View
108
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
1
Energiebänder in Kristallen
Eindimensionaler Fall
Graphische Darstellung der erlaubten Energien als eine Funktion des Wellenvektors
212
const.2
EEm
k
Freies Elektron
Elektron im periodischen Potential
a
nkE
m
nkaak
nkakaak
I
I
22
2
2coscoscos
2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
k
En
erg
ie
-10 -5 0 5 100
20
40
60
80
100
ka/
En
erg
ie
2
Energiebänder
-10 -5 0 5 100
20
40
60
80
100
ka/
En
erg
ie
Diskontinuierlich bei
a
nk
nnka
,3,2,1,0,
3-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ka/
En
erg
ie
Energiebänder
-10 -5 0 5 100
20
40
60
80
100
ka/
En
erg
ie
0 5 10 15 20 25 30-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
kI a
f(k I a
)
Periodische Lösung Elektron im periodischen Potential
Diskrete Energien
4
Darstellung der Energiebänder
,2,1,0
2
2
22
n
a
nk
mE
5
Elementarzelle
Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)
6
2D-Elementarzelle
7
Gitterparameter
Kantenlängen a, b, cWinkel
a
b
c
AACC
BB
cnbnanT
Tczbyaxr
321
Vektoren im direkten Raum:
8
Kristallsysteme
Triklin: a≠b≠c, ≠≠
Monoklin: a≠b≠c, ==90°≠
Orthorhombisch: a≠b≠c, ===90°
Tetragonal: a=b≠c, ===90°
Hexagonal: a=b≠c, ==90°, =120°
Rhomboedrisch (trigonal): a=b=c, ==≠90°
Kubisch: a=b=c, ===90°
9
Reziprokes Gitter
Vektoren im reziproken Raum:
cba
cba
cba
acb
cba
ba
V
bac
d
nc
d
nb
d
na
001
001
010
010
100
100 ;;
clbkahGhkl
Basis im reziproken Raum:
a
b
c d(001)
cbaxxx jiijji ,,; ,
10
Beispiele – reziprokes Gitter
Kubisches Gitter:
*** ||;||;||
;1;
ccbbaa
acbacba
Tetragonales Gitter:
*** ||;||;||
1;1;
ccbbaa
ccabacba
Orthorhombisches Gitter:*** ||;||;||
1;1;1;
ccbbaa
ccbbaacba
Hexagonales Gitter:
60;||;30,;30,
1;3
2;120;
****
o
ccbbaa
cca
bacba
11
Netzebenenabstände
000
Abstände zwischen den Netzebenen im direkten Raum sind reziprok zu den Abständen im reziproken Raum
cos2cos2cos2
1
222222
2
2
cahcbkbhkacbkah
GGGd hklhklhklhkl
direkter Raum reziproker Raum
100 200 300 400
001 101 201 301 401
002 102 202 302 402
003 103 203 303 403
a*
c*Jeder Punkt im reziproken Raum entspricht einer Familie der Netzebenen
clbkahGhkl
12
2-D Brillouin Zonen
2
k
I. II.
III. IV.
kx
ky
G1
13
Analogie mit Röntgenbeugung
kx
ky
G
sin2
1sin
2
dd
Gkk
Gq
Gq
io
Elektronen und Photonen werden an der Grenze der Brillouin-Zone reflektiert.
Bragg-Bedingung
ki ko
q
14
Wigner-Seitz ZellePrimitive Elementarzelle in
3D
15
Reziprokes Gitter (kubisch primitiv)
0011
;0101
;1001
;
100
010
001;010;100
321
33321
232
321
321
321
ab
ab
ab
aiiattti
kji
att
ttt
ttb
atatat
Primitiv Primitiv
16
Reziprokes Gitter(kubisch innenzentriert)
1102
;1012
;0112
48;
2111
1114
1112
;1112
;1112
321
33
321
22
32
321
321
321
ab
ab
ab
akjkji
atttkj
akji
att
ttt
ttb
at
at
at
Innenzentriert Flächenzentriert
17
Reziprokes Gitter(kubisch flächenzentriert)
1112;1112
;1112
48;
2110
1014
0112
;1012
;1102
321
33
321
22
32
321
321
321
ab
ab
ab
akjiji
atttkji
akji
att
ttt
ttb
at
at
at
Flächenzentriert Innenzentriert
Recommended