindigkeit, also
p13 ´ c2s q2, abhangt, lasst sich schon voraussagen, dass die in dieser Arbeit benutzte Im-
plementation der Dehnviskositat fur die Zustandsgleichung der QCD ihren großten Beitrag
innerhalb der dissipativen Gleichungen unterhalb von 200 MeV und somit im Grenzbereich
zum Freeze-Out liefern wird.
Als letztes wird nun zur Bestimmung der Baryondichte nB nach (4.2) die Suszeptibilitat
der Baryonzahl χpT, µBq bei verschwindendem chemischen Potential benotigt. Fur die hier
vorgestellte Zustandsgleichung erhalt man eine Parametrisierung fur χpT, 0q mit Hilfe von
der geplotteten Spuranomalie I (Abbildung 7(a)) und den verwendeten Linien konstanter
Physik. [25, FIG. 7, Table 1]. Die so durch einen Fit gewonnene Parametrisierung der
Suszeptibilitat der Baryonzahl bei verschwindendem chemischen Potential ist
χpT, 0q “ aT 2
„1 ` tanh
ˆT ´ T0
∆T
˙(4.11)
mit a “ 0.15, T0 “ 167 MeV und ∆T “ 60 MeV.
Zusammenfassend lassen sich also alle thermodynamischen Variablen p, e, nB uber eine
gegebene Temperatur T und das chemische Potential µB berechnen. Es ist jedoch fur die
spateren Berechnungen wichtig, auch von einem gegebenen Druck p0 “ ppT0q wieder auf
die Temperatur T0 ruckschließen zu konnen.
Dies lasst sich zum Beispiel numerisch mit einem Nullstellen-Algorithmus, wie der
23Weitere Berechnungen haben bei einer Temperatur von T “ 1 GeV noch eine Abweichung von ǫ « 10´4
zum Wert c2s “ 13 ergeben.
39
Newton-Raphson Methode (siehe Kapitel 5.1), realisieren. Mit Hilfe von (4.4) erstellt man
eine Hilfsfunktion
fpT q “ ppT q ´ p0,
die an ihrer Nullstelle T0 die zu p0 gehorende Temperatur besitzt. Da p0 eine Konstante
ist, ist die Ableitung von fpT q nach T durch (4.6) gegeben, womit
f 1pT q “ p1pT q “ epT q ` ppT qT
.
Mit Hilfe der Newton-Raphson Methode erhalt man die gesuchte Temperatur T n “ T0
uber
T pn`1q “ T pnq ´ fpT pnqqf 1pT pnqq “ T pnq
«1 ´ ppT pnqq ´ p0
epT pnqq ` ppT pnqq
ff
sobald die Bedingung T n`1´T n ď ε mit einem entsprechend gewahlten Fehler24 ε eintritt.
24In den durchgefuhrten numerischen Berechnungen wurde ε “ 10´10 gesetzt.
40 5. Numerische Methoden
5. Numerische Methoden
Im Folgenden werden fur diese Arbeit notige numerische Methoden erlautert. Weiterfuhrende
Informationen zu diesem Thema sind in Buchern wie [5] und [14] zu finden.
Die programmierte Simulation ist auf die zeitliche Entwicklung einer Ortsdimension be-
schrankt. Aufgrund des γ-Faktors γpvx, vy, vzq der speziellen Relativitatstheorie sind die
zeitlichen Entwicklungen in die unterschiedlichen Raumrichtungen nicht unabhangig von-
einander. Dementsprechend ist sowohl der numerische Aufwand, um dennoch eine mul-
tidimensionale Losung zu realisieren, als auch die Rechenzeit wesentlich hoher und im
Rahmen dieser Arbeit nicht realisierbar. Ein Losungsansatz fur multidimensionale relati-
vistische Hydrodynamik wird in [9] diskutiert.
5.1. Newton-Raphson Methode
Die in [27] beschriebene Newton-Raphson Methode stellt eine Moglichkeit dar, numerisch
eine Nullstelle der Funktion fpxq mit Hilfe ihrer ersten Ableitung f 1pxq zu finden.
Die Taylorreihe von fpx ` δq ist durch
fpx ` δq « fpxq ` f 1pxqδ ` f2pxq2
δ2 ` . . .
gegeben. Ist δ klein genug, konnen alle Terme ab der zweiten Ordnung vernachlassigt
werden. Befindet sich nun die Nullstelle am Punkt fpx ` δq “ 0 erhalt man
δ “ ´ fpxqf 1pxq .
Die in Abbildung 9 dargestellte Newton-Raphson Methode extrapoliert die lokale Ablei-
tung an einem Punkt xi. Sie bildet dementsprechend die Tangente an diesem Punkt und
verlangert sie so lange, bis Tangente die x-Achse im Punkt pxi`1, 0q schneidet. Von dort
aus wird mit dem neu geschatzten Wert xi`1 die Prozedur wiederholt, bis die Nullstelle
erreicht wird.
Die iterative Formel fur die Newton-Raphson Methode lautet somit
xpn`1q “ xpnq ´ fpxpnqqf 1pxpnqq . (5.1)
Die Nullstelle ist gefunden, sobald die relative Anderung von xpnq zu xpn`1q kleiner wird,
als der angenommene Fehler ǫ.
41
Abbildung 9: Schematische Darstellung der Newton-Raphson Methode [27, Fig. 9.4.1]
5.2. Diskretisierung
Um die zeitliche Entwicklung eines hyperbolischen Systems (3.12), also eines gut konditio-
nierten Anfangswertproblems, numerisch berechnen zu konnen, wird sowohl eine raumliche,
als auch eine zeitliche Diskretisierung des Systems vorgenommen.
Mochte man ein System der Lange L untersuchen, wird dieses in J Zellen eingeteilt.
Man erhalt somit im Ortsraum J ` 1 diskrete Koordinaten im Abstand von ∆x “ LJ ,die uber
xj “ x0 ` j∆x mit j “ 0, 1, . . . , J
definiert sind.
Von einem gegebenen Anfangszeitpunkt t0 aus, ist der n-te Zeitpunkt uber ein definiertes
Zeitintervall ∆t durch
tn “ t0 ` n∆t mit n “ 0, 1, . . . , N
gegeben.
Abbildung 10 zeigt eine schematische Darstellung der diskretisierten Raumzeit, die nun
durch ein Gitter mit den Gitterpunkten xnj dargestellt werden kann.
42 5. Numerische Methoden
xnj´1 xnj xnj`1
tn
tn`1
∆x
∆t
Abbildung 10: Schematische Darstellung der diskretisierten Raumzeit
Eine Funktion fpx, tq wird auf dem Gitter durch einen diskreten Satz an Werten!fnj
)
mit fnj
(:“ fp
xnj
(q “ fpx “ xj, t “ tnq
ersetzt, wobei jedem Gitterpunkt ein Wert zugeordnet wird. Somit kann jedem Gitterpunkt
zum Zeitpunkt tn ein Satz von konservativen Variablen Vj zugeordnet werden, die sich uber
den Zeitschritt ∆t durch die hydrodynamischen Gleichungen (3.7), bzw (3.50) entwickeln
mussen.
Wie Funktionen mussen auch stetige Differentialoperatoren Lpfq, die auf hinreichend
glatte Funktionen f wirken, durch eine diskretisierte Form L∆x ersetzt werden. L∆x muss
somit angewendet auf!fnj
)einen approximativen Wert fur Lpfq ergeben, der sich aus den
Differenzen der diskretisierten Großen fnj an den benachbarten Gitterpunkten errechnet.
Somit wird ein kontinuierliches Anfangswertproblem der Form
Lpfq ´ Fpfq “ 0,
wobei Fpfq unabhangig von Ableitungen von f ist, zu einem diskretisierten Anfangswert-
problem
L∆xpfnj q ´ F∆xpfn
j q “ ǫ.
Wird der Operator L∆x nun auf die exakt punktweisen Großen fnj angewendet, so ist das
Anfangswertproblem durch die Approximation des Differentialoperators nicht mehr exakt
0, sondern spiegelt den Fehler ǫ wider, der durch diese Diskretisierung entstanden ist.
Da sowohl das Ortsintervall ∆x, als auch das Zeitintervall ∆t frei gewahlt werden
konnen, muss darauf geachtet werden, dass die physikalischen Signale innerhalb eines Zeit-
schrittes sich nicht weiter als einen Gitterpunkt bewegen konnen. Die Geschwindigkeit der
physikalischen Storung λ soll also nicht schneller sein als die numerische Geschwindigkeit
der Informationen
λN “ ∆x
∆t,
die von einem Punkt zum nachsten getragen werden, um letztendlich einen stabilen Sche-
me25 zu erhalten, mit dem das physikalische System untersucht werden kann. Die Stabilitat
25Scheme: Bezeichnung fur das numerische Modell, mit dessen Hilfe das Problem untersucht wird
43
wird durch die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (kurz: CFL-Bedingung) garantiert. Sie
ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung fur die Stabilitat des Systems. So-
wohl ∆x, als auch ∆t sind frei wahlbare Parameter. Es ist jedoch ublich, bei festem ∆x
und bekannten λ mit Hilfe der CFL-Bedingung das Zeitintervall ∆t festzulegen.
Die Geschwindigkeiten λk der physikalischen Storungen sind durch die Charakteristi-
ken, also den Eigenwerten (A.1), der relativistischen Hydrodynamischen Gleichungen (3.7)
gegeben. Als CFL-Bedingung erhalt man also
∆t “ cCFL mink
ˆ∆x
|λnk |
˙. (5.2)
Mit cCFL ď 1, einen auf das Problem zugeschnittenen Faktor, wird nun ein Zeitschritt
erzeugt, fur den das System garantiert stabil bleibt. Es wird dementsprechend in jedem
Zeitschritt tn fur jeden Gitterpunkt xj die Charakteristik λnk mit dem großten Geschwin-
digkeitsbetrag ausgewahlt. Diese werden dann miteinander verglichen, um letztendlich
durch die CFL-Bedingung (5.2) ein einen Zeitschritt zu finden, der an jedem Gitterpunkt
die Stabilitat des Systems garantiert.
In Simulationen wird ublicherweise ein uber
∆tmax “ cCFL ¨ ∆x
abgeschatzter Zeitschritt gewahlt, um das verwendete Zeitintervall uber die gesamte Si-
mulation konstant zu halten. Nach jedem Zeitentwicklungsschritt wird dann ∆t uber die
CFL-Bedingung gepruft und notfalls angeglichen.
5.3. Numerische Fehler
In diesem Kapitel soll kurz auf die unterschiedlichen numerischen Fehler eingegangen wer-
den, die bei Berechnungen mit dem Computer auftreten konnen. Die großten Fehler ent-
stehen durch die endliche Genauigkeit des Computers und die Diskretisierung des Systems.
Der Fehler, der durch die Genauigkeit des Computers entsteht, ist abhangig von der Ge-
nauigkeit mit der die Maschine zwei Fließkommazahlen von einander unterscheiden kann.
Also ist der Fehler ǫM gegeben durch
fpp1.0q “ fpp1.0q ` ǫM ,
wobei fpp1.0q eine 1 in Fließkommazahldarstellung ist. Werden nun mit diesen Fließkom-
mazahlen Operationen durchgefuhrt entsteht ein Rundungsfehler, der abhangig von der
Anzahl an durchgefuhrten Fließkomma-Operationen Nfp und der Genauigkeit des Com-
puters ist.
ǫR «a
NfpǫM
Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Fehlern, ist der Abbruchfehler26 komplett
26engl.: truncation error
44 5. Numerische Methoden
kontrollierbar. Der lokale Abbruchfehler bezeichnet die Abweichung der diskretisierten
Losung von der exakten Losung am Punkt x und ist im allgemeinen abhangig von den
Fehlern, die aufgrund der raumlichen und zeitlichen Diskretisierung des Systems entstehen.
Dementsprechend kann auch ein globaler Fehler fur die Messung berechnet werden. Dafur
werden globale Variablen verwenden, welche den raumlichen Mittelwert uber die Losung
angeben, wie zum Beispiel Volumenintegrale oder die raumliche Norm der Losung.
Im weiteren Verlauf wird jedoch nicht weiter auf die numerischen Fehler eingegangen, da
auf Grund der Nichtlinearitat der relativistischen hydrodynamischen Gleichungen unter-
schiedliche numerische Schemes unterschiedliche numerische Ergebnisse liefern, auch wenn
die Berechnungen mit den gleichen physikalischen Bedingungen durchgefuhrt werden. Aus
diesem Grund wird die Gute des benutzten numerischen Schemes eher daruber bestimmt,
wie stark der jeweilige Scheme von der exakten Losung des Problems abweicht und sich im
Gegensatz zu anderen Schemes fur bestimmte Probleme verhalt. Naturlich wird die nume-
rische Stabilitat (z.B. CFL-Bedingung in Kapitel 5.2, TVD-Methoden in Kapitel 5.4.2) der
Schemes vorausgesetzt. Die Stabilitat und Gute der in dieser Arbeit benutzten Methoden
werden ausfuhrlich in [19] und [2] behandelt.
5.4. HRSC-Methoden
Im Folgenden werden die Grundlagen des in dieser Arbeit verwendeten numerischen Sche-
mes vorgestellt, mit dem die zeitliche Entwicklung der physikalischen Großen durch die
in Kapitel 2 vorgestellten relativistischen dissipativen hydrodynamischen Gleichungen un-
tersucht werden.
Fur die numerische Stabilitat der hydrodynamischen Berechnungen ist numerische Dis-
sipation notwendig. Da nun aber auch physikalische Dissipation untersucht werden soll,
muss in diesem Teil der Berechnungen die numerische Dissipation verhindert oder zumin-
dest kontrolliert werden.
Unter Berucksichtigung dieser Punkte ist eine mogliche Wahl die Verwendung von high-
resolution shock-capturing (kurz: HRSC) Methoden. Diese Methoden sind außerdem in der
Lage auch die Losungen mit hoher Genauigkeit wiederzugeben, in denen starke Stoßwellen
oder Unstetigkeiten vorhanden sind.
5.4.1. Finite Volume-Methoden
Der diskretisierte Ortsraum wird nun in Zellen der Große
Ij “”xj´ 1
2, xj` 1
2
ımit j “ 0, 1, . . . , J
eingeteilt. Die Breite der Zellen ist durch ∆x :“ xj` 12
´ xj´ 12gegeben. Mit Hilfe der
diskretisierten Zeit ist es nun moglich ein Kontrollvolumen
Ωn`1j :“ Ij ˆ
“tn, tn`1
‰
45
in der Raumzeit zu definieren.
Integriert man ein allgemeines eindimensionales hyperbolisches System in konservativer
Form (siehe (3.7)), also
BtVpx, tq ` BxFpVq “ 0, (5.3)
uber Ωn`1j , erhalt man nach der Integration uber den Ort
d
dt
ż xj` 1
2
xj´ 1
2
Vpx, tq dx “ F´V
´xj´ 1
2, t¯¯
´ F´V´xj` 1
2, t¯¯
,
wobei die partielle Zeitableitung zu einer totalen Ableitung nach der Zeit wird.
Fuhrt man nun auf beiden Seiten der Gleichung eine Integration uber die Zeit aus, ergibt
sich als integrale Form von (5.3)
ż xj` 1
2
xj´ 1
2
Vpx, tn`1q dx ´ż x
j` 12
xj´ 1
2
Vpx, tnq dx “ż tn`1
tnF´V
´xj´ 1
2, t¯¯
dt ´ż tn`1
tnF´V´xj` 1
2, t¯¯
dt
und somit
ż xj` 1
2
xj´ 1
2
Vpx, tn`1q dx “ż x
j` 12
xj´ 1
2
Vpx, tnq dx (5.4)
`ż tn`1
tnF´V´xj´ 1
2, t¯¯
dt ´ż tn`1
tnF´V´xj` 1
2, t¯¯
dt.
Diese Formel kann vereinfacht dargestellt werden, wenn man den Mittelwert uber ein
Zellvolumen
Vnj :“ 1
∆xV
ż xj` 1
2
xj´ 1
2
Vpx, tn`1q dx (5.5)
und die numerischen Flusse
Fj˘ 12:“ 1
∆t
ż tn`1
tnF´V´xj˘ 1
2, t¯¯
dt
einfuhrt.
Schließlich erhalt man aus (5.4) einen Ausdruck, der die zeitliche Entwicklung der kon-
servativen Variablen in jeder Zelle um einen Zeitschritt liefert, sofern man den numerischen
Fluss kennt.
Vn`1j “ Vn
j ` ∆t
∆x
´Fj´ 1
2´ Fj` 1
2
¯(5.6)
Schemes, in denen die zeitliche Entwicklung uber Formel (5.6) erfolgt, werden als Finite-
Volume Methoden bezeichnet. Der Ausdruck (5.6) ist so lange mathematisch exakt, bis
man Approximationen fur die Berechnung der Mittelwerte der Zellen einfuhrt.
Prinzipiell kann der numerische Fluss von allen konservativen Variablen Vnj der Nach-
46 5. Numerische Methoden
barzellen abhangen. In der Praxis bewegen sich die Informationen der hyperbolischen
Probleme jedoch mit endlicher Geschwindigkeit fort, da der gewahlte Zeitschritt ∆t uber
die CFL-Bedingung so groß gewahlt wird, dass sich die Informationen nicht uber eine Zelle
hinaus bewegen. Darum ist es ublich anzunehmen, dass die Fj˘ 12nur von den Nachbarzel-
len abhangen. Fur den Fall eines konstanten Flusses mussen sich die numerischen Flusse
auf den physikalischen Fluss reduzieren.
x
V
xj´1
2
xj`1
2
x1 xj´1 xj xj`1 xJ
V1
Vj´1
Vj
Vj`1
VJ
Riemann Problem
Abbildung 11: Schematische Darstellung der Methode von Godunov
Ausgehend von dieser Stelle hatte Godunov die Idee, an jedem Punkt xj´ 12, bezie-
hungsweise xj` 12ein Riemann Problem zu Losen, welches durch die Anfangsbedingungen
RPpVnj´1,V
nj q, beziehungsweise RPpVn
j ,Vnj`1q gegeben ist (Abbildung 11).
Der numerische Fluss zwischen den Zellen ist dann durch
Fj˘ 12
“ F´Vj˘ 1
2p0q
¯(5.7)
gegeben, wobei Vj˘ 12die Losung des lokalen Riemann-Problems RPpVn
j ,Vnj`1q an der
Stelle xt “ 0 darstellt. Dieser Vorgang wird als zweite Version der Godunov Methode
bezeichnet.
Um die Losung auf xt “ 0 abzubilden, mussen alle 10 in Abbildung 12 abgebildeten
Moglichkeiten berucksichtigt werden. Es gibt insgesamt 5 Falle, die jeweils fur 0 ď v‹ und
0 ě v‹ aufgelistet sind. Stoßwellen sind in blau, Verdunnungswellen in rot, Unstetigkeits-
stellen in grun und unbekannte Wellen in grau gekennzeichnet. Das genaue Schema, um
die Werte der primitiven Variablen am Punkt xt “ 0 zu erhalten, wird in Kapitel 6.1
beschrieben. Da das Riemann-Problem mit Hilfe der primitiven Variablen U gelost wird,
mussen diese Variablen aus den konservativen Variablen V wiederhergestellt werden. Die-
ses Verfahren wird in Kapitel 6.1.1 naher erlautert.
47
x
t SÑ C
(a) 0 ď v‹
x
tSÐC
(b) 0 ě v‹
x
tSÑ C
(c) 0 ď v‹
x
t SÐC
(d) 0 ě v‹
x
t RÑ C
(e) 0 ď v‹
x
tRÐC
(f) 0 ě v‹
x
tRÑ C
(g) 0 ď v‹
x
t RÐC
(h) 0 ě v‹
x
tRÑ C
(i) 0 ď v‹
x
tRÐC
(j) 0 ě v‹
Abbildung 12: Mogliche Wellenkonstellationen fur die Berechnung des numerischen Flus-ses aus dem lokalen Riemann-Problem. (Abbildung angelehnt an [14, Fig.9.2])
48 5. Numerische Methoden
5.4.2. Die MUSCL-Hancock Methode
Die zweite Methode von Godunov ist ein Scheme erster Ordnung. Um mit dieser Methode
reprasentative Ergebnisse fur die Losung von Problemen zu erzielen, musste auf Grund
der niedrigen Ordnung das Gitter extrem fein gewahlt werden. Dies hat jedoch eine hohe
Rechenzeit zur Folge, weshalb die zweite Methode von Godunov in dieser Form relativ
ungeeignet ist. Es ist jedoch moglich, die Ordnung dieser Methode zu erhohen, in dem
man die stuckweise konstanten Werte der konservativen Variablen Vnj modifiziert.
Die Datensatze der konservativen Variablen Vnj an jedem Gitterpunkt sind nach (5.4)
die Mittelwerte des Integrals uber die Zelle Ij “”xj´ 1
2, xj` 1
2
ı. Durch eine lokale stuckweise
lineare Rekonstruktion der ursprunglichen Variablen ist es moglich einen Scheme hoherer
Ordnung (meist zweiter Ordnung) zu erzeugen und dadurch die zweite Methode von Go-
dunov besser nutzbar zu machen.
Die konstanten ZustandeVnj werden hierfur auf der Zelle durch lokale stuckweise lineare
Funktionen
Vnj pxq “ Vn
j ` px ´ xjqσnj mit xj´ 1
2ď x ď xj` 1
2(5.8)
und der Koordinate in der Zellenmitte
xj :“xj´ 1
2` xj` 1
2
2
ersetzt. Dabei bleibt jedoch das Integral von Vnj pxq identisch zu (5.5), wodurch wahrend
des Rekonstruktionsprozesses keinerlei Informationen verloren gehen.
Anders als bei der zweiten Methode von Godunov, entstehen bei Schemes hoherer Ord-
nung storende Oszillationen entlang einer Unstetigkeitsstelle. Um diese Oszillationen zu
untersuchen, fuhrt man die totale Variation der Datensatze fur einen Zeitschritt tn ein,
die uber
TV pVnq :“`8ÿ
j“´8
|Vnj ´ Vn
j´1|
definiert ist. Ziel ist es nun durch die Einfuhrung kunstlicher Dissipation die Oszillationen
soweit zu unterdrucken, dass sie zum nachsten Zeitschritt nicht großer werden und somit
TV`Vn`1
˘ď TV pVnq
gilt. Schemes, die diese Eigenschaft haben heißen TVD27-Methoden28.
In (5.8) geschieht die Unterdruckung der Oszillationen durch die Wahl eines geeigne-
ten Terms, dem Slope-Limiter σnj , der das Steigungsmaß der Losung limitiert. Methoden
solcher Art werden slope-limiter Methoden genannt. Eine andere Moglichkeit ware die
Limitierung der numerischen Flusse durch flux-limiter Methoden.
27engl.: total-variation diminishing28TVD-Methoden existieren jedoch nur bis zur zweiten Ordnung. Wenn Schemes hoherer Ordnung kon-
struiert werden sollen, muss diese Eigenschaft fallen gelassen und der Anstieg der totalen Variationerlaubt werden.
49
Beispiele fur Slope-Limiter sind
• Minmod Slope-Limiter (Kolgan, 1972; van Leer, 1979)
σnj “ minmod
ˆVj ´ Vj´1
∆x,Vj`1 ´ Vj
∆x
˙(5.9)
• Superbee Limiter (Roe, 1985)
σnj “ maxmod
`σI
j , σII
j
˘, (5.10)
wobei
σI
j “ minmod
ˆ2Vj ´ Vj´1
∆x,Vj`1 ´ Vj
∆x
˙
und
σII
j “ minmod
ˆVj ´ Vj´1
∆x, 2
Vj`1 ´ Vj
∆x
˙
Die Funktionen minmodpα, βq und maxmodpα, βq sind definiert, als
minmodpα, βq “
$’&’%
α, fur |α| ă |β| und αβ ą 0,
β, fur |β| ă |α| und αβ ą 0,
0, fur αβ ď 0
und
maxmodpα, β, γq “
$’&’%
α, fur |α| ą |β| und αβ ą 0,
β, fur |β| ą |α| und αβ ą 0,
0, fur αβ ď 0.
Schemes, die zum Typ dieser von Van Leer vorgestellten Verfahren gehoren, werden un-
ter dem OberbegriffMonotone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws (MUSCL)
zusammengefasst und enthalten als Gemeinsamkeit zwei Schritte:
• Approximation der Daten innerhalb jeder Zelle durch lineare Funktionen mit Hilfe
von Wiederherstellungs- oder Projektionsverfahren
• Entwicklung der Mittelwerte der Flusse in jedem Bereich unter Berucksichtigung der
Upwind-Richtung
Eine daraus resultierende, von Van Leer in [28] vorgestellte Methode ist die MUSCL-
Hancock Methode (MHM).
Diese Methode besteht im wesentlichen aus drei Schritten und liefert einen (vollstandig
diskreten) akkuraten Scheme zweiter Ordnung.
50 5. Numerische Methoden
1. Wiederherstellung der Daten & Berechnung der Randwerte der Zelle
Als erstes werden die Daten in jeder Zelle nach (5.8) fur die Randwerte der Zelle VLj
am Punkt Vnj pxj´ 1
2q und VR
j am Punkt Vnj pxj` 1
2q wiederhergestellt. Man erhalt
VLj “ Vn
j ´ 1
2∆x σn
j und VRj “ Vn
j ` 1
2∆x σn
j .
2. Zeitliche Entwicklung der Randwerte
Im nachsten Schritt werdenVLj undVR
j um einen halben Zeitschritt ∆t2 entwickelt.Man erhalt die neue Datensatze V
L
j und VR
j uber
VL
j “ VLj ` 1
2
∆t
∆x
“F`VL
j
˘´ F
`VR
j
˘‰
und
VR
j “ VRj ` 1
2
∆t
∆x
“F`VL
j
˘´ F
`VR
j
˘‰,
wobei F pVq der aus (5.3) bekannte physikalische Fluss ist.
In Abbildung 13 sind die vorgenommen Schritte zur Gewinnung von VL
j und VR
j
schematisch dargestellt.
xj`1
2
VR
j
VL
j`1Vn
j
Vnj`1
xj xj`1
VLj
VRj`1
VRj
VLj`1
Abbildung 13: Wiederherstellung der Datensatze mit Hilfe der MUSCL-Hancock Methode(angelehnt an [14, Fig. 13.8])
3. Das Riemann Problem
Im letzten Schritt wird nun das Riemann Problem in jeder Zelle mit den Anfangs-
bedingungen RP´VL
j , VRj
¯gelost, wobei
VLj “ V
R
j und VRj “ V
L
j .
Die Losung Vi` 12pxtq wird an der Stelle xt “ 0 ausgewertet, um letztendlich den
51
numerischen Fluss
Fj` 12
´Vi` 1
2p0q
¯
zu erhalten.
Schließlich kann mit (5.6) das System um einen Zeitschritt ∆t weiter entwickelt werden,
sodass man fur jede Zelle die Datensatze Vn`1j erhalt.
Zur Veranschaulichung der Unterschiede wird in Abbildung 14 eine Losung sowohl mit
der zweiten Methode von Godunov, als auch mit der MUSCL-Hancock Methode (unter
Nutzung des Minmod Slope-Limiters) abgebildet.
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p“ G
eVfm
3‰
x rfms
GODUNOVMINMOD
Abbildung 14: Beispielberechnungen zum Zeitpunkt t “ 4 fm unter Benutzung der zweitenMethode von Godunov (1. Ordnung) und dem MUSCL-Hancock Methodemit MINMOD Slope-Limiter (2. Ordnung). Die Anfangsbedingungen sindTL “ 400 MeV, TR “ 200 MeV, 100 Gitterpunkten mit cCFL “ 0.4. Eswurde die Zustandsgleichung fur ein freies Gluonen-Gas verwendet.
Einige Erlauterungen zur Implementation der der MUSCL-Hancock Methode in C++
Code lassen sich in [29] finden.
52 5. Numerische Methoden
5.5. Strang-Operator-Splitting
Um die dissipativen Effekte aus (3.50) in die Berechnungen zu integrieren, benutzt man
das in [30] und [31] beschriebene Strang-Operator-Splitting. Bei dieser Methode wird fur
ein allgemeines Anfangswertproblem der Form
Btq ` L “ 0
der Operator L in zwei Teile L “ A ` B zerlegt.
Um nun die Variablen qnj an jedem Gitterpunkt um einen Zeitschritt ∆t weiter zu
entwickeln, wird qnj als erstes uber A um ∆t2 entwickelt. Die resultierenden Variablen
qn` 1
2
˚,j werden nun uber B um einen gesamten Zeitschritt ∆t entwickelt, sodass man nun die
ursprunglichen Variablen insgesamt um einen halben Zeitschritt zu qn` 1
2
j entwickelt hat.
Eine weitere zeitliche Entwicklung uber A um ∆t2 ergibt nun das gewunschte Ergebnis
qn`1j .
Der gesamte Vorgang des Strang Splittings
Btqnj ` A “ 0 fur
”tn, tn` 1
2
ıqnj
AÝÑ qn` 1
2
˚,j
Btqn` 1
2
˚,j ` B “ 0 fur“tn, tn`1
‰qn` 1
2
˚,jBÝÑ q
n` 12
j
Btqn` 1
2
j ` A “ 0 fur”tn` 1
2 , tn`1ı
qn` 1
2
jAÝÑ qn`1
j
(5.11)
ist in Abbildung 15 abgebildet.
tn
tn`1
2
tn`1
qnj
qn`
1
2
˚,j
qn`
1
2
˚,j
qn`
1
2
j
qn`
1
2
j
qn`1j
A
A
B
Abbildung 15: Schematische Darstellung des Strang-Operator-Splittings (Abbildung an-gelehnt an [31])
53
5.6. Numerische Implementierung der Dissipation
Mit dem in Kapitel 6 vorgestellten Riemann Solver und der MUSCL-Hancock Methode
(Kapitel 5.4.2) fur die zeitliche Entwicklung ist es moglich, fur eine beliebige Zustandsglei-
chung die Gleichungen der relativistischen idealen Hydrodynamik zu losen. Um dissipative
relativistische Fluide zu beschreiben, wurde in Kapitel 3.6 die Israel-Stewart Theorie vor-
gestellt, die auf phanomenologischen Grundlagen basiert und einen Satz von Gleichungen
mit 14 Variablen liefert. Die resultierenden Gleichungen (3.50) sind wesentlich komplexer
als die Gleichungen der idealen Hydrodynamik.
Ist ein System nicht im lokalen Gleichgewicht, wird es durch Reibungseffekte uber ei-
ne Relaxationszeit τ zuruck in den Gleichgewichtszustand getrieben. Die Relaxationszeit
ist dabei wesentlich kleiner als die Zeitskala des hydrodynamischen Systems, weshalb bei
numerischen Berechnungen fur die zeitliche Entwicklung des Systems ein sehr kleiner Zeit-
schritt ∆t gewahlt werden muss, um nicht nur die Effekte auf der makroskopischen son-
dern auch auf der relaxiven Zeitskala aufzulosen. Mochte man also Differentialgleichungen,
welche diese Effekte berucksichtigen mit numerischen Methoden losen, mussen sehr hohe
Rechenzeiten in Kauf genommen werden. Diese Art von Differentialgleichungen werden
als starre Gleichungen29 bezeichnet.
Im Folgenden wird nun der in [19] vorgestellte und in [2] verwendete Algorithmus zur
Losung der dissipativen Gleichungen vorgestellt. In diesem Algorithmus werden die starren
Gleichungen durch ihre formalen Losungen dargestellt, um die oben erwahnten Restrik-
tionen des Zeitschrittes zu umgehen.
Zu Beginn betrachtet man die dissipativen Bewegungsgleichungen der relativistischen
Hydrodynamik.
Bt
¨˚
D ` ν0B
mi ´ Π∆0i ` π0i
E ´ Π∆00 ` π00
˛‹‚` Bj
¨˚
Dvj ` νjB
mivj ` pδij ´ Π∆ij ` πij
mj ´ Π∆0j ` π0j
˛‹‚“ 0 (3.50)
Diese lassen sich mittels dem in Kapitel 5.5 vorgestellten Strang-Operator-Splitting in
einen advektiven Teil
Bt
¨˚
D
mi
E
˛‹‚` Bj
¨˚
Dvj
mivj ` pδij
mj
˛‹‚“ 0,
bestehend aus den Gleichungen der idealen relativistischen Hydrodynamik und einen dif-
fusiven Teil
Bt
¨˚
D ` ν0B
mi ´ Π∆0i ` π0i
E ´ Π∆00 ` π00
˛‹‚` Bj
¨˚
νjB
´Π∆ij ` πij
´Π∆0j ` π0j
˛‹‚“ 0, (5.12)
bestehend aus dem dissipativen Teil der hydrodynamischen Gleichungen, spalten.
29engl.: stiff equations
54 5. Numerische Methoden
Daruber hinaus lassen sich sowohl die konservativen Variablen VpD,m, E, ν0B,Π0i,Π00q
in (3.50), als auch die primitiven Variablen UpnB,v, p,Πij , νkBq mit i ě j und i, j, k “ 1, 2, 3
in einen idealen Teil und einen dissipativen Teil zerlegen. Man erhalt
V “ Vprim ` Vdissip mit Vprim “ pD,m, Eq, Vdissip “ pν0B,Π0i,Π00q
und
U “ Uprim ` Udissip mit Uprim “ pnB,v, pq, UdissippΠij , νkBq.
Der ideale und der dissipative Teil der beiden Datensatze werden nun mit der in Kapitel
5.5 vorgestellten Methode getrennt von einander entwickelt und wieder zusammengefasst.
Dies geschieht in mehreren Schritten:
1. Zeitliche Entwicklung der idealen relativistischen Hydrodynamik
Im ersten Schritt werden die primitiven Variablen Unj mit Hilfe der MUSCL-Hancock
Methode und des Riemann Solvers durch die Gleichungen der idealen Hydrodynamik
(3.7) um einen Zeitschritt entwickelt.
Unj ÝÑ Un`1
RS,j
Es werden sowohl die Geschwindigkeit der Ausgangsvariablen Unj , als auch die Ge-
schwindigkeit des neuen Datensatzes pUn`1RS,j gespeichert.
2. Entwicklung der Navier-Stokes-Großen
Als nachstes betrachtet man die Israel-Stewart-Gleichungen (3.43), (3.44) (3.45).
Da in den Simulationen Quark-Gluon-Plasma bei geringem chemischen Potential µB
betrachtet werden soll, wird der Baryondiffusionsstrom νµB und damit (3.45) ver-
nachlassigt. Außerdem wird fur (3.44) die in Kapitel 3.6 gemachte Approximation
(3.48) verwendet.
Die zu betrachtenden Gleichungen sind also
`Bt ` viBi
˘Π “ ´Π ´ ΠNS
γτζ(3.43)
und
`Bt ` viBi
˘πij “ ´πij ´ π
ijNS
γτη. (3.48)
Beide Gleichungen lassen sich nun mit Hilfe des Strang-Operator-Splittings in einen
advektiven Teil `Bt ` viBi
˘Π “ 0,
`Bt ` viBi
˘πij “ 0 (5.13)
55
und einen relaxierenden Teil
BtΠ “ ´Π ´ ΠNS
γτζ, Btπij “ ´πij ´ π
ijNS
γτη(5.14)
aufspalten.
Die Gleichungen des relaxierenden Teils sind von der Form
Btq “ fpqqτrelax
.
Die Relaxationszeit τrelax beschreibt die charakteristische Zeitskala der Entwicklung
von q und muss wesentlich kleiner sein als die charakteristische Zeitskala des be-
trachteten Fluids τFluid. Der relaxierende Teil wird also durch starre Gleichungen
beschrieben. Das System is nur stabil, wenn fur den Zeitschritt zusatzlich zur CFL-
Bedingung die starkere Beschrankung
∆t À τrelax ! τFluid
erfullt ist.
Um dieses Problem und die damit stark erhohte Rechenzeit zu vermeiden, werden
die Gleichungen (5.13) durch ihre stuckweise exakten Losungen
Π “ pΠ0 ´ ΠNSq exp„
´ t ´ t0
τζ
` ΠNS
und (5.15)
πij “´πij0 ´ π
ijNS
¯exp
„´ t ´ t0
τη
` π
ijNS
ersetzt30. Π0 ist der Anfangswert fur den jeweiligen Zeitschritt, wahrend t´ t0 “ ∆t
bekannt ist. Π und πij werden nun nach dem Strang-Operator-Splitting (5.11) uber
(5.13) und (5.15) entwickelt.
Fur Berechnungen, die eindimensional im Ort sind, erleichtert sich der Rechenauf-
wand im weiteren Verlauf erheblich.
Die advektiven Terme (5.13) sind Gleichungen der Form
Btq “ ´vBxq
und konnen uber einen regularen Upwind-Scheme entwickelt werden.
30Es wird die in [32] vorgestellte PES-Methode verwendet. (PES: piecewise exact solution)
56 5. Numerische Methoden
Die diskretisierte Form von (5.6) ist
ˆqn`1j ´qn
j
∆t
˙“ ´v
´qnj ´qn
j´1
∆x
¯` Op∆t,∆xq, fur v ą 0
ˆqn`1j ´qn
j
∆t
˙“ ´v
´qnj`1´qn
j
∆x
¯` Op∆t,∆xq, fur v ă 0.
(5.16)
Der entsprechende Algorithmus fur die Ermittlung des nachsten Zeitschrittes ist
demnach durch
qn`1j “ qn
j ´ v ∆t∆x
´qnj ´ qn
j´1
¯` Op∆t2,∆t∆xq, fur v ą 0
qn`1j “ qn
j ´ v ∆t∆x
´qnj`1 ´ qn
j
¯` Op∆t2,∆t∆xq, fur v ă 0
(5.17)
gegeben.
In Kapitel 3.6.1 wurden die notwendigen Bestandteile der Navier-Stokes-Variablen
ΠNS, πxxNS fur Berechnungen in 1+1 Dimensionen hergeleitet.
ΠNS “ ´ζ“γ3vpBtvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq
‰(3.52)
πxxNS “ 2ηpγ3v2 ` γq
“´Bxv ´ γ2v tpBtvq ` vpBxvqu
‰
` 2
3η“p1 ` γ2v2qpγ3v2Btvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq
‰(3.53)
Der dissipative Teil (5.12) der relativistischen hydrodynamischen Gleichungen kann
damit zu
Bt
¨˚
D
m ´ Π∆0x ` π0x
E ´ Π∆00 ` π00
˛‹‚`Bx
¨˚
0
´Π∆xx ` πxx
´Π∆0x ` π0x
˛‹‚
“ Bt
¨˚
D
m ´ Πpγ ¨ vq ` πxx ¨ vE ´ Πpγ ´ 1q ` πxx
˛‹‚`Bx
¨˚
0
´Πp1 ` γ ¨ v2q ` πxx
´Πpγ ¨ vq ` πxx ¨ v
˛‹‚“ 0 (5.18)
vereinfacht werden.
Beide Gleichungen (3.52), (3.53) enthalten sowohl Orts-, als auch Zeitableitungen
der Geschwindigkeit, die berechnet werden mussen. Die Zeitableitung der Geschwin-
digkeit wird mit Hilfe einer diskretisierten Ableitung erster Ordnung aus der ur-
sprunglichen Geschwindigkeit vnj und der mit Hilfe des MUSCL-Scheme berechneten
Geschwindigkeit pvn`1RS,j approximiert:
Btvnj “pvn`1RS,j ´ vnj
∆t
57
Da die dissipativen Variablen die Diffusion des Systems beschreiben, wird die Ablei-
tung der Geschwindigkeit nach dem Ort durch eine zentrierte diskretisierte Ableitung
(centered finite difference) approximiert:
Bxvnj “vnj`1 ´ vnj´1
2∆x
Man erhalt schließlich mit der Geschwindigkeit v aus Unj
Vn`1dissip,j “
¨˚
0
´Πn`1j pγ ¨ vq ` π
xx,n`1j ¨ v
´Πn`1j pγ ´ 1q ` π
xx,n`1j
˛‹‚. (5.19)
Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass man uber den zweiten Schritt im Strang-
Operator-Splitting (5.11) Zugriff auf die dissipativen Variablen erhalt, die nur um
einen halben Zeitschritt entwickelt wurden (Πn` 1
2
j , πxx,n` 1
2
j ). Aus diesen Variablen
kann nun fur (5.18) der numerische Fluss Fn` 1
2
dissip,j errechnet werden, um den Daten-
satz Vnj um einen halben Zeitschritt zu entwickeln (1. Schritt des Strang-Operator-
Splittings fur den gesamten Datensatz Vnj ). Fur die Geschwindigkeit wird der Wert
aus pUn`1RS,j verwendet.
Fn` 1
2
dissip,j “
¨˚
0
´Πp1 ` γ ¨ v2q ` πxx
´Πpγ ¨ vq ` πxx ¨ v
˛‹‚
3. Zeitliche Entwicklung des dissipativen Teils
Nun wird ein Satz konservativer Variablen aus den Ausgangsvariablen Vnj und den
um einen Zeitschritt entwickelten dissipativen Variablen Vn`1dissip,j erstellt.
Vn˚,j “ Vn
j ` Vn`1dissip,j
Diese neuen Variablen werden nun um einen halben Zeitschritt uber
Vn` 1
2
˚,j “ Vn˚,j ` ∆t
∆x
„Fn` 1
2
dissip,j´ 12
´ Fn` 1
2
dissip,j` 12
entwickelt. Die numerischen Flusse an den Zellwanden erhalt man durch Mittelung
uber die numerischen Flusse zweier benachbarter Zellen.
Fn` 1
2
dissip,j˘ 12
“ 1
2
„Fn` 1
2
dissip,j˘1 ` Fn` 1
2
dissip,j
58 5. Numerische Methoden
4. Wiederherstellung der primitiven Variablen
Aus den gewonnenen konservativen Variablen Vn` 1
2
˚,j werden nun die primitiven Va-
riablen wiederhergestellt. Dafur wird das in Kapitel (6.1.1) vorgestellte Verfahren
um einen iterativen Schritt erweitert.
Zuerst wird, wie (5.19) in Schritt 2 aus Πn`1j und π
xx,n`1j ein Datensatz pVn`1
dissip,j
aus dissipativen Variablen erstellt. Es wird jedoch die Geschwindigkeit aus Un`1RP,j
verwendet. Nun rechnet man Vn` 1
2
j ´ pVn`1dissip,j und fuhrt den Wiederherstellungsal-
gorithmus aus. Ist die neue Geschwindigkeit v˚ bis auf einen Fehler31 ungleich der
Geschwindigkeit aus Vn` 1
2
˚,j , wird mit v˚, Πn`1j und π
xx,n`1j uber (5.19) ein neuer
Datensatz pVn`1dissip,j erstellt und der Prozess wiederholt, bis man die gewunschten
primitiven Variablen Un` 1
2
˚,j erhalt.
5. Abschluss des Strang-Operator-Splittings
Nun wird der zweite Schritt des Strang-Operator-Splittings ausgefuhrt, in demUn` 1
2
˚,j
mit Hilfe des Riemann Solvers entwickelt wird. Mit diesen neu gewonnenen Variablen
Un` 1
2
j werden Schritt 2 und 3 wiederholt, sodass man letztendlich einen Satz von
primitiven Variablen Un`1j erhalt, die um einen Zeitschritt weiterentwickelt und in
denen die dissipativen Effekte berucksichtigt wurden.
In Abbildung 16 ist eine vereinfachte Darstellung des benutzten Algorithmus abgebildet.
31In den fur diese Arbeit durchgefuhrten Berechnungen wurde ein Fehler von ε “ 10´7 angenommen.
59
Bt
¨˝
D
m ´ Π∆0x ` π0x
E´Π∆00 ` π00
˛‚` Bx
¨˝
Dv
mv ` p´Π∆xx ` πxx
m´Π∆0x ` π0x
˛‚“ 0
Strang
Splitting
Advektiver Teil:
Bt
¨˝D
m
E
˛‚` Bx
¨˝
Dv
mv ` p
m
˛‚“ 0
Diffusiver Teil:
Bt
¨˝
D
m´Π∆0x ` π0x
E´Π∆00 ` π00
˛‚` ∇j
¨˝
0´Π∆xx ` πxx
´Π∆0x ` π0x
˛‚“ 0
Israel-Steward:pBt ` vBxqΠ “ Π´ΠNS
γτζ
pBt ` vBxqπij “ ´πij´π
ijNS
γτη
Strang
Splitting
Advektiver Teil:pBt ` vBxqΠ “ 0
pBt ` vBxqπij “ 0
Relaxiver Teil:Π “ pΠ0 ´ ΠNSq exp
”´ t´t0
τζ
ı` ΠNS
πij “´πij0 ´ π
ijNS
¯exp
”´ t´t0
τη
ı` π
ijNS
Πnj ÝÑ Π
n`1
2
j
πxx,nj ÝÑ π
xx,n`1
2
j
Vn`1dissip,j
Vn˚,j “ Vn
j ` Vn`1dissip,jV
n`1
2
˚,j “ Vn˚,j ` ∆t
∆x
”F
n`1
2
dissip,j´1
2
´ Fn`
1
2
dissip,j`1
2
ı
Fn
`1 2
dissip,j
˘1 2
Vn`
1
2
˚,j
MUSCL + RIEMANN SOLVERÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ Vn`
1
2
j
Vn`1j
Nach dem zweiten Durchgang!
ZweiterDurchgang!
Abbild
ung16:
Verein
fachte
bild
liche
Darstellu
ng
des
verwen
deten
Algorith
mus.
Aus
Grunden
der
Ubersich
tlichkeit
wurden
dieW
iederh
erstellungsp
rozedurund
die
Berech
nungvon
Un
`1
RS,jnich
tmitab
gebild
et.
60 5. Numerische Methoden
61
6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP
Simuliert man hydrodynamische Systeme mit Hilfe von HRSC-Methoden (siehe Kapitel
5.4), muss das lokale Riemann Problem an jedem Gitterpunkt des diskretisierten Systems
gelost werden, wodurch hohe Rechenzeiten entstehen. Um die Rechenzeit zu verkurzen,
ist es moglich approximative Losungen des Riemann Problems zu entwickeln, die weniger
rechenintensiv sind, aber genau so gute Ergebnisse wie die exakten Losungen erzielen.
Somit ist es auch moglich, mit Hilfe von HRSC-Methoden hydrodynamische Systeme zu
untersuchen, fur die - wie in den meisten Fallen - keine exakte Losung existiert.
In Kapitel 3.3 wurde gezeigt, dass die Entwicklung der physikalischen Großen innerhalb
der Verdunnungswelle durch die gewohnlichen Differentialgleichungen (3.13), (3.14) und
(3.15) gegeben ist. Die numerische Berechnung dieser Differentialgleichungen (insbesonde-
re unter der Betrachtung von mehr als einer Dimension) ist jedoch sehr rechenaufwandig,
weshalb es sinnvoll ist, eine approximative Losung des Riemann Problems zu verwenden, in
der Verdunnungswellen vereinfacht dargestellt oder vermieden werden. Der approximative
Riemann Solver soll außerdem fur Quark-Gluon-Plasma bei einer geringen Baryondichte
geeignet sein, da zum Beispiel die freie Enthalpie h “ pe ` pqnB bei verschwindender
Baryondichte (nB “ 0) divergiert und die Gleichungen des Solvers dementsprechend an-
geglichen sein mussen.
In [2] wird ein approximativer Riemann Solver vorgestellt, der fur die obigen Probleme
gut geeignet ist. Es ist eine modifizierte Version des in [9] vorgestellten Two-Shock Rie-
mann Solvers. In diesem approximativen Riemann Solver werden die Verdunnungswellen
durch Stoßwellen approximiert und damit durch Unstetigkeitsstellen ersetzt, die den Er-
haltungssatzen genugen.
Gegeben sind, wie in Kapitel 3.5.1, die Anfangszustande L und R mit gleichem chemi-
schen Potential µB. Die Zustande konnen komplett durch ihre Geschwindigkeit vS (mit
S “ L oder S “ R) und ihre Temperatur TS charakterisiert werden. Die restlichen primi-
tiven Variablen, wie der Druck pS und die Baryondichte nB,S , sowie die Energiedichte eS
sind durch die Zustandsgleichung gegeben (siehe Kapitel 4.1) und damit alle abhangig von
T. Im Folgenden wird das Rezept vorgestellt, mit dem man den Druck p‹, beziehungsweise
die Temperatur T‹ des Zwischenzustandes fur diesen Solver berechnen kann. Dies geschieht
letzten Endes, in dem die Nullstelle einer Funktion fppq mit fpp “ p‹q “ 0 gesucht wird.
In den folgenden Gleichungen tritt deshalb p als Variable auf, von der die Variablen des
Zwischenzustandes S‹, abgesehen von dem jeweiligen Anfangszustand S, abhangig sind.
Man startet mit dem Taub Adiabat (3.28) fur die Anfangszustande S und die Zwi-
schenzustande S‹pp,Sq. Aus diesem lasst sich ein Ausdruck fur die Baryondichte im Zwi-
schenzustand herleiten, der nur von eppq, p und den physikalischen Großen des jeweiligen
Anfangszustandes abhangt.
62 6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP
vˆe ` p
nB
˙2
w “˜epp,Sq ` p
n2Bpp,Sq ` eS ` pS
n2B,S
¸¨ vpw
ô pepp,Sq ` pq2 ´ pepp,Sq ` pqvpwn2Bpp,Sq “peS ` pSq2 ` peS ` pSqvpw
n2B,S
ô n2Bpp,Sq “n2
B,S
pepp,Sq ` pq2 ´ pepp,Sq ` pqvpwpeS ` pSq2 ` peS ` pSqvpw
ô n2Bpp,Sq “n2
B,S
e2pp,Sq ` epp,Sqp ` epp,SqpS ` pPS
e2S
` eSpS ` eSp ` pSp
ô nBpp,Sq “nB,S
dpepp,Sq ` pSqpepp,Sq ` pq
peS ` pSqpeS ` pq (6.1)
Mit Hilfe dieses Ausdrucks und (3.27) lasst sich nun das Quadrat des Baryonflusses j
entlang der Stoßwelle herleiten:
j2 “ ´ vpwv e`p
n2B
w(6.2)
“ ´ vpwepp,Sq`p
n2B
pp,Sq´ eS`pS
n2B,S
(6.3)
“ ´ vpwpeS`pSqpeS`pqn2B,S
pepp,Sq`pSq´ pepp,Sq`pSq
n2B,S
(6.4)
“n2B,S
vpwpeS`pSqrpepp,Sq`pSq´peS`pqs
pepp,Sq`pSq
(6.5)
“n2B,S
vpwvew ´ vpw
epp,Sq ` pS
eS ` pS(6.6)
Um die weiteren Rechnungen zu vereinfachen wird der Baryonfluss j uber die Baryondichte
des Anfangszustandes nB,S normiert.
J2pp,Sq “ ´ 1
n2B,S
vpwv e`p
n2B
w“ vpw
vew ´ vpwepp,Sq ` pS
eS ` pS(6.7)
Schließlich muss noch berucksichtigt werden, dass in numerischen Berechnungen auch die
Grenzfalle limvpw Ñ 0 und limvew Ñ 0 auftreten konnen. In diesen Fallen wird die nu-
merische Berechnung des normierten Baryonflusses J fehlerhaft32. Um dieses Problem zu
umgehen, wird fur diese Grenzfalle der Wert von J2 durch den Grenzwert
limvpw,vewÑ0
J2pp,Sq “c2s,S
1 ´ c2s,S
ersetzt, der nur von dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit c2s,S des jeweiligen Anfangs-
32Genauer erhalt man fur J2 Werte ă 0.
63
zustandes S abhangt.
Die Geschwindigkeit nach der Stoßwelle kann nun analog zu Kapitel 3.4.2 hergeleitet
werden. Sowohl die Geschwindigkeit der Stoßwelle (3.31), als auch die darin enthaltenen
Variable ζ˘,S (3.29) beinhalten jedoch die Baryondichte in der Form vonDS “ γSnB,S . Um
nun mogliche Divergenzen fur sehr geringe beziehungsweise verschwindende Baryondichten
zu vermeiden, mussen diese Gleichungen umformuliert werden. Man definiert die neue
Variable ξ˘,Sppq uber (3.29) mit dem normierten Baryonfluss Jpp,Sq “ jpp,SqnB,S als
ζ˘,Sppq “vSDS
˘c
1D2
S
` p1´v2Sq
J2
1 ´ v2S
“ 1
DS
vS ˘b
1 ` p1´v2Sqγ2
S
J2
1 ´ v2Sloooooooooooomoooooooooooon
ξ˘,Sppq
.
Mit
ξ˘,Sppq “vS ˘
b1 ` p1´v2
Sqγ2S
J2
1 ´ v2S
(6.8)
und der Definition der freien Enthalpie h “ pe ` pqnB kann nun die Geschwindigkeit
hinter der Stoßwelle (3.31) unabhangig von der Baryondichte nB geschrieben werden:
vpp,Sq “hSγSvS ` vpw ξ˘,Sppq
DS
hSγS ` vpw!ξ˘,SppqvS
DS` 1
DS
)
“hSDS
DSγSvS ` vpw ξ˘,Sppq
DS
hSγSDS
DS` vpw
!ξ˘,SppqvS
DS` 1
DS
)
“ ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq
ppS ` eSqγ2S
` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u (6.9)
Wie auch in Kapitel 3.4.2 gibt das Vorzeichen von ξ˘,S an, in welche Richtung (` fur S “ R
bzw. ´ fur S “ L) die Stoßwelle propagiert. Der Preis, den man fur diese Darstellung
bezahlen muss ist, dass die Geschwindigkeit vpp,Sq nun nicht mehr von der freien Enthalpie
abhangt und somit das System nicht mehr wie in Kapitel 3.4.3 gelost werden kann.
Nach dem in Kapitel 3.5.1 vorgestellten Rezept muss als nachstes der Druck der Zwi-
schenzustande p‹ gefunden werden, wobei fur die Geschwindigkeiten der Zwischenzustande
L‹ und R‹
vL‹pp‹q “ vR‹pp‹q “ v‹pp‹q
gilt. Sind sowohl p‹, als auch v‹ gefunden, lassen sich alle anderen Variablen der Zwischen-
zustande bestimmen.
Der Druck p‹ lasst sich numerisch uber eine Nullstellensuche bestimmen. Da die Ge-
schwindigkeiten vL‹pp‹q und vR‹pp‹q gleich sein mussen, muss dementsprechend die Null-
stelle der Funktion
fpp,Sq “ vL‹pp‹q ´ vR‹pp‹q
64 6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP
gesucht werden. Mit der in Kapitel 5.1 vorgestellten Newton-Raphson Methode kann die
Nullstelle p‹ iterativ uber
ppn`1q “ ppnq ´ vpppnq,Lq ´ vpppnq,Rqv1pppnq,Lq ´ v1pppnq,Rq
berechnet werden. Dafur wird jedoch zusatzlich die erste Ableitung der Geschwindigkeit
vpp,Sq nach dem Druck p benotigt.
v1pp,Sq “ d
dp
ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq
ppS ` eSqγ2S
` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u““ppS ` eSqγ2S ` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u
‰´1 ¨ Bp“ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq
‰
`“ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq
‰¨ Bp
“ppS ` eSqγ2S ` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u
‰´1
“ξ˘,Sppq ` vpwξ1
˘,SppqppS ` eSqγ2
S` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u ´
vpp,Sq ¨´vSξ˘,Sppq ` vpwvSξ1
˘,Sppq ` 1¯
ppS ` eSqγ2S
` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u
“
!ξ˘,Sppq ` vpwξ1
˘,Sppq)
t1 ´ vSvpp,Squ ´ vpp,SqppS ` eSqγ2
S` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u (6.10)
Die Ableitung von ξ˘,a kommt nur in der Kombination vpwξ1˘,a vor. Mit Hilfe der Ableitung
des Baryonflusses (6.7)
dJ2pp,Sqdp
“ d
dp
¨˝´ 1
n2B,S
vpwv e`p
n2B
w
˛‚
“ ´ 1
n2B,S
»– 1
v e`p
n2B
w¨ Bpvpw ` vpw ¨ Bp
1
v e`p
n2B
w
fifl
“ 1
n2B,S
»– vpw
v e`p
n2B
w2¨ Bpve ` p
n2B
w ´ 1
v e`p
n2B
w
fifl
“J2pp,Sq ¨ Bpv e`p
n2B
wv e`p
n2B
w´ 1
n2B,Sv e`p
n2B
w
und
ξ˘,Sppq “vS ˘
b1 ` p1´v2
Sqγ2S
J2
1 ´ v2S
ô ˘
d
1 ``1 ´ v2
S
˘γ2S
J2“ξ˘,Sppqp1 ´ v2Sq ´ vS
65
erhalt man
vpwdξ˘,Sppqdp
“vpw d
dp
vS ˘c
1 ` p1´v2Sqγ2
S
J2pp,Sq
1 ´ v2S
“ ˘ vpw1 ´ v2
S
¨ 12
1b1 ` p1´v2
Sqγ2S
J2
¨ ´p1 ´ v2S
qγ2S
J4pp,Sq ¨ BpJ2pp,Sq
“ ´ γ2S
2
vpw
˘b1 ` p1´v2
Sqγ2S
J2
1
J4pp,Sq
¨˝J2pp,Sq ¨ Bpv e`p
n2B
wv e`p
n2B
w´ 1
n2B,Sv e`p
n2B
w
˛‚
“ ´ γ2S
2
1
ξ˘,Sppqp1 ´ v2S
q ´ vS
1
J4pp,Sq
ˆn2B,SJ
4pp,Sq ¨ Bpve ` p
n2B
w ´ J2
˙
“ ´ γ2S
2
n2B,SBpv e`p
n2B
w ´ 1J2
ξ˘,Sppqp1 ´ v2S
q ´ vS. (6.11)
Da die Ableitung des Quadrates der Baryondichte im Zwischenzustand (6.1) als
d
dpn2B “ d
dpn2B,S
pe ` pSqpe ` pqpeS ` pSqpeS ` pq
“n2B,S
„1
peS ` pSqpeS ` pq ¨ Bp tpe ` pSqpe ` pqu ` tpe ` pSqpe ` pqu
¨ Bp1
peS ` pSqpeS ` pq
“n2B,S
peS ` pSqpeS ` pq
„peS ` pqpe ` pqpe ` pq
„1
c2s` 1
` pe ` pSqpe ` pq
pe ` pSq1
c2s
´ pe ` pSqpe ` pqpeS ` pSqpeS ` pSqpeS ` pq
“n2B
„pe ` pSq ` pe ` pqpe ` pqpe ` pSq
1
c2s` 1
e ` p` 1
eS ` p
geschrieben werden kann, ist die Ableitung von vpe`pqn2Bw multipliziert mit nB,S in (6.11)
durch
n2B,S
d
dpve ` p
n2B
w “n2B,S
„1
n2B
Bppe ` pq ´ pe ` pqn4B
Bpn2B
“n2B,S
n2B
„1
c2s` 1 ´ pe ` pq
" pe ` pSq ` pe ` pqpe ` pqpe ` pSq
1
c2s` 1
e ` p` 1
eS ` p
*
“peS ` pSqpeS ` pqpe ` pSqpe ` pq
„1
c2s´ pe ` pSq ` pe ` pq
e ` pS
1
c2s` e ` p
eS ` p
“eS ` pS
e ` pS
„1 ´ eS ` p
e ` pS
1
c2s
gegeben. Bei den numerischen Berechnungen wird der Iterationsprozess gestoppt, sobald
die relative Anderung des Drucks |ppn`1q ´ppnq| unter 10´6 fallt. Ist p‹ bekannt, lassen sich
die Geschwindigkeit v‹ uber (6.9) und die Baryondichte n‹ uber (6.1) bestimmen, womit
66 6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP
der gesamte Zwischenzustand bekannt ist.
6.1. Abbildung der Losung auf den Punkt xt “ 0
Sobald der Zwischenzustand bekannt ist, mussen die numerischen Flusse F bestimmt wer-
den, mit deren Hilfe das System an dem jeweiligen Gitterpunkt uber die in Kapitel 5.4
vorgestellten Methoden um einen Zeitschritt weiter entwickelt werden kann.
Wie in Abbildung 3 dargestellt, besteht die Losung des Riemann Problems aus den vier
Zustanden L, L‹, R und R‹. Man erhalt nun die numerischen Flusse als Funktion der
Zustandsvektoren FpS,S‹q, in dem man die Losung des Riemann Problems am Punkt
xt “ 0 betrachtet.
Als erstes wird anhand der Geschwindigkeit v‹ festgestellt, in welche Richtung die Welle
am Punkt xt “ 0 propagiert. Festgelegt durch das Vorzeichen von v‹ nutzt man entweder
die Zustande L und L‹ oder R und R‹. Zusammengefasst erhalt man
S‹,S “#
L‹, L falls σ ă 0,
R‹, R falls σ ą 0,
mit σ “ ´sgnpv‹q, wobei
sgnpαq “
$’&’%
´1 falls α ă 0,
0 falls α “ 0,
`1 falls α ą 0.
Als nachstes wird gepruft, ob es sich bei der Welle zwischen den jeweiligen Zustanden S
und S‹ um eine Stoßwelle (p‹ ą pS) oder eine Verdunnungswelle (p‹ ă pS) handelt. Fur
eine Stoßwelle wird die charakteristische Geschwindigkeit des Zustandes λS , beziehungs-
weise λS,‹ mit der Geschwindigkeit der Stoßwelle gleichgesetzt:
λS “ λS‹ “ 1
ξ˘,‹pp‹,Sq ` vS
Fur eine Verdunnungswelle wird λS,‹ nach
λS‹ “#
λ´pL‹q falls σ ă 0
λ`pR‹q falls σ ą 0
bestimmt. Dabei sind λ´ und λ` die minimale und maximale Wellengeschwindigkeit,
die durch die Eigenwerte (A.1) gegeben sind. Zusatzlich wird noch gefordert, dass fur
den linken Zustand L (σ ă 0) λL,‹ großer als die minimale Wellengeschwindgkeit λ´L
des Zustandes, beziehungsweise fur den rechten Zustand R (σ ą 0) λR,‹ kleiner als die
maximale Wellengeschwindigkeit λ`R
des Zustandes sein muss.
Mit Hilfe von λS und λS,‹ ist es schließlich moglich den fur die zeitliche Entwicklung
67
benotigten numerischen Fluss nach dem Schema
FpS,S‹q “
$’&’%
S‹ falls σλS,‹ ą 0
S falls σλS ă 0λSS‹´λS,‹S
λS´λS,‹falls σλS,‹ ă 0 ă σλS
zu bestimmen. Die dritte Zeile berucksichtigt noch die Moglichkeit, dass das System sich
an der Stelle xt “ 0 im Facher der Verdunnungswelle befindet.
Weitere Informationen zu dem Verfahren sind in [9] und [33] gegeben.
6.1.1. Wiederherstellung der primitiven Variablen
Nach dem das System mit Hilfe des numerischen Flusses und der in Kapitel 5.4.2 vorge-
stellten Methode um einen Zeitschritt weiter entwickelt wurde, mussen nun - basierend auf
den vorhandenen konservativen Variablen (3.6) - wieder die primitiven Variablen gefunden
werden. In Kapitel 3.1 wurde schon erwahnt, dass es fur diesen Prozess keine simple ana-
lytische Methode gibt. Um nun dennoch an die primitiven Variablen zu gelangen, wird mit
Hilfe der Newton-Raphson Methode (siehe Kapitel 5.1) der Druck p durch die Nullstelle
der Funktion
fppq ” re pp, nBppqq ` ps γ2ppq ´ p ´ E “ 0
bestimmt. Die Funktion setzt sich zusammen aus dem vorhandenen Wert der erhaltenen
Energie E und dessen Darstellung in den primitiven Variablen E “ pe ` pqγ2 ´ p, die alle
nur vom Druck p abhangig sind. Die Geschwindigkeit v kann durch
pe ` pqγ2 “ E ` p und m “ pe ` pqγ2v
als
v “ m
E ` p(6.12)
geschrieben werden.
Damit lassen sich sowohl γ mit
1
γ2“ 1 ´ m2
pE ` pq2 (6.13)
als auch die Baryondichte nB mit
nBppq “ D
γ(6.14)
allein durch den Druck p und die primitiven Variablen D, m und E ausdrucken. Zusatzlich
wird zum Anwenden des iterativen Algorithmus (5.1) die erste Ableitung der Funktion fppqnach dem Druck benotigt. Mit Hilfe der Ableitungen von (6.13) und (6.14) bei konstantem
68 6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP
D,m,E
Bpγ “Bpˆ1 ´ m2
pE ` pq2˙´ 1
2
“ ´ γ2
pE ` pq3
“ ´ γ3
E ` p¨ γ
2 ´ 1
γ2
“ ´ γ
E ` p¨`γ2 ´ 1
˘,
und somit
Bpγ2 “ ´ 2γ2
E ` p¨`γ2 ´ 1
˘,
beziehungsweise
BpnB “ ´ D
γ2Bpγ “ D
γ
`γ2 ´ 1
˘
E ` p,
erhalt man als Ableitung von der Funktion fppq:
f 1ppq “ dfppqdp
“ re pp, nBppqq ` ps ¨ Bpγ2 `„Be pp, nBppqq
Bp ` 1
γ2 ´ 1
“ ´ 2 re ` ps γ2`γ2 ´ 1
˘
E ` p`„Be
Bp ` BeBnB
¨ BnB
Bp ` 1
γ2 ´ 1
“ˆBe
Bp ` 1
˙γ2 `
ˆ BeBnB
´ D
γ´ 2pe ` pq
˙γ2
`γ2 ´ 1
˘
E ` p´ 1 (6.15)
Nun mussen nur noch die partiellen Ableitungen von e fur eine Region mit geringer
Baryondichte bestimmt werden. Man erhalt die Approximationen
Be pp, nBqBp “ 1
c2s pp, nB “ 0q ` Opn2Bq (6.16)
« 1
c2s pp, 0q (6.17)
und
Be pp, nBqBnB
“ nB
χpT, µB “ 0q
ˆ1 ` T
χpT, 0qBχpT, 0q
BT ´ 1
c2s
˙` Opn3
Bq (6.18)
« nB
χpT, 0q
ˆ1 ` T
χpT, 0qBχpT, 0q
BT ´ 1
c2s
˙. (6.19)
Das explizite Auftreten der Temperatur in Gleichung (6.19) stellt kein großes Problem
dar, weil der Druck p durch die Zustandsgleichung in Kapitel 4.1 selbst von der Temperatur
abhangig ist und dort ein Algorithmus vorgegeben wurde, wie man aus der Temperatur den
dazugehorigen Druck erhalt. Die Suszeptibilitat der Baryonzahl χpT, 0q ist durch (4.11)
69
gegeben. Ableiten von χpT, 0q nach der Temperatur ergibt
BχpT, 0qBT “ aT
#2
„1 ` tanh
ˆT ´ T0
∆T
˙` T
cosh2`T´T0
∆T
˘¨ ∆T
+
mit a “ 0.15, T0 “ 167 MeV und ∆T “ 60 MeV.
Nun lasst sich uber
ppn`1q “ ppnq ´ fpppnqqf 1pppnqq
der zu dem Satz von konservativen Variablen D,m,E gehorende Druck p bestimmen. Aus
p kann darauf hin uber die Zustandsgleichung die Baryondichte nB bestimmt werden. Die
Geschwindigkeit v erhalt man uber (6.12). Mit Hilfe dieses Algorithmus konnen nun die
primitiven Variablen sowohl aus Berechnungen mit idealer relativistischer Hydrodynamik,
als auch fur den dissipativen Fall wiederhergestellt werden.
70 6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP
71
7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen
7.1. Die Phasen einer Schwerionenkollision
Um die Kollision zweier ionisierter Atomkerne zu untersuchen, werden die Kerne auf hohe
Energien beschleunigt und auf Kollisionskurs gebracht. Dabei wird die z-Achse als die
longitudinale Achse definiert, auf der sich die Kerne aufeinander zu bewegen. Durch die
hohen Geschwindigkeiten treten relativistische Effekte auf, wie zum Beispiel die Lorentz-
Kontraktion der Kerne entlang der longitudinalen Achse. Außerdem verlangsamt die Zeit-
dilatation die dynamischen Prozesse innerhalb der Kerne, wodurch die Gluonen immer
wichtiger werden, um die internen Prozesse zu beschreiben.
Der Kollisionsprozess zweier Lorentz-kontrahierter Atomkerne lasst sich in mehrere Pha-
sen einteilen, die in Abbildung 17 dargestellt sind.
In der ersten Phase kollidieren die Kerne miteinander. Sie prallen jedoch nicht frontal
aufeinander, sondern sind in der transversalen Ebene mit einem bestimmten Stoßparame-
ter b versetzt. Dieser gibt den Abstand der Schwerpunkte bei ausgeschalteter Wechselwir-
kung zueinander an und liegt meistens in der Großenordnung von mehreren fm33.
Diese Phase legt die Ausgangsbedingungen der in den Atomkernen vorhandenen Nukleo-
nen augenblicklich nach der Kollision fest und kann in erster Naherung uber klassische Dy-
namik durch das Glauber-Modell beschrieben werden. Nun kollidieren die Nukleonen mit-
einander. Es entsteht eine so hohe Energiedichte, dass das Confinement, welches die Quarks
und die Gluonen in den Nukleonen bindet, aufgehoben wird und diese sich innerhalb des
entstandenen Quark-Gluon-Plasmas frei bewegen konnen. Durch die starke Wechselwir-
kung zwischen den Teilchen lasst sich das entstandene Plasma im nicht-Gleichgewichts-
und Gleichgewichtszustand durch die Methoden der dissipativen und idealen Hydrodyna-
mik beschreiben. Nach kurzer Zeit beginnt sich das Quark-Gluon-Plasma abzukuhlen und
die Energiedichte verringert sich. Wenige Augenblicke spater ist die Temperatur so weit
gefallen, dass sich die Quarks und Gluonen wieder zu Hadronen zusammen schließen. Es
kommt zum Freeze-Out, ab dem die entstandenen Teilchen nicht mehr untereinander in
Wechselwirkung stehen, sondern sich frei bewegen konnen. Die hydrodynamische Beschrei-
bung der Teilchen kann man nun nicht mehr nutzen und es muss wieder auf eine kinetische
Beschreibung zuruckgegriffen werden.
Ein Buch, dass sich ausfurhlich mit diesem Thema beschaftigt, ist [34]. Fur eine kurze
Zusammenfassung sei auf [35] verwiesen.
331 fm = 10´15 m
72 7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen
z
t HadronenÑ kinetische Theorie
gleichgewichts ZustandÑ ideale Hydrodynamik
nicht-gleichgewichts ZustandÑ dissipative Hydrodynamik
fruhe ZustandeÑ klassische Dynamik
Freeze -Out
Abbildung 17: Die unterschiedlichen Phasen einer Schwerionenkollision
7.2. Das Landau-Modell
Das Landau-Modell wurde in den fruhen 1950er Jahren entwickelt und fuhrte als erstes
Modell die Idee an, Kollisionen von hadronischer Materie mit Hilfe von relativistischer
Hydrodynamik zu beschreiben.
Landau entwickelte ursprunglich das Modell, um die Kollision zweier Protonen zu be-
schreiben. Er nahm an, dass bei der Kollision der Protonen Energie innerhalb eines
Volumens frei wird, dass der Lorentz-kontrahierten Große eines Protons entspricht. Da-
durch entwickelt sich jedoch ein großer longitudinaler Druckgradient, wodurch das System
anfangt sich zu verandern. Es wird als Anfangsbedingungen also ein physikalisches System
fur eine gegebene Laborzeit im Schwerpunktsystem betrachtet, in dem die Materie stark
komprimiert und in Ruhe ist und sich darauf hin entwickelt.
Da in diesem fruhen Stadium nach der Kollision der longitudinale Druck wesentlich
großer ist, als der transversale Druck, ging Landau davon aus, dass sich die Entwicklung
des physikalischen Systems nur durch die Betrachtung einer Dimension - und zwar der
Richtung des longitudinalen Drucks - mit Hilfe idealer relativistischer Hydrodynamik und
einer Zustandsgleichung der Form e “ 3p beschreiben lasst. Ab einem gewissen Punkt
kann der transversale Druck jedoch nicht mehr vernachlassigt werden und es muss ein
dreidimensionales hydrodynamisches System betrachtet werden.
Das Landau-Modell kann von Proton-Proton-Kollisionen auf allgemeine Kollisionen ha-
dronischer Materie erweitert werden. Dementsprechend ist es moglich das Landau-Modell
auf Schwerionenkollisionen anzuwenden und die hydrodynamische Entwicklung des Quark-
Gluon-Plasmas kurz nach seiner Entstehung zu untersuchen.
73
∆ “ 2l
T
z
(a) Anfangszustand des Systems im Landau-Modell
∆ “ 2l
T
z
(b) Entwicklung des Systems im Landau-Modell
Abbildung 18: Schematische Darstellung des zu betrachtenden Systems im Landau-Modell
Dazu wird die bei der Kollision entstandene Kollisionsflache im Landau-Modell durch
eine flache Scheibe approximiert. Sie hat im Anfangszustand die Breite ∆ “ 2l von zwei
Lorentz-kontrahierten Atomkernen. l ergibt sich aus
l “ R ¨ 2mN?sNN
.
R ist der Radius des Atomkerns, mN seine Masse und?sNN die Schwerpunktsenergie pro
Kern-Kern Stoß, die innerhalb des Teilchenbeschleunigers bei der Kollision erzeugt wird.
Der Faktor 2mN?sNN beschreibt die Lorentz-Kontraktion der Kerne.
Der Anfangszustand wird in Abbildung 18(a) schematisch dargestellt. Er entspricht ei-
nem Temperaturplateau der Lange ∆ innerhalb eines Systems mit der Grundtemperatur
T0, die so hoch gewahlt werden sollte, dass die hydrodynamische Beschreibung des Sys-
tems noch moglich ist (« 180 MeV). Da das System sich symmetrisch in beide Richtungen
entwickeln wird, ist der Ursprung des Koordinatensystems auf den Mittelpunkt des Tem-
peraturplateaus gelegt.
Fangt das System nun an sich entlang der z-Achse in beide Richtungen zu entwickeln,
entsteht jeweils eine Welle, die sich nach außen bewegt (schwarze Pfeile) und jeweils eine
Welle (rote Pfeile), die auf den Mittelpunkt des Temperaturplateaus zusteuert.
Ziel dieser Arbeit ist es unter anderem die in Abbildung 18(a) dargestellten Anfangs-
bedingungen durch die Methoden numerischer relativistischer Hydrodynamik zu beschrei-
ben. Durch das Verwenden von numerischen Methoden ist es zum einen moglich, eine
Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik zur Simulation des Quark-Gluon-Plasmas
zu verwenden und zum anderen dissipative Effekte zu berucksichtigen.
74 7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen
7.3. Das Bjorken-Modell
Das Landau-Modell ist eine gute Approximation der hydrodynamischen Entwicklung einer
Kollision von hochenergetischen Hadronen. Es vernachlassigt jedoch den wichtigen Aspekt,
dass schnelle Teilchen, die spater und weiter vom Kollisionszentrum entfernt entstehen,
innerhalb des Landau-Modells nicht mehr berucksichtigt werden.
Um diese Teilchen dennoch zu berucksichtigen, sind weitere spezielle Anfangsbedingun-
gen notig, die von Bjorken untersucht wurden.
Die Motivation in Bjorkens Modell [36] ist eine konstante Rapiditatsverteilung der ge-
ladenen Teilchen im Bereich der Midrapiditat
dNch
dy“ konst.
mit der Anzahl der geladenen Teilchen Nch und der Rapiditat y. Es existiert also bei
entsprechend hohen Energien eine zentrale plateauartige Struktur wo die Teilchen produ-
ziert werden. Diese Annahme fuhrt zur Invarianz der zentralen Region des Systems unter
Lorentz-Boosts entlang der Kollisionsachse z. Die kollidierenden Kerne werden demnach
im Schwerpunktsystemen zu Lorentz-kontrahierten scheibenformigen Objekten (Pfannku-
chen), die sich in jedem Bezugssystem kurz nach der Kollision vom Kollisionspunkt mit
Lichtgeschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen fortbewegen.
Daraus folgt die Annahme, dass die Geschwindigkeit des entstanden Fluids entlang der
z-Achse durch
vz “ z
t(7.1)
gegeben ist und alle thermodynamischen Großen nur von der longitudinalen Eigenzeit
τz “?t2 ´ x2 abhangen.
Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass mit dem Bjorken-Modell Abschatzungen fur die
Energiedichte gemacht werden konnen, die zu Beginn der hydrodynamischen Beschreibung
von Schwerionenkollisionen im System herrscht. Die mit dem Bjorken-Modell abgeschatzte
Energiedichte ubersteigt jedoch um wenigstens eine Großenordnung den Wert, den man
fur die Ansammlung der Teilchen nach der Kollision erwartet. Diese Erkenntnis ist ein
weiterer Indikator fur die Bildung einer neuen Materie aus den kollidierten Teilchen, dem
Quark-Gluon-Plasma.
75
8. Numerische Simulation von QGP
Der in den Kapiteln 5.4.2, 5.6 und 6 vorgestellte Algorithmus soll nun verwendet wer-
den, um Aussagen uber die hydrodynamische Phase in Schwerionenkollisionen zu ma-
chen. Um die physikalischen Eigenschaften des in dieser Phase entstehenden Plasmas aus
Quarks und Gluonen zu berucksichtigen, wird dabei die in Kapitel 4.1 vorgestellte Zu-
standsgleichung der Quantenchromodynamik verwendet. In Kapitel 8.1 wird mit Hilfe des
entwickelten Algorithmus das Shocktube-Problem gelost. Es werden sowohl Ergebnisse
der idealen Hydrodynamik prasentiert, als auch Ergebnisse, in denen dissipative Effekte
berucksichtigt werden. Des Weiteren werden die Veranderungen der Stromungsprofile bei
unterschiedlichen Scherviskositaten diskutiert und die Auswirkungen von Dehnviskositat
auf das System betrachtet. Daraufhin wird in Kapitel 8.2 der Algorithmus mit den An-
fangsbedingungen des in Kapitel 7.2 vorgestellten Landau-Modells versehen, um Aussagen
uber die ersten Augenblicke nach der Bildung des Quark-Gluon-Plasmas in einer Kollision
zweier schwerer Atomkerne zu machen.
Da alle Berechnungen der Analyse von Schwerionenkollisionen dienen sollen, mussen die
gewahlten Anfangsbedingungen mit den Anfangsbedingungen der Experimente an Teil-
chenbeschleunigern, wie dem LHC oder dem RHIC konsistent sein. Am RHIC liegt die
maximale Starttemperatur fur die Kollision zweier Goldkerne bei einer Schwerpunktsener-
gie von?sNN “ 200 GeV zwischen T “ 300 MeV und T “ 600 MeV. Daruber hinaus wird
in der Praxis auf Grund des Freeze-Out die hydrodynamische Betrachtung der Kollision
nur bis zu einer Temperatur von T « 150 ´ 120 MeV verwendet. Die moglichen Werte fur
das chemische Potential der Baryonen liegen am RHIC bei µB « 24 MeV und am LHC
bei µB « 1 MeV, wobei in allen, fur diese Arbeit durchgefuhrten Berechnungen der Wert
vom RHIC verwendet wird. Da Quark-Gluon-Plasma bei verschwindender Baryondichte
betrachtet werden soll, ist nB in den Berechnungen nur als Hilfsgroße anzusehen und hat
in den durchgefuhrten Berechnungen keine physikalische Aussagekraft. In allen Berech-
nungen werden die als flow-out bezeichnete Randbedingungen benutzt. Es gilt also fur ein
Gitter mit r0, ..., N s Gitterpunkten,
V nj “ V n
0 und V nk “ V n
N ,
wobei j ă 0 und k ą N .
76 8. Numerische Simulation von QGP
8.1. Shocktube-Problem
Das Shocktube-Problem wurde erstmals 1978 von Gary A. Sod eingefuhrt [37]. Dabei
werden die Anfangsbedingungen des zu betrachtenden Systems so gewahlt, dass ein Wel-
lenbild der Form (3.35), also RÐ C SÑ, entsteht. Um dieses Wellenbild mit Hilfe der zwei
Anfangszustande L und R zu realisieren, muss der Druck pLpT q und somit die Temperatur
großer sein, als pRpT q.Im weiteren Verlauf soll nun das Shocktube-Problem mit den Anfangsbedingungen TL “
400 MeV und TR “ 180 MeV betrachtet werden. Zum Zeitpunkt t “ 0 fm ist das Fluid
in Ruhe (vL “ vR “ 0). Das betrachtete System hat eine Lange von 10 fm und wird mit
100 Gitterpunkten diskretisiert.
8.1.1. Der Vergleich zweier Zustandsgleichungen
Bei numerischen Berechnungen ist die Rechenzeit ein Faktor, der eine tragende Rolle spielt.
Gerade komplizierte Zustandsgleichungen, wie die in Kapitel 4.1 vorgestellte Zustands-
gleichung der QCD, sorgen durch ihre Komplexitat fur eine signifikante Erhohung der
Rechenzeit34. Aus diesem Grund ist eine wichtige Frage, wie stark komplizierte aber rea-
listischere Zustandsgleichungen die Ergebnisse der numerischen Berechnungen verandern.
Sind komplizierte Zustandsgleichungen, obgleich der hohen Rechenzeit, besser geeignet, als
einfach Zustandsgleichungen, welche die Eigenschaften des Systems dennoch ausreichend
approximieren?
In Abbildung 19 sind die Zustandsgleichung der QCD und die Zustandsgleichung ei-
nes freien Gluon-Gases35 aufgetragen, welches zum Beispiel in [1] verwendet wird. Zur
Veranschaulichung listet Tabelle 2 zusatzlich die benotigte CPU-Zeit fur Berechnungen
mit den beiden Zustandsgleichungen auf. Die Rechenzeit mit der Zustandsgleichung der
QCD liegt um einen Faktor von 104 deutlich hoher als die Rechenzeit mit der einfachen
Zustandsgleichung eines freien Gluon-Gases.
IDEAL DISSIPATIV
freies Gluon-Gas 0.141048 0.179182
QCD 1996.5 6449.23
Tabelle 2: CPU-Zeit (in Sekunden) der unterschiedlichen Berechnung bis zum Zeitpunktt “ 1 fm
34Bei der Zustandsgleichung der QCD aus Kapitel 4.1 entsteht der starke Anstieg der Rechenzeit aus dernumerische Integration, die bei der Berechnung des Drucks benotigt wird, in Kombination mit denNullstellenalgorithmen fur die Suche nach der Temperatur und dem Druck des Zwischenzustandes p‹.
35Zustandsgleichung fur das freie Gluon-Gas: e “ 3p & epT q “ 48T 4π2
77
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p“ G
eVfm
3‰
x rfms
QCD, ηs
“ 0
QCD, ηs
“ 0.16
Gluon-Gas, ηs
“ 0
Gluon-Gas, ηs
“ 0.16
(a)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v
x rfms
QCD, ηs
“ 0
QCD, ηs
“ 0.16
Gluon-Gas, ηs
“ 0
Gluon-Gas, ηs
“ 0.16
(b)
Abbildung 19: Shocktube-Problem mit der Zustandsgleichung eines freien Gluon-Gasesund der Zustandsgleichung der QCD bei gleichen Anfangsbedingungen
Die offensichtlichen Unterschiede der beiden Zustandsgleichungen sind die Großenord-
nungen fur den Druck. Die Unstetigkeitsstelle, gekennzeichnet durch das lokale Minimum
des Drucks, ist fur die beiden Zustandsgleichungen leicht versetzt. Innerhalb der Geschwin-
digkeitsprofile besitzt die QCD eine hohere Maximalgeschwindigkeit, wahrend das Profil
des Gluon-Gases etwas breiter ausfallt. Dennoch haben die Stromungsprofile vom Gesamt-
bild her im idealen Fall grob dieselbe Form. Bei der Berucksichtigung der dissipativen Ef-
fekte in den Stromungsprofilen ist jedoch die Wahl der Zustandsgleichung keine Trivialitat
mehr, da fur die jeweiligen Zustandsgleichungen die Dissipation unterschiedliche Auswir-
kungen auf die Stromungsprofile hat. Das Stromungsprofil des Drucks der QCD fallt zum
Beispiel im Bereich der entstandenen Stoßwelle (um x “ 8 fm) wesentlich abrupter und
starker ab, als das des freien Gluon-Gases. Deutlicher wird die Auswirkung der Dissipation
im Geschwindigkeitsprofil, wo fur das freie Gluon-Gas ein wesentlich breiteres Profil ent-
steht als fur die QCD. Die Dehnviskositat wurde an dieser Stelle nicht weiter untersucht,
da sie im freien Gluon-Gas nicht existiert und ein Vergleich somit hinfallig ist.
Da das Augenmerk dieser Arbeit auf der Untersuchungen des Quark-Gluon-Plasmas
unter Berucksichtigung der dissipativen Effekte liegt, ist dementsprechend die Benutzung
einer realistischen Zustandsgleichung notwendig, auch wenn diese zu einem starken Anstieg
der benotigten Rechenzeit fuhrt. Mochte man hingegen das Quark-Gluon-Plasma nur mit
Hilfe der idealen Hydrodynamik untersuchen, ware es, auf Grund der Ahnlichkeit der
Stromungsprofile auch eine Moglichkeit, die Zustandsgleichung des freien Gluon-Gases zu
verwenden und anzunehmen, dass sich das Quark-Gluon-Plasma im idealen Fall annahernd
gleich verhalt.
8.1.2. Das Shocktube-Problem fur QGP
Im weiteren Verlauf soll nun das Shocktube-Problem mit der in Kapitel 4.1 vorgestellten
Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik und den am Anfang des Kapitels disku-
78 8. Numerische Simulation von QGP
tierten Anfangsbedingungen betrachtet werden. In Abbildung 20 wird der zeitliche Verlauf
der Geschwindigkeit v (Abbildung 20(a)) und der zeitliche Verlauf des Drucks p (Abbil-
dung 20(b)) fur ein ideales Fluid bis zu einem Zeitpunkt von t “ 4 fm dargestellt.
In Abbildung 20(a) bildet sich kurz nach Beginn der zeitlichen Entwicklung an der Dis-
kontinuitat (x “ 5 fm) ein Geschwindigkeitspeak, der sich im Laufe der Zeit zu beiden
Seiten ausweitet. Links von der Unstetigkeitsstelle bildet sich eine Verdunnungswelle und es
entsteht ein langsam ansteigendes Geschwindigkeitsprofil, wahrend sich nach rechts in die
Richtung der Stoßwelle das fur diese Wellenart charakteristische abfallende Geschwindig-
keitsprofil ausbreitet. Das Geschwindigkeitsmaximum befindet sich immer an der Position
der Unstetigkeitsstelle.
Analog zum Geschwindigkeitsmaximum befindet sich in Abbildung 20(b) an der Posi-
tion der Unstetigkeitsstelle ein lokales Minimum des Stromungsprofils von p. Auch hier
sind die charakteristischen Profile der Verdunnungs- und Stoßwelle gut zu erkennen. Die
Verdunnungswelle erzeugt einen gleichmaßigen Druckabfall links von der Unstetigkeits-
stelle, wahrend die Stoßwelle durch ein sich nach rechts ausbreitendes Druckplateau mit
abruptem Druckabfall zu Tage tritt.
79
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.51
1.52
2.53
3.54
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
v
x rfms
t rfms
v
00.10.20.30.40.50.60.7
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00.5
11.5
22.5
33.5
40
2
4
6
8
10
12
p“GeVfm3
‰
x rfms t rfms
p“GeVfm3
‰
024681012
(b)
Abbildung 20: Zeitlicher Verlauf der Stromungsprofile von v und p fur das Shocktube-Problem uber einen Zeitraum von 4 fm
In Abbildung 21(a) sind nun die Stromungsprofile fur den Druck p, die Energiedichte e,
die Geschwindigkeit v und die Temperatur T nach einer Zeitspanne von t “ 4 fm geplottet.
80 8. Numerische Simulation von QGP
Dargestellt sind jeweils die Ergebnisse fur den idealen Fall, fur den dissipativen Fall ohne
Dehnviskositat und den dissipativen Fall mit Dehnviskositat ζ. Fur die dissipativen Falle
wurde jeweils ein Wert ηs “ 0.16 angenommen und fur die Relaxationszeiten τη “ τζ “1T . Der Wert fur die Dehnviskositat wird uber
ζ “ κ
ˆ1
3´ c2s
˙2
η (3.51)
mit κ “ 15 berechnet.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p“ G
eVfm
3‰
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.16 & ζ “ 0ηs
“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
(a)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e“ G
eVfm
3‰
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.16 & ζ “ 0ηs
“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.16 & ζ “ 0ηs
“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
(c)
150
200
250
300
350
400
450
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TrM
eVs
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.16 & ζ “ 0ηs
“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
(d)
Abbildung 21: Stromungsprofile fur das Shocktube-Problem zur Zeit t “ 4 fm. Die An-fangstemperaturen sind TL “ 400 MeV und TR “ 180 MeV
81
Fur die Zustandsgleichung der QCD ist der Druck, bis auf den Beitrag der Spuranomalie
I, proportional zur Energie (e “ 3p ` I). Dementsprechend haben die Stromungsprofile
des Drucks (Abbildung 21(a)) und der Energiedichte (Abbildung 21(b)) nahezu die gleiche
Form und es wird im weiteren Verlauf nur noch das Stromungsprofil des Drucks betrachtet.
Da die charakteristischen Merkmale der Stromungsprofile fur p und v schon zu Abbil-
dung 20 erlautert wurden, wird nun das Augenmerk auf die Unterschiede zum dissipativen
Fall gerichtet.
Abbildung 22 zeigt das Stromungsprofil des Drucks und die Geschwindigkeit fur unter-
schiedlich große Scherviskositaten. Im Stromungsprofil des Drucks in Abbildung 22(a) sorgt
die Scherviskositat fur das Verschwinden des lokalen Minimums an der Unstetigkeitsstelle.
Der durch die Verdunnungswelle induzierte Druckabfall geht nahtlos in den Bereich der
Stoßwelle uber. Am Kopf der Stoßwelle wird der abrupte Abfall des Drucks abgebremst.
Je großer der Scherkoeffizient η wird, desto geringer wird die Steigung des Druckabfalls.
Betrachtet man nun die gleichen charakteristischen Stellen im Profil der Geschwindig-
keit, lassen sich dort analoge Effekte feststellen. Mit steigender Scherviskositat wird das
Geschwindigkeitsprofil breiter, wobei vor allem im Bereich der Stoßwelle ein Unterschied
zu erkennen ist. Mit steigender Scherviskositat verringert sich die Gesamtgeschwindigkeit
des Systems. Das Geschwindigkeitsmaximum an der Unstetigkeitsstelle verschwindet und
senkt sich in diesem Bereich immer weiter ab.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p“ G
eVfm
3‰
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.08ηs
“ 0.16ηs
“ 0.3
(a)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.08ηs
“ 0.16ηs
“ 0.3
(b)
Abbildung 22: Profile des Drucks und der Geschwindigkeit fur unterschiedliche Werte derScherviskositat η
Abbildung 23 beinhaltet zusatzlich zur Scherviskositat auch die Beitrage der Dehnvis-
kositat. Dabei wurden jeweils ein verhaltnismaßig kleiner und großer Scherkoeffizient η
gewahlt. Allgemein werden die schon durch die Scherviskositat hervorgerufenen Effekte
verstarkt, also die Ausbreitung der Verdunnungs- und Stoßwelle verlangsamt.
Im Kontrast dazu wird die Hochstgeschwindigkeit im Geschwindigkeitsprofil zwar immer
geringer, das Profil aber vor allem im Bereich der Stoßwelle rechts der Unstetigkeitsstelle
immer breiter.
82 8. Numerische Simulation von QGP
Abbildung 24 stellt außerdem das Temperaturprofil dar. Die Große der Dehnviskositat
ist nach (3.51) durch die Abweichung des Quadrates der Schallgeschwindigkeit c2S von
13 bestimmt. Sie ist somit komplett von der gewahlten Zustandsgleichung abhangig. Die
Temperaturabhangigkeit von c2S fur die gewahlte Zustandsgleichung wurde in Abbildung
8(b) (S. 37) graphisch dargestellt und zeigte die großte Abweichung von 13 im Bereich des
Phasenubergangs unterhalb von 200 MeV. In Abbildung 24 sind jedoch schon bei weitaus
hoheren Temperaturen, insbesondere im Bereich um die Unstetigkeitsstelle, Abweichungen
von den Profilen ohne Dehnviskositat zu sehen. Es fuhren also sehr geringe Abweichungen
des Quadrates der Schallgeschwindigkeit vom Wert 13 zu sichtbaren Anderungen der
physikalischen Großen, auch wenn die Scherviskositat selbst schon verhaltnismaßig klein
gewahlt wurde.
Die Dehnviskositat ist somit fur realistische Simulationen von Quark-Gluon-Plasma eine
Große, die nicht vernachlassigt werden darf.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p“ G
eVfm
3‰
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.08 & ζ “ 0ηs
“ 0.3 & ζ “ 0ηs
“ 0.08 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
ηs
“ 0.3 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
(a)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.08 & ζ “ 0ηs
“ 0.3 & ζ “ 0ηs
“ 0.08 & ζηs
“ 0.3 & ζ
(b)
Abbildung 23: Auswirkungen der Dehnviskositat auf p, v des Systems
150
200
250
300
350
400
450
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TrM
eVs
x rfms
ideales Fluidηs
“ 0.08 & ζ “ 0ηs
“ 0.3 & ζ “ 0ηs
“ 0.08 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
ηs
“ 0.3 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
Abbildung 24: Auswirkungen der Dehnviskositat auf die Temperatur T des Systems
83
8.2. Numerische Berechnungen zum Landau-Modell
In den folgenden numerischen Simulationen werden die im Kapitel 7.2 vorgestellten An-
fangsbedingungen verwendet, um die ersten Augenblicke nach einer Schwerionenkollision
zu untersuchen, in der die Beschreibung durch Hydrodynamik moglich ist. Da in diesem
Zeitraum der transversale Druck gegenuber dem longitudinalen Druck vernachlassigbar ist,
liefert auch schon die Betrachtung eines Systems mit nur einer Ortsdimension realitatsnahe
Ergebnisse. Im Gegensatz zum klassischen Landau-Modell wird in den Simulationen jedoch
eine Zustandsgleichung der QCD (Kapitel 4.1) verwendet und anstatt der Betrachtung ei-
nes idealen Fluids im weiteren Verlauf auch die Dissipation berucksichtigt. Als letzter
Punkt wird in die Anfangsbedingungen eine kleine Storung auf dem Temperaturplateau
eingebaut und der Verlauf des gestorten Systems analysiert.
Das Temperaturplateau zum Zeitpunkt t “ 0 fm stellt die Kollisionsflache zweier kol-
lidierter Lorentz-kontrahierter Atomkerne entlang der Kollisionsachse (z-Achse) dar. Im
Folgenden soll eine Kollision zweier ionisierter Goldkerne betrachtet werden. Die Kerne
haben jeweils einen Radius RAU “ 6.5 fm. Als Faktor fur die Lorentz-Kontraktion der Ker-
ne wird ein Faktor 1100 angenommen, der bei einer Energie am RHIC von?sNN “ 200
GeV einen realistischen Wert darstellt [34]. Es ergibt sich also eine Breite der kontrahierten
Kerne von jeweils
l “ R ¨ 2mN?sNN
“ 6.5 fm ¨ 1
100“ 0.065 fm
und somit eine Breite ∆ “ 2l der Kollisionsflache von ∆ “ 0.13 fm. Fur die Scherviskositat
wird der Wert ηs “ 0.16 angenommen. Die Dehnviskositat wird uber
ζ “ 15
ˆc2s ´ 1
3
˙2
η
berechnet. Fur die Relaxationszeiten gilt τη “ τζ “ 1T . Die Kollisionsflache hat zum
Zeitpunkt t “ 0 fm eine Temperatur von T “ 400 MeV. Die Temperatur außerhalb
betragt T “ 180 MeV. Damit breitet das Fluid sich nicht, wie in Schwerionenkollisionen,
ins Vakuum aus, sondern ist in einem Bad aus QCD-Materie geringerer Temperatur, bei
der jedoch Hydrodynamik noch moglich ist.
Abbildung 25 zeigt die Geschwindigkeits- und Druckprofile fur verschiedene Zeiten t. Da
das betrachtete System mit einer Gesamtlange von L “ 0.6 fm gegenuber dem in Kapitel
8.1 (Shocktube Problem) mit L “ 10 fm wesentlich kleiner ist, finden die relevanten
Prozesse bei der Entwicklung des Systems auch auf einer kleineren Zeitskala statt. Der
zeitliche Verlauf des Systems wird aus diesem Grund nur uber ein Zeitintervall bis maximal
t “ 0.5 fm betrachtet.
84 8. Numerische Simulation von QGP
0
2
4
6
8
10
12
14
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
p“ G
eVfm
3‰
z rfms
t “ 0 fmt “ 0.1 fm
t “ 0.1.5 fmt “ 0.2 fmt “ 0.3 fm
(a)
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
v
z rfms
t “ 0 fmt “ 0.1 fmt “ 0.15 fmt “ 0.2 fmt “ 0.3 fm
(b)
Abbildung 25: Die Geschwindigkeit und das Stromungsprofil des Drucks fur unterschied-liche Zeiten mit den Anfangsbedingungen des Landau-Modells (ηs “ 0.16& ζ)
Die benutzten Anfangsbedingungen fuhren zu einem am Punkt z “ 0 fm gespiegelten
Shocktube-Problem. Es breiten sich von den Randern des Temperaturplateaus nach rechts
und links jeweils eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig bildet sich in die entgegengesetzte Rich-
tung innerhalb des Temperaturplateaus jeweils eine Verdunnungswelle, die sich am Punkt
z “ 0 fm schneiden. Es sind zwei Unstetigkeitsstellen vorhanden, die sich an den Randern
des Temperaturplateaus bei zC “ ˘0.065 fm befinden.
SÐ C RÑ RÐ C SÑ
Analog zum Temperaturplateau ist zum Zeitpunkt t “ 0 fm ein Druckplateau im
Stromungsprofil des Drucks vorhanden (Abbildung 25(a)) . Es fangt an spitz zusammenzu-
laufen, wahrend sich an den Auslaufen die schon bei Shocktube-Problem fur die Stoßwellen
charakteristischen Hugel bilden. Die lokalen Minima in der Nahe der Unstetigkeitsstellen
sind auch vorhanden.
Zu Beginn der Simulation ist die Kollisionsflache komplett in Ruhe. Dementsprechend
betragt uber das gesamte System die Geschwindigkeit vz “ 0. In Abbildung 30 ist zu
sehen, dass sich in den Bereichen z ą 0 fm und z ă 0 fm jeweils ein dreistufiger Geschwin-
digkeitsberg mit vz ă 0 fur z ă 0 fm und vz ą 0 fur z ą 0 fm bildet. Es entsteht um z “ 0
fm ein linearer Geschwindigkeitsanstieg, dessen Steigung mit der Zeit linear abnimmt.
Dieses Verhalten der Geschwindigkeit uber die Zeit hat starke Ahnlichkeit mit Bjorkens
Annahme (Kapitel 7.3), dass die Geschwindigkeit des Fluid auf der Kollisionsachse als
vz “ z
t(7.1)
geschrieben werden kann. Zur Verifizierung dieser Vermutung wurden in Abbildung 26
sowohl fur den idealen, als auch den dissipativen Fall nur die Geschwindigkeiten vz an den
85
Gitterpunkten geplottet, fur die
vz ` ǫ ą z
tą vz ´ ǫ
mit ǫ “ 0.005 gilt. Tatsachlich gibt es fur den dissipativen Fall Bereiche, in denen Bjorkens
Annahme fur die Geschwindigkeit vz zumindest in einem groben Rahmen wiederzufinden
ist. Insbesondere in den Bereichen fur die Zeiten t « 0.3 fm und t « 0.1 fm gilt fur den
Großteil der Fluidteilchen vz « zt. Untersucht man hingegen die Ergebnisse der Simula-
tion, die nur mit den Gleichungen der idealen Hydrodynamik entwickelt wurde, so findet
man nur bei t « 0.1 fm einen Zeitpunkt, an dem vz « zt gilt. Dies konnte der numeri-
schen Dissipation geschuldet sein. Da bei Berechnungen mit dissipativer Hydrodynamik
die numerische Dissipation starker kontrolliert, beziehungsweise unterdruckt werden muss,
sind die Ergebnisse im Allgemeinen genauer als die der idealen Hydrodynamik.
-0.3-0.2
-0.10
0.10.2
0.3
00.1
0.20.3
0.40.5-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
v
ηs “ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1
3
˘2η
ideales Fluid
z rfms
t rfms
v
Abbildung 26: Die Geschwindigkeit vz “ zt des Bjorken-Modells
Um einen besseren Eindruck von der zeitlichen Entwicklung des Systems zu bekommen
sind in Abbildung 27 und 28 die zeitlichen Entwicklungen der Geschwindigkeit und des
Drucks dargestellt.
86 8. Numerische Simulation von QGP
-0.3-0.2
-0.10
0.10.2
0.3
00.1
0.20.3
0.40.5-0.8
-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
v
z rfms
t rfms
v -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8
(a) Oberflachenplot von v
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
trfm
s
z rfms
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
(b) Zeitlicher Verlauf von v mit Linien konstanter Geschwindigkeit
Abbildung 27: Die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit v fur den dissipativen Fallmit ηs “ 0.16, ζ “ 15
`c2s ´ 1
3
˘2η
87
-0.3-0.2-0.100.10.20.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
024681012
p“GeVfm3
‰
z rfms
t rfms
p“GeVfm3
‰ 024681012
(a) Oberflachenplot von p (invertierte Zeitachse!)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
trfm
s
z rfms
0
2
4
6
8
10
12
(b) Zeitlicher Verlauf von p mit Linien konstanten Drucks
Abbildung 28: Die zeitliche Entwicklung des Drucks p fur den dissipativen Fall mit ηs “0.16, ζ “ 15
`c2s ´ 1
3
˘2η
88 8. Numerische Simulation von QGP
8.2.1. Auswirkung dissipativer Effekte
In diesem Abschnitt sollen kurz die Unterschiede zwischen den Ergebnissen der numeri-
schen Simulationen verdeutlicht werden, die entstehen, wenn man die dissipativen Effekte
des Fluids berucksichtigt.
Abbildung 29 und 30 zeigen die Veranderungen des Geschwindigkeits- und Druckprofils
fur die Zeiten t “ 0.1 fm und t “ 0.15 fm , wenn man Scher- beziehungsweise Scher- und
Dehnviskositat berucksichtigt.
Fur das Profil des Drucks sind im Bereich der Stoßwellen (z « ˘0.1) Veranderungen
analog zu denen des Shocktube-Problems zu finden. Die Wellen breiten sich also langsamer
aus und das Plateau, welches bei einer Stoßwelle entsteht, wascht immer weiter aus. In
Abbildung 29(b) ist gut zu erkennen, dass der Druck um (z “ 0) langsamer sinkt, wann
man Dissipation berucksichtigt.
0
2
4
6
8
10
12
14
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
p“ G
eVfm
3‰
z rfms
ideales Fluid
ηs “ 0.16
ηs “ 0.16 & ζ
(a)
0
2
4
6
8
10
12
14
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
p“ G
eVfm
3‰
z rfms
ideales Fluid
ηs “ 0.16
ηs “ 0.16 & ζ
(b)
Abbildung 29: Das Stromungsprofil des Drucks p fur t “ 0.1 fm und t “ 0.15 fm fur einideales Fluid, ηs “ 0.16, ζ “ 0 und ηs “ 0.16, ζ “ 15
`c2s ´ 1
3
˘2η
Genau wie das Profil des Drucks weist das Geschwindigkeitsprofil die gleichen Veranderungen
auf, die in Kapitel 8.1 auftreten. Das Geschwindigkeitsprofil wird also breiter. Des weiteren
bildet sich bei der Berucksichtigung der Dehnviskositat ein weiteres Geschwindigkeitspla-
teau bei z « ˘0.17 fm.
89
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
v
z rfms
ideales Fluid
ηs “ 0.16
ηs “ 0.16 & ζ
(a)
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
v
z rfms
ideales Fluid
ηs “ 0.16
ηs “ 0.16, ζ
(b)
Abbildung 30: Die Geschwindigkeit fur t “ 0.1 fm und t “ 0.15 fm fur ein ideales Fluid,ηs “ 0.16, ζ “ 0 und ηs “ 0.16, ζ “ 15
`c2s ´ 1
3
˘2η
8.2.2. Betrachtung einer kleinen Storung
Nun wird zuletzt eine kleine Storung in die Anfangsbedingungen des Landau-Modells
eingebaut. Die Storung wird um z “ 0 fm platziert. Sie hat eine Breite von ∆PERT “ 0.01
fm und sorgt fur eine Temperaturschwankung von δT “ 20 MeV. Abbildung 31 stellt das
Stromungsprofil des Drucks p und das Geschwindigkeitsprofil fur unterschiedliche Zeiten
t dar, um die Auswirkungen der Storung zu illustrieren.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
p“ G
eVfm
3‰
z rfms
t “ 0 fmt “ 0.02 fmt “ 0.04 fmt “ 0.06 fmt “ 0.1 fm
(a)
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
v
z rfms
t “ 0 fmt “ 0.02 fmt “ 0.04 fmt “ 0.06 fmt “ 0.1 fm
(b)
Abbildung 31: Die Geschwindigkeit und das Stromungsprofil des Drucks fur unterschied-liche Zeiten mit den Anfangsbedingungen des Landau-Modells (ηs “ 0.16& ζ)
Die Storung spaltet sich an der Stelle z “ 0 fm auf und propagiert jeweils in Richtung
z ă 0 fm und z ą 0 fm. Wie sich die Stromungsprofile mit Storung im Vergleich zu den
ungestorten Stromungsprofilen verhalten, wird in Abbildungen 32 und 33 gezeigt. Beim
Druck p sind um z “ 0 fm und an den beiden durch die Stoßwelle gebildeten lokalen
Maxima leichte Druckerhohungen zu finden. Bei dem Geschwindigkeitsprofil finden sich
90 8. Numerische Simulation von QGP
an den Stellen der lokalen Maxima zum Zeitpunkt t “ 1.5 fm leichte Erhohungen der
Geschwindigkeit, um z “ 0 fm aber keine Unterschiede. Der Druck reagiert also sensitiver
auf die Storung als die Geschwindigkeit.
0
2
4
6
8
10
12
14
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
p“ G
eVfm
3‰
z rfms
STORUNG
NORMAL
(a)
0
2
4
6
8
10
12
14
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
p“ G
eVfm
3‰
z rfms
STORUNG
NORMAL
(b)
Abbildung 32: Das Stromungsprofil des Drucks p fur t “ 0.05 fm und t “ 1.5 fm
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
v
z rfms
STORUNG
NORMAL
(a)
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
v
z rfms
STORUNG
NORMAL
(b)
Abbildung 33: Das Stromungsprofil des Drucks p fur t “ 0.05 fm und t “ 1.5 fm
91
In Abbildung 34 wird die zeitliche Entwicklung der Storung dargestellt. Dafur wurde
die Geschwindigkeitsdifferenz der ungestorten und gestorten Entwicklung aufgetragen. Die
farblichen Schlieren, die sich uber den ganzen Plot ziehen, sind auf die numerischen Fehler
der beiden Simulationen zuruckzufuhren. Trotzdem ist zu erkennen, dass die Bewegung der
Storung mit der Zeit bis zum Zeitpunkt t “ 0.1 fm nicht linear ist. Im Vergleich dazu erhalt
man aus den gleichen Berechnungen mit der Zustandsgleichung des freien Gluon-Gases eine
annahernd lineare Fortbewegung und somit eine konstante Propagationsgeschwindigkeit
der Storung.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
trfm
s
z rfms
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
(a) Numerische Simulation mit der Zustandsglei-chung der QCD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
trfm
s
z rfms
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
(b) Numerische Simulation mit der Zustandsglei-chung eines freien Gluon-Gases
Abbildung 34: Darstellung der zeitliche Entwicklung der Storung anhand des Geschwin-digkeitsunterschieds vNORM ´ vPERT
92 8. Numerische Simulation von QGP
93
9. Zusammenfassung & Ausblick
Ziel dieser Arbeit war, das bei Schwerionenkollisionen entstehende Quark-Gluon-Plasma
mit Hilfe numerischer relativistischer Hydrodynamik zu untersuchen. Ein besonderer Schwer-
punkt lag dabei auf der Implementierung von dissipativen Effekten mit Hilfe erst kurzlich
([19] aus dem Jahr 2011 bzw. [2] aus dem Jahr 2013) entwickelter Methoden. Des Weiteren
sollte sowohl durch eine Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik, als auch durch
die Berucksichtigung des Landau-Modells die Simulationen so realitatsnah wie moglich
gestaltet werden. Zusatzlich sollte in das physikalische System eine Storung eingebaut und
die Auswirkungen auf die zeitliche Entwicklung des Systems untersucht werden.
Im Zuge dieser Arbeit habe ich mich mit den unterschiedlichen Methoden der nume-
rischen relativistischen Hydrodynamik beschaftigt. Mit Hilfe einer passenden Methode
wurde von mir eine Simulation in einer Ortsdimension programmiert. Diese versah ich mit
der passenden Zustandsgleichung und implementierte die Berucksichtigung dissipativer
Effekte. Anschließend wurde mit diesem Programm die Entwicklung des Quark-Gluon-
Plasmas in Schwerionenkollisionen unter verschiedenen Aspekten untersucht. Zum einen
habe ich unterschiedlich aufwandige Zustandsgleichungen miteinander verglichen. Zum
anderen wurden von mir Unterschiede in den Ergebnissen mit idealer und dissipativer Hy-
drodynamik herausgearbeitet. Dabei konnte ich unter anderem feststellen, dass die Dehn-
viskositat in Simulationen von Quark-Gluon-Plasma nicht vernachlassigt werden sollte.
Ausgehend vom Landau-Modell, untersuchte ich die Messungen auf Anzeichen der im wei-
terfuhrenden Bjorken-Modell gemachten Annahme der Bjorkengeschwindigkeit (vz “ zt)und konnte im groben Rahmen dessen mogliche Existenz an bestimmten Zeitpunkten er-
kennen.
Zuletzt implementierte ich eine kleine Storung in das System und untersuchte die Un-
terschiede zu den vorangegangenen Messungen. Dabei hat sich herausgestellt, dass sich die
Storung entsprechend der nicht-trivialen Zustandsgleichung nicht, wie im Fall eines freien
Gluon-Gases, mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt. Der nachste Schritt ware nun,
die Gruppengeschwindigkeit der Storung zu bestimmen und zu analysieren.
Die in dieser Arbeit durchgefuhrten Simulationen bieten einen soliden Einstieg in die nu-
merische Analyse der Eigenschaften des Quark-Gluon-Plasmas und sind in vielen Punkten
ausbaufahig. Ein Punkt ware die Verbesserung der Ergebnisse, indem man einen Scheme
hoherer Ordnung benutzt. Eine Moglichkeit ware die Implementierung der von Martı und
Muller in [8] vorgestellten relativistischen Erweiterung der stuckweise parabolischen Me-
thode36 (PPM), die innerhalb von glatten Gebieten sogar von dritter Ordnung ist.
Im Gegensatz zu der von mir verwendeten MUSCL-Hancock Methode, in der fur die
Rekonstruktion der Datensatze mehrmals der Wiederherstellungsalgorithmus fur die pri-
mitiven Variablen benutzt werden muss, kommt die PPM-Methode mit einer einmaligen
Nutzung des Wiederherstellungsalgorithmus nach dem Ausfuhren der zeitlichen Entwick-
lung aus. Dementsprechend verkurzt diese Methode auch gleichzeitig die Rechenzeit.
36engl. Piecewise Parabolic Method
94 9. Zusammenfassung & Ausblick
Da die PPM-Methode jedoch auf die Losung von Systemen mit polytropen Zustands-
gleichungen ausgelegt ist und zusatzlich von sieben frei wahlbaren Parametern abhangt,
musste sie fur die Untersuchung von Quark-Gluon-Plasma entsprechend angepasst werden.
Ein weiterer Punkt ist die Erweiterung des benutzten Modells auf drei Ortsdimensionen
(z.B. mit Hilfe von [9]). Weiterhin ist zu erwahnen, dass es im Bereich der Dissipati-
on noch einige Verbesserungsmoglichkeiten gibt. In meinen Simulationen waren die Vis-
kositatskoeffizienten konstant. Somit ware eine weitere Idee die Viskositatskoeffizienten
abhangig vom Ort und von der Zeit zu betrachten. Außerdem sind die Relaxationszeiten
eigentlich abhangig von den jeweiligen Viskositatskoeffizienten. Somit ware der nachste
Schritt auch dies weiter zu fuhren und von einer groben Approximation von τ “ 1T auf
realistischere Werte zu wechseln, welche diese Abhangigkeiten berucksichtigt.
In den Berechnungen des Landau-Modells breitete sich das innerhalb der Kollisions-
flache entstandene Quark-Gluon-Plasma in einem Bad aus gleicher Materie mit geringerer
Temperatur aus. Auch hier lassen sich die Ergebnisse realistischer gestalten, wenn sich das
Quark-Gluon-Plasma ins Vakuum ausbreiten wurde.
95
A. Eigenvektoren der idealen relativistischen Hydrodynamik
Im Folgenden werden sowohl die Eigenwerte λi, als auch die rechten und linken Eigenvek-
toren37 ri, li von A aus der primitive Darstellung der Bewegungsgleichungen der idealen
relativistischen Hydrodynamik berechnet. Die Bewegungsgleichungen konnten zusammen-
gefasst als
BUBt ` A ¨
ˆBUBx
˙“ Bt
¨˚nB
v
p
˛‹‚`
¨˚˚˝
v nB
1´v2c2S
´ vnB
pe`pqγ2p1´v2c2Sqq
0vp1´c2Sq1´v2c2
S
1
pe`pqγ4p1´v2c2Sqq
0pe`pqc2S1´v2c2
S
vp1´c2Sq
1´v2c2S
˛‹‹‹‹‚
¨
»—–Bx
¨˚nB
v
p
˛‹‚
fiffifl (3.11)
dargestellt werden.
Anhand des charakteristischen Polynoms
P pλq “ detpA ´ λ ¨ 1q
“pv ´ λq ¨
»–˜v`1 ´ c2S
˘
1 ´ v2c2S´ λ
¸2
´˜
pe ` pqc2S1 ´ v2c2S
¨ 1
pe ` pqγ4`1 ´ v2c2S
˘¸fifl
“0
lassen sich die drei rechten Eigenwerte
λ´ “ v ´ cS
1 ´ vcS, λ0 “ v und λ` “ v ` cS
1 ` vcS(A.1)
identifizieren. Wahrend λ0 direkt aus dem ersten Term des Produktes abgelesen werden
kann, muss fur die restlichen 2 Eigenwerte die quadratische Gleichung innerhalb der eckigen
Klammern gelost werden.
˜v`1 ´ c2S
˘
1 ´ v2c2S´ λ
¸2
´˜
pe ` pqc2S1 ´ v2c2S
¨ 1
pe ` pqγ4`1 ´ v2c2S
˘¸
“ 0
ô λ2 ´ 2vp1 ´ c2Sq1 ´ v2c2S
λ ` v2 ´ c2S ´ v4c2S ` c4S`1 ´ v2c2S
˘2 “ 0
ô λ˘ “ v`1 ´ c2S
˘
1 ´ v2c2S˘
gffe˜v`1 ´ c2S
˘
1 ´ v2c2S
¸2
´ v2 ´ c2S ´ v4c2S ` c4S`1 ´ v2c2S
˘2
ô λ˘ “ v`1 ´ c2S
˘
1 ´ v2c2S˘ c2S
`1 ´ v2
˘
1 ´ v2c2S
ô λ˘ “ p1 ¯ vcSq ¨ pv ˘ cSqp1 ´ vcSq ¨ p1 ` vcSq “ v ˘ cS
1 ˘ vcS
37Analog zur Definition der rechten Eigenvektoren: lpiqJA “ λil
piqJ
96 A. Eigenvektoren der idealen relativistischen Hydrodynamik
Die rechten Eigenvektoren erhalt man uber
pA ´ λ0,¯ ¨ 1q ¨ r0,¯ “ 0
und die linken Eigenvektoren uber
lJ0,¯ ¨ pA ´ λ0,¯ ¨ 1q “ 0.
Dabei werden die normierten Vektoren so gewahlt, dass fur ihr Skalarprodukt l#¨r# “ δ##
gilt.
r´ “
¨˚
´nBγ2
cS
1
´cSγ2pe ` pq
˛‹‚ r0 “
¨˚1
0
0
˛‹‚ r` “
¨˚
nBγ2
cS
1
cSγ2pe ` pq
˛‹‚ (A.2)
l´ “
¨˚
012
´ 12pe`pqγ2cS
˛‹‚ l0 “
¨˚˝
1
0
´ nB
pe`pqc2S
˛‹‹‚ l` “
¨˚
0121
2pe`pqγ2cS
˛‹‚ (A.3)
97
B. Riemann Invarianten
Im Folgenden werden die Riemann Invarianten fur die relativistischen hydrodynamischen
Gleichungen (3.11) hergeleitet. Man startet mit der Differentialgleichung aus Kapitel 3.2
dU
dϕ“ αr0,˘,
die fur jeden Eigenwert λ0,˘ gelost werden muss. Dabei ist U “ pnB, v, pqK. Fur die drei
Komponenten der Differentialgleichung gilt jeweils38
dnB
rx0,˘“ dv
ry0,˘
“ dp
rz0,˘. (B.1)
Wendet man nun (B.1) auf die Eigenvektoren (A.2) (nach vorheriger Multiplikation mit
1γ2) an, so erhalt man fur den Eigenwert λ`
cS
nB
dnB “ γ2 dv “ dp
cSpe ` pq . (B.2)
Der letzte Term lasst sich mit Hilfe von thermodynamischen Beziehungen weiter umfor-
men. Aus dem totalen Differential der inneren Energie mit erhaltener Baryonzahl dU “T dS ´ p dV erhalt man als totales Differential der Energiedichte
de “ e ` p
nB
dnB ` nBT ds,
welches sich nach einer kurzen Erweiterung des totalen Differentials dp “ dpde
dp “ c2S de
einsetzen lasst. Des Weiteren wird
dnB
dp“ nB
c2Spe ` pq
benutzt.
38r0,˘ “ prx0,˘, r
y0,˘, rz0,˘qK
98 B. Riemann Invarianten
dp
cSpe ` pq “dp
de
de
cSpe ` pq
“ cS
pe ` pq
„e ` p
nB
dnB ` nT ds
“ cS
pe ` pq
„e ` p
nB
dnB
dpdp ` nT ds
“ cS
pe ` pq
„e ` p
nB
nB
c2Spe ` pq dp ` nBT ds
“ dp
cSpe ` pq ` cSnBT
pe ` pq ds
ˇˇˇ ´ dp
cSpe ` pq
ô 0 “ds (B.3)
Die Entropie ist also entlang der entsprechenden Fluid-Linien erhalten und somit eine
Riemann Invariante fur λ`. Einsetzen des Ergebnisses in (B.2) ergibt als Relation
γ2 dv ´ cS
ndnB “ 0
und man erhalt nach Integration als weitere Riemann Invariante
J´ “ 1
2ln
ˆ1 ` v
1 ´ v
˙´ż
cS
ndnB “ konst. (B.4)
Analog zu dem Ergebnis fur λ` lasst sich zusatzlich zu s eine weitere Riemann Invariante
fur λ´ berechnen.
J` “ 1
2ln
ˆ1 ` v
1 ´ v
˙`ż
cS
ndnB “ konst. (B.5)
Fur λ0 ist sowohl der Druck p, als auch die Geschwindigkeit v entlang der Fluid-Linien
erhalten. Sie sind damit die Riemann Invarianten fur λ0.
Zusammenfassend erhalt man also die in Tabelle 3 zusammengefassten Riemann Inva-
rianten zu den entsprechenden Eigenwerten.
Eigenwert Riemann Invarianten
λ´: s, J`
λ0: p, v
λ`: s, J´
Tabelle 3: Riemann Invarianten fur die Eigenwerte λ0,˘
Literatur 99
Literatur
[1] E. Molnar, H. Niemi and D.H. Rischke, The European Physical Journal C 65 (2009)
615.
[2] Y. Akamatsu et al., arXiv.org (2013) 34, 1302.1665.
[3] P. Romatschke and U. Romatschke, Physical Review Letters 99 (2007) 172301.
[4] L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, 3. ed. (Elsevier, 1986).
[5] L. Rezzolla and O. Zanotti, Relativistic Hydrodynamics (Oxford University Press,
2013).
[6] J.Y. Ollitrault, arXiv.org (2007), 0708.2433v2.
[7] N. Borghini, Hydrodynamik & Elektrodynamik in Materie, http://www.physik.
uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Theorie-IV_13/Theorie_IV.pdf, Letz-
ter Zugriff: 28.01.2015.
[8] J.M. Martı and E. Muller, Journal of computational physics 123 (1996) 1.
[9] A. Mignone, T. Plewa and G. Bodo, arXiv.org (2005), astro-ph/0505200v1.
[10] T.Y. Hou and P.G. LeFloch, Mathematics of Computation 62 (1994) 497.
[11] P. Lax and B. Wendroff, Communications on Pure and Applied Mathematics 13
(1960) 217.
[12] J.M. Martı and E. Muller, J Fluid Mech 258 (1994) 317.
[13] A.H. Taub, Physical Review 74 (1948) 328.
[14] E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methodsfor Fluid Dynamics, 2nd edition
ed. (Springer, 2009).
[15] J.M. Martı and E. Muller, Living Reviews in Relativity 2 72.
[16] S. Weinberg, The Astrophysical Journal 168 (1971) 175.
[17] A. Jaiswal, R. Ryblewski and M. Strickland, Physical Review C 90 (2014) 044908.
[18] U.A. Wiedemann, Heavy-ion collisions: selected topics, http://cds.cern.ch/
record/1143387/files/p277.pdf, Letzter Zugriff: 28.01.2015.
[19] M. Takamoto and S.i. Inutsuka, Journal of computational physics 230 (2011) 7002.
[20] W. Israel and J.M. Stewart, Annals of Physics (1979).
[21] K. Fukushima and T. Hatsuda, Reports on Progress in Physics 74 (2010) 014001.
100 Literatur
[22] M. Laine and Y. Schroder, Physical Review D 73 (2006) 085009.
[23] R. Gupta, Nuclear Physics 862 (2011) 111.
[24] O. Philipsen, Progress in Particle and Nuclear Physics 70 (2013) 55.
[25] Z. Fodor et al., Journal of High Energy Physics 2010 (2010) 77.
[26] N. Borghini and J.Y. Ollitrault, Phys. Lett. B 642 (2005) 227.
[27] W.H. Press, Numerical Recipes in C (Cambridge University Press, 1992).
[28] B. van Leer, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 5 (1984) 1.
[29] K. Murawski, K. Murawski and P. Stpiczynski, Bulletin of the Polish Academy of
Sciences: Technical Sciences 60 (2012) 45.
[30] R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems (Cambridge, 2002).
[31] D. Kuzmin, Operator splitting techniques, http://www.mathematik.uni-dortmund.
de/~kuzmin/cfdintro/lecture11.pdf, Letzter Zugriff: 28.01.2015.
[32] T. Inoue and S.i. Inutsuka, The Astrophysical Journal Letters 687 (2008) 303.
[33] P. Colella and H.M. Glaz, Journal of computational physics 59 (1985) 264.
[34] W. Florkowski, Phenomenology of Ultra-Relativistic Heavy-Ion Collisions (World
Scientific, 2010).
[35] W. Florkowski, arXiv.org (2014), 1410.7904.
[36] J.D. Bjorken, Physical Review D 27 (1983) 140.
[37] G.A. Sod, Journal of computational physics 27 (1978) 1.