2. Methode der Randelemente -...

Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.2-1

2. Methode der Randelemente

● Bei allgemeinen Schall abstrahlenden Flächen lässt sich der Schalldruck an einem beliebigen Punkt im Raum aus einem Integral über auf der Fläche definierte Funktionen berechnen.

● Die Funktionen auf der Fläche müssen eine Integralglei-chung erfüllen, die numerisch gelöst wird.

● Je nach Wahl der Funktionen auf der Fläche wird zwi-schen direkten und indirekten Methoden unterschieden.

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2. Methode der Randelemente

2.1 Indirekte Methode

2.2 Direkte Methode

2.3 Bewertung

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2.1 Indirekte Methode

● Fundamentallösung:

– Die Funktion

ist eine Lösung der Helmholtz-Gleichung, die die Abstrahl-bedingung von Sommerfeld erfüllt.

– Sie beschreibt das Schallfeld einer Punktquelle, die sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet.

– Befindet sich die Punktquelle im Punkt P mit den Koordina-ten y, so gilt für das Schallfeld:

P r =e−i k r

4 r

G x , y =e−i k r

4 rmit r=∣x− y∣

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2.1 Indirekte Methode

– Die Funktion wird als Fundamentallösung der Helmholtz-Gleichung bezeichnet.

● Einfachschicht-Potenzial:

– Da die Helmholtz-Gleichung linear ist, ist auch jede Linear-kombination

eine Lösung der Helmholtz-Gleichung.

– Der Grenzübergang auf unendlich viele infinitesimale Punktquellen, die auf einer Fläche S angeordnet sind, führt auf

G x , y

P x =−∑k

kG x , yk

P1 x =−∫S

y G x , y dS y

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2.1 Indirekte Methode

– Für alle Werte von x, die nicht auf der Fläche S liegen, ist P

1(x) eine Lösung der Helmholtz-Gleichung, die als Ein-

fachschicht-Potenzial bezeichnet wird.

● Eigenschaften des Einfachschicht-Potenzials:

C

S

noben

unten

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2.1 Indirekte Methode

– Entlang jeder Kurve C, die die Fläche S schneidet, ist P1(x)

beim Durchgang durch die Fläche stetig.

– Die Ableitung in Richtung der Flächennormalen n macht beim Durchgang durch die Fläche einen Sprung.

– Ist P1

o der Schalldruck oberhalb der Fläche und P1

u der

Schalldruck unterhalb, so gilt:

– Für den Mittelwert der Ableitungen gilt:

∂ P1o

∂ n−

∂P1u

∂n=

12

∂ P1o

∂n

∂ P1u

∂n =−∫S

y ∂G x , y

∂nxdS y

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2.1 Indirekte Methode

● Doppelschicht-Potenzial:

– Da die Helmholtz-Gleichung linear ist, ist auch jede Rich-tungsableitung der Fundamentallösung eine Lösung.

– Damit ist aber auch

eine Lösung der Helmholtz-Gleichung, solange x nicht auf S liegt.

– Diese Lösung wird als Doppelschicht-Potenzial bezeichnet.

P2 x =∫S

y ∂G x , y

∂n ydS y

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2.1 Indirekte Methode

● Eigenschaften des Doppelschicht-Potenzials:

– Entlang jeder Kurve C, die die Fläche S schneidet, macht der Schalldruck beim Durchgang durch die Fläche einen Sprung, für den gilt:

– Die Ableitung in Richtung der Flächennormalen ist stetig.

– Für den Mittelwert des Schalldrucks gilt:

P2o−P2

u=

12

P2oP2

u =∫S

y∂G x , y

∂n ydS y

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2.1 Indirekte Methode

● Randbedingungen:

– Auf der Fläche Sp ist der Schalldruck vorgeschrieben:

– Auf der Fläche Sv ist die Schallschnelle vorgeschrieben:

– Für jeden Punkt, der nicht auf der Fläche liegt, gilt:

Po=Pu=PS =0 auf S p

∂ Po

∂ n=

∂Pu

∂n=−i0V Sn =0 auf S v

P x =−∫S p

yG x , ydS y∫S v

y ∂G x , y

∂n ydS y

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2.1 Indirekte Methode

– Wenn die Funktionen σ und μ bekannt sind, kann der Schalldruck an jedem Punkt im Raum berechnet werden.

– Liegt x auf Sp, so muss gelten:

– Liegt x auf Sv, so muss gelten:

– Aus diesen beiden gekoppelten Integralgleichungen können die Funktionen σ und μ berechnet weden.

P S x=−∫S p

yG x , y dS y∫S v

y ∂G x , y

∂ n ydS y

−i0V Sn x =−∫S p

y ∂G x , y

∂nxdS y∫

S v

y∂2G x , y

∂ nxn ydS y

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2.1 Indirekte Methode

● Freie Ränder und Verzweigun-gen:

– Freier Rand:

– Verzweigung:

Po=Pu =0

P1

o = P2

u

P2

o = P3

uP

3

o = P1

u

μ1

μ2

μ3

μ = 0

122=P1

o−P1

uP2

o−P2

uP3

o−P3

u

=P1o−P2

uP2o−P3

uP3o−P1

u

=0

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2.1 Indirekte Methode

● Numerische Lösung des Integralgleichungssystems:

– Die gekoppelten Integralgleichungen können mit einem Bubnow-Galerkin-Verfahren numerisch gelöst werden.

– Schwache Formulierung der Integralgleichungen:

∫S p

x PS x dS x=−∫S p

∫S p

x yG x , ydS ydS x

∫S p

∫S v

x y∂G x , y

∂n ydS y dS x

−i0∫S v

x V SnxdS x=−∫Sv

∫S p

x y ∂G x , y

∂nxdS y dS x

∫S v

∫Sv

x y∂2G x , y∂nx∂n y

dS ydS x

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2.1 Indirekte Methode

– Diskretisierung:

– Finite Elemente:● Die Flächen werden in finite Elemente unterteilt.

● Die Koeffizienten sk bzw. d

k entsprechen den Werten von σ

bzw. μ an den Knotenpunkten der finiten Elemente.

● Die Interpolationsfunktionen Nk(x) bzw. M

k(x) werden aus den

Interpolationsfunktionen der finiten Elemente aufgebaut.

x=∑ N k x sk=[N x ] [ s ] , x =[N x ] [ s ]

x =∑ M k x d k=[M x ] [d ] , x=[M x ] [ d ]

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2.1 Indirekte Methode

– Matrizen: [ S ]=∫S p

∫S p

[N x ]T

[N y ]G x , ydS ydS x

[C ]=∫S p

∫S v

[N x ]T

[M y ]∂G x , y

∂nxdS ydS x

=−∫S p

∫S v

[N x ]T

[M y ]∂G x , y

∂n ydS ydS x

[B ]=−∫S v

∫S v

[M x ]T

[M y ]∂2G x , y

∂nx∂n ydS y dS x

[F s ]=−∫S p

[N x ]TP S xdS x

[F d ]=i0∫S v

[M x ]TV Sn x dS x

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2.1 Indirekte Methode

● Alle Matrizen sind komplex, voll besetzt und hängen von der Erregerfrequenz ab.

● Die Matrizen und sind symmetrisch.

– Gleichungssystem:

● Dieses symmetrische Gleichungssystem muss für jede Erre-gerfrequenz gelöst werden.

● Mit und sind σ und μ bekannt, so dass der Schalldruck in jedem Punkt des Raumes berechnet werden kann.

[ [S ] [C ]

[C ]T

[B ]][ [ s ][d ]]=[ [F s ]

[F d ]]

[ S ] [B ]

[ s ] [d ]

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2.1 Indirekte Methode

● Geschlossene Flächen:

– Im mathematischen Modell befindet sich immer auf beiden Seiten der Fläche das gleiche akustische Medium

– In von geschlossenen Flächen begrenzten Raumgebieten existieren Eigenschwingungen.

– Wenn die Erregerfrequenz mit einer der zugehörigen Reso-nanzfrequenzen übereinstimmt, haben die Integralgleichun-gen keine eindeutige Lösung.

– Dieses Problem tritt auch dann auf, wenn sich in dem inne-ren Raumgebiet gar keine Luft befindet.

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2.1 Indirekte Methode

– Beispiel: Schallabstrahlung eines Motorblocks● Im mathematischen Modell befindet sich auch im Innern des

Motorblocks Luft.● Für jede Resonanzfrequenz des Innenraums kann das Glei-

chungssystem nicht eindeutig gelöst werden.● Die Anzahl der Resonanzfrequenzen des Innenraums nimmt

mit steigender Erregerfrequenz stark zu.

– Abhilfe:● Im Innenraum wird eine zusätzliche absorbierende Fläche

modelliert.

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2.1 Indirekte Methode

● Bewertung:

– Die indirekte Methode kann für beliebige abstrahlende Flä-chen eingesetzt werden.

– Im mathematischen Modell befindet sich auf beiden Seiten der Fläche immer das gleiche akustische Medium.

– Probleme, bei denen sich auf den beiden Seiten einer Flä-che unterschiedliche akustische Medien befinden, können mit der indirekten Methode nicht berechnet werden.

– Bei geschlossenen Flächen wird immer das Außenraum-problem zusammen mit dem Innenraumproblem gelöst.

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2.2 Direkte Methode

● Aufgabenstellung:

– Für eine geschlossene Fläche S soll entweder das Schallfeld im Innern V

i

oder das Schallfeld im Äußeren Va

berechnet werden.

– Der Normalenvektor wird so ge-wählt, dass er in das akustische Medium zeigt.

– Der Schalldruck im Raum soll in Ab-hängigkeit von Schalldruck und Schallschnelle auf der Fläche dar-gestellt werden.

Vi

Va

S

n

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2.2 Direkte Methode

● Lösung für das Außenraumproblem:

– Für einen beliebigen Punkt in Va gilt:

– Auf der Fläche Sp ist der Schalldruck vorgegeben:

– Auf der Fläche Sv ist die Schallschnelle vorgegeben:

P x =∫S y

∂G x , y

∂n y− y G x , ydS y

Po=P S

∂ Po

∂ n=−i0V Sn

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2.2 Direkte Methode

– Aus den Eigenschaften des Einfachschicht-Potenzials und des Doppelschicht-Potenzials folgt für Punkte auf S:

– Mit und folgt daraus:

12

PoPu =∫S y

∂G x , y∂n y

− yG x , y dS y=Po−Pu =

∂ Po

∂n−

∂ Pu

∂n12

PoPu

=∫S p

PS y−Pu y ∂G x , y

∂n ydS y∫

S v

y ∂G x , y

∂n ydS y

−∫S p

y G x , y dS yi0∫S v

V Sn y−V nu G x , y dS y

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2.2 Direkte Methode

– Für den Innenraum wird gefordert:

– Wenn die Erregerfrequenz nicht mit einer Resonanzfre-quenz des Innenraums zusammen fällt, ist die einzi-ge Lösung.

– Dann gilt auf dem gesamten Rand S:

∂Pu

∂ n=0 auf S p , P

u=0 auf S v

Pu=0

Pu=0 =Po=P ,∂ Pu

∂ n=0 =

∂ Po

∂n=−i0V n

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2.2 Direkte Methode

– Damit gilt auf der gesamten Fläche S:

– Aus dieser Integralgleichung kann der Druck P auf der Flä-che S

v und die Schallschnelle V

n auf der Fläche S

p bestimmt

werden.

– Anschließend kann der Schalldruck an jedem Punkt im Au-ßenraum V

a berechnet werden:

12P x =∫

S P y ∂G x , y

∂n yi0V n yG x , ydS y

P x =∫S P y

∂G x , y

∂n yi0V n y G x , y dS y

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2.2 Direkte Methode

– Wenn die Erregerfrequenz nicht mit einer Resonanzfre-quenz des Innenraums V

i zusammenfällt, gilt im Innenraum:

– Irreguläre Frequenzen:● Wenn die Erregerfrequenz mit einer Innenraumresonanz zu-

sammenfällt, gibt es keine eindeutige Lösung.● Eine Möglichkeit, die Lösung eindeutig zu machen, besteht

darin, zusätzlich zur Integralgleichung zu fordern, dass an ei-nigen Punkten im Innenraum der Schalldruck null wird.

● Diese Punkte dürfen nicht an Stellen liegen, an denen der Schalldruck einer Eigenschwingung null ist.

∫S P y

∂G x , y

∂n yi0V n y G x , y dS y=0

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2.2 Direkte Methode

● Dieses Verfahren wird als CHIEF (Combined Helmholtz Inte-gral Equation Formulation) bezeichnet (Schenk, 1968).

● Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Integralgleichung mit ihrer Ableitung in Richtung der Flächennormalen zu kom-binieren (Burton und Miller, 1971).

● Das Verfahren von Burton und Miller ist rechnerisch aufwän-diger, aber numerisch stabiler.

● Lösung für das Innenraumproblem:

– Für das Innenraumproblem ergeben sich die gleichen Glei-chungen wie für das Außenraumproblem, wenn die Rich-tung des Normalenvektors auf dem Rand umgedreht wird.

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2.2 Direkte Methode

● Numerische Lösung der Integralgleichung:

– Die Integralgleichung wird meist mit einem Kollokationsver-fahren gelöst.

– Dazu wird zunächst die Fläche in finite Elemente unterteilt.

– Für Schalldruck und Schallschnelle auf der Fläche wird ein Interpolationsansatz gemacht:

– Schalldruck und Schallschnelle werden bestimmt, indem der Ansatz in die Integralgleichung eingesetzt wird und gefordert wird, dass die entstehende Gleichung an ge-eigneten Punkten der finiten Elemente erfüllt ist.

P x =∑ N k x Pk=[N x ] [P ] , V nx =∑ N kV kn=[N x ] [V ]

[P ] [V ]

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2.2 Direkte Methode

– Dieses Kollokationsverfahren führt auf das Gleichungssys-tem

– Daraus können die unbekannten Größen auf der Fläche bestimmt werden.

– Die Matrizen dieses Gleichungssystem sind komplex, voll besetzt, unsymmetrisch und hängen von der Erregerfre-quenz ab.

∑k 12 N k x l −∫

S

N k y∂G x l , y

∂n ydS yPk

=i0∑k∫S

N k y G x l , y dS yV k , l=1, , n

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2.2 Direkte Methode

● Bewertung:

– Die direkte Methode kann nur angewendet werden, wenn die abstrahlende Fläche geschlossen ist und keine Ver-zweigungen hat.

– Es kann entweder das Innenraumproblem oder das Außen-raumproblem gelöst werden.

– Beim Außenraumproblem sind zusätzliche Maßnahmen er-forderlich, damit das Gleichungssystem auch gelöst werden kann, wenn die Erregerfrequenz mit einer Innenraumreso-nanz übereinstimmt.

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2.3 Bewertung

● Im Vergleich zur Methode der Finiten Elemente ist der Modellierungsaufwand geringer, da nur Flächen vernetzt werden müssen.

● Da die entstehenden Matrizen komplex, voll besetzt und frequenzabhängig sind, ist der Rechenaufwand größer.

● Eigenschwingungen lassen sich nur mit sehr großem Aufwand berechnen, da dazu ein nichtlineares Eigenwert-problem gelöst werden muss.

● Bei hohen Erregerfrequenzen ergeben sich die gleichen Schwierigkeiten wie bei der Methode der Finiten Elemen-te.

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2.3 Bewertung

● Fast Multipole Method:

– Moderne Randelement-Methoden basieren auf der Fast Multipole Method (FMM). Sie werden auch als FastBEM bezeichnet.

– Die Gleichungen werden iterativ gelöst, ohne dass die Ma-trizen explizit aufgestellt werden.

– Der Einfluss eines Flächenstückes auf Punkte, die weit da-von entfernt liegen, wird über Multipole approximiert.