23. Nov. Systeme von Massepunkten - Stöße · Schwerpunkt ext SF dt dr M= 2 2 M=∑m i Gesamtmasse...

Experimentalphysik E1

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23. Nov. Systeme von Massepunkten - Stöße

Schwerpunkt

extS F

dtrd

M =2

2

eGesamtmassmM i∑=

€

rs =mi ⋅ ri∑mi∑

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.

(Schwerpunktsatz)

Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext beschleunigt sich der ���Schwerpunkt gemäß :

Def.

rs

m1

m2

m3

r1 r2 rS

m

3*m

rs =mi

i∑ ⋅

ri

mii∑

=m ⋅ r1 +3m ⋅

r24m

=r1 +3r2

4

Versuch: Praktische Bestimmung des Schwerpunktes

Beispiel: Schwerpunkt einer Hantel

In einem abgeschlossenen System kann die Bewegung zweier Körper in die Schwerpunktsbewegung vs und Relativbewegung v12 zerlegt werden

€

µ =m1m2

m1 + m2

€

v12 = v1 − v2

€

F12 = µd v 12dt

€

Ekin =12m1v1

2 + m2v22( ) =

12MvS

2 +12

µv122

Die Relativbewegung von 2 Teilchen kann als Bewegung EINES Teilchens mit der reduzierten Masse µ unter dem Einfluss der Kraft F12 beschrieben werden!

Behandlung von Zwei-Körperproblemen

1m

€

m2

€

vS =1M⋅ mi ⋅

i∑ vi

€

v1

€

v2

Zielmasse ruht

Keine Massenübertragung

Elastisch 2211

; mmmm =!=!→

02=→ P

2

2

2

1

2

1

1

21

2220

mP

mP

mPQ

!+

!=⇒=→

Elastische Stöße im Laborsystem

Spezialfall: Zentraler Stoss

θ1 = θ2 = 0, Alle Impulse sind colinear

€

m1v1 = m1 " v 1 + m2 " v 2

€

m2 " v 2 = 2µv1⇒ " v 2 =2m1

m1 + m2

v1

€

ΔEkin =# P 22

2m2

=2m1

2m2

m1 + m2( )2v12

= 4 m1m2

M 2 Ekin1= 4 µ2

m1m2

Ekin1

Bei m1 = m2 wird beim zentralen Stoss die Gesamte Energie übertragen.

EEΔ

Beispiel elastischer Stoss gegen Wand:

€

m2 →∞⇒ E = 0⇒ % P 1 = −P1

€

" P 1 + " P 2 = P1⇒ " P 2 = 2P

Doppelter Impuls aber keine Energieübertragung!

Energieübertragung beim zentralen Stoß

€

m1 m2

Impulserhaltung

€

p1"+ p2

"= p1 + p2

Energiesatz

€

p1"2

2 " m 1+

p2"2

2 " m 2=

p12

2m1

+p2

2

2m2

+ Q

Q: Energieverlust (d.h. Anteil kinetische Energie der in „innere Energie“ z.B. Wärme, oder Bindungsenergie umgewandelt wurde)

Q = 0 Elastischer Stoss

Q < 0 Inelastischer Stoss; innere Reibung – Wärme

Q > 0 Superelastischer Stoss z.B. Chemische Reaktion

Stöße zwischen zwei Teilchen

€

P1 = " P 1 + " P 21P

!1P

!2P

1θ

2θ

1m

2m

€

m1v10

"

# $

%

& ' =

m1 ( v 1 cosθ1m1 ( v 1 sinθ1

"

# $

%

& ' +

m2 ( v 2 cosθ2m2 ( v 2 sinθ2

"

# $

%

& '

x

y

x y

1P

!1P

!2P

€

⇒ x 2 + y 2 = # P 22; P1 − x( )2 + y 2 = # P 1

2

€

⇒P12

2m1=P1 − x( )2 + y 2

2m1+x 2 + y 2

2m2

Stoss in x-y-Ebene

4.2. Stöße zwischen zwei Teilchen 113

mMo

S

mE

v2

zur

v

Sonne

MrE

r

!

!

a)

b)

rMo

vMo

Sonne

!

Abb. 4.4a,b. Bahnbewegung des Mondes im Schwerpunkt-system Erde–Mond

In einem Koordinatensystem, das im Schwerpunktunserer Milchstraße ruht, beschreibt die Mondbahneine komplizierte Kurve (Abb. 4.4b). Man kanndiese jedoch zusammensetzen ausa) der Bewegung des Mondes um den SchwerpunktErde–Mond;b) der Bewegung des Schwerpunktes um denSchwerpunkt des Sonnensystems, der praktisch imZentrum der Sonne liegt, weilMSo > 103 · (

!mPlaneten);

c) der Bewegung des Schwerpunktes des Son-nensystems um das Zentrum unserer Milchstraße.Die exakte Berechnung der Mondbahn muss diegleichzeitige Gravitationsanziehung durch Erde undSonne mit zeitabhängigen Positionen berücksichti-gen (Dreikörperproblem). Wegen dieser ,,Störung“ist die Mondbahn nicht genau eine Ellipse umden Schwerpunkt S. Es gibt zwar keine analyti-sche Lösung dieses Problems, wohl aber sehr gutenumerische Näherungslösungen [4.1].

2. Das Wasserstoffatom ist ein System aus Pro-ton (Masse mp) und Elektron (Masse me). Ausmp = 1836 ·me folgt: µ = 0,99946 ·me ! me.Der Schwerpunkt S liegt (1/1837) ·rpe vom Mittel-punkt des Protons entfernt, wenn rpe der AbstandProton–Elektron ist.Die Bewegung der beiden Teilchen im Wasserstof-fatom kann aufgeteilt werden in eine Translation desSchwerpunktes S mit der Geschwindigkeit vS unddie Bewegung eines Teilchens der Masse µ ! memit der Relativgeschwindigkeit vpe um den Schwer-punkt. Die gesamte kinetische Energie des H-Atoms

ist dann:

Ekin = 12

"mp +me

#v2

S + 12µv2

pe .

Bei Geschwindigkeiten des H-Atoms, die thermi-schen Bewegungen entsprechen, ist der erste Termder Translationsenergie (! 0,03 eV) sehr klein ge-gen den zweiten Term der ,,inneren“ kinetischenEnergie (! 10 eV).

4.2 Stöße zwischen zwei Teilchen

Dieses Kapitel ist für die gesamte Atom- und Kern-physik von großer Wichtigkeit, da ein wesentlicherTeil der Kenntnisse, die wir über die Wechselwirkun-gen zwischen Atomen, Kernen und Elementarteilchensowie über die Struktur von Atomkernen und Atomhül-len besitzen, aus der Untersuchung von Stoßprozessenstammt.

Wenn sich zwei Teilchen einander nähern, werdendurch die gegenseitige Wechselwirkung beide Teil-chen abgelenkt, und zwar im gesamten Bereich, indem diese Wechselwirkung merklich ist (Abb. 4.5). Da-durch ändern beide Teilchen ihren Impuls, oft auch ihrekinetische Energie. Aber es gilt immer:

Solange keine äußeren Kräfte wirken, bleibenEnergie und Impuls des Gesamtsystems erhalten!

Die Form der Bahnkurve innerhalb der Wechsel-wirkungszone lässt sich nur dann berechnen, wenndas genaue Wechselwirkungspotential bekannt ist. Man

m1 v1'

v2m2

Wechselwirkungs-gebiet

m1 v1

v2'm2

"1 "2

!

!

!

!

Abb. 4.5. Schematische Darstellung eines Stoßes mit denasymptotischen Streuwinkeln !1 und !2

Laborsystem: p2=0

Mit Reduzierter Masse µ

€

⇒ x −µv1( )2 + y 2 = µv1( )2

Alle möglichen Endpunkte von liegen auf einem Kreis um

Mit R = µv1

2P! !"

#$%

&=

01v

Mµ

€

sinθ1max =

µv1m1 −µ( )v1

=µ

m1 −µ=m2

m1

4.2. Stöße zwischen zwei Teilchen 115

4.2.2 Elastische Stöße im Laborsystem

Man kann die Beschreibung der Stoßprozesse we-sentlich vereinfachen durch geeignete Wahl desKoordinatensystems. Bei vielen Streuexperimentenruht einer der Stoßpartner vor dem Stoß. Wir wählenseinen Ort als Nullpunkt unseres relativ zum Laborfeststehenden Koordinatensystems (Laborsystem). Indiesem System ist also p2 = 0 (Abb. 4.7). Weiterhin sol-len die Massen unverändert bleiben, d. h. m!

1 = m1 undm!

2 = m2. Mit Q = 0 für den elastischen Stoß erhaltenwir aus (4.16) und (4.17):

p1 = p!1 + p!

2 = p! , (4.16a)

p21

2m1= p! 2

1

2m1+ p! 2

2

2m2. (4.17a)

Wir legen die x-Achse unseres Laborsystems in Rich-tung des Anfangsimpulses p1 (Abb. 4.8), sodass gilt:p1 = {p1, 0, 0}. Die Richtung des BahndrehimpulsesL = r " p1 wählen wir als z-Achse, sodass wegender Erhaltung des Drehimpulses die Bewegung beiderStoßpartner in der x-y-Ebene verläuft. Die Spitze desVektors p!

2 wird durch den Punkt P(x, y) definiert. AusAbb. 4.8 ergeben sich die Relationen:

x2 + y2 = p! 22 und

(p1 # x)2 + y2 = p! 21 .

Einsetzen in (4.17a) liefert:

p21

2m1= (p1 # x)2 + y2

2m1+ x2 + y2

2m2.

Ordnen nach x2 und y2 ergibt mit der reduzierten Masseµ = m1m2/(m1 +m2) die Gleichung:

(x #µv1)2 + y2 = (µv1)

2 , (4.18)

eines Kreises in der x-y-Ebene mit dem Radius r = µv1und dem Mittelpunkt M = {µv1, 0}. Dies bedeutet, dassdie Spitzen aller nach Energie- und Impulssatz mögli-chen Vektoren p!

2 auf diesem Kreis um M durch den

p'11p1

p'2

p' p

!2

!1 =

"

"

" " "m1 m2

Abb. 4.7. Stoß eines Teilchens mit Masse m1 und Impuls p1auf eine ruhende Masse m2, dargestellt im Laborsystem

P(x,y)

y

x

p'1p'2

x

y

p1

""

"

Abb. 4.8. Zur Herlei-tung von (4.18)

Nullpunkt liegen müssen, wenn man sie vom Nullpunktaus aufträgt (Abb. 4.9).

Die Winkel !1 und !2 geben die beim Stoß erfolgtenAblenkungen der beiden Stoßpartner an. Der maximaleAblenkwinkel !max

1 des stoßenden Teilchens wird er-reicht, wenn p!

1 Tangente an den Kreis wird. Für m1 >

m2 $ p1 = m1v1 > 2m1m2m1+m2

v1 = 2m1v11+m1/m2

= 2µv1, d. h.|p| ist größer als der Durchmesser des Kreises. NachAbb. 4.9 gilt daher für m1 > m2 die Beziehung:

sin ! max1 = µv1

(m1 #µ)v1= µ

m1 #µ= m2

m1. (4.19)

p2'

p1'

M

m1 > m2

r = µ . v1p1

p2'

p1'

!2 !1

max! 1

P(x,y).

y

0

" "

""

" x

Abb. 4.9. Impulsdiagramm von elastischen Stößen für denFall m1 > m2. Alle möglichen Endpunkte des Vektors p!

2liegen auf dem Kreis mit Radius µv1 um M

BEISPIELE

1. m1 = 1,1m2 % µ = 0,52m2 % sin !max1 = 0,91

% !max1 = 65& .

2. m1 = 2m2 % µ = 0,67m2 % sin ! max1 = 0,5

% ! max1 = 30& .

3. m1 = 100m2 % µ = 0,99m2% !max

1 = 0,6& .

4.2. Stöße zwischen zwei Teilchen 115

4.2.2 Elastische Stöße im Laborsystem

Man kann die Beschreibung der Stoßprozesse we-sentlich vereinfachen durch geeignete Wahl desKoordinatensystems. Bei vielen Streuexperimentenruht einer der Stoßpartner vor dem Stoß. Wir wählenseinen Ort als Nullpunkt unseres relativ zum Laborfeststehenden Koordinatensystems (Laborsystem). Indiesem System ist also p2 = 0 (Abb. 4.7). Weiterhin sol-len die Massen unverändert bleiben, d. h. m!

1 = m1 undm!

2 = m2. Mit Q = 0 für den elastischen Stoß erhaltenwir aus (4.16) und (4.17):

p1 = p!1 + p!

2 = p! , (4.16a)

p21

2m1= p! 2

1

2m1+ p! 2

2

2m2. (4.17a)

Wir legen die x-Achse unseres Laborsystems in Rich-tung des Anfangsimpulses p1 (Abb. 4.8), sodass gilt:p1 = {p1, 0, 0}. Die Richtung des BahndrehimpulsesL = r " p1 wählen wir als z-Achse, sodass wegender Erhaltung des Drehimpulses die Bewegung beiderStoßpartner in der x-y-Ebene verläuft. Die Spitze desVektors p!

2 wird durch den Punkt P(x, y) definiert. AusAbb. 4.8 ergeben sich die Relationen:

x2 + y2 = p! 22 und

(p1 # x)2 + y2 = p! 21 .

Einsetzen in (4.17a) liefert:

p21

2m1= (p1 # x)2 + y2

2m1+ x2 + y2

2m2.

Ordnen nach x2 und y2 ergibt mit der reduzierten Masseµ = m1m2/(m1 +m2) die Gleichung:

(x #µv1)2 + y2 = (µv1)

2 , (4.18)

eines Kreises in der x-y-Ebene mit dem Radius r = µv1und dem Mittelpunkt M = {µv1, 0}. Dies bedeutet, dassdie Spitzen aller nach Energie- und Impulssatz mögli-chen Vektoren p!

2 auf diesem Kreis um M durch den

p'11p1

p'2

p' p

!2

!1 =

"

"

" " "m1 m2

Abb. 4.7. Stoß eines Teilchens mit Masse m1 und Impuls p1auf eine ruhende Masse m2, dargestellt im Laborsystem

P(x,y)

y

x

p'1p'2

x

y

p1

""

"

Abb. 4.8. Zur Herlei-tung von (4.18)

Nullpunkt liegen müssen, wenn man sie vom Nullpunktaus aufträgt (Abb. 4.9).

Die Winkel !1 und !2 geben die beim Stoß erfolgtenAblenkungen der beiden Stoßpartner an. Der maximaleAblenkwinkel !max

1 des stoßenden Teilchens wird er-reicht, wenn p!

1 Tangente an den Kreis wird. Für m1 >

m2 $ p1 = m1v1 > 2m1m2m1+m2

v1 = 2m1v11+m1/m2

= 2µv1, d. h.|p| ist größer als der Durchmesser des Kreises. NachAbb. 4.9 gilt daher für m1 > m2 die Beziehung:

sin ! max1 = µv1

(m1 #µ)v1= µ

m1 #µ= m2

m1. (4.19)

p2'

p1'

M

m1 > m2

r = µ . v1p1

p2'

p1'

!2 !1

max! 1

P(x,y).

y

0

" "

""

" x

Abb. 4.9. Impulsdiagramm von elastischen Stößen für denFall m1 > m2. Alle möglichen Endpunkte des Vektors p!

2liegen auf dem Kreis mit Radius µv1 um M

BEISPIELE

1. m1 = 1,1m2 % µ = 0,52m2 % sin !max1 = 0,91

% !max1 = 65& .

2. m1 = 2m2 % µ = 0,67m2 % sin ! max1 = 0,5

% ! max1 = 30& .

3. m1 = 100m2 % µ = 0,99m2% !max

1 = 0,6& .

m1=m2

m1<m2

m1>m2

Elastische Streuung von α-Strahlung (He4)

€

m1 = m2 = m⇒ µ =12m

1P!2P!

1P1vR µ=

x

y

Thaleskreis

€

⇒ # P 2⊥ # P 1

€

m1 << m2 ⇒ µ =m

m1m2

+1≈ m1

x 111vmP =

1P!2

P!

1θ

y

Zwei Spezialfälle des Nicht-zentralen Stoßes

Elastische Proton-Proton Streuung

nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel von 90° ein.

Kollision von zwei Billardkugeln ���(im Zeitlupenverfahren gefilmt)

aus Dransfeld et al.

€

Pis∑ = 0

Elastisch entspricht Q = 0

Im S – System behält jeder Partner seine kinetische Energie

€

⇒ # P 1s = P1s = # P 2s = P2s

!2P

1P

sP 2

2P

sP 2!

sP1

sP 1

!

1

!P

S

z

x

Beim elastischem Stoss drehen sich die Impulsvektoren um S

Elastische Stöße im S - System

Entdeckung des Neutrinos durch fehlenden Impuls beim Betazerfall

Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)

€

n0 → p+ + e− + ν

Stöße bei relativistischen Energien

Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)

Relativistische Energie-Impuls Beziehung

€

p(v) = m(v) ⋅ v =m0v

1− v2 c 2

€

E = m02c 4 + c 2p2

€

Ekin = E −m0c2

relativistischer Impuls

relativistische Energie

Kinetische Energie:

Ruheenergie:

€

m0c2 Elektron 0.511 MeV

Proton 938.3 MeV Neutron 939.6 MeV

Chemische Reaktionen : auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen

CABBCA K +!→!+

CABBCA pppp +=+

chemkinkin

kinkin

ECEABEBCEAE

Δ++

=+

)()()()(

Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.

Energiebilanz für endotherme und exotherme Reaktionen

Bsp: 2 Massen

€

EKin =12⋅m1 ⋅

v 12 +12⋅m2 ⋅

v 22

€

=12⋅ (m1 ⋅

v 1S2 + ⋅m2 ⋅

v 2S2 )+ 1

2⋅ (m1 + m2 ) ⋅

v S2 + v S (m1 ⋅

v 1S + m2 ⋅ v 2S )

= p1S + p2S =0

Dito für n > 2

€

EKin im S-System

€

EKinder Gesamtmasse vereinigt in S

Chemische Reaktionen : auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen

CABBCA K +!→!+

CABBCA pppp +=+

chemkinkin

kinkin

ECEABEBCEAE

Δ++

=+

)()()()(

Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.

Energiebilanz für endotherme und exotherme Reaktionen

Systeme von Massenpunkten

Massenschwerpunkt

x y

z

€

m

€

2 ⋅m

€

v r 1

€

r 2

3⋅m ⋅ rS

€

2 ⋅m ⋅ r 1

m ⋅ r2

rSP1M⋅ mi ⋅

rii∑

vS =drSdt

=1M⋅ mi ⋅

i∑ dri

dt=

€

1M

p i∑

rSS

Schwerpunktgeschwindigkeit

Schwerpunktsatz

110 4. Systeme von Massenpunkten. Stöße

F = ddt

!pi = dP

dt, (4.4)

woraus mit (4.2b) und der SchwerpunktbeschleunigungaS = dvS/dt folgt:

F = MaS . (4.5)

Der Schwerpunkt eines beliebigen Systems vonMassenpunkten bewegt sich so, als ob er ein Kör-per mit der Gesamtmasse M wäre, auf den diegesamte äußere Kraft wirken würde.

Oft ist es zweckmäßig, ein Koordinatensystem zuwählen, das den Schwerpunkt als Nullpunkt hat undsich mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit vS gegendas ortsfeste Laborsystem bewegt. Dieses System heißtSchwerpunktsystem.

Zwischen den Ortsvektoren ri im Laborsystem undriS im Schwerpunktsystem gelten nach Abb. 4.1a dieRelationen:

ri = riS +rS . (4.6a)

Durch Einsetzen in (4.1) erhält man:!

i

miriS =!

i

mi (ri !rS)

=!

i

miri !!

i

mirS = 0 ,

!miriS = 0 (4.6b)

Die Geschwindigkeit eines Körpers sei vi im Laborsys-tem und viS im Schwerpunktsystem. Der Impuls einesKörpers im Schwerpunktsystem sei piS. Dann gilt:

vi = viS +vS bzw. (4.6c)

!

i

miviS =!

i

piS = 0 , (4.6d)

wie durch Differentiation von (4.6a) bzw. (4.6b) folgt.

Die Summe aller Impulse im Schwerpunktsystemist immer Null.

Für ein abgeschlossenes System aus nur zwei Mas-sen m1, m2 ergibt sich damit für die kinetische Energieim Laborsystem:

Ekin = 12 m1v

21 + 1

2 m2v22

= 12

"m1v

21S +m2v

22S

#+ 1

2 (m1 +m2) v2S

+ (m1v1S +m2v2S) ·vS . (4.7a)

Der letzte Term ist Null wegen p1S + p2S = 0, und wirerhalten

Ekin = E(S)kin + 1

2 Mv2S . (4.7b)

Die kinetische Energie Ekin, gemessen im Labor-system, lässt sich schreiben als Summe aus E(S)

kinim Schwerpunktsystem und der kinetischen Ener-gie der im Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse(Translationsenergie des Systems).

Die Gesamtbewegung des abgeschlossenen Sys-tems wird dabei gemäß (4.6c) aufgeteilt in einegleichförmige Bewegung des Schwerpunktes mit derkonstanten Geschwindigkeit vS und eine Relativbewe-gung beider Teilchen um den Schwerpunkt.

4.1.2 Reduzierte Masse

Zwei Teilchen mit den Massen m1 und m2 mö-gen aufeinander mit der Kraft F12 = !F21 wirken.Jede weitere Wechselwirkung mit äußeren Feldern seivernachlässigbar. Die Bewegungsgleichungen lautendann:

dv1

dt= F12

m1; dv2

dt= F21

m2. (4.8a)

SubtraktionliefertbeiBerücksichtigungvon F12 =!F21

ddt

(v1 !v2) =$

1m1

+ 1m2

%F12 . (4.8b)

Dabei ist v1 !v2 = v12 die Relativgeschwindigkeit derbeiden Teilchen.

Führt man die reduzierte Masse

µ = m1m2

m1 +m2(4.9)

F =M ⋅

aSP

Zerlegung in Schwerpunkt- und innere Bewegung

piS∑ = 0 Die Summe aller Impulse im Spkt-System ist immer Null

€

EKin+ im S-System

€

EKinder Gesamtmasse vereinigt in S

Lges =

rSP ×MvSP +

riS ×mviS

i∑

pges =M ⋅vSP

Ekinges =

12Mv2 + 1

2mviS

2

i∑

Bahndrehimpuls + Eigendrehimpuls

Spezialfall – zwei Körper

Lges =

rSP ×MvSP + r12 ×µv12

pges =M ⋅vSP

Ekinges =

12Mv2 + 1

2µv12

2

€

mit µ =m1m2

m1 +m2

F12 = µ

dv12

dt Reduzierte Masse Relativ-Geschw.

€

v12 = v1 − v2

1m

€

m2

€

v1

€

v2

1m

€

m2

€

v1

gebundenes System

Stoß