2x = ? | Urs Vonesch Einführung ins Lösen von Gleichungen

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Urs Vonesch

Einführung ins Lösen von Gleichungen

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Aufgabe 1

Wie gehen Sie vor?

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Notieren Sie rechts einessenkrechten Striches,wie Sie die beiden Seitender Gleichung verändern.

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Aufgabe 2

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Den Nenner durch Multiplikationwegschaffen

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• 2x = ? | Aufgabe 3

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• 2x = ? | Aufgabe 4

Sortieren: x-Ausdrückeauf eine Seite bringen

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• 2x = ? | Aufgabe 5: eine Ungleichung

Bei Ungleichungen mussstets die Grundmenge angegeben sein(N, Z, Q oder R).

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Die Lösung ist eine ganze Zahlmenge,die Lösungsmenge L. Die Grundmenge war hier Z. L ist eine Teilmenge davon.Hier ist die aufzählende Form günstig.

• 2x = ? | Aufgabe 6

Alle x-Ausdrücke aufeine Seite bringen...

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Grundmenge war Z.L ist Teilmenge davon.Aufzählende Form.

• 2x = ? | Aufgabe 7

Hier ist G = R.

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x wird auf diejenige Seite geschafft,bei der beim Verrechnen positive x-Termeentstehen, hier also nach rechts:

Wie sieht der nächste Schritt aus?

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Achtung: 16 > x bedeutet:x ist kleiner als 16.Bei Grundmenge R istdie aufzählende Form nicht möglich. L wird in derbeschreibenden Form notiert.

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Aufgabe 8: Sie zeigt uns eine wichtigeRegel bei Ungleichungen.

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Wichtig: Wird eine Ungleichungbeidseitig mit einer negativen Zahlmultipliziert, so ändert das <, bzw.das >-Zeichen! Dasselbe gilt beibeidseitiger Division durch einenegative Zahl.Hier wird beidseitig durch (-1)dividiert. > wird dann zu <:

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• 2x = ? |Aufgabe 9: verschiedene Nenner

Erster Schritt: gleichnamig machen,d.h. Hauptnenner (HN) finden

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Erweitern auf den Hauptnenner:

2.Schritt: Beidseitig mit dem HNmultiplizieren.Die Nenner fallen dann weg.

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3.Schritt: x auf eine Seite schaffen,so dass positive x-Terme entstehen.Wir schaffen hier x nach rechts.

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Aufgabe 10: Gleichungen mit Buchstaben(„Parametern“)

Vorgehen: 1. Alle x auf eine Seite schaffen2. x ausklammern3. x durch Division isolieren

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Aufgabe 11

x auf eine Seite schaffen, dann ausklammern

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... und zum Schluss x isolieren.

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Aufgabe 12: x kommt auch im Nenner vor

Wichtig: Die Gleichung ist nur für x-Werte definiert,bei denen keiner der Nenner 0 wird. Das ist am Schluss nachzuprüfen. Hier darf x nicht 4/3 werden.

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Durch Erweitern den HN suchen und dann mitdiesem multiplizieren:

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Vorsicht beim Verschwinden der Bruchstriche:Bruchstriche waren Klammern. Deshalb der Vorzeichenwechsel (rotes + unten):

Die Lösung x = -2 gehört zu den erlaubten Zahlen.

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Aufgabe 13: Nochmals x im Nenner

Der Hauptnenner wird via 3.BinomischeFormel gefunden:

Verbotene x sind 5 und -5, denn da wirdein Nenner null. Man sagt:Der Definitionsbereich D ist R ohne {-5, 5}.

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Erweitern und Multiplikation mit dem HN:

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Vorsicht hier: Minus vor dem Produkt

Wir setzen als Zwischenschritt hier eine Klammer

Vorzeichenwechsel beim Auflösen der Klammer

Schlusskontrolle: Ist x ein erlaubter Wert?

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Nein! x ist nicht Element des Definitionsbereichs D!

Die Lösungsmenge ist die leere Menge;die Gleichung ist unlösbar.

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Es kann vorkommen, dass Sie nach etlichen Schritten des Auflösens einer Gleichung zu folgendem Resultatkommen:2x = 2x oder x = x.Was bedeutet dies?Dies bedeutet eine „Selbstverständlichkeit“, die fürjedes x gilt. Sie können einsetzen, was Sie wollen: DieGleichung stimmt immer.Man sagt:Die gegebene Gleichung ist allgemeingültig.Die Lösungsmenge L ist gleich dem Definitionsbereich D:L = D.

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Zusammenfassung: Vorgehen beim Auflösen von Gleichungen:

1. Definitionsbereich D bestimmen (Nenner ≠ 0)2. Gleichnamig machen (HN suchen)3. Mit HN multiplizieren. Achtung auf Vorzeichen!4. Sortieren: Alle x-Terme auf eine Seite bringen5. Bei Buchstabengleichungen: x ausklammern6. x isolieren7. Lösung überprüfen: erlaubt oder verboten?

Vorsicht bei Ungleichungen, wenn mit negativenZahlen multipliziert oder durch negative Zahlendividiert wird: > und < wechseln!

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