April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Vorlesung Regelungstechnik 2
EinführungsvorlesungEinführungsvorlesung
21. April 2004
Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik
Goebenstr. 4066117 Saarbrücken
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Klausur-Nachbesprechnung
Klausur RegelungstechnikKlausur Prozessanalyse
Einsicht
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Regelungstechnik 2
Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Digitale Regelung• Beschreibung kontinuierlicher / digitaler Signale• Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen• Elemente in digitalen Regelkreisen (DA-Wandler, AD-Wandler,
Halteglieder)• Gleichungen, Differenzengleichungen für digitaler Regelelemente
P, I, D und Kombinationen hiervon• PID-Regelalgorihtmen• Einstellregeln für digitale Regelkreise• z-Transformation und Beschreibung von digitalen Regelkreisen im
Frequenzbereich• Stabilität von digitalen Regelkreisen
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Regelungstechnik 2
Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Zustandsregelung• Einführung in die Zustands(-raum)-Beschreibung • Mathematische Grundlagen (Matrizen und Rechenverfahren=• Methoden zur Berechnung von Übertragungssystemen mit Zustands-
variablen• Lösungen derZustandsgleichung im Zeit- und Frequenzbereich• Normalformen von Übertragungssystemen
(Beobachternormalform, Regelungsnormalform)• Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen• Transformationen auf Regelungs- und Beobachtungsnormalform• Regelung durch Zustandsrückführung
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Einführung in digitale Regelungstechnik
Kontinuierliche (analoge) Systeme• Kennzeichen analoger Systeme
beliebiger Werte- und Definitionsbereich
• Hohe Datenmenge bei Speicherung von analogen Signalen
• Darstellung von analogen Signalen in ausgedruckter Kurvenform (Linienschreiber)
• Erzeugung von analogen Signalen aus digitalen Signalen über DA-Wandlung möglich
Digitale Systeme
• Kennzeichen digitaler Systemebegrenzter Werte- und Definitionsbereich
• Binäre Signale Wertebereich besteht aus 2 Werten
• Reduzierte Datenmenge bei Speicherung von digitalen Signalen
• Darstellung von digitalen Signalen in Tabellen oder Kurvenform
• Erzeugen von digitalen Signalen ausanalogen Signalen über AD-Wandlung möglich
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Wie kommt man von analogen zu digitalen Signalen?
Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten:• Abtastung• Quantisierung
Abtastung:Zu definierten Zeitpunkten äqui-distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfasst. Abtastzeit T
Quantisierung:Kontinuierliche Signalwerte werdendefinierten Wertebereich zugeordnet.
Reihenfolge der Schritteist tauschbar!
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übergang von kontinuierlicher Regelung auf digitaler Regelung
Regelung bedeutet Rückführung von Informationen (Istwert der Regel-größe wird auf Vergleicher mit Sollwert geführt). Bei kontinuierlicherRegelung wird ständig – permanent – dieser Vergleich durchgeführt.
Zeitdiskrete Regelung beschränkt die Informationsinhalte der Sensor-signale und der gewünschten Einflussnahme durch das Stellsignale auf diskrete Zeitpunkte t = kT.
Heutige Systeme arbeiten nicht nur in der Regelungstechnik digital. Hardwareregler Siemens SIPART DR 22 ist ein DDC-Regler. DDC stehtfür Direct Digital Control und zeigt damit an, dass der Regler intern mitdigitalisierten Signalen arbeitet und für die Regelung analoger Größengenutzt wird.
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
DDC-Regler Siemens
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übergang vom zeitkontinuier-lichen zum zeitdiskreten Signal
Kontinuierliches Signal wird über Abtaster und A/D-Wandlerin ein zeitdiskretes digitalisiertens Signal gewandletx(t) -> x(kT)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Übergang vom zeitdiskreten zum zeitkontinuierlichen Signal
Zeitdiskretes Signal wird über Halteglied und D/A-Wandlerin ein kontinuierliches Signal gewandelty(kt) -> y(t)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Erzeugung digitalisierter Signale
Güte der Abtastung ist von der Quantisierung des Wertebereiches Abhängig. Je höher die Auflösung gewählt wird, umso kleiner wird dieQuantisierungsstufe (12 bis 16 bit)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Fehlerbetrachtung
12 bit Auflösung: 2^12 = 4096Wertebereich von 0 bis 1000:Quantisierungsfehler q = 1000/4096 = 0,24414Wertebereich {0, 0.24, 0.48, 0.72, 0.96, 1.2, 1.4, ......}
16 bit Auflösung: 2^16 = 65536Wertebereich von 0 bis 1000:Quantisierungsfehler q = 1000/65536 = 0,01525Wertebereich {0, 0.015, 0.03, 0.045, 0.06, 0.075, ....}
Werte innerhalb dieser Werte sind nicht auflösbar. Informationsverlust vorhanden. Akzeptanz ist von der Aufgabenstellung abhängig.
Quantisierungsfehler ist für uns vernachlässigbar. Der Fehlereinflusskann durch die Bitanzahl für die Wahl der Auflösung beeinflusst werden.
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitaler Regelkreis
Im digitalen Regelkreis müssen analoge Größen digitalisiert werden.Die Regelstrecke wird meistens mit analog arbeitenden Stellgerätenbeeinflusst. Hier ist entsprechend die Umwandlung der digitalen Größenin analoge Größen vorzunehmen.Digitaler Regler ermittelt nach einer Berechnungsvorschrift die Folgeder Stellwerte y(kT) aus der Folge e(kT).
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitaler Regelkreis
Leistungsfähigkeit des digitalen Reglers:•Regelalgorithmus Programm / Software•Flexible Reglerauslegung mit hoher Leistungsfähigkeit•Die Stellgröße ist aufgrund der D/A-Wandlung ein treppenförmigwirkendes Signal
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitaler Regelkreis
Linearitätsprinzip:•Lineare Systeme bleiben auch unabhängig von der Abtastung weiterlinear. So können die Rechenregeln der LTI-Systeme auch für digitalisierte Regelkreise greifen und angewendet werden.•Behandlung digitaler Systeme wie kontinuierlich arbeitende Systeme•Bei digital arbeitenden Regelkreisen werden alle Kenngrößen nurzu den Abtastzeitpunkten kT betrachtet. Damit ergeben sich alleanalogen Größen zu reinen Zahlenfolgeny(k) = { 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 3, .....}
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler RegelsystemeBild 2.2.1 Unbehauen II, S.104
t kT
2
t kT2 2
3
t kT3 3
dff (kT) f[(k 1)T]|
dt Td ff (kT) 2f[(k 1)T] f[(k 2)T]
|dt Td ff (kT) 3f[(k 1)T] 3f[(k 2)T] f[(k 3)T]
|dt T
Euler-Verfahren:Approximation der Differential-quotienten
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler RegelsystemeSystem 1. Ordnung
1
1
1
1
0 1
dy(t)T y(t) u(t)
dt
Ty(kT) y[(k 1)T] y(kT) u(kT)
TT1
y(kT) y[(k 1)T] u(kT)T T1T
y(kT) u(kT) y[(k 1)T]
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Interpretation
Differenzengleichung ist rekursiv lösbar aus der Eingangsfolge und den Anfangsbedingungen lösbar.
Allgemeiner Fall der Differenzengleichung n-ter Ordnung:
n n1 2 0 1
n n
i ii 0 i 1
y(k) y(k 1) y(k 2) ... y(k n) u(k) u(k 1) ... u(k n)
y(k) u(k i) y(k i)
Beispiel:y(k+1) + 4y(k) = u(k)y(k+1) = u(k) – 4y(k)Folge u(k) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.....} und y(0) = 10
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Interpretation
Die Folge y(k) oder y(k+1) berechnet sich rekursiv. Für die BestimmungDer aktuellen Werte für den Zeitpunkt k fließen die zurückliegendenWerte von y(k) der Ein- und Ausgangswerte mit ein. Die Größe n beschreibt die Ordnung der Differenzengleichung.Die Anfangswerte werden wie bei einer kontinuierlichen Dgl für k=0berücksichtigt.
Gewichtsfolge g(k) beschreibt die Systemantwort, wenn die Diracstoß-folge auf das System aufgegeben wird.
d(k) = 1 für k=0, sonst 0
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Folgenbeschreibung
g(k)G(s)
)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0
k=m
Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge.
Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z-Transformation
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung
y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,....
Für k=0: y(1) = ay(0) + u(0) y(0) muß bekannt sein.Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k)
Für k=1: y(2) = ay(1) + u(1)= a2y(0) +au(0) +u(1)
Für k=2: y(3) = a3y(0) +a2u(0) + au(1) + u(2)
Allgemein: y(k) = aky(0) + Σu(j)ak-1-j
Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: aky(0) Anfangsbedingung / homogener TeilΣu(j)ak-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz
j=0
j=k-1
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Beispiel
System 1. OrdnungAnregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0
y(k) = ak-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung
Σu(j)ak-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = ak-1.
vgl.
y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0
k=m
j=0
j=k-1
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Mathematische Betrachtung des Abtastvorgang
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Digitaler Regelkreis
Bild 2.2.3Bild 2.2.4, S.108
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
Proportionalalgorithmus
Y(t) = KRe(t)
Y(kT)= KR e(kT)
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
Integralalalgorithmus
i
y(t) KI edt y(kT) KI e(iT)T
Die Integration kann verschieden durch diskrete Algorithmen appro-ximiert werden (Rechteck, Trapeznäherung)
k 1
i 0
k
i 1
yk KI e(i)T
yk KI e(i)T
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Basisalgorithmen für digitale Regelungen
Rekursive Algorithmen:
k 1 k 2
k 1i 0 0
k k 1
k 1i 1 1
yk KI e(i)T KI e(i)T KI e(k 1)T y KI e(k 1)T
yk KI e(i)T KI e(i)T KI e(k)T y KI e(k)T
April 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 1.30 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel
Literatur Regelungstechnik
Literaturliste:• Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri
Deutsch, Frankfurt, 1998 ISBN 3-8171-1552-0 (Bibliothek HTW)• Unbehauen, H.: Regelungstechnik II, Vieweg-Verlag, Braunschweig,
2001, ISBN 3-528-01332-X • Schlüter Gerd.: Digitale Regelungstechnik interaktiv, Fachbuchverlag
Leipzig, 2000, ISBN 3-446-21477-1• Merz, Jaschek: Regelungstechnik, Vorlesung Universität Saarbrücken