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Experimentalphysik E1
http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html Alle Informationen zur Vorlesung unter :
23. Nov. Systeme von Massepunkten - Stöße
Schwerpunkt
extS F
dtrd
M =2
2
eGesamtmassmM i∑=
€
rs =mi ⋅ ri∑mi∑
Schwerpunkt
Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.
(Schwerpunktsatz)
Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext beschleunigt sich der ���Schwerpunkt gemäß :
Def.
rs
m1
m2
m3
r1 r2 rS
m
3*m
rs =mi
i∑ ⋅
ri
mii∑
=m ⋅ r1 +3m ⋅
r24m
=r1 +3r2
4
Versuch: Praktische Bestimmung des Schwerpunktes
Beispiel: Schwerpunkt einer Hantel
In einem abgeschlossenen System kann die Bewegung zweier Körper in die Schwerpunktsbewegung vs und Relativbewegung v12 zerlegt werden
€
µ =m1m2
m1 + m2
€
v12 = v1 − v2
€
F12 = µd v 12dt
€
Ekin =12m1v1
2 + m2v22( ) =
12MvS
2 +12
µv122
Die Relativbewegung von 2 Teilchen kann als Bewegung EINES Teilchens mit der reduzierten Masse µ unter dem Einfluss der Kraft F12 beschrieben werden!
Behandlung von Zwei-Körperproblemen
1m
€
m2
€
vS =1M⋅ mi ⋅
i∑ vi
€
v1
€
v2
Zielmasse ruht
Keine Massenübertragung
Elastisch 2211
; mmmm =!=!→
02=→ P
2
2
2
1
2
1
1
21
2220
mP
mP
mPQ
!+
!=⇒=→
Elastische Stöße im Laborsystem
Spezialfall: Zentraler Stoss
θ1 = θ2 = 0, Alle Impulse sind colinear
€
m1v1 = m1 " v 1 + m2 " v 2
€
m2 " v 2 = 2µv1⇒ " v 2 =2m1
m1 + m2
v1
€
ΔEkin =# P 22
2m2
=2m1
2m2
m1 + m2( )2v12
= 4 m1m2
M 2 Ekin1= 4 µ2
m1m2
Ekin1
Bei m1 = m2 wird beim zentralen Stoss die Gesamte Energie übertragen.
EEΔ
Beispiel elastischer Stoss gegen Wand:
€
m2 →∞⇒ E = 0⇒ % P 1 = −P1
€
" P 1 + " P 2 = P1⇒ " P 2 = 2P
Doppelter Impuls aber keine Energieübertragung!
Energieübertragung beim zentralen Stoß
€
m1 m2
Impulserhaltung
€
p1"+ p2
"= p1 + p2
Energiesatz
€
p1"2
2 " m 1+
p2"2
2 " m 2=
p12
2m1
+p2
2
2m2
+ Q
Q: Energieverlust (d.h. Anteil kinetische Energie der in „innere Energie“ z.B. Wärme, oder Bindungsenergie umgewandelt wurde)
Q = 0 Elastischer Stoss
Q < 0 Inelastischer Stoss; innere Reibung – Wärme
Q > 0 Superelastischer Stoss z.B. Chemische Reaktion
Stöße zwischen zwei Teilchen
€
P1 = " P 1 + " P 21P
!1P
!2P
1θ
2θ
1m
2m
€
m1v10
"
# $
%
& ' =
m1 ( v 1 cosθ1m1 ( v 1 sinθ1
"
# $
%
& ' +
m2 ( v 2 cosθ2m2 ( v 2 sinθ2
"
# $
%
& '
x
y
x y
1P
!1P
!2P
€
⇒ x 2 + y 2 = # P 22; P1 − x( )2 + y 2 = # P 1
2
€
⇒P12
2m1=P1 − x( )2 + y 2
2m1+x 2 + y 2
2m2
Stoss in x-y-Ebene
4.2. Stöße zwischen zwei Teilchen 113
mMo
S
mE
v2
zur
v
Sonne
MrE
r
!
!
a)
b)
rMo
vMo
Sonne
!
Abb. 4.4a,b. Bahnbewegung des Mondes im Schwerpunkt-system Erde–Mond
In einem Koordinatensystem, das im Schwerpunktunserer Milchstraße ruht, beschreibt die Mondbahneine komplizierte Kurve (Abb. 4.4b). Man kanndiese jedoch zusammensetzen ausa) der Bewegung des Mondes um den SchwerpunktErde–Mond;b) der Bewegung des Schwerpunktes um denSchwerpunkt des Sonnensystems, der praktisch imZentrum der Sonne liegt, weilMSo > 103 · (
!mPlaneten);
c) der Bewegung des Schwerpunktes des Son-nensystems um das Zentrum unserer Milchstraße.Die exakte Berechnung der Mondbahn muss diegleichzeitige Gravitationsanziehung durch Erde undSonne mit zeitabhängigen Positionen berücksichti-gen (Dreikörperproblem). Wegen dieser ,,Störung“ist die Mondbahn nicht genau eine Ellipse umden Schwerpunkt S. Es gibt zwar keine analyti-sche Lösung dieses Problems, wohl aber sehr gutenumerische Näherungslösungen [4.1].
2. Das Wasserstoffatom ist ein System aus Pro-ton (Masse mp) und Elektron (Masse me). Ausmp = 1836 ·me folgt: µ = 0,99946 ·me ! me.Der Schwerpunkt S liegt (1/1837) ·rpe vom Mittel-punkt des Protons entfernt, wenn rpe der AbstandProton–Elektron ist.Die Bewegung der beiden Teilchen im Wasserstof-fatom kann aufgeteilt werden in eine Translation desSchwerpunktes S mit der Geschwindigkeit vS unddie Bewegung eines Teilchens der Masse µ ! memit der Relativgeschwindigkeit vpe um den Schwer-punkt. Die gesamte kinetische Energie des H-Atoms
ist dann:
Ekin = 12
"mp +me
#v2
S + 12µv2
pe .
Bei Geschwindigkeiten des H-Atoms, die thermi-schen Bewegungen entsprechen, ist der erste Termder Translationsenergie (! 0,03 eV) sehr klein ge-gen den zweiten Term der ,,inneren“ kinetischenEnergie (! 10 eV).
4.2 Stöße zwischen zwei Teilchen
Dieses Kapitel ist für die gesamte Atom- und Kern-physik von großer Wichtigkeit, da ein wesentlicherTeil der Kenntnisse, die wir über die Wechselwirkun-gen zwischen Atomen, Kernen und Elementarteilchensowie über die Struktur von Atomkernen und Atomhül-len besitzen, aus der Untersuchung von Stoßprozessenstammt.
Wenn sich zwei Teilchen einander nähern, werdendurch die gegenseitige Wechselwirkung beide Teil-chen abgelenkt, und zwar im gesamten Bereich, indem diese Wechselwirkung merklich ist (Abb. 4.5). Da-durch ändern beide Teilchen ihren Impuls, oft auch ihrekinetische Energie. Aber es gilt immer:
Solange keine äußeren Kräfte wirken, bleibenEnergie und Impuls des Gesamtsystems erhalten!
Die Form der Bahnkurve innerhalb der Wechsel-wirkungszone lässt sich nur dann berechnen, wenndas genaue Wechselwirkungspotential bekannt ist. Man
m1 v1'
v2m2
Wechselwirkungs-gebiet
m1 v1
v2'm2
"1 "2
!
!
!
!
Abb. 4.5. Schematische Darstellung eines Stoßes mit denasymptotischen Streuwinkeln !1 und !2
Laborsystem: p2=0
Mit Reduzierter Masse µ
€
⇒ x −µv1( )2 + y 2 = µv1( )2
Alle möglichen Endpunkte von liegen auf einem Kreis um
Mit R = µv1
2P! !"
#$%
&=
01v
Mµ
€
sinθ1max =
µv1m1 −µ( )v1
=µ
m1 −µ=m2
m1
4.2. Stöße zwischen zwei Teilchen 115
4.2.2 Elastische Stöße im Laborsystem
Man kann die Beschreibung der Stoßprozesse we-sentlich vereinfachen durch geeignete Wahl desKoordinatensystems. Bei vielen Streuexperimentenruht einer der Stoßpartner vor dem Stoß. Wir wählenseinen Ort als Nullpunkt unseres relativ zum Laborfeststehenden Koordinatensystems (Laborsystem). Indiesem System ist also p2 = 0 (Abb. 4.7). Weiterhin sol-len die Massen unverändert bleiben, d. h. m!
1 = m1 undm!
2 = m2. Mit Q = 0 für den elastischen Stoß erhaltenwir aus (4.16) und (4.17):
p1 = p!1 + p!
2 = p! , (4.16a)
p21
2m1= p! 2
1
2m1+ p! 2
2
2m2. (4.17a)
Wir legen die x-Achse unseres Laborsystems in Rich-tung des Anfangsimpulses p1 (Abb. 4.8), sodass gilt:p1 = {p1, 0, 0}. Die Richtung des BahndrehimpulsesL = r " p1 wählen wir als z-Achse, sodass wegender Erhaltung des Drehimpulses die Bewegung beiderStoßpartner in der x-y-Ebene verläuft. Die Spitze desVektors p!
2 wird durch den Punkt P(x, y) definiert. AusAbb. 4.8 ergeben sich die Relationen:
x2 + y2 = p! 22 und
(p1 # x)2 + y2 = p! 21 .
Einsetzen in (4.17a) liefert:
p21
2m1= (p1 # x)2 + y2
2m1+ x2 + y2
2m2.
Ordnen nach x2 und y2 ergibt mit der reduzierten Masseµ = m1m2/(m1 +m2) die Gleichung:
(x #µv1)2 + y2 = (µv1)
2 , (4.18)
eines Kreises in der x-y-Ebene mit dem Radius r = µv1und dem Mittelpunkt M = {µv1, 0}. Dies bedeutet, dassdie Spitzen aller nach Energie- und Impulssatz mögli-chen Vektoren p!
2 auf diesem Kreis um M durch den
p'11p1
p'2
p' p
!2
!1 =
"
"
" " "m1 m2
Abb. 4.7. Stoß eines Teilchens mit Masse m1 und Impuls p1auf eine ruhende Masse m2, dargestellt im Laborsystem
P(x,y)
y
x
p'1p'2
x
y
p1
""
"
Abb. 4.8. Zur Herlei-tung von (4.18)
Nullpunkt liegen müssen, wenn man sie vom Nullpunktaus aufträgt (Abb. 4.9).
Die Winkel !1 und !2 geben die beim Stoß erfolgtenAblenkungen der beiden Stoßpartner an. Der maximaleAblenkwinkel !max
1 des stoßenden Teilchens wird er-reicht, wenn p!
1 Tangente an den Kreis wird. Für m1 >
m2 $ p1 = m1v1 > 2m1m2m1+m2
v1 = 2m1v11+m1/m2
= 2µv1, d. h.|p| ist größer als der Durchmesser des Kreises. NachAbb. 4.9 gilt daher für m1 > m2 die Beziehung:
sin ! max1 = µv1
(m1 #µ)v1= µ
m1 #µ= m2
m1. (4.19)
p2'
p1'
M
m1 > m2
r = µ . v1p1
p2'
p1'
!2 !1
max! 1
P(x,y).
y
0
" "
""
" x
Abb. 4.9. Impulsdiagramm von elastischen Stößen für denFall m1 > m2. Alle möglichen Endpunkte des Vektors p!
2liegen auf dem Kreis mit Radius µv1 um M
BEISPIELE
1. m1 = 1,1m2 % µ = 0,52m2 % sin !max1 = 0,91
% !max1 = 65& .
2. m1 = 2m2 % µ = 0,67m2 % sin ! max1 = 0,5
% ! max1 = 30& .
3. m1 = 100m2 % µ = 0,99m2% !max
1 = 0,6& .
4.2. Stöße zwischen zwei Teilchen 115
4.2.2 Elastische Stöße im Laborsystem
Man kann die Beschreibung der Stoßprozesse we-sentlich vereinfachen durch geeignete Wahl desKoordinatensystems. Bei vielen Streuexperimentenruht einer der Stoßpartner vor dem Stoß. Wir wählenseinen Ort als Nullpunkt unseres relativ zum Laborfeststehenden Koordinatensystems (Laborsystem). Indiesem System ist also p2 = 0 (Abb. 4.7). Weiterhin sol-len die Massen unverändert bleiben, d. h. m!
1 = m1 undm!
2 = m2. Mit Q = 0 für den elastischen Stoß erhaltenwir aus (4.16) und (4.17):
p1 = p!1 + p!
2 = p! , (4.16a)
p21
2m1= p! 2
1
2m1+ p! 2
2
2m2. (4.17a)
Wir legen die x-Achse unseres Laborsystems in Rich-tung des Anfangsimpulses p1 (Abb. 4.8), sodass gilt:p1 = {p1, 0, 0}. Die Richtung des BahndrehimpulsesL = r " p1 wählen wir als z-Achse, sodass wegender Erhaltung des Drehimpulses die Bewegung beiderStoßpartner in der x-y-Ebene verläuft. Die Spitze desVektors p!
2 wird durch den Punkt P(x, y) definiert. AusAbb. 4.8 ergeben sich die Relationen:
x2 + y2 = p! 22 und
(p1 # x)2 + y2 = p! 21 .
Einsetzen in (4.17a) liefert:
p21
2m1= (p1 # x)2 + y2
2m1+ x2 + y2
2m2.
Ordnen nach x2 und y2 ergibt mit der reduzierten Masseµ = m1m2/(m1 +m2) die Gleichung:
(x #µv1)2 + y2 = (µv1)
2 , (4.18)
eines Kreises in der x-y-Ebene mit dem Radius r = µv1und dem Mittelpunkt M = {µv1, 0}. Dies bedeutet, dassdie Spitzen aller nach Energie- und Impulssatz mögli-chen Vektoren p!
2 auf diesem Kreis um M durch den
p'11p1
p'2
p' p
!2
!1 =
"
"
" " "m1 m2
Abb. 4.7. Stoß eines Teilchens mit Masse m1 und Impuls p1auf eine ruhende Masse m2, dargestellt im Laborsystem
P(x,y)
y
x
p'1p'2
x
y
p1
""
"
Abb. 4.8. Zur Herlei-tung von (4.18)
Nullpunkt liegen müssen, wenn man sie vom Nullpunktaus aufträgt (Abb. 4.9).
Die Winkel !1 und !2 geben die beim Stoß erfolgtenAblenkungen der beiden Stoßpartner an. Der maximaleAblenkwinkel !max
1 des stoßenden Teilchens wird er-reicht, wenn p!
1 Tangente an den Kreis wird. Für m1 >
m2 $ p1 = m1v1 > 2m1m2m1+m2
v1 = 2m1v11+m1/m2
= 2µv1, d. h.|p| ist größer als der Durchmesser des Kreises. NachAbb. 4.9 gilt daher für m1 > m2 die Beziehung:
sin ! max1 = µv1
(m1 #µ)v1= µ
m1 #µ= m2
m1. (4.19)
p2'
p1'
M
m1 > m2
r = µ . v1p1
p2'
p1'
!2 !1
max! 1
P(x,y).
y
0
" "
""
" x
Abb. 4.9. Impulsdiagramm von elastischen Stößen für denFall m1 > m2. Alle möglichen Endpunkte des Vektors p!
2liegen auf dem Kreis mit Radius µv1 um M
BEISPIELE
1. m1 = 1,1m2 % µ = 0,52m2 % sin !max1 = 0,91
% !max1 = 65& .
2. m1 = 2m2 % µ = 0,67m2 % sin ! max1 = 0,5
% ! max1 = 30& .
3. m1 = 100m2 % µ = 0,99m2% !max
1 = 0,6& .
m1=m2
m1<m2
m1>m2
Elastische Streuung von α-Strahlung (He4)
€
m1 = m2 = m⇒ µ =12m
1P!2P!
1P1vR µ=
x
y
Thaleskreis
€
⇒ # P 2⊥ # P 1
€
m1 << m2 ⇒ µ =m
m1m2
+1≈ m1
x 111vmP =
1P!2
P!
1θ
y
Zwei Spezialfälle des Nicht-zentralen Stoßes
Elastische Proton-Proton Streuung
nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel von 90° ein.
Kollision von zwei Billardkugeln ���(im Zeitlupenverfahren gefilmt)
aus Dransfeld et al.
€
Pis∑ = 0
Elastisch entspricht Q = 0
Im S – System behält jeder Partner seine kinetische Energie
€
⇒ # P 1s = P1s = # P 2s = P2s
!2P
1P
sP 2
2P
sP 2!
sP1
sP 1
!
1
!P
S
z
x
Beim elastischem Stoss drehen sich die Impulsvektoren um S
Elastische Stöße im S - System
Entdeckung des Neutrinos durch fehlenden Impuls beim Betazerfall
Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)
€
n0 → p+ + e− + ν
Stöße bei relativistischen Energien
Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)
Relativistische Energie-Impuls Beziehung
€
p(v) = m(v) ⋅ v =m0v
1− v2 c 2
€
E = m02c 4 + c 2p2
€
Ekin = E −m0c2
relativistischer Impuls
relativistische Energie
Kinetische Energie:
Ruheenergie:
€
m0c2 Elektron 0.511 MeV
Proton 938.3 MeV Neutron 939.6 MeV
Chemische Reaktionen : auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
CABBCA K +!→!+
CABBCA pppp +=+
chemkinkin
kinkin
ECEABEBCEAE
Δ++
=+
)()()()(
Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Energiebilanz für endotherme und exotherme Reaktionen
Bsp: 2 Massen
€
EKin =12⋅m1 ⋅
v 12 +12⋅m2 ⋅
v 22
€
=12⋅ (m1 ⋅
v 1S2 + ⋅m2 ⋅
v 2S2 )+ 1
2⋅ (m1 + m2 ) ⋅
v S2 + v S (m1 ⋅
v 1S + m2 ⋅ v 2S )
= p1S + p2S =0
Dito für n > 2
€
EKin im S-System
€
EKinder Gesamtmasse vereinigt in S
Chemische Reaktionen : auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
CABBCA K +!→!+
CABBCA pppp +=+
chemkinkin
kinkin
ECEABEBCEAE
Δ++
=+
)()()()(
Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Energiebilanz für endotherme und exotherme Reaktionen
Systeme von Massenpunkten
Massenschwerpunkt
x y
z
€
m
€
2 ⋅m
€
v r 1
€
r 2
3⋅m ⋅ rS
€
2 ⋅m ⋅ r 1
m ⋅ r2
rSP1M⋅ mi ⋅
rii∑
vS =drSdt
=1M⋅ mi ⋅
i∑ dri
dt=
€
1M
p i∑
rSS
Schwerpunktgeschwindigkeit
Schwerpunktsatz
110 4. Systeme von Massenpunkten. Stöße
F = ddt
!pi = dP
dt, (4.4)
woraus mit (4.2b) und der SchwerpunktbeschleunigungaS = dvS/dt folgt:
F = MaS . (4.5)
Der Schwerpunkt eines beliebigen Systems vonMassenpunkten bewegt sich so, als ob er ein Kör-per mit der Gesamtmasse M wäre, auf den diegesamte äußere Kraft wirken würde.
Oft ist es zweckmäßig, ein Koordinatensystem zuwählen, das den Schwerpunkt als Nullpunkt hat undsich mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit vS gegendas ortsfeste Laborsystem bewegt. Dieses System heißtSchwerpunktsystem.
Zwischen den Ortsvektoren ri im Laborsystem undriS im Schwerpunktsystem gelten nach Abb. 4.1a dieRelationen:
ri = riS +rS . (4.6a)
Durch Einsetzen in (4.1) erhält man:!
i
miriS =!
i
mi (ri !rS)
=!
i
miri !!
i
mirS = 0 ,
!miriS = 0 (4.6b)
Die Geschwindigkeit eines Körpers sei vi im Laborsys-tem und viS im Schwerpunktsystem. Der Impuls einesKörpers im Schwerpunktsystem sei piS. Dann gilt:
vi = viS +vS bzw. (4.6c)
!
i
miviS =!
i
piS = 0 , (4.6d)
wie durch Differentiation von (4.6a) bzw. (4.6b) folgt.
Die Summe aller Impulse im Schwerpunktsystemist immer Null.
Für ein abgeschlossenes System aus nur zwei Mas-sen m1, m2 ergibt sich damit für die kinetische Energieim Laborsystem:
Ekin = 12 m1v
21 + 1
2 m2v22
= 12
"m1v
21S +m2v
22S
#+ 1
2 (m1 +m2) v2S
+ (m1v1S +m2v2S) ·vS . (4.7a)
Der letzte Term ist Null wegen p1S + p2S = 0, und wirerhalten
Ekin = E(S)kin + 1
2 Mv2S . (4.7b)
Die kinetische Energie Ekin, gemessen im Labor-system, lässt sich schreiben als Summe aus E(S)
kinim Schwerpunktsystem und der kinetischen Ener-gie der im Schwerpunkt vereinigten Gesamtmasse(Translationsenergie des Systems).
Die Gesamtbewegung des abgeschlossenen Sys-tems wird dabei gemäß (4.6c) aufgeteilt in einegleichförmige Bewegung des Schwerpunktes mit derkonstanten Geschwindigkeit vS und eine Relativbewe-gung beider Teilchen um den Schwerpunkt.
4.1.2 Reduzierte Masse
Zwei Teilchen mit den Massen m1 und m2 mö-gen aufeinander mit der Kraft F12 = !F21 wirken.Jede weitere Wechselwirkung mit äußeren Feldern seivernachlässigbar. Die Bewegungsgleichungen lautendann:
dv1
dt= F12
m1; dv2
dt= F21
m2. (4.8a)
SubtraktionliefertbeiBerücksichtigungvon F12 =!F21
ddt
(v1 !v2) =$
1m1
+ 1m2
%F12 . (4.8b)
Dabei ist v1 !v2 = v12 die Relativgeschwindigkeit derbeiden Teilchen.
Führt man die reduzierte Masse
µ = m1m2
m1 +m2(4.9)
F =M ⋅
aSP
Zerlegung in Schwerpunkt- und innere Bewegung
piS∑ = 0 Die Summe aller Impulse im Spkt-System ist immer Null
€
EKin+ im S-System
€
EKinder Gesamtmasse vereinigt in S
Lges =
rSP ×MvSP +
riS ×mviS
i∑
pges =M ⋅vSP
Ekinges =
12Mv2 + 1
2mviS
2
i∑
Bahndrehimpuls + Eigendrehimpuls
Spezialfall – zwei Körper
Lges =
rSP ×MvSP + r12 ×µv12
pges =M ⋅vSP
Ekinges =
12Mv2 + 1
2µv12
2
€
mit µ =m1m2
m1 +m2
F12 = µ
dv12
dt Reduzierte Masse Relativ-Geschw.
€
v12 = v1 − v2
1m
€
m2
€
v1
€
v2
1m
€
m2
€
v1
gebundenes System
Stoß