Umdruck zur Vorlesung: Grundlagen der Wärmeübertragung
apl. Prof. Dr.-Ing. K. Spindler
Dipl.-Ing. A. Frank
Institut für Thermodynamik und Wärmetechnik
Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 6, 70550 Stuttgart
Version: 18.02.2014
Inhaltsverzeichnis
dimensionslose Kennzahlen .................................................................................................. 1
1. Wärmeleitung .................................................................................................................... 2
1.1 Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung) ...................... 2
1.2 Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe ......... 4
1.3 Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des
Anpressdrucks ................................................................................................................... 5
1.4 Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung ......................... 6
1.5 Wärmeleitung durch Rippen ......................................................................................... 8
1.6 instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle ............................................ 9
1.6.1 unendliche Platte ..................................................................................................10
1.6.2 unendlicher Zylinder .............................................................................................12
1.6.3 Bi unendlich .....................................................................................................13
1.6.4 halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte ..........................14
2. konvektiver Wärmeübergang ............................................................................................17
2.1 Erhaltungssätze für strömende Fluide .........................................................................17
2.1.1 Kontinuitätsgleichung ...........................................................................................17
2.1.2 Energiegleichung ..................................................................................................19
2.1.3 Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen ..............21
2.2 Prandtl’sche Grenzschichttheorie ................................................................................22
2.3 hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien ...........................................23
2.4 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion .............24
2.5 Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion .............................................................25
2.6 freie Konvektion an einer senkrechten Wand ..............................................................34
2.7 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion .........................36
2.8 Nu-Korrelationen für freie Konvektion .........................................................................37
3. Kondensation ...................................................................................................................40
3.1 Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt’sche Wasserhauttheorie .......40
3.2 Nu-Korrelationen für Kondensation .............................................................................43
4. Sieden ..............................................................................................................................46
4.1 Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden ..................................46
4.2 Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden ............................50
5. typische -Werte ..............................................................................................................52
6. Wärmestrahlung ...............................................................................................................53
6.1 Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten .....................53
6.2 Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien ....................................................54
6.3 Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe ...............................................................55
7. Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom .................56
Literatur zur Vorlesung
[1] Baehr, H.D./Stephan, K. (Springerlink) Wärme- und Stoffübertragung Springer Verlag 2010 [2] Baehr, H.D./Stephan, K. Heat and Mass Transfer (englische Version von [1]) Springer Verlag 2011 [3] Böckh, P.v./ Wetzel, T. (Springerlink) Wärmeübertragung Springer Verlag, 2011 [4] Herwig H./ Moschallski, A. (Springerlink) Wärmeübertragung Springer Verlag, 2006 [5] Incropera, F.P./ DeWitt, D.P. Introduction to Heat Transfer 5
th Edition, John Wiley & Sons, New York, 2007
[6] Marek, R./ Nitsche, K. Praxis der Wärmeübertragung Carl Hanser Verlag München, 2007 [7] Merker, G.P./ Eiglmeier, C. Fluid- und Wärmetransport Wärmeübertragung
B.G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, 1999
[8] Polifke, W./ Kopitz, J. Wärmeübertragung Pearson Studium, 2005 [9] Wagner, W. Wärmeübertragung Vogel Verlag 5. Auflage, Würzburg 1998 Konvektion [10] Merker, G.P. Konvektive Wärmeübertragung Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1987 Konvektion mit Phasenübergang [11] Stephan, K. Wärmeübergang beim Kondensieren und Sieden Springer Verlag, Berlin, 1988 Strahlung [12] Siegel, R./ Howell, J.R./ Lorengel, J. Wärmeübertragung durch Strahlung Teil 1: Grundlagen und Materialeigenschaften Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1987 Wärmeleitung [13] Tautz, H. Wärmeleitung und Temperaturausgleich Verlag Chemie GmbH, Weinheim/Bergstr., 1971
Nachschlagewerke
[14] Rohsenow, W.M./ Hartnett, J.P./ Handbook of Heat Transfer Young I.C 3
rd Edition, McGraw – Hill Book Co., New York, 1998
[15] VDI-Wärmeatlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang VDI-Verlag, 10. Auflage 2006
[16] VDI Heat Atlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang 2
nd Edition, VDI-Verlag, 2010
Formelzeichen
a c m2/s Temperaturleitfähigkeit
A, f m2 Fläche
( c) 2 Ws1/2
/m2K Wärmeeindringkoeffizient
B m Breite, Tiefe
c J/kgK spezifische Wärmekapazität
C1,2 W/m2K
4 Strahlungsaustauschkonstante
ci kg/m3, kmol/m
3 Konzentration
C Konstante
Cs W/m2K
4 Strahlungskonstante des schwarzen
Körpers
d, D m Durchmesser
dh m hydraulischer Durchmesser
Dw m Durchmesser der Rohrwendel
D m2/s Diffusionskoeffizient
E J Energie
W Energiestrom
F N Kraft
Fp N Druckkraft
F* m Formkoeffizient
- Formfaktor
g m/s2 Erdbeschleunigung
H m Höhe
h J/kg spezifische Enthalpie
i W/m2
Intensität
i W/m2m monochromatische Intensität
k W/m2K Wärmedurchgangskoeffizient
l, L m Länge
M kg Masse
kg/s Massenstrom
kg/m2s Massenstromdichte
p Pa, bar, N/m2 Druck
P W Leistung
Q J Wärmemenge
W Wärmestrom
W/m2 Wärmestromdichte
W/m
2 Wärmestromdichte an der
Wandoberfläche
W/m
3 Quellendichte
r, R m Radius
s m Spaltbreite
t s Zeit
t s Zeitdifferenz
T K thermodynamische Temperatur
Ts K Sättigungstemperatur bei geg. Druck
Tw K Wandtemperatur
u J/kg spezifische innere Energie
U m Umfang
V m3 Volumen
v m3/kg spezifisches Volumen
w m/s Geschwindigkeit
wp J/kg spezifische Druckänderungsarbeit
m/s Geschwindigkeit der ungestörten
Strömung
x m Koordinate ab Beginn Wandströmung
m Koordinate ab Beginn Wandheizung
y m Ortskoordinate
Z Zustandsgröße
W/m2K Wärmeübergangskoeffizient
W/m2K mittlerer Wärmeübergangskoeffizient
W/m2K örtlicher Wärmeübergangskoeffizient
* - Absorptionsgrad
(
) 1/K isobarer thermischer Ausdehnungskoeffizient
m/s Stoffübergangskoeffizient
° Neigungswinkel
m Grenzschichtdicke
- Emissionsgrad
Pas, Ns/m2, kg/ms dynamische Viskosität
Pas, Ns/m
2, kg/ms dynamische Viskosität bei
Fluidtemperatur
Pas, Ns/m
2, kg/ms dynamische Viskosität bei
Wandtemperatur
- Sichtfaktor, Einstrahlzahl
1/s2 Dissipationsfunktion
°C Temperatur
°C Bezugstemperatur für Stoffwerte
°C Anfangstemperatur
°C Rippentemperatur
°C Temperatur der ungestörten Strömung
°C Temperatur der Wandoberfläche
°C mittlere Eintrittstemperatur
2 °C mittlere Austrittstemperatur
- 2 K Temperaturänderung eines Fluids
- 2 K Temperaturdifferenz, Übertemperatur
W/mK Wärmeleitfähigkeit
m2/s kinematische Viskosität
- Druckverlustbeiwert
kg/m3 Dichte
kg/m
3 Fluiddichte bei Wandtemperatur
- Reflexionsgrad
N/m Oberflächenspanung
W/m2K
4 Stefan-Boltzmann-Konstante
( 2 ) - W 2
- Isentropenexponent
N/m2 Schubspannung
- Transmissionsgrad
weitere Indizes
D Stoffdaten des Dampfes
F Stoffdaten der Flüssigkeit
G Stoffdaten des Gases
R Rippe
x,y,z Vektorkomponente in x-/y-/z-Richtung
Superscripts
gesättigte Flüssigkeit (x=0)
gesättigter Dampf (x=1)
mathematische Hilfsmittel und Operatoren
Divergenz eines Vektorfeldes (Skalar) ( )
Gradient eines Skalars (Vektor) ( ) [
]
Laplace-Operator eines Skalars (Skalar)
( ( ))
Nabla-Operator eines Skalars ( )
Nabla-Operator eines Vektors ( )
partielle Ableitung
Rotation eines Vektorfeldes (Vektor) ( ) [
]
Satz von Taylor ( ) ( )
substantielle Ableitung (vgl. totale Ableitung) ( )
( )
totale Ableitung einer Zustandsgröße nach der Zeit ( )
( )
1
dimensionslose Kennzahlen
Archimedes-Zahl
Biot-Zahl
( des Feststoffs)
Euler-Zahl
Fourier-Zahl
Froude-Zahl
√
Galilei-Zahl
Grashof-Zahl
Graetz-Zahl
Jakob-Zahl
Kondensations-Zahl
Lewis-Zahl
Nußelt-Zahl
( des Fluids)
Peclet-Zahl
Prandtl-Zahl
Rayleigh-Zahl
Reynolds-Zahl
Schmidt-Zahl
Sherwood-Zahl
Stanton-Zahl
Weber-Zahl
2
1. Wärmeleitung
1.1 Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung)
Energiebilanz
( ) ( ) ( ) (1)
volumenbezogene Wärmequelle
volumenbezogene Wärmesenke
ourier’sches Gesetz
(2)
(3)
(4)
Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen)
(
) (5)
(
) (6)
𝑥
𝑦
𝑧
��𝑦 𝑑𝑦
��𝑥 ��𝑥 𝑑𝑥
��𝑧
��𝑧 𝑑𝑧
��𝑦
infinitesimaler Würfel
mit den Kantenlängen
dx, dy, dz
3
(
) (7)
innere Energie für Feststoffe und Flüssigkeiten
( )
( )
(8)
setzt man die Gleichungen (2)-(8) in (1) ein, so folgt für konstante Stoffwerte mit
[
]
volumenbezogene Wärmequelle
volumenbezogene Wärmesenke
Zusammenstellung der Gleichungen für den allgemeinen Fall eines Temperaturfeldes mit konstanten
Stoffwerten
kartesische Koordinaten
[
]
Zylinder-Koordinaten
[
]
Kugel-Koordinaten
[
( )
( )
( )
]
4
1.2 Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe
5
1.3 Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des
Anpressdrucks
aus: [14]
6
1.4 Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung
( )
ebene Wand
koaxiale Rohre
( )
exzentrische Rohre
(
)
Rohr im Dreickskanal
( )
Rohr im quadratischen Kanal
( )
Quadratischer Kanal in einem Rohr
( )
7
konzentrische Quadrate
(
)
für
(
) für
Rohr in einem Rechteck-Kanal
(
)
b/a 1 1,5 2 3 5
K 0,0829 0,01781 0,0037 0,00016 3,01*10-7
0
Rohr im ausgedehnten Medium
(
)
Rohr im Erdboden
( )
Hohlkugel
Einzelkugel im ausgedehnten Medium
Zwei Kugeln im unendlich –ausgedehnten Medium
(
)
Literatur: International Journal of Heat and Mass Transfer Vol. 18 (1975) pp 751-767
8
1.5 Wärmeleitung durch Rippen
Energiebilanz für ein infinitesimales Rippenelement (Annahme: Temperatur über Querschnittsfläche A
konstant)
(1)
mit
( )
(2)
(
) ( )
(
( ( ) )
) (3)
( ) ( ) (4)
(2), (3), (4) in (1) eingesetzt folgt für konstante Querschnittsfläche , konstanten Umfang mit der
Übertemperatur und
Mit den Randbedingungen ( ) (Rippengrundfläche und Rippenfuß haben dieselbe
Temperatur) und (
)
(adiabate Rippenspitze) lautet die Lösung für die DGL
( )
[ ( )]
( )
Rippenwirkungsgrad
∫ ( )
( )
( )
Wegen des Wärmeleitwiderstands ist die Temperatur der Rippe kleiner als die Temperatur an der
Rippengrundfläche
Wärmestrom durch berippte Geometrie (vgl. Skizze)
( ) ( ) ( ) ( )
𝑑𝑥
��
��𝐺
��𝑅 ��𝑥 ��𝑥 𝑑𝑥
𝑑��𝑘𝑜𝑛𝑣
𝐿
9
1.6 instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle
Normierung:
( )
( )
𝜗 𝜗(𝑥 𝑡)
für einfache Geometrie
(unendliche Platte, Zylinder,
Kugel):
Reihenentwicklung
Θ 𝑒𝑥𝑝 ( 𝛼𝐴
𝑚𝑐𝑝𝑡)
Bi<<1
(Wärmeleitwiderstand bzw.
Temperaturgefälle im Körper
vernachlässigbar)
𝜗 𝜗(𝑡): 𝜗 𝜗(𝑥 𝑡)
Bi>>1
(Wärmeleitwiderstand
dominant)
für 𝑡 → oder 𝑡 →
Error-Funktion
10
1.6.1 unendliche Platte
Normierung:
Anfangsbedingung: ( )
Randbedingungen: (
)
(
)
Lösung: ∑ ( ) (
)
Eigenwerte für verschiedene -Zahlen
0,000 0,000
0,001 0,032 3,142 6,283 9,425
0,002 0,044 3,142 6,284 9,425
0,005 0,071 3,143 6,284 9,425
0,01 0,100 3,145 6,285 9,426
0,02 0,141 3,148 6,286 9,427
0,05 0,222 3,157 6,291 9,430
0,1 0,311 3,173 6,299 9,435
0,2 0,433 3,204 6,315 9,446
0,5 0,653 3,292 6,362 9,447
1,0 0,861 3,426 6,437 9,529
2,0 1,079 3,644 6,578 9,630
5,0 1,314 4,034 6,910 9,893
10 1,428 4,305 7,229 10,200
20 1,498 4,491 7,495 10,513
50 1,536 4,619 7,703 10,783
�� ��
𝑋
𝑥
11
�� ��
𝑋
𝜃𝑤
𝜃0
𝜗𝑤 𝜗∞
𝜗0 𝜗∞
normierte Temperatur der Plattenoberfläche
normierte Temperatur der Plattenmitte
normierte kalorische Mitteltemperatur der Platte
𝜃𝑚
𝜃0
𝜗𝑚 𝜗∞
𝜗0 𝜗∞
𝜃
𝜃0
𝜗 𝜗∞
𝜗0 𝜗∞
𝐵𝑖 𝛼 𝑋 𝜆
𝜃
𝜃0
𝑉 ∫
𝜃
𝜃0 𝑑𝑉
12
1.6.2 unendlicher Zylinder
𝑅
𝜃𝑤
𝜃0
𝜗𝑤 𝜗∞
𝜗0 𝜗∞
normierte Temperatur der Zylinderoberfläche
normierte Temperatur der Zylinderachse
normierte kalorische Mitteltemperatur des Zylinders
𝜃𝑚
𝜃0
𝜗𝑚 𝜗∞
𝜗0 𝜗∞
𝜃
𝜃0
𝜗 𝜗∞
𝜗0 𝜗∞
𝐵𝑖 𝛼 𝑅 𝜆
𝜃
𝜃0
𝑉 ∫
𝜃
𝜃0 𝑑𝑉
13
1.6.3 Bi unendlich
14
1.6.4 halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte
DGL der eindimensionalen Wärmeleitung für eine ebene, halbunendliche Platte mit der Normierung
( ) ( ) ( )
Mit den Anfangs- und Randbedingungen
einheitliche Anfangstemperatur ( )
sprunghafte Änderung der Wandtemperatur auf , die für t>0 konstant bleiben soll
( )
halbunendlicher Körper bzw. Kurzzeitlösung: Temperatur ändert sich nur im Randbereich; für → gilt
( → )
Mit Hilfe der Laplace-Transformation ( ) ( ( )) ∫ ( )
lässt sich diese partielle DGL in eine gewöhnliche DGL im Frequenzbereich umformen.
Zu diesem Zweck kann eine Korrespondenztabelle verwendet werden (z.B. [1]).
Die allgemeine Lösung für die DGL im Frequenzbereich lautet
( ) √
√
Die Randbedingungen müssen ebenfalls transformiert werden.
Die resultierenden Integrationskonstanten sind in der folgenden Tabelle dargestellt.
𝜗𝑊
𝜗(𝑥 𝑡 )
𝜗(𝑥 𝑡 )
𝜗
𝜗
𝑥
𝑡 𝑡
15
Zeitbereich Frequenzbereich
( ) ( )
( → ) ( → )
Lösung im Frequenzbereich ( )
√
Diese Lösung kann mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich
zurücktransformiert werden. Hierfür können ebenfalls Korrespondenztabellen verwendet werden (vgl.
[1]).
Lösung
( ) mit
√
( )
√ ∫
: Gauß’sches ehlerintegral rror unction
Für die Erwärmung einer halbunendlichen Platte und sonst identischen Anfangs- und
Randbedingungen ergibt sich dieselbe Lösung. (hier: umgeformt)
Lösung
( ) mit
√
Für den übertragenen Wärmestrom gilt
(
)
Nach Auflösen der Lösung nach und Einsetzen der Definition der Error-Funktion erhält man
( ( )) ( )
√ ∫
Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich
folgendermaßen berechnen
( )
√
√
Für den Wärmestrom gilt schließlich
�� 𝜆𝐴 (𝜕𝜗
𝜕𝑥)𝑥
𝜆𝐴(𝜗 𝜗𝑤)
√𝜋𝑎𝑡
16
17
2. konvektiver Wärmeübergang
2.1 Erhaltungssätze für strömende Fluide
2.1.1 Kontinuitätsgleichung
Bilanz
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen)
( ) (6)
( ) (7)
( ) (8)
Durch Einsetzen von (2)-(8) in (1) und anschließende Division durch folgt
[
( )
( )
( )] (9)
��𝑧 𝑑𝑧 ��𝑦 𝑑𝑦
��𝑦
��𝑥 𝑑𝑥 ��𝑥
infinitesimaler Würfel mit
den Kantenlängen dx,
dy, dz
𝑥
𝑦
𝑧
��𝑧
18
Sonderfälle Vereinfachungen resultierende Gleichung
stationäre Strömung
( )
( )
( )
inkompressible Strömung
( )
19
2.1.2 Energiegleichung
Unter Vernachlässigung von kinetischer und potentieller Energie gilt:
Bilanz:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(1)
mit
Wärmeleitung volumenbezogene Wärmequelle (+) /Wärmesenke (-)
Enthalpiestrom volumenbezogene zeitl. Arbeit der Reibungskräfte
zeitliche Druckänderungsarbeit
( )
(2)
Die Terme in der x-Richtung können durch folgende Gleichungen ersetzt werden.
(analog für y- und z-Richtung)
(3)
(4)
(5)
(
) (
(
) )
(6)
( )
(7)
��𝑧 𝑑𝑧 ��𝑧 𝑑𝑧 ��𝑦 𝑑𝑦 ��𝑦 𝑑𝑦
��𝑦 ��𝑦
��𝑥 𝑑𝑥 ��𝑥 𝑑𝑥 ��𝑥 ��𝑥
infinitesimaler Würfel mit
den Kantenlängen dx,
dy, dz
𝑥
𝑦
𝑧
��𝑧 ��𝑧
20
setzt man die Gleichungen (2)-(8) für alle Koordinatenrichtungen in die Bilanzgleichung (1) ein, folgt
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
(8)
Durch teilweises Ausdifferenzieren und Einsetzen der Kontinuitätsgleichung kann Gleichung (8)
folgendermaßen geschrieben werden
(
)
(
)
(
)
(9)
wobei für ein Newton‘sches Fluid mit Hilfe des Stokes‘schen Reibungsgesetzes ausgedrückt
werden kann
[ ((
)
(
)
(
)
) (
)
(
)
(
)
(
)
]
(10)
Sonderfälle resultierende Gleichung
ideales Gas, ohne Reibungsterme
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
inkompressible Flüssigkeit mit konstanten Stoffwerten und ohne Reibungsterme
(
( ))
(
( ))
(
( ))
eingesetzt in (9)
(
)
((
)
(
)
(
)
)
21
2.1.3 Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen
für ein inkompressibles ( ) Ne ton’sches luid it
gilt für die x-,y- und z-Richtung
(
)
(1)
(
) (2)
(
) (3)
22
2.2 Prandtl’sche Grenzschichttheorie
Für eine ebene, stationäre Plattenströmung eines inkompressiblen Fluids lauten die Gleichungen für
Masse, Energie und Impuls wie folgt
(
)
(
)
(
)
[ (
)
(
)
(
)
]
Nach Einführung dimensionsloser Größen, abschätzen der Größenordnungen und Rücktransformation
auf dimensionsbehaftete Größen folgt schließlich (siehe z.B. [1])
23
2.3 hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien
allgemeine Gleichung:
Kreisrohr
Rechteckkanal
Ringrohr
Spalt
Rohrbündel
offener Rechteckkanal
Halbkreis
Dreieckkanal
( )
24
2.4 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion
- Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf
der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu-
Zahl.
- Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im
Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation
eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen.
- Als Bezugstemperatur für die Stoffwerte ist bei der erzwungenen Konvektion der arithmetische
Mittelwert zwischen Ein- und Austritt zu verwenden
Die Nusseltkorrelationen, die dem VDI-Wärmeatlas entnommen wurden, können zur Erhöhung der
Genauigkeit um einen zusätzlichen Term ergänzt werden, der die Temperaturabhängigkeit der
Stoffwerte berücksichtigt:
Geometrie Fluid Kühlen (
) Heizen (
)
durchströmte Rohre,
Ringspalt
Flüssigkeit (
)
für
Gas
(
)
für
(
)
für CO2:
(
)
für überhitzten H2O-Dampf :
längsangeströmte
Platte Flüssigkeit (
)
querangeströmte
Rohre, Drähte und
Profilzylinder
Flüssigkeit (
)
Gas (
)
querangeströmte Rohrbündel Flüssigkeit (
)
(
)
Gas für Luft
25
2.5 Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr längsangeströmte
ebene Platte
√ √
Pohlhausen
√ √
laminar
Petukhov/Popov
(
⁄ )
turbulent
√
Gnielinski
√
√ √
laminar
→
Eckert/Drake
√
√ √
√ √
Leveque →
turbulent
Reynolds-Analogie
Colburn
Kays/Crawford laminar
Kays/Crawford turbulent
teilweise beheizt
Chapman/Rubesin
√ √
[ (
)
]
laminar
√
[ (
)
]
turbulent
26
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr durchströmte Rohre
Martin
[ ( )
]
mit
(
)
im Einlaufbereich (
)
(
)
sonst
laminar
Gnielinksi
⁄
√ ( )
[ (
)
]
mit ( ( ) )
turbulent
Gnielinski
( )
mit
Übergangsbereich
Hausen
[ (
)
( ) ] (
)
laminar
√
Schlünder
laminar
(
)
Kraussold
laminar
genau für L/d=200
(
)
Elser laminar
Sieder /Tate
(
)
(
)
laminar
(
)
Stephan
(
)
( ) (
)
laminar
27
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr durchströmte Rohre
Gnielinski
( ) [ (
)
]
turbulent
Gnielinski
( ) [ (
)
]
turbulent
(
)
Hausen turbulent
Hausen
( )( )
[ (
)
] (
)
turbulent
(
)
Kraussold
Elser
(
)
Michejew
Prandtl-Taylor-Analogie
( )
durchströmte Rohre [
( )
]
mit
(
)
im Einlaufbereich (
)
sonst
laminar
Gnielinski
⁄
√ ( )
[ (
)
]
mit ( ( ) )
turbulent
Gnielinski
( )
mit
Übergangsbereich
28
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr Rohrwendel
Schmidt
( ( (
)
)
) (
)
mit (
)
( (
)
)
laminar
( (
)
)
Gnielinski
⁄
√ ( )
(
)
mit
0 (
)
turbulent
Gnielinski
( )
mit
( (
)
)
Übergangsbereich
29
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr Ringspalt
3 Fälle der Wärmeübertragung
I. am Innenrohr (Außenrohr ) II. am Außenrohr (Innenrohr ) III. an beiden Rohren
Martin
(
(
) (
)
)
im Einlaufbereich (
)
(
)
sonst
laminar
I. (
) ( (
)
)
(
)
II. (
) ( (
)
)
(
)
III. (
) ( (
)
)
[
] (
)
im Einlaufbereich (
)
(
)
sonst
I. Petukhov/Roizen
(
)
turbulent
II. Petukhov/Roizen
(
)
III. Stephan
(
)
[ (
)
]
Gnielinski
( )
mit
Übergangsbereich
30
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr querangeströmte
Rohre, Drähte und Profilzylinder
:
Gnielinski
√
mit √ √
(
⁄ )
(
) Hilpert
(
) Reiher
(
) Hilpert
(
) Reiher
(
) Hilpert
(
) Hilpert
(
) Hilpert
(
) Reiher
(
) Reiher
(
) Reiher
querangeströmter Zylinder
Ulsamer
Ulsamer
Hilpert/Ulsamer
Ulsamer
King
Reiher
Hilpert/Ulsamer
( ) Eckert
( ) Eckert
( ) Eckert
Whitaker
(
) (
)
𝐷 𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝑤
𝜗
𝐷
31
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr Kugel
Gnielinski
√
mit
√ √
(
⁄ )
Brunn/Isewin
( )
( )
( → )
( )
Kutjaktschev laminare Grenzschicht
Whitaker
(
) (
)
Brauer/Sucker
( ( )
)
( )
( )
Mc Adams
turbulente Grenzschicht
Brunn/Isewin
(
)
( → )
𝑤
𝜗
𝐷
32
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr querangeströmte
Rohrbündel
fluchtend
versetzt
Hohlaumanteil
für
für
Einfluss der Anzahl an Rohrreihen
( )
für
für
fluchtend
( )
versetzt
fluchtend (Michejew)
(
)
versetzt (Michejew)
(
)
√( )
33
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr querangeströmte
Rohrbündel
fluchtend
fluchtend (Zhukauskas)
(
)
Stoffwerte außer bei
Einfluss der Anzahl an Rohrreihen
(
)
für
für
versetzt
versetzt (Zhukauskas)
(
)
( ) für
( )
für
Einfluss der Anzahl an Rohrreihen
(
)
für
für
(
)
bei
bei
34
2.6 freie Konvektion an einer senkrechten Wand
Für freie Konvektion gelten ebenso wie für erzwungene Konvektion die Grenzschichtgleichungen aus
Kapitel 2.2. Zusätzlich werden folgende Annahmen getroffen:
1) alle Stoffwerte außer ( ) in den Impulsgleichungen sind konstant
2) Energiedissipation vernachlässigt
3) mit ( ) und dynamische Druckänderungen
gering ( ( ) )
aus 1) folgt, dass die Dichte in einer Taylorreihe um den Referenzpunkt entwickelt werden kann
(Abbruch nach dem ersten Glied). Des Weiteren wird der thermische Ausdehnungskoeffizient und
( ) eingeführt.
( ) ( ) (
) ( ) ( ) (1)
Durch Einsetzen der Annahmen 1)-3) und Gleichung (1) in die Grenzschichtgleichungen aus 2.2 erhält
man die folgenden Gleichungen
Bewegungsgleichung
( )
Kontinuitätsgleichung
Energiegleichung
(
)
Des Weiteren gelten folgende Randbedingungen
:
→ :
𝛿
𝛿𝑡
𝑤𝑥
𝜃
𝑦
𝑥
𝜃 𝜗 𝜗
𝛿𝑡: thermische Grenzschichtdicke
𝛿 : hydraulische Grenzschichtdicke
35
Diese Gleichungen können durch Einführen einer Stromfunktion ( ) unter Analogiebetrachtungen
auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert werden.
Le Fevre ermittelte aus der numerischen Lösung von Ostrach folgende Interpolationsgleichung.
Für detaillierte Informationen sei auf [7] und [10] verwiesen.
𝑁𝑢𝐿
𝑅𝑎𝐿
(
𝑃𝑟
√𝑃𝑟 𝑃𝑟)
36
2.7 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion
- Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf
der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu-
Zahl
- Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im
Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation
eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen.
- Bezugstemperatur für Stoffwerte
alle Stoffwerte außer
- Es besteht die Möglichkeit, mit Hilfe der Grashofzahl eine äquivalente Reynoldszahl zu
berechnen und Gleichungen für erzwungene Konvektion zu verwenden.
√
37
2.8 Nu-Korrelationen für freie Konvektion
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Ra Pr senkrechte Wand
( [ ( )]
)
Churchill/Chu
mit ( ) ( (
)
)
turbulent/laminar
( )
( )
√
laminar
√
turbulent
horizontale und schwach geneigte Platte
Wärmeabgabe
Oberseite/ Kühlung Unterseite
allgemein:
Reckteckplatte:
( )
Kreisplatte:
( ( ))
mit
( ) ( (
)
0)
laminar ( )
( ( ))
turbulent ( )
Stewartson
Wärmeabgabe
Unterseite/ Kühlung auf Oberseite
allgemein:
Reckteckplatte:
( )
Kreisplatte:
( ( ))
mit ( ) ( (
)
)
laminar
( )
quadratische Platte
Kreisplatte
unendlich langer Streifen
38
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Ra Pr steil geneigte Platte
Fuji/Imura
( ( )) (
)
mit der Näherungsfunktion
( )
turbulent
senkrechter Zylinder
horizontaler Zylinder
Churchill/Chu
( ( ( )) )
mit ( ) ( (
)
)
Hermann/ Jodlbauer
( )
laminar
speziell: dünne Drähte
(
)
Kugel
Raithby/Hollands
(
)
→
( [ ( )] )
mit ( ) ( (
)
)
39
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Ra Pr Würfel
Sparrow/Stretton
(
( ))
mit ( ) ( (
)
)
: Projektionsfläche des Würfels auf
eine Fläche senkr. zur Erdbeschleunigung
: gesamte Oberfläche
Bovy/Woelk
(
( ))
mit ( ) ( (
)
)
( )
horizontales Rippenrohr
„glattes Rohr it reisri en“
(
)
lichter Abstand zwischen den Rippen
Durchmesser des Kernrohres
Rippenhöhe
40
3. Kondensation
3.1 Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt’sche Wasserhauttheorie
(W. Nusselt: Die Oberflächenkondensation des Wasserdampfes; Zeitschrift VDI 60 (1916), S.541 ff.)
Annahmen: - Stoffwerte sind konstant; stationäre, eindimensionale Strömung; Tiefe B
- Grenzfläche Flüssigkeit-Dampf hat Sättigungstemperatur
- Temperaturverteilung im Film ist laminar
- Kondensatfilm strömt laminar
- Enthalpieunterschiede im Film infolge Unterkühlung sind vernachlässigbar
Aus der Bilanz der wirkenden Kräfte (1) im Kondensatfilm (vgl. Skizze) folgt Gleichung (2)
Bilanz ( (
)) ((
) ) (1)
(2)
Für ein Ne ton’sches luid gilt
. Eingesetzt in (2) folgt
Benetzbarkeit der Wand
𝑑𝑥 𝑑�� 𝑑��
𝜗𝑠
𝛿𝑥
𝑤𝑥
𝑦
𝑥 𝑤𝑥 𝜗
Kondensatfilm
𝜗𝑤
𝜏𝑦 𝜏𝑦 𝑑𝑦
𝑝𝑥
𝑝𝑥 𝑑𝑥
𝐹𝑔
Kräftebilanz für die
Flüssigkeit Energiebilanz für die
Flüssigkeit
𝑤 𝑚
𝑠
𝑤 𝑚
𝑠
Kondensation
ruhende Dämpfe strömende Dämpfe
Filmkondensation Tropfenkondensation
41
(3)
Der Dampf befindet sich in Ruhe. Somit entfallen bei der Impulsbilanz des Dampfraums die
Schubspannungen. Man erhält somit
(4)
Mit Hilfe von Gleichung (4) kann der Druckterm in Gleichung (3) eliminiert werden. Dadurch erhält man
folgende gewöhnliche Differentialgleichung
(5)
Durch zweimalige Integration von Gleichung (5) mit den Randbedingungen erhält man eine Gleichung
für die Geschwindigkeit des Kondensatfilms (6).
:
:
( )
[
(
)
] (6)
Die mittlere Geschwindigkeit erhält man durch Integration über die Filmdicke
∫ ( )
Aus der Geschwindigkeit lässt sich mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung der Kondensatmassenstrom
berechnen, der eine Funktion von ist.
( ) ( )
(7)
Bei der Kondensation wird die Verdampfungsenthapie frei. Dabei wird angenommen, dass dieser
Enthalpiestrom mittels reiner Wärmeleitung durch den Kondensatfilm an die Wand abgegeben wir, da
der thermische Widerstand des Kondensatfilm am größten ist.
( ) (8)
In Gleichung (8) ist sowohl der Massenstrom als auch die Kondensatfilmdicke unbekannt.
Dementsprechend wird eine weitere Gleichung benötigt. Zu diesem Zweck wird das totale Differential
des Kondensatmassenstroms mit Hilfe von Gleichung (7) herangezogen.
42
(9)
Mit Hilfe von Gleichung (9) und der Randbedingung ( ) kann Gleichung (8) integriert
werden. Man erhält
( ) [ ( )
( )
]
(10)
Der örtliche Wärmeübergangskoeffizient berechnet sich zu
( ) [
( )
( )
]
(11)
Daraus lässt sich schließlich der mittlere Wärmeübergangskoeffizient über der Höhe berechnen
∫
[ ( )
( )
]
(12)
Unter der Voraussetzung, dass folgt
𝛼𝑚 [𝜌𝐹 𝑔 Δ 𝑣 𝜆𝐹
𝜂𝐹 (𝜗𝑠 𝜗𝑤)
𝐻]
43
3.2 Nu-Korrelationen für Kondensation
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr Filmkondensation an senkrechter Platte,
Innen- und Außenseite senkrechter Rohre
Rohr:
Platte:
B: Filmbreite
H: Höhe der Platte
: Filmdicke
: Kondensatmassen- strom
: mittlere Geschwindigkeit des Kondensats
[
( )
]
laminar
Isashenko
(
)
Reynoldszahl des Kondensats an der Stelle x
[ (
)
( )]
( )
(
)
turbulent
√( )
Übergangsbereich
Filmkondensation am waagerechten Rohr
(außen) [
( )
]
(
)
laminar
Filmkondensation am Rohrbündel mit z
übereinander liegenden waagerechten Rohren
Chen
[ ( )
( )]
Bezugstemperatur für Stoffwerte
laminar
𝛿
𝑥 𝐿 𝐻
44
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr Tropfenkondensation
an senkrechten Flächen
für reinen H2O-Dampf
- für Kupferflächen
mit in [kW/(m2K)]
in [kW/m2]
- für Flächen, die nicht aus Kupfer sind
( )
45
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeits- bereich
Re Pr Filmkondensation
strömender Dämpfe im senkrechten Rohr
Carpenter & Colburn
√
mit Massenstrom des Dampfes
Strömungsquerschnitt
( ) Widerstandsbeiwert, z.B. nach
Blasius
√
mittlere Massenstromdichte
√
(
)
und sind Massenstromdichten am Ein- bzw Austritt des Rohres.
Die Reynoldszahl ist zu berechnen, als ob kein Kondensat im Rohr sei.
Filmkondensation strömender Dämpfe
im waagerechten Rohr
Chato
[ ( )
( ) ]
mit ( )
Schichtenströmung tritt auf, wenn am Rohreintritt gilt:
Bezugstemperaturen: für den Dampf
für das Kondensat
46
4. Sieden
4.1 Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Ra Pr (1): konvektives Sieden
( )
laminare Grenzschicht
( )
turbulente Grenzschicht
(2): Blasensieden
Gorenflo
(
)
(
) (
)
arithmetischer Mittenrauwert
Bezugswert
Für die Druckabhängigkeit des Exponenten n gilt:
für Fluide außer Wasser und Helium: (
)
für Wasser: (
)
��
( )
( )
( )
( )
(𝑇𝑤 𝑇𝑠)
(𝛼)
𝑤 𝑚
𝑠 𝑤
𝑚
𝑠
Sieden
Behältersieden Strömungssieden
47
Die Druckfunktion (
) ist für
:
für Fluide außer Wasser: (
) (
)
(
)
für Wasser: (
) (
)
(
(
) ) (
)
Der Bezugswert kann der folgenden Tabelle entnommen werden
aus [15]
𝑏𝑎𝑟
48
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeits-bereich
Ra Pr (2): Blasensieden
Rohsenow
( )
(
)
wobei √
( ) Laplace-Koeffizient
Stoffwerte bei Sättigungszustand
Konstante (Material/Fluid-Paarung)
Wandmaterial Flüssigkeit p [bar] C1
Platindraht Ø 6mm Wasser 1 bis 170 0,013
Chromplatte
waagerecht Benzol 1 bis 44 0,010
Chromplatte
waagerecht Ethanol 1 bis 52 0,003
Chromplatte
waagerecht n-Pentan 1,5 bis 29 0,015
Messingrohr
waagerecht
Ø 38mm
Wasser 0,1 bis 15 0,006
Blasenabreißdurchmesser
√
( )
mit Randwinkel im Gradmaß
für Wasser
für andere Flüssigkeiten
für Tiefsieder
Blasenablösefrequenz
( )
49
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeits-bereich
Ra Pr (3): kritische Wärmestromdichte
[ ( )]
Kutateladze/Zuber
typisch:
(4): Filmsieden
Bromley
[
(
)
]
mit
( ( )) [
( ) ( )
]
horizontale Rohre 0,62 Durchmesser
vertikale Rohre 0,80 Länge
50
4.2 Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden
waagerechtes Rohr
senkrechtes Rohr
aus [15]
51
Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich
Re Pr Strömungssieden
Vaihinger
mit
( )
,
,
,
,
,
( ) ,
Blasenabreißdurchmesser
Blasenablösefrequenz
Sieden bei Ringströmung
Dengler und Addoms
(
)
mit
(
)
(
)
(
)
(
)
Rohrdurchmesser
Massenstromdichte
Martinelli-Parameter
52
5. typische -Werte
Transportmechanismus Medium Bereich von
[
]
Mittelwert von
[
]
freie Konvektion
Gas 1-60 10
Wasser 300-600 500
erzwungene Konvektion
Gas 10-250 50
Öl 50-1000 200
Wasser 500-2500 1000
Blasensieden Wasser 2500-50000 10000
Filmkondensation
organische Dämpfe 1000-2000 1000
Wasser 5000-15000 10000
53
6. Wärmestrahlung
6.1 Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten
Annahme: Strahlung von Platte 1 trifft vollständig auf Platte 2 und umgekehrt
( )
eingesetzt
( )
( )
aufgelöst nach bzw.
( )
( )(
)
( )
( )(
)
übertragener Nettowärmestrom
��𝑎𝑏
��𝑎𝑏
2 1
�� 휀 휀
𝐴 𝐶𝑠 (𝑇 𝑇
)
휀 휀
휀 휀
𝐶𝑠
휀
휀
𝐴 (𝑇 𝑇
)
54
6.2 Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien
Für konzentrische Kugeln, konzentrische Zylinder:
A1: umschlossene Fläche
A2: umschließende Fläche
(
)
( )
⁄
Für parallele Platten:
A1=A2=A
(
)
Für A2>>A1 (
)
Diffuse Strahler mit :
Sichtfaktor für die geometrische Anordnung, siehe folgende Tabelle
( )
( )
( )
[ (
) (
) √ (
√ ) ]
[
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ]
�� 휀 휀
𝐴 𝜑 𝐶𝑠 (𝑇 𝑇
)
55
6.3 Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe
Emissionsverhältnis der Strahlung in Richtung der Flächennormalen und über den halben
Raumwinkel für verschiedene Oberflächen bei Temperaturen
Oberfläche [ ]
Gold 130 0,018
400 0,022
Kupfer, poliert 20 0,030
Kupfer, leicht angelaufen 20 0,037
Kupfer, oxidiert 130 0,76 0,725
Aluminium, walzblank 170 0,039 0,049
500 0,050
Aluminiumbronzeanstrich 100 0,20-0,40
Eisen, blank geschmirgelt 20 0,24
Eisen, angerostet 20 0,61
Eisen, stark verrostet 20 0,85
Heizkörperlack 100 0,925
schwarzer Lack, matt 80 0,970
Ziegelstein, Mörtel, Putz 20 0,93
Glas 90 0,94 0,876
Eis (glatt), Wasser 0 0,966 0,918
Eis, rauher Reifbelag 0 0,985
Holz (Buche) 70 0,935 0,91
Dachpappe 20 0,93
(nach E. Eckert und E. Schmidt)
Näherung: - für blanke Metalloberflächen
- für andere Oberflächen (glatt)
56
7. Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom
Energiebilanzen für beide Stoffströme
Abkühlung des warmen Mediums 1 (1)
Erwärmung des kalten Mediums 2 (2)
wobei und ( )
Umfang
eingesetzt und umgeformt
( ) (3)
( ) (4)
Subtraktion (3)-(4) ( ) (
) ( ) (5)
nach Einführen der Übertemperatur kann Gleichung (5) integriert werden, wobei
angenommen wird, dass und unabhängig von x sind
∫
(
) ∫
(6)
mit (
) (
) (7)
𝜃𝑎𝑢𝑠 𝜗 𝑎𝑢𝑠 𝜗 𝑎𝑢𝑠
𝜃𝑒𝑖𝑛 𝜗 𝑒𝑖𝑛 𝜗 𝑒𝑖𝑛
𝜗
𝜗
𝜗
𝑥
𝑑𝑥 𝑥
𝜗 𝑒𝑖𝑛 𝜗 𝑎𝑢𝑠 �� 𝑐𝑝
�� 𝑐𝑝 𝜗 𝑎𝑢𝑠 𝜗 𝑒𝑖𝑛 �� 𝑥 �� 𝑥 𝑑𝑥
�� 𝑥 �� 𝑥 𝑑𝑥
𝑑��
57
Um aus Beziehung (7) eine Gleichung für den übertragenen Wärmestrom zu gewinnen, müssen die
Wärmekapazitätsströme und mit den Energiebilanzen für die beiden Stoffströme
eliminiert werden
( ) ( )
( ) (8)
( ) (9)
nach Einsetzen von (8) und (9) in (7) und Auflösen
(
)
mit
mittlere treibende Temperaturdifferenz
Neben der mittleren treibenden Temperaturdifferenz soll im Folgenden der Temperaturverlauf der
beiden Fluidströme bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird Gleichung (5) unbestimmt integriert. Mit
der Randbedingung ( ) folgt
( ) ( ) ( )
(
)
(10)
Durch Einsetzen von (10) in (3) bzw. (4) und der Randbedingung ( ) kann eine Gleichung für
( ) bestimmt werden
( )
[
(
)
]
( )
[ (
)
]