Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 25.10 · Ms ssAs + = ++++B c) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich der Parameter A und B, für den die Übertragungsfunktion

TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 1 ___________________________________________________________________________

Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 25.10.2006 Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den MATLAB-Übungen: O ja O nein ___________________________________________________________________________

1 2 3

erreichbare Punkte 4 4 5 4 erreichte Punkte

4

TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße r, der Störgröße d und der Ausgangsgröße y:

1( )G sr y

2 ( )G s 3 ( )G s

d

4 ( )G s

a) Ermitteln Sie die Stör-Übertragungsfunktion:

0 0

( )( )( )

y sM sd s x =

=

als Funktion der Übertragungsfunktionen G s ,G , G und G . 1( ) 2( )s 3( )s 4 ( )s

b) Für die Übertragungsfunktionen , , und G soll nun gelten: 1( )G s 2( )G s 3( )G s 4 ( )s

1( )A s BG s

s+= 2

1( )2

sG ss+=+

31( )

4G s

s=

+ 4

1( )1

G ss

=+

A und B sind hierbei reelle Parameter. Zeigen Sie, dass für die Stör-Übertragungsfunktion gilt:

( )( )3 2

1( )

6 8s s

M ss s A s

+=

+ + + + B

c) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich der Parameter A und B, für den die Übertragungsfunktion ( )M s die BIBO-Eigenschaft besitzt. Zeichnen Sie in der A-B-Ebene denjenigen Bereich ein, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft aufweist.


Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y :

r yR(s) P(s)e

Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet: ( )8 24( )

( 1)( 5) 3sP s

s s s-=

- + +

Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet: ( )R s K= (K reell) Zusätzlich liegt der Frequenzgang der Strecke (für 0 ) in maßstäblicher Darstellung (aber leider ohne Beschriftung) graphisch vor:

( )P jw w£ < •

Ermitteln Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums den größtmöglichen Wertebereich des Parameters K, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.

Hinweis: {1 ( )} ( 2 )2a r

arc L j n n πω∆ + = +

( )L s stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar.


)

Aufgabe 3: Gegeben sei die zeitdiskrete Übertragungsfunktion einer Regelstrecke mit der Eingangsfolge ( und der Ausgangsfolge

( )G z

iu ( )iy :

( )1 12 4

zG zz z

a=Ê ˆ Ê ˆ- -Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯

Hierbei ist ein von Null verschiedener reeller Parameter. a a) Geben Sie ein Zustandsraum-Modell 2.Ordnung der Form

1i d i d

Ti d i d i

u

y d+ i

u

= +

= +

x A x b

c x

in der Steuerbarkeits-Normalform (I.Standardform) an.

b) Für welche Werte des Parameters ist das Modell steuerbar bzw. beobachtbar? Geben

Sie mathematische Begründungen an! a

c) Setzen Sie a und entwerfen Sie einen Beobachter 1=

1ˆ ˆˆ ˆi d i d iu y+ = + +x A x b b i

i

so, dass die Eigenwerte der Dynamikmatrix des Schätzfehlers ˆi i= −e x x

bei 114

z = − und liegen. 2 0z =

TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 5 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 4:

Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße und der Ausgangsgröße :

ry

r yR(s) P(s)e

Für die Übertragungsfunktion der Strecke gilt: ( ) ( )( )2001

5 2 ( 20)s

P ss s

−= − ⋅

+ +

Als Regler soll ein Proportionalregler verwendet werden, d.h. für die Übertragungsfunktion des Reglers gilt: ( )R s K= . a) Dimensionieren Sie mit Hilfe des Frequenzkennlinenverfahrens den ausgewählten Regler

so, dass der offene Kreis eine Durchtrittsfrequenz von 20cω = besitzt. Die Sprungantwort des geschlossenen Kreises soll dabei eine Überschwingweite von aufweisen. 1.25PM =

Hinweis: Verwenden Sie dazu die asymptotischen Darstellungen von Betrags- und

Phasenkennlinie!!! b) Wie groß ist die nun auftretende bleibende Regelabweichung e∞ bei einer sprungförmigen

Erregung?

TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1 _________________________________________________________________________________________

Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 19.1.2007 NACHNAME: Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte aus Matlab-Übung: O Ja O Nein ___________________________________________________________________________

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4


)

Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße und der Ausgangsgröße :

ry

r yR(s) P(s)e

Die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion sei „vom einfachen Typ“, ihr Frequenzgang liegt in Form eines Bode-Diagramms graphisch vor:

( )P s(P jw

10-2

10-1

100

101

102

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

|P(jω

)| [d

B]

10-2

10-1

100

101

102

-180-155-135-110

-90-65-45-20

0

ω [rad/s]

arc(

P(jω

)) [°]

a) Die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises soll die Merkmale und

aufweisen. Hierfür stehen drei verschiedene Regler zur Auswahl: 1.25pM =

0e• =

a ) ( )R s K= ) b ( )R s K= s g ) ( ) KR ss

=

K ist hierbei ein reeller Parameter. Wählen Sie einen Regler (begründen Sie Ihre Wahl) und dimensionieren Sie diesen mit Hilfe des Frequenzkennlinienverfahrens.

b) Die Anstiegszeit der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises mit dem unter b)

dimensionierten Regler soll bei gleicher Überschwingweite und gleicher bleibender Regelabweichung halbiert werden. Wählen Sie in nachvollziehbarer Weise einen geeigneten Regler und dimensionieren Sie diesen näherungsweise.

Hilfestellung: : 2 3 4 5 6 8 10 m

max1arcsin1

mm

ϕ − ∆ = + : 19° 30° 37° 42° 46° 51° 55°

dBm : 6 9.5 12 14 15.5 18 20


)


ry

r yR(s) P(s)e

Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet: ( )(2( )2 3

sP ss s

-=+ +

.

Zusätzlich ist der Frequenzgang der Strecke für 0 mit einer qualitativen (nicht maßstäblichen) Skizze der Ortskurve gegeben:

( )P jw w£ < •

Re{P(jω)}

Im{P(jω)}

a) Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Ortskurve mit der reellen Achse. ( )P jw Als Regler wird nun ein Proportionalregler ( )R s K= eingesetzt ( ist ein reeller Parameter). K b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar (mit

Fallunterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung für jeden Fall) den größtmöglichen Wertebereich des Parameters , für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.

K

c) Als Führungsgröße wird nun die Sprungfunktion ( ) ( )r t tσ= gewählt. Bestimmen Sie den

größtmöglichen Wertebereich des Parameters , für den für die bleibende Regelabweichung gilt:

Klim ( )t

e e∞ →∞= t

12∞

e < .

Hinweis: { }arc 1 ( ) ( 2 ) / 2a rL j n nω π∆ + = +

( )L s stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar.

TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 _________________________________________________________________________________________ Aufgabe 3: Gegeben sei folgendes mathematische Modell einer Regelstrecke mit der Eingangsgröße u , dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße : y

[ ]

0 1 0:

2 1 1

1 0 : T

d u udt

y

= + = +

= =

x x Ax

x c x

b

a) Ermitteln Sie ein Regelgesetz der Form

[ ]1 2 Tu h h Vr V= − + = − +x h x rj

so, dass die Eigenwerte des geregelten Systems bei 1,2 1s = − ±

( ) 1y t

liegen und für einen

Einheitssprung r t gilt: ( ) ( )tσ= limt

y∞ →∞= = .

Da der Zustandsvektor x nicht messbar ist, wird für die praktische Realisierung obiger Regelung ein Schätzwert x herangezogen, d.h.: . ˆ ˆTu Vh x= - + rDafür soll ein Zustandsbeobachter der Form

ˆ ˆ ˆˆd u ydt

= + +x Ax b b

verwendet werden. b) Bestimmen Sie die Größe so, dass die Dynamikmatrix des Beobachterfehlers e x

Eigenwerte bei b̂ ˆ:= − x

1̂ 2s = − und besitzt. 2ˆ 3s = − c) Die obige Zusammenschaltung von Regelstrecke, Regler und Beobachter ergibt ein

Gesamtsystem der Form

T

d rdty

= +

=

z Az b

c z mit dem Zustandsvektor

ˆ

=

ez

x.

Bestimmen Sie zahlenmäßig die Systemgrößen A , b und Tc .

d) Ist die Matrix A regulär ? (Geben Sie eine mathematische Begründung an!)

Hinweis: Die Determinante einer Matrix entspricht dem Produkt ihrer Eigenwerte.

TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 5 _________________________________________________________________________________________ Aufgabe 4: Es werde ein lineares, zeitinvariantes System mit der Eingangsgröße und dem Zustandsvektor x betrachtet. Unter Zugrundelegung einer Diskretisierungszeit T und unter der Voraussetzung, dass die Eingangsgröße stückweise konstant ist, d.h.

ud

( ) ( ) :du t u iT u= = i für ( )1diT t i T≤ < + d mit i 0,1,2,= K erhält man folgendes zeitdiskrete mathematische Modell (mit ( ):i diT=x x ):

( ) ( )( ) ( )

( )( )1

cos 2 sin 2 1 cos 2sin 2 cos 2 sin 2

d d di i

d d d

T T Tu

T T T+−

= + − x x i

.

Es wird nun 4d

T π= gewählt.

a) Bestimmen Sie eine Steuerfolge ( )iu so, dass der Anfangszustand ( ) [ ]0 0 1 1

T= =x x in zwei „Schritten“ in den Zustand =x übergeführt werden kann. 0

Hinweis: Denken Sie an die besonderen Eigenschaften eines sogenannten „dead beat“-

Reglers. b) Ermitteln Sie die Menge der Anfangszustände , die durch die Steuerfolge

in den Zustand 0x

( ) ( )max max, ,0,0,0,0,0,iu u u= − K =x 0 gebracht werden können (u ist hierbei ein reeller Parameter).

max


Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 9.3.2007 NACHNAME: Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte aus Matlab-Übung: O Ja O Nein ___________________________________________________________________________

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4


)


ry

r yR(s) P(s)e

Die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion sei „vom einfachen Typ“, ihr Frequenzgang liegt in Form eines Bode-Diagramms graphisch vor:

( )P s(P jw

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

|P(jω

)| [d

B]

10-1

100

101

102

103

-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10

0

ω [rad/s]

arc(

P(jω

)) [°]

a) Zunächst soll ein integrierender Regler ( ) KR ss

=

r

(mit dem reellen Parameter ) so

entworfen werden, dass die Anstiegszeit t der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises

K

[ ] s0.15 beträgt. Wie groß ist die zu erwartende Überschwingweite ? ü b) Ermitteln Sie für den unter a) dimensionierten Regler und der Führungsgröße

den Regelfehler e t im eingeschwungenen Zustand. (( ) 2 3sin 100r t t= + ) ( )

c) Als Regler wird nun 1 /( )1 /

Z

N

K sR ss s

ωω

+= ⋅

+ mit N Zmω ω=

angesetzt ( ,K Zω und Nω sind hierbei reelle Parameter). Dimensionieren Sie mit Hilfe der folgenden Tabelle (näherungsweise) die Parameter Zω , Nω und so, dass gegenüber a) bei gleicher Anstiegszeit t die Überschwingweite ü auf ein Drittel reduziert wird.

K

r

: 2 3 4 5 6 8 10 m

max1arcsin1

mm

ϕ − ∆ = + : 19° 30° 37° 42° 46° 51° 55°

dBm : 6 9.5 12 14 15.5 18 20

TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 _________________________________________________________________________________________ Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y:

r yG2(s)G1(s)

G3(s)

u

a) Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion T s als Funktion von , und . ( ) 1G 2G 3G Für die Übertragungsfunktionen gilt nun (mit dem reellen Parameter α ):

( )( )12( )

2G s

s s a=

+ +, 2

5( )1

G ss

=-

, . 3 ( ) 2G s =

Somit ergibt sich für die Führungsübertragungsfunktion:

( ) ( )3 210( )

1 2T s

s s sa a a=

+ + + - -18.

b) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich des Parameters α , für den obiger

Regelkreis die BIBO-Eigenschaft aufweist. c) Als Führungsgröße wird nun die Sprungfunktion ( ) ( )r t tσ= gewählt.

i) Für welche Werte von α erhält man lim ( ) 1t

y y t∞ →∞= = ?

ii) Für welche Werte von α erhält man lim ( ) 1

tu u t∞ →∞= = ?

Hinweis: Für verschwindende Anfangswerte gilt ( )2( )( ) y su s

G s= .

TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 _________________________________________________________________________________________ Aufgabe 3: Gegeben sei die zeitdiskrete Übertragungsfunktion ( )P z einer Regelstrecke mit der Eingangsfolge ( und der Ausgangsfolge )iu ( )iy :

( ) 3 22 1

2.8 0.95 3.2zP z

z z z−

=− − −

a) Geben Sie das zugehörige mathematische Modell der Form

1i d i du+ = +x A x b i iu, T

i d i dy d= +c xin der sogenannten Steuerbarkeits-Normalform an.

Zur Regelung des Systems aus Punkt a) wird nun ein Zustandsregler der Form

[ ]1 2 3 Ti i iu h h h Vr= − + = − +x h xi iVr eingesetzt. b) Ermitteln Sie h und V so, dass die zugehörige Führungsübertragungsfunktion T

( ) ( )( )0

2

61.3 0.4

y zT z

r z z z=

= =− +

x 0

lautet. c) Ist das geregelte System beobachtbar ? (Geben Sie eine mathematische Begründung an!) Da der Zustandsvektor nicht messbar ist, müsste für die praktische Realisierung obiger Regelung ein Schätzwert x herangezogen werden , d.h.: .

ixˆ i ˆ

Ti iu Vh x= - + ir

i

i

d) Kann dafür prinzipiell ein Zustandsbeobachter der Form

1ˆ ˆˆ ˆi d i d i du y+ = + +x A x b b

so entworfen werden, dass die Dynamikmatrix des Beobachterfehlers beliebig vorgebbare Eigenwerte annehmen kann ? (Geben Sie eine mathematische Begründung an!)

ˆ:i ie x x= -

TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 5 _________________________________________________________________________________________ Aufgabe 4: Gegeben sei folgendes mathematische Modell einer Regelstrecke mit der Eingangsgröße u , dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße : y

[ ]

0 2 11 1 2

1 1

d udt

y

= +

=

x x

x

Zur Regelung dieser Strecke wurde ein Regelgesetz der Form

[ ]1 2 ˆ ˆTu h h Vr V= − + = − +x h x r entworfen. Der Vektor ist hierbei eine Schätzung des Zustandsvektors , der mit einem Zustandsbeobachter der Form

x̂ x

ˆ ˆ ˆˆd u y

dt= + +

x Ax b b

ermittelt wird. a) Bestimmen Sie die Größe so, dass die Dynamikmatrix des Beobachterfehlers e x

Eigenwerte bei b̂ ˆ:= − x

1̂ 3s = − und besitzt. 2ˆ 4= −s Die Zusammenschaltung von Regelstrecke, Zustandsregler und Zustandsbeobachter ergibt ein Gesamtsystem der Form

T

d rdty

= +

=

z Az b

c z mit

ˆ

=

xz

x und

. 2 . 1

. 1 . 2

. 1 4 0

. 7 12 8

− − = − − −

A ,

.4..

=

b ,

wobei durch eine fehlerhafte Übertragung leider einige Elemente verloren gingen. b) Bestimmen Sie die fehlenden Elemente von A und b sowie zahlenmäßig die

Systemgröße Tc . c) Berechnen Sie alle Lösungen der charakteristischen Gleichung ( ) 0s − =E Adet .


Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 29.06.2007 Name / Vorname(n): Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den MATLAB-Übungen: O ja O nein ___________________________________________________________________________

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4

TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 2 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y :

r yR(s) P(s)e

Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet: 2

3

5 4( ) s sP ss

+ +=

Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet: ( )R s K= (K reell)

a) Skizzieren Sie die Ortskurve der Strecke und bestimmen Sie alle Schnittpunkte mit der reellen Achse.

( )P jw

b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums den größtmöglichen Wertebereich des

Parameters K, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt. Ermitteln Sie dazu nachvollziehbar für alle möglichen Fälle die stetige Winkeländerung!

Hinweis: {1 ( )} ( 2 )2a r

arc L j n n πω∆ + = +

( )L s stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen Kreises dar. Aufgabe 2: Gegeben sei das mathematische Modell einer Regelstrecke mit der Eingangsgröße u und der Messgröße : y

[ ]1 3 2 2 03 1 1

d u ydt

− = + =

x x x

a) Zur Regelung stehen zwei Zustandsregler zur Verfügung:

(i) [ ]1 1 T= − − − +xu V (ii) r [ ]5 5 T= − − − +xu V r

Wählen Sie einen Regler (begründen sie Ihre Wahl!) und bestimmen Sie den Vorfaktor V so, dass die Bedingung für lim ( ) 1

ty y t∞ →∞= = ( ) ( )r t tσ= erfüllt ist.

b) Da der Zustandsvektor x nicht messbar ist, wird für die praktische Realisierung obiger

Regelung ein Schätzwert herangezogen, d.h. u . Dafür soll ein Zustandsbeobachter der Form:

x̂ ˆT= − +h x V r

ˆ ˆ ˆˆd u y

dt= + +

x b bAx

verwendet werden. Berechnen Sie die Größe so, dass die Eigenwerte der Matrix bei liegen.

b̂ Â1 2 5s s= = −

TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 3: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der Führungsgröße und der Ausgangsgröße :

ry

r yR(s) P(s)e

Für die Übertragungsfunktion der Strecke gilt: ( ) ( )( )( )100 0.1

1 100s

P ss s s

+=

+ +

a) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm des offenen Kreises, wenn als Regler ( ) 1R s =

gewählt wird. Bestimmen Sie die Durchtrittsfrequenz cω . b) Es soll nun eine Übertragungsfunktion R(s) des Reglers so ermittelt werden, dass die

Sprungantwort des Regelkreises näherungsweise eine Anstiegszeit von besitzt und die bleibende Regelabweichung

0.015rt s=( )lim

te e∞ →∞= t verschwindet, d.h. gilt. 0∞ =e

Zur Lösung dieser Aufgabe haben Sie die Auswahl zwischen zwei Reglern (K und 1ω sind reelle Parameter): (i) ( )R s K=

(ii) ( ) 1(1 / )sR s Ksω+

=

Wählen Sie einen Regler aus und begründen sie Ihre Wahl. c) Dimensionieren Sie die in Punkt b) ausgewählten Regler mit Hilfe des Frequenz-

kennlinenverfahrens so, dass obige Anforderungen erfüllt werden. Wie groß ist die zu erwartende Überschwingweite pM ?

d) Entwerfen Sie nun einen Regler, der bei gleicher Anstiegszeit t zu einem prozentualen

Überschwingen von ü führt. Geben Sie die komplette Reglerübertragungsfunktion an!

r

6%=

m : 2 3 4 5 6

max1arcsin1

mm

ϕ − ∆ = + : 19° 30° 37° 42° 46°

dBm : 6 9.5 12 14 15.5

TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 4 ___________________________________________________________________________ Aufgabe 4: Gegeben sei das mathematische Modell einer Regelstrecke mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße (y α , β und γ reell):

[ ]

2 10 1

1

d udt

y

αβ

γ

− = +

=

x x

x

a) Geben Sie Bedingungen für α , β und γ an, damit das System steuerbar bzw.

beobachtbar ist. b) Für die Parameter α , β und γ gilt nun: 2α = , 1β = , 0γ =

Entwerfen Sie einen Zustandsregler mit Integrierer der Form: u hT Iε= − −h x

r yu

Strecke

hI

hT

−ε∫

T

d udty

= +

=

x Ax b

c x

x

so, dass die Eigenwerte des geregelten Systems mit dem Zustandsvektor [ ]Tε=z x bei

und 1 2 1s s= = − 3 2s = − liegen.

rt071.pdfGegeben sei das Blockschaltbild eines RegelkreiseGegeben sei das Blockschaltbild eines RegelkreiseBestimmen Sie zahlenmäßig die Systemgrößen �,

rt072.pdfGegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreise

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