3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen 3.3.1 Halbschriftliche...

3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen

• 3.3.1 Halbschriftliche Addition und Subtraktion

• 3.3.2 Halbschriftliche Multiplikation und Division

Rahmenplan

• Rahmenplan Hessen S. 154:• Das halbschriftliche Rechnen wird auch bei den

multiplikativen Operationen zur Entlastung des Gedächtnisses und zur übersichtlichen Darstellung von Rechenschritten eingesetzt. Dabei ist eine rigorose Formalisierung zu vermeiden; Zwischenschritte notiert jedes Kind nur so lange, wie es dies selbst für notwendig hält.

• Problem für die Unterrichtspraxis:• Der Rahmenplan macht keine klaren Aussagen zu

Aufgabentypen bzw. zur Größe der Zahlen.

Aufgabentypen

• Multiplikation und Division mit Zehnerzahlen• Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten

Zehnerzahlen• Multiplikation einer einstelligen Zahl mit gemischten

Hunderterzahlen

• Multiplikation zweier zweistelliger Zahlen (beide Faktoren ≤ 20)

Lösungsstrategien

• Multiplikation:• Analogieaufgaben• Schrittweises Rechnen• Vereinfachen• Hilfsaufgabe• Malkreuz

• Division:• Analogieaufgaben • Schrittweises Rechnen• Hilfsaufgabe

Lösungsstrategien

• Analogieaufgaben• (beonders beim Rechnen mit Zehnern und Hundertern)

• Beispiele:

20 · 7 2 · 7 = 1420 · 7 = 140

1800 : 3 18 : 3 = 6 1800 : 3 = 600

Lösungsstrategien

Lösungsstrategien zur Multiplikation

• Schrittweises Rechnen

• 9 · 28 • 9 · 20 = 180• 9 · 8 = 72• 9 · 28 = 252

• 8 · 237• 8 · 200 = 1600• 8 · 30 = 240• 8 · 7 = 56• 8 · 237 = 1896

• Kurzform: 1600 + 240 + 56 = 1896

Lösungsstrategien

• Schrittweises Rechnen

• 13 · 14• 13 · 10 = 130• 13 · 4 = 52• 13 · 14 = 182

Lösungsstrategien zur Multiplikation

• Hilfsaufgabe

• 17 · 19 = 340 – 17 = 323• 17 · 20 = 340

• 38 · 99 = 3800 – 38 = 3762• 38 · 100 = 3800

Lösungsstrategien zur Multiplikation

• Vereinfachen

• 16 · 50 = 800• 8 · 100 = 800

• 28 · 25 = 700• 14 · 50• 7 · 100

Lösungsstrategien zur Multiplikation

Lösungsstrategien zur Multiplikation

• Malkreuz• Beispiel: 13 · 16

· 10 3

10 100 30 130

6 60 18 78

160 48 208

Lösungsstrategien zur Multiplikation

• Arbeitsmittel: Vierhunderterfeld

Lösungsstrategien zur Multiplikation

• Multiplizieren am Vierhunderterfeld - Malkreuz

Lösungsstrategien zur Division

• Schrittweises Rechnen

• 693 : 3 • 600 : 3 = 200• 90 : 3 = 30• 3 : 3 = 1• 693 : 3 = 231

Lösungsstrategien zur Division

• Schrittweises Rechnen• 237 : 3

• Problem: Wie kann man zerlegen?

237 : 3 = 210 : 3 = 70 27 : 3 = 9237 : 3 = 79

237 : 3 = 180 : 3 = 60 30 : 3 = 10 27 : 3 = 9237 : 3 = 79

237 : 3 = 240 : 3 = 80 3 : 3 = 1237 : 3 = 79

Häufige Schülerfehler beim Multiplizieren und Dividieren

• 8 · 60 = 488• Multiplikation der Null als 8 · 0 = 8

• 40 · 20 = 80• Vernachlässigen einer Null

• 6 · 60 = 660• Perseverationsfehler (Nachwirken von Zahlen)

Häufige Schülerfehler beim Dividieren

• 800 : 20 = 400 oder 800 : 20 = 4• Fehlerhaftes Nullenstreichen

• 400 : 80 = 20• Vertauschen der ersten Ziffern bei Dividend und Divisor

• 400 : 80 = 51• Fehlerhafte Division durch Null • (gerechnet: 40 : 8 = 5, 0 : 0 =1)

Rechnen mit Kommazahlen

Division mit Rest

• In Deutschland gab (gibt) es eine Diskussion um die Schreibweise der Division mit Rest.

• Möglichkeiten:

• Restschreibweise• 13 : 5 = 2 Rest 3

• Zerlegungsschreibweise• 13 : 5; 13 = 5 · 2 +3

• Divisionsschreibweise• 13 : 5 = 2 + (3 : 5)

Division mit Rest

• Argumente gegen die Restschreibweise:• (1) Gleichheitszeichen wird nicht korrekt im Sinne der

mathematischen Identität gebraucht.

• (2) Die Restschreibweise verstößt gegen die Transitivität der Gleichheitsrelation.

• 14 : 4 = 3 Rest 2 und 11 : 3 = 3 Rest 2• Aber es gilt nicht: 14 : 4 = 11 : 3

Verknüpfung von Rechenoperationen

• Gewinnung der Regel „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“

• Beispiel: 2 + 3 · 5

• Methodischer Weg:• Ausprobieren und Überprüfen am Sachverhalt• 2 + 3 · 5 = 25 ?oder• 2 + 3 · 5 = 17 ?• Möglicher Sachverhalt:• Zwei einzelne Joghurtbecher und 3 x 5 Joghurtbecher in einer

Palette werden “zusammengezählt”

Übungsformen

• Automatisierendes Üben• Ziel: Fertigkeiten• Merkmal: schnelles und sicheres Beherrschen von

Handlungen (teilweise automatisiert)• Einprägendes Üben• Ziel: Kenntnisse• Merkmal: abrufbares Wissen• Operatives Üben• Ziel: Fähigkeiten• Merkmal: flexibles Anwenden beim Problemlösen

Beispiele für Operative Übungen

•Nachbaraufgaben (Handbuch produktiver Rechenübungen, Bd. 2, S. 71)

Beispiele für Operative Übungen

Ist das immer so?

Beispiele für Operative Übungen

• Zifferntausch• Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 sollen je zwei zweistellige Zahlen

gebildet und multipliziert werden.• 1. Frage:• Wie viele verschiedene Aufgaben gibt es?

• 2. Frage:• Versucht die Aufgaben nach der Größe ihrer Ergebnisse zu

ordnen! Ihr braucht nicht unbedingt auszurechnen, wenn ihr es anders entscheiden könnt.

Beispiele für Operative Übungen

• Zifferntausch

Beispiele für Operative Übungen

• „Immer 22“

• Wähle aus den Ziffernkärtchen mit den Zahlen 0 bis 9 drei beliebige aus.

• Es lassen sich damit sechs verschiedene zweistellige Zahlen bilden.

• Addiere die sechs Zahlen. Dividiere anschließend durch die Summe der drei ausgewählten Zahlen.

• Das Ergebnis der Divisionsaufgabe ist immer 22.• Warum?

Beispiele für Operative Übungen

• „Immer 22“• Beispiel: 3, 4, 6

Zehner Einer

3

4

6

6

4

3

4

6

4

3

3

6

2 · 13 2 · 13

Beispiele für Operative Übungen

• Rechenketten

• Beispiel:• Merke dir eine Zahl• Multipliziere die Zahl mit 6!• Addiere zum Ergebnis 3!• Dividiere das neue Ergebnis durch 3!• Subtrahiere vom neuen Ergebnis 1!• Vergleiche Endergebnis und Startzahl!• Das Endergebnis ist doppelt so groß wie die Startzahl.

Alternative Multiplikationsverfahren

• Verdopplungs- /Halbierungsverfahren („Russisches Bauernmultiplizieren)

• Verdopplungsverfahren

• Die Neperschen Streifen / Gittermethode

• Diese Verfahren sind vor allem als Alternativen zum schriftlichen Normalverfahren zu verstehen.

Alternative Multiplikationsverfahren

• Verdopplungs- /Halbierungsverfahren• „Russisches Bauernrechnen“• Grundidee: Ein Faktor wird verdoppelt, der andere halbiert.

• Beispiel: 346 · 36

• 346 · 36

• = 692 · 18

• = 1384 · 9• > 2768 · 4 • = 5536 · 2• = 11072 · 1

11072+ 1384 12456

Also: 346 · 36 = 12456

+1384

346 · 36 692 · 18 1384 · 9 2768 · 4 5536 · 211072 · 1

Alternative Multiplikationsverfahren

• Verdopplungsverfahren• Es muss nur das Verdoppeln und das Multiplizieren mit

Zehnerpotenzen beherrscht werden.• Beispiel:• 4379 · 86• · 8 35032• · 4 17516• · 2 8758• · 1 4379 · 86• 4379 · 80 = 350320• 4379 · 4 = 17516• 4379 · 2 = 8758• 4379 · 86 = 376594

Alternative Multiplikationsverfahren