Numerische Simulation von Schwerionenkollisionen mit Hilfe ... · Anzeichen dafür, dass die Reibung f ür die Beschreibung des Quark-Gluon-Plasmas nicht vernachlässigbar ist

Fakultat fur Physik

Numerische Simulation von

Schwerionenkollisionen mit Hilfe von

dissipativer relativistischer Hydrodynamik

Masterarbeit

vorgelegt von

Sascha Fleer

im

Februar 2015

betreut von

Prof. N. Borghini

Gutachter: Prof. N. Borghini

Prof. E. Laermann

Eidesstattliche Erklarung

Ich erklare hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbstandig und nur unter Benutzung

der angegebenen Literatur und Hilfsmittel angefertigt habe. Wortlich ubernommene Satze

oder Satzteile sind als Zitat belegt, andere Anlehnungen hinsichtlich Aussage und Umfang

unter Quellenangabe kenntlich gemacht.

Ich erklare weiterhin, dass die vorliegende Arbeit noch nicht im Rahmen eines anderen

Prufungsverfahrens eingereicht wurde.

Ort, Datum Unterschrift

Ziel dieser Arbeit ist, das bei Schwerionenkollisionen entstehende Quark-Gluon-

Plasma mit Hilfe numerischer relativistischer Hydrodynamik zu untersuchen.

Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf der Implementierung von dissi-

pativen Effekten mit Hilfe erst kurzlich entwickelter Methoden. Des Weite-

ren soll sowohl durch eine Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik, als

auch durch die Berucksichtigung des Landau-Modells die Simulationen so rea-

litatsnah wie moglich gestaltet werden.

Inhaltsverzeichnis I

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 1

2. Newtonsche Hydrodynamik 3

3. Relativistische Hydrodynamik 5

3.1. Konservative und primitive Formulierung der Hydrodynamik . . . . . . . . 6

3.2. Einfache Wellen, Selbstahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3. Verdunnungswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.1. Die Verdunnungswelle bei einer polytropen Zustandsgleichung . . . . 14

3.4. Stoßwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4.1. Das Taub Adiabat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4.2. Die Geschwindigkeit hinter einer Stoßwelle . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.3. Die Stoßwelle bei einer polytropen Zustandsgleichung . . . . . . . . 20

3.5. Losung des eindimensionalen Riemann Problems . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5.1. Der exakte Riemann Solver fur ein polytropes Gas . . . . . . . . . . 25

3.6. Israel-Stewart Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6.1. Die Israel-Stewart Theorie in 1+1 Dimensionen . . . . . . . . . . . . 30

4. Quantenchromodynamik 33

4.1. Eine Zustandsgleichung der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Numerische Methoden 40

5.1. Newton-Raphson Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2. Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3. Numerische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4. HRSC-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4.1. Finite Volume-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4.2. Die MUSCL-Hancock Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.5. Strang-Operator-Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.6. Numerische Implementierung der Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP 61

6.1. Abbildung der Losung auf den Punkt xt “ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.1.1. Wiederherstellung der primitiven Variablen . . . . . . . . . . . . . . 67

7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen 71

7.1. Die Phasen einer Schwerionenkollision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2. Das Landau-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3. Das Bjorken-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

II Inhaltsverzeichnis

8. Numerische Simulation von QGP 75

8.1. Shocktube-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.1.1. Der Vergleich zweier Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.1.2. Das Shocktube-Problem fur QGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.2. Numerische Berechnungen zum Landau-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.2.1. Auswirkung dissipativer Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2.2. Betrachtung einer kleinen Storung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9. Zusammenfassung & Ausblick 93

A. Eigenvektoren der idealen relativistischen Hydrodynamik 95

B. Riemann Invarianten 97

1

1. Einleitung

Ein großes Ziel der Teilchenphysik ist es, die Entstehung von kollektiven physikalischen

Phanomenen, sowie die Eigenschaften von Materie auf fundamentale Wechselwirkungen

der elementaren Teilchen zuruckzufuhren. Die Schwerionenphysik stellt sich dieser Fra-

gestellung unter Betrachtung der starken Wechselwirkung bei sehr hohen Energien. Die

elementaren Teilchen, die der starken Wechselwirkung unterliegen und somit durch die

Quantenchromodynamik (QCD) beschrieben werden, sind die Quarks und die Gluonen.

Sie sind die fundamentalen Grundbausteine der hadronischen Materie.

In Experimenten an Teilchenbeschleunigern wie dem LHC oder dem RHIC kollidieren

vollstandig ionisierte schwere Atomkerne, wie Gold oder Blei, bei sehr hohen Energien

miteinander. Bei diesen Kollisionen, in denen relativistische Effekte berucksichtigt werden

mussen, erhalt man stark wechselwirkende Materie bei sehr hohen Temperaturen, die den

Gesetzen der QCD unterliegt. Im Zuge dieser Entdeckung hat man vermutet, dass bei so

hohen Energiedichten ein neuer Zustand entsteht, in dem sich die Quarks und Gluonen

unabhangig voneinander bewegen konnen und somit ein Plasma bilden.

Dieses Quark-Gluon-Plasma (QGP) spielt in vielen Bereichen der Physik eine wich-

tige Rolle, da zum Beispiel seine Existenz auch in der ersten Phase nach dem Urknall

angenommen wird. Somit ist das Quark-Gluon-Plasma ein Verbindungsglied zwischen

der Kernphysik und der Kosmologie. Mit Hilfe von Schwerionenkollisionen konnte somit

der gleiche, aber naturlich in einem anderen Maßstab stattfindende Phasenubergang vom

Quark-Gluon-Plasma zu den Hadronen untersucht werden, der kurz nach dem Urknall

stattgefunden hat.

Die Aufgabe in der Schwerionenphysik ist nun, die Eigenschaften der bei den Schwerio-

nenkollisionen entstandenen quantenchromodynamischen Materie zu charakterisieren.

Vor nicht allzu langer Zeit wurden erste Hinweise gefunden, dass sich diese Materie fast

wie ein ideales Fluid verhalt und somit den Gleichungen der Hydrodynamik genugt, ob-

wohl sie nur aus ein paar tausend elementaren Teilchen besteht [1]. Ein ideales Fluid ist

das Modell eines reibungsfreien Fluids, auf das dementsprechend keine Tangentialkrafte

wirken und sich somit im globalen thermischen Gleichgewicht befindet. Schon allein mit

Hilfe der idealen Hydrodynamik konnten viele Effekte, die in Experimenten von Gold-Gold-

Kollisionen am RHIC beobachtet wurden, reproduziert werden. Dazu gehoren zum Beispiel

die Abhangigkeit des elliptischen Flusses vom Stoßparameter oder auch die Abhangigkeit

des Hadronenspektrums vom Transversalimpuls (fur pT ď 1, 5 GeV). Ein großer Erfolg war

schließlich die Bestatigung der Entstehung stark wechselwirkenden Quark-Gluon-Plasmas

in Schwerionenkollisionen am RHIC mit Hilfe der idealen Hydrodynamik, da diese als ein-

zige Theorie den in Experimenten gemessenen starken elliptischen Fluss erklaren konnte,

welcher als direkter Hinweis auf das stark wechselwirkende Quark-Gluon-Plasma gesehen

wurde [2].

Zusatzlich zu den Erfolgen wurden aber auch die Probleme und Grenzen der Theorie

deutlich. Da die Gleichungen der relativistischen Hydrodynamik aufgrund des Lorentz-

2 1. Einleitung

Faktors stark nicht-linear sind, konnen viele Phanomene (bis auf vereinfachte Falle) aus-

schließlich durch numerische Simulationen untersucht werden [3]. Zum anderen ist die

Voraussetzung zur Verwendung der Beschreibung durch ideale Hydrodynamik eine viel

zu geringe Thermalisationszeit von τ0 ă 1 fm/c, bei der eigentlich keine Vielteilchen-

Stoßprobleme schwach gekoppelter Teilchen auf naturliche Weise auftreten. Außerdem

uberstieg der mit der idealen Hydrodynamik berechnete elliptische Fluss die im Experi-

ment gemessenen Werte. Erst durch die Implementierung von endlicher Reibung in die

hydrodynamischen Modelle ließen sich die Daten angemessen interpretieren. Dies war ein

Anzeichen dafur, dass die Reibung fur die Beschreibung des Quark-Gluon-Plasmas nicht

vernachlassigbar ist.

Die Nutzung einer dissipationsabhangigen dynamischen Theorie zur Beschreibung der

Schwerionenkollisionen hatte nun zur Folge, dass weitere Eigenschaften, wie die Schervisko-

sitat, die Dehnviskositat oder auch die Warmleitfahigkeit zur korrekten Beschreibung des

Quark-Gluon-Plasmas untersucht werden mussten. Außerdem ergaben sich neue Schwie-

rigkeiten, da eine sehr gute Kenntnis uber die Abweichung des Systems vom Gleichgewicht

notig ist, um dissipative Hydrodynamik verwenden zu konnen. Des Weiteren ist die Hy-

drodynamik als dynamische Theorie zwar frei von Parametern, ihre Gute als Modell zur

Beschreibung der Kollisionsprozesse jedoch stark von den Anfangsbedingungen abhangig,

was unter Berucksichtigung dissipativer Effekte noch viel starker zu Tage tritt.

In dieser Arbeit soll nun das Verhalten des bei Schwerionenkollisionen entstehenden

Quark-Gluon-Plasmas mit Hilfe von numerischen Simulationen in einer Ortsdimension

untersucht werden. Dabei wird insbesondere auf die Implementierung der dissipativen Ef-

fekte und ihre Auswirkungen auf die Entwicklung des Systems eingegangen. Obwohl nur

die zeitliche Entwicklung einer Ortsdimension simuliert wird, ist es trotzdem moglich,

im Rahmen des Landau-Modells sinnvolle Ergebnisse zu erzielen und Aussagen uber die

Entwicklung des Systems zu machen. Die dafur benotigten Anfangsbedingungen werden

in dieser Arbeit diskutiert und numerische Simulationen mit ihnen durchgefuhrt. Zum

Abschluss wird in das System eine kleine Storung eingebaut und ihre Auswirkungen un-

tersucht.

3

2. Newtonsche Hydrodynamik

Die Hydrodynamik ist eine effektive Feldtheorie, welche die Entwicklung von flussiger

und gasformiger Materie mit Hilfe von Feldern beschreibt. Auf diesen Feldern sind alle

physikalische Großen, wie zum Beispiel das Geschwindigkeitsfeld vpx, y, z, tq, definiert.

Mit Hilfe der Felder lasst sich nun das Verhalten aller relevanten physikalischen Großen

des Fluids an jedem Orts- und Zeitpunkt bestimmen.

Um dies zu realisieren definiert man an jedem Punkt des Fluids ein Fluidteilchen. Ein

Fluidteilchen fasst alle Materieteilchen innerhalb eines infinitesimalen Volumenelementes

zusammen. Dabei ist das angesprochene Volumen wesentlich kleiner als das Volumen des

betrachteten Systems, aber trotzdem wesentlich großer als die fur das Problem relevante

mikroskopische Skala, sodass sich die physikalischen Großen nur geringfugig andern. Da

nun fur die Beschreibung des Systems das Verhalten von Fluidteilchen innerhalb eines

Kontrollvolumens untersucht werden soll, ist es ein naturlicher Folgeschritt, die Dichten

der physikalischen Großen zu betrachten.

Die einzige, jedoch sehr starke Annahme, die man treffen muss ist, dass sich das zu unter-

suchende System im globalen thermischen Gleichgewicht befindet. Die Bewegungsleichun-

gen der Hydrodynamik, die unter dieser Annahme hergeleitet werden, beschreiben ideale

Fluide. Diese Bewegungsgleichungen beruhen auf den fundamentalen Erhaltungssatzen

des betrachteten Systems. Die Teilchenzahl- beziehungsweise Massenerhaltung fuhrt zur

KontinuitatsgleichungBρpx, tq

Bt ` ∇ ¨ rρpx, tqvpx, tqs “ 0, (2.1)

wahrend die Erhaltung des Impulses zur Eulergleichung

ρpx, tq„Bvpx, tq

Bt ` rvpx, tq ¨ ∇svpx, tq

“ ´∇ppx, tq (2.2)

fuhrt.

Die letzte der funf Gleichungen, die man benotigt, um die Anderung der drei Geschwin-

digkeitskomponenten v, der Massendichte ρ und des Drucks p zu beschreiben, ist durch

die Gleichgewichtsverteilungsfunktion des Systems gegeben. Da diese in der Praxis aber

in den wenigsten Fallen bekannt ist, wird haufig auf die Zustandsgleichung des Systems

zuruckgegriffen, welche die Abhangigkeit des Drucks von anderen Großen wie der Energie-

und der Massendichte beschreibt. Die Zustandsgleichung bringt außerdem die einzigen

systemspezifischen Informationen in die allgemeinen hydrodynamischen Gleichungen ein.

Weitere Details zur Newtonschen Hydrodynamik lassen sich zum Beispiel in Buchern

wie [4] finden. Zusatzliche Quellen sind [5], [6] und [7].

4 2. Newtonsche Hydrodynamik

5

3. Relativistische Hydrodynamik

Die relativistische Hydrodynamik beschreibt Fluide, dessen Fluidteilchen sich nahezu mit

Lichtgeschwindigkeit bewegen. Im weiteren Verlauf wird die relativistische Hydrodynamik

auf den Fall der speziellen Relativitatstheorie beschrankt. Der Einfachheit halber gilt

c “ ~ “ 1 und fur die Metrik diag pηµνq “ p1,´1,´1,´1q1.Wie in der Relativitatstheorie ublich, werden alle physikalischen Großen im lokalen

Ruhesystem definiert. Im lokalen Ruhesystem bewegt sich der Beobachter mit der gleichen

Geschwindigkeit wie das Fluid. Die Vierer-Geschwindigkeit uµpx, tq des Fluids ist also im

Ruhesystem durch

uµpx, tq|LR “ p1, 0, 0, 0q,

beziehungsweise in einem willkurlichen Bezugssystem als

dxµptqdτ

“ uµpx, tq “ γp1,vq mit γ “ 1?1 ´ v2

definiert2.

Analog zur Newtonschen Physik wird die Entwicklung des Systems uber Felder fpxµqbeschrieben, bei denen aus Grunden der Ubersichtlichkeit meistens die explizite Orts- und

Zeitabhangigkeit weggelassen wird. Im Vergleich zur Newtonschen Physik lassen sich je-

doch zwei gravierende Unterschiede feststellen. Zum einen wird die Massenenergie mc2

mit zur inneren Energie gezahlt. Zum anderen ist die Anzahl der Teilchen nicht mehr

erhalten, da bei hohen Energien Paare von Teilchen und Antiteilchen aus dem Vakuum

erzeugt, beziehungsweise vernichtet werden konnen. Somit kann die Teilchenzahl nicht als

Erhaltungsgroße fungieren. Besitzen die zu betrachtenden Teilchen jedoch eine erhaltene

Quantenzahl, lasst sich dieses Problem umgehen, da somit zumindest die Differenz der

Teilchen und Antiteilchen erhalten bleiben muss. Im weiteren Verlauf als Teilchenzahl ist

also immer die Nettoteilchenzahl gemeint. Da im Verlauf dieser Arbeit das hydrodyna-

mische Verhalten von Quark-Gluon-Plasma untersucht werden soll, bietet es sich an, die

Baryonzahl als erhaltene Quantenzahl einzufuhren.

Wie auch schon in der klassische Hydrodynamik, folgen die Bewegungsgleichungen aus

den Erhaltungssatzen des Systems. Die verwendeten Erhaltungssatze sind die Erhaltung

der Baryonzahl NBpx, tq und die Erhaltung des Energie-Impuls-Tensors T µνpx, tq, die sichim relativistischen Fall in sehr kurzer Form darstellen lassen.

BµNµBpx, tq “ 0; BµT µνpx, tq “ 0 (3.1)

Die Erhaltung der Baryonzahl wird mit Hilfe des Vierer-Baryonstroms NµB “ nBu

µ

definiert, wobei nB die Baryondichte bezeichnet.

Die Energie-Impuls-Erhaltung kann durch den symmetrischen Energie-Impuls-Tensor

1griechische Buchstaben laufen von 0 bis 3 und lateinische Buchstaben von 1 bis 32xµ “ pt, x, y, zq sind die Viererkoordinaten und τ die Eigenzeit des Fluids.

6 3. Relativistische Hydrodynamik

T µν formuliert werden. Er beinhaltet

• die Energiedichte (T 00);

• die Energiestromdichte in die j-te Richtung (T 0j);

• die Komponenten der Impulsdichte in die jeweiligen Richtungen (T i0);

• die Impulsstromdichte (T ij).

Im Fall eines idealen relativistischen Fluids hat der Energie-Impuls-Tensor die Form

T µν “ re ` psuµuν ´ pηµν , (3.2)

mit dem Druck p und der inneren Energiedichte e.

Insgesamt hat man also funf unabhangige Funktionen zur Verfugung, um das System

zu beschreiben. Da das System jedoch von sechs Feldern abhangt3, wird - wie in der

Newtonschen Mechanik - eine weitere Gleichung gebraucht. Diese ist meistens die Zu-

standsgleichung p “ ppe, nq des Systems.

3.1. Konservative und primitive Formulierung der Hydrodynamik

Schreibt man nun die Baryonzahlerhaltung (3.1) aus, so erhalt man mit der neu ein-

gefuhrten erhaltenen Baryondichte D “ γnB in einem festgelegten Bezugssystem

BBt pγnBq ` ∇ pγnBvq “ B

BtD ` ∇ pDvq “ 0. (3.3)

Der Energie-Impuls-Tensor (3.2) liefert die Erhaltungsgleichung fur die erhaltene Impuls-

dichte4 m “ re ` ps γ2v. Sie ist durch

BBt re ` ps γ2v ` ∇

re ` ps γ2v2 ` p ¨ 13ˆ3

(

“ BBtm ` ∇ tmv ` p ¨ 13ˆ3u “ 0 (3.4)

gegeben. Analog erhalt man aus (3.2) fur die erhaltene Energiedichte 5 E “ re ` ps γ2 ´ p

die Erhaltungsgleichung

BBt

re ` ps γ2 ´ p

(` ∇ re ` ps γ2v

“ BBtE ` ∇m “ 0. (3.5)

3Die Felder sind die Energiedichte epx, tq, der Druck ppx, tq, die Baryondichte nBpx, tq und das Vierer-Geschwindigkeitsfeld uµ, wobei uµ aufgrund der Beschrankung uµuµ “ 1 nur drei Freiheitsgrade besitzt.

4BµTµjpxµq “ 0

5BµTµ0pxµq “ 0

7

Die Dichten

D “ N0B “ γnB,

m “ T 0j “ re ` ps γ2v (3.6)

und

E “ T 00 “ re ` ps γ2 ´ p

werden als konservative Variablen bezeichnet. Fasst man diese in einem Vektor V “pD,m, EqJ zusammen, lassen sich die Gleichungen (3.3),(3.4) und (3.5) in einer geschlos-

senen Matrixform zusammenfassen. In dieser Form hangt die zeitliche Anderung der kon-

servativen Variablen V uber ein endliches Volumen nur von der raumlichen Anderung

einer Matrix FpVq ab.

Bt

¨˚D

m

E

˛‹‚` ∇

¨˚

Dv

mv ` p ¨ 13ˆ3

m

˛‹‚“ BtV ` ∇ ¨ F pVq “ 0 (3.7)

Diese Matrix F wird als Flussvektor bezeichnet.

Analog zu den Gleichungen (2.1) und (2.2) der newtonschen Hydrodynamik lassen sich

auch in der relativistischen Hydrodynamik Erhaltungsgleichungen in Abhangigkeit der

primitiven Variablen nB, v und p finden, die sich - wie auch die konservativen Variablen

- in einem Vektor U “ pnB,v, pqJ zusammenfassen lassen. Es ist zwar analytisch moglich

die konservativen Variablen aus den primitiven Variablen zu erhalten (V “ V pUq), jedochnicht umgekehrt.

Um dennoch die Gleichungen in Abhangigkeit der primitiven Variablen zu erhalten,

erweitert man im eindimensionalen Fall6 der Gleichung (3.7) lediglich mit BU.

BVBt ` BF pVq

Bx “0

ô BVBU

BUBt ` BF

BUBUBx “0

Multipliziert man nun die Gleichung mit`

BVBU

˘´1, erhalt man die Matrixform der Glei-

chungen fur die primitiven Variablen U.

BUBt `

«ˆBVBU

˙´1ˆ BFBU

˙ff¨ˆBU

Bx

˙“ BU

Bt ` A ¨ˆBU

Bx

˙“ 0 (3.8)

Da die Matrix A pUq unabhangig von BxU ist, ist (3.8) eine quasilineare partielle Dif-

ferentialgleichung.`

BFBU

˘“ J ist die Jakobimatrix des Flussvektors im Bezug zum Vektor

U. Anhand dieser wird deutlich, dass der Flussvektor nicht eindeutig ist, sondern unter-

6Bt

¨˝D

m

E

˛‚` Bx

¨˝

Dv

mv ` p

m

˛‚“ BtVpUq ` BxF pVpUqq “ 0


schiedliche Flusse F die gleiche Jakobimatrix J liefern konnen.

Die explizite Berechnung der Matrix`

BVBU

˘unter Benutzung der Definition der Schall-

geschwindigkeit BeBp “ 1

c2S

liefert

ˆBVBU

˙“

¨˚

BnBD BvD BpD

BnBm Bvm Bpm

BnBE BvE BpE

˛‹‚“

¨˚˝

γ γ3vnB 0

0 pe ` pq“2γ4v2 ` γ2

‰ ´1c2s

` 1¯γ2v

0 pe ` pq2γ4v´

1c2s

` 1¯γ2 ´ 1

˛‹‹‚.

Durch Invertieren ergibt sich

ˆBVBU

˙´1

“

¨˚˚˝

1γ

´ vnB

pe`pqp1ć2Sv2q

vn2Bp1`c2Sq

pe`pqp1ć2Sv2q

01`v2c2S

γ4pe`pqp1ć2Sv2q ´ vp1`c2Sq

γ2pe`pqp1ć2Sv2q

0 ´2v3c2S´v`1

vp1´v2c2Sq

p1`v2qc2Sp1ć2

Sv2q

˛‹‹‹‹‚. (3.9)

Die Losung der Jakobimatrix J lautet

J “ˆ BF

BU

˙“

¨˚

BnBpDvq Bv pDvq Bp pDvq

BnBpmv ` pq Bv pmv ` pq Bp pmv ` pqBnB

m Bvm Bpm

˛‹‚

“

¨˚˝

γv nBγ`γ2v2 ` 1

˘0

0 2γ2pe ` pq`γ2v3 ` v

˘ ´1 ` 1

c2S

¯γ2v2 ` 1

0 γ2pe ` pq`2γ2v2 ` 1

˘ ´1 ` 1

c2S

¯γ2v2

˛‹‹‚. (3.10)

Nun ist es moglich, die Matrix A aus (3.8) zu berechnen und letztendlich die hydro-

dynamischen Gleichungen in ihrer quasi linearen primitiven Form explizit darzustellen7.

Man erhalt

A “«ˆBV

BU

˙´1ˆ BFBU

˙ff“

¨˚˚˝

v nB

1´v2c2S

´ vnB

pe`pqγ2p1´v2c2Sq

0vp1ć2

Sq1´v2c2

S

1

pe`pqγ4p1´v2c2Sq

0pe`pqc2

S

1´v2c2S

vp1ć2Sq1´v2c2

S

˛‹‹‹‹‚

und somit insgesamt

BUBt ` A ¨

ˆBUBx

˙“ Bt

¨˚nB

v

p

˛‹‚`

¨˚˚˝

v nB

1´v2c2S

´ vnB

pe`pqγ2p1´v2c2Sqq

0vp1ć2Sq1´v2c2

S

1

pe`pqγ4p1´v2c2Sqq

0pe`pqc2S1´v2c2

S

vp1ć2Sq

1´v2c2S

˛‹‹‹‹‚

¨

»—–Bx

¨˚nB

v

p

˛‹‚

fiffifl . (3.11)

7vgl. [8],[9] fur den dreidimensionalen Fall

9

Die hydrodynamischen Gleichungen lassen sich also in ein System der Form

BtU ` A pUq ¨ BxU “ 0 (3.12)

zusammenfassen. Dieses System ist hyperbolisch. Das bedeutet, dass die Matrix A in eine

diagonalisierte Form

Λ “ R´1AR “ diagpλ1, ..., λN q

gebracht werden kann. R ist eine Matrix aus den rechten Eigenvektoren ri. Sie sind zu-

sammen mit den dazugehorigen Eigenwerten λi uber

Ari “ λiri

definiert. Wenn die Eigenwerte λi zusatzlich reell sind, wird das System als stark hyperbo-

lisch bezeichnet. Da (3.11) von hyperbolischer Natur ist, hat A sowohl in der primitiven

(Ap) als auch in der konservativen (Ak) Formulierung die gleichen Eigenwerte λi.

Man erhalt

BtU ` Ap ¨ BxU “0

ô BUBV

BVBt ` RpΛpR

´1p

BUBV

BVBx “0

ô BVBt `

ˆBUBV

˙´1

RpΛpR´1p

BVBU

BVBx “0

ô BVBt ` RkΛpR

´1k

BVBx “0

ô BtV ` Ak ¨ BxV “0

mit den Definitionen

Rk :“ BUBVRp, R´1

k :“ R´1p

ˆBUBV

˙´1

und

Λk :“ Λp.

Sowohl die rechten Eigenvektoren ri, als auch die Eigenwerte λi werden in Appendix A

berechnet.

Die Eigenwerte

λ´ “ v ´ cS

1 ´ vcS, λ0 “ v und λ` “ v ` cS

1 ` vcS(A.1)

reprasentieren unterschiedliche Klassen von Wellen, in denen sich die Information mit

der Geschwindigkeit λ0,˘ ausbreitet. Solche Wellenfamilien sind zum Beispiel Stoß- oder

Verdunnungswellen.


Fur die rechten Eigenvektoren ri ergibt sich

r´ “

¨˚

ńBγ2

cS

1

ćSγ2pe ` pq

˛‹‚ r0 “

¨˚1

0

0

˛‹‚ r` “

¨˚

nBγ2

cS

1

cSγ2pe ` pq

˛‹‚. (A.2)

Gleichung (3.11) ist ein Anfangswertproblem. Es wird also eine Losung U px, tq fur die

partielle Differentialgleichung gesucht, die von einer gegebenen AnfangsbedingungU px, t0qzum Startzeitpunkt t0 abhangt. Die Matrix A enthalt die gesamten Informationen uber die

Bewegung des Systems und spielt aus diesem Grund fur die Untersuchung des zeitlichen

Verhaltens von relativistischen Fluiden eine große Rolle.

Zudem sind hyperbolische Systeme gut konditioniert8. Als gut konditioniertes Problem

wird eine partielle Differentialgleichung bezeichnet, deren Losung durchgangig von der An-

fangsbedingung U px, t0q abhangt und deshalb gut fur die Verwendung numerischer Me-

thoden geeignet ist. Obwohl es intuitiver ist, mit den primitiven Variablen U zu arbeiten,

bringen konservative Variablen erhebliche Vorteile, sobald in der Losung der Gleichungen

Stoßwellen (siehe Kapitel 3.4) oder Unstetigkeitsstellen auftreten.

Auf Grund von zwei Theoremen9 kann bei der Nutzung der konservativen Form der

Gleichungen (3.7) in numerischen Berechnungen davon ausgegangen werden, dass diese

immer zur richtigen Losung konvergieren. Die Nutzung der primitiven Formulierung fuhrt

hingegen immer zu falschen Losungen.

Weitere Details zu den Gleichungen der relativistischen Hydrodynamik lassen sich in

[4], [6], [2] und [5] finden.

3.2. Einfache Wellen, Selbstahnlichkeit

Es ist moglich, fur die vorgestellten hydrodynamischen Gleichungen (3.11) Losungen der

Art U pϕpx, tqq zu finden. Mit diesen Losungen reduziert sich das Gleichungssystem fur

jeden Eigenwert λ0,˘ auf eine einfache Differentialgleichung der Form

dU

dϕ“ αr0,˘,

mit einem Proportionalitatsfaktor α.

Solche Losungen werden als einfache Wellen bezeichnet. Fur sie lassen sich skalare

Großen JipUq finden, welche fur die jeweilige Wellenklasse konstant entlang der Kurve

Upϕq sind. Die charakteristische Phase ϕ kann somit als Parameter der Kurve gesehen

8engl.: well posed9

• Das von Hou und LeFloch [10] aufgestellte Theorem besagt, dass Systeme, die nicht in konservativerForm geschrieben sind, in Anwesenheit von Stoßwellen nicht gegen die richtige Losung konvergieren.

• Das Theorem von Lax und Wendroff [11] besagt, dass Systeme in der konservativen Form immergegen die schwache Losung konvergieren, falls sie konvergieren.

11

werden. Die Großen JipUq werden als Riemann Invarianten bezeichnet und in Appendix

B fur die relativistischen hydrodynamischen Gleichungen (3.11) hergeleitet.

Einfache Wellen sind selbstahnliche Losungen10 und konnen somit uber eine Selbstahn-

lichkeitsvariable dargestellt werden, die in den meisten Fallen eine Kombination aus den

Ortskoordinaten und der Zeitkoordinate ist. Mathematische Probleme mit selbstahnlichen

Losungen haben mehrere Vorteile. Zum einen ist es wesentlich einfacher, analytische

Losungen in Abhangigkeit der Ahnlichkeitsvariable zu finden. Zum anderen scheint die

Natur Losungen zu bevorzugen, die ahnlich zu einander sind.

Fur ein eindimensionales hydrodynamisches Problem ist ξ “ xt mit ´1 ď ξ ď 1 die

Selbstahnlichkeitsvariable, mit deren Hilfe alle physikalischen Großen dargestellt werden

konnen. Sie kann zum Beispiel als Geschwindigkeit interpretiert werden, mit der sich ein

bestimmtes Merkmal der Losung fortbewegt und ist generell ungleich der Geschwindigkeit

des Fluids an dem durch ξ beschriebenen Punkt.

3.3. Verdunnungswellen

Wenn der Druck p und die Baryondichte nB in dem Bereich, in dem sich eine einfache

Welle fortbewegt, abfallt, wird diese Welle als Verdunnungswelle bezeichnet. Sie werden

zum Beispiel in [4], [5] und [12] behandelt.

Abbildung 1: Schematische Darstellung der Verdunnungswelle im Bezugssystem des Wel-lenkopfes (ρpx “ xµq bezeichnet hier die Massendichte und ist analog zunBpxµq zu betrachten) [5, Fig. 4.4]

Verdunnungswellen sind einfache Wellen, aber nicht alle einfachen Wellen sind Verdun-

nungswellen. Die Verdunnungswellen bestehen, wie in Abbildung 1 zu sehen ist, aus drei

Teilen. Der Kopf11 der Verdunnungswelle ist der an das ungestorte Fluid angrenzende

Teil, welcher somit die hochste Geschwindigkeit innerhalb der Verdunnungswelle aufweist.

10engl.: self-similar11engl.: rarefaction head


Nach dem Inneren der Welle, in dem der Druck und die Dichte abfallen, - auch Facher12

genannt - folgt der Schweif13 der Verdunnungswelle. Dieser bewegt sich mit der geringsten

Geschwindigkeit innerhalb der Verdunnungswelle fort.

In den meisten Fallen ist die Geschwindigkeit des ungestorten Fluids bekannt und es

wird die Geschwindigkeit hinter dem Schweif der Verdunnungswelle gesucht. Dies wird in

Kapitel 3.3.1 fur den Spezialfall einer polytropen Zustandsgleichung behandelt.

Um nun die Entwicklung der physikalischen Großen entlang der Verdunnungswelle zu

betrachten, nutzt man aus, dass es sich bei Verdunnungswellen um Losungen einer selbst-

ahnlichen Stromung handelt und diese sich durch die Selbstahnlichkeitsvariable ξ “ xt(siehe Kap. 3.2) darstellen lassen. Stellt man die Orts- und Zeitableitung durch Ableitun-

gen nach ξ dar, erhalt man die hydrodynamischen Gleichungen (3.3), (3.4) und (3.5) in

Abhangigkeit von ξ.

Bt “ BBξ

BξBt “

´Btx

t

¯ BBξ “ ´ξ

t

BBξ

Bx “ BBξ

BξBx “

´Bx

x

t

¯ BBξ “ 1

t

BBξ

Die Gleichung fur die Erhaltung der Ruhemasse

BBt pγnBq ` ∇ pγnBvq “ 0 (3.3)

wird im eindimensionalen Fall zu

γ BtnB ` γv BxnB ` γ3nB Btv ` γnB

`γ2v ` 1

˘Bxv

“ ´γξ

t

BnB

Bξ ` γv

t

BnB

Bξ ` γ3nB

ˆ´ξ

t

BvBξ

˙` nBγ

t

`γ2v ` 1

˘ BvBξ

“ pv ´ ξqBnB

Bξ ` nBγ2 rpv ´ ξq ` 1s Bv

Bξ “ 0. (3.13)

Aus den Erhaltungsgleichungen der Impulsdichte und der Energiedichte

BBt re ` ps γ2v ` ∇

re ` ps γ2v2 ` p

(“ 0 (3.4)

BBt

re ` ps γ2 ´ p

(` ∇ re ` ps γ2v “ 0 (3.5)

12engl.: rarefaction fan13engl.: rarefaction tail

13

erhalt man im eindimensionalen Fall durch Ausmultiplizieren

BBt

re ` ps γ2 ´ p

(` Bx re ` ps γ2v “ 0

ˇˇˇ ¨ v

´ BBt re ` ps γ2v ` Bx

re ` ps γ2v2 ` p

(“ 0

v Btp ` Bxp ` pe ` pqγ2 Btv ` pe ` pqγ2v Bxv “ 0

ô ´vξ

t

BpBξ ` 1

t

BpBξ ` pe ` pqγ2

„´ξ

t

BvBξ ` v

t

BvBξ

“ 0

ô pe ` pqγ2pv ´ ξqBvBξ ` p1 ´ vξqBp

Bξ “ 0. (3.14)

Eine dritte Gleichung lasst sich aus der thermodynamischen Beziehung

c2S “ nB

e ` p

ˆ BpBnB

˙

s

ô c2S “ nB

e ` p

ˆBpBξ

BξBnB

˙

s

ô BpBξ “ pe ` pq

nB

c2SBnB

Bξ (3.15)

herleiten.

Die physikalischen Großen entwickeln sich also entlang einer Verdunnungswelle uber

drei nicht-lineare gewohnliche Differentialgleichungen (3.13), (3.14) und (3.15), die im

Allgemeinen numerisch gelost werden mussen.

Um dennoch etwas uber die Verdunnungswelle auszusagen, kann man aus (3.13), (3.14)

und (3.15) ein Gleichungssystem der Form

A ¨ x “

¨˚

pv ´ ξq nBγ2 rpv ´ ξq ` 1s 0

0 pe ` pqγ2pv ´ ξq p1 ´ vξqpe`pqc2

S

nB0 ´1

˛‹‚¨ Bξ

¨˚nB

v

p

˛‹‚“ 0

aufstellen und die lokale Schallgeschwindigkeit cS innerhalb der Verdunnungswelle berech-

nen. Dafur fordert man detA “ 0, um eine nicht-triviale Losung zu erhalten.

detA “ ´pe ` pqγ2pv ´ ξq2 ` pe ` pqc2SnB

nB

“γ2vpv ´ ξq ` 1

‰¨ p1 ´ vξq “ 0

ô pv ´ ξq21 ´ vξ

“ c2S

„v2 ´ vξ ` 1

γ2

ôˆ

v ´ ξ

1 ´ vξ

˙2

“ c2S

ô cS “ ˘ v ´ ξ

1 ´ vξ(3.16)


Das Vorzeichen von (3.16) gibt an, ob sich die Verdunnungswelle nach links (´) oder rechts

(`) bewegt.

In Kapitel 3.2 wurde erwahnt, dass sich ξ als Fortbewegungsgeschwindigkeit interpre-

tieren lasst. Die Geschwindigkeit fur den Kopf und den Schweif der Verdunnungswelle ist

somit durch ξ gegeben, welches man durch Invertieren von (3.16) erhalt. Es ergibt sich

ξ “ v ¯ cS

1 ¯ vcS. (3.17)

Bewegt sich hier jedoch das Fluid nach links ist das Vorzeichen ` und nach rechts ´. v

ist die Geschwindigkeit des ungestorten Fluids vor dem Kopf oder die Geschwindigkeit

hinter dem Schweif der Verdunnungswelle, je nachdem ob die Geschwindigkeit des Kopfes

ξK oder des Schweifs ξS berechnet werden soll. Ist zum Beispiel die Geschwindigkeit v des

Fluids vor dem Kopf der Verdunnungswelle 0, propagiert dieser mit Schallgeschwindigkeit

ξK “ ¯cS .

3.3.1. Die Verdunnungswelle bei einer polytropen Zustandsgleichung

Als Spezialfall soll nun kurz das polytrope Gas erwahnt werden. Bei dieser Art von Fluiden

ist es moglich, uber die Riemann Invarianten die Geschwindigkeit hinter dem Schweif der

Stoßwelle zu bestimmen. Dieser Ausdruck wird dann in der in Kapitel 3.5.1 kurz vorge-

stellten Methode verwendet, um die Entwicklung eines polytropen Fluids zu beschreiben.

Die polytrope Zustandsgleichung hat die Form

p “ K nΓB

mit dem adiabatischen Index des Fluids Γ und der polytropen Konstante K. Fur solch

ein Fluid lasst sich die Schallgeschwindigkeit des Fluids cS aus der Zustandsgleichung

herleiten.

c2S “ KΓpΓ ´ 1qnΓ´1B

pΓ ´ 1q ` KΓnΓ´1B

Einfache Wellen sind mit den Eigenwerten λ˘ verknupft. Mit dem Ausdruck fur das

Quadrat der Schallgeschwindigkeit lassen sich nun die Riemann-Invarianten J˘ aus (B.4)

und (B.5) berechnen. Es ergibt sich

J˘ “ˆ1 ` v

1 ´ v

˙«pΓ ´ 1q 1

2 ` cS

pΓ ´ 1q 12 ´ cS

ff˘2pΓ´1q´ 12

“ konst.

Da die Riemann-Invarianten konstant entlang der Fluid-Linien sind, ist es nun moglich

die Geschwindigkeiten vor (va) und hinter (vb) der Verdunnungswelle miteinander in Be-

ziehung zu setzen und bei gegebenem va ein Ergebnis fur die Geschwindigkeit des Fluids

15

hinter dem Schweif der Verdunnungswelle vb zu erhalten14.

ˆ1 ` va

1 ´ va

˙«pΓ ´ 1q 1

2 ` cSppaqpΓ ´ 1q 1

2 ´ cSppaq

ff˘2pΓ´1q´ 12

“ konst. “ˆ1 ` vb

1 ´ vb

˙«pΓ ´ 1q 1

2 ` cSppbqpΓ ´ 1q 1

2 ´ cSpp ´ bq

ff˘2pΓ´1q´ 12

ôˆ1 ` va

1 ´ va

˙«pΓ ´ 1q 1

2 ` cSppaqpΓ ´ 1q 1

2 ´ cSppaqpΓ ´ 1q 1

2 ´ cSppbqpΓ ´ 1q 1

2 ` cSppbq

ff˘2pΓ´1q´ 12

loooooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooooonA˘ppbq

“ 1 ` vb

1 ´ vb

ô vb “ p1 ` vaqA˘ppbq ´ p1 ´ vaqp1 ` vaqA˘ppbq ` p1 ´ vaq (3.18)

3.4. Stoßwellen

Im Gegensatz zu Verdunnungswellen, uber denen die Dichte und der Druck stetig abfallen,

gibt es auch Wellen, bei denen ein abrupter unstetiger Abfall der physikalischen Großen,

wie der Geschwindigkeit, des Drucks und der Baryondichte stattfindet und somit eine

Unstetigkeitsstelle entsteht. Zu diesen unstetigen Wellen15 gehoren die Stoßwellen, die in

[5], [4], [13] und [12] ausfuhrlich diskutiert werden. Befindet man sich im Bezugssystem

der Stoßwelle, gibt es, wie in Abbildung 2 zu sehen, einen unbeeinflussten Bereich vor und

einen beeinflussten Bereich nach der Stoßwelle, die beide durch eine Unstetigkeitsstelle

getrennt sind.

Abbildung 2: Schematische Darstellung der Stoßwelle (ρpx “ xµq bezeichnet hier die Mas-sendichte und ist analog zu nBpxµq zu betrachten) [5, Fig. 4.6]

Die Unstetigkeitsstelle ist auch der Grund, warum die differentiellen Erhaltungsglei-

chungen der relativistischen Hydrodynamik (3.1) nicht direkt zur Beschreibung der Stoß-

welle genutzt werden konnen. Um nun doch etwas uber die Unstetigkeitsstelle aussagen

14Diese ist nicht zu verwechseln mit der im vorigen Kapitel 3.3 vorgestellten Fortbewegungsgeschwindigkeitder Welle an sich.

15engl.: discontinous waves


zu konnen, fugt man jeweils eine willkurliche Funktion f , beziehungsweise λν in die Er-

haltungsgleichungen (3.1) ein:

f BµNµBpxµq “ 0 λν BµT µνpxµq “ 0

Mit Hilfe der Produktregel erhalt man die Gleichungen

Bµ`fN

µB

˘“ f BµNµ

Bpxµqloooooomoooooon“0

`NµB pBµfq und Bµ pT µνλνq “ λν BµT µν

loooomoooon“0

`T µν pBµλνq ,

die nun uber ein Vierer-Volumen integriert werden.

ż

V

Bµ`fN

µB

˘d4x “

ż

V

NµB pBµfq d4x

und (3.19)ż

V

Bµ pT µνλνq d4x “ż

V

T µν pBµλνqd4x

Als nachstes wendet man den Satz von Stokes auf die linken Terme an. Man erhalt als

Ergebnis

ż

V

Bµ`fN

µB

˘d4x “

¿

BV

fNµBnµ dξ und

ż

V

Bµ pT µνλνqd4x “¿

BV

T µνλνnµ dξ

mit dem Vierer-Vektor nµ, der senkrecht auf der Oberflache des Vierer-Volumens BV steht.

Fur ihn gilt nµnµ “ ´1. Im Limit limVÑ0 wird das Vierer-Volumen (im Bezugssystem der

Stoßwelle) auf einen Punkt verkleinert und es verschwinden schließlich die Integrale (3.19),

wahrend fur die Oberflachenintegrale die Großen auf beiden Seiten der Unstetigkeitsstelle

berechnet werden mussen.

0 “¿

BV

”N

µBa

´ NµBb

ıfnµ dξ und 0 “

¿

BV

“T µνa ´ T

µνb

‰λνnµ dξ

Die willkurlichen Funktionen f und λν konnen jetzt so gewahlt werden, dass sie zusam-

men mit dem Oberflachenintegral verschwinden. Fuhrt man nun die Notation

vQw :“ Qa ´ Qb

ein, so erhalt man die relativistischen Rankine-Hugoniot Grenzbeziehungen

vNµBwnµ “ 0 (3.20)

und

vT µνwnµ “ 0. (3.21)

17

Als nachstes wird der eindimensionale Fall im Ruhesystem der Stoßwelle betrachtet

(nµ “ p0, 1, 0, 0q).Somit ist der Beitrag aus (3.20)

NµBa

nµ “ NµBbnµ

ô nBauµanµ “ nBb

uµb nµ

ô nBaγava “ nBb

γbvb, (3.22)

der uber die Definition des Baryonflusses j “ nBγv zu

ja “ jb

vereinfacht werden kann.

Da der Baryonfluss invariant unter Lorentz-Transformationen in x-Richtung ist, kann

man fur den Normalvektor nµ in (3.20) ein Bezugssystem annehmen, in dem sich die

Stoßwelle mit der Koordinatengeschwindigkeit vsh entlang der x-Achse bewegt. In diesem

System wird der Normalvektor nµ durch

nµ “ γshp´vsh, 1, 0, 0q mit γsh “ 1

1 ´ v2sh(3.23)

dargestellt.

Der Baryonfluss kann nun in der Form

j2 “ γ2shD2apvsh ´ vaq2 “ γ2shD

2b pvsh ´ vbq2 (3.24)

mit D “ γnB geschrieben werden. Fuhrt man nun die Variable ζ “ γshj ein, lasst sich

(3.22) mit (3.24) zum kompakteren Ausdruck

21

D

:“ ´ζvvw (3.25)

zusammenfassen.

Die Beitrage aus (3.21) sind im eindimensionalen Fall

T 0 µa nµ “ T

0 µb nµ und T 1 µ

a nµ “ T1 µb nµ.

Durch Einsetzen der Definition des Energie-Impuls-Tensors (3.2) ergibt sich schließlich

pea ` paqγ2ava “ peb ` pbqγ2b vb und pea ` paqγ2av2a ` pa “ peb ` pbqγ2b v2b ` pb,

beziehungsweise

vhγvw “ ζvpw und1hγ ´ p

D

9“ ζvpvw. (3.26)


mit der Definition der spezifischen freien Enthalpie h “ e ` p

nB

. Zusammen mit (3.22) sind

dies die Grenzbeziehungen von Taub.

3.4.1. Das Taub Adiabat

Die Grenzbeziehungen von Taub (3.22), (3.26) lassen sich auch in einer anderen Weise

darstellen. Quadriert man (3.22) und nutzt die Definition von j, ergibt sich

vj2w “ 0.

Da fur den Baryonfluss j “ nBaγava “ nBbγbvb gilt, werden (3.26) zu

j2 “ ´ vpwvhnBw und vhγw “ 0. (3.27)

j2 kann man nun noch weiter umschreiben.

j2 “ ´ vpwvhnBw

ˇˇˇ ¨ˆ

ha

nBa

` hb

nBb

˙¨ vhnBw

ô j2 ¨ˆ

ha

nBa

´ hb

nBb

˙ˆha

nBa

` hb

nBb

˙

loooooooooooooooooomoooooooooooooooooonh2a

n2Ba

´h2b

n2Bb

“ ´ˆ

ha

nBa

` hb

nBb

˙¨ vpw

ˇˇˇj

2 “ n2Ba

γ2av2a “ n2

Bbγ2b v

2b

ô h2aγ2av

2a ´ h2bγ

2b v

2b “ ´

ˆha

nBa

` hb

nBb

˙¨ vpw

ˇˇˇvhγw2 “ 0

ô h2aγ2av

2a ´ h2bγ

2b v

2b ´ ph2aγ2a ´ h2bγ

2b qlooooooomooooooon

“0

“ ´ˆ

ha

nBa

` hb

nBb

˙¨ vpw

ˇˇˇγ

2 “ 1

1 ´ v2

ô h2av2a

1 ´ v2a´ h2bv

2b

1 ´ v2b´ h2a

1 ´ v2a` h2b

1 ´ v2b“ ´

ˆha

nBa

` hb

nBb

˙¨ vpw

ô h2a ´ h2b “ˆ

ha

nBa

` hb

nBb

˙¨ vpw

Am Ende erhalt man die relativistische Verallgemeinerung des klassischen Hugoniot

Adiabates fur Fronten Newtonscher Stoßwellen, das Taub Adiabat :

vh2w “ˆ

ha

nBa

` hb

nBb

˙¨ vpw (3.28)

19

3.4.2. Die Geschwindigkeit hinter einer Stoßwelle

Die ersten beiden Terme der Gleichung (3.24), welche den Baryonfluss mit der Geschwin-

digkeit der Stoßwelle vsh verknupfen, lassen sich nutzen, um einen Ausdruck fur die in den

Grenzbeziehungen (3.25) und (3.26) verwendete Variable ζ “ γshj zu erhalten, der nur

noch abhangig von Großen vor der Stoßwelle ist.

Unter Verwendung von

j “γshDapvsh ´ vaq

ô Davsh “1

ζ` Dava

erhalt man eine quadratische Gleichung in ζ

j2 “γ2shD2apvsh ´ vaq2

ô j2

D2a

“γ2shv2sh ´ 2γshvavsh ´ γ2shv

2a ´ 2γ2sh ` 2γ2sh

ô 0 “ ´ γ2shp1 ´ v2shqloooooomoooooon“1

´2γ2shvavsh ´ γ2shp1 ´ v2aq ` 2γ2sh ´ j2

D2a

ô 0 “ ´ 1 ` 2γ2shp1 ´ vavshq ´ γ2shp1 ´ v2aq ´ j2

D2a

ˇˇˇ ¨ 1

j2

ô 0 “ ´ ζ2p1 ´ v2aq ` 2ζ2

DapDa ´ vaDavshq ´ 1

Da´ 1

j2

ô 0 “ ´ ζ2p1 ´ v2aq ` 2ζ2

DapDa ´ va

ζ´ Dav

2aq ´ j2 ` D2

a

j2D2a

ô 0 “ζ2p1 ´ v2aq ´ 2vaζ

Da´ j2 ` D2

a

j2D2a

,

die als Ergebnis

ζ˘ppq “ γsh

jppq “vaDa

˘b

1D2

a` p1´v2aq

j2

1 ´ v2a. (3.29)

liefert.

Mit Hilfe der Grenzbeziehungen (3.25) und (3.26) ist es jetzt moglich die Geschwindig-

keit vb hinter der Stoßwelle zu berechnen. Man beginnt mit der ersten Grenzbeziehung aus

(3.26):

vhγvw “ζvpw

ô vb “haγa ` ζvpwhbγb

(3.30)


Nun berechnet man einen Ausdruck fur haγa aus der zweiten Grenzbeziehung in (3.26)

1hγ ´ p

D

9“ζvpvw

ô hbγb ´ haγa ´1 p

D

9“ζvpvw

ô hbγb “ζvpvw ` haγa ´ pb

Db` pa

Da

und setzt fur 1Da den Ausdruck

21

D

:“ ´ ζvvw

ô 1

Da“ζvb ´ ζva ` 1

Db

ein, den man aus (3.25) gewinnt. haγa wird somit zu

hbγb “ζvpvw ` haγa ´ pb

Db` pa

Da

ô hbγb “vpwˆζva ` 1

Da

˙.

Wenn man hbγb nun in (3.30) einsetzt, ist die Stoßgeschwindigkeit nur noch von den Großen

vor der Stoßwelle und dem Druck als freie Variable abhangig.

vbppq “ haγava ` vpwζ˘,appqhaγa ` vpw

´ζ˘,appqva ` 1

Da

¯ (3.31)

Sofern man einen Ausdruck fur die freie Enthalpie h kennt, ist der Baryonfluss durch

(3.27) gegeben und die Geschwindigkeit hinter einer Stoßwelle kann berechnet werden.

Da bis jetzt die Geschwindigkeit unabhangig von der Zustandsgleichung berechnet wur-

de, muss diese nun verwendet werden, um einen Ausdruck fur h zu finden. Dies wird

beispielhaft fur eine polytrope Zustandsgleichung in Kapitel 3.4.3 behandelt.

3.4.3. Die Stoßwelle bei einer polytropen Zustandsgleichung

Wie in Kapitel 3.3.1 kann man nun den Spezialfall eines Fluides mit polytroper Zustands-

gleichung betrachten. Fur dieses Fluid ist die Baryondichte mit dem Druck p, der freien

Enthalpie h und dem adiabatischen Index Γ uber

nB “ Γp

pΓ ´ 1qph ´ 1q

verknupft.

Setzt man diese Verknupfung nun in das Taub-Adiabat (3.28) ein, erhalt man die qua-

21

dratische Gleichung

h2b

ˆ1 ` pΓ ´ 1qvpw

Γpb

˙

loooooooooomoooooooooonα

´ pΓ ´ 1qvpwΓpblooooomooooonβ

hb ` havpwnBa

´ h2alooooomooooon

ε

“0

ô h2b ´ β

αhb ` ε

α“0

Man erhalt fur hb zwei Nullstellen

hb˘ “ β

2α˘

aβ2 ´ 4αε

2α(3.32)

von denen eine aufgrund der Bedingungen

1 ą Γ ´ 1

Γ

pb ´ pa

pbund ha ą pa ´ pb

nBa

immer negativ ist und verworfen werden kann. Die andere Nullstelle gibt die freie Enthalpie

hinter einer Stoßwelle an.

3.5. Losung des eindimensionalen Riemann Problems

Unter einem Riemann Problem versteht man ein Anfangswertproblem (t “ 0) der Form

Apx, 0q “

$’&’%

L fur x ă 0

R fur x ą 0

,

in dem der linke Anfangszustand des Systems durch L und der rechte Anfangszustand des

Systems durch R charakterisiert wird16.

Die Losung dieses Problems ergibt ein Stromungsprofil der charakteristischen physi-

kalischen Großen fur einen gewahlten Zeitpunkt t uber das System der Lange L. Zum

Zeitpunkt t “ 0 existieren nur die beiden Anfangszustande L und R, die durch eine Uns-

tetigkeitsstelle von einander getrennt sind. Das System entwickelt sich uber die Zeit t wie in

Abbildung 3 dargestellt und es entstehen vier Losungszonen, die je nach Wahl der Anfangs-

werte und naturlich auch der benutzten hyperbolischen Gleichungen, Verdunnungswellen

(Kapitel 3.3), Stoßwellen (Kapitel 3.4) oder Unstetigkeitsstellen sein konnen.

16L “ pnB,L, vL, pLqJ und R “ pnB,R, vR, pRqJ


t

x

WÐ C WÑ

L L˚ R˚ R

Abbildung 3: Orts-Zeit Darstellung der Losung des Riemann Problems (Riemann Facher)

Zusammenfassend ergibt sich also fur Zeiten großer null eine Losung, die aus funf Teilen

besteht. Zum einen sind die Anfangszustande (L, R) vorhanden. Von da aus zerfallt die

Unstetigkeitsstelle in zwei Wellen (WÐ, WÑ), die sich auf die Anfangszustande zu bewegen.

Hinter den Wellen bilden sich von der Unstetigkeitsstelle17 C getrennte neue Zustande L‹

und R‹ (Abbildung 5). Diese mussen beide den selben Druck pL‹ “ pR‹ “ p‹ und auch

dieselbe Geschwindigkeit vL‹pp‹,Lq “ vR‹pp‹,Rq “ v‹ haben, wahrend die Baryondichte

in beiden Zustanden unterschiedlich sein kann. Dies lasst sich insgesamt schematisch als

L WÐ L‹ C R‹ WÑ R fur t ą 0

darstellen.

Ist der Druck des Anfangszustandes L, beziehungsweise R großer als der im Zustand

L‹ bzw. R‹, so bildet sich eine Verdunnungswelle17 (R) in Richtung des jeweiligen An-

fangszustandes. Ist der Druck eines der Anfangszustande jedoch kleiner, so entsteht eine

Stoßwelle (S ).

W “

$’&’%

R falls p ď p‹

S falls p ą p‹

(3.33)

Die Zwischenzustande L‹ und R‹ lassen sich nun im Fall einer Verdunnungswelle uber

die Selbstahnlichkeit und im Fall einer Stoßwelle uber die Rankine-Hugoniot Grenzbezie-

hungen mit der Unstetigkeitsstelle verbinden. Es gibt somit drei18 mogliche Losungen, die

das gesamte System je nach Anfangszustanden annehmen kann. Sie sind in Abbildung 4

(S. 24) dargestellt.

17Aus konventionellen Grunden wird die Unstetigkeitsstelle mit einem C (engl.: contact discontinuity) undim Folgenden die Verdunnungswelle mit einem R (engl.: rarefaction wave) gekennzeichnet.

18Eigentlich 4 Losungen, wenn man (3.35) und (3.36) jeweils als einzelne Losungen betrachtet

23

Die erste Moglichkeit ist, dass sich zwei Stoßwellen bilden, die jeweils in die Richtung

der Anfangszustande laufen.

L SÐ L‹ C R‹ SÑ R (3.34)

Moglichkeit zwei ist die Bildung einer Stoß- und einer Verdunnungswelle.

L RÐ L‹ C R‹ SÑ R (3.35)

oder

L SÐ L‹ C R‹ RÑ R (3.36)

Als letzte Moglichkeit konnen sich auch zwei Verdunnungswellen bilden, die auf die An-

fangszustande zulaufen (Abbildung 5, S. 26).

L RÐ L‹ C R‹ RÑ R (3.37)

Leider gibt es bis zum jetzigen Zeitpunkt weder fur den Newtonschen noch fur den rela-

tivistischen Fall eine geschlossene analytische Losung fur das allgemeine Riemann Problem

in einer Dimension (und somit naturlich auch nicht fur hohere Dimensionen). Was jedoch

existiert, sind numerische Losungen beliebiger Genauigkeit, die man aus diesem Grund als

exakte Riemann Solver bezeichnet. Der erste allgemeine exakte Riemann Solver fur ein

relativistisches ideales Fluid wurde 1993 von Martı und Muller [12] entwickelt und wird

im folgenden Kapitel kurz skizziert.

Weitere Informationen zum Riemann Problem sind in [5], [14], [12], [2] und [15] zu

finden.


0

1

2

3

4

50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Baryondichte

nB

x

0 0.5 1

SÐ C SÑ

(a)

0

2

4

6

8

10

12

14

160 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Baryondichte

nB

x

0 0.5 1

RÐ C RÑ

(b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Baryondichte

nB

x

0 0.5 1

RÑ C SÐ

(c)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Baryondichte

nB

x

0 0.5 1

SÐ C RÑ

(d)

Abbildung 4: Beispielbilder der unterschiedlichen Losungen des Riemann Problems unterVerwendung der von Martı und Muller [12] entwickelten und in Kapitel 3.5.1kurz vorgestellten exakten Losung. (Darstellung stark angelehnt an [5, Fig.4.11])

25

3.5.1. Der exakte Riemann Solver fur ein polytropes Gas

In diesem Abschnitt wird knapp der exakte Riemann Solver fur ein ideales Gas mit einem

adiabatischen Index Γ (siehe [12]) zusammengefasst.

Das allgemeine Losungskonzept ist folgendes:

1. Berechne den Druck p‹ und die Geschwindigkeit v‹.

2. Verbinde L und L‹ entweder mit einer Stoß- oder Verdunnungswelle.

3. Verbinde R und R‹ entweder mit einer Stoß- oder Verdunnungswelle.

4. Verbinde L‹ und R‹ uber die Unstetigkeitsstelle

Die Losung ist selbstahnlich. Sie ist dementsprechend nur abhangig von den Anfangs-

zustanden L und R, sowie dem Verhaltnis von Ort x und Zeit t zum Ort x0 der Unstetig-

keitsstelle und dem Anfangszeitpunkt t0. Wie schon in Kapitel 3.5 erwahnt, sind der Druck

p‹ und die Geschwindigkeit v‹pp‹q der Zwischenzustande L‹ und R‹ gleich, wahrend die

Baryondichte einen Sprung macht. Sie lassen sich uber die Rankine-Hugoniot Grenzbezie-

hungen, beziehungsweise uber die Selbstahnlichkeit mit der Unstetigkeitsstelle verbinden.

Uber vL‹pp‹,Lq “ vR‹pp‹,Rq “ v‹ kann nun mit Hilfe numerischer Verfahren der Druck

p‹ bestimmt werden.

Bei diesem Riemann Solver wird aus pL und pR ein maximaler Druck pmax und ein

minimaler Druck pmin ermittelt. Mit diesen Drucken berechnet man jeweils die Geschwin-

digkeiten vS‹ (mit S “ L oder S “ R) hinter der jeweiligen, uber (3.33), bestimmten

Welle auf beiden Seiten der Unstetigkeitsstelle. Sind die Geschwindigkeiten vS‹pp‹q gleich,so hat man sowohl p‹ als auch v‹ gefunden.

Im Fall des idealen Gases ist fur eine Verdunnungswelle die Geschwindigkeit hinter der

Welle uber (3.18) gegeben:

vb “ p1 ` vaqA˘ppbq ´ p1 ´ vaqp1 ` vaqA˘ppbq ` p1 ´ vaq (3.18)

Fur eine Stoßwelle ist die Geschwindigkeit hinter der Welle hingegen uber (3.31) zu

berechnen.

vbppq “ haγava ` vpwζ˘,appqhaγa ` vpw

´ζ˘,appqva ` 1

Da

¯ (3.31)

Hat man letztendlich p‹ gefunden, lassen sich die restlichen Großen der jeweiligen

Zustande dank der Selbstahnlichkeit der Losung ohne weitere Schwierigkeiten aus den

Anfangszustanden S bestimmen.

In Abbildung 4 ist als Beispiel ein Stromungsprofil der Variablen v, nB und p nach 0.5

Zeitschritten dargestellt, welches mit dem vorgestellten exakten Riemann Solver berechnet

wurde.


-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x

Druck pBaryondichte nB

Geschwindigkeit v

(a) t “ 0 : L R

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x

Druck pRestmassendichte ρGeschwindigkeit v

(b) t “ 0, 5 : L RÐ L‹ C R‹ SÑ R

Abbildung 5: Beispiel fur die zeitliche Entwicklung der Losung des Riemann Pro-blems unter Verwendung der von Martı und Muller [12] entwickelten undin Kapitel 3.5.1 kurz vorgestellten exakten Losung fur eine polytropeZustandsgleichung.

3.6. Israel-Stewart Theorie

Betrachtet man die Erhaltung der Baryonzahl (3.1) genauer und nutzt die Produktregel,

erhalt man

BµNµB “ nBBµuµ ` uµBµnB “ 0.

Im ersten Term taucht der Vierergradient der Geschwindigkeit (Expansionsrate)

Bµuµ “ Btγ ` Bxpγvxq ` Bypγvyq ` Bzpγvzq “ Θ

auf, der die lokale und temporare raumliche Anderung der makroskopischen Großen des

Fluids misst. Im zweiten Term befindet sich die mitbewegte Zeitableitung19 uµBµ, welcheauf die Baryondichte wirkt. Physikalisch beschreibt die Gleichung somit die Erhaltung

des lokalen Gleichgewichts und der Isotropie durch mikroskopische Prozesse innerhalb des

Fluids.

Ist der Vierergradient der Geschwindigkeit jedoch zu groß, schafft es das System nicht

mehr diesen innerhalb der betrachteten makroskopischen Zeitskala auszugleichen und so-

mit einen lokalen Gleichgewichtszustand zu erreichen. Damit also ein lokales Gleichgewicht

und damit auch die Isotropie des Systems erhalten bleibt, muss die Reaktionsrate der mi-

kroskopischen Prozesse im Fluid großer sein als der Geschwindigkeitsgradient. Da dies

jedoch in der Natur und dementsprechend auch beim Quark-Gluon-Plasma nicht der Fall

ist, wird die Betrachtung von Reibungprozessen (Dissipation) zwingend notwendig, um

das zu untersuchende System moglichst realitatsnah zu beschreiben.

Hierfur werden der Baryonfluss und der Energie-Impuls-Tensor um Terme erganzt, wel-

che die Abweichung vom Gleichgewicht charakterisieren und man erhalt allgemein die

19Die mitbewegte Zeitableitung wird im Ruhesystems des Fluids uµ “ p1, 0, 0, 0q zu uµBµ “ Bt.

27

Gleichungen20

NµB “ N

µBeq.

` δNµB “ N

µB ` ν

µB (3.38)

T µν “ T µνeq. ` δT µν “ euµuν ´ pp ` Πq∆µν ` W µuν ` W νuµ ` πµν , (3.39)

die fur νµB “ W µ “ Π “ πµν “ 0 wieder in die Darstellung eines idealen Fluids ubergehen.

∆µν “ ηµν úµuν stellt eine Projektion senkrecht zur Fluidgeschwindigkeit uµ dar und hat

somit die Eigenschaften eines Projektors (∆µλ∆νλ “ ∆µν ,∆µνuν “ 0). Der Energie-Impuls-

Tensor enthalt nun einen Term, der den lokalen isotropen Druck pp ` Πq “ ´1

3∆µνT

µν

beschreibt. Er besteht aus dem Druck p der im lokalen Gleichgewicht herrscht und einer

neuen Große, die ein Maß fur die Abweichung von p durch innere Reibung darstellt. Π

beschreibt also einen durch Dehnviskositat hervorgerufenen Druck.

Der Tensor πµν “ xxT µνyy ist die ’raumliche’, spurlose, symmetrische Projektion des

Energie-Impuls-Tensors senkrecht auf die Fluidgeschwindigkeit uµ. Es gilt allgemein

xxXµνyy ” ∆µρ∆νσ

„Xρσ ` Xσρ

2´ ∆ρσ∆

αβXαβ

3

. (3.40)

Damit hat der Tensor πµν die Eigenschaften πµν “ πνµ und πµνuν “ 0. Er beschreibt die

Scherviskositat.

Da in der Relativitatstheorie die Aquivalenz von Masse und Energie herrscht, ist es auch

moglich, dass Energie uber den Baryonfluss transportiert wird.

W µ “ ∆µαTαβuβ “ qµ ` pe ` pqνµB

NµBuµ

ist dementsprechend ein Maß fur den Energiestrom senkrecht zur Fluidgeschwindigkeit uµ

und beschreibt mit Hilfe des Warmeflusses qµ die senkrecht zur Bewegung des Fluidteil-

chens austretende Energie in Form von Warme. Die restliche Energie, die durch Fluktuatio-

nen aus dem Fluidteilchen entweicht, wird uber den Baryondiffusionsstrom νµB “ NBν∆

νµ

charakterisiert, wobei νµBuµ “ 0.

An diesem Punkt muss nun geklart werden, wie die Geschwindigkeit des Fluidteil-

chens uµ definiert ist. Es tritt die berechtigte Frage auf, ob sich uµ parallel zum Vierer-

Baryonstrom oder parallel zum Energiestrom bewegt, uber den die Energie in Form von

Warme ubertragen werden kann. Die gebrauchlichsten Herangehensweisen wurden von

Landau, Lifschitz [4] und Eckart vorgestellt. Das Bezugssystem, in dem uµ parallel zum

Energiestrom ist und somit die senkrechte KomponenteW µ verschwindet, wird als Landau-

Frame bezeichnet. Ist uµ hingegen parallel zum Vierer-Baryonstrom, verschwindet νµB und

die Konfiguration wird Eckart-Frame genannt.

Da in dieser Arbeit die Eigenschaften von Quark-Gluon-Plasma bei verschwindendem

chemischen Potential untersucht werden sollen, muss dementsprechend auch die Wahl

20Der Index eq. kennzeichnet die jeweilige Große im Gleichgewichtszustand (engl.: equilibrium) und es giltimmer nB “ nB,eq., e “ eeq..


des Frames fur das System geeignet sein. Wahlt man den Eckart-Frame, ist die Fluidge-

schwindigkeit parallel zum Vierer-Baryonstrom NµB “ nBu

µ “ pnBγ, nBγvq definiert. Da

die Baryondichte nB im Gleichgewicht verschwindet, ist somit die Definition des Vierer-

Baryonstroms NµB,eq. “ p0, 0, 0, 0q und damit auch die Definition der Fluidgeschwindigkeit

uµ nicht eindeutig. Der Landau-Frame hingegen birgt keinerlei solcher Probleme, weswegen

er fur die Beschreibung des Quark-Gluonen-Plasma gut geeignet ist und auch im weiteren

Verlauf der Arbeit verwendet wird.

Die Erhaltungsgleichungen (3.38), (3.39) im Landau-Frame lauten

NµB “ N

µBeq.

` δNµB “ N

µB ` ν

µB (3.41)

und

T µν “ T µνeq. ` δT µν “ euµuν ´ pp ` Πq∆µν ` πµν . (3.42)

Durch das Einfuhren der neuen Felder sind in den erhaltenen Stromen nun 14 Frei-

heitsgrade vorhanden. Es ist nun nicht mehr moglich das System alleine durch die zwei

Erhaltungsgleichungen (3.1) und die Zustandsgleichung p “ ppe, nBq zu beschreiben, die

nur zu funf Gleichungen fuhren.

Da die dissipativen Variablen durch die Fluidvariablen nB,v, p darstellbar sein mussen,

lasst sich das System wieder schließen, wenn man einen Ausdruck fur den Entropiestrom

findet, der jedoch einigen Einschrankungen unterliegen muss. Zum einen muss der zweite

Hauptsatz der Thermodynamik gelten und die Entropiedichte sµuµ somit im Gleichgewicht

maximal sein. Des Weiteren soll der Entropiestrom keine Ableitungen enthalten. Konstru-

iert man nun solch einen Entropiestrom, wird dieser, wie auch in (3.41) und (3.42), neue

Terme besitzen. In erster Ordnung sind diese Proportional zu uµ und nB. Man erhalt 3

neue Proportionalitatskonstanten. Diese in den Gleichungen auftauchenden Konstanten

ζ, η, σ ě 0 sind die Dehn- und Scherviskositat, sowie die Konduktivitat der Baryonzahl.

Man wird jedoch feststellen, dass das System fur kleine Storungen instabil wird und un-

physikalisch ist, da die Entwicklung in den Gleichgewichtszustand instantan erfolgt.

Dieses Problem wird gelost, in dem der Entropiestrom durch neuen Terme zweiter Ord-

nung im Warmefluss und in der Geschwindigkeit erweitert wird und dementsprechend wei-

tere neue Parameter, wie zum Beispiel Relaxationszeiten τi, eingefuhrt werden. Bisher war

es jedoch nicht moglich, eine Theorie zweiter Ordnung uber systematische Uberlegungen

zu entwickeln. Israel und Stewart haben darauf einen auf phanomenologischen Grundlagen

basierenden Entropiestrom aufgestellt, in dem die dissipativen Großen zweiter Ordnung

auftreten.

Damit der zweite Hauptsatz der Thermodynamik (Bµsµ ě 0) gilt und somit die Entropie

29

nicht geringer wird, mussen νµB, π

µν und Π den Israel-Stewart-Gleichungen

`Bt ` viBi

˘Π “ ´Π ´ ΠNS

γτζ(3.43)

`Bt ` viBi

˘πµν “ ´πµν ´ π

µνNS

γτη´ 1

γpπµαuν ` πναuµquρBρuα (3.44)

`Bt ` viBi

˘νµ “ ´νµ ´ ν

µNS

γτσ´ 1

γpqαuρBρuαquµ (3.45)

genugen. Sie beschreiben die Entwicklung von νµB, Π, π

µν , wobei die Kopplung der dissi-

pativen Großen untereinander in dieser Arbeit vernachlassigt wird. Dabei sind

τζ ” β0ζ, τσ ” β1σ, τη “ 2β2η. (3.46)

die jeweiligen Relaxationszeiten.

ΠNS ” ´ζ∆µνBµuν , πµνNS ” 2η xxBµuνyy , ν

µB, NS ” σ∆µρTBρ

´µB

T

¯(3.47)

bezeichnen die Navier-Stokes-Großen, die Landau und Lifschitz im Rahmen ihrer relativis-

tischen Erweiterung der Navier-Stokes-Gleichung berechnet haben. Die zeitliche Entwick-

lung der dissipativen Strome Π, πµν , νµ liefert nun die benotigten fehlenden 9 Gleichungen,

um das System (3.41), (3.42) zu schließen.

Ausgehend von der Annahme, dass die Gradienten der Fluidvariablen nicht zu groß

werden, lassen sich (3.44) und (3.45) uber den linearen Teil ihrer Ortskomponenten ap-

proximieren.

`Bt ` viBi

˘πij “ ´πij ´ π

ijNS

γτη(3.48)

`Bt ` viBi

˘νi “ ´νi ´ νiNS

γτσ(3.49)

Man kann schließlich mit den Erhaltungsgleichungen (3.1) des erweiterten Vierer-Baryon-

stroms (3.41) und des erweiterten Energie-Impuls-Tensors (3.42) mit der konservativen

Formulierung der idealen relativistischen Fluidgleichungen (3.7) die Bewegungsgleichun-

gen der dissipativen relativistischen Hydrodynamik in Matrixform aufstellen:

Bt

¨˚

D ` ν0B

mi ´ Π∆0i ` π0i

E ´ Π∆00 ` π00

˛‹‚` Bj

¨˚

Dvj ` νjB

mivj ` pδij ´ Π∆ij ` πij

mj ´ Π∆0j ` π0j

˛‹‚“ 0 (3.50)

Die dissipativen Variablen entwickeln sich gemaß der Israel-Stewart Gleichungen (3.43),

(3.48) und (3.49).

Im Verlauf dieser Arbeit wird ein Quark-Gluon-Plasma bei verschwindender Baryon-


dichte betrachtet. Dementsprechend ist der Baryondiffusionsstrom νB zu vernachlassigen.

Die Dehnviskositat ζ lasst sich approximativ als Funktion der Scherviskositat η und der

Schallgeschwindigkeit cs darstellen

ζ “ κ

ˆ1

3´ c2s

˙2

η, (3.51)

wobei der Koeffizient κ in der Literatur von κ “ 15 [16] bis κ “ 75 [17] variiert. Somit muss

fur die Simulationen nur η als Koeffizient vorgegeben werden, wenn dissipative Effekte

berucksichtigt werden sollen.

3.6.1. Die Israel-Stewart Theorie in 1+1 Dimensionen

Im vorherigen Kapitel wurde schon erwahnt, dass fur die Betrachtung von Quark-Gluon-

Plasma bei verschwindender Baryondichte der Baryondiffusionsstrom vernachlassigt wer-

den kann und nur noch die Großen ΠNS und πµν betrachtet werden mussen.

Da im lokalen Ruhesystem uµBµuν “ Btuν “ 0 gilt, lasst sich die Navier-Stokes-Große

der Dehnviskositat vereinfachen zu:

ΠNS “ ´ζ r∆µνBµuνs“ ´ζ rpηµν ´ uµuνqBµuνs“ ´ζ rBνuν ´ uνuµBµuνs“ ´ζ rBνuνs“ ´ζΘ

Berucksichtigt man nun nur eine Ortsdimensionen, das heißt uµ “ γp1, v, 0, 0q, erhaltman mit Hilfe der zeitlichen und raumlichen Ableitungen von γ,

Btγ “ Bt1

1 ´ v2“ γ3vpBtvq und Bxγ “ γ3vpBxvq,

den Ausdruck

ΠNS “ ´ζΘ

“ ´ζ rBtγ ` Bxpγvqs“ ´ζ

“γ3vpBtvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq

‰. (3.52)

Da das System nur in x-Richtung betrachtet wird, mussen fur die Dehnviskositat nur

die Großen π00NS, π

0xNS, π

x0NS und πxx

NS berechnet werden. Mit der Definition (3.40) erhalt man

31

allgemein

πµνNS “ 2η xxBµuνyy

“ 2η∆µρ∆νσ

„Bρuσ ` Bσuρ2

´ ∆ρσ∆αβBαuβ3

“ 2η

«Bµuν ` Bνuµ ´ uµBρuρuν ´ uνBσuσuµ

2´ ∆µν

`Bβuβ ´ uβuαBαuβ

˘

3

ff

“ 2η

„Bµuν ` Bνuµ ´ uµBρuρuν ´ uνBσuσuµ2

´ Θ∆µν

3

.

Da πµν symmetrisch ist und außerdem

πµνuν “0

ô πµ0u0 “ ´ πµiui

gilt, erhalt man als Relation zwischen den unterschiedlichen Komponenten

πi0u0 “ ´ πijuj

und

π00u0 “ ´ π0juj “ πij ujui

u0.

Da diese Relationen auch fur πµνNS gelten, benotigt man demnach fur 1+1 Dimensionen nur

πxxNS, um auf alle relevanten Bereiche von π

µνNS zugreifen zu konnen.

πxxNS “ 2η

„´Bxpγvq ´ γvpγBt ` γvBxqpγvq ` p1 ´ γ2v2qΘ

3

“ 2ηpγ3v2 ` γq“´Bxv ´ γ2v tpBtvq ` vpBxvqu

‰

` 2

3η“p1 ` γ2v2qpγ3v2Btvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq

‰(3.53)

Ausfuhrlichere Informationen zur Israel-Stewart Theorie sind in [1], [2], [18], [19] und

naturlich in [20] zu finden.


33

4. Quantenchromodynamik

Um das Jahr 1930 kam in der Physik die Frage auf, was den Atomkern (Nukleus) zusammen

halt, der wie man mittlerweile wusste, aus Protonen und Neutronen (Nukleonen) besteht.

Beantwortet wurde diese Frage mit der Entdeckung der starken Wechselwirkung. Sie ist

eine kurzreichweitige Kraft, welche die spater entdeckten Quarks in den Protonen und

Neutronen bindet. Die Teilchen, welche die starke Wechselwirkung ubermitteln, bezeich-

nete man als Gluonen und die Teilchen, die wie die Protonen und Neutronen aus Quarks

und Gluonen bestehen, als Hadronen. Auf diesen neuen Entdeckungen aufbauend, wur-

de eine neue Theorie entwickelt, welche die starke Wechselwirkung zwischen Quarks und

Gluonen beschreibt, die Quantenchromodynamik (QCD). Die Quantenchromodynamik ist

somit die fundamentale Theorie auf nuklearer Ebene.

In dieser neuen Theorie ist die Kopplungskonstante zwischen den Teilchen, im fur uns

relevanten Bereich, nicht - wie in der Quantenelektrodynamik - konstant. Sie steigt mit

wachsendem Abstand der Quarks und somit kleiner werdender Energie an, weshalb die

Quarks und Gluonen innerhalb der Hadronen eingeschlossen sind. In diesem, als confined

bezeichneter Zustand, bilden sie die Bausteine unseres Universums. Innerhalb eines Ha-

drons, also bei geringem Abstand und hoher Energie, konnen sich die Quarks und auch

die Gluonen jedoch frei bewegen (asymptotische Freiheit).

Die typische Energieskala auf der die quantenchromodynamischen Prozesse stattfinden,

liegt bei ΛQCD „ 200 MeV. In diesem Bereich wird ein Phasenubergang erwartet, der also

bei einer Temperatur von T „ ΛQCD „ Op1012q K beziehungsweise bei einer Baryondichte

von nB „ Λ3QCD „ 1 fm´3 liegt. Abbildung 6 zeigt eine schematische Darstellung der

Phasenubergange innerhalb der Quantenchromodynamik.

µB

T

„ 0.2 GeV

„ 1 GeV

Quark-Gluon-Plasma

HadronischePhase

CSC

Normale Atomkerne

Schwerionenkollis

ionen

FruhesUniversum

Neutronen Stern

Abbildung 6: Schematische Darstellung des Phasendiagramms in der QCD (stark ange-lehnt an [2, FIG. 1])

Die einfachste Moglichkeit ist, die QCD in Abhangigkeit von zwei externen Parametern,

der Temperatur T und dem chemischen Potential µB, darzustellen. Bei hohen Temperatu-

ren (T ą ΛQCD) und niedrigem chemischen Potential entsteht das Quark-Gluon-Plasma.

Aufgrund der hohen Energiedichte wird innerhalb des Plasmas das Confinement aufgeho-

34 4. Quantenchromodynamik

ben und die Quarks und Gluonen konnen sich frei von einander bewegen. Bei niedrigen

Temperaturen (T ă ΛQCD) und hohem chemischen Potential, wie man es in Neutronenster-

nen findet, bildet sich eine supraleitende Phase21 (CSC). Wie auch in der Festkorperphysik,

wo sich in metallischen Supraleitern Elektronen zu Cooper-Paaren zusammenfinden, gibt

es bei der Farbsupraleitung ein Kondensat aus Quark-Cooper-Paaren. Die Beschreibung

der CSC ist jedoch wesentlich komplizierter, da Quarks nicht nur den Spin als Quantenzahl

haben, sondern auch noch die Farbe und den Flavour.

Im weiteren Verlauf der Arbeit soll nun Quark-Gluon-Plasma bei hoher Temperatur

und niedrigem chemischen Potential betrachtet werden, wie es auch am RHIC (µB „24 MeV) oder auch am LHC (µB „ 1 MeV) erzeugt wird (gruner Bereich in Abbildung

6). Man erwartet, dass in diesem Bereich auf Grund der Symmetrie der QCD unter La-

dungskonjugation die thermodynamischen Großen gut uber die fuhrende Ordnung des

chemischen Potentials dargestellt werden konnen. Das bedeutet, dass Großen, die unter

der Ladungskonjugation ihr Vorzeichen nicht wechseln, durch ihre Werte bei verschwin-

dendem chemischen Potential dargestellt werden.

Beispiele sind der Druck

ppT, µBq “ ppT, 0q ` 1

2χpT, 0qµ2

B ` Opµ4Bq « ppT, 0q “ ppT q, (4.1)

oder auch die Energiedichte epT, µBq « epT, 0q und die Temperatur T . Sie sind somit un-

abhangig von µB. Großen wie die Baryondichte und das chemische Potential selbst, die

unter Ladungskonjugation ihr Vorzeichen wechseln, werden hingegen uber Terme appro-

ximiert, die linear in µB und dementsprechend auch verschwindend gering sind, wie

nBpT, µBq “ BppT, µBqBµB

“ χpT, 0q ` Opµ3Bq « χpT, 0qµB. (4.2)

χpT, 0q ist die Suzeptibilitat der Baryonzahl bei verschwindendem chemischen Potential,

die uber die Zustandsgleichung gegeben werden muss.

Naheres zur Quantenchromodynamik lasst sich in [21] nachlesen. Speziell fur den Fall

eines Quark-Gluon-Plasmas bei hoher Temperatur sei auf [2] verwiesen.

4.1. Eine Zustandsgleichung der QCD

Die Zustandsgleichung ist eine Funktion, welche die Beziehungen der unterschiedlichen

thermodynamischen Großen untereinander im Gleichgewichtszustand charakterisiert und

fur die dynamische Analyse von thermalen Systemen von fundamentaler Bedeutung ist.

Das Quark-Gluon-Plasma unterliegt den Gesetzen der starken Wechselwirkung. Soll

dieses nun mit Hilfe von relativistischer Hydrodynamik analysiert werden, ist folglich eine

Zustandsgleichung der QCD unabdingbar.

Die QCD stellt die Physik jedoch vor eine starke Herausforderung, da sie nicht ana-

lytisch mit einem storungstheoretischen Ansatz untersucht werden kann und numerische

21engl.: Colour Superconductivity

35

Simulationen in der diskretisierten Raum-Zeit (Gitter) momentan die einzige Moglichkeit

bieten, ihre Eigenschaften zu beschreiben. Somit wird die Zustandsgleichung fur die QCD

aus Gitterberechnungen extrahiert.

Da die QCD bei endlichen Temperaturen sich in ihrem Verhalten einem freien Gas

ahnelt, ließen sich viele Eigenschaften aus einem intuitiven Vergleich mit den im freien

Gas auftretenden Phanomenen herleiten. Die Erwartung eines Druckanstiegs als Indikator

fur das Deconfinement basiert zum Beispiel auf einem idealen Resonanz-Gas aus Hadro-

nen bei niedriger Temperatur und einem idealen Gas aus Quarks und Gluonen bei hoher

Temperatur.

Aus diesem Grund ist es sinnvoll ein weiteres Mal den Energie-Impuls-Tensor fur ein

ideales Fluid (3.2) zu betrachten, dessen Spur Tµµ “ e ´ 3p fur ein ideales Gas (e “ 3p)

verschwindet. Die QCD hat jedoch eine nicht-verschwindende Spur (T µµ ‰ 0), die sich uber

T µµ pT q “ IpT q “ T 5 B

BTppT qT 4

(4.3)

darstellen lasst.

In numerischen Simulationen auf dem Gitter wird nun diese Spuranomalie berechnet

und mit ihrer Hilfe die benotigten thermodynamischen Großen wie der Druck, die Ener-

giedichte, oder auch die Schallgeschwindigkeit uber numerische Integration der erhaltenen

Daten berechnet.

Integriert man die Spuranomalie uber die Temperatur erhalt man eine Formel fur den

Druck ppT q:

ppT q “ T 4

Tż

0

dT

T

IpT qT 4

(4.4)

Die Energie ist durch die aus der Spur von T µν folgende Relation

e “ I ` 3p (4.5)

gegeben.

Dank (4.3) und (4.5) lassen sich die erste und zweite Ableitung des Drucks nach der

Temperatur leicht berechnen:

p1 “ BpBT “ I ` 4ppT q

T“ e ` p

T(4.6)

p2 “ B2pBT 2

“ I 1 ` 3p1

T“ e1

T(4.7)

Nun muss nur noch eine Gleichung fur die Schallgeschwindigkeit cs gefunden werden.

Dazu schreibt man deren Quadrat als Ableitung des Drucks und der Energiedichte, um

mit Hilfe von (4.6) und (4.7) einen allgemeinen Ausdruck zu finden, der mit Hilfe der


Anomalie I und ihrer Ableitung I 1 berechnet werden kann.

c2s “ dp

de“ dp

dT

dT

de“ p1

e1“ p1

Tp2“ p1

I 1 ` 3p1“ e ` p

TI 1 ` 3pe ` pq (4.8)

Weitere Details sind in [22], [23] und [24] zu finden.

In wird [25] wird eine mogliche Zustandsgleichung fur die Quantenchromodynamik mit

physikalischen Quarkmassen vorgestellt. Die Berechnungen fur die Zustandsgleichung wer-

den mit dynamischen Quarks durchgefuhrt. Es wird also die Entstehung von Quark-

Antiquark-Paaren in virtuellen Quark-Loops zugelassen. Anstelle der sechs bekannten

Quark-Flavour (up, down, strange, charm, beauty und top) werden jedoch nur die drei

leichtesten (up, down, strange) berucksichtigt (2+1 Flavour).

Um die Zustandsgleichung zu erhalten, wird uber Gittersimulationen die Spuranomalie

des Energie-Impuls-Tensors berechnet und mit Hilfe der gewonnenen Daten eine globale

Parametrisierung

IpT qT 4

“ exp

„´h1

t´ h2

t2

¨ˆh0 ` f0 rtanhpf1t ` f2q ` 1s

1 ` g1t ` g2t2

˙(4.9)

der Anomalie (mit t “ T 200 MeV) als Funktion der Temperatur erstellt22.

Die Ableitung lautet

BIBT “ exp

„´ h1

Tκ´ h2

T 2κ2

¨ˆ4T 3 rh0 ` As ` T 4

"ˆh1

T 2κ` 2

h2

T 3κ2

˙rh0 ` As (4.10)

` f0f1κ

cosh2pf1Tκ ` f2q ¨ p1 ` g1Tκ ` g2T 2κ2q´ A

1 ` g1Tκ ` g2T 2κ2¨ pg1κ ` 2g2Tκ

2q*˙

,

wobei

A “ f0 rtanhpf1Tκ ` f2q ` 1s1 ` g1Tκ ` g2T 2κ2

und κ “ 1

200 MeV.

Die Funktion IpT q gibt das Verhalten der Anomalie fur einen Temperaturbereich von

100 ´ 1000 MeV mit einer Genauigkeit von ∆ÌpT qT 4

˘ď 0.07 wieder und approximiert

unterhalb der 100 MeV Grenze die Vorhersagen des Hadron Resonanzgas-Modells (HRG-

Modell). Die benutzten Parameter sind in Tabelle 1 aufgelistet:

h0 h1 h2 f0 f1 f2 g1 g20.1396 ´0.18 0.035 2.76 6.79 ´5.29 ´0.47 1.04

Tabelle 1: Auflistung der benutzten Parameter fur die Anomalie I in (4.9)

f0,1,2 regulieren die Schrittgroße im Bereich des Phasenuberganges. g1,2 beschreiben den

Abfall der Funktion fur hohe Temperaturen, wahrend h0,1,2 die Voraussagen des HRG-

22Das Integral (4.4) wird mit einem Fehler von 10´12 berechnet.

37

Modells fur Temperaturen unterhalb 100 MeV modellieren. Abbildung 7(a) zeigt einen

Plot der parametrisierten Funktion IpT q bis zu einer Temperatur von T “ 1000 MeV.

Außerdem wird der mit Hilfe von (4.4) berechnete Druck in Abbildung 7(b) aufgetragen.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 200 400 600 800 1000

IpT

qT4

T rMeVs

(a)

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150 200 250 300 350 400

p“ G

eVfm

3‰

T rMeVs

QCD

(b)

Abbildung 7: (a) Plot der in [25] vorgestellten globalen Parametrisierung fur die Spuran-omalie von T µν

(b) Plot des mit Hilfe von IpT q berechneten Drucks ppT q

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

p“ G

eVfm

3‰

e“GeVfm3

‰

QCDFreies Gluon-Gas

T “ 200MeVT “ 300MeVT “ 400MeV

(a)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 50 100 150 200 250 300 350 400

c2 s

T rMeVs

c2s “ 13

(b)

Abbildung 8: (a) Auftragung der QCD-Zustandsgleichung und dem freien Gluon-Gas (Ab-bildung stark angelehnt an [2, Fig. 2]).(b) Plot der Schallgeschwindigkeit c2s fur die in [25] vorgestellte Zustands-gleichung der QCD.

In Abbildung 8(a) ist zusatzlich das Verhalten des Drucks p in Abhangigkeit der Ener-

giedichte e zu sehen. Zum Vergleich ist die ’einfachere’ Zustandsgleichung eines freien

Gluon-Gases, welche die Eigenschaften der QCD in einem gewissen Rahmen approximiert,

mit abgebildet. Fur das freie Gluon-Gas gilt die Zustandsgleichung e “ 3p, wahrend die

Energiedichte uber epT q “ 48T 4π2 parametrisiert wird. ([1] [2])

An dieser Stelle sei schon erwahnt, dass Simulationen mit dem freien Gluon-Gas auf

Grund der relativ einfachen Relationen zwischen Temperatur, Energie und Druck eine


wesentlich geringere Rechenzeit haben, als Simulationen mit der Zustandsgleichung der

QCD.

Die in dem Plot markierten Temperaturen vermitteln einen ersten Eindruck von dem

Verhalten der beiden Zustandsgleichungen. Im Vergleich zum freien Gluon-Gas steigt der

Druck der QCD bei einer Temperatur von ungefahr 200 MeV stark an und es entsteht

ein deutlicher Unterschied zwischen den beiden Zustandsgleichungen. Das Verhalten des

Quadrates der Schallgeschwindigkeit ist in 8(b) abgebildet.

Wie fur alle relativistischen idealen Gase gilt fur das freie Gluon-Gas immer c2s “ 13.Fur die Zustandsgleichung der QCD steigt c2s im Bereich von 0-50 MeV von einem geringen

Anfangswert c2s „ 0.04 stark an. Ab 150 MeV nahert sich die Kurve dem Wert des freien

Gluon-Gases von 13, erreicht diesen aber innerhalb des geplotteten Temperaturbereiches

nicht23.

Nun lassen sich schon einige Bemerkungen und Vermutungen anstellen. Die Tempera-

tur, ab der anstatt Hydrodynamik wieder eine kinetische Theorie betrachtet werden muss

(Freeze-Out), liegt unterhalb der Temperatur des Phasenubergangs, wo die Quarks und

Gluonen des Plasmas anfangen sich zu Hadronen zusammen zu schließen. Dieser unte-

re Gultigkeitsbereich fur die hydrodynamischen Simulationen liegt zwischen 100 und 200

MeV [26]. Man sieht in Abbildung 8(b), dass das Quadrat der Schallgeschwindigkeit in-

nerhalb dieses Bereiches stark von c2s “ 13 abweicht. Da die approximative Darstellung

der Dehnviskositat (3.51) vom Quadrat der Abweichung der Schallgeschwindigkeit, also

p13 ´ c2s q2, abhangt, lasst sich schon voraussagen, dass die in dieser Arbeit benutzte Im-

plementation der Dehnviskositat fur die Zustandsgleichung der QCD ihren großten Beitrag

innerhalb der dissipativen Gleichungen unterhalb von 200 MeV und somit im Grenzbereich

zum Freeze-Out liefern wird.

Als letztes wird nun zur Bestimmung der Baryondichte nB nach (4.2) die Suszeptibilitat

der Baryonzahl χpT, µBq bei verschwindendem chemischen Potential benotigt. Fur die hier

vorgestellte Zustandsgleichung erhalt man eine Parametrisierung fur χpT, 0q mit Hilfe von

der geplotteten Spuranomalie I (Abbildung 7(a)) und den verwendeten Linien konstanter

Physik. [25, FIG. 7, Table 1]. Die so durch einen Fit gewonnene Parametrisierung der

Suszeptibilitat der Baryonzahl bei verschwindendem chemischen Potential ist

χpT, 0q “ aT 2

„1 ` tanh

ˆT ´ T0

∆T

˙(4.11)

mit a “ 0.15, T0 “ 167 MeV und ∆T “ 60 MeV.

Zusammenfassend lassen sich also alle thermodynamischen Variablen p, e, nB uber eine

gegebene Temperatur T und das chemische Potential µB berechnen. Es ist jedoch fur die

spateren Berechnungen wichtig, auch von einem gegebenen Druck p0 “ ppT0q wieder auf

die Temperatur T0 ruckschließen zu konnen.

Dies lasst sich zum Beispiel numerisch mit einem Nullstellen-Algorithmus, wie der

23Weitere Berechnungen haben bei einer Temperatur von T “ 1 GeV noch eine Abweichung von ǫ « 10´4

zum Wert c2s “ 13 ergeben.

39

Newton-Raphson Methode (siehe Kapitel 5.1), realisieren. Mit Hilfe von (4.4) erstellt man

eine Hilfsfunktion

fpT q “ ppT q ´ p0,

die an ihrer Nullstelle T0 die zu p0 gehorende Temperatur besitzt. Da p0 eine Konstante

ist, ist die Ableitung von fpT q nach T durch (4.6) gegeben, womit

f 1pT q “ p1pT q “ epT q ` ppT qT

.

Mit Hilfe der Newton-Raphson Methode erhalt man die gesuchte Temperatur T n “ T0

uber

T pn`1q “ T pnq ´ fpT pnqqf 1pT pnqq “ T pnq

«1 ´ ppT pnqq ´ p0

epT pnqq ` ppT pnqq

ff

sobald die Bedingung T n`1´T n ď ε mit einem entsprechend gewahlten Fehler24 ε eintritt.

24In den durchgefuhrten numerischen Berechnungen wurde ε “ 10´10 gesetzt.

40 5. Numerische Methoden

5. Numerische Methoden

Im Folgenden werden fur diese Arbeit notige numerische Methoden erlautert. Weiterfuhrende

Informationen zu diesem Thema sind in Buchern wie [5] und [14] zu finden.

Die programmierte Simulation ist auf die zeitliche Entwicklung einer Ortsdimension be-

schrankt. Aufgrund des γ-Faktors γpvx, vy, vzq der speziellen Relativitatstheorie sind die

zeitlichen Entwicklungen in die unterschiedlichen Raumrichtungen nicht unabhangig von-

einander. Dementsprechend ist sowohl der numerische Aufwand, um dennoch eine mul-

tidimensionale Losung zu realisieren, als auch die Rechenzeit wesentlich hoher und im

Rahmen dieser Arbeit nicht realisierbar. Ein Losungsansatz fur multidimensionale relati-

vistische Hydrodynamik wird in [9] diskutiert.

5.1. Newton-Raphson Methode

Die in [27] beschriebene Newton-Raphson Methode stellt eine Moglichkeit dar, numerisch

eine Nullstelle der Funktion fpxq mit Hilfe ihrer ersten Ableitung f 1pxq zu finden.

Die Taylorreihe von fpx ` δq ist durch

fpx ` δq « fpxq ` f 1pxqδ ` f2pxq2

δ2 ` . . .

gegeben. Ist δ klein genug, konnen alle Terme ab der zweiten Ordnung vernachlassigt

werden. Befindet sich nun die Nullstelle am Punkt fpx ` δq “ 0 erhalt man

δ “ ´ fpxqf 1pxq .

Die in Abbildung 9 dargestellte Newton-Raphson Methode extrapoliert die lokale Ablei-

tung an einem Punkt xi. Sie bildet dementsprechend die Tangente an diesem Punkt und

verlangert sie so lange, bis Tangente die x-Achse im Punkt pxi`1, 0q schneidet. Von dort

aus wird mit dem neu geschatzten Wert xi`1 die Prozedur wiederholt, bis die Nullstelle

erreicht wird.

Die iterative Formel fur die Newton-Raphson Methode lautet somit

xpn`1q “ xpnq ´ fpxpnqqf 1pxpnqq . (5.1)

Die Nullstelle ist gefunden, sobald die relative Anderung von xpnq zu xpn`1q kleiner wird,

als der angenommene Fehler ǫ.

41

Abbildung 9: Schematische Darstellung der Newton-Raphson Methode [27, Fig. 9.4.1]

5.2. Diskretisierung

Um die zeitliche Entwicklung eines hyperbolischen Systems (3.12), also eines gut konditio-

nierten Anfangswertproblems, numerisch berechnen zu konnen, wird sowohl eine raumliche,

als auch eine zeitliche Diskretisierung des Systems vorgenommen.

Mochte man ein System der Lange L untersuchen, wird dieses in J Zellen eingeteilt.

Man erhalt somit im Ortsraum J ` 1 diskrete Koordinaten im Abstand von ∆x “ LJ ,die uber

xj “ x0 ` j∆x mit j “ 0, 1, . . . , J

definiert sind.

Von einem gegebenen Anfangszeitpunkt t0 aus, ist der n-te Zeitpunkt uber ein definiertes

Zeitintervall ∆t durch

tn “ t0 ` n∆t mit n “ 0, 1, . . . , N

gegeben.

Abbildung 10 zeigt eine schematische Darstellung der diskretisierten Raumzeit, die nun

durch ein Gitter mit den Gitterpunkten xnj dargestellt werden kann.


xnj´1 xnj xnj`1

tn

tn`1

∆x

∆t

Abbildung 10: Schematische Darstellung der diskretisierten Raumzeit

Eine Funktion fpx, tq wird auf dem Gitter durch einen diskreten Satz an Werten!fnj

)

mit fnj

(:“ fp

xnj

(q “ fpx “ xj, t “ tnq

ersetzt, wobei jedem Gitterpunkt ein Wert zugeordnet wird. Somit kann jedem Gitterpunkt

zum Zeitpunkt tn ein Satz von konservativen Variablen Vj zugeordnet werden, die sich uber

den Zeitschritt ∆t durch die hydrodynamischen Gleichungen (3.7), bzw (3.50) entwickeln

mussen.

Wie Funktionen mussen auch stetige Differentialoperatoren Lpfq, die auf hinreichend

glatte Funktionen f wirken, durch eine diskretisierte Form L∆x ersetzt werden. L∆x muss

somit angewendet auf!fnj

)einen approximativen Wert fur Lpfq ergeben, der sich aus den

Differenzen der diskretisierten Großen fnj an den benachbarten Gitterpunkten errechnet.

Somit wird ein kontinuierliches Anfangswertproblem der Form

Lpfq ´ Fpfq “ 0,

wobei Fpfq unabhangig von Ableitungen von f ist, zu einem diskretisierten Anfangswert-

problem

L∆xpfnj q ´ F∆xpfn

j q “ ǫ.

Wird der Operator L∆x nun auf die exakt punktweisen Großen fnj angewendet, so ist das

Anfangswertproblem durch die Approximation des Differentialoperators nicht mehr exakt

0, sondern spiegelt den Fehler ǫ wider, der durch diese Diskretisierung entstanden ist.

Da sowohl das Ortsintervall ∆x, als auch das Zeitintervall ∆t frei gewahlt werden

konnen, muss darauf geachtet werden, dass die physikalischen Signale innerhalb eines Zeit-

schrittes sich nicht weiter als einen Gitterpunkt bewegen konnen. Die Geschwindigkeit der

physikalischen Storung λ soll also nicht schneller sein als die numerische Geschwindigkeit

der Informationen

λN “ ∆x

∆t,

die von einem Punkt zum nachsten getragen werden, um letztendlich einen stabilen Sche-

me25 zu erhalten, mit dem das physikalische System untersucht werden kann. Die Stabilitat

25Scheme: Bezeichnung fur das numerische Modell, mit dessen Hilfe das Problem untersucht wird

43

wird durch die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (kurz: CFL-Bedingung) garantiert. Sie

ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung fur die Stabilitat des Systems. So-

wohl ∆x, als auch ∆t sind frei wahlbare Parameter. Es ist jedoch ublich, bei festem ∆x

und bekannten λ mit Hilfe der CFL-Bedingung das Zeitintervall ∆t festzulegen.

Die Geschwindigkeiten λk der physikalischen Storungen sind durch die Charakteristi-

ken, also den Eigenwerten (A.1), der relativistischen Hydrodynamischen Gleichungen (3.7)

gegeben. Als CFL-Bedingung erhalt man also

∆t “ cCFL mink

ˆ∆x

|λnk |

˙. (5.2)

Mit cCFL ď 1, einen auf das Problem zugeschnittenen Faktor, wird nun ein Zeitschritt

erzeugt, fur den das System garantiert stabil bleibt. Es wird dementsprechend in jedem

Zeitschritt tn fur jeden Gitterpunkt xj die Charakteristik λnk mit dem großten Geschwin-

digkeitsbetrag ausgewahlt. Diese werden dann miteinander verglichen, um letztendlich

durch die CFL-Bedingung (5.2) ein einen Zeitschritt zu finden, der an jedem Gitterpunkt

die Stabilitat des Systems garantiert.

In Simulationen wird ublicherweise ein uber

∆tmax “ cCFL ¨ ∆x

abgeschatzter Zeitschritt gewahlt, um das verwendete Zeitintervall uber die gesamte Si-

mulation konstant zu halten. Nach jedem Zeitentwicklungsschritt wird dann ∆t uber die

CFL-Bedingung gepruft und notfalls angeglichen.

5.3. Numerische Fehler

In diesem Kapitel soll kurz auf die unterschiedlichen numerischen Fehler eingegangen wer-

den, die bei Berechnungen mit dem Computer auftreten konnen. Die großten Fehler ent-

stehen durch die endliche Genauigkeit des Computers und die Diskretisierung des Systems.

Der Fehler, der durch die Genauigkeit des Computers entsteht, ist abhangig von der Ge-

nauigkeit mit der die Maschine zwei Fließkommazahlen von einander unterscheiden kann.

Also ist der Fehler ǫM gegeben durch

fpp1.0q “ fpp1.0q ` ǫM ,

wobei fpp1.0q eine 1 in Fließkommazahldarstellung ist. Werden nun mit diesen Fließkom-

mazahlen Operationen durchgefuhrt entsteht ein Rundungsfehler, der abhangig von der

Anzahl an durchgefuhrten Fließkomma-Operationen Nfp und der Genauigkeit des Com-

puters ist.

ǫR «a

NfpǫM

Im Gegensatz zu den bisher vorgestellten Fehlern, ist der Abbruchfehler26 komplett

26engl.: truncation error


kontrollierbar. Der lokale Abbruchfehler bezeichnet die Abweichung der diskretisierten

Losung von der exakten Losung am Punkt x und ist im allgemeinen abhangig von den

Fehlern, die aufgrund der raumlichen und zeitlichen Diskretisierung des Systems entstehen.

Dementsprechend kann auch ein globaler Fehler fur die Messung berechnet werden. Dafur

werden globale Variablen verwenden, welche den raumlichen Mittelwert uber die Losung

angeben, wie zum Beispiel Volumenintegrale oder die raumliche Norm der Losung.

Im weiteren Verlauf wird jedoch nicht weiter auf die numerischen Fehler eingegangen, da

auf Grund der Nichtlinearitat der relativistischen hydrodynamischen Gleichungen unter-

schiedliche numerische Schemes unterschiedliche numerische Ergebnisse liefern, auch wenn

die Berechnungen mit den gleichen physikalischen Bedingungen durchgefuhrt werden. Aus

diesem Grund wird die Gute des benutzten numerischen Schemes eher daruber bestimmt,

wie stark der jeweilige Scheme von der exakten Losung des Problems abweicht und sich im

Gegensatz zu anderen Schemes fur bestimmte Probleme verhalt. Naturlich wird die nume-

rische Stabilitat (z.B. CFL-Bedingung in Kapitel 5.2, TVD-Methoden in Kapitel 5.4.2) der

Schemes vorausgesetzt. Die Stabilitat und Gute der in dieser Arbeit benutzten Methoden

werden ausfuhrlich in [19] und [2] behandelt.

5.4. HRSC-Methoden

Im Folgenden werden die Grundlagen des in dieser Arbeit verwendeten numerischen Sche-

mes vorgestellt, mit dem die zeitliche Entwicklung der physikalischen Großen durch die

in Kapitel 2 vorgestellten relativistischen dissipativen hydrodynamischen Gleichungen un-

tersucht werden.

Fur die numerische Stabilitat der hydrodynamischen Berechnungen ist numerische Dis-

sipation notwendig. Da nun aber auch physikalische Dissipation untersucht werden soll,

muss in diesem Teil der Berechnungen die numerische Dissipation verhindert oder zumin-

dest kontrolliert werden.

Unter Berucksichtigung dieser Punkte ist eine mogliche Wahl die Verwendung von high-

resolution shock-capturing (kurz: HRSC) Methoden. Diese Methoden sind außerdem in der

Lage auch die Losungen mit hoher Genauigkeit wiederzugeben, in denen starke Stoßwellen

oder Unstetigkeiten vorhanden sind.

5.4.1. Finite Volume-Methoden

Der diskretisierte Ortsraum wird nun in Zellen der Große

Ij “”xj´ 1

2, xj` 1

2

ımit j “ 0, 1, . . . , J

eingeteilt. Die Breite der Zellen ist durch ∆x :“ xj` 12

´ xj´ 12gegeben. Mit Hilfe der

diskretisierten Zeit ist es nun moglich ein Kontrollvolumen

Ωn`1j :“ Ij ˆ

“tn, tn`1

‰

45

in der Raumzeit zu definieren.

Integriert man ein allgemeines eindimensionales hyperbolisches System in konservativer

Form (siehe (3.7)), also

BtVpx, tq ` BxFpVq “ 0, (5.3)

uber Ωn`1j , erhalt man nach der Integration uber den Ort

d

dt

ż xj` 1

2

xj´ 1

2

Vpx, tq dx “ F´V

´xj´ 1

2, t¯¯

´ F´V´xj` 1

2, t¯¯

,

wobei die partielle Zeitableitung zu einer totalen Ableitung nach der Zeit wird.

Fuhrt man nun auf beiden Seiten der Gleichung eine Integration uber die Zeit aus, ergibt

sich als integrale Form von (5.3)

ż xj` 1

2

xj´ 1

2

Vpx, tn`1q dx ´ż x

j` 12

xj´ 1

2

Vpx, tnq dx “ż tn`1

tnF´V

´xj´ 1

2, t¯¯

dt ´ż tn`1

tnF´V´xj` 1

2, t¯¯

dt

und somit

ż xj` 1

2

xj´ 1

2

Vpx, tn`1q dx “ż x

j` 12

xj´ 1

2

Vpx, tnq dx (5.4)

`ż tn`1

tnF´V´xj´ 1

2, t¯¯

dt ´ż tn`1

tnF´V´xj` 1

2, t¯¯

dt.

Diese Formel kann vereinfacht dargestellt werden, wenn man den Mittelwert uber ein

Zellvolumen

Vnj :“ 1

∆xV

ż xj` 1

2

xj´ 1

2

Vpx, tn`1q dx (5.5)

und die numerischen Flusse

Fj˘ 12:“ 1

∆t

ż tn`1

tnF´V´xj˘ 1

2, t¯¯

dt

einfuhrt.

Schließlich erhalt man aus (5.4) einen Ausdruck, der die zeitliche Entwicklung der kon-

servativen Variablen in jeder Zelle um einen Zeitschritt liefert, sofern man den numerischen

Fluss kennt.

Vn`1j “ Vn

j ` ∆t

∆x

´Fj´ 1

2´ Fj` 1

2

¯(5.6)

Schemes, in denen die zeitliche Entwicklung uber Formel (5.6) erfolgt, werden als Finite-

Volume Methoden bezeichnet. Der Ausdruck (5.6) ist so lange mathematisch exakt, bis

man Approximationen fur die Berechnung der Mittelwerte der Zellen einfuhrt.

Prinzipiell kann der numerische Fluss von allen konservativen Variablen Vnj der Nach-


barzellen abhangen. In der Praxis bewegen sich die Informationen der hyperbolischen

Probleme jedoch mit endlicher Geschwindigkeit fort, da der gewahlte Zeitschritt ∆t uber

die CFL-Bedingung so groß gewahlt wird, dass sich die Informationen nicht uber eine Zelle

hinaus bewegen. Darum ist es ublich anzunehmen, dass die Fj˘ 12nur von den Nachbarzel-

len abhangen. Fur den Fall eines konstanten Flusses mussen sich die numerischen Flusse

auf den physikalischen Fluss reduzieren.

x

V

xj´1

2

xj`1

2

x1 xj´1 xj xj`1 xJ

V1

Vj´1

Vj

Vj`1

VJ

Riemann Problem

Abbildung 11: Schematische Darstellung der Methode von Godunov

Ausgehend von dieser Stelle hatte Godunov die Idee, an jedem Punkt xj´ 12, bezie-

hungsweise xj` 12ein Riemann Problem zu Losen, welches durch die Anfangsbedingungen

RPpVnj´1,V

nj q, beziehungsweise RPpVn

j ,Vnj`1q gegeben ist (Abbildung 11).

Der numerische Fluss zwischen den Zellen ist dann durch

Fj˘ 12

“ F´Vj˘ 1

2p0q

¯(5.7)

gegeben, wobei Vj˘ 12die Losung des lokalen Riemann-Problems RPpVn

j ,Vnj`1q an der

Stelle xt “ 0 darstellt. Dieser Vorgang wird als zweite Version der Godunov Methode

bezeichnet.

Um die Losung auf xt “ 0 abzubilden, mussen alle 10 in Abbildung 12 abgebildeten

Moglichkeiten berucksichtigt werden. Es gibt insgesamt 5 Falle, die jeweils fur 0 ď v‹ und

0 ě v‹ aufgelistet sind. Stoßwellen sind in blau, Verdunnungswellen in rot, Unstetigkeits-

stellen in grun und unbekannte Wellen in grau gekennzeichnet. Das genaue Schema, um

die Werte der primitiven Variablen am Punkt xt “ 0 zu erhalten, wird in Kapitel 6.1

beschrieben. Da das Riemann-Problem mit Hilfe der primitiven Variablen U gelost wird,

mussen diese Variablen aus den konservativen Variablen V wiederhergestellt werden. Die-

ses Verfahren wird in Kapitel 6.1.1 naher erlautert.

47

x

t SÑ C

(a) 0 ď v‹

x

tSÐC

(b) 0 ě v‹

x

tSÑ C

(c) 0 ď v‹

x

t SÐC

(d) 0 ě v‹

x

t RÑ C

(e) 0 ď v‹

x

tRÐC

(f) 0 ě v‹

x

tRÑ C

(g) 0 ď v‹

x

t RÐC

(h) 0 ě v‹

x

tRÑ C

(i) 0 ď v‹

x

tRÐC

(j) 0 ě v‹

Abbildung 12: Mogliche Wellenkonstellationen fur die Berechnung des numerischen Flus-ses aus dem lokalen Riemann-Problem. (Abbildung angelehnt an [14, Fig.9.2])


5.4.2. Die MUSCL-Hancock Methode

Die zweite Methode von Godunov ist ein Scheme erster Ordnung. Um mit dieser Methode

reprasentative Ergebnisse fur die Losung von Problemen zu erzielen, musste auf Grund

der niedrigen Ordnung das Gitter extrem fein gewahlt werden. Dies hat jedoch eine hohe

Rechenzeit zur Folge, weshalb die zweite Methode von Godunov in dieser Form relativ

ungeeignet ist. Es ist jedoch moglich, die Ordnung dieser Methode zu erhohen, in dem

man die stuckweise konstanten Werte der konservativen Variablen Vnj modifiziert.

Die Datensatze der konservativen Variablen Vnj an jedem Gitterpunkt sind nach (5.4)

die Mittelwerte des Integrals uber die Zelle Ij “”xj´ 1

2, xj` 1

2

ı. Durch eine lokale stuckweise

lineare Rekonstruktion der ursprunglichen Variablen ist es moglich einen Scheme hoherer

Ordnung (meist zweiter Ordnung) zu erzeugen und dadurch die zweite Methode von Go-

dunov besser nutzbar zu machen.

Die konstanten ZustandeVnj werden hierfur auf der Zelle durch lokale stuckweise lineare

Funktionen

Vnj pxq “ Vn

j ` px ´ xjqσnj mit xj´ 1

2ď x ď xj` 1

2(5.8)

und der Koordinate in der Zellenmitte

xj :“xj´ 1

2` xj` 1

2

2

ersetzt. Dabei bleibt jedoch das Integral von Vnj pxq identisch zu (5.5), wodurch wahrend

des Rekonstruktionsprozesses keinerlei Informationen verloren gehen.

Anders als bei der zweiten Methode von Godunov, entstehen bei Schemes hoherer Ord-

nung storende Oszillationen entlang einer Unstetigkeitsstelle. Um diese Oszillationen zu

untersuchen, fuhrt man die totale Variation der Datensatze fur einen Zeitschritt tn ein,

die uber

TV pVnq :“`8ÿ

j“´8

|Vnj ´ Vn

j´1|

definiert ist. Ziel ist es nun durch die Einfuhrung kunstlicher Dissipation die Oszillationen

soweit zu unterdrucken, dass sie zum nachsten Zeitschritt nicht großer werden und somit

TV`Vn`1

˘ď TV pVnq

gilt. Schemes, die diese Eigenschaft haben heißen TVD27-Methoden28.

In (5.8) geschieht die Unterdruckung der Oszillationen durch die Wahl eines geeigne-

ten Terms, dem Slope-Limiter σnj , der das Steigungsmaß der Losung limitiert. Methoden

solcher Art werden slope-limiter Methoden genannt. Eine andere Moglichkeit ware die

Limitierung der numerischen Flusse durch flux-limiter Methoden.

27engl.: total-variation diminishing28TVD-Methoden existieren jedoch nur bis zur zweiten Ordnung. Wenn Schemes hoherer Ordnung kon-

struiert werden sollen, muss diese Eigenschaft fallen gelassen und der Anstieg der totalen Variationerlaubt werden.

49

Beispiele fur Slope-Limiter sind

• Minmod Slope-Limiter (Kolgan, 1972; van Leer, 1979)

σnj “ minmod

ˆVj ´ Vj´1

∆x,Vj`1 ´ Vj

∆x

˙(5.9)

• Superbee Limiter (Roe, 1985)

σnj “ maxmod

`σI

j , σII

j

˘, (5.10)

wobei

σI

j “ minmod

ˆ2Vj ´ Vj´1

∆x,Vj`1 ´ Vj

∆x

˙

und

σII

j “ minmod

ˆVj ´ Vj´1

∆x, 2

Vj`1 ´ Vj

∆x

˙

Die Funktionen minmodpα, βq und maxmodpα, βq sind definiert, als

minmodpα, βq “

$’&’%

α, fur |α| ă |β| und αβ ą 0,

β, fur |β| ă |α| und αβ ą 0,

0, fur αβ ď 0

und

maxmodpα, β, γq “

$’&’%

α, fur |α| ą |β| und αβ ą 0,

β, fur |β| ą |α| und αβ ą 0,

0, fur αβ ď 0.

Schemes, die zum Typ dieser von Van Leer vorgestellten Verfahren gehoren, werden un-

ter dem OberbegriffMonotone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws (MUSCL)

zusammengefasst und enthalten als Gemeinsamkeit zwei Schritte:

• Approximation der Daten innerhalb jeder Zelle durch lineare Funktionen mit Hilfe

von Wiederherstellungs- oder Projektionsverfahren

• Entwicklung der Mittelwerte der Flusse in jedem Bereich unter Berucksichtigung der

Upwind-Richtung

Eine daraus resultierende, von Van Leer in [28] vorgestellte Methode ist die MUSCL-

Hancock Methode (MHM).

Diese Methode besteht im wesentlichen aus drei Schritten und liefert einen (vollstandig

diskreten) akkuraten Scheme zweiter Ordnung.


1. Wiederherstellung der Daten & Berechnung der Randwerte der Zelle

Als erstes werden die Daten in jeder Zelle nach (5.8) fur die Randwerte der Zelle VLj

am Punkt Vnj pxj´ 1

2q und VR

j am Punkt Vnj pxj` 1

2q wiederhergestellt. Man erhalt

VLj “ Vn

j ´ 1

2∆x σn

j und VRj “ Vn

j ` 1

2∆x σn

j .

2. Zeitliche Entwicklung der Randwerte

Im nachsten Schritt werdenVLj undVR

j um einen halben Zeitschritt ∆t2 entwickelt.Man erhalt die neue Datensatze V

L

j und VR

j uber

VL

j “ VLj ` 1

2

∆t

∆x

“F`VL

j

˘´ F

`VR

j

˘‰

und

VR

j “ VRj ` 1

2

∆t

∆x

“F`VL

j

˘´ F

`VR

j

˘‰,

wobei F pVq der aus (5.3) bekannte physikalische Fluss ist.

In Abbildung 13 sind die vorgenommen Schritte zur Gewinnung von VL

j und VR

j

schematisch dargestellt.

xj`1

2

VR

j

VL

j`1Vn

j

Vnj`1

xj xj`1

VLj

VRj`1

VRj

VLj`1

Abbildung 13: Wiederherstellung der Datensatze mit Hilfe der MUSCL-Hancock Methode(angelehnt an [14, Fig. 13.8])

3. Das Riemann Problem

Im letzten Schritt wird nun das Riemann Problem in jeder Zelle mit den Anfangs-

bedingungen RP´VL

j , VRj

¯gelost, wobei

VLj “ V

R

j und VRj “ V

L

j .

Die Losung Vi` 12pxtq wird an der Stelle xt “ 0 ausgewertet, um letztendlich den

51

numerischen Fluss

Fj` 12

´Vi` 1

2p0q

¯

zu erhalten.

Schließlich kann mit (5.6) das System um einen Zeitschritt ∆t weiter entwickelt werden,

sodass man fur jede Zelle die Datensatze Vn`1j erhalt.

Zur Veranschaulichung der Unterschiede wird in Abbildung 14 eine Losung sowohl mit

der zweiten Methode von Godunov, als auch mit der MUSCL-Hancock Methode (unter

Nutzung des Minmod Slope-Limiters) abgebildet.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p“ G

eVfm

3‰

x rfms

GODUNOVMINMOD

Abbildung 14: Beispielberechnungen zum Zeitpunkt t “ 4 fm unter Benutzung der zweitenMethode von Godunov (1. Ordnung) und dem MUSCL-Hancock Methodemit MINMOD Slope-Limiter (2. Ordnung). Die Anfangsbedingungen sindTL “ 400 MeV, TR “ 200 MeV, 100 Gitterpunkten mit cCFL “ 0.4. Eswurde die Zustandsgleichung fur ein freies Gluonen-Gas verwendet.

Einige Erlauterungen zur Implementation der der MUSCL-Hancock Methode in C++

Code lassen sich in [29] finden.


5.5. Strang-Operator-Splitting

Um die dissipativen Effekte aus (3.50) in die Berechnungen zu integrieren, benutzt man

das in [30] und [31] beschriebene Strang-Operator-Splitting. Bei dieser Methode wird fur

ein allgemeines Anfangswertproblem der Form

Btq ` L “ 0

der Operator L in zwei Teile L “ A ` B zerlegt.

Um nun die Variablen qnj an jedem Gitterpunkt um einen Zeitschritt ∆t weiter zu

entwickeln, wird qnj als erstes uber A um ∆t2 entwickelt. Die resultierenden Variablen

qn` 1

2

˚,j werden nun uber B um einen gesamten Zeitschritt ∆t entwickelt, sodass man nun die

ursprunglichen Variablen insgesamt um einen halben Zeitschritt zu qn` 1

2

j entwickelt hat.

Eine weitere zeitliche Entwicklung uber A um ∆t2 ergibt nun das gewunschte Ergebnis

qn`1j .

Der gesamte Vorgang des Strang Splittings

Btqnj ` A “ 0 fur

”tn, tn` 1

2

ıqnj

AÝÑ qn` 1

2

˚,j

Btqn` 1

2

˚,j ` B “ 0 fur“tn, tn`1

‰qn` 1

2

˚,jBÝÑ q

n` 12

j

Btqn` 1

2

j ` A “ 0 fur”tn` 1

2 , tn`1ı

qn` 1

2

jAÝÑ qn`1

j

(5.11)

ist in Abbildung 15 abgebildet.

tn

tn`1

2

tn`1

qnj

qn`

1

2

˚,j

qn`

1

2

˚,j

qn`

1

2

j

qn`

1

2

j

qn`1j

A

A

B

Abbildung 15: Schematische Darstellung des Strang-Operator-Splittings (Abbildung an-gelehnt an [31])

53

5.6. Numerische Implementierung der Dissipation

Mit dem in Kapitel 6 vorgestellten Riemann Solver und der MUSCL-Hancock Methode

(Kapitel 5.4.2) fur die zeitliche Entwicklung ist es moglich, fur eine beliebige Zustandsglei-

chung die Gleichungen der relativistischen idealen Hydrodynamik zu losen. Um dissipative

relativistische Fluide zu beschreiben, wurde in Kapitel 3.6 die Israel-Stewart Theorie vor-

gestellt, die auf phanomenologischen Grundlagen basiert und einen Satz von Gleichungen

mit 14 Variablen liefert. Die resultierenden Gleichungen (3.50) sind wesentlich komplexer

als die Gleichungen der idealen Hydrodynamik.

Ist ein System nicht im lokalen Gleichgewicht, wird es durch Reibungseffekte uber ei-

ne Relaxationszeit τ zuruck in den Gleichgewichtszustand getrieben. Die Relaxationszeit

ist dabei wesentlich kleiner als die Zeitskala des hydrodynamischen Systems, weshalb bei

numerischen Berechnungen fur die zeitliche Entwicklung des Systems ein sehr kleiner Zeit-

schritt ∆t gewahlt werden muss, um nicht nur die Effekte auf der makroskopischen son-

dern auch auf der relaxiven Zeitskala aufzulosen. Mochte man also Differentialgleichungen,

welche diese Effekte berucksichtigen mit numerischen Methoden losen, mussen sehr hohe

Rechenzeiten in Kauf genommen werden. Diese Art von Differentialgleichungen werden

als starre Gleichungen29 bezeichnet.

Im Folgenden wird nun der in [19] vorgestellte und in [2] verwendete Algorithmus zur

Losung der dissipativen Gleichungen vorgestellt. In diesem Algorithmus werden die starren

Gleichungen durch ihre formalen Losungen dargestellt, um die oben erwahnten Restrik-

tionen des Zeitschrittes zu umgehen.

Zu Beginn betrachtet man die dissipativen Bewegungsgleichungen der relativistischen

Hydrodynamik.

Bt

¨˚

D ` ν0B


E ´ Π∆00 ` π00

˛‹‚` Bj

¨˚

Dvj ` νjB

mivj ` pδij ´ Π∆ij ` πij

mj ´ Π∆0j ` π0j

˛‹‚“ 0 (3.50)

Diese lassen sich mittels dem in Kapitel 5.5 vorgestellten Strang-Operator-Splitting in

einen advektiven Teil

Bt

¨˚

D

mi

E

˛‹‚` Bj

¨˚

Dvj

mivj ` pδij

mj

˛‹‚“ 0,

bestehend aus den Gleichungen der idealen relativistischen Hydrodynamik und einen dif-

fusiven Teil

Bt

¨˚

D ` ν0B


E ´ Π∆00 ` π00

˛‹‚` Bj

¨˚

νjB

´Π∆ij ` πij

´Π∆0j ` π0j

˛‹‚“ 0, (5.12)

bestehend aus dem dissipativen Teil der hydrodynamischen Gleichungen, spalten.

29engl.: stiff equations


Daruber hinaus lassen sich sowohl die konservativen Variablen VpD,m, E, ν0B,Π0i,Π00q

in (3.50), als auch die primitiven Variablen UpnB,v, p,Πij , νkBq mit i ě j und i, j, k “ 1, 2, 3

in einen idealen Teil und einen dissipativen Teil zerlegen. Man erhalt

V “ Vprim ` Vdissip mit Vprim “ pD,m, Eq, Vdissip “ pν0B,Π0i,Π00q

und

U “ Uprim ` Udissip mit Uprim “ pnB,v, pq, UdissippΠij , νkBq.

Der ideale und der dissipative Teil der beiden Datensatze werden nun mit der in Kapitel

5.5 vorgestellten Methode getrennt von einander entwickelt und wieder zusammengefasst.

Dies geschieht in mehreren Schritten:

1. Zeitliche Entwicklung der idealen relativistischen Hydrodynamik

Im ersten Schritt werden die primitiven Variablen Unj mit Hilfe der MUSCL-Hancock

Methode und des Riemann Solvers durch die Gleichungen der idealen Hydrodynamik

(3.7) um einen Zeitschritt entwickelt.

Unj ÝÑ Un`1

RS,j

Es werden sowohl die Geschwindigkeit der Ausgangsvariablen Unj , als auch die Ge-

schwindigkeit des neuen Datensatzes pUn`1RS,j gespeichert.

2. Entwicklung der Navier-Stokes-Großen

Als nachstes betrachtet man die Israel-Stewart-Gleichungen (3.43), (3.44) (3.45).

Da in den Simulationen Quark-Gluon-Plasma bei geringem chemischen Potential µB

betrachtet werden soll, wird der Baryondiffusionsstrom νµB und damit (3.45) ver-

nachlassigt. Außerdem wird fur (3.44) die in Kapitel 3.6 gemachte Approximation

(3.48) verwendet.

Die zu betrachtenden Gleichungen sind also

`Bt ` viBi

˘Π “ ´Π ´ ΠNS

γτζ(3.43)

und

`Bt ` viBi

˘πij “ ´πij ´ π

ijNS

γτη. (3.48)

Beide Gleichungen lassen sich nun mit Hilfe des Strang-Operator-Splittings in einen

advektiven Teil `Bt ` viBi

˘Π “ 0,

`Bt ` viBi

˘πij “ 0 (5.13)

55

und einen relaxierenden Teil

BtΠ “ ´Π ´ ΠNS

γτζ, Btπij “ ´πij ´ π

ijNS

γτη(5.14)

aufspalten.

Die Gleichungen des relaxierenden Teils sind von der Form

Btq “ fpqqτrelax

.

Die Relaxationszeit τrelax beschreibt die charakteristische Zeitskala der Entwicklung

von q und muss wesentlich kleiner sein als die charakteristische Zeitskala des be-

trachteten Fluids τFluid. Der relaxierende Teil wird also durch starre Gleichungen

beschrieben. Das System is nur stabil, wenn fur den Zeitschritt zusatzlich zur CFL-

Bedingung die starkere Beschrankung

∆t À τrelax ! τFluid

erfullt ist.

Um dieses Problem und die damit stark erhohte Rechenzeit zu vermeiden, werden

die Gleichungen (5.13) durch ihre stuckweise exakten Losungen

Π “ pΠ0 ´ ΠNSq exp„

´ t ´ t0

τζ

` ΠNS

und (5.15)

πij “´πij0 ´ π

ijNS

¯exp

„´ t ´ t0

τη

` π

ijNS

ersetzt30. Π0 ist der Anfangswert fur den jeweiligen Zeitschritt, wahrend t´ t0 “ ∆t

bekannt ist. Π und πij werden nun nach dem Strang-Operator-Splitting (5.11) uber

(5.13) und (5.15) entwickelt.

Fur Berechnungen, die eindimensional im Ort sind, erleichtert sich der Rechenauf-

wand im weiteren Verlauf erheblich.

Die advektiven Terme (5.13) sind Gleichungen der Form

Btq “ ´vBxq

und konnen uber einen regularen Upwind-Scheme entwickelt werden.

30Es wird die in [32] vorgestellte PES-Methode verwendet. (PES: piecewise exact solution)


Die diskretisierte Form von (5.6) ist

ˆqn`1j ´qn

j

∆t

˙“ ´v

´qnj ´qn

j´1

∆x

¯` Op∆t,∆xq, fur v ą 0

ˆqn`1j ´qn

j

∆t

˙“ ´v

´qnj`1´qn

j

∆x

¯` Op∆t,∆xq, fur v ă 0.

(5.16)

Der entsprechende Algorithmus fur die Ermittlung des nachsten Zeitschrittes ist

demnach durch

qn`1j “ qn

j ´ v ∆t∆x

´qnj ´ qn

j´1

¯` Op∆t2,∆t∆xq, fur v ą 0

qn`1j “ qn

j ´ v ∆t∆x

´qnj`1 ´ qn

j

¯` Op∆t2,∆t∆xq, fur v ă 0

(5.17)

gegeben.

In Kapitel 3.6.1 wurden die notwendigen Bestandteile der Navier-Stokes-Variablen

ΠNS, πxxNS fur Berechnungen in 1+1 Dimensionen hergeleitet.

ΠNS “ ´ζ“γ3vpBtvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq

‰(3.52)

πxxNS “ 2ηpγ3v2 ` γq

“´Bxv ´ γ2v tpBtvq ` vpBxvqu

‰

` 2

3η“p1 ` γ2v2qpγ3v2Btvq ` pγ3v2 ` γqpBxvq

‰(3.53)

Der dissipative Teil (5.12) der relativistischen hydrodynamischen Gleichungen kann

damit zu

Bt

¨˚

D

m ´ Π∆0x ` π0x

E ´ Π∆00 ` π00

˛‹‚`Bx

¨˚

0

´Π∆xx ` πxx

´Π∆0x ` π0x

˛‹‚

“ Bt

¨˚

D

m ´ Πpγ ¨ vq ` πxx ¨ vE ´ Πpγ ´ 1q ` πxx

˛‹‚`Bx

¨˚

0

´Πp1 ` γ ¨ v2q ` πxx

´Πpγ ¨ vq ` πxx ¨ v

˛‹‚“ 0 (5.18)

vereinfacht werden.

Beide Gleichungen (3.52), (3.53) enthalten sowohl Orts-, als auch Zeitableitungen

der Geschwindigkeit, die berechnet werden mussen. Die Zeitableitung der Geschwin-

digkeit wird mit Hilfe einer diskretisierten Ableitung erster Ordnung aus der ur-

sprunglichen Geschwindigkeit vnj und der mit Hilfe des MUSCL-Scheme berechneten

Geschwindigkeit pvn`1RS,j approximiert:

Btvnj “pvn`1RS,j ´ vnj

∆t

57

Da die dissipativen Variablen die Diffusion des Systems beschreiben, wird die Ablei-

tung der Geschwindigkeit nach dem Ort durch eine zentrierte diskretisierte Ableitung

(centered finite difference) approximiert:

Bxvnj “vnj`1 ´ vnj´1

2∆x

Man erhalt schließlich mit der Geschwindigkeit v aus Unj

Vn`1dissip,j “

¨˚

0

´Πn`1j pγ ¨ vq ` π

xx,n`1j ¨ v

´Πn`1j pγ ´ 1q ` π

xx,n`1j

˛‹‚. (5.19)

Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass man uber den zweiten Schritt im Strang-

Operator-Splitting (5.11) Zugriff auf die dissipativen Variablen erhalt, die nur um

einen halben Zeitschritt entwickelt wurden (Πn` 1

2

j , πxx,n` 1

2

j ). Aus diesen Variablen

kann nun fur (5.18) der numerische Fluss Fn` 1

2

dissip,j errechnet werden, um den Daten-

satz Vnj um einen halben Zeitschritt zu entwickeln (1. Schritt des Strang-Operator-

Splittings fur den gesamten Datensatz Vnj ). Fur die Geschwindigkeit wird der Wert

aus pUn`1RS,j verwendet.

Fn` 1

2

dissip,j “

¨˚

0

´Πp1 ` γ ¨ v2q ` πxx

´Πpγ ¨ vq ` πxx ¨ v

˛‹‚

3. Zeitliche Entwicklung des dissipativen Teils

Nun wird ein Satz konservativer Variablen aus den Ausgangsvariablen Vnj und den

um einen Zeitschritt entwickelten dissipativen Variablen Vn`1dissip,j erstellt.

Vn˚,j “ Vn

j ` Vn`1dissip,j

Diese neuen Variablen werden nun um einen halben Zeitschritt uber

Vn` 1

2

˚,j “ Vn˚,j ` ∆t

∆x

„Fn` 1

2

dissip,j´ 12

´ Fn` 1

2

dissip,j` 12

entwickelt. Die numerischen Flusse an den Zellwanden erhalt man durch Mittelung

uber die numerischen Flusse zweier benachbarter Zellen.

Fn` 1

2

dissip,j˘ 12

“ 1

2

„Fn` 1

2

dissip,j˘1 ` Fn` 1

2

dissip,j


4. Wiederherstellung der primitiven Variablen

Aus den gewonnenen konservativen Variablen Vn` 1

2

˚,j werden nun die primitiven Va-

riablen wiederhergestellt. Dafur wird das in Kapitel (6.1.1) vorgestellte Verfahren

um einen iterativen Schritt erweitert.

Zuerst wird, wie (5.19) in Schritt 2 aus Πn`1j und π

xx,n`1j ein Datensatz pVn`1

dissip,j

aus dissipativen Variablen erstellt. Es wird jedoch die Geschwindigkeit aus Un`1RP,j

verwendet. Nun rechnet man Vn` 1

2

j ´ pVn`1dissip,j und fuhrt den Wiederherstellungsal-

gorithmus aus. Ist die neue Geschwindigkeit v˚ bis auf einen Fehler31 ungleich der

Geschwindigkeit aus Vn` 1

2

˚,j , wird mit v˚, Πn`1j und π

xx,n`1j uber (5.19) ein neuer

Datensatz pVn`1dissip,j erstellt und der Prozess wiederholt, bis man die gewunschten

primitiven Variablen Un` 1

2

˚,j erhalt.

5. Abschluss des Strang-Operator-Splittings

Nun wird der zweite Schritt des Strang-Operator-Splittings ausgefuhrt, in demUn` 1

2

˚,j

mit Hilfe des Riemann Solvers entwickelt wird. Mit diesen neu gewonnenen Variablen

Un` 1

2

j werden Schritt 2 und 3 wiederholt, sodass man letztendlich einen Satz von

primitiven Variablen Un`1j erhalt, die um einen Zeitschritt weiterentwickelt und in

denen die dissipativen Effekte berucksichtigt wurden.

In Abbildung 16 ist eine vereinfachte Darstellung des benutzten Algorithmus abgebildet.

31In den fur diese Arbeit durchgefuhrten Berechnungen wurde ein Fehler von ε “ 10´7 angenommen.

59

Bt

¨˝

D

m ´ Π∆0x ` π0x

E´Π∆00 ` π00

˛‚` Bx

¨˝

Dv

mv ` p´Π∆xx ` πxx

m´Π∆0x ` π0x

˛‚“ 0

Strang

Splitting

Advektiver Teil:

Bt

¨˝D

m

E

˛‚` Bx

¨˝

Dv

mv ` p

m

˛‚“ 0

Diffusiver Teil:

Bt

¨˝

D

m´Π∆0x ` π0x

E´Π∆00 ` π00

˛‚` ∇j

¨˝

0´Π∆xx ` πxx

´Π∆0x ` π0x

˛‚“ 0

Israel-Steward:pBt ` vBxqΠ “ Π´ΠNS

γτζ

pBt ` vBxqπij “ ´πij´π

ijNS

γτη

Strang

Splitting

Advektiver Teil:pBt ` vBxqΠ “ 0

pBt ` vBxqπij “ 0

Relaxiver Teil:Π “ pΠ0 ´ ΠNSq exp

”´ t´t0

τζ

ı` ΠNS

πij “´πij0 ´ π

ijNS

¯exp

”´ t´t0

τη

ı` π

ijNS

Πnj ÝÑ Π

n`1

2

j

πxx,nj ÝÑ π

xx,n`1

2

j

Vn`1dissip,j

Vn˚,j “ Vn

j ` Vn`1dissip,jV

n`1

2

˚,j “ Vn˚,j ` ∆t

∆x

”F

n`1

2

dissip,j´1

2

´ Fn`

1

2

dissip,j`1

2

ı

Fn

`1 2

dissip,j

˘1 2

Vn`

1

2

˚,j

MUSCL + RIEMANN SOLVERÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ Vn`

1

2

j

Vn`1j

Nach dem zweiten Durchgang!

ZweiterDurchgang!

Abbild

ung16:

Verein

fachte

bild

liche

Darstellu

ng

des

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Algorith

mus.

Aus

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tlichkeit

wurden

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iederh

erstellungsp

rozedurund

die

Berech

nungvon

Un

`1

RS,jnich

tmitab

gebild

et.


61

6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP

Simuliert man hydrodynamische Systeme mit Hilfe von HRSC-Methoden (siehe Kapitel

5.4), muss das lokale Riemann Problem an jedem Gitterpunkt des diskretisierten Systems

gelost werden, wodurch hohe Rechenzeiten entstehen. Um die Rechenzeit zu verkurzen,

ist es moglich approximative Losungen des Riemann Problems zu entwickeln, die weniger

rechenintensiv sind, aber genau so gute Ergebnisse wie die exakten Losungen erzielen.

Somit ist es auch moglich, mit Hilfe von HRSC-Methoden hydrodynamische Systeme zu

untersuchen, fur die - wie in den meisten Fallen - keine exakte Losung existiert.

In Kapitel 3.3 wurde gezeigt, dass die Entwicklung der physikalischen Großen innerhalb

der Verdunnungswelle durch die gewohnlichen Differentialgleichungen (3.13), (3.14) und

(3.15) gegeben ist. Die numerische Berechnung dieser Differentialgleichungen (insbesonde-

re unter der Betrachtung von mehr als einer Dimension) ist jedoch sehr rechenaufwandig,

weshalb es sinnvoll ist, eine approximative Losung des Riemann Problems zu verwenden, in

der Verdunnungswellen vereinfacht dargestellt oder vermieden werden. Der approximative

Riemann Solver soll außerdem fur Quark-Gluon-Plasma bei einer geringen Baryondichte

geeignet sein, da zum Beispiel die freie Enthalpie h “ pe ` pqnB bei verschwindender

Baryondichte (nB “ 0) divergiert und die Gleichungen des Solvers dementsprechend an-

geglichen sein mussen.

In [2] wird ein approximativer Riemann Solver vorgestellt, der fur die obigen Probleme

gut geeignet ist. Es ist eine modifizierte Version des in [9] vorgestellten Two-Shock Rie-

mann Solvers. In diesem approximativen Riemann Solver werden die Verdunnungswellen

durch Stoßwellen approximiert und damit durch Unstetigkeitsstellen ersetzt, die den Er-

haltungssatzen genugen.

Gegeben sind, wie in Kapitel 3.5.1, die Anfangszustande L und R mit gleichem chemi-

schen Potential µB. Die Zustande konnen komplett durch ihre Geschwindigkeit vS (mit

S “ L oder S “ R) und ihre Temperatur TS charakterisiert werden. Die restlichen primi-

tiven Variablen, wie der Druck pS und die Baryondichte nB,S , sowie die Energiedichte eS

sind durch die Zustandsgleichung gegeben (siehe Kapitel 4.1) und damit alle abhangig von

T. Im Folgenden wird das Rezept vorgestellt, mit dem man den Druck p‹, beziehungsweise

die Temperatur T‹ des Zwischenzustandes fur diesen Solver berechnen kann. Dies geschieht

letzten Endes, in dem die Nullstelle einer Funktion fppq mit fpp “ p‹q “ 0 gesucht wird.

In den folgenden Gleichungen tritt deshalb p als Variable auf, von der die Variablen des

Zwischenzustandes S‹, abgesehen von dem jeweiligen Anfangszustand S, abhangig sind.

Man startet mit dem Taub Adiabat (3.28) fur die Anfangszustande S und die Zwi-

schenzustande S‹pp,Sq. Aus diesem lasst sich ein Ausdruck fur die Baryondichte im Zwi-

schenzustand herleiten, der nur von eppq, p und den physikalischen Großen des jeweiligen

Anfangszustandes abhangt.

62 6. Approximative Losung des Riemann Problems fur QGP

vê ` p

nB

˙2

w “˜epp,Sq ` p

n2Bpp,Sq ` eS ` pS

n2B,S

¸¨ vpw

ô pepp,Sq ` pq2 ´ pepp,Sq ` pqvpwn2Bpp,Sq “peS ` pSq2 ` peS ` pSqvpw

n2B,S

ô n2Bpp,Sq “n2

B,S

pepp,Sq ` pq2 ´ pepp,Sq ` pqvpwpeS ` pSq2 ` peS ` pSqvpw

ô n2Bpp,Sq “n2

B,S

e2pp,Sq ` epp,Sqp ` epp,SqpS ` pPS

e2S

` eSpS ` eSp ` pSp

ô nBpp,Sq “nB,S

dpepp,Sq ` pSqpepp,Sq ` pq

peS ` pSqpeS ` pq (6.1)

Mit Hilfe dieses Ausdrucks und (3.27) lasst sich nun das Quadrat des Baryonflusses j

entlang der Stoßwelle herleiten:

j2 “ ´ vpwv e`p

n2B

w(6.2)

“ ´ vpwepp,Sq`p

n2B

pp,Sq´ eS`pS

n2B,S

(6.3)

“ ´ vpwpeS`pSqpeS`pqn2B,S

pepp,Sq`pSq´ pepp,Sq`pSq

n2B,S

(6.4)

“n2B,S

vpwpeS`pSqrpepp,Sq`pSq´peS`pqs

pepp,Sq`pSq

(6.5)

“n2B,S

vpwvew ´ vpw

epp,Sq ` pS

eS ` pS(6.6)

Um die weiteren Rechnungen zu vereinfachen wird der Baryonfluss j uber die Baryondichte

des Anfangszustandes nB,S normiert.

J2pp,Sq “ ´ 1

n2B,S

vpwv e`p

n2B

w“ vpw

vew ´ vpwepp,Sq ` pS

eS ` pS(6.7)

Schließlich muss noch berucksichtigt werden, dass in numerischen Berechnungen auch die

Grenzfalle limvpw Ñ 0 und limvew Ñ 0 auftreten konnen. In diesen Fallen wird die nu-

merische Berechnung des normierten Baryonflusses J fehlerhaft32. Um dieses Problem zu

umgehen, wird fur diese Grenzfalle der Wert von J2 durch den Grenzwert

limvpw,vewÑ0

J2pp,Sq “c2s,S

1 ´ c2s,S

ersetzt, der nur von dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit c2s,S des jeweiligen Anfangs-

32Genauer erhalt man fur J2 Werte ă 0.

63

zustandes S abhangt.

Die Geschwindigkeit nach der Stoßwelle kann nun analog zu Kapitel 3.4.2 hergeleitet

werden. Sowohl die Geschwindigkeit der Stoßwelle (3.31), als auch die darin enthaltenen

Variable ζ˘,S (3.29) beinhalten jedoch die Baryondichte in der Form vonDS “ γSnB,S . Um

nun mogliche Divergenzen fur sehr geringe beziehungsweise verschwindende Baryondichten

zu vermeiden, mussen diese Gleichungen umformuliert werden. Man definiert die neue

Variable ξ˘,Sppq uber (3.29) mit dem normierten Baryonfluss Jpp,Sq “ jpp,SqnB,S als

ζ˘,Sppq “vSDS

˘c

1D2

S

` p1´v2Sq

J2

1 ´ v2S

“ 1

DS

vS ˘b

1 ` p1´v2Sqγ2

S

J2

1 ´ v2Sloooooooooooomoooooooooooon

ξ˘,Sppq

.

Mit

ξ˘,Sppq “vS ˘

b1 ` p1´v2

Sqγ2S

J2

1 ´ v2S

(6.8)

und der Definition der freien Enthalpie h “ pe ` pqnB kann nun die Geschwindigkeit

hinter der Stoßwelle (3.31) unabhangig von der Baryondichte nB geschrieben werden:

vpp,Sq “hSγSvS ` vpw ξ˘,Sppq

DS

hSγS ` vpw!ξ˘,SppqvS

DS` 1

DS

)

“hSDS

DSγSvS ` vpw ξ˘,Sppq

DS

hSγSDS

DS` vpw

!ξ˘,SppqvS

DS` 1

DS

)

“ ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq

ppS ` eSqγ2S

` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u (6.9)

Wie auch in Kapitel 3.4.2 gibt das Vorzeichen von ξ˘,S an, in welche Richtung (` fur S “ R

bzw. ´ fur S “ L) die Stoßwelle propagiert. Der Preis, den man fur diese Darstellung

bezahlen muss ist, dass die Geschwindigkeit vpp,Sq nun nicht mehr von der freien Enthalpie

abhangt und somit das System nicht mehr wie in Kapitel 3.4.3 gelost werden kann.

Nach dem in Kapitel 3.5.1 vorgestellten Rezept muss als nachstes der Druck der Zwi-

schenzustande p‹ gefunden werden, wobei fur die Geschwindigkeiten der Zwischenzustande

L‹ und R‹

vL‹pp‹q “ vR‹pp‹q “ v‹pp‹q

gilt. Sind sowohl p‹, als auch v‹ gefunden, lassen sich alle anderen Variablen der Zwischen-

zustande bestimmen.

Der Druck p‹ lasst sich numerisch uber eine Nullstellensuche bestimmen. Da die Ge-

schwindigkeiten vL‹pp‹q und vR‹pp‹q gleich sein mussen, muss dementsprechend die Null-

stelle der Funktion

fpp,Sq “ vL‹pp‹q ´ vR‹pp‹q


gesucht werden. Mit der in Kapitel 5.1 vorgestellten Newton-Raphson Methode kann die

Nullstelle p‹ iterativ uber

ppn`1q “ ppnq ´ vpppnq,Lq ´ vpppnq,Rqv1pppnq,Lq ´ v1pppnq,Rq

berechnet werden. Dafur wird jedoch zusatzlich die erste Ableitung der Geschwindigkeit

vpp,Sq nach dem Druck p benotigt.

v1pp,Sq “ d

dp

ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq

ppS ` eSqγ2S

` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u““ppS ` eSqγ2S ` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u

‰´1 ¨ Bp“ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq

‰

`“ppS ` eSqγ2SvS ` vpwξ˘,Sppq

‰¨ Bp

“ppS ` eSqγ2S ` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u

‰´1

“ξ˘,Sppq ` vpwξ1

˘,SppqppS ` eSqγ2

S` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u ´

vpp,Sq ¨´vSξ˘,Sppq ` vpwvSξ1

˘,Sppq ` 1¯

ppS ` eSqγ2S

` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u

“

!ξ˘,Sppq ` vpwξ1

˘,Sppq)

t1 ´ vSvpp,Squ ´ vpp,SqppS ` eSqγ2

S` vpw tξ˘,SppqvS ` 1u (6.10)

Die Ableitung von ξ˘,a kommt nur in der Kombination vpwξ1˘,a vor. Mit Hilfe der Ableitung

des Baryonflusses (6.7)

dJ2pp,Sqdp

“ d

dp

¨˝´ 1

n2B,S

vpwv e`p

n2B

w

˛‚

“ ´ 1

n2B,S

»– 1

v e`p

n2B

w¨ Bpvpw ` vpw ¨ Bp

1

v e`p

n2B

w

fifl

“ 1

n2B,S

»– vpw

v e`p

n2B

w2¨ Bpve ` p

n2B

w ´ 1

v e`p

n2B

w

fifl

“J2pp,Sq ¨ Bpv e`p

n2B

wv e`p

n2B

w´ 1

n2B,Sv e`p

n2B

w

und

ξ˘,Sppq “vS ˘

b1 ` p1´v2

Sqγ2S

J2

1 ´ v2S

ô ˘

d

1 ``1 ´ v2

S

˘γ2S

J2“ξ˘,Sppqp1 ´ v2Sq ´ vS

65

erhalt man

vpwdξ˘,Sppqdp

“vpw d

dp

vS ˘c

1 ` p1´v2Sqγ2

S

J2pp,Sq

1 ´ v2S

“ ˘ vpw1 ´ v2

S

¨ 12

1b1 ` p1´v2

Sqγ2S

J2

¨ ´p1 ´ v2S

qγ2S

J4pp,Sq ¨ BpJ2pp,Sq

“ ´ γ2S

2

vpw

˘b1 ` p1´v2

Sqγ2S

J2

1

J4pp,Sq

¨˝J2pp,Sq ¨ Bpv e`p

n2B

wv e`p

n2B

w´ 1

n2B,Sv e`p

n2B

w

˛‚

“ ´ γ2S

2

1

ξ˘,Sppqp1 ´ v2S

q ´ vS

1

J4pp,Sq

ˆn2B,SJ

4pp,Sq ¨ Bpve ` p

n2B

w ´ J2

˙

“ ´ γ2S

2

n2B,SBpv e`p

n2B

w ´ 1J2

ξ˘,Sppqp1 ´ v2S

q ´ vS. (6.11)

Da die Ableitung des Quadrates der Baryondichte im Zwischenzustand (6.1) als

d

dpn2B “ d

dpn2B,S

pe ` pSqpe ` pqpeS ` pSqpeS ` pq

“n2B,S

„1

peS ` pSqpeS ` pq ¨ Bp tpe ` pSqpe ` pqu ` tpe ` pSqpe ` pqu

¨ Bp1

peS ` pSqpeS ` pq

“n2B,S

peS ` pSqpeS ` pq

„peS ` pqpe ` pqpe ` pq

„1

c2s` 1

` pe ` pSqpe ` pq

pe ` pSq1

c2s

´ pe ` pSqpe ` pqpeS ` pSqpeS ` pSqpeS ` pq

“n2B

„pe ` pSq ` pe ` pqpe ` pqpe ` pSq

1

c2s` 1

e ` p` 1

eS ` p

geschrieben werden kann, ist die Ableitung von vpe`pqn2Bw multipliziert mit nB,S in (6.11)

durch

n2B,S

d

dpve ` p

n2B

w “n2B,S

„1

n2B

Bppe ` pq ´ pe ` pqn4B

Bpn2B

“n2B,S

n2B

„1

c2s` 1 ´ pe ` pq

" pe ` pSq ` pe ` pqpe ` pqpe ` pSq

1

c2s` 1

e ` p` 1

eS ` p

*

“peS ` pSqpeS ` pqpe ` pSqpe ` pq

„1

c2s´ pe ` pSq ` pe ` pq

e ` pS

1

c2s` e ` p

eS ` p

“eS ` pS

e ` pS

„1 ´ eS ` p

e ` pS

1

c2s

gegeben. Bei den numerischen Berechnungen wird der Iterationsprozess gestoppt, sobald

die relative Anderung des Drucks |ppn`1q ´ppnq| unter 10´6 fallt. Ist p‹ bekannt, lassen sich

die Geschwindigkeit v‹ uber (6.9) und die Baryondichte n‹ uber (6.1) bestimmen, womit


der gesamte Zwischenzustand bekannt ist.

6.1. Abbildung der Losung auf den Punkt xt “ 0

Sobald der Zwischenzustand bekannt ist, mussen die numerischen Flusse F bestimmt wer-

den, mit deren Hilfe das System an dem jeweiligen Gitterpunkt uber die in Kapitel 5.4

vorgestellten Methoden um einen Zeitschritt weiter entwickelt werden kann.

Wie in Abbildung 3 dargestellt, besteht die Losung des Riemann Problems aus den vier

Zustanden L, L‹, R und R‹. Man erhalt nun die numerischen Flusse als Funktion der

Zustandsvektoren FpS,S‹q, in dem man die Losung des Riemann Problems am Punkt

xt “ 0 betrachtet.

Als erstes wird anhand der Geschwindigkeit v‹ festgestellt, in welche Richtung die Welle

am Punkt xt “ 0 propagiert. Festgelegt durch das Vorzeichen von v‹ nutzt man entweder

die Zustande L und L‹ oder R und R‹. Zusammengefasst erhalt man

S‹,S “#

L‹, L falls σ ă 0,

R‹, R falls σ ą 0,

mit σ “ ´sgnpv‹q, wobei

sgnpαq “

$’&’%

´1 falls α ă 0,

0 falls α “ 0,

`1 falls α ą 0.

Als nachstes wird gepruft, ob es sich bei der Welle zwischen den jeweiligen Zustanden S

und S‹ um eine Stoßwelle (p‹ ą pS) oder eine Verdunnungswelle (p‹ ă pS) handelt. Fur

eine Stoßwelle wird die charakteristische Geschwindigkeit des Zustandes λS , beziehungs-

weise λS,‹ mit der Geschwindigkeit der Stoßwelle gleichgesetzt:

λS “ λS‹ “ 1

ξ˘,‹pp‹,Sq ` vS

Fur eine Verdunnungswelle wird λS,‹ nach

λS‹ “#

λ´pL‹q falls σ ă 0

λ`pR‹q falls σ ą 0

bestimmt. Dabei sind λ´ und λ` die minimale und maximale Wellengeschwindigkeit,

die durch die Eigenwerte (A.1) gegeben sind. Zusatzlich wird noch gefordert, dass fur

den linken Zustand L (σ ă 0) λL,‹ großer als die minimale Wellengeschwindgkeit λ´L

des Zustandes, beziehungsweise fur den rechten Zustand R (σ ą 0) λR,‹ kleiner als die

maximale Wellengeschwindigkeit λ`R

des Zustandes sein muss.

Mit Hilfe von λS und λS,‹ ist es schließlich moglich den fur die zeitliche Entwicklung

67

benotigten numerischen Fluss nach dem Schema

FpS,S‹q “

$’&’%

S‹ falls σλS,‹ ą 0

S falls σλS ă 0λSS‹´λS,‹S

λS´λS,‹falls σλS,‹ ă 0 ă σλS

zu bestimmen. Die dritte Zeile berucksichtigt noch die Moglichkeit, dass das System sich

an der Stelle xt “ 0 im Facher der Verdunnungswelle befindet.

Weitere Informationen zu dem Verfahren sind in [9] und [33] gegeben.

6.1.1. Wiederherstellung der primitiven Variablen

Nach dem das System mit Hilfe des numerischen Flusses und der in Kapitel 5.4.2 vorge-

stellten Methode um einen Zeitschritt weiter entwickelt wurde, mussen nun - basierend auf

den vorhandenen konservativen Variablen (3.6) - wieder die primitiven Variablen gefunden

werden. In Kapitel 3.1 wurde schon erwahnt, dass es fur diesen Prozess keine simple ana-

lytische Methode gibt. Um nun dennoch an die primitiven Variablen zu gelangen, wird mit

Hilfe der Newton-Raphson Methode (siehe Kapitel 5.1) der Druck p durch die Nullstelle

der Funktion

fppq ” re pp, nBppqq ` ps γ2ppq ´ p ´ E “ 0

bestimmt. Die Funktion setzt sich zusammen aus dem vorhandenen Wert der erhaltenen

Energie E und dessen Darstellung in den primitiven Variablen E “ pe ` pqγ2 ´ p, die alle

nur vom Druck p abhangig sind. Die Geschwindigkeit v kann durch

pe ` pqγ2 “ E ` p und m “ pe ` pqγ2v

als

v “ m

E ` p(6.12)

geschrieben werden.

Damit lassen sich sowohl γ mit

1

γ2“ 1 ´ m2

pE ` pq2 (6.13)

als auch die Baryondichte nB mit

nBppq “ D

γ(6.14)

allein durch den Druck p und die primitiven Variablen D, m und E ausdrucken. Zusatzlich

wird zum Anwenden des iterativen Algorithmus (5.1) die erste Ableitung der Funktion fppqnach dem Druck benotigt. Mit Hilfe der Ableitungen von (6.13) und (6.14) bei konstantem


D,m,E

Bpγ “Bpˆ1 ´ m2

pE ` pq2˙´ 1

2

“ ´ γ2

pE ` pq3

“ ´ γ3

E ` p¨ γ

2 ´ 1

γ2

“ ´ γ

E ` p¨`γ2 ´ 1

˘,

und somit

Bpγ2 “ ´ 2γ2

E ` p¨`γ2 ´ 1

˘,

beziehungsweise

BpnB “ ´ D

γ2Bpγ “ D

γ

`γ2 ´ 1

˘

E ` p,

erhalt man als Ableitung von der Funktion fppq:

f 1ppq “ dfppqdp

“ re pp, nBppqq ` ps ¨ Bpγ2 `„Be pp, nBppqq

Bp ` 1

γ2 ´ 1

“ ´ 2 re ` ps γ2`γ2 ´ 1

˘

E ` p`„Be

Bp ` BeBnB

¨ BnB

Bp ` 1

γ2 ´ 1

“ˆBe

Bp ` 1

˙γ2 `

ˆ BeBnB

´ D

γ´ 2pe ` pq

˙γ2

`γ2 ´ 1

˘

E ` p´ 1 (6.15)

Nun mussen nur noch die partiellen Ableitungen von e fur eine Region mit geringer

Baryondichte bestimmt werden. Man erhalt die Approximationen

Be pp, nBqBp “ 1

c2s pp, nB “ 0q ` Opn2Bq (6.16)

« 1

c2s pp, 0q (6.17)

und

Be pp, nBqBnB

“ nB

χpT, µB “ 0q

ˆ1 ` T

χpT, 0qBχpT, 0q

BT ´ 1

c2s

˙` Opn3

Bq (6.18)

« nB

χpT, 0q

ˆ1 ` T

χpT, 0qBχpT, 0q

BT ´ 1

c2s

˙. (6.19)

Das explizite Auftreten der Temperatur in Gleichung (6.19) stellt kein großes Problem

dar, weil der Druck p durch die Zustandsgleichung in Kapitel 4.1 selbst von der Temperatur

abhangig ist und dort ein Algorithmus vorgegeben wurde, wie man aus der Temperatur den

dazugehorigen Druck erhalt. Die Suszeptibilitat der Baryonzahl χpT, 0q ist durch (4.11)

69

gegeben. Ableiten von χpT, 0q nach der Temperatur ergibt

BχpT, 0qBT “ aT

#2

„1 ` tanh

ˆT ´ T0

∆T

˙` T

cosh2`T´T0

∆T

˘¨ ∆T

+

mit a “ 0.15, T0 “ 167 MeV und ∆T “ 60 MeV.

Nun lasst sich uber

ppn`1q “ ppnq ´ fpppnqqf 1pppnqq

der zu dem Satz von konservativen Variablen D,m,E gehorende Druck p bestimmen. Aus

p kann darauf hin uber die Zustandsgleichung die Baryondichte nB bestimmt werden. Die

Geschwindigkeit v erhalt man uber (6.12). Mit Hilfe dieses Algorithmus konnen nun die

primitiven Variablen sowohl aus Berechnungen mit idealer relativistischer Hydrodynamik,

als auch fur den dissipativen Fall wiederhergestellt werden.


71

7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen

7.1. Die Phasen einer Schwerionenkollision

Um die Kollision zweier ionisierter Atomkerne zu untersuchen, werden die Kerne auf hohe

Energien beschleunigt und auf Kollisionskurs gebracht. Dabei wird die z-Achse als die

longitudinale Achse definiert, auf der sich die Kerne aufeinander zu bewegen. Durch die

hohen Geschwindigkeiten treten relativistische Effekte auf, wie zum Beispiel die Lorentz-

Kontraktion der Kerne entlang der longitudinalen Achse. Außerdem verlangsamt die Zeit-

dilatation die dynamischen Prozesse innerhalb der Kerne, wodurch die Gluonen immer

wichtiger werden, um die internen Prozesse zu beschreiben.

Der Kollisionsprozess zweier Lorentz-kontrahierter Atomkerne lasst sich in mehrere Pha-

sen einteilen, die in Abbildung 17 dargestellt sind.

In der ersten Phase kollidieren die Kerne miteinander. Sie prallen jedoch nicht frontal

aufeinander, sondern sind in der transversalen Ebene mit einem bestimmten Stoßparame-

ter b versetzt. Dieser gibt den Abstand der Schwerpunkte bei ausgeschalteter Wechselwir-

kung zueinander an und liegt meistens in der Großenordnung von mehreren fm33.

Diese Phase legt die Ausgangsbedingungen der in den Atomkernen vorhandenen Nukleo-

nen augenblicklich nach der Kollision fest und kann in erster Naherung uber klassische Dy-

namik durch das Glauber-Modell beschrieben werden. Nun kollidieren die Nukleonen mit-

einander. Es entsteht eine so hohe Energiedichte, dass das Confinement, welches die Quarks

und die Gluonen in den Nukleonen bindet, aufgehoben wird und diese sich innerhalb des

entstandenen Quark-Gluon-Plasmas frei bewegen konnen. Durch die starke Wechselwir-

kung zwischen den Teilchen lasst sich das entstandene Plasma im nicht-Gleichgewichts-

und Gleichgewichtszustand durch die Methoden der dissipativen und idealen Hydrodyna-

mik beschreiben. Nach kurzer Zeit beginnt sich das Quark-Gluon-Plasma abzukuhlen und

die Energiedichte verringert sich. Wenige Augenblicke spater ist die Temperatur so weit

gefallen, dass sich die Quarks und Gluonen wieder zu Hadronen zusammen schließen. Es

kommt zum Freeze-Out, ab dem die entstandenen Teilchen nicht mehr untereinander in

Wechselwirkung stehen, sondern sich frei bewegen konnen. Die hydrodynamische Beschrei-

bung der Teilchen kann man nun nicht mehr nutzen und es muss wieder auf eine kinetische

Beschreibung zuruckgegriffen werden.

Ein Buch, dass sich ausfurhlich mit diesem Thema beschaftigt, ist [34]. Fur eine kurze

Zusammenfassung sei auf [35] verwiesen.

331 fm = 10´15 m

72 7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen

z

t HadronenÑ kinetische Theorie

gleichgewichts ZustandÑ ideale Hydrodynamik

nicht-gleichgewichts ZustandÑ dissipative Hydrodynamik

fruhe ZustandeÑ klassische Dynamik

Freeze -Out

Abbildung 17: Die unterschiedlichen Phasen einer Schwerionenkollision

7.2. Das Landau-Modell

Das Landau-Modell wurde in den fruhen 1950er Jahren entwickelt und fuhrte als erstes

Modell die Idee an, Kollisionen von hadronischer Materie mit Hilfe von relativistischer

Hydrodynamik zu beschreiben.

Landau entwickelte ursprunglich das Modell, um die Kollision zweier Protonen zu be-

schreiben. Er nahm an, dass bei der Kollision der Protonen Energie innerhalb eines

Volumens frei wird, dass der Lorentz-kontrahierten Große eines Protons entspricht. Da-

durch entwickelt sich jedoch ein großer longitudinaler Druckgradient, wodurch das System

anfangt sich zu verandern. Es wird als Anfangsbedingungen also ein physikalisches System

fur eine gegebene Laborzeit im Schwerpunktsystem betrachtet, in dem die Materie stark

komprimiert und in Ruhe ist und sich darauf hin entwickelt.

Da in diesem fruhen Stadium nach der Kollision der longitudinale Druck wesentlich

großer ist, als der transversale Druck, ging Landau davon aus, dass sich die Entwicklung

des physikalischen Systems nur durch die Betrachtung einer Dimension - und zwar der

Richtung des longitudinalen Drucks - mit Hilfe idealer relativistischer Hydrodynamik und

einer Zustandsgleichung der Form e “ 3p beschreiben lasst. Ab einem gewissen Punkt

kann der transversale Druck jedoch nicht mehr vernachlassigt werden und es muss ein

dreidimensionales hydrodynamisches System betrachtet werden.

Das Landau-Modell kann von Proton-Proton-Kollisionen auf allgemeine Kollisionen ha-

dronischer Materie erweitert werden. Dementsprechend ist es moglich das Landau-Modell

auf Schwerionenkollisionen anzuwenden und die hydrodynamische Entwicklung des Quark-

Gluon-Plasmas kurz nach seiner Entstehung zu untersuchen.

73

∆ “ 2l

T

z

(a) Anfangszustand des Systems im Landau-Modell

∆ “ 2l

T

z

(b) Entwicklung des Systems im Landau-Modell

Abbildung 18: Schematische Darstellung des zu betrachtenden Systems im Landau-Modell

Dazu wird die bei der Kollision entstandene Kollisionsflache im Landau-Modell durch

eine flache Scheibe approximiert. Sie hat im Anfangszustand die Breite ∆ “ 2l von zwei

Lorentz-kontrahierten Atomkernen. l ergibt sich aus

l “ R ¨ 2mN?sNN

.

R ist der Radius des Atomkerns, mN seine Masse und?sNN die Schwerpunktsenergie pro

Kern-Kern Stoß, die innerhalb des Teilchenbeschleunigers bei der Kollision erzeugt wird.

Der Faktor 2mN?sNN beschreibt die Lorentz-Kontraktion der Kerne.

Der Anfangszustand wird in Abbildung 18(a) schematisch dargestellt. Er entspricht ei-

nem Temperaturplateau der Lange ∆ innerhalb eines Systems mit der Grundtemperatur

T0, die so hoch gewahlt werden sollte, dass die hydrodynamische Beschreibung des Sys-

tems noch moglich ist (« 180 MeV). Da das System sich symmetrisch in beide Richtungen

entwickeln wird, ist der Ursprung des Koordinatensystems auf den Mittelpunkt des Tem-

peraturplateaus gelegt.

Fangt das System nun an sich entlang der z-Achse in beide Richtungen zu entwickeln,

entsteht jeweils eine Welle, die sich nach außen bewegt (schwarze Pfeile) und jeweils eine

Welle (rote Pfeile), die auf den Mittelpunkt des Temperaturplateaus zusteuert.

Ziel dieser Arbeit ist es unter anderem die in Abbildung 18(a) dargestellten Anfangs-

bedingungen durch die Methoden numerischer relativistischer Hydrodynamik zu beschrei-

ben. Durch das Verwenden von numerischen Methoden ist es zum einen moglich, eine

Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik zur Simulation des Quark-Gluon-Plasmas

zu verwenden und zum anderen dissipative Effekte zu berucksichtigen.

74 7. Theoretische Beschreibung von Schwerionenkollisionen

7.3. Das Bjorken-Modell

Das Landau-Modell ist eine gute Approximation der hydrodynamischen Entwicklung einer

Kollision von hochenergetischen Hadronen. Es vernachlassigt jedoch den wichtigen Aspekt,

dass schnelle Teilchen, die spater und weiter vom Kollisionszentrum entfernt entstehen,

innerhalb des Landau-Modells nicht mehr berucksichtigt werden.

Um diese Teilchen dennoch zu berucksichtigen, sind weitere spezielle Anfangsbedingun-

gen notig, die von Bjorken untersucht wurden.

Die Motivation in Bjorkens Modell [36] ist eine konstante Rapiditatsverteilung der ge-

ladenen Teilchen im Bereich der Midrapiditat

dNch

dy“ konst.

mit der Anzahl der geladenen Teilchen Nch und der Rapiditat y. Es existiert also bei

entsprechend hohen Energien eine zentrale plateauartige Struktur wo die Teilchen produ-

ziert werden. Diese Annahme fuhrt zur Invarianz der zentralen Region des Systems unter

Lorentz-Boosts entlang der Kollisionsachse z. Die kollidierenden Kerne werden demnach

im Schwerpunktsystemen zu Lorentz-kontrahierten scheibenformigen Objekten (Pfannku-

chen), die sich in jedem Bezugssystem kurz nach der Kollision vom Kollisionspunkt mit

Lichtgeschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen fortbewegen.

Daraus folgt die Annahme, dass die Geschwindigkeit des entstanden Fluids entlang der

z-Achse durch

vz “ z

t(7.1)

gegeben ist und alle thermodynamischen Großen nur von der longitudinalen Eigenzeit

τz “?t2 ´ x2 abhangen.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass mit dem Bjorken-Modell Abschatzungen fur die

Energiedichte gemacht werden konnen, die zu Beginn der hydrodynamischen Beschreibung

von Schwerionenkollisionen im System herrscht. Die mit dem Bjorken-Modell abgeschatzte

Energiedichte ubersteigt jedoch um wenigstens eine Großenordnung den Wert, den man

fur die Ansammlung der Teilchen nach der Kollision erwartet. Diese Erkenntnis ist ein

weiterer Indikator fur die Bildung einer neuen Materie aus den kollidierten Teilchen, dem

Quark-Gluon-Plasma.

75

8. Numerische Simulation von QGP

Der in den Kapiteln 5.4.2, 5.6 und 6 vorgestellte Algorithmus soll nun verwendet wer-

den, um Aussagen uber die hydrodynamische Phase in Schwerionenkollisionen zu ma-

chen. Um die physikalischen Eigenschaften des in dieser Phase entstehenden Plasmas aus

Quarks und Gluonen zu berucksichtigen, wird dabei die in Kapitel 4.1 vorgestellte Zu-

standsgleichung der Quantenchromodynamik verwendet. In Kapitel 8.1 wird mit Hilfe des

entwickelten Algorithmus das Shocktube-Problem gelost. Es werden sowohl Ergebnisse

der idealen Hydrodynamik prasentiert, als auch Ergebnisse, in denen dissipative Effekte

berucksichtigt werden. Des Weiteren werden die Veranderungen der Stromungsprofile bei

unterschiedlichen Scherviskositaten diskutiert und die Auswirkungen von Dehnviskositat

auf das System betrachtet. Daraufhin wird in Kapitel 8.2 der Algorithmus mit den An-

fangsbedingungen des in Kapitel 7.2 vorgestellten Landau-Modells versehen, um Aussagen

uber die ersten Augenblicke nach der Bildung des Quark-Gluon-Plasmas in einer Kollision

zweier schwerer Atomkerne zu machen.

Da alle Berechnungen der Analyse von Schwerionenkollisionen dienen sollen, mussen die

gewahlten Anfangsbedingungen mit den Anfangsbedingungen der Experimente an Teil-

chenbeschleunigern, wie dem LHC oder dem RHIC konsistent sein. Am RHIC liegt die

maximale Starttemperatur fur die Kollision zweier Goldkerne bei einer Schwerpunktsener-

gie von?sNN “ 200 GeV zwischen T “ 300 MeV und T “ 600 MeV. Daruber hinaus wird

in der Praxis auf Grund des Freeze-Out die hydrodynamische Betrachtung der Kollision

nur bis zu einer Temperatur von T « 150 ´ 120 MeV verwendet. Die moglichen Werte fur

das chemische Potential der Baryonen liegen am RHIC bei µB « 24 MeV und am LHC

bei µB « 1 MeV, wobei in allen, fur diese Arbeit durchgefuhrten Berechnungen der Wert

vom RHIC verwendet wird. Da Quark-Gluon-Plasma bei verschwindender Baryondichte

betrachtet werden soll, ist nB in den Berechnungen nur als Hilfsgroße anzusehen und hat

in den durchgefuhrten Berechnungen keine physikalische Aussagekraft. In allen Berech-

nungen werden die als flow-out bezeichnete Randbedingungen benutzt. Es gilt also fur ein

Gitter mit r0, ..., N s Gitterpunkten,

V nj “ V n

0 und V nk “ V n

N ,

wobei j ă 0 und k ą N .

76 8. Numerische Simulation von QGP

8.1. Shocktube-Problem

Das Shocktube-Problem wurde erstmals 1978 von Gary A. Sod eingefuhrt [37]. Dabei

werden die Anfangsbedingungen des zu betrachtenden Systems so gewahlt, dass ein Wel-

lenbild der Form (3.35), also RÐ C SÑ, entsteht. Um dieses Wellenbild mit Hilfe der zwei

Anfangszustande L und R zu realisieren, muss der Druck pLpT q und somit die Temperatur

großer sein, als pRpT q.Im weiteren Verlauf soll nun das Shocktube-Problem mit den Anfangsbedingungen TL “

400 MeV und TR “ 180 MeV betrachtet werden. Zum Zeitpunkt t “ 0 fm ist das Fluid

in Ruhe (vL “ vR “ 0). Das betrachtete System hat eine Lange von 10 fm und wird mit

100 Gitterpunkten diskretisiert.

8.1.1. Der Vergleich zweier Zustandsgleichungen

Bei numerischen Berechnungen ist die Rechenzeit ein Faktor, der eine tragende Rolle spielt.

Gerade komplizierte Zustandsgleichungen, wie die in Kapitel 4.1 vorgestellte Zustands-

gleichung der QCD, sorgen durch ihre Komplexitat fur eine signifikante Erhohung der

Rechenzeit34. Aus diesem Grund ist eine wichtige Frage, wie stark komplizierte aber rea-

listischere Zustandsgleichungen die Ergebnisse der numerischen Berechnungen verandern.

Sind komplizierte Zustandsgleichungen, obgleich der hohen Rechenzeit, besser geeignet, als

einfach Zustandsgleichungen, welche die Eigenschaften des Systems dennoch ausreichend

approximieren?

In Abbildung 19 sind die Zustandsgleichung der QCD und die Zustandsgleichung ei-

nes freien Gluon-Gases35 aufgetragen, welches zum Beispiel in [1] verwendet wird. Zur

Veranschaulichung listet Tabelle 2 zusatzlich die benotigte CPU-Zeit fur Berechnungen

mit den beiden Zustandsgleichungen auf. Die Rechenzeit mit der Zustandsgleichung der

QCD liegt um einen Faktor von 104 deutlich hoher als die Rechenzeit mit der einfachen

Zustandsgleichung eines freien Gluon-Gases.

IDEAL DISSIPATIV

freies Gluon-Gas 0.141048 0.179182

QCD 1996.5 6449.23

Tabelle 2: CPU-Zeit (in Sekunden) der unterschiedlichen Berechnung bis zum Zeitpunktt “ 1 fm

34Bei der Zustandsgleichung der QCD aus Kapitel 4.1 entsteht der starke Anstieg der Rechenzeit aus dernumerische Integration, die bei der Berechnung des Drucks benotigt wird, in Kombination mit denNullstellenalgorithmen fur die Suche nach der Temperatur und dem Druck des Zwischenzustandes p‹.

35Zustandsgleichung fur das freie Gluon-Gas: e “ 3p & epT q “ 48T 4π2

77

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p“ G

eVfm

3‰

x rfms

QCD, ηs

“ 0

QCD, ηs

“ 0.16

Gluon-Gas, ηs

“ 0

Gluon-Gas, ηs

“ 0.16

(a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v

x rfms

QCD, ηs

“ 0

QCD, ηs

“ 0.16

Gluon-Gas, ηs

“ 0

Gluon-Gas, ηs

“ 0.16

(b)

Abbildung 19: Shocktube-Problem mit der Zustandsgleichung eines freien Gluon-Gasesund der Zustandsgleichung der QCD bei gleichen Anfangsbedingungen

Die offensichtlichen Unterschiede der beiden Zustandsgleichungen sind die Großenord-

nungen fur den Druck. Die Unstetigkeitsstelle, gekennzeichnet durch das lokale Minimum

des Drucks, ist fur die beiden Zustandsgleichungen leicht versetzt. Innerhalb der Geschwin-

digkeitsprofile besitzt die QCD eine hohere Maximalgeschwindigkeit, wahrend das Profil

des Gluon-Gases etwas breiter ausfallt. Dennoch haben die Stromungsprofile vom Gesamt-

bild her im idealen Fall grob dieselbe Form. Bei der Berucksichtigung der dissipativen Ef-

fekte in den Stromungsprofilen ist jedoch die Wahl der Zustandsgleichung keine Trivialitat

mehr, da fur die jeweiligen Zustandsgleichungen die Dissipation unterschiedliche Auswir-

kungen auf die Stromungsprofile hat. Das Stromungsprofil des Drucks der QCD fallt zum

Beispiel im Bereich der entstandenen Stoßwelle (um x “ 8 fm) wesentlich abrupter und

starker ab, als das des freien Gluon-Gases. Deutlicher wird die Auswirkung der Dissipation

im Geschwindigkeitsprofil, wo fur das freie Gluon-Gas ein wesentlich breiteres Profil ent-

steht als fur die QCD. Die Dehnviskositat wurde an dieser Stelle nicht weiter untersucht,

da sie im freien Gluon-Gas nicht existiert und ein Vergleich somit hinfallig ist.

Da das Augenmerk dieser Arbeit auf der Untersuchungen des Quark-Gluon-Plasmas

unter Berucksichtigung der dissipativen Effekte liegt, ist dementsprechend die Benutzung

einer realistischen Zustandsgleichung notwendig, auch wenn diese zu einem starken Anstieg

der benotigten Rechenzeit fuhrt. Mochte man hingegen das Quark-Gluon-Plasma nur mit

Hilfe der idealen Hydrodynamik untersuchen, ware es, auf Grund der Ahnlichkeit der

Stromungsprofile auch eine Moglichkeit, die Zustandsgleichung des freien Gluon-Gases zu

verwenden und anzunehmen, dass sich das Quark-Gluon-Plasma im idealen Fall annahernd

gleich verhalt.

8.1.2. Das Shocktube-Problem fur QGP

Im weiteren Verlauf soll nun das Shocktube-Problem mit der in Kapitel 4.1 vorgestellten

Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik und den am Anfang des Kapitels disku-


tierten Anfangsbedingungen betrachtet werden. In Abbildung 20 wird der zeitliche Verlauf

der Geschwindigkeit v (Abbildung 20(a)) und der zeitliche Verlauf des Drucks p (Abbil-

dung 20(b)) fur ein ideales Fluid bis zu einem Zeitpunkt von t “ 4 fm dargestellt.

In Abbildung 20(a) bildet sich kurz nach Beginn der zeitlichen Entwicklung an der Dis-

kontinuitat (x “ 5 fm) ein Geschwindigkeitspeak, der sich im Laufe der Zeit zu beiden

Seiten ausweitet. Links von der Unstetigkeitsstelle bildet sich eine Verdunnungswelle und es

entsteht ein langsam ansteigendes Geschwindigkeitsprofil, wahrend sich nach rechts in die

Richtung der Stoßwelle das fur diese Wellenart charakteristische abfallende Geschwindig-

keitsprofil ausbreitet. Das Geschwindigkeitsmaximum befindet sich immer an der Position

der Unstetigkeitsstelle.

Analog zum Geschwindigkeitsmaximum befindet sich in Abbildung 20(b) an der Posi-

tion der Unstetigkeitsstelle ein lokales Minimum des Stromungsprofils von p. Auch hier

sind die charakteristischen Profile der Verdunnungs- und Stoßwelle gut zu erkennen. Die

Verdunnungswelle erzeugt einen gleichmaßigen Druckabfall links von der Unstetigkeits-

stelle, wahrend die Stoßwelle durch ein sich nach rechts ausbreitendes Druckplateau mit

abruptem Druckabfall zu Tage tritt.

79

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.51

1.52

2.53

3.54

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

v

x rfms

t rfms

v

00.10.20.30.40.50.60.7

(a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00.5

11.5

22.5

33.5

40

2

4

6

8

10

12

p“GeVfm3

‰

x rfms t rfms

p“GeVfm3

‰

024681012

(b)

Abbildung 20: Zeitlicher Verlauf der Stromungsprofile von v und p fur das Shocktube-Problem uber einen Zeitraum von 4 fm

In Abbildung 21(a) sind nun die Stromungsprofile fur den Druck p, die Energiedichte e,

die Geschwindigkeit v und die Temperatur T nach einer Zeitspanne von t “ 4 fm geplottet.


Dargestellt sind jeweils die Ergebnisse fur den idealen Fall, fur den dissipativen Fall ohne

Dehnviskositat und den dissipativen Fall mit Dehnviskositat ζ. Fur die dissipativen Falle

wurde jeweils ein Wert ηs “ 0.16 angenommen und fur die Relaxationszeiten τη “ τζ “1T . Der Wert fur die Dehnviskositat wird uber

ζ “ κ

ˆ1

3´ c2s

˙2

η (3.51)

mit κ “ 15 berechnet.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p“ G

eVfm

3‰

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.16 & ζ “ 0ηs

“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

(a)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

e“ G

eVfm

3‰

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.16 & ζ “ 0ηs

“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

(b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.16 & ζ “ 0ηs

“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

(c)

150

200

250

300

350

400

450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TrM

eVs

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.16 & ζ “ 0ηs

“ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

(d)

Abbildung 21: Stromungsprofile fur das Shocktube-Problem zur Zeit t “ 4 fm. Die An-fangstemperaturen sind TL “ 400 MeV und TR “ 180 MeV

81

Fur die Zustandsgleichung der QCD ist der Druck, bis auf den Beitrag der Spuranomalie

I, proportional zur Energie (e “ 3p ` I). Dementsprechend haben die Stromungsprofile

des Drucks (Abbildung 21(a)) und der Energiedichte (Abbildung 21(b)) nahezu die gleiche

Form und es wird im weiteren Verlauf nur noch das Stromungsprofil des Drucks betrachtet.

Da die charakteristischen Merkmale der Stromungsprofile fur p und v schon zu Abbil-

dung 20 erlautert wurden, wird nun das Augenmerk auf die Unterschiede zum dissipativen

Fall gerichtet.

Abbildung 22 zeigt das Stromungsprofil des Drucks und die Geschwindigkeit fur unter-

schiedlich große Scherviskositaten. Im Stromungsprofil des Drucks in Abbildung 22(a) sorgt

die Scherviskositat fur das Verschwinden des lokalen Minimums an der Unstetigkeitsstelle.

Der durch die Verdunnungswelle induzierte Druckabfall geht nahtlos in den Bereich der

Stoßwelle uber. Am Kopf der Stoßwelle wird der abrupte Abfall des Drucks abgebremst.

Je großer der Scherkoeffizient η wird, desto geringer wird die Steigung des Druckabfalls.

Betrachtet man nun die gleichen charakteristischen Stellen im Profil der Geschwindig-

keit, lassen sich dort analoge Effekte feststellen. Mit steigender Scherviskositat wird das

Geschwindigkeitsprofil breiter, wobei vor allem im Bereich der Stoßwelle ein Unterschied

zu erkennen ist. Mit steigender Scherviskositat verringert sich die Gesamtgeschwindigkeit

des Systems. Das Geschwindigkeitsmaximum an der Unstetigkeitsstelle verschwindet und

senkt sich in diesem Bereich immer weiter ab.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p“ G

eVfm

3‰

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.08ηs

“ 0.16ηs

“ 0.3

(a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.08ηs

“ 0.16ηs

“ 0.3

(b)

Abbildung 22: Profile des Drucks und der Geschwindigkeit fur unterschiedliche Werte derScherviskositat η

Abbildung 23 beinhaltet zusatzlich zur Scherviskositat auch die Beitrage der Dehnvis-

kositat. Dabei wurden jeweils ein verhaltnismaßig kleiner und großer Scherkoeffizient η

gewahlt. Allgemein werden die schon durch die Scherviskositat hervorgerufenen Effekte

verstarkt, also die Ausbreitung der Verdunnungs- und Stoßwelle verlangsamt.

Im Kontrast dazu wird die Hochstgeschwindigkeit im Geschwindigkeitsprofil zwar immer

geringer, das Profil aber vor allem im Bereich der Stoßwelle rechts der Unstetigkeitsstelle

immer breiter.


Abbildung 24 stellt außerdem das Temperaturprofil dar. Die Große der Dehnviskositat

ist nach (3.51) durch die Abweichung des Quadrates der Schallgeschwindigkeit c2S von

13 bestimmt. Sie ist somit komplett von der gewahlten Zustandsgleichung abhangig. Die

Temperaturabhangigkeit von c2S fur die gewahlte Zustandsgleichung wurde in Abbildung

8(b) (S. 37) graphisch dargestellt und zeigte die großte Abweichung von 13 im Bereich des

Phasenubergangs unterhalb von 200 MeV. In Abbildung 24 sind jedoch schon bei weitaus

hoheren Temperaturen, insbesondere im Bereich um die Unstetigkeitsstelle, Abweichungen

von den Profilen ohne Dehnviskositat zu sehen. Es fuhren also sehr geringe Abweichungen

des Quadrates der Schallgeschwindigkeit vom Wert 13 zu sichtbaren Anderungen der

physikalischen Großen, auch wenn die Scherviskositat selbst schon verhaltnismaßig klein

gewahlt wurde.

Die Dehnviskositat ist somit fur realistische Simulationen von Quark-Gluon-Plasma eine

Große, die nicht vernachlassigt werden darf.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p“ G

eVfm

3‰

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.08 & ζ “ 0ηs

“ 0.3 & ζ “ 0ηs

“ 0.08 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

ηs

“ 0.3 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

(a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.08 & ζ “ 0ηs

“ 0.3 & ζ “ 0ηs

“ 0.08 & ζηs

“ 0.3 & ζ

(b)

Abbildung 23: Auswirkungen der Dehnviskositat auf p, v des Systems

150

200

250

300

350

400

450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TrM

eVs

x rfms

ideales Fluidηs

“ 0.08 & ζ “ 0ηs

“ 0.3 & ζ “ 0ηs

“ 0.08 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

ηs

“ 0.3 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

Abbildung 24: Auswirkungen der Dehnviskositat auf die Temperatur T des Systems

83

8.2. Numerische Berechnungen zum Landau-Modell

In den folgenden numerischen Simulationen werden die im Kapitel 7.2 vorgestellten An-

fangsbedingungen verwendet, um die ersten Augenblicke nach einer Schwerionenkollision

zu untersuchen, in der die Beschreibung durch Hydrodynamik moglich ist. Da in diesem

Zeitraum der transversale Druck gegenuber dem longitudinalen Druck vernachlassigbar ist,

liefert auch schon die Betrachtung eines Systems mit nur einer Ortsdimension realitatsnahe

Ergebnisse. Im Gegensatz zum klassischen Landau-Modell wird in den Simulationen jedoch

eine Zustandsgleichung der QCD (Kapitel 4.1) verwendet und anstatt der Betrachtung ei-

nes idealen Fluids im weiteren Verlauf auch die Dissipation berucksichtigt. Als letzter

Punkt wird in die Anfangsbedingungen eine kleine Storung auf dem Temperaturplateau

eingebaut und der Verlauf des gestorten Systems analysiert.

Das Temperaturplateau zum Zeitpunkt t “ 0 fm stellt die Kollisionsflache zweier kol-

lidierter Lorentz-kontrahierter Atomkerne entlang der Kollisionsachse (z-Achse) dar. Im

Folgenden soll eine Kollision zweier ionisierter Goldkerne betrachtet werden. Die Kerne

haben jeweils einen Radius RAU “ 6.5 fm. Als Faktor fur die Lorentz-Kontraktion der Ker-

ne wird ein Faktor 1100 angenommen, der bei einer Energie am RHIC von?sNN “ 200

GeV einen realistischen Wert darstellt [34]. Es ergibt sich also eine Breite der kontrahierten

Kerne von jeweils

l “ R ¨ 2mN?sNN

“ 6.5 fm ¨ 1

100“ 0.065 fm

und somit eine Breite ∆ “ 2l der Kollisionsflache von ∆ “ 0.13 fm. Fur die Scherviskositat

wird der Wert ηs “ 0.16 angenommen. Die Dehnviskositat wird uber

ζ “ 15

ˆc2s ´ 1

3

˙2

η

berechnet. Fur die Relaxationszeiten gilt τη “ τζ “ 1T . Die Kollisionsflache hat zum

Zeitpunkt t “ 0 fm eine Temperatur von T “ 400 MeV. Die Temperatur außerhalb

betragt T “ 180 MeV. Damit breitet das Fluid sich nicht, wie in Schwerionenkollisionen,

ins Vakuum aus, sondern ist in einem Bad aus QCD-Materie geringerer Temperatur, bei

der jedoch Hydrodynamik noch moglich ist.

Abbildung 25 zeigt die Geschwindigkeits- und Druckprofile fur verschiedene Zeiten t. Da

das betrachtete System mit einer Gesamtlange von L “ 0.6 fm gegenuber dem in Kapitel

8.1 (Shocktube Problem) mit L “ 10 fm wesentlich kleiner ist, finden die relevanten

Prozesse bei der Entwicklung des Systems auch auf einer kleineren Zeitskala statt. Der

zeitliche Verlauf des Systems wird aus diesem Grund nur uber ein Zeitintervall bis maximal

t “ 0.5 fm betrachtet.


0

2

4

6

8

10

12

14

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

p“ G

eVfm

3‰

z rfms

t “ 0 fmt “ 0.1 fm

t “ 0.1.5 fmt “ 0.2 fmt “ 0.3 fm

(a)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

v

z rfms

t “ 0 fmt “ 0.1 fmt “ 0.15 fmt “ 0.2 fmt “ 0.3 fm

(b)

Abbildung 25: Die Geschwindigkeit und das Stromungsprofil des Drucks fur unterschied-liche Zeiten mit den Anfangsbedingungen des Landau-Modells (ηs “ 0.16& ζ)

Die benutzten Anfangsbedingungen fuhren zu einem am Punkt z “ 0 fm gespiegelten

Shocktube-Problem. Es breiten sich von den Randern des Temperaturplateaus nach rechts

und links jeweils eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig bildet sich in die entgegengesetzte Rich-

tung innerhalb des Temperaturplateaus jeweils eine Verdunnungswelle, die sich am Punkt

z “ 0 fm schneiden. Es sind zwei Unstetigkeitsstellen vorhanden, die sich an den Randern

des Temperaturplateaus bei zC “ ˘0.065 fm befinden.

SÐ C RÑ RÐ C SÑ

Analog zum Temperaturplateau ist zum Zeitpunkt t “ 0 fm ein Druckplateau im

Stromungsprofil des Drucks vorhanden (Abbildung 25(a)) . Es fangt an spitz zusammenzu-

laufen, wahrend sich an den Auslaufen die schon bei Shocktube-Problem fur die Stoßwellen

charakteristischen Hugel bilden. Die lokalen Minima in der Nahe der Unstetigkeitsstellen

sind auch vorhanden.

Zu Beginn der Simulation ist die Kollisionsflache komplett in Ruhe. Dementsprechend

betragt uber das gesamte System die Geschwindigkeit vz “ 0. In Abbildung 30 ist zu

sehen, dass sich in den Bereichen z ą 0 fm und z ă 0 fm jeweils ein dreistufiger Geschwin-

digkeitsberg mit vz ă 0 fur z ă 0 fm und vz ą 0 fur z ą 0 fm bildet. Es entsteht um z “ 0

fm ein linearer Geschwindigkeitsanstieg, dessen Steigung mit der Zeit linear abnimmt.

Dieses Verhalten der Geschwindigkeit uber die Zeit hat starke Ahnlichkeit mit Bjorkens

Annahme (Kapitel 7.3), dass die Geschwindigkeit des Fluid auf der Kollisionsachse als

vz “ z

t(7.1)

geschrieben werden kann. Zur Verifizierung dieser Vermutung wurden in Abbildung 26

sowohl fur den idealen, als auch den dissipativen Fall nur die Geschwindigkeiten vz an den

85

Gitterpunkten geplottet, fur die

vz ` ǫ ą z

tą vz ´ ǫ

mit ǫ “ 0.005 gilt. Tatsachlich gibt es fur den dissipativen Fall Bereiche, in denen Bjorkens

Annahme fur die Geschwindigkeit vz zumindest in einem groben Rahmen wiederzufinden

ist. Insbesondere in den Bereichen fur die Zeiten t « 0.3 fm und t « 0.1 fm gilt fur den

Großteil der Fluidteilchen vz « zt. Untersucht man hingegen die Ergebnisse der Simula-

tion, die nur mit den Gleichungen der idealen Hydrodynamik entwickelt wurde, so findet

man nur bei t « 0.1 fm einen Zeitpunkt, an dem vz « zt gilt. Dies konnte der numeri-

schen Dissipation geschuldet sein. Da bei Berechnungen mit dissipativer Hydrodynamik

die numerische Dissipation starker kontrolliert, beziehungsweise unterdruckt werden muss,

sind die Ergebnisse im Allgemeinen genauer als die der idealen Hydrodynamik.

-0.3-0.2

-0.10

0.10.2

0.3

00.1

0.20.3

0.40.5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

v

ηs “ 0.16 & ζ “ 15`c2s ´ 1

3

˘2η

ideales Fluid

z rfms

t rfms

v

Abbildung 26: Die Geschwindigkeit vz “ zt des Bjorken-Modells

Um einen besseren Eindruck von der zeitlichen Entwicklung des Systems zu bekommen

sind in Abbildung 27 und 28 die zeitlichen Entwicklungen der Geschwindigkeit und des

Drucks dargestellt.


-0.3-0.2

-0.10

0.10.2

0.3

00.1

0.20.3

0.40.5-0.8

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

v

z rfms

t rfms

v -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8

(a) Oberflachenplot von v

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

trfm

s

z rfms

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

(b) Zeitlicher Verlauf von v mit Linien konstanter Geschwindigkeit

Abbildung 27: Die zeitliche Entwicklung der Geschwindigkeit v fur den dissipativen Fallmit ηs “ 0.16, ζ “ 15

`c2s ´ 1

3

˘2η

87

-0.3-0.2-0.100.10.20.3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

024681012

p“GeVfm3

‰

z rfms

t rfms

p“GeVfm3

‰ 024681012

(a) Oberflachenplot von p (invertierte Zeitachse!)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

trfm

s

z rfms

0

2

4

6

8

10

12

(b) Zeitlicher Verlauf von p mit Linien konstanten Drucks

Abbildung 28: Die zeitliche Entwicklung des Drucks p fur den dissipativen Fall mit ηs “0.16, ζ “ 15

`c2s ´ 1

3

˘2η


8.2.1. Auswirkung dissipativer Effekte

In diesem Abschnitt sollen kurz die Unterschiede zwischen den Ergebnissen der numeri-

schen Simulationen verdeutlicht werden, die entstehen, wenn man die dissipativen Effekte

des Fluids berucksichtigt.

Abbildung 29 und 30 zeigen die Veranderungen des Geschwindigkeits- und Druckprofils

fur die Zeiten t “ 0.1 fm und t “ 0.15 fm , wenn man Scher- beziehungsweise Scher- und

Dehnviskositat berucksichtigt.

Fur das Profil des Drucks sind im Bereich der Stoßwellen (z « ˘0.1) Veranderungen

analog zu denen des Shocktube-Problems zu finden. Die Wellen breiten sich also langsamer

aus und das Plateau, welches bei einer Stoßwelle entsteht, wascht immer weiter aus. In

Abbildung 29(b) ist gut zu erkennen, dass der Druck um (z “ 0) langsamer sinkt, wann

man Dissipation berucksichtigt.

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

p“ G

eVfm

3‰

z rfms

ideales Fluid

ηs “ 0.16

ηs “ 0.16 & ζ

(a)

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

p“ G

eVfm

3‰

z rfms

ideales Fluid

ηs “ 0.16

ηs “ 0.16 & ζ

(b)

Abbildung 29: Das Stromungsprofil des Drucks p fur t “ 0.1 fm und t “ 0.15 fm fur einideales Fluid, ηs “ 0.16, ζ “ 0 und ηs “ 0.16, ζ “ 15

`c2s ´ 1

3

˘2η

Genau wie das Profil des Drucks weist das Geschwindigkeitsprofil die gleichen Veranderungen

auf, die in Kapitel 8.1 auftreten. Das Geschwindigkeitsprofil wird also breiter. Des weiteren

bildet sich bei der Berucksichtigung der Dehnviskositat ein weiteres Geschwindigkeitspla-

teau bei z « ˘0.17 fm.

89

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

v

z rfms

ideales Fluid

ηs “ 0.16

ηs “ 0.16 & ζ

(a)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

v

z rfms

ideales Fluid

ηs “ 0.16

ηs “ 0.16, ζ

(b)

Abbildung 30: Die Geschwindigkeit fur t “ 0.1 fm und t “ 0.15 fm fur ein ideales Fluid,ηs “ 0.16, ζ “ 0 und ηs “ 0.16, ζ “ 15

`c2s ´ 1

3

˘2η

8.2.2. Betrachtung einer kleinen Storung

Nun wird zuletzt eine kleine Storung in die Anfangsbedingungen des Landau-Modells

eingebaut. Die Storung wird um z “ 0 fm platziert. Sie hat eine Breite von ∆PERT “ 0.01

fm und sorgt fur eine Temperaturschwankung von δT “ 20 MeV. Abbildung 31 stellt das

Stromungsprofil des Drucks p und das Geschwindigkeitsprofil fur unterschiedliche Zeiten

t dar, um die Auswirkungen der Storung zu illustrieren.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

p“ G

eVfm

3‰

z rfms


(a)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

v

z rfms


(b)

Abbildung 31: Die Geschwindigkeit und das Stromungsprofil des Drucks fur unterschied-liche Zeiten mit den Anfangsbedingungen des Landau-Modells (ηs “ 0.16& ζ)

Die Storung spaltet sich an der Stelle z “ 0 fm auf und propagiert jeweils in Richtung

z ă 0 fm und z ą 0 fm. Wie sich die Stromungsprofile mit Storung im Vergleich zu den

ungestorten Stromungsprofilen verhalten, wird in Abbildungen 32 und 33 gezeigt. Beim

Druck p sind um z “ 0 fm und an den beiden durch die Stoßwelle gebildeten lokalen

Maxima leichte Druckerhohungen zu finden. Bei dem Geschwindigkeitsprofil finden sich


an den Stellen der lokalen Maxima zum Zeitpunkt t “ 1.5 fm leichte Erhohungen der

Geschwindigkeit, um z “ 0 fm aber keine Unterschiede. Der Druck reagiert also sensitiver

auf die Storung als die Geschwindigkeit.

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

p“ G

eVfm

3‰

z rfms

STORUNG

NORMAL

(a)

0

2

4

6

8

10

12

14

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

p“ G

eVfm

3‰

z rfms

STORUNG

NORMAL

(b)

Abbildung 32: Das Stromungsprofil des Drucks p fur t “ 0.05 fm und t “ 1.5 fm

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

v

z rfms

STORUNG

NORMAL

(a)

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

v

z rfms

STORUNG

NORMAL

(b)

Abbildung 33: Das Stromungsprofil des Drucks p fur t “ 0.05 fm und t “ 1.5 fm

91

In Abbildung 34 wird die zeitliche Entwicklung der Storung dargestellt. Dafur wurde

die Geschwindigkeitsdifferenz der ungestorten und gestorten Entwicklung aufgetragen. Die

farblichen Schlieren, die sich uber den ganzen Plot ziehen, sind auf die numerischen Fehler

der beiden Simulationen zuruckzufuhren. Trotzdem ist zu erkennen, dass die Bewegung der

Storung mit der Zeit bis zum Zeitpunkt t “ 0.1 fm nicht linear ist. Im Vergleich dazu erhalt

man aus den gleichen Berechnungen mit der Zustandsgleichung des freien Gluon-Gases eine

annahernd lineare Fortbewegung und somit eine konstante Propagationsgeschwindigkeit

der Storung.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

trfm

s

z rfms

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

(a) Numerische Simulation mit der Zustandsglei-chung der QCD

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

trfm

s

z rfms

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

(b) Numerische Simulation mit der Zustandsglei-chung eines freien Gluon-Gases

Abbildung 34: Darstellung der zeitliche Entwicklung der Storung anhand des Geschwin-digkeitsunterschieds vNORM ´ vPERT


93

9. Zusammenfassung & Ausblick

Ziel dieser Arbeit war, das bei Schwerionenkollisionen entstehende Quark-Gluon-Plasma

mit Hilfe numerischer relativistischer Hydrodynamik zu untersuchen. Ein besonderer Schwer-

punkt lag dabei auf der Implementierung von dissipativen Effekten mit Hilfe erst kurzlich

([19] aus dem Jahr 2011 bzw. [2] aus dem Jahr 2013) entwickelter Methoden. Des Weiteren

sollte sowohl durch eine Zustandsgleichung der Quantenchromodynamik, als auch durch

die Berucksichtigung des Landau-Modells die Simulationen so realitatsnah wie moglich

gestaltet werden. Zusatzlich sollte in das physikalische System eine Storung eingebaut und

die Auswirkungen auf die zeitliche Entwicklung des Systems untersucht werden.

Im Zuge dieser Arbeit habe ich mich mit den unterschiedlichen Methoden der nume-

rischen relativistischen Hydrodynamik beschaftigt. Mit Hilfe einer passenden Methode

wurde von mir eine Simulation in einer Ortsdimension programmiert. Diese versah ich mit

der passenden Zustandsgleichung und implementierte die Berucksichtigung dissipativer

Effekte. Anschließend wurde mit diesem Programm die Entwicklung des Quark-Gluon-

Plasmas in Schwerionenkollisionen unter verschiedenen Aspekten untersucht. Zum einen

habe ich unterschiedlich aufwandige Zustandsgleichungen miteinander verglichen. Zum

anderen wurden von mir Unterschiede in den Ergebnissen mit idealer und dissipativer Hy-

drodynamik herausgearbeitet. Dabei konnte ich unter anderem feststellen, dass die Dehn-

viskositat in Simulationen von Quark-Gluon-Plasma nicht vernachlassigt werden sollte.

Ausgehend vom Landau-Modell, untersuchte ich die Messungen auf Anzeichen der im wei-

terfuhrenden Bjorken-Modell gemachten Annahme der Bjorkengeschwindigkeit (vz “ zt)und konnte im groben Rahmen dessen mogliche Existenz an bestimmten Zeitpunkten er-

kennen.

Zuletzt implementierte ich eine kleine Storung in das System und untersuchte die Un-

terschiede zu den vorangegangenen Messungen. Dabei hat sich herausgestellt, dass sich die

Storung entsprechend der nicht-trivialen Zustandsgleichung nicht, wie im Fall eines freien

Gluon-Gases, mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt. Der nachste Schritt ware nun,

die Gruppengeschwindigkeit der Storung zu bestimmen und zu analysieren.

Die in dieser Arbeit durchgefuhrten Simulationen bieten einen soliden Einstieg in die nu-

merische Analyse der Eigenschaften des Quark-Gluon-Plasmas und sind in vielen Punkten

ausbaufahig. Ein Punkt ware die Verbesserung der Ergebnisse, indem man einen Scheme

hoherer Ordnung benutzt. Eine Moglichkeit ware die Implementierung der von Martı und

Muller in [8] vorgestellten relativistischen Erweiterung der stuckweise parabolischen Me-

thode36 (PPM), die innerhalb von glatten Gebieten sogar von dritter Ordnung ist.

Im Gegensatz zu der von mir verwendeten MUSCL-Hancock Methode, in der fur die

Rekonstruktion der Datensatze mehrmals der Wiederherstellungsalgorithmus fur die pri-

mitiven Variablen benutzt werden muss, kommt die PPM-Methode mit einer einmaligen

Nutzung des Wiederherstellungsalgorithmus nach dem Ausfuhren der zeitlichen Entwick-

lung aus. Dementsprechend verkurzt diese Methode auch gleichzeitig die Rechenzeit.

36engl. Piecewise Parabolic Method

94 9. Zusammenfassung & Ausblick

Da die PPM-Methode jedoch auf die Losung von Systemen mit polytropen Zustands-

gleichungen ausgelegt ist und zusatzlich von sieben frei wahlbaren Parametern abhangt,

musste sie fur die Untersuchung von Quark-Gluon-Plasma entsprechend angepasst werden.

Ein weiterer Punkt ist die Erweiterung des benutzten Modells auf drei Ortsdimensionen

(z.B. mit Hilfe von [9]). Weiterhin ist zu erwahnen, dass es im Bereich der Dissipati-

on noch einige Verbesserungsmoglichkeiten gibt. In meinen Simulationen waren die Vis-

kositatskoeffizienten konstant. Somit ware eine weitere Idee die Viskositatskoeffizienten

abhangig vom Ort und von der Zeit zu betrachten. Außerdem sind die Relaxationszeiten

eigentlich abhangig von den jeweiligen Viskositatskoeffizienten. Somit ware der nachste

Schritt auch dies weiter zu fuhren und von einer groben Approximation von τ “ 1T auf

realistischere Werte zu wechseln, welche diese Abhangigkeiten berucksichtigt.

In den Berechnungen des Landau-Modells breitete sich das innerhalb der Kollisions-

flache entstandene Quark-Gluon-Plasma in einem Bad aus gleicher Materie mit geringerer

Temperatur aus. Auch hier lassen sich die Ergebnisse realistischer gestalten, wenn sich das

Quark-Gluon-Plasma ins Vakuum ausbreiten wurde.

95

A. Eigenvektoren der idealen relativistischen Hydrodynamik

Im Folgenden werden sowohl die Eigenwerte λi, als auch die rechten und linken Eigenvek-

toren37 ri, li von A aus der primitive Darstellung der Bewegungsgleichungen der idealen

relativistischen Hydrodynamik berechnet. Die Bewegungsgleichungen konnten zusammen-

gefasst als

BUBt ` A ¨

ˆBUBx

˙“ Bt

¨˚nB

v

p

˛‹‚`

¨˚˚˝

v nB

1´v2c2S

´ vnB

pe`pqγ2p1´v2c2Sqq

0vp1ć2Sq1´v2c2

S

1

pe`pqγ4p1´v2c2Sqq

0pe`pqc2S1´v2c2

S

vp1ć2Sq

1´v2c2S

˛‹‹‹‹‚

¨

»—–Bx

¨˚nB

v

p

˛‹‚

fiffifl (3.11)

dargestellt werden.

Anhand des charakteristischen Polynoms

P pλq “ detpA ´ λ ¨ 1q

“pv ´ λq ¨

»–˜v`1 ´ c2S

˘

1 ´ v2c2S´ λ

¸2

´˜

pe ` pqc2S1 ´ v2c2S

¨ 1

pe ` pqγ4`1 ´ v2c2S

˘¸fifl

“0

lassen sich die drei rechten Eigenwerte

λ´ “ v ´ cS

1 ´ vcS, λ0 “ v und λ` “ v ` cS

1 ` vcS(A.1)

identifizieren. Wahrend λ0 direkt aus dem ersten Term des Produktes abgelesen werden

kann, muss fur die restlichen 2 Eigenwerte die quadratische Gleichung innerhalb der eckigen

Klammern gelost werden.

˜v`1 ´ c2S

˘

1 ´ v2c2S´ λ

¸2

´˜

pe ` pqc2S1 ´ v2c2S

¨ 1

pe ` pqγ4`1 ´ v2c2S

˘¸

“ 0

ô λ2 ´ 2vp1 ´ c2Sq1 ´ v2c2S

λ ` v2 ´ c2S ´ v4c2S ` c4S`1 ´ v2c2S

˘2 “ 0

ô λ˘ “ v`1 ´ c2S

˘

1 ´ v2c2S˘

gffe˜v`1 ´ c2S

˘

1 ´ v2c2S

¸2

´ v2 ´ c2S ´ v4c2S ` c4S`1 ´ v2c2S

˘2

ô λ˘ “ v`1 ´ c2S

˘

1 ´ v2c2S˘ c2S

`1 ´ v2

˘

1 ´ v2c2S

ô λ˘ “ p1 ¯ vcSq ¨ pv ˘ cSqp1 ´ vcSq ¨ p1 ` vcSq “ v ˘ cS

1 ˘ vcS

37Analog zur Definition der rechten Eigenvektoren: lpiqJA “ λil

piqJ

96 A. Eigenvektoren der idealen relativistischen Hydrodynamik

Die rechten Eigenvektoren erhalt man uber

pA ´ λ0,¯ ¨ 1q ¨ r0,¯ “ 0

und die linken Eigenvektoren uber

lJ0,¯ ¨ pA ´ λ0,¯ ¨ 1q “ 0.

Dabei werden die normierten Vektoren so gewahlt, dass fur ihr Skalarprodukt l#¨r# “ δ##

gilt.

r´ “

¨˚

ńBγ2

cS

1

ćSγ2pe ` pq

˛‹‚ r0 “

¨˚1

0

0

˛‹‚ r` “

¨˚

nBγ2

cS

1

cSγ2pe ` pq

˛‹‚ (A.2)

l´ “

¨˚

012

´ 12pe`pqγ2cS

˛‹‚ l0 “

¨˚˝

1

0

´ nB

pe`pqc2S

˛‹‹‚ l` “

¨˚

0121

2pe`pqγ2cS

˛‹‚ (A.3)

97

B. Riemann Invarianten

Im Folgenden werden die Riemann Invarianten fur die relativistischen hydrodynamischen

Gleichungen (3.11) hergeleitet. Man startet mit der Differentialgleichung aus Kapitel 3.2

dU

dϕ“ αr0,˘,

die fur jeden Eigenwert λ0,˘ gelost werden muss. Dabei ist U “ pnB, v, pqK. Fur die drei

Komponenten der Differentialgleichung gilt jeweils38

dnB

rx0,˘“ dv

ry0,˘

“ dp

rz0,˘. (B.1)

Wendet man nun (B.1) auf die Eigenvektoren (A.2) (nach vorheriger Multiplikation mit

1γ2) an, so erhalt man fur den Eigenwert λ`

cS

nB

dnB “ γ2 dv “ dp

cSpe ` pq . (B.2)

Der letzte Term lasst sich mit Hilfe von thermodynamischen Beziehungen weiter umfor-

men. Aus dem totalen Differential der inneren Energie mit erhaltener Baryonzahl dU “T dS ´ p dV erhalt man als totales Differential der Energiedichte

de “ e ` p

nB

dnB ` nBT ds,

welches sich nach einer kurzen Erweiterung des totalen Differentials dp “ dpde

dp “ c2S de

einsetzen lasst. Des Weiteren wird

dnB

dp“ nB

c2Spe ` pq

benutzt.

38r0,˘ “ prx0,˘, r

y0,˘, rz0,˘qK

98 B. Riemann Invarianten

dp

cSpe ` pq “dp

de

de

cSpe ` pq

“ cS

pe ` pq

„e ` p

nB

dnB ` nT ds

“ cS

pe ` pq

„e ` p

nB

dnB

dpdp ` nT ds

“ cS

pe ` pq

„e ` p

nB

nB

c2Spe ` pq dp ` nBT ds

“ dp

cSpe ` pq ` cSnBT

pe ` pq ds

ˇˇˇ ´ dp

cSpe ` pq

ô 0 “ds (B.3)

Die Entropie ist also entlang der entsprechenden Fluid-Linien erhalten und somit eine

Riemann Invariante fur λ`. Einsetzen des Ergebnisses in (B.2) ergibt als Relation

γ2 dv ´ cS

ndnB “ 0

und man erhalt nach Integration als weitere Riemann Invariante

J´ “ 1

2ln

ˆ1 ` v

1 ´ v

˙´ż

cS

ndnB “ konst. (B.4)

Analog zu dem Ergebnis fur λ` lasst sich zusatzlich zu s eine weitere Riemann Invariante

fur λ´ berechnen.

J` “ 1

2ln

ˆ1 ` v

1 ´ v

˙`ż

cS

ndnB “ konst. (B.5)

Fur λ0 ist sowohl der Druck p, als auch die Geschwindigkeit v entlang der Fluid-Linien

erhalten. Sie sind damit die Riemann Invarianten fur λ0.

Zusammenfassend erhalt man also die in Tabelle 3 zusammengefassten Riemann Inva-

rianten zu den entsprechenden Eigenwerten.

Eigenwert Riemann Invarianten

λ´: s, J`

λ0: p, v

λ`: s, J´

Tabelle 3: Riemann Invarianten fur die Eigenwerte λ0,˘

Literatur 99

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Numerische Simulation von Schwerionenkollisionen mit Hilfe ... · Anzeichen dafür, dass die Reibung f ür die Beschreibung des Quark-Gluon-Plasmas nicht vernachlässigbar ist