Physikalische Messgrößen. s = 26,673945.. mm Messen = Zählen von Einheiten Einheit = 1 mm s = 26,673... x 1 mm physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit

Physikalische Messgrößen

s = 26,673945.. mm

Messen = Zählen von Einheiten

Einheit = 1 mm

s = 26,673... x 1 mm

physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit

(Produkt gem. DIN 1313)

Länge

9,1 cm

9,2 cm

9,2 cm

8,9 cm

9,0 cm

: cm

Länge

9,1 cm

9,2 cm

9,2 cm

8,9 cm

9,0 cm

Länge / cm

9,1

9,2

9,2

8,9

9,0

: cm

Weg-Zeit-Diagramm

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5 6

Zeit / s

We

g /

m

0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s

Zeit

80m

60m

40m

20m

0m

Weg-Zeit-Diagramm

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5 6

Zeit / s

We

g /

m

s = 26,673945 mm

Messwert = Schätzwert

26 mm < s < 27 mm

Angabe der „Fehlergrenzen“

(Messabweichung, …)

s = 26,5 mm ± 0,5 mm

s = 26,673945 mm

s = 27,5 mm ± 2,5 mm

Genauigkeit hängt vom Messgerät ab:

hier ist

s = 26,673945.. mm

s = 27,5 mm ± 2,5 mm (absoluter „Fehler“)

Schreibweisen für Messwerte (Beispiele) :

s = (27,5 ± 2,5) mm (kompakter)

s = 27,5 mm ± 10 % (gängig aber illegal)

s = 27,5 (1 ± 0,1) mm (relativer „Fehler“)

s = x ± x x = phys. Größe (allgemein)

Die Angabe eines Messwertes ohne Fehlergrenzen ist verboten !

t = 68,726973 s ± 0,5 s

Numerische Angabe von Messwerten :

t = 89,3492558 s ± 0,132859 s

Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes

• systematische Fehler

– bei jeder Wiederholungsmessung (bei identischem Aufbau und Messverfahren) gleich in Vorzeichen und Betrag

• zufällige Fehler

– statistischer Fehler, von Messung zu Messung unterschiedlich


• Beispiel: Messung der Schallgeschwindigkeit aus Weg und Laufzeit

• Weg: Abstand s zwischen 2 Begrenzungspfosten: 50 m

• Zeit: Laufzeit t eines Knalls, t = 0,154 s

• Ergebnis: v = s / t = 50 m / 0,154 s = 324,7 m/s


• Fehler des Messgerätes– Nullpunktfehler– Maßstabs- und Linearitätsfehler

• Fehler des Messverfahrens– z.B. Rückwirkung des Messgerätes

• verborgene Parameter– Temperatur, Druck, ...– elektrische und magnetische Störfelder– Verunreinigung von Substanzen

Ursachen für systematische Fehler


Systematische Fehler im Beispiel:

• Weg: Abstand zwischen Begrenzungspfosten

• Zeit: falsch kalibrierte Uhrelektrische Signallaufzeit

• sonstige Fehlermöglichkeiten:Luftdruck, Lufttemperatur, Feuchtigkeit


• systematische Fehler sind schwer zu erkennen, hier hilft nur:

• vermeiden– anderes Messgerät– anderes Messverfahren– Kalibration des Messaufbaus

• abschätzen– Eigenschaften der Messgeräte– Analyse möglicher Einflüsse

Umgang mit systematischen Fehlern


• individuelle Fehler– Interpolationsfehler– Reaktionszeiten– Parallaxenfehler

• statistische äußere Einflüsse– elektronisches Rauschen– Erschütterungen– Probleme beim Messgerät (Reibung,

toter Gang, Hysterese, ...)– usw. usw.

Ursachen für zufällige Fehler


Zufällige Fehler im Beispiel:

• Weg:

– Erdbeben

• Zeit:

– Ungenauigkeit bei der Feststellung des Zeitpunktes

– Windböen


• bei Wiederholungsmessungen an Streuung der Messwerte zu erkennen

• i.A. nach Gauss-Funktion verteilt– Abweichung symmetrisch nach beiden Seiten– größere Abweichungen mit geringerer

Wahrscheinlichkeit

• Fehlergrenzen aus Messwerten mit statistischen Methoden zu ermitteln

Eigenschaften zufälliger Fehler


• systematische Fehler bestimmen

• zufällige Fehler bestimmen

• Gesamtfehler = Summe der Fehlerbeiträge

Bestimmung des Gesamtfehlers

Fehlerfortpflanzung

Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen

In der Regel ist das gesuchte Ergebnis m einer Messung eine

Funktion einer oder mehrerer (Mess-) Größen x1 , x2 , x3 , ...

m = f (x1 , x2 , x3 , ...)

Die jeweiligen Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche der

beteiligten Größen x1 , x2 , x3 , ... seien bekannt.

Dabei gilt generell die Annahme, dass die Fehler relativ klein sind :

Fehlerfortpflanzung - Grundlagen

...,1,12

2

1

1

x

x

x

x


Im allgemeinen Fall kann man (bei kleinen Fehlern) den Fehler der Funktion

m = f (x1 , x2 , ..)

aus dem totalen Differential

gewinnen. Man erhält damit für den maximalen Fehler

Fehlerfortpflanzung - allgemeiner Fall

....33

22

11

dxx

fdx

x

fdx

x

fdm

....33

22

11

xx

fx

x

fx

x

fm


Häufig sind die verschiedenen beteiligten Größen mit ihren Fehlern voneinander unabhängig, so dass sich verschiedene Fehlerbeiträge mit verschiedenen Vorzeichen gegenseitig teilweise kompensieren. In diesem Fall ersetzt man die Betragssumme durch eine geometrische Summe der Beiträge und erhält den „wahrscheinlichen Fehler“:

Fehlerfortpflanzung - wahrscheinlicher Fehler

....2

33

2

22

2

11

xx

fx

x

fx

x

fm


Ist die Funktion m = f (x1 , x2 , ..) eine einfache (gewichtete)

Summe

m = k1x1 + k2x2 + k3x3 + ...

so erhält man den Größtfehler einfach als Betragssumme der einzelnen Beiträge:

m = |k1x1| + |k2x2| + |k3x3| + ...

und den wahrscheinlichen Fehler als entsprechende geometrische Summe

Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Summe

....233

222

211 xkxkxkm


Ist die Funktion m = f (x1 , x2 , ..) als Produkt darstellbar

so erhält man (durch logarithmisches Differenzieren) für den relativen Fehler des Ergebnisses die gewichtete Summe der einzelnen Relativfehler :

Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt

...321321 eee xxxkm

....3

33

2

22

1

11

x

xe

x

xe

x

xe

m

m


Beispiel:

Die Masse m, der Weg s und die Zeit t für einen gleichförmig bewegten Körper wurden gemessen und die jeweiligen

Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche m, s, t ermittelt.

Für die kinetische Energie des Körpers gilt:

Dann ist der relative Fehler des Ergebnisses:

Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt

Statistik

• Der „wahre“ Wert wird von zufälligen Fehlern überlagert

• Die Abweichungen sind in der Regel Gauss-verteilt

Berücksichtigung zufälliger Fehler

Messwert x

Häu

figke

it p

(x)

2

2

1( ) exp

22

xp x



• Das Maximum der Verteilung (die Stelle x = ) ist der „wahre Wert“ der Messgröße („Erwartungswert“)

ist die mittlere Abweichung der Messwerte vom „wahren Wert“ („Standardabweichung“)

• ca. 68% der Messwerte liegen im Bereich x = ± • ca. 95% der Messwerte liegen im Bereich x = ± 2 • ca. 99,7% der Messwerte liegen im Bereich x = ± 3

Messwert x

Häu

figke

it p

(x)

aber: eine absolute Fehlergrenze gibt es nicht !



• Statt der „Fehlergrenzen“ des einzelnen Messwertes gibt es Angaben der Form:

„Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% liegt der wahre Wert im Bereich = x ± “ usw.

• als „Fehlergrenze“ für einen einzelnen Wert wird i.A. also in Abhängigkeit von der gewünschten Wahrscheinlichkeit p (=Aussagesicherheit) der Bereich x = k(p) angegeben

Dabei ist für p = 68% : k = 1 95% : k = 2 usw.

Statistische Datenanalyse


• Der „wahre“ Wert der Messgröße könnte nur exakt ermittelt werden, wenn unendlich viele Messungen gemacht würden.

• Im realen Fall verwendet man den arithmetischen Mittelwert m der N Einzelmessungen als optimalen Schätzwert für den wahren Wert

Die einzelnen Messwerte xi müssen dabei unter identischen Bedingungen unabhängig voneinander gewonnen sein



• Bei einer endlichen Anzahl von Messungen kann natürlich auch die

Standardabweichung nur geschätzt werden. Als Schätzwert

verwendet man die Streuung S („empirische Standardabweichung“):



• Der Mittelwert m und die Streuung S sind ebenfalls nur statistische Größen, sie unterliegen daher selbst einer Unsicherheit (Streuung).

• Ein Maß für die möglichen Abweichungen des Mittelwertes erhält man aus der Standardabweichung der einzelnen Messwerte. Wäre diese Größe bekannt, so erhielte man für die Streuung der (ebenfalls gaussverteilten) Mittelwerte aus N Einzelmessungen den Wert:



• Ersetzt man nun die (nicht messbare) Standardabweichung durch den Schätzwert S, so erhält man für die Streuung des Mittelwertes aus N Einzelmessungen den Schätzwert:

• Als Fehlergrenze müsste dann in Abhängigkeit von der gewünschten Aussagesicherheit p das k-fache dieses Wertes angegeben werden.

( )N

SS x

N



• Berücksichtigt man noch die Unsicherheit von S, so erhält man

für den „Vertrauensbereich“ („Fehlergrenze“) einer Messgröße x

• Der Wert des Vorfaktors t hängt von der Zahl der Messwerte N und dem gewünschten „Signifikanzniveau“ p (=Aussagesicherheit, z.B. 68% oder 95%) ab. Er wird aus einer „Student-t-Tabelle“ entnommen.



Die Angabe eines Messergebnisses bei Vorliegen von zufälligen Fehlern hat damit immer die Form:

mit einer Wahrscheinlichkeit von p%

Regressionsanalyse


Beispiel für lineare Regression

Zur Bestimmung des Wertes eines ohm‘schen Widerstandes wird die Spannung (exakt) variiert und der jeweilige Strom (mit Fehler) gemessen.

Ergebnis: Kennlinie des ohm'schen Widerstandes

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Spannung / V

Str

om

/ m

A

Statistische Datenanalyse – lineare Regression

An diese (von einem zufälligen Fehler überlagerten) Werte soll eine Gerade der Form

angepasst werden.

bxay

Dazu wird die Summe der quadratischen Abweichungen der Messwerte von dieser allgemeinen Geraden gebildet. Diese Summe muss (nach Gauss) minimiert werden:

Min))((2

1 2

1

2

N

iiiy bxay

NS


Das Minimum findet man durch die Bedingung

Als Lösung dieses Gleichungssystems erhält man:

mit den Abkürzungen

und

0 , 022

b

S

a

S yy

i

N

ii

N

ii

N

ii yxxyxxxx

11

22

1

, ,

22 xxND

a = ([x²][y] – [x][xy] / D

b = (N [xy] – [x][y] / D


Damit erhält man in unserem Beispiel die Ausgleichsgerade mit den Parametern: a = 5,63 mA und b = 0,861 mA/V

Kennlinie des ohm'schen Widerstandes

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Spannung / V

Str

om

/ m

A


Um die Streuungen Sa und Sb dieser Parameter

abzuschätzen, verwendet man den Zusammenhang

Dazu muss natürlich zuerst die Summe der Fehlerquadrate berechnet werden:

2

1

2 ))((2

1

N

iiiy bxay

NS

22

2

2bay S

N

DS

x

DS


Für die Streuung Sb der Steigung erhält man also z.B.:

Um den Vertrauensbereich zu erhalten, muss bei wenigen (<30) Werten noch der Student-t-Faktor (für die gewünschte Aussagesicherheit p und N-2 Freiheitsgrade berücksichtigt werden:

D

SNS y

b

2

bb SNpt )2,(VB


In unserem Beispiel erhält man

Sb = 0,052

Der Student-t-Faktor für p = 95% und N = 12 ist

t (0,95;10) = 2,228

Damit ist die Steigung b = (0,86 ± 0,16) mA/V

Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung erhält man für den Vertrauensbereich des gesuchten Widerstands R (= 1/b) :

und daraus das Versuchsergebnis:

R = (1160 ± 220) für p = 95%

186,0

b

b

R

R


Voraussetzung für diese Form der linearen Regression ist streng genommen die Bedingung, dass nur Fehler in der Variablen y auftreten.

y

y

x

x

Sind die Verhältnisse umgekehrt, so wählt man eine Auftragung mit vertauschten Koordinaten.

Praktisch muss erfüllt sein:

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Physikalische Messgrößen. s = 26,673945.. mm Messen = Zählen von Einheiten Einheit = 1 mm s = 26,673... x 1 mm physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit