1 Nearly Free Electron Model Präsentation für Solid State Physics 0530982 Andreas Katzensteiner...

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Nearly Free Electron Model

Präsentation für Solid State Physics

0530982 Andreas Katzensteiner

andreas.katzensteiner@student.tugraz.at

0530720 Roland Schmied

rolsch@sbox.tugraz.at

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Inhaltsverzeichnis

Modell des freien Elektronengases-Nachteile Verbesserungen des Modells Elektronen im periodischen Potential Blochfunktionen Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit Energie-Impuls-Relation Betrachtung eines Grenzfalles Hereinklappen der höheren Brillouinzonen Aufspaltung der Energiewerte Energielücke als Folge der Gitterperiodizität Quellen

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Modell des freien Elektronengases - Nachteile

I: Einelektronennäherung

II: keine Wechselwirkung zwischen Elektronen

III: Kastenpotential

IV: Energieniveau kontinuierlich

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Verbesserungen des Modells

Ersatz des Kastenpotentials durch periodisches Potential der Atomrümpfe

Festkörper unendlich ausgedehnt

Abweichungen von der Periodizität und von Oberflächeneffekten werden vernachlässigt

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Elektronen im periodischen Potential

Elektronen im Metall nicht frei

Potential der Schrödingergleichung periodisch

Raumdiagonale

) (E )(E epotpot Rrr

. e cbaR Abb.1: Elektronen im periodischen Potential

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Blochfunktionen

Ansatz für Lösungsfunktion

Blochfunktionen

Energie des periodischen Potentials

e*-ie )u( )( Rkrr

) (* e )( ek-i

ke Rrr kR

2m

k E(k)

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Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle durch Braggreflexion an den Gitterebenen

Amplituden A und B gleich

-ikxikx e*B e*A

)e (e2

A x/ai-x/ai

Abb.2: stehende Welle an den Gitterebenen

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Wellenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Aufenthalts-wahrscheinlichkeits-dichten für ein Elektron

asin²*2A²

aos²*2A²

*

*

x

xc

Abb.3: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten für ein Elektron

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Energie-Impuls-Relation

Beschränkung der Energie-Impuls-Relation auf den Bereich:

Für Elektronenwellen- funktionen gilt:

(r) e*(r) (r) kiGr

kGk

/a k /a-

Grk

GrkrGk rrr iii e*)( e*e*)u( )(

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Betrachtung eines Grenzfalles

gitterperiodische Potential E (r) konstant

Nur diskrete k-Werte erlaubt

Dispersionskurve eines freien Teilchens

pot

Abb.4: Dispersionskurve eines freien Teilchens

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Hereinklappen der höheren Brillouinzonen

Hereinklappen der höheren Brillouinzonen und Reduzierung der k-Werte auf erste Brillouinzone

Eigenfunktionen genügen den Bedingungen für Blochfunktionen

)( e ) ( ki

k rar ka

akk

aGkkkk rGrGarGar red

red

red

redredbreit

i)i( )e( )e( ) ( ) (

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Aufspaltung der Energiewerte

Störung des Elektrons durch periodisches Potential der Atomrümpfe:

Linearkombination der gestörten Wellenfunktion

Näherungsweise Vereinfachung der Lösungen zu:

Ausbildung einer Energielücke | (G) V | )(kE (k)E 00

GkGk cc 00k0

)( * e E )(E 0pot rr

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Energielücke als Folge der Gitterperiodizität

Je kleiner die räumliche Periode ist, desto größer wird die Energielücke

Am Zonenrand verlaufen die Kurven horizontal

Abb.5: Energielücke als Folge der Gitterperiodizität

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Quellen

Festkörperphysik, Ibach u. Lüth, Springer-Verlag, 4.Auflage, Kapitel 7

Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel, was weiß ich was das für ein Verlag ist, 7.Auflage, Kapitel xy

Experimentalphysik 3, Wolfgang Demtröder, Springer-Verlag, 3.Auflage, Kapitel 13