1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 17. März 2005. 2 Statistische Tests Einführung: Testen von...

STATISIKLV Nr.: 1375

SS 200517. März 2005

Statistische Tests

Einführung:• Testen von Hypothesen (Annahmen,

Behauptungen)• Statistischer Test: Verfahren, mit dessen

Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen.

• Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

Statistische Tests

Einführung:• Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die

Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. • Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines

zufälligen Vorgangs.• Daher: Entscheidungen nicht immer richtig• Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen

Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

Statistische Tests: Hypothesen

Hypothesen:• Annahmen, Behauptungen, Aussagen über

unbekannte Grundgesamtheit• 2 Arten von Hypothesen:

– Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests

– Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

Formulierung von Hypothesen:• Nullhypothese H0 (Ausgangshypothese)• Alternativhypothese H1 (Gegenhypothese)

Bsp.• Anteile:

– H0: Ausschussanteil = 10%– H1: Ausschussanteil > 10%

• Mittelwerte: – H0: Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm– H1: Mittlere Länge eines Werkstücks 5cm

• Gruppenvergleich: – H0: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich– H1: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

Statistische Tests

• Entscheidung für H0 oder H1 basiert auf einer Stichprobe x1,…,xn

• Wahrscheinlichkeitsaussage ob H0 zutrifft oder nicht.

• Frage: H0 ablehnen (verwerfen) oder H0 nicht ablehnen?

Statistische Tests

Mögliche Fehlentscheidungen:• Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H0 korrekt

ist wird H0 abgelehnt• Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H0 falsch

ist wird H0 nicht abgelehnt.

Statistische Tests

• Fehlentscheidungen

Trifft zuEntscheidung

H0Richtige

EntscheidungFehler 2. Art (β -Fehler)

H1Fehler 1. Art

(α-Fehler)Richtige

Entscheidung

Statistische Tests

Problem bei Fehlentscheidungen:• Falsche Entscheidung• Man weiß nicht, ob man in einer konkreten

Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

Statistische Tests

• Signifikanzniveau eines Tests α:– Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu

machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

Statistische Tests

• Trifft H0 zu und entscheidet man sich für H1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt).

• Trifft H1 zu und entscheidet man sich für H0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

Statistische TestsFehler 1. Art und Fehler 2. Art

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

N(0,1) N(3,1)

Fehler 1. Art

Fehler 2. Art

µ0=0 µ1=3

Statistische Tests• D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur

die Entscheidung für H1 abgesichert. • Bei Entscheidung für H1:

– H1 ist richtig, – H1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit

Wahrscheinlichkeit ≤ α.• Daher: Formuliere H0 so, dass sie abgelehnt

werden soll. bzw. in H0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

Statistische Tests• Bsp. Medikamententest

H0: Medikament ist nicht wirksam gegen H1: Medikament wirkt. – Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man

glaubt aber dass es wirkt– Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man

glaubt aber dass es unwirksam ist.Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

Statistische Tests

• Arten von Hypothesen:• Einseitige Hypothesen

– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0

– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0

• Zweiseitige Hypothesen– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0

• Verteilungshypothesen:– H0: bestimmten Vt. gegen H1: nicht diese Vt.

Statistische Tests

• Arten von Testproblemen:– Einseitige Testprobleme

• Tests für einseitige Hypothesen– Zweiseitige Testprobleme

• Tests für zweiseitige Hypothesen– Anpassungstests

• Test für Verteilungshypothesen

Statistische Tests• Gütefunktion oder Macht g(θ):

Wahrscheinlichkeit sich für H1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist.

• Test zum Niveau α:– g(θ) ≤ α für alle θ H0

– g(θ) ≥ α für alle θ H1

– Ist θ H1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.

– Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

Statistische TestsGütefunktion (einseitiger Test)

499 499,5 500 500,5 501 501,5 502

µ0=500

Statistische TestsOperationscharaktersitik OC Kurve (einseitiger Test)

499,5 500 500,5 501 501,5 502

µ0=500

Statistische Tests

• Trennschärfe eines Tests:– Steilheit der OC Kurve 1-g(θ)– Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser

die Trennschärfe.

Statistische TestsOperationscharaktersitik OC Kurve (einseitiger Test),

unterschiedliche Stichprobengrößen n (n=9, n=100, n=10000)

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,951,00

499,5 500 500,5 501 501,5 502

µ0=500

Statistische Tests

• Vorgehensweise bei statistischen Tests (I):– Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des

Signifikanzniveaus– Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und

Bestimmung der Testverteilung unter H0.– Bestimmung des kritischen Bereichs– Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik)– Entscheidung und Interpretation

Statistische Tests

• Vorgehensweise bei statistischen Tests (II):– Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des

Signifikanzniveaus– Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und

Bestimmung der Testverteilung unter H0.– Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik)– Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik– Entscheidung und Interpretation

Statistische Tests

• p-Wert– Anstatt den kritischen Bereich bzw. die

kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des „p-Wertes“.

– p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte.

– Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α.

– Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn p-Wert < α

Statistische Tests

• Einseitige Tests (I)– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des

kritischen Werts (c)– T > c, lehne H0 ab– T ≤ c, lehne H0 nicht ab

Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

1-α = 0,95

α = 0,05

Kritischer BereichH0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

Statistische Tests

• Einseitige Tests (II)– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes– p < 2·α, lehne H0 ab– p ≥ 2·α, lehne H0 nicht ab

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

1-α = 0,95

α = 0,05

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

Prüfgröße=1,64 p-Wert=0,103

Statistische Tests

• Einseitige Tests (I)– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des

kritischen Werts (c)– T < c, lehne H0 ab– T ≥ c, lehne H0 nicht ab

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

1-α = 0,95

α = 0,05

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

Statistische Tests

• Einseitige Tests (II)– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes– p < 2·α, lehne H0 ab– p ≥ 2·α, lehne H0 nicht ab

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

1-α = 0,95

α = 0,05

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: c

Prüfgröße=-1,64 p-Wert=0,103

Statistische Tests

• Zweiseitige Tests (I)– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der

kritischen Werte (cu und co)– T < cu oder T > co, lehne H0 ab– cu ≤ T ≤ co, lehne H0 nicht ab

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

1-α = 0,95

α/2 = 0,025

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: co

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

α/2 = 0,025

Kritischer Wert: cu

Statistische Tests

• Zweiseitige Tests (II)– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0

bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes– p < α, lehne H0 ab– p ≥ α, lehne H0 nicht ab

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Prüfgröße

1-α = 0,95

α/2 = 0,025

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

H0 nicht ablehnen

Kritischer Wert: co

Kritischer Bereich

H0 ablehnen

α/2 = 0,025

Kritischer Wert: cu

Prüfgröße=1,96 p-Wert=0,05

Prüfgröße=1 p-Wert=0,24

Statistische Tests

• Kritischer Wert: Wert auf der Achse• p-Wert: Wert auf der Dichtfunktion• Entscheidung:

– Lehne H0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen Bereich

– Lehen H0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α

χ² Unabhängigkeitstest

Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest• Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale

voneinander unabhängig sind. • Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten

voneinander unabhängig?

Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest• H0: die beiden Merkmale sind voneinander

unabhängig.• H1: die beiden Merkmale sind nicht

voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig

• Festlegen des Signifikanzniveaus α.

• Kontingenztafel:– Absolute Häufigkeiten der

Merkmalsausprägungen

A \ B b1 ... bs ∑

a1 h11 … h1s h1.

: : : :

ar hr1 … hrs hr.

∑ h.1 ... h.s h.. = n

• Bsp. 4-Felder Tafel:– Absolute Häufigkeiten der

Merkmalsausprägungen

Raucher Geschlecht….… n j

m 15 3 18w 14 6 20

29 9 38

Prüfgröße und Testverteilung: • Prinzip: Vergleiche die Werte, die man

unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho).

• Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten?

• Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

• Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten• Interpretation der relativen Häufigkeiten als

Wahrscheinlichkeiten • Dann: unter H0 erwartete absoluten

Häufigkeiteno oi je h h

• Bsp. Geschlecht - Rauchverhalteno oi je h h

Geschlecht n jm 15 3 18w 14 6 20

29 9 38

Raucher

Geschlecht n jm 13,7 4,3 18w 15,3 4,7 20

29 9 38

Raucher

• Teststatistik χ²:– Abweichung der beobachteten Häufigkeiten

von den erwartete Häufigkeiten

2o er sij ij2

ei=1 j=1 ij

h hχ =

Verteilung der Teststatistik χ²: • χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1)

Freiheitsgraden

Kritischer Bereich: • Signifikanzniveau α• Kritischer Wert: α-Quantil der χ²(r-1)·(s-1)

Verteilung• Lehne H0 ab, wenn gilt:

Wert der Teststatistik > kritischer Wert

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ²

• Verteilung der Teststatistik: χ²1 Chi-Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad

2o e2 2ij ij2

ei=1 j=1 ij

h hχ = 0,9

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: • Kritischer Wert: 0,05-Quantil der χ²1 Vt. = 3,84• Entscheidung:

(I) Teststatistik = 0,9 < 3,84 = kritischer Wert. Also: Lehne H0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,33 > 0,05. Also: Lehne H0 nicht ab.

• Interpretation: Geschlecht und Rauchverhalten sind voneinander unabhängig.

χ² Homogenitätstest

Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest• Betrachte zwei oder mehr Gruppen bzw.

Stichproben.• Teste, ob die Stichproben aus der gleichen

Grundgesamtheit stammen.

Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest• H0: die beiden Stichproben stammen aus der

gleichen Grundgesamtheit. • H1: die beiden Stichproben stammen nicht

aus der gleichen Grundgesamtheit.• Festlegen des Signifikanzniveaus α.

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten• H0: Das Rauchverhalten der beiden

Gruppen stimmt überein. • H1: Das Rauchverhalten der beiden

Gruppen stimmt nicht überein.

Prüfgröße und Testverteilung: • Prinzip: Vergleiche die Werte, die man

unter H0 (gleiche Grundgesamtheit) erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho).

• Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten?

• Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

• Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiteno oi je h h

• Teststatistik χ²:– Abweichung beobachteten Häufigkeiten und

erwartete Häufigkeiten

• Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

2o er sij ij2

ei=1 j=1 ij

h hχ =

Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten:• Teststatistik χ² = 0,9• Verteilung der Teststatistik: χ²1 • Entscheidung:

– (I) χ² = 0,9 < 3,84. Lehne H0 nicht ab. – (II) p-Wert = 0,33 > 0,05. Lehne H0 nicht ab.

• Interpretation: die beiden Gruppen (Männer, Frauen) stammen aus der gleichen Grundgesamtheit, sie sind homogen.

χ² Tests

χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:• Teststatistik und Testverteilung sind gleich• Nullhypothese und Interpretation sind

verschieden. – Test auf Unabhängigkeit (die Merkmale sind

unabhängig voneinander)– Test auf Homogenität (die Stichproben

stammen aus der gleichen Grundgesamtheit).

χ² Tests

χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:• Für die Approximation durch die χ²-Vt.

sollten die erwarteten Häufigkeiten jeder Zelle 5 sein und keine der Zellen sollte unbesetzt sein.

• Sind die Voraussetzungen verletzt, kann man einen exakten Test durchführen

(siehe Hartung S. 414ff)

Anpassungstests

Test einer Verteilungshypothese – Nichtparametrische Testverfahren

• Betrachtet Unterschied zw. Stichproben-Vt. und theoretischer Verteilung.

• „Anpassungstest“ weil die Güte der Anpassung einer theoretischen Vt. an eine empirische Vt. überprüft wird.

Anpassungstests

χ² Anpassungstest: • H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer

bestimmten Verteilung.• Vorgehensweise:

– Bestimme die unter H0 zu erwartenden Häufigkeiten he und vergleiche sie mit den beobachteten Häufigkeiten ho.

– Abweichung groß – Entscheidung gegen H0, Abweichung klein – Entscheidung für H0.

Anpassungstests

χ² Anpassungstest: • Teststatistik:

k ... Anzahl der Merkmalsausprägungen (diskrete Merkmale) bzw. Anzahl der Klassen (stetigen Merkmalen)

• Testverteilung: χ²v verteilt mit v=n-1 • Es gilt wieder: he sollten 5 sein.

Anpassungstests

χ² Anpassungstest: • Entscheidung:

– Bestimmung des kritischen Bereichs, χ² > kritischer Wert, lehne H0 ab

– Bestimmung des p-Wertes, p-Wert < α lehne H0 ab

Anpassungstests

Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: • Test zur Beurteilung der Güte der

Anpassung einer erwarteten theoretischen Verteilung an eine beobachtete empirische Verteilung.

• H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung.

• Prinzip: Abweichung empirische- von der theoretische Verteilungsfunktion.

AnpassungstestsKolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: • Prüfgröße (D):

– größte beobachtete absolute Abweichung der theoretischen von der empirischen Verteilungsfunktion.

• Testverteilung: – „Kolmogorov-Smirnov- Verteilung“, hängt nur

vom Stichproben-umfang n ab (1-α Quantile in Tabelle nachschlagen).

• Entscheidung: – D > kritischer Wert (aus Tabelle), lehne H0 ab.

Anteilstests

• Einstichprobentest für den Anteilswert – Hat der Anteil einen bestimmten Wert, bzw.

liegt er in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer

einzigen Stichprobe. • Zweistichprobentest für Anteilswerte

– Unterscheiden sich die Anteile zweier unabhängiger Gruppen?

– Entscheidung basiert auf zwei Stichproben

Anteilstest - Einstichprobentest

Einstichprobentest für den Anteilswert:• Einseitige Hypothesen:

– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0

– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0

• Zweiseitige Hypothesen: – H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0

Vorgehensweise: • Teststatistik bestimmen• Testverteilung bestimmen• Entescheidung über Annahme oder

Ablehnung von H0.

• Anteilswert einer Stichprobe: P = x / n• Unter H0 ist P, wenn nθ0(1-θ0) ≥ 9,

approximativ N-Vt., mit Parametern – E(P) = θ0

– Var(P) = θ0(1-θ0)/n · [(N-n)/(N-1)]• Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur wenn

n/N < 0,05.

Prüfgröße / Teststatistik:• Standardisierte Zufallsvariable Z:

P-θZ=σ

Testverteilung:• Teststatistik Z ist unter H0 N(0,1) verteilt. • Daher: Testverteilung ist die

Standardnormalverteilung.

Anteilstest - EinstichprobentestKritischer Bereich:• α festlegen (z.B. α = 0,05) • Kritischer Wert: α – Quantil der N(0,1)-Vt. • Entscheidung: H0 ablehnen, wenn Teststatistik im

kritischen Bereich. p-Wert: • α festlegen (z.B. α = 0,05)• p-Wert: Niveau, bei dem der Test gerade noch die

H0 ablehnen würde. • Entscheidung: H0 ablehnen, wenn p-Wert < α

(zweiseitiger Test) bzw. p < 2α (einseitiger Test).

Bsp: Anteil der weiblichen Studenten • H0: pw ≤ 0,5 gegen H1: pw > 0,5 und α=0,05• Approximation durch N-Vt. zulässig, da

unter H0 nθ0(1-θ0) = 9,5 ≥ 9. • Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0065 und

σP = 0,0811 (Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur).

Bsp: Anteil der weiblichen Studenten • Teststatistik: Z = 0,324• Testverteilung: N(0,1)• Kritischer Wert: 1,64• p-Wert: 0,378• Entscheidung: Lehne H0 nicht ab (Z < 1,64

bzw. p-Wert > 0,1 = 2α)• Interpretation: Der Frauenanteil ist nicht

signifikant größer als 50%.

Anteilstest - Zweistichprobentest

Test für die Differenz zweier Anteilswerte• Stichprobe 1: Anteil P1 = x / n1

• Grundgesamtheit 1: Anteil θ1

• Stichprobe 2: Anteil P2 = x / n2

• Grundgesamtheit 2: Anteil θ2

• H0: Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich. H0: θ1 = θ2 (=θ) gegen H1: θ1 ≠ θ2

Teststatistik:

(Unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur und wenn Voraussetzungen für eine N-Vt. erfüllt sind)

• Verteilung der Teststatistik unter H0: Z ~ N(0,1)

(P -P )Z=n +nθ(1-θ)n n

Entscheidung: • Bestimmung des kritischen Bereichs.

– Z > |c| lehne H0 ab

• Bestimmung des p-Wertes– p-Wert < α lehne H0 ab

• Interpretation: Wird H0 abgelehnt, dann sind die Anteile in den beiden Gruppen signifikant verschieden.

Test für arithmetisches Mittel

• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: – Hat das arithm. Mittel einen bestimmten Wert,

bzw. liegt es in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer

einzigen Stichprobe. • Zweistichprobentest für das arithm. Mittel

– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Gruppen?

• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: – Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt.– Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.

• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: • Zweiseitige Hypothese:

H0: µ = µ0 gegen H1: µ ≠ µ0

• Festlegen des Signifikanzniveaus

• Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt.• Unter H0 ist das arithm. Mittel der

Stichprobe N-Vt. mit E=µ und Var=σ²/n• Teststatistik:

• Testverteilung: N(0,1)n

σμXZ

• Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. Berechung des p-Wertes

• Entscheidung• Interpretation

• Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.• Schätzwert für unbekanntes σ²:

Stichprobenvarianz s². • Teststatistik:

• Testverteilung: tn-1

• t-Test

• Bestimmung des kritischen Bereichs: kritische Werte: α/2-Quantile der t-Vt., symmetrische Vt. daher tc

u = -tco

• Berechung des p-Wertes: • Entscheidung:

|t| > tc, lehne H0 abp-Wert < α, lehne H0 ab

• Interpretation

Bsp. mittlere Körpergröße (n = 38)• H0: µ = 170 gegen H1: µ 170, α = 0,05 • Arithm. Mittel der Stpr: 174• Standardabweichung der Stichprobe: 10,4• Teststatistik: T = (174-170) / 10,4/38 = 2,5• Kritischer Wert: 2,02• p-Wert: 0,016• Mittlere Körpergröße ist signifikant 170

• Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier

Grundgesamtheiten?– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier

verbundener Stichproben?

• Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen.

• Voraussetzung: – Stichproben unabhängig– Stichproben stammen aus einer N-vt.

Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig

– Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar

• Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht.

• Varianzen verschieden, σ1² σ2² : • Teststatistik:

• Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.

• Varianzhomogenität, σ1² = σ2² = σ²: • Teststatistik:

• Testverteilung: T ~ tv mit v=n1+n2-2 Freiheitsgarden

2nn1)S(n1)S(n

• Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.)– Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen

der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen.

• Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.

Test für arithmetisches Mittel• Differenzen der Wertepaare: Di = X2i – X1i

sind N-vt. mit E(Di) = µ2i - µ1i = δ und Var(Di) =σD²

• Teststatistik:

• Testverteilung: T~tv mit v=n-1

1ii )D(D

1n1SundD

Test für Varianz

• Einstichprobentest für die Varianz: – Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw.

liegt er in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer

einzigen Stichprobe. • Zweistichprobentest für die Varianz

– Unterscheiden sich die Varianzen zweier Gruppen?

Test für VarianzEinstichprobentest für die Varianz:• Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt• H0: σ² = σ0² gegen H1: σ² σ0²• Teststatistik:

• Testverteilung: χ²v mit v=n-1• Entscheidung:

– χ² > χ²co oder χ² < χ²c

u, lehnen H0 ab – p-Wert < α, lehne H0 ab

σ1)s(nχ

Test für VarianzZweistichprobentest für den Quotienen zweier

Varianzen:• Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt• H0: σ1² = σ2² gegen H1: σ1² σ2²• Teststatistik:

• Testverteilung: Fv1,v2 mit v1=n1-1 und v2=n2-1• Entscheidung:

– F > Fco oder F < Fc

u, lehnen H0 ab – p-Wert < α, lehne H0 ab

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