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1
STATISIKLV Nr.: 1375
SS 200517. März 2005
2
Statistische Tests
Einführung:• Testen von Hypothesen (Annahmen,
Behauptungen)• Statistischer Test: Verfahren, mit dessen
Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen.
• Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie
3
Statistische Tests
Einführung:• Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die
Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. • Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines
zufälligen Vorgangs.• Daher: Entscheidungen nicht immer richtig• Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen
Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.
4
Statistische Tests: Hypothesen
Hypothesen:• Annahmen, Behauptungen, Aussagen über
unbekannte Grundgesamtheit• 2 Arten von Hypothesen:
– Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests
– Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests
5
Statistische Tests: Hypothesen
Formulierung von Hypothesen:• Nullhypothese H0 (Ausgangshypothese)• Alternativhypothese H1 (Gegenhypothese)
6
Statistische Tests: Hypothesen
Bsp.• Anteile:
– H0: Ausschussanteil = 10%– H1: Ausschussanteil > 10%
• Mittelwerte: – H0: Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm– H1: Mittlere Länge eines Werkstücks 5cm
• Gruppenvergleich: – H0: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich– H1: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich
7
Statistische Tests
• Entscheidung für H0 oder H1 basiert auf einer Stichprobe x1,…,xn
• Wahrscheinlichkeitsaussage ob H0 zutrifft oder nicht.
• Frage: H0 ablehnen (verwerfen) oder H0 nicht ablehnen?
8
Statistische Tests
Mögliche Fehlentscheidungen:• Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H0 korrekt
ist wird H0 abgelehnt• Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H0 falsch
ist wird H0 nicht abgelehnt.
9
Statistische Tests
• Fehlentscheidungen
Trifft zuEntscheidung
H0 H1
H0Richtige
EntscheidungFehler 2. Art (β -Fehler)
H1Fehler 1. Art
(α-Fehler)Richtige
Entscheidung
10
Statistische Tests
Problem bei Fehlentscheidungen:• Falsche Entscheidung• Man weiß nicht, ob man in einer konkreten
Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.
11
Statistische Tests
• Signifikanzniveau eines Tests α:– Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu
machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.
12
Statistische Tests
• Trifft H0 zu und entscheidet man sich für H1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt).
• Trifft H1 zu und entscheidet man sich für H0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).
13
Statistische TestsFehler 1. Art und Fehler 2. Art
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
x
f(x)
N(0,1) N(3,1)
Fehler 1. Art
Fehler 2. Art
µ0=0 µ1=3
14
Statistische Tests• D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur
die Entscheidung für H1 abgesichert. • Bei Entscheidung für H1:
– H1 ist richtig, – H1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit
Wahrscheinlichkeit ≤ α.• Daher: Formuliere H0 so, dass sie abgelehnt
werden soll. bzw. in H0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.
15
Statistische Tests• Bsp. Medikamententest
H0: Medikament ist nicht wirksam gegen H1: Medikament wirkt. – Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man
glaubt aber dass es wirkt– Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man
glaubt aber dass es unwirksam ist.Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.
16
Statistische Tests
• Arten von Hypothesen:• Einseitige Hypothesen
– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0
– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0
• Zweiseitige Hypothesen– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0
• Verteilungshypothesen:– H0: bestimmten Vt. gegen H1: nicht diese Vt.
17
Statistische Tests
• Arten von Testproblemen:– Einseitige Testprobleme
• Tests für einseitige Hypothesen– Zweiseitige Testprobleme
• Tests für zweiseitige Hypothesen– Anpassungstests
• Test für Verteilungshypothesen
18
Statistische Tests• Gütefunktion oder Macht g(θ):
Wahrscheinlichkeit sich für H1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist.
• Test zum Niveau α:– g(θ) ≤ α für alle θ H0
– g(θ) ≥ α für alle θ H1
– Ist θ H1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
– Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)
19
Statistische TestsGütefunktion (einseitiger Test)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
499 499,5 500 500,5 501 501,5 502
µ
g(µ)
µ0=500
20
Statistische TestsOperationscharaktersitik OC Kurve (einseitiger Test)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
499,5 500 500,5 501 501,5 502
µ
Fehl
er 2
.Art
= 1
-g(µ
)
µ0=500
21
Statistische Tests
• Trennschärfe eines Tests:– Steilheit der OC Kurve 1-g(θ)– Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser
die Trennschärfe.
22
Statistische TestsOperationscharaktersitik OC Kurve (einseitiger Test),
unterschiedliche Stichprobengrößen n (n=9, n=100, n=10000)
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,951,00
499,5 500 500,5 501 501,5 502
µ
Fehl
er 2
.Art
= 1
-g(µ
)
µ0=500
23
Statistische Tests
• Vorgehensweise bei statistischen Tests (I):– Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des
Signifikanzniveaus– Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und
Bestimmung der Testverteilung unter H0.– Bestimmung des kritischen Bereichs– Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik)– Entscheidung und Interpretation
24
Statistische Tests
• Vorgehensweise bei statistischen Tests (II):– Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des
Signifikanzniveaus– Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und
Bestimmung der Testverteilung unter H0.– Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik)– Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik– Entscheidung und Interpretation
25
Statistische Tests
• p-Wert– Anstatt den kritischen Bereich bzw. die
kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des „p-Wertes“.
– p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte.
– Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α.
– Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn p-Wert < α
26
Statistische Tests
• Einseitige Tests (I)– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0
bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des
kritischen Werts (c)– T > c, lehne H0 ab– T ≤ c, lehne H0 nicht ab
27
Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Prüfgröße
Dic
hte
der T
estv
erte
ilung
1-α = 0,95
α = 0,05
Kritischer BereichH0 ablehnen
H0 nicht ablehnen
Kritischer Wert: c
28
Statistische Tests
• Einseitige Tests (II)– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0
bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes– p < 2·α, lehne H0 ab– p ≥ 2·α, lehne H0 nicht ab
29
Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Prüfgröße
Dic
hte
der T
estv
erte
ilung
1-α = 0,95
α = 0,05
Kritischer BereichH0 ablehnen
H0 nicht ablehnen
Kritischer Wert: c
Prüfgröße=1,64 p-Wert=0,103
30
Statistische Tests
• Einseitige Tests (I)– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0
bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des
kritischen Werts (c)– T < c, lehne H0 ab– T ≥ c, lehne H0 nicht ab
31
Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Prüfgröße
Dic
hte
der T
estv
erte
ilung
1-α = 0,95
α = 0,05
Kritischer BereichH0 ablehnen
H0 nicht ablehnen
Kritischer Wert: c
32
Statistische Tests
• Einseitige Tests (II)– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0
bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes– p < 2·α, lehne H0 ab– p ≥ 2·α, lehne H0 nicht ab
33
Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Prüfgröße
Dic
hte
der T
estv
erte
ilung
1-α = 0,95
α = 0,05
Kritischer BereichH0 ablehnen
H0 nicht ablehnen
Kritischer Wert: c
Prüfgröße=-1,64 p-Wert=0,103
34
Statistische Tests
• Zweiseitige Tests (I)– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0
bestimmen.– Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der
kritischen Werte (cu und co)– T < cu oder T > co, lehne H0 ab– cu ≤ T ≤ co, lehne H0 nicht ab
35
Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Prüfgröße
Dic
hte
der T
estv
erte
ilung
1-α = 0,95
α/2 = 0,025
Kritischer Bereich
H0 ablehnen
H0 nicht ablehnen
Kritischer Wert: co
Kritischer Bereich
H0 ablehnen
α/2 = 0,025
Kritischer Wert: cu
36
Statistische Tests
• Zweiseitige Tests (II)– H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05– Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0
bestimmen.– Bestimmung des p-Wertes– p < α, lehne H0 ab– p ≥ α, lehne H0 nicht ab
37
Statistische TestsTestverteilung = Stichprobenverteilung der Prüfgröße
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Prüfgröße
Dic
hte
der
Test
vert
eilu
ng
1-α = 0,95
α/2 = 0,025
Kritischer Bereich
H0 ablehnen
H0 nicht ablehnen
Kritischer Wert: co
Kritischer Bereich
H0 ablehnen
α/2 = 0,025
Kritischer Wert: cu
Prüfgröße=1,96 p-Wert=0,05
Prüfgröße=1 p-Wert=0,24
38
Statistische Tests
• Kritischer Wert: Wert auf der Achse• p-Wert: Wert auf der Dichtfunktion• Entscheidung:
– Lehne H0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen Bereich
– Lehen H0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α
39
χ² Unabhängigkeitstest
Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest• Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale
voneinander unabhängig sind. • Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten
voneinander unabhängig?
40
χ² Unabhängigkeitstest
Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest• H0: die beiden Merkmale sind voneinander
unabhängig.• H1: die beiden Merkmale sind nicht
voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig
• Festlegen des Signifikanzniveaus α.
41
χ² Unabhängigkeitstest
• Kontingenztafel:– Absolute Häufigkeiten der
Merkmalsausprägungen
A \ B b1 ... bs ∑
a1 h11 … h1s h1.
: : : :
ar hr1 … hrs hr.
∑ h.1 ... h.s h.. = n
42
χ² Unabhängigkeitstest
• Bsp. 4-Felder Tafel:– Absolute Häufigkeiten der
Merkmalsausprägungen
Raucher Geschlecht….… n j
m 15 3 18w 14 6 20
29 9 38
43
χ² Unabhängigkeitstest
Prüfgröße und Testverteilung: • Prinzip: Vergleiche die Werte, die man
unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho).
• Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten?
• Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.
44
χ² Unabhängigkeitstest
• Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten• Interpretation der relativen Häufigkeiten als
Wahrscheinlichkeiten • Dann: unter H0 erwartete absoluten
Häufigkeiteno oi je h h
h =n
45
χ² Unabhängigkeitstest
• Bsp. Geschlecht - Rauchverhalteno oi je h h
h =n
ho
Geschlecht n jm 15 3 18w 14 6 20
29 9 38
Raucher
he
Geschlecht n jm 13,7 4,3 18w 15,3 4,7 20
29 9 38
Raucher
46
χ² Unabhängigkeitstest
• Teststatistik χ²:– Abweichung der beobachteten Häufigkeiten
von den erwartete Häufigkeiten
2o er sij ij2
ei=1 j=1 ij
h hχ =
h
47
χ² Unabhängigkeitstest
Verteilung der Teststatistik χ²: • χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1)
Freiheitsgraden
48
χ² Unabhängigkeitstest
Kritischer Bereich: • Signifikanzniveau α• Kritischer Wert: α-Quantil der χ²(r-1)·(s-1)
Verteilung• Lehne H0 ab, wenn gilt:
Wert der Teststatistik > kritischer Wert
49
χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ²
• Verteilung der Teststatistik: χ²1 Chi-Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad
2o e2 2ij ij2
ei=1 j=1 ij
h hχ = 0,9
h
50
χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: • Kritischer Wert: 0,05-Quantil der χ²1 Vt. = 3,84• Entscheidung:
(I) Teststatistik = 0,9 < 3,84 = kritischer Wert. Also: Lehne H0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,33 > 0,05. Also: Lehne H0 nicht ab.
• Interpretation: Geschlecht und Rauchverhalten sind voneinander unabhängig.
51
χ² Homogenitätstest
Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest• Betrachte zwei oder mehr Gruppen bzw.
Stichproben.• Teste, ob die Stichproben aus der gleichen
Grundgesamtheit stammen.
52
χ² Homogenitätstest
Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest• H0: die beiden Stichproben stammen aus der
gleichen Grundgesamtheit. • H1: die beiden Stichproben stammen nicht
aus der gleichen Grundgesamtheit.• Festlegen des Signifikanzniveaus α.
53
χ² Homogenitätstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten• H0: Das Rauchverhalten der beiden
Gruppen stimmt überein. • H1: Das Rauchverhalten der beiden
Gruppen stimmt nicht überein.
54
χ² Homogenitätstest
Prüfgröße und Testverteilung: • Prinzip: Vergleiche die Werte, die man
unter H0 (gleiche Grundgesamtheit) erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho).
• Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten?
• Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.
55
χ² Homogenitätstest
• Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiteno oi je h h
h =n
56
χ² Homogenitätstest
• Teststatistik χ²:– Abweichung beobachteten Häufigkeiten und
erwartete Häufigkeiten
• Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden
2o er sij ij2
ei=1 j=1 ij
h hχ =
h
57
χ² Homogenitätstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten:• Teststatistik χ² = 0,9• Verteilung der Teststatistik: χ²1 • Entscheidung:
– (I) χ² = 0,9 < 3,84. Lehne H0 nicht ab. – (II) p-Wert = 0,33 > 0,05. Lehne H0 nicht ab.
• Interpretation: die beiden Gruppen (Männer, Frauen) stammen aus der gleichen Grundgesamtheit, sie sind homogen.
58
χ² Tests
χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:• Teststatistik und Testverteilung sind gleich• Nullhypothese und Interpretation sind
verschieden. – Test auf Unabhängigkeit (die Merkmale sind
unabhängig voneinander)– Test auf Homogenität (die Stichproben
stammen aus der gleichen Grundgesamtheit).
59
χ² Tests
χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:• Für die Approximation durch die χ²-Vt.
sollten die erwarteten Häufigkeiten jeder Zelle 5 sein und keine der Zellen sollte unbesetzt sein.
• Sind die Voraussetzungen verletzt, kann man einen exakten Test durchführen
(siehe Hartung S. 414ff)
60
Anpassungstests
Test einer Verteilungshypothese – Nichtparametrische Testverfahren
• Betrachtet Unterschied zw. Stichproben-Vt. und theoretischer Verteilung.
• „Anpassungstest“ weil die Güte der Anpassung einer theoretischen Vt. an eine empirische Vt. überprüft wird.
61
Anpassungstests
χ² Anpassungstest: • H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer
bestimmten Verteilung.• Vorgehensweise:
– Bestimme die unter H0 zu erwartenden Häufigkeiten he und vergleiche sie mit den beobachteten Häufigkeiten ho.
– Abweichung groß – Entscheidung gegen H0, Abweichung klein – Entscheidung für H0.
62
Anpassungstests
χ² Anpassungstest: • Teststatistik:
k ... Anzahl der Merkmalsausprägungen (diskrete Merkmale) bzw. Anzahl der Klassen (stetigen Merkmalen)
• Testverteilung: χ²v verteilt mit v=n-1 • Es gilt wieder: he sollten 5 sein.
k
1iei
2ei
oi2
h)h(h
χ
63
Anpassungstests
χ² Anpassungstest: • Entscheidung:
– Bestimmung des kritischen Bereichs, χ² > kritischer Wert, lehne H0 ab
– Bestimmung des p-Wertes, p-Wert < α lehne H0 ab
64
Anpassungstests
Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: • Test zur Beurteilung der Güte der
Anpassung einer erwarteten theoretischen Verteilung an eine beobachtete empirische Verteilung.
• H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung.
• Prinzip: Abweichung empirische- von der theoretische Verteilungsfunktion.
65
AnpassungstestsKolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: • Prüfgröße (D):
– größte beobachtete absolute Abweichung der theoretischen von der empirischen Verteilungsfunktion.
• Testverteilung: – „Kolmogorov-Smirnov- Verteilung“, hängt nur
vom Stichproben-umfang n ab (1-α Quantile in Tabelle nachschlagen).
• Entscheidung: – D > kritischer Wert (aus Tabelle), lehne H0 ab.
66
Anteilstests
• Einstichprobentest für den Anteilswert – Hat der Anteil einen bestimmten Wert, bzw.
liegt er in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer
einzigen Stichprobe. • Zweistichprobentest für Anteilswerte
– Unterscheiden sich die Anteile zweier unabhängiger Gruppen?
– Entscheidung basiert auf zwei Stichproben
67
Anteilstest - Einstichprobentest
Einstichprobentest für den Anteilswert:• Einseitige Hypothesen:
– H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0
– H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0
• Zweiseitige Hypothesen: – H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0
68
Anteilstest - Einstichprobentest
Vorgehensweise: • Teststatistik bestimmen• Testverteilung bestimmen• Entescheidung über Annahme oder
Ablehnung von H0.
69
Anteilstest - Einstichprobentest
• Anteilswert einer Stichprobe: P = x / n• Unter H0 ist P, wenn nθ0(1-θ0) ≥ 9,
approximativ N-Vt., mit Parametern – E(P) = θ0
– Var(P) = θ0(1-θ0)/n · [(N-n)/(N-1)]• Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur wenn
n/N < 0,05.
70
Anteilstest - Einstichprobentest
Prüfgröße / Teststatistik:• Standardisierte Zufallsvariable Z:
0
P
P-θZ=σ
71
Anteilstest - Einstichprobentest
Testverteilung:• Teststatistik Z ist unter H0 N(0,1) verteilt. • Daher: Testverteilung ist die
Standardnormalverteilung.
72
Anteilstest - EinstichprobentestKritischer Bereich:• α festlegen (z.B. α = 0,05) • Kritischer Wert: α – Quantil der N(0,1)-Vt. • Entscheidung: H0 ablehnen, wenn Teststatistik im
kritischen Bereich. p-Wert: • α festlegen (z.B. α = 0,05)• p-Wert: Niveau, bei dem der Test gerade noch die
H0 ablehnen würde. • Entscheidung: H0 ablehnen, wenn p-Wert < α
(zweiseitiger Test) bzw. p < 2α (einseitiger Test).
73
Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten • H0: pw ≤ 0,5 gegen H1: pw > 0,5 und α=0,05• Approximation durch N-Vt. zulässig, da
unter H0 nθ0(1-θ0) = 9,5 ≥ 9. • Unter H0: E(P) = 0,5, Var(P) = 0,0065 und
σP = 0,0811 (Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur).
74
Anteilstest - Einstichprobentest
Bsp: Anteil der weiblichen Studenten • Teststatistik: Z = 0,324• Testverteilung: N(0,1)• Kritischer Wert: 1,64• p-Wert: 0,378• Entscheidung: Lehne H0 nicht ab (Z < 1,64
bzw. p-Wert > 0,1 = 2α)• Interpretation: Der Frauenanteil ist nicht
signifikant größer als 50%.
75
Anteilstest - Zweistichprobentest
Test für die Differenz zweier Anteilswerte• Stichprobe 1: Anteil P1 = x / n1
• Grundgesamtheit 1: Anteil θ1
• Stichprobe 2: Anteil P2 = x / n2
• Grundgesamtheit 2: Anteil θ2
• H0: Anteilswerte der beiden Grundgesamtheiten sind gleich. H0: θ1 = θ2 (=θ) gegen H1: θ1 ≠ θ2
76
Anteilstest - Zweistichprobentest
Teststatistik:
(Unter Vernachlässigung der Endlichkeitskorrektur und wenn Voraussetzungen für eine N-Vt. erfüllt sind)
• Verteilung der Teststatistik unter H0: Z ~ N(0,1)
1 2
1 2
1 2
(P -P )Z=n +nθ(1-θ)n n
77
Anteilstest - Zweistichprobentest
Entscheidung: • Bestimmung des kritischen Bereichs.
– Z > |c| lehne H0 ab
• Bestimmung des p-Wertes– p-Wert < α lehne H0 ab
• Interpretation: Wird H0 abgelehnt, dann sind die Anteile in den beiden Gruppen signifikant verschieden.
78
Test für arithmetisches Mittel
• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: – Hat das arithm. Mittel einen bestimmten Wert,
bzw. liegt es in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer
einzigen Stichprobe. • Zweistichprobentest für das arithm. Mittel
– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier Gruppen?
– Entscheidung basiert auf zwei Stichproben
79
Test für arithmetisches Mittel
• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: – Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt.– Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.
80
Test für arithmetisches Mittel
• Einstichprobentest für das arithm. Mittel: • Zweiseitige Hypothese:
H0: µ = µ0 gegen H1: µ ≠ µ0
• Festlegen des Signifikanzniveaus
81
Test für arithmetisches Mittel
• Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt.• Unter H0 ist das arithm. Mittel der
Stichprobe N-Vt. mit E=µ und Var=σ²/n• Teststatistik:
• Testverteilung: N(0,1)n
σμX
σμXZ
X
82
Test für arithmetisches Mittel
• Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. Berechung des p-Wertes
• Entscheidung• Interpretation
83
Test für arithmetisches Mittel
• Varianz der Grundgesamtheit ist unbekannt.• Schätzwert für unbekanntes σ²:
Stichprobenvarianz s². • Teststatistik:
• Testverteilung: tn-1
• t-Test
ns
μXT
84
Test für arithmetisches Mittel
• Bestimmung des kritischen Bereichs: kritische Werte: α/2-Quantile der t-Vt., symmetrische Vt. daher tc
u = -tco
• Berechung des p-Wertes: • Entscheidung:
|t| > tc, lehne H0 abp-Wert < α, lehne H0 ab
• Interpretation
85
Test für arithmetisches Mittel
Bsp. mittlere Körpergröße (n = 38)• H0: µ = 170 gegen H1: µ 170, α = 0,05 • Arithm. Mittel der Stpr: 174• Standardabweichung der Stichprobe: 10,4• Teststatistik: T = (174-170) / 10,4/38 = 2,5• Kritischer Wert: 2,02• p-Wert: 0,016• Mittlere Körpergröße ist signifikant 170
86
Test für arithmetisches Mittel
• Zweistichprobentest für die Differenz zweier arithmetischer Mittel– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier
Grundgesamtheiten?– Unterscheiden sich die Mittelwerte zweier
verbundener Stichproben?
87
Test für arithmetisches Mittel
• Differenz zweier arithmetischer Mittel die aus 2 Grundgesamtheiten stammen.
• Voraussetzung: – Stichproben unabhängig– Stichproben stammen aus einer N-vt.
Grundgesamtheiten bzw. Approximation durch N-Vt. ist zulässig
– Endlichkeitskorrektur ist vernachlässigbar
88
Test für arithmetisches Mittel
• Unterscheide, ob die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten homogen sind oder nicht.
• Varianzen verschieden, σ1² σ2² : • Teststatistik:
• Testverteilung: Z asymptotisch N(0,1)-vt.
2
22
1
21
21
nS
nS
)XX(Z
89
Test für arithmetisches Mittel
• Varianzhomogenität, σ1² = σ2² = σ²: • Teststatistik:
wobei
• Testverteilung: T ~ tv mit v=n1+n2-2 Freiheitsgarden
21
21
21
nnnn
S
)XX(T
2nn1)S(n1)S(n
S21
222
211
90
Test für arithmetisches Mittel
• Verbundene Stichproben (abhängige oder gepaarte Stpr.)– Tritt auf, wenn z.B. die Merkmalsausprägungen
der ersten Stpr. und die der zweiten jeweils an demselben Merkmalsträger erhoben werden. Bsp: vorher – nachher Untersuchungen.
• Test für die Differenz arithmetischer Mittel bei verbundenen Stichproben.
91
Test für arithmetisches Mittel• Differenzen der Wertepaare: Di = X2i – X1i
sind N-vt. mit E(Di) = µ2i - µ1i = δ und Var(Di) =σD²
• Teststatistik:
• Testverteilung: T~tv mit v=n-1
nS
δDTD
n
1i
2iD
n
1ii )D(D
1n1SundD
n1X
92
Test für Varianz
• Einstichprobentest für die Varianz: – Hat die Varianz einen bestimmten Wert, bzw.
liegt er in einem bestimmten Bereich?– Entscheidung basiert auf dem Ergebnis einer
einzigen Stichprobe. • Zweistichprobentest für die Varianz
– Unterscheiden sich die Varianzen zweier Gruppen?
– Entscheidung basiert auf zwei Stichproben
93
Test für VarianzEinstichprobentest für die Varianz:• Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt• H0: σ² = σ0² gegen H1: σ² σ0²• Teststatistik:
• Testverteilung: χ²v mit v=n-1• Entscheidung:
– χ² > χ²co oder χ² < χ²c
u, lehnen H0 ab – p-Wert < α, lehne H0 ab
2
22
σ1)s(nχ
94
Test für VarianzZweistichprobentest für den Quotienen zweier
Varianzen:• Annahme: Grundgesamtheit normalverteilt• H0: σ1² = σ2² gegen H1: σ1² σ2²• Teststatistik:
• Testverteilung: Fv1,v2 mit v1=n1-1 und v2=n2-1• Entscheidung:
– F > Fco oder F < Fc
u, lehnen H0 ab – p-Wert < α, lehne H0 ab
22
21
SS
F