1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Analyse des Feedbacksystems...

1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Analyse des Feedbacksystems (Übertragungsfunktion)

PassivesNetzwerk

Feedback

Xs Xi Xi* Xo

osi XtXtX 2221

*1211 iso XtXtX

*ii XX

211211

Signalquelle am Eingang Ausgang

Testschaltungen für Feedbackanalyse

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

AAFFA OLOL

Ausgangswiderstand

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi* Xo=Io

osi ItVtX 2221

*1211 iso XtVtI

*ii XX

211211

Rout=Vs/Io

112112

Spannungsquelle am Ausgang

Strom wird gemessen

Ausgangswiderstand (t11)

PassivesNetzwerk

Feedback

112112

0011 *

Impedanz ohne Verstärkung

Rout=Vs/Io

Ausgangswiderstand (t12 t22)

PassivesNetzwerk

Feedback

112112

22120 /1

ttRROUT

Schleifenverstärkung mit kurzgeschlossenem Vs

1121120 /1

TRR SC

2212ttTSC

osi ItVtX 2221

*1211 iso XtVtI

Ausgangswiderstand

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi* Xo=Vo

osi VtItX 2221 ''

*1211 '' iso XtItV

*ii XX

211211

11211211 ''1

'/''1'

ttttROUT

Rout=Vs/Io

Stromquelle am Ausgang

Spannung wird gemessen

Ausgangswiderstand (t‘11)

PassivesNetzwerk

Feedback

Rout=Vs/Io

Impedanz ohne Verstärkung

11211211 ''1

'/''1'

ttttROUT

Ausgangswiderstand (t‘12 t‘22)

PassivesNetzwerk

Feedback

Rout=Vs/Io

*2212 ''

Schleifenverstärkung mit offenem Is

OCOUT T

'/''1 1121120 2212 '' ttTOC

11211211 ''1

'/''1'

ttttROUT

osi VtItX 2221 ''

*1211 '' iso XtItV

Ausgangswiderstand – die Formel

OCOUT T

'/''1 1121120

1121120 /1

TRR SC

SCOUT T

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi* Xi Xi*

Ausgangswiderstand

SCOUT T

R0 – Ausgangsimpedanz ohne Verstärkung

TOC TSC

Kurzschluss

offene Leitung

Schleifenverstärkungen

Ein Beispiel - Sourcefolger

Ausgangswiderstand

RsRg RsRg

Xi Xi*

Erste Aufgabe: Xs, Xi und Xo lokalisieren

Xi Xi*

XoXs Xi

Signalgain im Eingangsnetz

Rs* = Rd||RsRg

+gmUgs

Ugs*Xs

Xi Xi*

ggOL R

Direkte (aktive) Verstärkung

Xi Xi*

gsSmOL Rg

gmUgs*+ 0

Schleifenverstärkung

Xi Xi*

gsSm RgU

gmUgs*+

Dead System Gain (FF)

+gmUgs

Xi Xi*

XFFUIN

Xi Xi*

Verstärkung mit RK

smgOLOL

*0 || SdS RRRR

Widerstand ohne Verstärkung

Schleifenverstärkung mit offenem Ausgang

RdUgs*

smOL RgT *

RdUgs*

SCOUT T

SOUT gRgRR

Schleifenverstärkung mit kurzgeschlossenem Ausgang

Sourcefolger – wichtige Parameter

ROUT = 1/gm UOUT/UIN = 1 RIN = ∞

- UOUT = UIN

Nichtinvertierender Verstärker

- AUIN

XoXs Xi

Nichtinvertierender Verstärker (Verstärkung)

- AUIN

RIN = ∞ROUT = 0

XoXs Xi

Signalgain im Eingangsnetz

Xi Xi*

11 OLA

- AUIN

RIN = ∞ROUT = 0

Direkte (aktive) Verstärkung

Xi Xi*

- AXi*+

AAOL 2

Schleifenverstärkung

Xi Xi*

- AXi*+

Dead System Gain (FF)

- AUIN

Xi Xi*

Verstärkung mit RK

XA OLOL

Nichtinvertierender Verstärker (Ausgangswiderstand)

- AUIN

RIN = ∞

- AUIN

Widerstand ohne Verstärkung

OUTRRRR ||)( 210

Schleifenverstärkung beim offenen Ausgang

Xi Xi*

- AXi*+

Xi*ROUT

OUTOC RRR

Schleifenverstärkung beim kurzgeschlossenen Ausgang

Xi Xi*

- AXi*+

Xi*ROUT

SCOUTF T

OUTOUT

OUTOUTF

- AXi*+

Xi*ROUT

Ausgangswiderstand mit Rückkopplung

Aufgabe Rin=?

Cg Cg Cg

Transistor CS Amplifier SF Amplifier

Z=? Z=?

SCOUTF T

Kleinsignalmodell

),( ddINOUT Vvfv

OUT dVV

OUTvINv

DDS dv

DSdsGSmDS dvrdvgdi

AC Analyse

Sprungantwort

)(th )(* tU out

Sprungantwort

)()(')(0

i tthttftf

* )()(')()(')( dtufttuttftu it

outiout

)(tuout)(th )(* tu out

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

UA OLOL

Signalgain am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

DADA OL

tduCti

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

2 thDbAtuDaDa mmout

)()1...()()1...( 0*1

1 thDbAtuDaDa mmout

)(* tu out

0)()1...( *11 tuDaDa out

h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

2 thDbAtuDaDa mmout

)(~)( 0*2

2 thDbAtuDa mmout

)(~)( 2

* thDa

bAtu mm

* thDaDa

DbAtu out

011* 21)()( AeCeCthtu ttout

* 21)()( AeCeCthtu ttout

))(()( 0/

211 AeCthtu t

out 12211 /, aaa

h(t))(* tu out

)()1)(1(

* thDD

DbAtu out

Polynom in D

Charakteristische Gleichung

Partikulare Lösung

Wurzel sind Realzahlen

Aufgabe

tduCti

U0h(t)

UA OLOL

Signaldämpfung am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

DADA OL

DADA zOL

DTDT z

Annahme: System zweiter Ordnung

Testschaltungen für Feedbackanalyse

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

AAFFA OLOL

DADA OL

Lösung der DG zweiter Ordnung

ADA OL

2212112 41

ADA OL

00210 ,1

2211 /1,/1

)14sin()14cos()()( 21

* tQCtQCethtu tout

Übertragungsfunktion (Differentialgleichung)

Kanonische Form, Eigenfrequenz, Güte

Das charakteristische Polynom

Die Lösung

Stabilität

2212112 41

ttout eCeCtu 11

21* )(

0210 ,1

707,0Q

Für Q Faktor kleiner als 0,5 die Antwort des Verstärkest ist exponentiell und reell

Für Q Faktor kleiner als 0,707 die Antwort des Verstärkest hat keinen Überschwinger

Antwort mit RK ist schneller für Größere T

Bedingungen für die schnelle und genaue Verstärkung

707.0)1(

1212 5.0 T

2112 )(

Verstärker 2ter Ordnung mit RK

ω1ω2

λ1, λ2

T0 steigt

Es ist möglich nur mit Kondensatoren, Widerständen und Verstärkern eine spulenähnliche Schaltung zu bauen

DADA OL

ADA OL

F 01 T

11 TTOL

Verstärkung wird um Faktor 1+T schlechter

Zeitkonstante verbessert sich um 1+T

Produkt der Bandbreite und Verstärkung ist konstant

DADA OL

ADA OL

ω1ω2

λ1, λ2

Die Schnellste Zeitkonstante bleibt reell,

wird kleiner

T steigt

Wir können die schnellste zeitkonstante vernachlässigen aber…

Das System kann bei großer T instabil werden

Nullimpedanzen

Tiefpass 1. Ordnung (Beispiel)

12 tAu

Datu GC

uG = h(t)C1

tduCti

12 tAu

Datu GC

tduCti

AAuu GC

1)(2 Cu

uG = h(t)

1)(2 Cu A1

12 tAu

Datu GC

sas GC uu

*)(,01*:* 21 ssass Cu

uG = h(t)

tduCti

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

*/11 sa

12 tAu

Datu GC

sas GC uu

*)(,01*:* 21 ssass Cu

Req(s*) = 0

*/11 sa

uG = h(t)

tduCti

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

CsRsReq

Req(s*) = 0

CRs1*: 11 CRsCG

111 CRa

112 sA

sCRs GC uu

„Common-Source“ Verstärker

Eingang

Ausgang

gm UIN

Cg Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Source

Cd Rd||Rds

Eingang Ausgang

Cf Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Drain

Cd Summe aller Kapazitäten zwischen Drain und Masse

Eingang

Ausgang

Cd Rds

Eingang

Ausgang

Rg=10K

Cd=1p Rds

Cf, gm, Rd = ?

Response speed - Optimieren

Eingang

Ausgang

Cd Uout(t)

Iin(t)

)()()( tututudfg CCC

Eingang

Ausgang

1 tAuDaDa

Dbtu Gout

Eingang

Ausgang

)10()(

gdm RRgA

Eingang

Ausgang

1 tuDaDa

DbRgRtu Gdmgout

Eingang

Ausgang

0*)(,01*:* 1 ssbss outu

1 ssasa

sbRgRs dmgout Guu

Eingang

Ausgang

in1 vi fCs*

in1 vi mg

fmfm CgsCsg /*,*

mf gCb /1

0*)(,01*:* 1 ssbss outu

1 ssasa

sbRgRs dmgout Guu

0*)( soutu

Eingang

Ausgang

*)(,01**:* 12

2 ssasass outu

RgRs m

dmgout Guu

Eingang

RgRdCg

0)( sGin

G eqgg

*)(,01**:* 12

2 ssasass outu

RgRs m

dmgout Guu

0)( sGin

Cd)(sZeq

SCeqeq T

dfeq CsR

SCeqeq T

feq CsRsC

dmOC T

dfdeq RgCsR

dfdeq RgCsRsC

0*)(*1

sGCsR eqg

dfdeq RgCsR

0*)(*1

RgCsRsC

01)))1(()(()(2 gdmfgdfddfdgfgdg CRgCRCCRsCCCCCCRRs

1)))1(()(()(

gdmfgdfddfdgfgdg

CRgCRCCRsCCCCCCRRs

gsCRRgEingang

Ausgang

Rd||Rds

RgRs m

dmgout Guu

Verstärkung mit RK – die Formel

1)))1(()(()(

)()/1()(

gdmfgdfddfdgfgdg

mfgdmout CRgCRCCRsCCCCCCRRs

sgsCRRgs Giu

Verstärkung mit RK – die Formel

2112 )(

225.0)( fdgmdfdgfgdg CRRgCCCCCCRR

dfdgfgf Rg

CCCCCCC

Bedingung für schnelle Signalantwort ohne Überschwinger

1)))1(()(()(

gdmfgdfddfdgfgdg

CRgCRCCRsCCCCCCRRs

gsCRRg

C ff 100100

)1( 22

nsCRRg fgdm 200~1

nsns 5.0200200

nsgC mf 5.0/ mgs200

Millereffekt

testtest ICD

Uin Uout

testOL

SCintest I

LCMeter

(1+A)C

Millereffekt

C(1+A)

Schaltungen mit Kondensatoren

uGNur R

uG = uC2 + uC‘2

Abhängige Kondensatoren

Unabhängige Kondensatoren

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

GCCC uducuci 12121111

Matrix Form

Lineare Form

GCCC uducucDuC 121211111

GCCC uducucDuC 222212122

Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

uGNur R

tduCti

GCCC uducuci 22221212 +

Ersetzen wir i durch CDu

121112

GC DUUC

GC DUCU 1

Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix

Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf

inverse Matrix

GC uDaDa

121112

GC uDaDa

Matrixform

ausgeschrieben

Determinante Polynom 1. Ordnung!!!

Polynom 2. Ordnung!!!

GC uDaDa

1 thDaDa

DbAtuC

)()1()()1( 112

2 thDbAtuDaDa C

)(th )(tuC

))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC

uG durch h(t) ersetzen

Ableitung von h(t) ist δ(t)

Differentialgleichung als Übertragungsfunktion

Differentialgleichung in üblicher Schreibweise

)()()( tututu CPCHC

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuCP

)(th )(tuC

)(tuCP

)(tuCP)(tuCH

Die Lösung der DG hat die folgende Form:

Nur die partikulare Lösung ist interessant

))()()(()( 12 Attatath

))0()0(()( 112 baat

0)0()( 1 at

)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuC

)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Setzen wir uc in die DG ein

Ableitungen von h(t)φ(t):

DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein

Aecect to

2 aa 0)(

12111 cCc

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)

Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)

Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung

Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…

Aecect to

to 21 /

Aececthtu to

toC 21 /

Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0

Lösung

1 thDaDa

DbAtuC

Gleichung (1) Seite 32:

Hat die Lösung:

21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:

Zeitkonstanten

DbDbiu

nnRCRCa 010

11 ...

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden

Zeitkonstanten – die Formel für a2

DaDaDa

DbDbiu

nnn RRCCRRCCa 11

212 ...

Zur Messung von RN1

12 tAu

Dbtu GC

Aececthtu to

toC 21 /

12 )()(

)()( thtuG

Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren

DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31

Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion

Die Lösung hat die Form (Seite 38)

Tiefpass 2. Ordnung

12 tAu

Dbtu GC

Finden wir A (DC Verstärkung)

Es fließen keine Ströme

durch C

VuC 1)(2 weil

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

11 RCRCa 11

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a1

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

2111 RCRCa 212

Messung von R02

Formel

Ergebnis

)( 212111 RRCRCa

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

212 RRCCa 11

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

1212 RRCCa 22

Messung von R12

Formel

Ergebnis

21212 RRCCa

Tiefpass 2. Ordnung

GC uDD

)1)(1(

121221 , aa

1121 a 122 / aa

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

GC AuDaDa

Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)

Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)

Tiefpass 2. Ordnung

1)()( 21 /2

oC ececthtu

11 a 212 / aa

Bis jetzt hatten wir

Co1 und Co2 = ?

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

Tiefpass 2. Ordnung

tduCti

0)0(2 Cu

1)()( 21 /2

oC ececthtu

10 21 oo cc

Erste Anfangsbedingung:

Tiefpass 2. Ordnung

2211 //0 oo cc

tduCti

)0( 22

2 CC i

1)()( 21 /2

oC ececthtu

Zweite Anfangsbedingung:

Tiefpass 2. Ordnung

So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten

So verhält sich unsere Schaltung

Beispiel (2)

U0h(t)

Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!

Beispiel (2)

U0h(t)

Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)

Beispiel (2)

GC uDaDa

1 CRCRa

2211211 )||()||( CRRCRRa

))(()( 2/

121 CoeCothtu at

Die Differentialgleichung hat die Form

Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):

U0h(t)Rx

wir benutzten Rx = 0!

2 CCRRa

Lösung der Gleichung (1)

1 CRCRa

Finden wir Co1 und Co2…

Anfangsbedingung (1)

U0h(t)

t = 0+

22 /1/1

/1)0( U

Großer Strom

Endzustand

U0h(t)

t = ∞

22 )0( U

))||)(/(( 2121 RRCCte

1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Analyse des Feedbacksystems...

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