1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Ausgangswiderstand R0 – Ausgangsimpedanz ohne...

1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Ausgangswiderstand

OC

SCOUT T

TRR

1

10

R0 – Ausgangsimpedanz ohne Verstärkung

TOC TSC

Kurzschluss

Kurzschluss

R=?

offene Leitung

Schleifenverstärkungen

2 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Testschaltungen für Feedbackanalyse

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

RK FF

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

T

AAFFA OLOL

F

1

21

3 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Übersicht

DC AC

Ohne RK

RK

inout VRR

RV

21

1

outVinV

1R

2R

)(1

)1()(

12

2

1 tAuDaDa

Dbtu Gout

)()( ssCUsI

Ω=0

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

2112 )(

5.0zT

T

111

1

1)(

0

0212

0

21

*

0

0

D

T

TD

T

D

T

ADA

z

zOLF

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1

)1()(

212

21

0

DD

DTDT z

4 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel

-Agm

gm

C

C

Uout

5 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

„Common-Source“ Verstärker

Eingang

Ausgang

Rg

Rdrf, gf

6 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Verstärker

„Common Source“ Kaskade CS mit Sourcefolger Kaskode

outmRg

2211 outmoutm RgRg 11 outm Rg

outm Rg 1 foutmg CRgR

2221111 foutmoutfoutmg CRgRCRgR

foutmg CRgR 11

outoutCR

fC

outR

gR

outC

1outR 2outR 1outR

2outR

outR

V

τ

7 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Verstärker

„Common Source“ Kaskade CS mit Sourcefolger Kaskode

outmRg 2211 outmoutm RgRg 11 outm Rg outm Rg 1

foutmg CRgR 2221111 foutmoutfoutmg CRgRCRgR foutmg CRgR 11 outoutCR

fC

outR

gR

outC

1outR 2outR 1outR

2outR

outR

V

τ

8 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uGNur R

9 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uG

+

+

C2

C‘2

uG

+

uG = uC2 + uC‘2

Abhängige Kondensatoren

Unabhängige Kondensatoren

10 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

Matrix Form

Lineare Form

11 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

12 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC2

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

13 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

14 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GCCC uducucDuC 121211111

GCCC uducucDuC 222212122

Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

uC1

uC2

uGNur R

dt

tduCti

)()(

+

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212 +

+

Ersetzen wir i durch CDu

15 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GC

C ud

d

u

u

cDCc

ccDC

2

1

2

1

22221

12111

)(

)(

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC DUUC

GC DUCU 1

2

22

dt

dD

dt

dD

t

dD0

1

10

1

t

ddt

dDD

10

1 t

dd

dDD

Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix

Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf

inverse Matrix

16 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

11

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC uDaDa

DbAu

1

1''

12

2

12

Matrixform

ausgeschrieben

Determinante Polynom 1. Ordnung!!!

Polynom 2. Ordnung!!!

17 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

1

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

)()1()()1( 112

2 thDbAtuDaDa C

)(th )(tuC

))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC

h(t)

δ(t)

)(t

uG durch h(t) ersetzen

Ableitung von h(t) ist δ(t)

Differentialgleichung als Übertragungsfunktion

Differentialgleichung in üblicher Schreibweise

(1)

18 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

)()()( tututu CPCHC

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuCP

)(th )(tuC

)(tuCP

)(t

)(th

)(tuCP)(tuCH

0

Die Lösung der DG hat die folgende Form:

Nur die partikulare Lösung ist interessant

19 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

))()()(()( 12 Attatath

))0()0(()( 112 baat

0)0()( 1 at

)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuC

)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Setzen wir uc in die DG ein

Ableitungen von h(t)φ(t):

(1)

DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein

(2)

(3)

(4)

20 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

Aecect to

to 21

21)(

0112

2 aa 0)(

)(

22221

12111 cCc

ccC

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)

Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)

Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung

Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)

21 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC2

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

22 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

uC1+

+

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…

23 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

Aecect to

to 21

21)(

Aecect to

to 21 /

2/

1)(

0112

2 aa

Aececthtu to

toC 21 /

2/

1)()(

Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0

Lösung

wird

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

Gleichung (1) Seite 32:

Hat die Lösung:

21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:

0112

2 aa

24 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDa

DbDbiu

1...

1...,

1

1

nnRCRCa 01

011 ...

CN

Ω

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden

25 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

11

0212 ...

CN

Ω

Zur Messung von R1N

26 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung (Beispiel)

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

Aececthtu to

toC 21 /

2/

12 )()(

)()( thtuG

Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren

DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31

Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion

Die Lösung hat die Form (Seite 38)

27 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

1A

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

1V

Finden wir A (DC Verstärkung)

Es fließen keine Ströme

durch C

VuC 1)(2 weil

28 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

210

11 RCRCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a1

29 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

2111 RCRCa 212

0 RRR

Messung von R02

Formel

Ergebnis

)( 212111 RRCRCa

Finden wir Konstante a1

30 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

10

212 RRCCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a2

31 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

1212 RRCCa 22

1 RR

Messung von R12

Formel

Ergebnis

21212 RRCCa

Finden wir Konstante a2

32 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC uDD

DbAu

)1)(1(

)1(

21

12

121221 , aa

1121 a 122 / aa

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

1A

(1)

(2)

Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)

Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)

33 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

11 a 212 / aa

Bis jetzt hatten wir

Co1 und Co2 = ?

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

34 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

dt

tduCti

)()(

+

0)0(2 Cu

0i0u

0t

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

10 21 oo cc

Erste Anfangsbedingung:

35 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

C1

R1

C2

R2

uC

t

2211 //0 oo cc

dt

tduCti

)()(

+

0)0(1

)0( 22

2 CC i

Cu

+

uG

0t

0i

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

Zweite Anfangsbedingung:

36 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

0t

So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten

So verhält sich unsere Schaltung

37 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!

38 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)

Rx

39 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel (2)

GC uDaDa

Dbu

1

1

12

2

12

220

110

1 CRCRa

2211211 )||()||( CRRCRRa

))(()( 2/

121 CoeCothtu at

C

Die Differentialgleichung hat die Form

Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):

R1

R2

C1

C2

U0h(t)Rx

wir benutzten Rx = 0!

02121

10

2 CCRRa

(1)

Lösung der Gleichung (1)

220

110

1 CRCRa

Finden wir Co1 und Co2…

40 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel (2)

GC uDaDa

Dbu

1

1

12

2

12

220

110

1 CRCRa

2211211 )||()||( CRRCRRa

))(()( 2/

121 CoeCothtu at

C

Die Differentialgleichung hat die Form

Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):

R1

R2

C1

C2

U0h(t)Rx

wir benutzten Rx = 0!

02121

10

2 CCRRa

(1)

Lösung der Gleichung (1)

220

110

1 CRCRa

Finden wir Co1 und Co2…

11 / RUsUC

111 0)1( UsCR

GC uDCC

RRRR

DCR

RR

Ru

1)(

1

2121

21

11

21

22

41 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Anfangsbedingung (1)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

t = 0+

∞

∞

021

10

12

22 /1/1

/1)0( U

CC

CU

DCDC

DCuC

Großer Strom

42 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Endzustand

R1

R2

U0h(t)

t = ∞

021

22 )0( U

RR

RuC

uC

t

021

2 URR

R

021

1 UCC

C

))||)(/(( 2121 RRCCte

43 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Transistorschaltplan

UIN

UOUT

Rg

Rd

Cd

Cf

Cg

Rf

Feedback

Verstärker

Sensor- Kleinsignalmodell

44 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Analyse eines Systems mit RK

+

gm UIN

Cf

Cd Rd

Rg -

Eingang

Cg

UIN

Rf

Ausgang

U*IN

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi*Xs

45 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Der Schnittpunkt

UIN

UOUT

Rg

Rd

Cd

Cf

Cg

Rf

Der Schnittpunkt befindet sich nach der Gatekapazität!Es wird nur schwer mit SPICE simuliert.

46 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schleifenverstärkung

+

gm U*IN

Cf

Cd Rd

Rg -Cg

UIN

Rf

U*IN

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi*

47 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schleifenverstärkung – Zeitkonstante a1

+

gm U*IN

Cf

Cd Rd

Rg -Cg

UIN

Rf

IN

IN

U

UT

*

1

1

12

2

10

DaDa

DbTT

ffddgg RCRCRCa 0001

)(||0dfgg RRRR

)(||0gfdd RRRR

)(||0gdff RRRR

ggfd

dm R

RRR

RgT

0

Die Schleifenverstärkung für niedrige Frequenzen,Leicht herzuleiten nur Strom/Spannungsteiler

Minus Vorzeichen nicht vergessen, T0 muss positiv sein

Methode der Zeitkonstanten

48 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

11

0212 ...

CN

Ω

Zur Messung von RN1

49 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schleifenverstärkung – Zeitkonstante a2

+

gm U*IN

Cf

Cd Rd

Rg -Cg

UIN

Rf

fd

dfdfg

gfgdg

gdg RRCCRRCCRRCCa 0002 )(||0

dfgg RRRR

)(||0gfdd RRRR

)(||0gdff RRRR

fddg RRR ||

dffg RRR ||

gffd RRR ||

50 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schleifenverstärkung – die endgültige Formel

+

gm U*IN

Cf

Cd Rd

Rg -Cg

UIN

Rf

U(t)

1

1

12

2

10

DaDa

DbTT ffddgdf CRCRCRRa )(1

)(2 fdfgdgdf CCCCCCRRa

?1 b

51 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstelle

+

gm U*IN

Cf

Cd Rd

Rg -Cg

UIN

Rf

uIN(t)=0

)()1()()1( *11

22 tuDbtuDaDa ININ

I(t)=0

Cf

Rf

I(t)=0

IR(t)≠0

IC(t)≠0)()( titi CR

)(1

)(*

tiCs

UtRiU CCRR

)(1

)(*

tiCs

tRi RR

0)()1( * tiRCs R

0)1( *1 sb

1bRC

Dan gilt es auch

Daher, es muss sein:

1* /1 bs )(0)( * tugtu INmIN

*sD

0)1( * RCs

undUIN(t)=0 UOUT(t)=0

tsIN aetu

*

)(*

52 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Leerlaufverstärkung für niedrige Frequenzen

+

gm U*IN

Rd

Rg -

UIN

Rf

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi*

PassivesNetzwerk

PassivesNetzwerk

Feedback

Xi Xi*Xs

Xs

Signaldämpfung

Verstärkung

gm U*IN

Rd

Rg

U*IN

)(||)||( gfdmfgDCOL RRRgRRA

Rf

fDCOL

DCF RT

AA

01Leerlaufverstärkung

Verstärkung mit RK (für niedrige Frequenzen)

53 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Verstärkung mit RK – die Formel

111

1

1)(

0

0212

0

210

D

T

TD

TT

ADA

z

OLF

11

)()(

1

)(1

)(2

DRg

CRRgRCRRCRD

Rg

CCCCCCRRRDA

dm

ffdmfgdfdd

dm

dfdgfgdffF

2112 )(

5.0zT

T

225.0)( ffdmdfdgfgdf CRRgCCCCCCRR

fm

dfdgfgf Rg

CCCCCCC

5.02

Die Formel von Folie 20

Wir setzen die Zeitkonstanten ein:

Die Bedingung für die schnelle und genaue Signalantwort (ohne Überschwinger)

Der Feedbackkondensator stabilisiert die Schaltung

Gm soll groß sein So größer Rf ist desto stabiler Antwort Solche Methode für Stabilisierung nennt

man Pole Splitting

54 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Ein Test für Stabilität (Nyquist)

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

)(

)()(

DQ

DPDAOL

)(

)()(

DM

DLDT

)(1 zT

)()(

1

1

)(

)()(

zMzLzQ

zPzAF

Verstärkung mit RK

Die Voraussetzung: Q(z) und M(z) haben keine Wurzel mit dem positiven Reallteil

Stabilitätsbedingung: Die Funktion im Nenner darf keine Wurzel in der positiven komplexen Halbebene haben

)(

)()(

zM

zLzT

55 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Die komplexe Analyse

)(zf

az

afzfaf

az

)()(lim)('

a

z

)sin(cos yiyeee xiyxz

0)( dzzf

dzaz

zf

iaf

)(

2

1)(

dz

az

zf

i

naf

nn

1)(

)(

)(

2

!)(

,0)(),()()( agzgazzf n

,0)(,)(

)()( ah

az

zhzf

p

iezz izzLog )log()(

Eine Komplexe Funktion der komplexen Variable z

Ableitung wird definiert

Die Funktion ist Analytisch wenn die Ableitung immer gleich bleibt, egal von welcher Richtung sich z zum a nähert

Im

Re

Einige Wichtige analytische Funktionen

Cauchy‘sche Integralformel Definition, Nullstelle n-ter Ordnung

Definition, Polstelle p-ter Ordnung

Ableitung ist stetig

56 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

)sin(cos yiyeee xiyxz

dzaz

zf

iaf

)(

2

1)(

,0)(),()()( agzgazzf n

,0)(,)(

)()( ah

az

zhzf

p

PNdzzf

zf

i )(

)(

2

1 '

iezz izzLog )log()(

PNdzzfLogdz

d

i))((

2

1

PN

2

z1 f(z1)

z2

f(z2)z3

f(z3)

Cauchy

Einige Definitionen

Nullstelle

PolstelleEs folgt:

Anzahl von Nullstellen – Anzahl von Polstellen der Funktion f(z) innerhalb Kontur Γ

Anzahl von Umdrehungen des Phasenvektors um 0 ist N-Z

Das Integral ist die Phasenänderung der Funktion f(z) während der Integration auf Kontur Γ

57 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

)(

)()(

)(

)(1)(1

zM

zLzM

zM

zLzT

0

z1

1+T(z1)

z2

1+T(z2)

z3

1+T(z3)

Die Phasenänderung der 1+T(z) für z auf dem Kreis ist 0

58 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

z1

1+T(z1)

z2

1+T(z2)

z1

T(z1)

z2T(z2)

-1

1+T(z) T(z)

59 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nyquist‘scher Test

z1

T(z1)

z2T(z2)

-1

z1

T(z1)

z2

T(z2)

-1

Kreis um 0 mit R=1

Bei |T(iy0)|=1 darf die Phasenänderung T(iy0)-T(0) nicht weniger als -180 Grad sein

60 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zusammenfassung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

61 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zusammenfassung

1...

1)(

11

22

10

DaDaDa

DbTDT

nn

Ω

Ω

62 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zusammenfassung Nyquist Test

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1...

1)(

11

22

10

DaDaDa

DbTDT

nn

)(1 T

1...

1)(

12

2

10

aaa

bTT

nn

0)(1 T

Charakteristische Gleichung

63 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nyquist Test

)(T

64 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nyquist Test

)(log iT

log

log

0180090

0

1)( T

65 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Bode Plot

)(log iT

log

log

0180

0 11

1)(

210

pp

z

ii

iTiT

1p 2p z

1p

090

10/1p 101 p

-1 / Dekade

+1

-1

66 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Stabilität

2

1

T

Q

5,0Q

UQ

Q

14

22

2

707,0Q

707,0Q

111

1)(

01

2

021

0

DT

DT

T

ADA OL

F

102 2707.0 TQ

10

2

T

arctgM063M

67 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Kleinsignalmodell

UIN

IOUT+

UIN IOUT = gm UIN

+

gm UIN

Cgs

Cgd

Cds Rds

-

-

Transistor

DC Kleinsignalmodel

AC Kleinsignalmodel

Source

Gate

Drain

68 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

„Common-Source“ Verstärker

+

gm UIN

Cg Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Source

Cf

Cd Rd

Rg -

Eingang

Ausgang

Eingang Ausgang

Cg

Cf Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Drain

Cd Summe aller Kapazitäten zwischen Drain und Masse

Rg

Rd

69 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

DC

uC

t

+

gm UIN

Rd

Rg

indmout URgU

ggin RIU

-

Eingang Ausgang

ggdmout IRRgU

70 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC

+

gm UINCg

Cf

Cd Rd

Rg

GC iDaDa

DbAu

1

1

12

2

12

GC i

DaDaDaAu

1

?

12

23

32

-

uC

t

gdm RRgA

71 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDa

DbDbiu

1...

1...,

1

1

nnRCRCa 01

011 ...

CN

Ω

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist die Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden

72 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

ddffgg RCRCRCa 0001

+

gm UIN

Cf

Rd

Rg -

gg RR 0

Ω

Messung von R0g

Die Formel

Ergebnis

73 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

+

gm UIN

Cf

Rd

Rg -

Ω

ddffgg RCRCRCa 001

dd RR 0

Die Formel

Ergebnis

Messung von R0d

74 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

+

gm UIN

Rd

Rg -

Ω

ddffgg RCRCRCa 01

ddmgf RRgRR )1(0

Messung von R0f

Die Formel

Ergebnis

nächste Folie - Herleitung

75 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

+

gm UIN

Rd

Rg -

ddffgg RCRCRCa 01

ddmgf RRgRR )1(0

gtestRIV

Itest

dmgtestdtestdmdtestd RgRIRIVRgRIV

ddmgtestdf RRgRIVVR )1(/)(0

VdV+

76 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitverhalten

ddddmgfgg RCRRgRCRCa )1(1

+

gm UINCg

Cf

Cd Rd

Rg -

uC

t

Τ~a1

?

dmg RgR

)()1(1 fdddmfgg CCRRgCCRa

Gruppieren wir die Kapazitäten die mit gleichen Widerständen multipliziert sind

77 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Physikalische Bedeutung der Zeitkonstanten

gm UINCg

Cf

Cd Rd

Rg

)1( dmfggg RgCRCR

78 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Physikalische Bedeutung der Zeitkonstanten

gm UINCg

Cd Rd

Rg

)( fdd CCR

Cf

79 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

„Common-Source“ Verstärker

indmout URgU

UIN

UOUT

)()1(1 fdddmfgg CCRRgCCRa

DC Verstärkung

Dominante Zeitkonstante

Wichtige Kapazitäten: Cd – Lastkapazität (groß), Cf – verstärkt durch das Millereffekt

Diese Kapazität wird durch Miller-Effekt verstärkt

Rg

Rd

Cd

Cf

Nachteil: Verstärkung hängt von dem Lastwiderstand ab

80 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

11

0212 ...

CN

Ω

Zur Messung von RN1

81 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

fd

ddfdg

gdgfg

gfg RRCCRRCCRRCCa 0002

+

gm UIN

Cf

Rd

Rg -

dfg RR

Messung von Rfg

Die Formel

Ergebnis

Ω

82 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

fd

ddfdg

gdgfg

gfg RRCCRRCCRRCCa 2

+

gm UIN

Cf

Rd

Rg -

dfg RR

Messung von Rfg

Die Formel

Ergebnis

Ω

83 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

fd

ddfdg

gdgdgfg RRCCRRCCRRCCa 2

+

gm UIN

Cf

Rd

Rg -

ddg RR

Messung von Rgd

Die Formel

Ergebnis

Ω

84 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

fd

ddfdgdgdgfg RRCCRRCCRRCCa 2

+

gm UIN

Cf

Rd

Rg -

gfd RR

Messung von Rgd

Die Formel

Ergebnis

Ωgddfdgdgdgfg RRCCRRCCRRCCa 2

85 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC

GC iDaDa

DbAu

1

1

12

2

12

+

gm UINCg

Cf

Cd Rd

Rg

GC iDaDaDa

Au1

?

12

23

32

-

Gfdddmfggdfdgfggd

gdmC iDCCRRgCCRDCCCCCCRR

DbRRgu

1)}()]1([{)(

12

12

86 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

…….-……….

Anzahl der Teilchen

Statistik

E0

E1

E2

E3

Mikrozustand

NNN 30 ...

EENEN 3300 ...

0)ln( M

87 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Maxwell-Boltzmann

E0

E1

E2

E3

N0N

!)!(

!

000 NNN

Nm

022...22'0Nm

i

N

i

NN

NN

NNNN

NN

NNN

NM

i2!...2

!)!(

)!(2!)!(

!0

3

110

0

00

10

NNN 30 ...

EENEN 3300 ...

0)ln( M

0N

88 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

….-……..

Anzahl der Teilchen

Statistik

E0

E1

E2

E3NNN 30 ...

EENEN 3300 ...

0)ln( M

89 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Bose-Einstein

E0

E1

E2

E3

10 m

)!12(!

)!12('

0

00

N

Nm

)!12(!

)!12(0

3

i

i

i N

NM

NNN 30 ...

EENEN 3300 ...

0)ln( M

90 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

…..-…..

Anzahl der Teilchen

Statistik

E0

E1

E2

E3NNN 30 ...

EENEN 3300 ...

0)ln( M

91 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Fermi-Dirac

E0

E1

E2

E3

E0

E1

12 m

!1)!12(

!2'2 m

)!2(!

!20

3

iii NN

M

NNN 30 ...

EENEN 3300 ...

0)ln( M

92 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Teilchendichte

p = Na

n = ? n = ni

p = ni

93 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Teilchendichte

p = Na

p = ?

n = Nd

n = ?

94 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Ströme

p = Na

n = Nd

ExneI nndrift )(

dx

dVxneI nndrift )(

dx

xdneDI nndiff

)(

TV

xV

deNxn)(

)(

dx

dVxn

V

DeI

T

nndiff )(

pdiffI

pdriftI

ndiffI

ndriftI

ndriftndiff II

95 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Ströme

ExneI nndrift )(

T

f

T V

xV

V

xV

d eeNxn)()(

)(

dx

dV

dx

dVxn

V

DeI f

T

nndiff )(

n = NdndiffI

ndriftI

96 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Ströme

ExneI nndrift )(

T

f

T V

xV

V

xV

d eeNxn)()(

)(

0)(xnV

DeI

T

nndiff

n = NdndiffI

ndriftI

97 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

98 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

''

CdV

dQ

tC Si'

aetNQ '

tC

dV

dteN

dV

dQ Sia

'

'

a

Si

eN

dVtdt

a

Si

eN

Vt

2

'Q

V t

99 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

'C

V

tC Si'

a

Si

eN

Vt

2

100 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

'C

V

101 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

'C

V

TV

V

a

i eN

nn

2

aNn 10~

)0ln()ln(2 1Ti

aT V

n

NVV

102 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

'C

V

T

s

T V

V

V

V

a

i eeN

nn

2

aNn 10~

sTi

aT VV

n

NVV )0ln()ln(2 1

103 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

'C

V

a

Si

eNt 02

)10ln()ln(2~0 Ti

aT V

n

NV

00

'

2

ox

Siath C

eNV

'oxC

104 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

MOS Kondensator

V

'C

V

a

Si

eNt 02

)10ln()ln(2~0 Ti

aT V

n

NV

00

'

2

ox

Siath C

eNV

'oxC

105 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

DEPFET

V

'C

V

a

Si

eNt 02

)10ln()ln(2~0 Ti

aT V

n

NV

0'

'

'

2

ox

ig

ox

Siath C

Q

C

eNV

igSi

ig lQ

~1

010

'

'

'

)(2

ox

ig

ox

Siath C

Q

C

eNV

0'

1

'

1

'

'

oxbox

b

ig

th

CCC

C

dQ

dV

igligQ

tlig