1. Übung „Grundlagen der analogen...

15.10.2016

1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)1

1. Übung

„Grundlagen der

analogen

Schaltungstechnik“

Systematische Netzwerkanalyse

15.10.2016

1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)3

1. Berggipfel noch in Erinnerung? Keine Analyse mit

mehr als 3 Gleichungen – meist weniger!

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)4

RLA: 1 Glg

SNA: 1 Glg

SNA: 1 GlgSNA: 0 Glg – nur ZB

SNA/RLA: 1 Glg (*)

RLA: 1 Glg

SNA: 1 Glg

SNA/RLA: 2 Glgen SNA: 1 Glg SNA/RLA:

1 Glg

(*) Redundanzen erkennen

Erwartete Kenntnisse aus AET/GET:

Interaktive Diskussion Netzwerkanalyse

Mit welchen Methoden analysieren Sie die Netzwerke?

Was sind Ihre Variablen, welche Gleichungen stellen Sie auf und

wieviele?

Was bereitet Ihnen bei dem rechten Netzwerk Probleme und

warum?

15.10.2016

1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)6

Aufgabe: Diskutieren Sie (5min) miteinander die nachfolgenden

Fragen und einigen Sie sich auf eine Antwort

elektrisches Netzwerk

(mathematisches Modell)

Konnektivität (Graph) Netzwerkelemente

Schaltungen, Netzwerke, Graphen

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)7

Verbindungs-

netzwerk

Annahme:

konzentrierte Elemente

Bauelemente

Aufteilung in Verbindungs-

netzwerk und angeschlossene

Netzwerkelemente

Schaltungen mit konzentrierten Elementen:

Verbindungsnetzwerk und Elemente

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)8

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

1 2 3 4

, , , , , , , , , , ,

, , ,

Z u i u i u i u i u i u i

Knotenmenge v v v v

NWENetzwerk-

elementZweig

Netzwerk-Graph:

Zweigmenge

Zweiggrößen:

Zweigspannung (uk) und Zweigstrom (ik)

Knotenmenge V (vertices)

Schleifen-/Maschenmenge

Inzidenzabbildungen (Kirchhoff)

ku

ki

4

1 2

3

5

6

1

2 3

4

Graphendarstellung von Netzwerken

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)9

Kirchhoff-Gesetze

Kirchhoff’s Current Law (KCL) - Knotenregel

Die gerichtete Summe der Zweigströme in jedem Knoten ist Null:

Für alle Knoten:

Kirchhoff’s Voltage Law (KVL) - Maschenregel

Die gerichtete Summe der Zweigspannungen in jeder Schleife ist

Null:

Für alle Maschen:

0 bi

Ai 0

0 bu Bu 0

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)10

Kirchhoffgleichungen/Verbindungsnetzwerk

1 3 5 6 0u u u u

1 2 3

2 4

4 3 5

5 6

0

0

0

0

i i i

i i

i i i

i i

1

2

3

4

5

6

1 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0

i

i

i

i

i

i

: bKCL Ai 0 : bKVL Bu 0

1

2

3

4

5

6

1 0 1 0 1 1 0

0 1 1 1 0 0 0

u

u

u

u

u

u

u6

u1 i1

u2 u4

u5

u3

i2 i4i3

i5

i6

2 4 3 0u u u

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)11

Rang und Gleichungsanzahl

Die Kombination von KCL und KVL liefert insgesamt b unabhängige

Gleichungen: (b = Anzahl der Zweige)

KCL: Aib=0 unabhängige Knotengleichungen

KVL: Bub=0 unabhängige Schleifengleichungen

Summe: topologische Gleichungen

Zusammenfassen als Gleichungssystem:2b b

b

1n 1b n

b

b

iA 0 0

u0 B 0

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)12

Netzwerkanalyseverfahren

Widerstände,

Leitwerte,

unabhängige

Quellen

gesteuerte

Quellen,

n-Tore

Verbindungs-

netzwerk:

KCL, KVL

K = Kirchhoffraum = Ohmscher Raum K

i1

u1

ik

uk

ik+1

uk+1

Sparse-Tableau-Analyse

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)13

mit S = Lösungsraum, K= Kirchhoffraum, = Ohmscher-Raum

Sammeln aller Gleichungen in einem Sparse-Tableau

Schnitt vom Ohm’schen und Kirchhoff-Raum

(2 2 )b b

Kirchhoff

(lineare) Elementebzhgen

S K

0 0

0 0b

b

Ai

Bu

P Q s

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)14

Beispiel: Spannungsteiler mit Stromquelle

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)15

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)16

1

2

3

4

11

22

3 0

04

00 0 1 0 0 0 0

01 1 1 0 0 0 0 0

00 0 0 0 1 1 0 1

00 0 0 0 0 1 1 0.

00 0 0 1 0 0 0

00 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

1 i

i

i

i

uR

R

U

u

u

u

I

KCL: Kirchhoffsche Knotengleichungen:

KVL:

Kirchhoffsche

Maschen-

gleichungen:

Lösung:

Einsetzmethode

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)17

Cramer‘sche Regel (Einschub)

11 1 1 1

1

soll nach aufgelöst werden

n

k

n nn n n

a a v b

v

a a v b

mod,det det

det det

k

k

A bv

A A

111

mod,

1

Spalt

1

e k

n

k

nnnn

a b

b

a

A

aa

Die k-Spalte von A wird durch

die rechte Seite b ausgetauscht

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)18

1

2

3

4

11

22

3 0

04

00 0 1 0 0 0 0

01 1 1 0 0 0 0 0

00 0 0 0 1 1 0 1

00 0 0 0 0 1 1 0.

00 0 0 1 0 0 0

00 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

1 i

i

i

i

uR

R

U

u

u

u

I

Sparse-Tableau-Gleichungssystem

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)19

A 0

0 B

P Q

Kirchhoff

(lineare) Elementebzhgen

(Belevitch-Form)

0 0

0 0b

b

Ai

Bu

P Q s

PSpice Simulation Spannungsteiler mit Stromquelle

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1. Übung: Grundlagen der analogen Schaltungstechnik (GaST oder kurz: GST)20