Reelle Funktionen - Grundlagen
SKRIPT (16 Seiten)
Theoretische Erklรคrungen und Beispielaufgaben zu folgenden
Themenbereichen:
โช Wiederholung: Funktionen BASICS
โช Monotonieverhalten einer Funktion
โช Extremstellen von Funktionen
โช Symmetrie und Periodizitรคt
โช Bijektive Funktion und
Umkehrfunktion
โช Verkettung von Funktionen
โช Funktionen in mehreren Variablen
โช รnderungsmaรe
Zusรคtzlich:
Erklรคrvideos (gratis!) zur visuellen Veranschaulichung.
-> QR-Codes im SKRIPT!
Allgemeine Informationen zum Skript
Anwendung des Materials:
Im Skript werden die zu erlernenden Inhalte stets durch einen Theorieblock eingefรผhrt. Im Anschluss
sollen Beispielaufgaben gelรถst werden, um das Erlernte zu festigen.
Zur visuellen Veranschaulichung und fรผr weitere Informationen werden selbst erstellte YouTube-
Videos angeboten. Im Skript sind die Videos mit einem QR-Code versehen, der direkt zum Video
fรผhrt. In der PDF-Datei kommt man per Klick auf den Link auch zur Erklรคrung.
Die Musterlรถsungen findest du (sofern bereits verfรผgbar) kostenlos auf meiner Homepage unter
folgendem Link: https://prof-tegischer.com/18-reelle-funktionen-basics-6-klasse/
Einsatz des Materials
โช Einsatz fรผr Lehrpersonen als Aufwertung fรผr den eigenen Unterricht (โFlipped Classroomโ,
Erarbeitung oder Festigung des Stoffes anhand des Skriptes, Einsatz der Lernvideos, etc.)
โช Mรถglichkeiten fรผr SchรผlerInnen: Selbststรคndiges Erarbeiten bzw. Festigen eines Stoffgebietes
mit dem Skript (inkl. Videos & Musterlรถsungen).
โช & noch viele weitere Mรถglichkeiten โ wenn du eine besondere Idee hast, lass es mich
wissen!!
Quellennachweis:
โช Alle Theorieteile wurden von mir geschrieben. Alle Aufgaben wurden von mir erstellt.
โช Alle Graphiken wurden von mir mit den Programmen โMatheGrafix PROโ und โGeoGebraโ
erstellt.
โช Die QR-Codes in den Skripten wurden mit โQR-Code-Generatorโ erstellt.
Lizenzbedingungen:
Vielen Lieben Dank, dass du dich fรผr mein Material entschieden hast. Ich wรผrde mich freuen, wenn
es dir bei der Unterrichtsgestaltung oder beim selbststรคndigen Erarbeiten helfen kann.
Du darfst das Material fรผr deinen eigenen Unterricht verwenden.
Du darfst es NICHT gewerblich nutzen, รผber das Internet verbreiten oder an
Dritte weitergeben. Grafiken dรผrfen NICHT herauskopiert werden.
Hast du Fragen, Wรผnsche oder Anregungen zu meinen Unterrichtsmaterialien, kannst du mich gerne auf
Instagram (prof. tegischer) oder per Mail kontaktieren ([email protected]). Auf meiner Homepage
prof-tegischer.com findest du weitere Informationen zu meinen Materialien. Ich wรผrde mich รผber ein
Feedback dazu freuen!
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THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 1 von 16
Kapitel 18: Reelle Funktionen - Grundlagen
WH โ Funktionen (5. Klasse)
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert aus der Definitionsmenge D (Argumente, Stellen) genau einen Wert aus der Wertemenge W (Funktionswerte) zuordnet.
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.
Zusammenfassung:
1. Jedem Element der Definitionsmenge (=Stelle, Argument, โx-Wertโ) darf NUR EIN Element der Wertemenge (=Funktionswert) (y,f(x)) zugeordnet werden.
2. ABER Ein Element der Wertemenge (y, f(x)) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge zugeordnet werden.
โช Die Elemente der Definitionsmenge D einer Funktion nennt man Argumente oder Stellen einer Funktion.
โช Die Elemente der Wertemenge W nennt man Funktionswerte einer Funktion.
โช ๐(๐ฅ) ist der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x.
โช Der Graph der Funktion f besteht aus den Punkten (๐ฅ|๐(๐ฅ)).
Bsp. 1) Ermittle die Lรถsung graphisch.
๐(0,5) =
๐(โ1) =
An welchen Stellen hat die Funktion den Funktionswert ๐(๐ฅ) = 15?
Gib die Koordinaten des Punktes an der Stelle ๐ฅ = 0,5 an.
๐(2) =
๐(โ1) =
An welchen Stellen hat die Funktion den Funktionswert ๐(๐ฅ) = โ2?
Gib die Koordinaten des Punktes an der Stelle ๐ฅ = 1 an.
รberprรผfung: Liegt ein Punkt auf einer Funktion? Setze die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Stimmt der erhaltene Funktionswert mit der y-Koordinate des Punktes รผberein, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen!!!
๐ด = (5|๐), ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 7 Liegt der Punkt A auf dem Funktionsgraphen?
๐ด = (5|3) โ ๐ฅ โ ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐: ๐ฅ = 5
๐(5) = 2 โ 5 โ 7 = 10 โ 7 = ๐
๐(5) = ๐ & ๐ด = (5|๐) โ Der Punkt A liegt auf dem Graphen von ๐(๐ฅ).
๐ด = (2|๐), ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 2๐ฅ โ 7 Liegt der Punkt A auf dem Funktionsgraphen?
๐ด = (2|3) โ ๐ฅ โ ๐พ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐: ๐ฅ = 2
๐(2) = 22 + 2 โ 2 โ 7 = 4 + 4 โ 7 = 1
๐(2) = ๐ & ๐ด = (2|๐) โ 1 โ 3 โ Der Punkt A liegt NICHT auf dem Graphen von ๐(๐ฅ).
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Bsp. 2) Bestimme, ob der gegebene Punkt auf dem Funktionsgraphen der Funktion liegt.
๐ด = (2|8), ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 2 ๐ด = (0|4), ๐(๐ฅ) = 5๐ฅ + 4 ๐ด = (โ1|โ1), ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ โ 3
Beliebige Punkte auf einem Funktionsgraphen bestimmen
Mรถchtest du zu einer gegebenen Funktion beliebige Punkte des Funktionsgraphen bestimmen, so musst du nur x-Werte in den Funktionsgraphen einsetzen. Der erhaltene Funktionswert entspricht der zugehรถrigen y-Koordinate des Punktes. (vgl. Wertetabelle)
f(x) = 3x + 7
Bestimme drei beliebige Punkte auf dem Funktionsgraphen:
๐ฅ = ๐ โ ๐(1) = 3 โ 1 + 7 = ๐๐ โ ๐จ = (๐|๐๐)
๐ฅ = โ๐ โ ๐(โ4) = 3 โ (โ4) + 7 = โ12 + 7 = โ๐ โ ๐ฉ = (โ๐|โ๐)
๐ฅ = ๐ โ ๐(3) = 3 โ 3 + 7 = ๐๐ โ ๐ช = (๐|๐๐)
f(x) = โx2 + x โ 1
Bestimme drei beliebige Punkte auf dem Funktionsgraphen:
๐ฅ = ๐ โ ๐(1) = โ12 + 1 โ 1 = โ1 + 1 โ 1 = โ๐ โ ๐จ = (๐|โ๐)
๐ฅ = โ๐ โ ๐(โ4) = โ(โ4)2 โ 4 โ 1 = = โ16 โ 4 โ 1 = โ๐๐ โ ๐ฉ = (โ๐|โ๐๐)
๐ฅ = ๐ โ ๐(3) = โ32 + 3 โ 1 = โ9 + 3 โ 1 = โ๐ โ ๐ช = (๐|โ๐)
Bsp. 3) Bestimme je zwei beliebige Punkte auf dem Funktionsgraphen. Wรคhle immer verschiedene
Argumente.
๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 5 ๐(๐ฅ) = 5๐ฅ + 9
Nullstellen einer Funktion Ist an einer Stelle ๐ฅ der Funktionswert ๐(๐ฅ) gleich 0, so nennt man ๐ฅ eine Nullstelle der Funktion ๐.
๐(๐) = ๐
Der Graph schneidet an dieser Stelle die waagrechte Achse (Abszisse).
Willst du die Nullstellen einer Funktion bestimmen, musst du die Gleichung ๐(๐ฅ) = 0 lรถsen.
Beispiel: ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 4
๐(๐ฅ) = 0
2๐ฅ โ 4 = 0 | + 4
2๐ฅ = 4 | โถ 2
๐ฅ = 2
โ ๐ฅ = 2 ๐๐ ๐ก ๐๐๐๐ ๐ต๐๐๐๐๐๐๐๐๐
NULLSTELLE ๐ฅ = 2
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Bsp. 4) Bestimme rechnerisch die Nullstellen der Funktion f.
a. ๐(๐ฅ) = โ2
3๐ฅ + 1 b. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ ๐ฅ โ 12
Bsp. 5) Bestimme graphisch die Nullstelle/n der Funktion f.
Bsp. 6) Zeichne den Graphen der gegebenen Funktion fรผr die angegebene Definitionsmenge und bestimme die
Wertemenge der Funktion.
๐(๐ฅ) = โ2๐ฅ + 1 ; ๐ท = [โ3; 3]
๐ ๐ = ๐(๐)
โ3
โ2
โ1
0
1
2
3
๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 3 ๐๐ ๐ผ๐๐ก๐๐๐ฃ๐๐๐ [0; 6]
๐ ๐ = ๐(๐)
0
1
2
3
4
5
6
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1. Monotonie einer Funktion:
Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt an, ob der Graph steigt, fรคllt oder gleich bleibt,
wobei immer von links nach rechts geschaut wird.
Eigenschaft Erklรคrung Formale Definition Graphik
streng monoton steigend
Der Graph geht stets bergauf.
Die Funktionswerte werden kontinuierlich grรถรer!
Ist ๐ฅ1 < ๐ฅ2, dann gilt:
๐(๐ฅ1) < ๐(๐ฅ2)
monoton steigend
Die Funktionswerte werden grundsรคtzlich immer grรถรer โ es darf aber auch Phasen geben, in
denen die Funktion konstant verlรคuft.
Ist ๐ฅ1 < ๐ฅ2, dann gilt:
๐(๐ฅ1) โค ๐(๐ฅ2)
konstant
Der Graph ist waagrecht bzw. parallel zur x-Achse.
Die Funktionswerte bleiben gleich.
Ist ๐ฅ1 < ๐ฅ2, dann gilt:
๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2)
monoton fallend
Die Funktionswerte werden grundsรคtzlich immer kleiner โ es darf aber auch Phasen geben, in
denen die Funktion konstant verlรคuft.
Ist ๐ฅ1 < ๐ฅ2, dann gilt:
๐(๐ฅ1) โฅ ๐(๐ฅ2)
streng monoton
fallend
Der Graph geht immer bergab. Die Funktionswerte werden stets kleiner!
Ist ๐ฅ1 < ๐ฅ2, dann gilt:
๐(๐ฅ1) > ๐(๐ฅ2)
Bemerkung: Ist eine Funktion weder (streng) monoton steigend bzw. fallend,
dann sagt man die Funktion ist NICHT monoton.
Video 2/9
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Bsp. 7) Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion im gegebenen Intervall.
a. [โ6; โ4]:
b. [1; 3]:
c. [0; 2]:
d. [โ1; 0,5]:
e. [โ4; 2]:
f. [โ3; 0]:
g. [โ3; โ1]:
Bsp. 8) Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion ๐: โ โ โ. Verwende dazu GeoGebra.
a. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 2 b. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ3 + 3๐ฅยฒ c. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ4 โ 2๐ฅยฒ
Bsp. 9) Begrรผnde, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Eine monoton steigende Funktion kann auch streng monoton steigend sein.
Gilt in einem Intervall [๐; ๐] auch ๐(๐) > ๐(๐), so ist die Funktion streng monoton steigend.
Jede streng monoton steigende Funktion ist auch monoton steigend.
Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn fรผr alle ๐ฅ1, ๐ฅ2 โ ๐ท gilt: ๐(๐ฅ2) < ๐(๐ฅ1)
Jede monoton fallende Funktion ist auch streng monoton fallend.
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2. Extremstellen von Funktionen: (Bemerkung: STELLE โ PUNKT)
Lokale Extremstellen
Bei lokalen Extremstellen findet stets ein Monotoniewechsel statt!!!
Lokale Minimumstelle โช Monotoniewechsel: fallend -> steigend โช Bemerkung: Die Minimumstelle ist nur diejenige
Stelle (x-Wert), bei der dieses Minimum eintritt. Den zugehรถrigen Punkt nennt man Extrempunkt bzw. Tiefpunkt.
Lokale Maximumstelle โช Monotoniewechsel: steigend -> fallend โช Bemerkung: Die Maximumstelle ist nur diejenige
Stelle (x-Wert), bei der dieses Maximum eintritt. Den zugehรถrigen Punkt nennt man Extrempunkt bzw. Hochpunkt.
Globale Minimum- und Maximumstellen
Globale Minimum- bzw. Maximumstellen geben diejenige Stellen an, bei denen die Funktion den kleinsten bzw. grรถรten Funktionswert in der Definitionsmenge animmt.
Bemerkung: Globale Minimum- bzw. Maximumstellen kรถnnen, aber mรผssen nicht zwingend auch lokale Extremstellen sein, da es bei einer lokalen Extremstelle stets zu einem Monotoniewechsel kommen muss.
Globale Minimumstelle = diejenige Stelle/n, bei denen die Funktion den
kleinsten Funktionswert annimmt.
Globale Maximumstelle = diejenige Stelle/n, bei denen die Funktion den
grรถรten Funktionswert annimmt.
Video 3/9
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Bsp. 10) Gegeben ist der Graph einer Funktion in einem bestimmten Intervall. Bestimmeโฆ
i. die Definitions- und Wertemenge
ii. das Monotonieverhalten,
iii. alle lokalen Extremstellen (inkl. Extrempunkte: Hochpunkt/Tiefpunkt)
iv. alle globalen Extremstellen
THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 8 von 16
Bsp. 11) Skizziere einen mรถglichen Graphen mit den gegebenen Eigenschaften im Intervall [โ5; 5]. Skaliere die
y-Achse passend.
โช verlรคuft durch den Punkt ๐ = (1|1) โช Lokale und Globale Minimumstelle bei ๐ฅ = โ3. โช Hochpunkt bei (0|2)
โช Im Intervall [โ5; โ2]: streng monoton wachsend โช Hochpunkt bei (โ2|100) โช Verlรคuft durch den Punkt (โ0,5|0) โช Lokale Minimumstelle bei ๐ฅ = 1. โช Globales Maximum bei ๐ฅ = 5
Bsp. 12) Zeichne den Graphen der Funktion ๐: โ โ โ. Ermittle mit Technologieeinsatz das
Monotonieverhalten, die lokalen Extremstellen und gib die dazugehรถrigen Extrempunkte an.
a. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ4 + 4๐ฅ3 โ 12๐ฅ2 โ 32๐ฅ โ 18 b. ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ4 โ 4๐ฅยฒ
c. ๐(๐ฅ) = โ2 โ (๐ฅ4 โ 8๐ฅ2 + 6) d. ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ4 + 5๐ฅ3 โ 7๐ฅ2 + 5๐ฅ
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3. Symmetrie
Gerade Funktionen
Graph ist symmetrisch bezรผglich der y-Achse
Ungerade Funktionen
Graph ist punktsymmetrisch bezรผglich des Ursprungs
Es gilt: ๐(๐ฅ) = ๐(โ๐ฅ)
Es gilt: ๐(โ๐ฅ) = โ๐(๐ฅ)
Wie der Name โGerade Funktionโ bereits erahnen lรคsst, dรผrfen nur gerade Hochzahlen in der Funktionsgleichung
vorkommen. Eine konstante Zahl am Ende ist auch erlaubt.
Begrรผndung: ๐(๐ฅ) = ๐(โ๐ฅ)
Da bei einer geraden Funktion fรผr das positive & negative Argument derselbe Funktionswert herauskommen soll, dรผrfen nur gerade Hochzahlen vorkommen:
๐ยฒ
(+3)2 = 9 (โ3)2 = 9
๐๐
(+2)4 = 16 (โ2)4 = 16
In weiterer Folge spielt bei einer geraden Hochzahl das Vorzeichen keine Rolle, da das Minus aufgrund der Hochzahl
immer wegfรคllt!!!
โช ๐(๐ฅ) = ๐ฅ6 โ 3๐ฅ2 + 3 < โ ๐๐๐๐๐๐ ๐น๐ข๐๐๐ก๐๐๐ โช ๐(๐ฅ) = ๐ฅ4 โ ๐ฅ2 + ๐ < โ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐น๐ข๐๐๐ก๐๐๐
Wie der Name โUngerade Funktionโ bereits erahnen lรคsst, dรผrfen nur ungerade Hochzahlen in der Funktionsgleichung
vorkommen. Eine konstante Zahl am Ende ist NICHT erlaubt.
Begrรผndung: โ๐(๐ฅ) = ๐(โ๐ฅ)
๐๐
(+3)2 = 27 (โ3)2 = โ27
๐(๐) = ๐๐ โ ๐๐
๐(2) = 23 โ 3 โ 2 = 8 โ 6 = 2
๐(โ2) = (โ2)3 โ 3 โ (โ2) = โ8 + 6 = โ2
Es gilt: ๐(โ2) = โ๐(2) < โ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐ ๐น๐ข๐๐๐ก๐๐๐
โช ๐(๐ฅ) = ๐ฅ5 โ 3๐ฅ3 + ๐ฅ < โ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐ ๐น๐ข๐๐๐ก๐๐๐ โช ๐(๐ฅ) = ๐ฅ5 โ ๐ฅ3 โ ๐ < โ ๐๐๐๐๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐ ๐น๐ข๐๐๐ก๐๐๐
Bsp. 13) Begrรผnde rechnerisch mit ๐ฅ = 3, ob die Funktion gerade oder ungerade ist.
a. ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ4 + 2๐ฅ2 โ 6 b. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ5 โ 3๐ฅ
Video 4/9
THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 10 von 16
Bsp. 14) Gib aufgrund des Graphen von f an, ob die Funktion gerade oder ungerade ist.
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4. Periodizitรคt
Gilt fรผr eine reelle Funktion f
๐(๐) = ๐(๐ + ๐) fรผr alle x aus der Definitionsmenge und ๐ > 0, dann nennt man f eine periodische Funktion mit Periode p.
๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅ + ๐)
๐(0) = ๐(2) = ๐(4) = ๐(10) = ๐(โ2) = โฏ
๐(1) = ๐(โ1) = ๐(3) = ๐(5) = ๐(11) = โฏ
Bsp. 15) Gib die Symmetrie (Gerade/Ungerade Funktion) und die Periodizitรคt des Funktionsgraphen an.
Video 5/9
THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 12 von 16
5. Bijektive Funktion und Umkehrfunktion
Erinnerung โ Definition einer Funktion:
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, die jedem Wert aus der Definitionsmenge D (Argumente, Stellen) genau einen Wert aus der Wertemenge W (Funktionswerte) zuordnet.
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.
Zusammenfassung:
1. Jedem Element der Definitionsmenge (=Stelle, Argument, โx-Wertโ) darf NUR EIN Element der Wertemenge (=Funktionswert) (y,f(x)) zugeordnet werden.
2. ABER Ein Element der Wertemenge (y, f(x)) kann mehreren Elementen der Definitionsmenge zugeordnet werden.
Bei einer bijektiven Funktion wird die gelb markierte Eigenschaft strenger ausgelegt โ es gilt:
Eine Funktion ist bijektiv, wennโฆ
โช โฆ jedem Element der Definitionsmenge GENAU ein Element der Wertemenge zugeordnet wird.
โช โฆ jedem Element der Wertemenge GENAU ein Element der Definitionsmenge zugeordnet wird.
Ist eine Funktion bijektiv, so besitzt diese Funktion eine sogenannte Umkehrfunktion ๐โ1: ๐(๐ท) โ ๐ท
โ Um die Umkehrfunktion bestimmen zu kรถnnen, formt man die Funktion auf x um (beachte
dabei die Definitionsmenge!)
โ Den Graphen der Umkehrfunktion von f erhรคlt man durch Spiegelung des Graphen von f an
der 1. Mediane.
Bsp. 16) Gib die Definitionsmenge von f so an, dass eine bijektive Funktion entsteht. Wie lautet die
Umkehrfunktion von f? Gib auch ihre Definitionsmenge an.
a. ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 4 b. ๐(๐ฅ) =3
๐ฅ2
c. ๐(๐ฅ) = 4๐ฅ2 โ 7 d. ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ + 3
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THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 13 von 16
6. Verkettung von Funktionen
(๐ โ ๐)(๐) = ๐(๐(๐))
โVerkettung von g nach f (d.h. g wird nach f durchgefรผhrt)โ
Musterbeispiel: Gegeben sind die Funktionen ๐(๐ฅ) = ๐๐๐ โ ๐ und ๐(๐ฅ) = ๐๐ + ๐. Bestimme die gesuchte Verkettung.
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
Die Funktion f wird nun in g eingesetzt:
๐(๐(๐ฅ)) = 2 โ (๐๐๐ โ ๐) + 2
๐(๐(๐ฅ)) = 4๐ฅ2 โ 2 + 2 = ๐๐ยฒ
(๐ โ ๐)(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ))
Die Funktion g wird nun in f eingesetzt:
๐(๐(๐ฅ)) = 2 โ (๐๐ + ๐)๐ โ ๐
๐(๐(๐ฅ)) = 2 โ (4๐ฅ2 + 8๐ฅ + 4) โ 1
๐(๐(๐ฅ)) = 8๐ฅ2 + 16๐ฅ + 8 โ 1
๐(๐(๐ฅ)) = 8๐ฅ2 + 16๐ฅ + 7
Die Definitionsmenge ist bei beiden Verkettungen jeweils ๐ท = โ. Kommen Wurzeln oder Brรผche vor, so musst du die Definitionsmenge anpassen!
Bsp. 17) Die Funktionen ๐(๐ฅ) = 4๐ฅ + 2, ๐(๐ฅ) = 3๐ฅ2 + 2 ๐ข๐๐ โ(๐ฅ) = โ2๐ฅ โ 1 sind gegeben. Bilde
die gesuchten Verkettungen und gib die grรถรtmรถgliche Definitionsmenge an, sodass die Verkettung
mรถglich ist.
a. (๐ โ ๐)(๐ฅ) b. (๐ โ โ)(๐ฅ)
c. (๐ โ โ)(๐ฅ) d. (๐ โ ๐)(๐ฅ)
e. (๐ โ ๐โ1)(๐ฅ) f. (๐ โ ๐โ1)(๐ฅ)
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THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 14 von 16
7. Funktionen in mehreren Variablen
Bsp. 18) Gegeben ist die Funktion f mit ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =3๐ฅยฒ+5
2๐ฆ. Gib eine sinnvolle Definitionsmenge
an und berechne die gesuchten Funktionswerte.
Definitionsmenge:
๐(โ1; 3) = ๐(2; 4) = ๐(โ5; 1) =
Bsp. 19) Gegeben ist die Funktion ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) =๐ฅโ๐ฆ2
๐ง
a. Wie verรคndert sich f, wenn man x verdoppelt?
b. Wie verรคndert sich f, wenn man y verdoppelt?
c. Wie verรคndert sich f, wenn man z verdoppelt?
d. Wie verรคndert sich f, wenn man y vervierfacht?
e. Welche Art von Funktion ist ๐(๐ฅ) und wie kann man den Graphen beschreiben? Ist x zu ๐(๐ฅ) direkt
oder indirekt proportional (oder keines von beidem)?
f. Welche Art von Funktion ist ๐(๐ฆ) und wie kann man den Graphen beschreiben? Ist y zu ๐(๐ฆ) direkt
oder indirekt proportional (oder keines von beidem)?
g. Welche Art von Funktion ist ๐(๐ง) und wie kann man den Graphen beschreiben? Ist z zu ๐(๐ง) direkt
oder indirekt proportional (oder keines von beidem)?
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THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 15 von 16
Bsp. 20) Gegeben ist die Funktion ๐(๐, ๐, ๐) =๐ยฒโ๐3
๐ยฒ
a. Wie verรคndert sich T, wenn a verdoppelt wird?
b. Wie verรคndert sich T, wenn b verdoppelt und c verdreifacht wird?
c. Wie verรคndert sich T, wenn a halbiert, b verdoppelt und c durch 4 geteilt wird?
d. Wie verรคndert sich T, wenn a verdoppelt, b halbiert und c verdoppelt wird?
Bsp. 21) Gegeben ist die Funktion ๐(๐, ๐, ๐, ๐) =๐๐4
๐3๐
a. Wie verรคndert sich T, wenn a verdoppelt, b verdoppelt und c verdoppelt wird?
b. Wie verรคndert sich T, wenn b verdoppelt und d verdreifacht wird?
c. Wie verรคndert sich T, wenn a halbiert, b verdoppelt und d durch 4 geteilt wird?
THEORIE: Reelle Funktionen - Grundlagen Seite 16 von 16
8. รnderungsmaรe
Sei f eine reelle Funktion. Fรผr ein Intervall [๐; ๐] aus der Definitionsmenge definiert man:
โช ๐(๐) โ ๐(๐) ... absolute รnderung von f in [๐; ๐]
โช ๐(๐)โ๐(๐)
๐โ๐ ... mittlere รnderungsrate (Differenzenquotient) von f in [๐; ๐]
โช ๐(๐)โ๐(๐)
๐(๐) ... relative รnderung von f in [๐; ๐]
โช ๐(๐)โ๐(๐)
๐(๐)โ 100 ... prozentuelle รnderung von f in [๐; ๐]
Bsp. 22) Gegeben ist eine Funktion ๐: โ โ โ. Bestimme jeweils die (1) absolute รnderung, (2)
mittlere รnderung, (3) relative รnderung und (4) prozentuelle รnderung im Intervall [2;5].
a. ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 5 b. ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ2 + 5๐ฅ
c. ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 1 d. ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ3 โ ๐ฅ2 + 4๐ฅ
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