System identifikation

Dr. Oubbati, Kybernetik (Neuroinformatik, Uni-Ulm) Systemidentifikation SoSe12

KybernetikSystemidentifikation

12. 06. 2012

Mohamed OubbatiInstitut für Neuroinformatik

Tel.: (+49) 731 / 50 [email protected]


?

Was ist Systemidentifikation?

Der Begriff Systemidentifikation beschreibt Methoden und Algorithmen, die aus gemessenen Ein-/Ausgangsdaten vom System, ein empirischesModell des Systems erzeugen.

Input/output u(n) /y(n) data Systemidentifikation empirisches Modell

)(ky)(ku


Etappen der Systemidentifikation



1. Ein-/Ausgangsdaten vom System messen.

2. Modellstruktur auswählen (AR, ARMA, …).

3. Parameter des Modells anpassen.

4. Das gefundene Modell validieren (prüfen).



1. Ein-/Ausgangsdaten vom System messen

agent

environment

action

feedback

Systemaction feedback


Ein-/Ausgangsdaten



Systemfeedback


Anregungssignal

Anregungssignale, mit denen das System (agent-environment) angeregt wird, spielen eine große Rolle bei dem Identifikationsverfahren. Es ist dabei wichtig ein möglichst breites Frequenzspektrum abzudecken.


Anregungssignale zur Systemidentifikation

Dies kann mithilfe verschiedener Eingangssignale produziert:

• Impuls: eher für die theoretische Analyse hilfreich.

• Sinus-Sweep: Sinusschwingung mit ständig ansteigender Frequenz.

• Rauschen: können als regelmäßige Sprünge verschiedener Amplitude erstellt werden.

• PRBS (Pseudo Random Binary Signal): können als eine Folge von Rechteckimpulsen unterschiedlicher Länge erstellt werden.




2. Eine Modellstruktur auswählenEtappen der Systemidentifikation

agent

environment

action

feedback

Systemaction feedback

Modelestimated feedback


Modelu y

• AR-ModellBei AR-Modellen benutzt man eine spezielle Regressionsgleichung die Autoregressionsgleichung (kurz: AR).

• MA-ModellDas MA-Modell “Moving-Average” (kurz: MA) beschreibt die Abhängigkeitsbeziehungen der Inputs wie folgt:


)()2()1()( 21 nkyakyakyaky n −++−+−= K

)()1()()( 1 mkubkubkuky m −+−+= K


Modelu y

• ARMA-ModellAR-Modelle und MA-Modelle verknüpft ergeben eine sehr nützliche Klasse von Zeitreihenmodellen, die ARMA-Modelle:


)()1()()()2()1()(

1

21

mkubkubkunkyakyakyaky

m

n

−+−++−++−+−=

K

K



• Series-Parallel model: needs actual input and past output of thesystem as input to the model.

System

Model

u y

delays in the past

ydelays

y

)()()2()1()(ˆ 21 kunkyakyakyaky n +−++−+−= K



• Parallel-Parallel model: needs actual input and its own pastoutputs as the inputs.

)()(ˆ)2(ˆ)1(ˆ)(ˆ 21 kunkyakyakyaky n +−++−+−= K

System

Model

u y

ydelays in the past

delaysy


System

Model

u y

y

3. Parameter des Modells anpassenEtappen der Systemidentifikation

Ist eine Modellstruktur gefunden, so muss noch eine Parameteranpassung vorgenommen werden. Dies wird erreicht, sodass die Differenz zwischen dem realen Systemund dem ausgewählten Modell so klein wie möglich sein soll.


3. Parameter des Modells anpassenEtappen der Systemidentifikation

Systemy

y

+

-

ParameteranpassungMethode

Model

u

ia ib,( )

Methoden zur Parameteranpassung- Least Squares (LS)

- Recursive Least Squares (RLS)

- Prediction Error Method (PEM)

- Recursive Prediction Error Method (RPE)

- Artificial Neural Networks

- …

yy ≈ˆ

ia ib,sodass

?


Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares Method)

3. Parameter des Modells anpassen


Die Modellstruktur des Systems wird als ARMA-Modell in Serie-ParallelForm ausgewählt.

Methode der kleinsten Quadrate

System

Model

u y

delays in the past

ydelays

y

)()1()()()2()1()(ˆ

1

21

mkubkubkunkyakyakyaky

m

n

−+−++−++−+−=

K

K

delaysin the past ia ib,( )

3. Parameter des Modells anpassen


Unbekannt!( )nT aaaa ,,, 21 K=

( )mT bbbb ,,, 21 K= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ba

θ

( ))(,),2(),1( mkukukuU T −−−= K

( ))(,),2(),1( nkykykyY T −−−= K

• Messdaten

• Parameter

Nk ,,2,1 K=

Methode der kleinsten Quadrate 3. Parameter des Modells anpassen

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

UY

k )(ϕ

θϕ )()(ˆ kky T=

• Die Vorhersage des Modells im Zeitpunkt k

Nk ,,2,1 K=


θϕθξ )()()(ˆ)(),( kkykykyk T−=−=

• Die Differenz zwischen den gemessenen Ausgangswerten und den Ausgangswerten des Modells ist

)(ky)(ˆ ky

• Die Aufgabe der systemidentifikation ist es, der Vektor (eine Approximation von ) zu finden, sodass

θ


θ

0ˆ)()(ˆ)ˆ,( ≈−= θϕθξ kkyk T


Das Least-Square Algorithm versucht eine Approximation zu finden, durch die Minimierung der Funktion

θ)(θNV


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

=

−

=

N

k

N

k

T kykkk1

1

1)()()()(ˆ ϕϕϕθ

( )∑=

=N

kN kV

1

2 ,21)( θξθ

)(minargˆ θθθ NV=


4. Das gefundene Modell validieren (prüfen).Etappen der Systemidentifikation

System

Model

u y

y

+

-

)(ˆ)()( kykyk −=ξ

∑=

=N

KN k

Nm

1)(1 ξ

( )2

1)(1 ∑

=

−=N

kNN mk

NVar ξ

∑=

=N

KN k

NMSE

1

2 )(1 ξ

Following statistics are often used for model validation

• mean error:

• variance:

• mean square error:

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