Physikalische Messgrößen
s = 26,673945.. mm
Messen = Zählen von Einheiten
Einheit = 1 mm
s = 26,673... x 1 mm
physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit
(Produkt gem. DIN 1313)
Länge
9,1 cm
9,2 cm
9,2 cm
8,9 cm
9,0 cm
: cm
Länge
9,1 cm
9,2 cm
9,2 cm
8,9 cm
9,0 cm
Länge / cm
9,1
9,2
9,2
8,9
9,0
: cm
Weg-Zeit-Diagramm
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5 6
Zeit / s
We
g /
m
0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s
Zeit
80m
60m
40m
20m
0m
Weg-Zeit-Diagramm
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5 6
Zeit / s
We
g /
m
s = 26,673945 mm
Messwert = Schätzwert
26 mm < s < 27 mm
Angabe der „Fehlergrenzen“
(Messabweichung, …)
s = 26,5 mm ± 0,5 mm
s = 26,673945 mm
s = 27,5 mm ± 2,5 mm
Genauigkeit hängt vom Messgerät ab:
hier ist
s = 26,673945.. mm
s = 27,5 mm ± 2,5 mm (absoluter „Fehler“)
Schreibweisen für Messwerte (Beispiele) :
s = (27,5 ± 2,5) mm (kompakter)
s = 27,5 mm ± 10 % (gängig aber illegal)
s = 27,5 (1 ± 0,1) mm (relativer „Fehler“)
s = x ± x x = phys. Größe (allgemein)
Die Angabe eines Messwertes ohne Fehlergrenzen ist verboten !
t = 68,726973 s ± 0,5 s
Numerische Angabe von Messwerten :
t = 89,3492558 s ± 0,132859 s
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• systematische Fehler
– bei jeder Wiederholungsmessung (bei identischem Aufbau und Messverfahren) gleich in Vorzeichen und Betrag
• zufällige Fehler
– statistischer Fehler, von Messung zu Messung unterschiedlich
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Beispiel: Messung der Schallgeschwindigkeit aus Weg und Laufzeit
• Weg: Abstand s zwischen 2 Begrenzungspfosten: 50 m
• Zeit: Laufzeit t eines Knalls, t = 0,154 s
• Ergebnis: v = s / t = 50 m / 0,154 s = 324,7 m/s
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Fehler des Messgerätes– Nullpunktfehler– Maßstabs- und Linearitätsfehler
• Fehler des Messverfahrens– z.B. Rückwirkung des Messgerätes
• verborgene Parameter– Temperatur, Druck, ...– elektrische und magnetische Störfelder– Verunreinigung von Substanzen
Ursachen für systematische Fehler
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
Systematische Fehler im Beispiel:
• Weg: Abstand zwischen Begrenzungspfosten
• Zeit: falsch kalibrierte Uhrelektrische Signallaufzeit
• sonstige Fehlermöglichkeiten:Luftdruck, Lufttemperatur, Feuchtigkeit
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• systematische Fehler sind schwer zu erkennen, hier hilft nur:
• vermeiden– anderes Messgerät– anderes Messverfahren– Kalibration des Messaufbaus
• abschätzen– Eigenschaften der Messgeräte– Analyse möglicher Einflüsse
Umgang mit systematischen Fehlern
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• individuelle Fehler– Interpolationsfehler– Reaktionszeiten– Parallaxenfehler
• statistische äußere Einflüsse– elektronisches Rauschen– Erschütterungen– Probleme beim Messgerät (Reibung,
toter Gang, Hysterese, ...)– usw. usw.
Ursachen für zufällige Fehler
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
Zufällige Fehler im Beispiel:
• Weg:
– Erdbeben
• Zeit:
– Ungenauigkeit bei der Feststellung des Zeitpunktes
– Windböen
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• bei Wiederholungsmessungen an Streuung der Messwerte zu erkennen
• i.A. nach Gauss-Funktion verteilt– Abweichung symmetrisch nach beiden Seiten– größere Abweichungen mit geringerer
Wahrscheinlichkeit
• Fehlergrenzen aus Messwerten mit statistischen Methoden zu ermitteln
Eigenschaften zufälliger Fehler
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• systematische Fehler bestimmen
• zufällige Fehler bestimmen
• Gesamtfehler = Summe der Fehlerbeiträge
Bestimmung des Gesamtfehlers
Fehlerfortpflanzung
Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen
In der Regel ist das gesuchte Ergebnis m einer Messung eine
Funktion einer oder mehrerer (Mess-) Größen x1 , x2 , x3 , ...
m = f (x1 , x2 , x3 , ...)
Die jeweiligen Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche der
beteiligten Größen x1 , x2 , x3 , ... seien bekannt.
Dabei gilt generell die Annahme, dass die Fehler relativ klein sind :
Fehlerfortpflanzung - Grundlagen
...,1,12
2
1
1
x
x
x
x
Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen
Im allgemeinen Fall kann man (bei kleinen Fehlern) den Fehler der Funktion
m = f (x1 , x2 , ..)
aus dem totalen Differential
gewinnen. Man erhält damit für den maximalen Fehler
Fehlerfortpflanzung - allgemeiner Fall
....33
22
11
dxx
fdx
x
fdx
x
fdm
....33
22
11
xx
fx
x
fx
x
fm
Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen
Häufig sind die verschiedenen beteiligten Größen mit ihren Fehlern voneinander unabhängig, so dass sich verschiedene Fehlerbeiträge mit verschiedenen Vorzeichen gegenseitig teilweise kompensieren. In diesem Fall ersetzt man die Betragssumme durch eine geometrische Summe der Beiträge und erhält den „wahrscheinlichen Fehler“:
Fehlerfortpflanzung - wahrscheinlicher Fehler
....2
33
2
22
2
11
xx
fx
x
fx
x
fm
Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen
Ist die Funktion m = f (x1 , x2 , ..) eine einfache (gewichtete)
Summe
m = k1x1 + k2x2 + k3x3 + ...
so erhält man den Größtfehler einfach als Betragssumme der einzelnen Beiträge:
m = |k1x1| + |k2x2| + |k3x3| + ...
und den wahrscheinlichen Fehler als entsprechende geometrische Summe
Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Summe
....233
222
211 xkxkxkm
Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen
Ist die Funktion m = f (x1 , x2 , ..) als Produkt darstellbar
so erhält man (durch logarithmisches Differenzieren) für den relativen Fehler des Ergebnisses die gewichtete Summe der einzelnen Relativfehler :
Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt
...321321 eee xxxkm
....3
33
2
22
1
11
x
xe
x
xe
x
xe
m
m
Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen
Beispiel:
Die Masse m, der Weg s und die Zeit t für einen gleichförmig bewegten Körper wurden gemessen und die jeweiligen
Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche m, s, t ermittelt.
Für die kinetische Energie des Körpers gilt:
Dann ist der relative Fehler des Ergebnisses:
Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt
Statistik
• Der „wahre“ Wert wird von zufälligen Fehlern überlagert
• Die Abweichungen sind in der Regel Gauss-verteilt
Berücksichtigung zufälliger Fehler
Messwert x
Häu
figke
it p
(x)
2
2
1( ) exp
22
xp x
Eigenschaften zufälliger Fehler
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Das Maximum der Verteilung (die Stelle x = ) ist der „wahre Wert“ der Messgröße („Erwartungswert“)
ist die mittlere Abweichung der Messwerte vom „wahren Wert“ („Standardabweichung“)
• ca. 68% der Messwerte liegen im Bereich x = ± • ca. 95% der Messwerte liegen im Bereich x = ± 2 • ca. 99,7% der Messwerte liegen im Bereich x = ± 3
Messwert x
Häu
figke
it p
(x)
aber: eine absolute Fehlergrenze gibt es nicht !
Eigenschaften zufälliger Fehler
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Statt der „Fehlergrenzen“ des einzelnen Messwertes gibt es Angaben der Form:
„Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% liegt der wahre Wert im Bereich = x ± “ usw.
• als „Fehlergrenze“ für einen einzelnen Wert wird i.A. also in Abhängigkeit von der gewünschten Wahrscheinlichkeit p (=Aussagesicherheit) der Bereich x = k(p) angegeben
Dabei ist für p = 68% : k = 1 95% : k = 2 usw.
Statistische Datenanalyse
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Der „wahre“ Wert der Messgröße könnte nur exakt ermittelt werden, wenn unendlich viele Messungen gemacht würden.
• Im realen Fall verwendet man den arithmetischen Mittelwert m der N Einzelmessungen als optimalen Schätzwert für den wahren Wert
Die einzelnen Messwerte xi müssen dabei unter identischen Bedingungen unabhängig voneinander gewonnen sein
Statistische Datenanalyse
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Bei einer endlichen Anzahl von Messungen kann natürlich auch die
Standardabweichung nur geschätzt werden. Als Schätzwert
verwendet man die Streuung S („empirische Standardabweichung“):
Statistische Datenanalyse
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Der Mittelwert m und die Streuung S sind ebenfalls nur statistische Größen, sie unterliegen daher selbst einer Unsicherheit (Streuung).
• Ein Maß für die möglichen Abweichungen des Mittelwertes erhält man aus der Standardabweichung der einzelnen Messwerte. Wäre diese Größe bekannt, so erhielte man für die Streuung der (ebenfalls gaussverteilten) Mittelwerte aus N Einzelmessungen den Wert:
Statistische Datenanalyse
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Ersetzt man nun die (nicht messbare) Standardabweichung durch den Schätzwert S, so erhält man für die Streuung des Mittelwertes aus N Einzelmessungen den Schätzwert:
• Als Fehlergrenze müsste dann in Abhängigkeit von der gewünschten Aussagesicherheit p das k-fache dieses Wertes angegeben werden.
( )N
SS x
N
Statistische Datenanalyse
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
• Berücksichtigt man noch die Unsicherheit von S, so erhält man
für den „Vertrauensbereich“ („Fehlergrenze“) einer Messgröße x
• Der Wert des Vorfaktors t hängt von der Zahl der Messwerte N und dem gewünschten „Signifikanzniveau“ p (=Aussagesicherheit, z.B. 68% oder 95%) ab. Er wird aus einer „Student-t-Tabelle“ entnommen.
Statistische Datenanalyse
Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes
Die Angabe eines Messergebnisses bei Vorliegen von zufälligen Fehlern hat damit immer die Form:
mit einer Wahrscheinlichkeit von p%
Regressionsanalyse
Statistische Datenanalyse
Beispiel für lineare Regression
Zur Bestimmung des Wertes eines ohm‘schen Widerstandes wird die Spannung (exakt) variiert und der jeweilige Strom (mit Fehler) gemessen.
Ergebnis: Kennlinie des ohm'schen Widerstandes
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250
Spannung / V
Str
om
/ m
A
Statistische Datenanalyse – lineare Regression
An diese (von einem zufälligen Fehler überlagerten) Werte soll eine Gerade der Form
angepasst werden.
bxay
Dazu wird die Summe der quadratischen Abweichungen der Messwerte von dieser allgemeinen Geraden gebildet. Diese Summe muss (nach Gauss) minimiert werden:
Min))((2
1 2
1
2
N
iiiy bxay
NS
Statistische Datenanalyse – lineare Regression
Das Minimum findet man durch die Bedingung
Als Lösung dieses Gleichungssystems erhält man:
mit den Abkürzungen
und
0 , 022
b
S
a
S yy
i
N
ii
N
ii
N
ii yxxyxxxx
11
22
1
, ,
22 xxND
a = ([x²][y] – [x][xy] / D
b = (N [xy] – [x][y] / D
Statistische Datenanalyse – lineare Regression
Damit erhält man in unserem Beispiel die Ausgleichsgerade mit den Parametern: a = 5,63 mA und b = 0,861 mA/V
Kennlinie des ohm'schen Widerstandes
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150 200 250
Spannung / V
Str
om
/ m
A
Statistische Datenanalyse – lineare Regression
Um die Streuungen Sa und Sb dieser Parameter
abzuschätzen, verwendet man den Zusammenhang
Dazu muss natürlich zuerst die Summe der Fehlerquadrate berechnet werden:
2
1
2 ))((2
1
N
iiiy bxay
NS
22
2
2bay S
N
DS
x
DS
Statistische Datenanalyse – lineare Regression
Für die Streuung Sb der Steigung erhält man also z.B.:
Um den Vertrauensbereich zu erhalten, muss bei wenigen (<30) Werten noch der Student-t-Faktor (für die gewünschte Aussagesicherheit p und N-2 Freiheitsgrade berücksichtigt werden:
D
SNS y
b
2
bb SNpt )2,(VB
Statistische Datenanalyse – lineare Regression
In unserem Beispiel erhält man
Sb = 0,052
Der Student-t-Faktor für p = 95% und N = 12 ist
t (0,95;10) = 2,228
Damit ist die Steigung b = (0,86 ± 0,16) mA/V
Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung erhält man für den Vertrauensbereich des gesuchten Widerstands R (= 1/b) :
und daraus das Versuchsergebnis:
R = (1160 ± 220) für p = 95%
186,0
b
b
R
R
Statistische Datenanalyse – lineare Regression
Voraussetzung für diese Form der linearen Regression ist streng genommen die Bedingung, dass nur Fehler in der Variablen y auftreten.
y
y
x
x
Sind die Verhältnisse umgekehrt, so wählt man eine Auftragung mit vertauschten Koordinaten.
Praktisch muss erfüllt sein: