12/1 Mathe LK (Algebra)

Mathe Algebra 12/1

Infinitesimal Rechnung1. Die Integralrechnung 1.1.Flächeninhaltsbestimmung • Rechteck: AR = l * b• Quadrat: AQ = a2

• Dreieck: AD=12g⋅h

• Kreis: AK = r 2⋅pi• Parallelogramm: AP = g * h

• Trapez AT=ac

2⋅h=m⋅h

• Kreissektor: AS=r2⋅PI⋅

360 °Eigenschaften des Flächeninhalts1. Der FI 1cm2 ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge 1cm2. Der FI ist immer positiv3. Der Flächeninhalt ist additiv4. Der Flächeninalt ändert sich nicht durch Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Translation)Beispiele von Flächenberechnungen in der Praxis (Physik)z.B: s = v * t

v

s

tfür v != konstants(t) = v(t) * t ??1.2.Streifenmethode

AR = A1 + A2 + A3 + ....+ A15

Definition: Kurzschreibweise für die Summe A1 + A2 + ... + An

A1A2A3...An=∑i=1

n

Ai „Summe über Ai von i = 1 bis n“

Beispiel:

45678=∑i=4

8

i

123...n=∑i=1

n

i=n⋅n12

A1 A2

n 1 2 3 4 5 6

E 1 3 6 10 15 21

122232...n2=∑i=1

n

i2=n⋅n1⋅2n16

n 1 2 3 4 5 6

E 1 5 14 30 55 91

132333...n3=∑i=1

n

i3= n⋅n1⋅n⋅n14

=n2⋅n12

4n 1 2 3 4 5 6

E 1 9 36 100 225 441

Ziel: Berechnung des Flächeninhalts unter einem Funktionsgraphen1. Beispiel: Die Normalparabel f : x x2 mit Df = R+

0

(1LE = 2cm)

Idee: Zur Bestimmung des Flächeninhalts zwishcen der x-Achse und der Parabel im Bereich 0≤ x≤b wird die Fläche in n-gleich breite Streifen zerlegt. Man erhält:

• Obersumme Sn

• Untersumme Sn

Sn=bn⋅0b

n⋅bn

2

bn

2bn

2

bn3bn

2

bn

4bn

2

bn n−1b

n 2

Sn=b3

n3⋅12223242...n−12=b3

n3⋅∑i=1

n−1

i 2=b3

n3⋅n−1⋅n⋅2n−1

6limn∞

Sn=limn∞

Sn=[A]0b

Folgerung: Für die Fläche unter der Normalparabel im Intervall I = [a;b] gilt:

[a]ab=[ A]0

b−[ A]0a=

13b3−

13a3

a b

Schreibweise: [A]ab=[ 1

3x3]

a

b

=13b3−1

3a3

2.Beispiel: f : x x

Sn=0 bn

2

bn2bn...b

n⋅ n−1b

n =b2

n2⋅12...n−1=b2

n2⋅∑i=1

n−1

i=b2

n2⋅n−1n

22

limn∞

Sn=limn∞

b¿b2n

2n2 = limn∞

12b2− b2

2n=1

2b2

Sn=bn

2

2bn

2

... nbn 2

=b2

n2⋅n⋅n1

2

limn∞

Sn=12⋅b2

b/n

(b/n)²

--> [A ]b0=[

12x2]b

0=1over 2b2

f(x) A(x)

x x2

2

x2 x3

3

x3 x4

4

Vermutung: A' x= f xS.43/3

AR−[A]20=8−[ x

3

3]20=16

3

Ar−[A]20

[A]20

=163: 8

3=2:1

S.44/6

Sn=b3

n3⋅n⋅n−1⋅2n−1

6=32

3⋅n⋅n−1⋅2n−1

n3

Sn=323⋅n⋅n1⋅2n1

n3

Sn−S n=323⋅

1n2⋅2n2n2n1−2n2n2n−1=32

3⋅

1n2⋅6n=64

n64n0,1 --> n640

2k640lg 2klg 640k⋅lg 2lg 640

k lg 640lg 2

-->k≥10

1.3.Die Stammfunktion 11.Klasse: Geg.: f(x) Ges.: Ableitungsfunktion f'(x)jetzt: Geg.: f(x) Ges.: Stammfunktion F(x) mit F'(x) = f(x)Def.: Eine Funktion F heißt Stammfunktion zur Funktion f, wenn F'(x) = f(x) und DF = DR

Beispiele:a) f x=3x2 --> F x = x3c mit c∈R

b) f x=5x3 --> F x =12x10c

c) f x=2x3−5x --> F x =12x4−2,5 x2c

d) f x=3 cos x−sin x --> F x =3sin xcos xc

e) F x =12

sin x2cos x --> f x= 12

cos x−2 sin x

Folgerungen:1) ist F Stammfunktion zu f, dann auch F + c mit c∈R2) Die Graphen zu einer Stammfunktion sind lediglich um c verschoben

F2 x =F1xcF1 x

1.4.Das unbestimmte Integral Def.:Die Menge aller Stammfunktionen von f heißt das unbestimmte Integral von fSchreibweise:∫ f xdx

^---^ --> Integrant

f ' x = df xdx

(Wiederholung)Rechenregeln:1) ∫ k⋅ f xdx=k⋅∫ f xdx mit k∈R2) ∫ f x±g x dx=∫ f xdx±∫ g xdx3) ∫ f xdx=F x cBlatt M-02:4a)

∫ sin x2dx=12x−sin x cos x c

F ' x= 121sin2 x−cos2 x= 1

2sin2 xsin2 x=sin2 x

( sin2 xcos2 x=1 )

1.5.Die Stammfunktion und die Flächenberechneung Def.: Ist f eine in [a;b] stetige und niochtnegative Funktion, so heißt die Funktion, die jedem x∈[a ;b] den Injalt A des Flächenstücks zwischen Gf und der x-Achse im Bereich a bis x

zuordnet, die Flächeninhaltsfunktion Aa(x)

Ax(x+h)Aa(x)

a x x+h

hAx xh=Aaxh−Aax

außerdem: h⋅f x≤Ax xh≤h⋅ f xhh⋅f x≤Aaxh−Aax≤h⋅f xh

f x≤Aa xh−Aa x

h≤ f xh

limh0

f x≤limh0

Aa xh−Aa xh

≤limh0

f xh

f x≤A' x≤ f x --> A'(x) = f(x)

Aax ist eine Stammfunktion von f x d.h. es gilt:Aa x=F x c mit F ' x= f x

Bestimmung der Konstanten c:c=Aax−F x

Betrachte den Spezialfall Aaa=0-->c=Aaa−F a=−F a

-->Aax=F x −F a

-->Aab=F b−F a

∫a

b

f xdx=[F x ] ba=F b−F a

bestimmte Integral mit den Grenzen a und b

bisher abgeleitete Integrationsregeln

1) ∫ xdx= x2

2c

2) ∫ x2dx=13x3c

3) ∫ xndx= xn1

n1c

4) ∫sin x dx=−cos xc5) ∫cos xdx=sin xcBeispiele:

1) f x=x2 ;a=12;b=1 1over 3

A=∫12

113

x2dx=[ 13x3]1

2

1 13=

6481−

124=

485648

2) f x−x24x−3 ;a=1 ;b=4

A=∫1

4

−x24x−3dx=[−13x32x2−3x ]

1

4

=0

Rechenregeln für das bestimmte Integral1)

∫a

a

f xdx=0

2)

∫a

b

f xdx=−∫b

a

f x dx

Beweis:

∫a

b

f xdx=F b−F a=−F a −F b=−∫b

a

f xdx

3)

∫a

b

k⋅ f xdx=k⋅∫a

b

f xdx

Spezialfall: k = -14)

∫a

b

¿− f xdx=−∫a

b

f xdx

¿Die Fläche unter der x- Achse ist „negativ“5)

∫a

c

f xdx=∫a

b

f xdx±∫b

c

f x dx

6)

∫a

b

f x±g x dx=∫a

b

f xdx±∫a

b

g xdx

allgemein:

∫a

b

f xdx liefert lediglich die „Flächenbilanz

Möchte man die Fläche berechnen:

A=∫a

b

∣ f x∣dx

Da man ∣ f x∣ meist nicht direkt integrieren kann muss man nach Bestimmung der Nullstellen die Einzelintgrale von a bis N1, von N1 bis N2, .... , bis b berechnen und deren Beträge aufsummieren

a b

A1

A2

A3

A4

--> A=A1A2A3A4

Merke: Integriere bei der Flächenbestimmung niemals über Nullstellen!Beispiele:1)f x=6−3x2

Ges: Flächeninhalt eingeschlossen von Gf und der x-Achse

∫− 2

2

f x dx=[−x36x]−22

A=F 2−F −2=−2262−22−62=822)f x=sin x ;a=−;b=

A=∣∫0

sinx dx∣∣∫−

0

sinx dx∣=∣[−cos x]0∣∣[−cos x ]

0∣=2

Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Gg

S1 S2

Gf

xs1 xs2

A=∫x s1

x s2

f x dx−∫x s1

x s2

g x dx=∫xs1

xs2

f x−g xdx

Auf die Nullstellen der Funktion muss nicht geachtet werden. Allerdings muss von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integriert werden:

A=∫x s1

x s2

∣ f x−g x∣dx=∣∫xs1

xs2

f x−g xdx∣

xs1xs2 xs1

xs2

S.63/16a)

∫−

2

2

sin x dx=0

f −x =sin−x=−sin x=− f x (will er in der Klausur sehen)b) f −x =x2sin −x =−x2sin x=− f x

∫−

x2 sin x dx=0

c)

f −x =−xcos

−x =− f x

∫−0,5

0,5 xcos x

dx=0

d)f −x =−x 1−x2=− f x

∫−1

1

x1−x2dx=0

S.63/6xs=±4

∣∫−4

4

1

4x2dx−32∣=21 1

3S.63/7xS1=3xs2=0

∣∫0

3

1

x2 dx−∫0

3

3

2xdx∣=2 1

4S.63/8

y=16x2

y=6xSchnittpunkte:x1=0x2=6

A=2⋅∫0

6

x−16x2dx=12

S.63/11a)

x1=4x2=−6

b)

a1=6a2=−4

S.64/18

f ' x =− sin x cos x

10−cos2 x32

f ' x=0−cos⋅sin x=0−12

sin 2 x=0

sin 2 x=0

--> x=k⋅2 mit k∈Z

f 0= 19

=13 --> Max 0| 1

3

f 2= 1

10--> Min

2| 110

S.64/18a)

m=1

10

M=13

b)

2⋅110

≤∫0

2

f xdx≤2⋅13

c)

Mittelwert (Durchschnitt) D = mM2

=12⋅2 ⋅

110

2⋅13

--> D=∣310−10∣31010

---> 2,6%

Übungsaufgabe:1) Gegeben: f : xsin x; g : x3⋅cos x

a) Zeichne Gf und Gg in Db) Berechne die Fläche, die von Gf und Gg eingeschlossen wird (Lös: 4)

2) f : xcos x

Gf schließt mit den Koordinatenachsen im 1.Quadranten im Bereich 0 bis 2 ein

Flächenstück ein. Dieses Flächenstück soll durch eine Parallele zur y-Achse halbiert

werden. Berechne diese Gleichung (Lös: x=6 )

Verbesserung der 1. Ex1)

f x=13

⋅cos x ; g : x32⋅sin x

D = [0 ;2]13 3=3

2sin x

--> 1=6

2=76

A=232)a)

A=10512

b)

=6263

1.6.Die Integralfunktion Definition: f sei im Intervall J stetig mit a∈J

Die Funktion F : x∫a

x

f t dt heißt Integralfunktion von f

Integrantenfunktion

Bsp.: f : x x2

--> f 1x=∫0

x t2dt=1

4x2

oder

F2 x =∫1

x

t

2dt=1

4x2−1

4

Insbesondere gilt: ∫a

a

f t dt=0

Folgerung: Jede Integralfunktion besitzt mindestens eine Nullstelle, und zwar die untere GrenzeZusammenhang zwischen Stammfunktion und Integralfunktion– Jede Integralfunktion ist Stammfunktion

– Aber nicht jede Stammfunktion ist auch Integralfunktion, da z.B. F x =14x2

14 ist

Stammfunktion von x x2 aber keine Integralfunktion, da

14x2

140∀ x∈ℝ (hat also

keine Nullstelle)S.71/7

x2−13x3−

23=0

x−1−13x2

23x2

3−

23=0

x1=1x2=13x3=1−3

1.7.Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ddx ∫a

x

f t dt=∫ax

f t dt'

= f x

Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist differenzierbar, ihre Ableitung ist die Integrantenfunktion f. Kurz: die Integration ist die Umkehrung der Differentiation

Bsp.: F x =∫a

x

f t dt ;∀ x∈[a ;b]

Beh: F ' x= f xBew.:

F ' x=limh0

F xh−F x h

Zähler genauer anschauen:

F xh−F x=∫a

xh

f t dt−∫a

x

f t dt=∫a

xh

f t dt∫x

a

f t dt=∫x

xh

f t dt

Skizze:

h⋅f xmin≤∫x

xh

f tdt≤h⋅ f xmax

f xmin≤∫x

xh

f t dt

h≤ f xmax

limh0

f xmin≤limh0

F x0h−F x0h

≤limh0

f xmax

f x≤F ' x≤ f x--> F ' x= f xÜbungsaufgaben:

1) Schreibe f x=x3−27 als integralfunktion

F x=∫a

x

g t dt= x3−27

∫3

x

3t 2dt

2) g : x∫3

x t 2

t 31dt

x xmax xmin x+h

a) gib eine Nullstelle von g an: NS(3|0)b) Untersuche, ob Gg waagrechte Tangenten und bei x=0 einen Wendepunkt besitztg'(x) = h(x) nach dem HDI--> Gg hat dort eine waagrechte Tangente, wo Gh eine Nullstelle hatGg hat da einen Wendepunkt, wo Gh eine waagrechte Tangente hat

Geg.: f x=x−2 mit x∈ℝ

a) Gesucht ist die Stammfunktion die durch den Punkt P(4|1) geht

F x =−1x

34

b) ist diese Funktion eine Integralfunktion?nö

c) Schreibe I x=1−xx

Di=ℝ als Integralfunktion zu f

I x=∫1

x

f t dt

Schnittwinkel immer zwischen – 90° und 90°1.8.Anwendung der Integralrechnung in der Physik a) Lineare Bewegungsabläufe

ex=1 xs(t) sei die in x-Richtung in der Zeit t zurückgelegte Strecke

v t 0= lim t0

st 0 t −s t 0 t

= s t0

allgemein:v t = s t st =∫ v t dt

ebenso gilt:a t = vt v t =∫a t dt

Die Integrationskonstante wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt.Bsp.: Senkrechter Wurf nach obena) Ges.: Bewegungsgleichungen

h

st =−12

g t 2v0⋅th

v t =−g⋅tv0

a=−g

st =∫ v t dt=−12

2v0⋅tc

mit s 0=0

c=0 s t =−12

g t 2v0⋅t

t=v0

gb) mit Welcher Geschwindigkeit kommt er am Boden an?

Am obersten Punkt gilt: v t s=0 <--> −g⋅t sv0=0

t s=v0

gsges=2 s t sh

b) Die physikalische ArbeitMittelstufe: W=F⋅s für F = const.für F≠const. : W=∫F s ds

W=∫D⋅s ds=12Ds2c

S.86/6 '=M x43x3

=M43R3

M x=x3

R3⋅M

F x =G⋅m⋅M xx2 =G⋅m

x2 ⋅x3

R3 =G⋅m⋅MR3 ⋅x

W=∫0

r

F xdx=∫0

r GmMR3 ⋅x dx=GmM

R3 ⋅12r2

c)G⋅m⋅MR3 ⋅1

2R2=

12mv2

v=G⋅MR=8000m

sS.92/34f x=x3a x2b xc

1)

∫−1

1

f xdx=23a2c

2)

F 1=14a3b2c=1

3)32ab=0

2 * (2): 12

23ab2 x=2 (2')

(1) – (2'):

−12

−b=−2

b=1,5a=−2,25

c=34

1.9 Raum eines RotationskörpersSatz: y

y = f(x)

a b xRotiert ein krummlinig begrenztes Trapez um die x-Achse, so entsteht ein Körper mit dem Volumen

V=⋅∫a

b

[ f x]2dx siehe Blatt

Beispiel: Rauminhalt einer Kugel

yr 2=x2 y2 y= r 2−x2= f x

r

x −r xr

V=⋅∫−r

r

r2−x22dx=2⋅∫

0

r

r 2−x2dx=2⋅⋅[r2⋅x−13⋅x3] r

0=4

3⋅r 3⋅

96/ 1 d)

f x =R− rh⋅xr ;a=0 ; b=h

V=⋅∫0

h

[ f x]2dx⋅[13⋅ R−r

h⋅xr

3

⋅ hR−r

] h0=⋅h⋅R2Rrr 2

3¿

97/3 V=⋅∫0

2

[ f x]2dx=⋅a2

a24⋅∫

0

2

x2⋅2− x2dx= 1615⋅⋅ a2

a24

dV ada

=16⋅

15⋅a24⋅2a−a2⋅4⋅a23=16⋅

15⋅2⋅a⋅a23⋅a2−2a=¿

- r r

¿−16⋅

15⋅4⋅a2⋅a23=¿

Extremwerte a = 0 und a = -2

a = -2 ist wichtigVZW von der 1. Ableitung an a = -2 von + nach - , dh Maximun an der Stelle -2V max=¿

97/4a)Fx2 y−a 2=r 2

f 1x = r2−x2af 2x =− r2− x2a

V=⋅2⋅∫0

r

r2− x2a 2dx−⋅2⋅∫

0

r

− r2− x2a 2dx=2⋅⋅∫

0

r

r 2−x2a22a r 2−x2dx −¿

−∫0

r

r 2−x2a2−2a r 2−x2dx=8a⋅∫0

r

r2−x2dx=8a⋅1

4⋅r2=2a r 22

b) Beh.: V=AK⋅sMAK=r

2⋅sM=2aV=2 r 2a2

96/2a)

V p=⋅∫0

r2

x dx=⋅r4

2V Z=r2⋅⋅r 2=r4⋅=2⋅V P

2. Die Umkehrfunktion und ihre Ableitung2.1.Die Umkehrfunktion

Bsp:

f 1: x121 f 2: x x2

f1 ist umkehrbar f2 ist nicht umkehrbar auf D f=ℝ , aber jeweils auf D f ,1=ℝ0

− und D f ,2=R0

Def.:Eine Funktion f heißt umkehrbar, wenn aus f x1= f x2 stehts folgt:x1 = x2 ( anschaulich: jede parallele zur x-Achse schneidet Gf in höchstens einem Punkt) F besitzt dann eine Umkehrfunktion in Zeichen: f −1xoder f xBem.:

1) Den Graph der Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung von Gf an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten

2) D f −1=W f ;W f−1=D f

3) Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar4) Verfahren zur Bestimmung von f −1x

Bsp.: y=12x1

1. Schritt: Variablen austauschen

x=12y1

2. Schritt: Nach y auflöseny=2 x−2

3. Schritt:D f −1=W f=ℝW f −1=D f=ℝ

5) Test ob f-1 (x) tatsächlich die Umkehrfunktion istf f −1x =xf −1 f x =x

6) SatzDie Umkehrfunktion einer streng monoton steigenden/fallenden Funktion ist wieder streng monoton steigend/fallend

Untersuchung von Funktionen auf Umkehrbarkeit

x x

y y

S.106/1 d)

f : x x−2 für x≥22−x für x2 D f=[−2 ;1,5]

f −1x=2− x

S.110/4

f : x 12 x−1

2x2 x∈]−∞ ;1 ]

12x2 x∈]1 ;∞ [

zu zeigen: limx1−0

f x= limx10

f x= f 1

limx1−0

12 x−12x2=2,5

limx10

12x2=2,5

f 1=2,5---> f ist stetig bei x = 1 und somit auf ℝ

f ' : x 2−x für x∈]−∞ ;1]0,5 für x∈]1 ;∞ [

---> f ist umkehrbar, da 2 – x > 0 für x∈D1 und 0,5 > 0 für x∈D2

1) x∈D1

2

y=12 x−12x2

x=12 y−12y2

y2−4 y2 x−2=0

y1/ 2=124±24−8x=2±6−2x

--> f −1: y=2− 6−2x , da y≤12) x∈D2

f −1: y=2 x−4

2.2.Die Ableitung der Umkehrfunktion a) Verkettete Funktionen: h(f(x))x f(x) h(f(x)) h x° f xb) speziell für f und f-1

x --- f ---> f(x) ---- f-1 ----> f-1(f(x)) = x x --- f-1 ---> f-1(x) ----- f----> f(f-1(x)) = x c) Ableitung von f-1(x):

Bsp: f : x12x−3

f −1: y=2 x6[ f −1]'=2

Das direkte differenzeiren von f ist allerdings nicht immer möglichd) Herleitung einer allgemeinen Formel:Betrachte die Funktion g : x f f −1x (1)

dann gilt: g x = x (2)Betreachte die erste Ableitung von g(1') g ' x= f ' f −1x⋅[ f −1x]'(2') g ' x=1(1') = (2') f ' f −1x⋅[ f −1x]'=1

[ f −1x]'=1f ' f −1x

e) Verfahren zur Bestimmung von [ f −1x]'Beispiel Allgemein

f : x x2 mit D=ℝ

1) f −1x= x 1) Umkehrfunktion

2) f ' x =2 x 2) Ableitung von f

3) f ' f −1x=2 x 3) f' und f-1 verketten

4) 12 x

=[ f −1x]' 4) Kehrbruch

Überprüfe, ob f auf der Definitionsmenge umkehrbar ist, und bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion1) f x=3−2 x−1¿

D=ℝohne {0}

f h

f ' x =2x2 0

f −1=23− x

[ f −1x]'=23− x2

2) f x=1− xx D=ℝohne {0}

f ' x=−1x2

f −1x=1x1

[ f −1x]'=−x12=1−x2−2x−1

Übungsaufgabe zu Rotationskörper1)

A2=1222⋅=

A1=12⋅22⋅2=2

f 3: y=−mc220=−2m2

m=22

f 3: y=−22

x22

A3=2⋅∫0

2

−22

c22dx=w⋅[−26

x32sqrt2⋅x]0

2

=2⋅−46

2−0=83

A1

A2=2⋅100%=63,7%

A3

A2=8

3⋅100%=84,9%

Dreieck : y=x2Halbkreis : y=2− x2

Parabel : y=−22

⋅x22

V 1=2c ⋅∫−2

0

x22dx=2⋅[x3

32 x22 x]

−2

0

=4⋅3 2

V 2=2⋅∫0

2

−22

⋅x222

dx=3215

2

V 1

V 2⋅100%=50%

V 3

V 2⋅100%=80%

F ' ' x =2 t 2−8t48 t 216

=0

Zähler anschauen:2t2−8=0t 2=4t 1=2t 2=−2

Da auch 2 untere Grenze ist --> Nullstelle bei x=2 WP(2|0)

F ' 2=−12

=m= f 2

t : y=−12

x−20=−12

1

2) f x=a⋅x2b⋅xca)

∫−2

2

f xdx=163

a4c=0

(1) 4a3c=0

b) m=73

(2) abc=73

c)(3) 2ab=0

4 0 3 0

1 1 1 73¿

2 1 0 0

III – 2 II I – 2 III0 -1 -2 -

143

0 -2 3 0

2 1 0 0

II – 2 I 0 0 1 4

3

0 -2 3 0

2 1 0 0

II – 3 I 0 0 1 4

3

0 1 0 2

1 0 0 -1

f x=−x22 x43

3. Die Exponetial und Logarithmusfunktion3.1. Die allgemeine ExponentialfunktionDie Potenzfunktion f : x xn mit n∈ℝRationale Funktionen f : x xn mit n∈ℕ¿

Definition:Es ist a∈ℝ

Die Funktion f : xax mit x∈ℝ heißt Esponentialfunktion zur Basis aZeichne die Graphen der Funktionen

Eigenschaften:1) f 0=12) Die x-Achse ist Asymptote für a≠1

3) Der fraph f : xax ist asy zu f : x1ax

4) für a < 1: smffür a > 1: sms

5) D=ℝW=ℝ

Die Exponentialfunktionen sind streng monoton für a∈ℝohne¿{1}--> Es existiert eine Umkehrfunktiony=a x

x=a y

log x=log ay

log y=loga y

log x= y⋅loga

y=log xlog a

y=loga x

3.2. Die allgemeine LogarithmusfunktionDef: Die zur allgemeinen Exponentioalfunktion f : xax mit D f=ℝW f=ℝ

, a∈ℝohne {1} gehörende Umkehrfunktion g : x loga x heißt allgemeine Logarithmusfunktion zur Basis a

Eigenschaften:1) f 1=02) a>1: sms

a<1: smf3) y-Achse ist Asymptote

a>1: limx00

f x=−∞

a<1: limx00

f x=∞

4) D=ℝ ;W=ℝ für a∈ℝohne {1}

5) f : x loga x ist symmetrisch zu f : x log1a

x bzgl. der x-AchseRechengesetze:

1) loga x=log xlog a

=lg xlg a

2) log uv=v⋅logu

3) log uv=logu−log v

4) log u⋅v=logulog vSpezialfälle

logbb=1logb1=0

logb xb=b⋅log x

log b=

log x

log b1b

Vereinfache

log53 x2=

23⋅log5 x

logbx3

z=logb x3 logb y−logb z

log33⋅x⋅ x3

27=−22,5 log3 x

3. Die Ableitung von a x

f ' x =limh0

f xh− f xh

f ' x =limh0

a xh−ax

h=lim

h0

ax⋅ah−1h

=ax limh0

ah−1h

=ax '

Gibt es eine Basis a, so dass K = 1 ist?!Denn dann wäre ax '=ax

limh0

ah−1h

=1

ah−1≈hah≈h1a≈ hh1

a≈h11h

h=10−1

a≈2,69h=10−2

a≈2,704814....genauer:

2,718281828=:ee heißt Eulersche Zahl (Leonhard Euler, 1707-1783)

e:=limh0

h11h

Eigenschaften: ex '=ex und ∫ex dx=exc3. Die natürliche Exponentialfunktion Def.: xex

Konstante K

Der Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen1)

exp1: xe−x2

exp2: x ex1

e−x2 =ex1

ln e−x2 =ln ex1

Def.: Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher LogarithmusSchreibweise: loge=lnEs gilt

ln e=1eln x=x

−x2

=x1

x=−23

y=3 e≈1,40

S −23

| 3 eanderer Weg

e−x2 =ex1

e−x2 ⋅e

x2=e

x1x2

1=e32x1

32x1=0

x=−23

2) Die Funktion f x=e−x2

h x=12ex1

e−x2 =

12⋅ex1

−x2

ln e=ln 12x1ln e

−x2

=ln 12x1

−x2

=ln 2−1x1

x=23

ln 2−23

y=3 e2S2

3ln 2−2

3|12

34eS.131/6 fx2 ex−ex=0ex x2−1=0x1=1x2=−1

Bestimme die Definitionsmenge sowie lage und Art der Extrema mit Hilfe der 2. Ableitung1)f x=e5x 2−x

x1=110

Minimum

2)f x=esin x

x=2maximum

3)f x=e1− x

Kein Extrema4)f x=ex

23x1

x=−32

Minimum

Die Integration der Exponentialfunktionddx

e f x= f ' x ⋅e f x --> ∫ f ' x⋅e f xdx=e f xc

Bsp:1)∫2ex3dx=2ex3xc

2)∫2x−1⋅e−x−x2dx=ex

2−xc3)

∫ x⋅ex2

dx=12ex

2

c

4)

∫e−4x2

⋅5 xdx=−58

e−4x2

c

5)∫ 2ex

2

dx=¿ noch nicht lösbar6)

∫0

2

−xex2

dx=−12

e412

7)

∫3ex−22⋅e−x2

dx=−34

e−4x4c

Die Darstellung als IntegralfunktionDa die Exponentioalfunktion keine Nullstelle besitzt ist sie nicht als Integralfunktion darstellbar.1)

f x=ex−1e=∫

−1

x

e t dt

2)

f x=e⋅ex−1−1=∫1

x

etdt

3)

f x=−12

e2−e2x=∫12 2

x

e2t dt

3.5. Die natürlich LogarithmusfunktionDef.: Die Funktion x ln x heißt natürliche LogarithmusfunktionFolgerung: Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

exp : x ex

Eigenschaften:1) ln 1=0 und ln e=1

2) limx00

ln x=−∞

3) limx∞

ln x=∞

4)Dln=ℝ

W ln=ℝ5) sms auf ℝ

Die Ableitung von x ln x

[ f −1x]'=1f ' f −1x

wobei:f −1x=ln xf x =ex

f ' x=ex

f ' f −1x= x

[ f −1x]'=1x

[ f −1x]'=1x

Bilde jeweils die erste Ableitung und Df

1)f x=ex⋅lnx−1

f ' x =ex⋅1x−1

ex⋅lnx−1

D=]1 ;∞ [2)

f x=esin x⋅12 x2 x

cos x⋅esin x⋅ln x1

3)f x=x x=eln xx=ex⋅ln x

f ' x =ln x1⋅ex⋅ln x4)f x= x⋅ln xf ' x = x2 ln x

2x Die Integration von natürlichen Logarithmusfunktionen

ln x '=1x --> ∫1

xdx=ln∣x∣c

ln x2=2 xx2 --> ∫ 2x

x2 =ln x2c

ln x7 '=1x7⋅7x6 --> ∫7x6

x7 dx=ln∣x7∣c

allgemein: ln f x '= f ' xf

x

∫ f ' xf

xdx=ln∣ f x∣c

Beispiele:1)

∫ 2x2x22x1

dx=lnx22x1c

2)

∫−1,5

0 2x3x23x2

=n.d. da D f=ℝ∖{−2 ;−1}

3)

∫−1

3−x3

x41dx=−1

4[ lnx41]−1

3=−14

ln5

4)

∫0

2−2sin xxcos x

dx=2 [ln xcos x ]0=2 ln−1

5)

∫ ax2bxcx

dx=∫ axbcxdx=∫ ax dx∫b dxc⋅inf c

cxdx=1

2ax2bcc⋅ln∣x∣

Integriere:

∫a

v 12 x− x2 dx=∫

a

b 1x 12− x dx=mx n

2− x=m⋅2−xn⋅xx⋅2−x

2m−mxnx=12m x−mn=1 --> −mn=0 --> m=n

2m=1 > m=n=12

∫a

b12xdx∫

a

b122− x

dx=[12

ln∣x∣−12

ln∣2− x∣]a

b

=12

ln∣2b−ab2a−ab ∣Welche Werte dürfen die Grenzen a und b annehmen?a ,b∈]−∞ ;0[oder ]0 ;2[ oder ] 2 ;∞[

a ,b∈ I 1 : J=12

ln b⋅2−aa⋅2−b

a ,b∈I 2: J=das selbe ebenso für a ,b∈ I 3

Bemerkung: Die natürlcihe Logarithmusfunktion lässt sich auch als Integralfunktion schreiben:

ln x=∫1

x 1tdt

Schreibe als Integralfunktion:f x=ln ln x−e

Ges.: ∫c

x

ht dt mit (1) f c=0

(2) h x= f ' x ln x−e=1ln x=1ee1e= xe22e=x

∫e22e

x 12 t ln t−e

dt

S.135/10

: xe−1x

: xe−1x2

limx∞

x=1= limx−∞

x

limx00

x=0

limx0−0

x=∞

Ist stetig fortsetzbar: x , x∈ℝ∖{0}

f: x ----> 0, x=0

S.135/12a)

f x=x⋅3−ln sinxx

−2

mit x∈]− ;[∖{0}

limx00

[ x⋅3−ln sinxx

−2]= limx00

x limx00

3− limx00

ln sinxx − lim

x002=−2

limx00

sinxx

=1

f x für x≠0f : x

−2 für x=0b)

f 0=limh0

f x0±h− f x0h

mit x0=0

S.136/19

f : x1x⋅ln x

a)Dmax=ℝ

∖{1}b)

f ' x =−1ln xx⋅ln x2

< 0 --> smf für alle x>1

c)

A=∫e

e2

f x dx=∫e

e2

1x ln x

dx=∫e

e21xln x

dx=[ ln∣ln x∣]ee2

=ln 2

137/26f x=x 2⋅ln x D=ℝ+

Nullstellen Ns 1|0f ' x=2 x⋅ln xx=x 2lnx1=0

2lnx=−1 x=e−12

VZW von f ' x von−|Minimume−1

2 |− 12e

f ' ' x =2 lnx3

f ' ' x =0 x=e−32 ; y=−3

2e3

limx∞

f x=∞

b)

1xx−1lnx0 für 0x1

lnx=∫1

x

1

tdt=

−∫x

1

1

tdt immer kleiner 0 ln x0

1x0x0−1=−1

x01− x0

AR=1x01−x0=Fläche des Rechtecks

−AR−∫

x

1

1

t dt

c)

1xx−1ln x0 | x2

x x−1 x2lnx0alles gegen0 lim form x0 x2 lnx=0

d)

g x= x3 ln xg ' x 3 x2 ln xx2

F X =∫1

x

t 2ln t dt

x2 ln x=13g ' x −x2

F x =∫1

x

t2 ln t dt=13∫1

x

g ' t −t 2dt

x0 1

AR