4 Statistische Anwendungen und Modelle

UVP und (Dkometrie Beitragsserien

Beitragsserie: UVP und Okometrie

Hrsg.: Dr. Th. Bunge, Dipl.-Geo6kol. L. Ries, Umweltbundesamt, Bismarckplatz 1, D-W-IO00 Berlin 33

Die Beitragsserie aus den Ausgaben 2 - 6 / 1 9 9 2 sowie 1 und 2/1993 wird hier fortgesetzt. ]

4 Statistische Anwendungen und Modelle

4.3 Fliichendeckende Verteilung yon Klimagr6f~en

- Zwei statistische Verfahren mittels Empirischer Orthogonalfunktionen (EOF) Ihre A n w e n d u n g am Beispiel der Globalstrahlung

j . Schneider

Dipl.-Phys. J. Schneider, Deutscher Wetterdienst (DWD), Meteorologisches Observatorium Hamburg, Frahmredder 95, D-2000 Hamburg 65

Zusammenfassung. Am Beispiel der Globalstrahlung werden zwei statistische Verfahren zur fl/ichendeckenden Verteilung (Inter- polation) von Met]gr6gen mittels Empirischen Orthogonalfunktio- nen (EOF) vorgestellt: EOF-Verfahren zur Interpolation in der F1/iche durch Beschreibung der - zeitlichen Variation im Raum mit/ohne Beriicksichtigung der

Topographie - r/iumlichen Variation in der Zeit mit Ber/.icksichtigung der To-

pographie Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Darstellung der praktischen Durchf/ihrung dieser Verfahren. E in weiteres Verfahren, die ,,Cluster-Analyse ~, wird kurz beschrieben. Mit dem EOF-Verfahren der zeitlichen Variation ohne Ber0cksich- tigung der Topographie wurden die mittleren monatlichen Tages- summen der Globalstrahlung yon 29 Strahlungsmegstationen des Deutschen Wetterdienstes for das Jahr 1988 verarbeitet: - der Vergleich von interpolierten und gemessenen Globalstrah-

lungsmetgwerten lieferte eine mittlere Abweichung yon 0,7 %; - die Verarbeitung der Daten nach der Cluster-Analyse und an-

schlieflender Gravity-Interpolation erbrachte eine mittlere Ab- weichung yon 0,3 %.

Das EOF-Verfahren der zeitlichen Variation unter Beriicksichtigung der Topographie auf Mittelwerte der Globalstrahlung wiihrend der Jahre 1976 - 1985 yon 75 Melgstationen ergab eine mittlere Abwei- chung yon 3,42 %. Das EOF-Verfahren der r~iumlichen Variation in der Zeit unter Be- riicksichtigung der Topographie auf die aus der Sonnenscheindauer berechneten Globalstrahlungswerte von 169 Me~stationen erbrachte eine mittlere Abweichung yon 6,17 %. Der Vergleich der Ergebnisse nach dem EOF-Verfahren mit dem nach der Gravity-Interpolation zeigt eine gute Obereinstimmung beider Methoden.

1 Ein le i tung

Die Kenntnis der fl/ichendeckenden Verteilung einer Meg- grOge, f/Jr die auf einer Fl~iche aber nur punktuelle Messun- gen vorliegen, und damit die Kenntnis fiber den Wert dieser Meggr6ge for die Bereiche auch zwischen den Mef~punkten ist ein Anliegen vieler Forschungsbereiche, die sich mit fl~i- chenverteilten Mef]gr6gen befassen.

Am Meteorologischen Observatorium Hamburg des Deut- schen Wetterdienstes wird derzeit an vier verschiedenen Me-

thoden zur fl~ichendeckenden Verteilung von Met~gr6gen am Beispiel der Globalstrahlung gearbeitet:

- geostatistische Methodik - Kombination yon Regressionsrechnung und Clusterana-

lyse (Regressionsuntersuchung einer Meggr6gc unter Ver- wendung einer weiteren Gr6tge, die mit der ersten im li- nearen Zusammenhang steht und einer Cluster-Analyse unterworfen wird)

- zwei Verfahren unter Verwendung Empirischer Ortho- gonalfunktionen.

Von den Untersuchungen mit geostatistischen Verfahren lie- gen zur Zeit noch keine ausreichenden Ergebnisse vor; auch das Verfahren der Cluster-Analyse soil hier nur am Ran& gestreift werden, da es bereits ausffihrlich bei CZFPLAK [1], [2] dokumentiert ist. Dieser Beitrag befagt sich ausffihrlich mit zwei Verfahren un- ter Verwendung Empirischer Orthogonalfunktionen:

- m i t zeitlicher Variation im Raum. - mit rdumlicher Variation in der Zeit.

Das Verfahren zur flfichendeckenden Prognose von Klima- gr6gen ist nicht auf die Untersuchung der Globalstrahlung beschrfinkt, sondern ein allgemeines mathematisches Verfah- ren zur Untersuchung der zeitlichen und r/iumlichen Varia- bilit~it beliebiger skalarer Gr6gen. Die Untersuchung der Glo- balstrahlung dient als erliiuterndes Beispiel. Durch die all- gemeine Einsetzbarkeit kann dieses Verfahren auch prinzi- piell im Rahmen der Umweltvertr/iglichkeitspriifung (UVP) angewendet werden, wenn in der Fliiche gemessene Daten zu untersuchen sind.

Die Methode der Empirischen Orthogonalfunktionen (EOF) ist ein rein statistisches Verfahren zur Auswertung von Meg- daten, d.h. das genaue Gegenteil einer deterministischen Be- schreibung der Megwerte durch mathematische Funktionen.

Das mathematische Verfahren der Empirischen Orthogonal- funktionen beschriinkt sich im wesentlichen auf Matrizen- multiplikationen und die Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen. Der grofi~e Rechen- aufwand erfordert den Computer.

162 UWSF-Z.Umweltchem. Okotox. 5 (3) 162-170 (1993) (c) ecomcd-verlagsgesellschaft mbH & Co KG Landsberg

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Mittels einer digitalen Get~indedatei wird die Auswertung der punktuellen Mef~daten in dic Flfiche umgesetzt. Dadurch sincl verlfif~liche Aussagen fiber die bctrachtete physikalische Gr6t~e auch ffir die Bereiche zwischen den Megstationen (fiir die keine Messungen vorlicgen) m6glich. Der hinter diesem Verfahren stehende exakte mathematischc Formalismus ist beschrieben bei LORENZ [3], OBUKHOV [4], ERDMANN & FECHNFR [5], FECHNER [6] und [7]. Hier wer- den die praktische Durchffihrung dieses Verfahrens und seine Ergebnisse anhand zweier konkreter Anwendungen darge- stellt.

2 Die Ausgangsdaten

Als Ausgangsdaten dienen die mittleren monatlichcn Tages- summen der Globalstrahlung, die an den 29 Strahlungsmeg- stationen des Deutschen Wetterdienstes im Jahre 1988 ge- messcn wurden (pro Station 12 Mittelwerte) ( * Abb. I).

Norderney 66 ,~,~

80 84

~ ' ~ Hamburg .,) ~]~P

49 ) Bremen 54 (54) �9 Globalstrahlung (14) / 77 (~) Global- und diffuse

Sonnenstrahlung (15) OsnabdJck (77)(~79 Braunschw ~1~ ,AtmosphSris,che 58 (~i wArmestran ung (6)

, ,AtmosphSr s,che Bad Lippspnnge (77) ~' ~ w~.rmestran ung e82 Braunla~,~ geplant (1) ?) (P) Gelsenkirchen 57 ~'] Nationale

73 L~denscheid Kassel ,- - ' ~ Strahlungszentrale (77) O ~ %,..~

87 79 ,4/ Die ZaNen an den Born (79) / Stationen r das

�9 Gier~en L ~ Jahr des B'eginns der 76 �9 MeBreihen yon GIo- balstrahlunr (diffuser 8t ~C'~-~ "-"X~ Sonnenstra~!qng) Geisenheim -~Gonum ,, bzw atmospn~.nscher

Trier �9 ~1~ 81 " ~&{mestrahlung an. (~9=o)(~ 76 88 W~rzburg \ Mannheim 5(5(5(~7 ~aarbracken [79 )(.~ (78) N~rnberg

�9 8~ �9 76 WeiBenburg a s s a ~ Stuttgart (8~) p

(79) Weih.ens~phan ~ 9 [79 )(~

f :reiburg 6~71~7 _,~[ I (~)(773 ) Hoheqp#. i&enberg

~ , ~ s t anz ~ ~,2 77 53 ~ -

Abb. i : Strahlungsmegnetz des Deutschen Wctterdienstes (Stand 31. 12. 1989)

Diese 12 skalaren Wcrte - geordnet von Januar bis Dezem- ber - wurden formal zu einem Datenvektor zusammenge- fat~t. Ordnet man diese Datenvektoren aller 29 Stationen un- tereinander an, so erh~ilt man eine rechteckige Matrix mit 29 x 12 Elementen, die Beobachtungsmatrix. Da die Beobachtungsdaten derselben Meggr6fle an verschie- denen Stationen in einer solchen Matrix miteinander korre- liert sind, liegt ein Obermag an Information vor. Unkorre-

lierte, d.h. voneinander unabh~ingige Daten sind dagegen im mathematischen Sinn orthogonal (senkrecht). Daher wird eine Datentransformation mit dem Ziel vorgenommen, die Beobachtungsdaten durch unkorrelierte, d.h. orthogonale Gr6gen zu erkl~iren und damit gleichzeitig eine krfiftige Re- duktion der Datenmenge durchzuffihren [8].

3 Begriffsbestimmung

In der Literatur wird statt ,empirischer" Orthogonalfunk- tionen oft auch der Begriff,,nattirliche" Orthogonalfunktion benutzt, was dasselbe meint: die Ausgangsdaten sind echte Met~gr6flen. Des weiteren finder man statt Orthogonalfunktion auch oft die synonym verwendeten Begriffe Eigenfunktionen oder Ei- genvektoren, da die Orthogonalfunktionen nach der Theo- rie der Empirischen Orthogonalfunktionen (siehe z.B. LO- RENZ [3]) gerade die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix sind, die aus der Beobachtungsmatrix gewonnen wurde ( ~ Abschnit t 4).

Das Verfahren der zeitlichen Variation im Raum ohne Beriicksichtigung der Topographie (nach ST1DD [9] und GRANGER [10])

4.1 Die Kovarianzmatrix

Die Beobachtungsdatenmatrix A,j besteht aus i = 29 Zeilen fi (Stationen) mit jeweils j = 12 Spalten fj (Terminen). Die Kovarianzmatrix Kij berechnet man (siehe [3] und [5]) als

T

t = l

mit T--Zahl der Stationen, wobei die Multiplikation zwi- schen den Spalten (Terminen) und die Summation fiber die Zeilen (Stationen) durchgeffhrt wird. Aus der rechteckigen Beobachtungsmatrix A,) wird eine quadratische Kovarianz- matrix K,j mit nut noch 12 x 12 Elementen, wobei die Dia- gonalelemente yon K,) proportional zur rfiumlichen Varianz sind.

4.2 Berechnung der Empirischen Orthogonalfunktionen

Die Eigenwcrte und Eigenvektoren (Orthogonaifunktionen) der Kovarianzmatrix K,j werden berechnet. Dazu bietet sich entwcder ein Verfahren yon JACOBI [11] an, das yon RAI.- STON & WILF [] 2] in ein Algolprogramm umgesetzt wurde, oder die Fortran-Subroutine FO2ABF aus der Computer- Subroutine-I.ibrary NAG-LIB [13]. Die Ausgabe der Eigenwerte muf~ so durchgeffihrt werden, dat~ diese in absteigender Folge yore gr6Rten zum kleinsten Wert angegeben werden. Analog werden die Eigenvektoren der jeweiligen Eigenwerte in derselben Reihenfolge spalten- weise in Form einer Matrix E ausgegeben. Die Eigenwerte werden aufsummiert. Der Anteil an der Ge- samtvarianz, der yon jedem Eigenwert erkl/irt wird, ist ge-

UWSF-Z.Llmweltchem-Okotox. 5 (.3) 1993 163

UVP und Okometrie Beitragsserien

rade der Anteil, den er an der Gesamtsumme der Eigenwerte hat. Gleichzeitig ist das derselbe Anteil, den auch der jewei- lige Eigenvektor an der Gesamtvarianz abdeckt. Im vorlie- genden Fall erkl~iren gerade die 4 ersten Eigenvektoren zu- sammen 99 % der Gesamtsumme, oder, anders ausgedr/Jckt: die 4 ersten Eigenvektoren reichen aus, um die monatlicbe Variation der GlobalstrahIung hinreichend zu bescbreiben (CZEP[ AK [1]): Die Anordnung der Eigenvektoren und Ei- genwerte nach ihrer Gr6f~e ist also gleichzeitig eine Anord- nung nach ihrer Wichtigkeit.

Weiterhin beschreiben die Eigenvektoren (als charakteristi- sche Funktion der Beobachtungsdaten) die Faktoren, die den Wert der zu bearbeitenden Meflgr6f~e beeinflussen, in der Reihenfolge ihrer Wichtigkeit. Dabei ist es unerheblich, ob zur Zeit der Berechnung bekannt ist, welch= Faktoren Ein- fluf~ auf die Met~gr6t~e haben. Des Eigenvektorverfahren bietet die M6glichkeit, unbe- kannte und implizit schon in den Mef~daten enthaltene Ein- fluf~faktoren mathematisch zu bestimmen, d.h. durch die In- terpretation der Ergebnisse und ldentifikation der zugrun- deliegenden physikalischen Zusammenhiinge.

LORENZ [3J hat gezeigt, dat~ Empirische Orthogonalfunktio- nen die besten unter allen linearen Funktionen sind, die man aus den Beobachtungsdaten gewinnen kann, da sie den gr6f~- ten Anteil an der Gesamtvarianz erkEiren. In Abb. 2 sind die 4 ersten Eigenvektoren grafisch dargestellt; sie lassen sich nach GRAr<GEk [10] und CZEPLAK [1] [2] wie folgt iuterpretieren ('~ Abb. 2): - Eigenvektor I entspricht dem jahrlichen Verlaufvon Sonneneinstrah-

lung und Tagesl~inge. - Eigenvektor 2 ist = i t der Wo]kenklimatologie und dam Schema der

synoptischen System= in der Regenperiode (Europ~iischer Sommer- Monsun) verbunden und gibt den Jahresgang der Wetterlage wieder.

- Eigenvektor 3 beschreibt vor allem die atmosph~irischen Konvektion- sprozesse.

- Eigenvektor 4 verlfiuft vermutlich in Abh~ingigl~eit yon Nebel und Schichtwolken.

Dcr Anteil des 4. Eigenvektors gegenfiber den drei ersten ist aber relativ gering und damit auch sein Einfluf~ auf die Glo- balstrahlung.

4.3 Die Multiplier

Als ntichstes wird eine Matrix M erzeugt, die aus sog. Mul- tiplieren besteht. Der Begriff des Multipliers wurde von STIDD [9] eingeffihrt und folgendermaf~en definiert:

M = E ' - A (2)

wobei E' die Transponierte von E ist.

Da die ersten 4 Spahen der Eigenvektormatrix E 99 % der Gesamtvarianz erkl~tren, gehen in Gleichung (2) nur die er- sten 4 Zeilen der Transponierten E" ein, so daf~ Meine Ma- trix =i t 4 x 29 Elementen wird. Sie enthiilt for jede der 29 Stationen die 4 ersten (wichtigsten) Multiplier. Diese Multiplier gehen bis hierhin aber nur exakt an den 29 Met]stationen, an denen die Beobachtungsdaten genommen wurden. Daher wird jeder dieser 4 Multiplier getrennt fiber

Eigenvector 1 Y e a r of t 8 8 8

V a l u e of E l g e n v e e t o r C o m p o n e n t a 1.o

0.6

0.0

-0 .6

- 1,0 ' ' " ' " " ' ~ ' J I = M A M J J A B

M o n l h s

2 9 S t a t i o n = o f G e r m a n R a d i a t i o n N e t w o r k

Eioenvector 2 Y e a r of 198B

Value of E l g e n v e c l o r C o m p o n e n l a t.o

O hi D

O.0

- 0 , 6

-1,C ' t a = L l = = _ _ t , t t

d F M A M J d A ~ O N D

M o n t h =

20 81at iona o| G e r m a n R a d i a t i o n N e t w o r k

Eigenvector 3 Y e a r o! t~S8

V a l u e o f E i g e n v e c t o r C o m p o n e n t = t.o

o,o -~.--

- 0 , 6

- I ,O L L L A A ~ t _ _ _ , i

J F 1,4 A M J J A

Monihe

20 S ta t i ons of G e r m a n R a d i a t i o n N e t w o r k

Eigenvec lor 4 Y e a r o l 1988

Va lue o l E i g e n v e c i o r C o m p o n e n t = t . O

0 , 0

f . 0 . 6 �84

i

J F bl A bl J J A 8 0 H D

M o n t h l

2 9 S l a t l o n a o| C a r m e n R a d i a t i o n N e t w o r k

Abb. 2: Eigenvektoren 1 - 4 (ffir das Jahr 1988): 29 Strahlungsmef~stationen

| .0

0.6

O.D

-O .E

- 1.0

1.0

0.6

0,0

-O.fi

- 1,0

1.0

0,6

0,0

-0 .6

i - - L - - ~ . t,O O N D

1.O .

0 . 6

0 , O

- O , f i

- 1 , O

164 u w s t ; - Z.Umwehchem. (3kotox. 5 (3) 1993

Beitragsserien UVP und Okometrie

die Fl~iche der Bundesrepublik interpoliert, um auch Multi- plierwerte ffir die Bereiche zwischen den Megstationen zu erhalten.

Mit Hilfe einer digitalen Gel~indedatei (Gelfindekarte) der Bundesrepublik bestimmt man zuerst anhand der Koordina- ten der Stationen, an welchen Punkten der Gelfindekarte die Stationen liegen. Dann schl~igt man um jeden Punkt der Karte einen Radius, dessen Gr6ge vonder Zahl der vorhandenen Stationen abhfingt, der im vorliegenden Fall R = 120 km be- trug. Die Werte des Multipliers derjenigen Stationen, die ge- fade innerhalb dieses Radiusses liegen, werden nach ihrer Distanz zum betrachteten Punkt gemittelt und ihr Beitrag am Mittelwert dabei nach der 1/R-Gewichtsfunktion gewich- tet. Bei der Distanzbestimmung werden ferner die H6henun- terschiede zwischen der jeweiligen Station und dem betrach- teten Punkt berficksichtigt. Das Ergebnis wird dann dem be- trachteten Punkt als sein Multiplierwert zugewiesen. Es er- geben sich 4 Multiplierkarten.

4.4 Die fl/ichendeckende Berechnung der Global- strahlung aus Eigenvektoren und Multipliern mittels Eigenvektormatrix E und Multiplierkarten

Um die Globalstrahlung aus Eigenvektoren und Multipliern zu berechnen, multipliziert man Gleichung (2) yon links mit E und erh/ilt

E . E ' . A - - E - M (3)

Da nach den Gesetzen der Matrizenrechnung ffir orthogo- nale Matrizen immer gilt, daft die Transponierte einer Ma- trix gleich ihrer Inversen, also E' -- E ~ ist, folgt

E �9 E i . A = E �9 M u n d d a r a u s A = E �9 M, (4)

wobei man die Zeilen yon E mit den Spalten yon M multi- pliziert. Die Aufspaltung der ,Beobachtungsmatrix" A in Gleichung (4) in zwei Komponenten liefert einen nur zeitabhfingigen An- tell, niimlich die Eigenvektoren, deren 12 Zeilen den 12 Mo- naten des Jahres entsprechen, und einen nur ortsabhfingigen Anteil, n/imlich die Multiplier, die fiber die Fl~che (Gelfin- dedatei) interpoliert werden. Die Matrix A in Gleichung (4) ist natiirlich nicht mehr exakt identisch mit der Beobachtungsmatrix A in Gleichung (2), da zu ihrer Berechnung nach Gleichung (4) nut die 4 ersten (wichtigsten) Spalten der Eigenvektormatrix E und die er- sten 4 Zeilen der Multipliermatrix M verwendet wurden. Da man nicht nur die ohnehin bekannten Werte der Global- strahlung am Ort der Me~stationen berechnen, sondern eine flfichendeckende Verteilung erreichen will, geht man folgen- dermagen w)r: da dic 12 Zeilen in E die 12 Monatswerte der 4 ersten Eigenvektoren enthalten, wfihlt man einen Mo- nat aus, z.B. Juni, geht Punkt for Punkt durch eine Gelfin- dekarte und berechnet die Globalstrahlung an dem jeweili- gen Punkt der Karte, indem man die 1. Komponente von Zeile 6 aus E (Wert des 1. Eigenvekturs for Juni) mit dem Wert an demselben Punkt in der 1. Multiplierkarte multi- pliziert, die 2. Komponente von Zeile 6 aus E (Wert des 2. Eigenvektors ffir Juni) mit dem Wert an diesem Punkt in der

2. Multiplierkarte multiptiziert usw., bis zur 4. Komponente. Dann werden die 4 Produkte aufsummiert und die Summe dem betrachteten Punkt der Gelfindedatei als Wert der Glo- balstrahlung zugewiesen.

Das Ergebnis dieser Rechnung, die Karte der flfichendecken- den Verteilung der Globalstrahlung in der westlichen Bun- desrepublik f/ir den Monat Juni, zeigt Abb. 3. Das Minimum der Globalstrahlung in dieser Karte liegt bei 3686 Wh/m 2, das Maximum bei 5819 W h / m 2. Die Isolinien wurden im Abstand yon 200 Wh/m 2 geplottet ( , Abb. 3).

geogr. Breite 55.05-

54.55-

54.05-

53.55-

53,05-

52.55-

52.05-

51.55-

51 .O5-

50.55-

50.05-

49.55-

49.05-

48.55-

48.05-

47.55-

I I I I I I I I I I I I

geogr. Lfinge

Abb. 3. Karte der fl~ichendeckenden Verteilung der Globalstrahlung (Juni 1988) mittels EOF-Verfahren der zeitlichen Variation im Raum ohne Ber/icksichtigung der Topographie. Mittlere mo- natliche Tagessummen (Min = 3686 Wh/m2; Max = 5819 W h / m 3)

4.5 Die Giitepriifung der Ergebnisse

Zur Priifung der G/ite der Interpolation der Globalstrahlung mittels Empirischer Orthogonalfunktionen entnimmt man der Ergebniskarte die Globalstrahlungswerte an den geogra- fischen Koordinaten der 29 Mel~stationen des DWD und ver- gleicht die fOr diese geografischen Punkte interpolierten Glo- balstrahlungswerte mit den tatsfichlich an den Stationen ge- messenen. Die Abweichung vom interpolierten zum gemes- senen Globalstrahlungswert Rir jede der 29 Megstationen in absoluten und relativen Werten in bezug auf den G-Meflwert betrfigt im Mittel 3,9 Wh/m z oder 0,7 %.

UWSF- Z.Umweltchem. (3kotox. 5 (3)1993 165

UVP und Okometrie Beitragsserien

4.6 Vergleich des Ergebnisses nach der EOF-Methode mit dem nach einer Cluster-Analyse (s.a. [1], [2])

Die zu untersuchende Met~gr6t~e steht mit einer anderen Gr6t~e in einem linearen Zusammenhang. lm vorliegenden Fall wird die Globalstrahlung untersucht, die mit der Son- nenscheindauer in der Angstr6m-Formel [14] linear fiber die sog. Angstr6m-Koeffizienten verknfipft ist. Als Ausgangsda- ten dienten die Tagessummen der gemessenen Sonnenschein- dauer und der gemessenen Globalstrahlung. Aus diesen wur- den fiber eine lineare Regressionsanalyse die Angstr6m- Koeffizienten bestimmt, welche als Ausgangsdaten ffir die Cluster-Analyse dienten, mit der gereiche gleichen Strah- lungsklimas bestimmt wurden; d.h. Bereiche, in denen die darin enthaltenen Stationen gleiche Angstr6m-Koeffizienten besitzen. Jedes Cluster besitzt demnach ein anderes Strah- lungsklima.

Zu Beginn der Cluster-Analyse besteht jedes Cluster aus nur einer Station. Dann werden alle Stationen unter Verwendung der Methode der kleinsten Fehlersummen miteinander ver- glichen und Stationen mit gleichen Koeffizienten zu einem Cluster zusammengefaf~t. Die neuen Cluster werden im An- schluf~ miteinander verglichen und das Verfahren bis zur ge- wfinschten Genauigkeit iterativ weitergeffihrt. Die Met~stationen in einem Cluster weisen hinsichtlich des Zusammenhanges zwischen Sonnenscheindauer und Global- strahlung die gr6f~te Ahnlichkeit auf.

Die Globalstrahlung wurde nach dem Verfahren der Gravity- Interpolation (Interpolationsradius R = 120 kin) in die Fl~i- che umgesetzt.

Das Ergebnis dieser Rechnung, die Karte der fl~ichendecken- den Verteilung der Globalstrahlung in der ehemaligen Bun- desrepublik Deutschland f~ir den Monat Juni, ist in Abb. 4 dargestellt. Das Minimum der Globalstrahlung in dieser Karte liegt bei 3584 Wh/m 2, das Maximum bei 5758 Wh/m z. Die Isolinien wurden im Abstand von 200 Wh/m z geplottet ( -* Abb. 4).

Die Abweichung von interpoliertem zu gemessenem Global- strahlungswert ist ffir jede der 29 Met~stationen in absolu- ten und relativen Werten in bezug auf den G-Met~wert wie- dergegeben. Sic betr~igt im Mittel 5,3 Wh/m z oder 0,3 %.

Der Vergleich der Abb. 3 und 4 ergibt eine fast perfekte Obereinstimmung. Damit ist gezeigt, daf~ das Verfahren der Empirischen Orthogonalfunktionen einer Gravity-Interpo- lation ebenbiirtig ist und dat~ weitere Anwendungen des EOF- Verfahrens vorgenommen werden k6nnen.

5 Das Verfahren der zeitlichen Variat ion im Raum unter Bcriicksichtigung der Topographie des Untersuchungsgebietes

Bei der Auswertung der Daten von 29 Met~stationen in Ka- pitel 4 wurde der Einflu~ der Bodenbedeckung, d.h. genauer die Art der Landnutzung im Bereich der Mef~stationen so- wie bei der Interpolation fiber die Fl~iche der Bundesrepu- blik, nicht ber~icksichtigt. Da die Zahl der Met~stationen for eine Unterteilung der Beobachtungsdaten nach Landnut-

geogr. Breite 5 5 . 0 5 - A ~ ATC~N

5 4 . 5 5 - -

5 4 . 0 5 - -

5 3 . 5 5 - -

5 3 . 0 5 -

5 2 . 5 5 -

5 2 . 0 5 -

5 1 . 5 5 -

5 1 . 0 5 -

5 0 . 5 5 -

5 0 . 0 5 " -

4 9 . 5 5 -

4 9 . 0 5 - - I 4 8 . 5 5

4 8 . 0 5

4 7 . 5 5

I I I I I L 1 I 1 I i

geogr. L~nge

Abb. 4: Karte der fl~ichendeckenden Verteilung der Globalstrahlung (Juni 1988) nach der Cluster-Analyse und anschlie~ender Cravi.ty-Interpolation. Mittlere monatliche Tagessummen (Min = 3584 Wh/m2; Max = 5758 Wh/m 2)

zungsklassen an der mangelnden Statistik scheitert und fiber- dies Effekte, die durch das spezielle Klima eines einzigen Jah- res entstehen, unerwfinscht waren, wurde zur Erreichung ei- ner besseren Statistik auf die Messung der Sonnenscheindauer von 75 DWD-Stationen zurfickgegriffen und aus der Sonnen- scheindauer fiber die Angstr6m-Formel [6] die Globalstrah- lung an diesen Stationen bestimmt. Auf~erdem wurde an je- der dieser Stationen die langj~ihrige mittlere monatliche Ta- gessumme der Globalstrahlung fiir die Zeit von 1976 - 85 berechnet, so daf~ pro Station 12 Mittelwerte vorlagen. Diese Mittelwerte wurden in drei Landnutzungsklassen ein- geteilt: Waldstationen, Freifliicbenstationen oder Stationen in bebautem Gebiet. Dabei bedeutete z.B, die Klassifizierung ,,Waldstation", daf~ sowohl die Station im Wald liegen muf~te, als auch die n~ihere Umgebung der Station ganz oder fiberwiegend von Wald bedeckt war. Das wiederum bedeu- tete, daf~ nicht die Daten jeder beliebigen Me,station her- angezogen werden konnten, sondern nur solche, die in die- sere Sinne als repriisentativ ffir die jeweilige Klasse anzuse- hen waren. Diese 75 Stationen setzten sich zusammen aus 20 repr~isentativen Waldstationen, 20 Stationen in bebau- tern Gebiet und 35 Freifl~ichenstationen.

Die Mittelwerte wurden auf ein beliebiges, aber festes Be- zugsniveau fiber Meeresh6he reduziert und klassenweise ei- nem Signifikanztest (F-Test, wenn n6tig mit nachfolgendem t-Test) unterzogen.

166 UWSF-Z.Umweltchem. Okotox. S (3) 1993

Beitragsserien UVP und Okometrie

Dabei untersucht der F-Test die notwendige Bedingung und der t-Test die hinreichende Bedingung fLir die Kl~irung der Frage, ob sich zwei Datens~itze signifikant unterscheiden. Der F-Test prfift, ob Unterschiede in den Varianzen zweier Da- tens~itze zuf~illig oder signifikant sind. Sind sie zuf~llig (po- sitiver F-Test), dfirfen die beiden Datens~itze zu einem Da- tensatz zusammengefa~t und mit dem Ergebnis ein t-Test durcbgef~ihrt werden. Dieser entscheidet, ob eventuelle Un- terschiede in den Mittelwerten der Datens~itze signifikant und damit verschieden sind. 1st der F-Test dagegen negativ, ist schon im Vorfeld gekl~irt, dafs' sich die Datens~itze signifi- kant unterscheiden. Ein t-Test braucht dann nicht nur nicht mehr durchgeffihrt werden, sondern ist in diesem Fall sogar verboten, da keine Ergebnisse aus einem F-Test vorliegen. Die Signifikanztests ergaben, daf~ sich Waldstationen und Sta- tionen auf Freifl~ichen und in bebauten Gebieten signifikant unterscheiden. Analog zu Abschnitt 4.1 wurde ffir jede I.andnutzungsldasse die Beobachtungsmatrix aus 20 x ] 2 bzw. 35 x 12 Elemen- ten in je eine Kovarianzmatrix transformiert. Aus den 3 Kovarianzmatrizen wurden (analog zu Abschnitt 4.2) Rir jede Klasse die zugeb6rigen Eigenwerte und Eigen- vektoren berechnet. Auch bier erkl~irten die 4 ersten Eigen- vektoren 99 % der Gesamtvarianz. In den Abbildungen 5 - 7 sind die 4 ersten Eigenvektoren for die 3 Landnutzungsklas- sen Wald, Bebauung und Freifl~ichen grafisch dargestelh (3 Eigenvektormatrizen) ( * Abb. 5-7).

Da charakteristische Eigenschaften einzelner Jahre dutch die Verwendung yon Daten, die fiber eine 10j~ihrige Periode ge- mitteh wurden, weitestgehend eliminiert sind, ist der Ver- lauf des 1. Eigenvektors deutlich glatter und gleichm'2if~iger.

Dutch Vergleich des 3. Eigenvektors aller drei I.andnutzungs- klassen erkennt man deutlich, dat~ er vor allem die atmo- sph~irischen Konvektionsprozesse beschreibt. Sehr sch6n ist zu sehen, daf~ in den Sommermonaten, in denen die Kon- vektion fiber Wald gegentiber Freifliichen und bebauten Ge- bieten deutlich unterdrfickt ist (da letztere sich dutch Sonnen- einstrahlung schneller aufheizen), der Verlauf des 3. Eigen- vektors der Waldgebiete in dieser Zeit zu dem der Freifl~i- chen und der bebauten Gebiete genau gegcnl~iufig ist. Analog zu Abschnitt 4.3 werden die Multiplier berecbnet, wobei in der zu Gleichung (2) analogen Glcichung in der Transponierten E' nur die ersten 4 Zeilen eingehen, so da~ M eine Matrix mit 4 x 20 bzw. 4 x 35 Stationen ist. Diese Multiplier gehen bis hierhin abet nut exakt an den 75 Mef~stationen, an denen die Beobachtungsdaten genommen wurden. Daher wird f/it jede der drei Landnutzungsklassen jeder der zugeh6rigen 4 Multiplier getrennt fiber die FEiche der Bundesrepublik interpoliert, um auch g4ultiplierwerte fiir die Bereichc zwischen den Me~stationen zu erhahen. Dabei wurde in Analogie zu der unter 4.3. beschriebenen Methode ein Interpolationsradius yon R = 200 km f/it Stationen, auf Freifl~chen und in bebauten Gebieten und R = 300 km for Waldstationen gew~ihlt. Auf diese Weise bekommt man for jede Landnutzungsklasse vier Multiplierkarten, insgesamt also 12 Muhiplierkarten.

Die Berechnung der Globalstrahlung analog Abschnitt 4.4 wird dadurcb kompliziert, dat~ an jedem Punkt der Gel~in- dedatei abgefragt wird, zu welcher Landnutzungsklasse der

Elgenvector 1 Periods 1976-85

Value of Elgonvec|or Componente 1.oi

0 .8

O,Q

- 0 , 4

- 1 . 0 ~ A i i a a i i i i A , J F M A M J J A 8 O N D

M o n | h e

2 0 8 t l t l o n l i n F o t e e l e

Eigenvector 2 Perlode 1978-85

1.0

0 .4

0.0 '

-0 .4

V l | u l o1 E l g i n v e c t o f C o m p o n o n l i

- I.O , , A �9 , f J F M A LJ j J A

M o n l h e

2 0 8 1 1 l l o n l In F o r e | t |

Eigenveclor 3 Periods 1 0 7 8 - 8 5

Valuta of Elgenvectot C o m p o n e n l 8 I .o

0.6

O.Ol

- 0 . 8

i t i i

a 0 N D

- 1 , 0 = i * t L = i F M A M J J A

M o n t h |

2 0 S l l t l o n i | n F o i l s l l

Eigenvector 4 Periods 1 9 7 8 - 8 5

Vilue of Elgenvector Components t ,o

0,6

I I I I 8 O N G

0.0

-0.6

- t . O J I= U A M J J A 8 0 N D

l d o n l h l

2 0 5 1 a l i o n l i n F o / e l l a

AbB. 5: Eigenvektoren l --4 (ftJr den Zeitraum 1976--198.5): 20 Waldstationen

UWSF-Z.Umwehchem. Okotox. 5 (3) 1993 167

UVP und (3kometrie Beitragsserien

Eigenvector 1 Perlode 1976-85

Value of E igenvec to r Componente 1,0

0 ,6

0.0

-o .8

- 1 ,O i i i a ~ . . . . . �9 �9

J F M A M J J A 8 O N O M o n l h i

20 Rtet ione In Urban A t o l l

Eigenvector 3 Perioda 1976-85

Value o I . E l g e n v e c t o r Compon�9 1,o

0.6 ~

D.O

- 0 . 6

F M A M J J A 8 O N D Month=

20 ~ l = | l o n l in U rban Area=

Eigenvector 2 Perlode 1976-85

V e I N o| E lganvector Componen ts 1,0

o,5

D.O

- 0 . 8

- I . O �9 �9 ' i ~ l i t t L ~ ~

J F M A 1=4 J J A I~ O N O Mon th=

20 ~tet lona In Urban Areaa

Eigenvector 4 Periode 1978-B5

Value e l EIg�9 C o m p o n e n l l t,0

O.O

-0.5

- | . O F M A M J J A ~t C) N n

M o n l h e

20 S t i l l o n = in Urban A rea l

Abb. 6: Eigenvektoren 1 - 4 (f/_ir den Zeitraum 1976- 1985): 20 Stationen in bebautem Gebiet

Eigenvector 1 Parlode 1976-85

Value of E l genvec to r Componente I .g

0,6

o ,g

- 0 ,6

- 1 , 0 l L i i i L i ~ ~ i i . l

4 F M A M J J A ~I O N D Mon lhe

35 5 l a t l o n i In O~�9 Land

Eigenveclor 3 Period,,, 1978-85

Vafuo of E lgenvec to r Components 1,0

O , O ,

-O,a

-1,0 . . . . . . . , . , , , i J F M A M J l A 8 O N D

MQnlhe

36 S ta l k>n l tn O ~ u n Land

Eigenvector 2 Perlode 1976-85

V a I N o| E J g l n V l o t o f C o m g o n = n t = t,0

"0.8

f M A M J J A ~ O N D M o n t h s

35 ~ t a l l o n l In Open Land E i g e n v e c t o r 4 Perioda 197g-85

Value of E lgonvec to r C o m p o n e n t e t,0

0.0

-O.|

F M A 1,4 J J A 8 O N D M o n t h a

36 51aUona In Open Land

Abb. 7: Eigcnvcktorcn 1 - 4 (fOr den Zei traum 1 9 7 6 - 1985): 35 Freifl/ichensationen

168 UWSF-Z.Umwehchem. Okotox. 5 (3) 1993

Beitragsserien UVP und Okometrie

jeweilige Punkt geh6rt. Passend dazu werden dann die zu die- set Landnutzungsklasse geh6rende Eigenvektormatrix und die jeweils 4 Multiplierkarten verwendet. Das Ergebnis dieser Rechnung ist in Abb. 8 dargestellt: Das Minimum der Globalstrahlung in dieser Karte liegt bei 4452 Wh/m 2, das Maximum bei 5243 Wh/m 2. Die Isolinien wurden im Abstand yon 100 Wh/m 2 geplottet (--, Abb. 8).

geogr. Breite 5 5 . 0 5

5 4 . 5 5

5 4 . 0 5

5 3 . 5 5

5 3 . 0 5

5 2 . 5 5 -

5 2 . 0 5 -

5 1 . 5 5 -

5 1 . 0 5 ~

5 0 . 5 5 -

5 0 . 0 5 -

4 9 . 5 5 -

4 9 . 0 5 -

4 8 , 5 5 - -

4 8 . 0 5 - -

4 7 , 5 5 " -

�9 4 9 0 0

I I I I I I I I [ I I

geogr. L&nge

Abb. 8: Karte der fl~chendeckenden Verteilung dcr Globalstrahlung (Juni 1976-1985) mittels EOF-Verfahren der zeitlichen Va- riation im Raum unter Beriicksichtigung der Topographie. Mitt- lere monatliche Tagessummen (Min = 4452 Wh/m2; Max= 5243 Wh/m 2)

Zur Gfiteprfifung der Berechnung vergleicht man die inter- polierten Globalstrahlungswerte Nit den tatsfichlich an den Stationen gemessenen. Zur Erinnerung sei erwfihnt, daf~ die Ausgangsdaten des vorliegenden Verfahrens auf Messungen der Sonnenscheindauer fiber einen Zeitraum von fund 10 Jah- ren beruhen, die mittels Angstr6m-Formel erst in Global- strahlungwerte umgerechnet wurden. Damit hat man einen Vergleich zwischen zwei unabh/ingig voneinander gemesse- nen Gr6f~e. Die Abweichung betragt im Mit~el 185 Wh/m 3 oder 3,42 %. Die Maximalwerte nach Abschnitt 4.5 werden bei diesen 75 Stationen nicht erreicht, da in der Beobachtungsdatenmatrix nahezu keine Station mit Globalstrahlungsmef~werten yon mhr als 5300 W h / m z vorhanden war.

6 Das Verfahren der d iumlichen Var ia t ion in der Zeit unter Beriicksichtigung der Topographie (nach GRANGER [10] und GERqH [15])

Zu diesem Verfahrcn wurden als Beobachtungsdaten 169

Globalstrahlungswerte herangezogen, die aus der Sonnen- scheindauer bestimmt wurden. Die Einteilung dieser Stations- daten in Landnutzungsklassen lieferte 59 Waldstationen, 72 Freifl/ichenstationen und 38 Stationen in bebautem Gebiet.

6.1 Die Kovarianzmatrix

Die Beobachtungsmatrix Aij besteht aus i -- 59 (72, 38) Zei- len zi, (Stationen) Nit jeweils j = 12 Spalten (Terminen). Die Kovarianzmatrix Kij berechnet man (siehe (1) und (3), als

T

Ki, = ( @ ) ~ _ zlt �9 zjt (5)

t = l

Nit T -- Zahl der Termine, wobei die Multiplikation zwi- schen den Zeilen (Stationen) und die Summation fiber die Spalten (Termine) durchgef/ihrt wird. Aus der rechteckigen Beobachtungsmatrix Aij wird eine quadratische Kovarianz- matrix Kij mit nun 169 x 169 Elementen.

6.2 Die Empirischen Orthogonalfunktionen

Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren erfolgt analog zu den Anfiihrungen in Abschnitt 4.2, Nit deN Un- terschied, daf~ man eine Eigenvektormatrix Nit 169 x 169 Elementen erh/ilt. Da die Bildung der Kovarianzmatrix nicht nach den Terminen, sondern nach den Stationen durchge- Rihrt wurde, ist nach GRANGER [10] eine meteorologisch- physikalische Interpretation der Eigenvektoren schwer m6glich.

6.3 Die Eigenkomponenten

Im Gegensatz zu deN Verfahren in Abschnitt 4 gibt es bei diesem Verfahren keine Multiplier, die fl~icheninterpoliert werden k6nnten. Start dessen werden hier die ersten (wich- tigsten) Eigenvektoren analog fiber die Fl~iche der Bundes- republik interpoliert, so daf~ man pro Landnutzungsklasse jeweils 4 Eigenvektorkarten bekommt. Bei diesem Verfah- ren wurde for die Stationen auf Freifl/ichen und in bebauten Gebieten ein lnterpolationsradius von R = 100 km und von R = 200 km ffir Waldstationen gew~ihlt. GERTtt [15] zerlegt seine Beobachtungsmatrix F analog zu Gleichung (4) ebenfalls in zwei Komponenten

F - - E . C .

Hierbei ist aber die Eigenvektormatrix E der Anteil, dernur vom Ort und eine Matrix C der Anteil, dernur vonder Zeit abh/ingt. Gerade deswegen besteht die Matrix C aus 12 x 12 Elementen.

6.4 Die fl;ichendeckende Berechnung der Globalstrahlung aus Eigenvektoren und Eigenkomponenten

Die Berechnung erfolgt analog zu Abschnitt 4.4. Bleiben wir beim Beispiet des MonatsJuni. Man nimmt hier entsprechend die 6. Zeile der Eigenkomponentenmatrix C ffir den Monat Juni. Da die 12 Zeilen in C die 12 Monatswerte der 4 ersten Eigenkomponenten enthalten, w/ihlt man Zeile 6 ffir Juni, geht Punkt ffir Punkt durch eine Gel~indekarte und berech-

UWSF -Z.Umweltchem. I~)kotox. 5 (3) 1993 169

UVP und ~)kometrie Beitragsserien

net die Globalstrahlung am jeweiligen Punkt der Karte, in- dem man die 1. Komponente yon Zeile 6 aus C (Wert der 1. Eigenkomponente ffir Juni) mit dem Wert an demselben Punkt in der 1. Eigenvektorkarte multipliziert, die 2. Kom- ponente von Zeile 6 aus C (Wert der 2. Eigenkomponente ffir Juni) mit dem Wert an diesem Punkt in der 2. Eigenkom- ponentenkarte multipliziert usw. bis zur 4. Komponente. Dann werden die 4 Produkte aufsummiert und die Summe dem betrachteten Punkt der Gelfindedatei als Wert der Glo- balstrahlung zugewiesen.

Auch hier, wie in Abschnitt 5, ist die Zugeh6rigkeit des Punktes zu einer Landnutzungsklasse relevant. Die Ergeb- niskartc ist in Abbildung 9 dargestellt (-, Abb. 9).

geogr. Breite II 55.05

54.55

54.05

53.55

53.05

52.55

52.05

51.55

51 .O5

50.55

50,05

49.55

49.05

48.55

48.05

47.55

I I I I I I 1 I I t I

~,~ ~,~, ..l.b,o~ ~,~9. ,~.,~ ,~9~, ,,~', 1.,~,~,,9~'1 .,~:~ ,~,:,%,b,9~

geogr. L~nge Abb. 9: Karte der fl~ichendeckenden Verteilung der Globalstrahlung

(Juni 1976 - 1985) mittels EOF-Verfahren der r/iumlichen Va- riation in der Zeit. Mitflere monatliche Tagessumme (Min = 4297 Wh/m2; Max = 5269 Wh/m 2)

Das Minimum der Globalstrahlung in dieser Karte liegt bei 4297 Wh/m 2, das Maximum bei 5269 Wh/m 2. Die lsoli- nien wurden im Abstand von 200 Wh/m3geplottet. Die Gii- tepriifung erfolgt analog Abschnitt 4.5: Die Abweichung be- tr~igt im Mittel 319,8 Wh/m 2 oder 6,17 %.

7 Ergebnis

Die Anwendung des Verfahrens der Empirischen Orthogo- nalfunktionen ist ein durchaus brauchbares Verfahren zur flfichendeckenden Verteilung von Klimagrtt~en. Es ist dem Verfahren der Gravity-Interpolation mindestens ebenbiirtig.

Ein Vergleich mit weiteren Interpolationsverfahren liegt zur Zeit noch nicht vor. Es hat sich auch gezeigt, dan die Quali- t/~t der Ubereinstimmung yon Werten, die nach einem EOF- Verfahren interpoliert und an Stationen gemessen wurden, vonder Wahl der Gr6fle des Interpolationsradiusses abh~ingt. An der ErsteUung eines Kriteriums ffir die Wahl der Grtfle der Interpolationsradien wird gearbeitet.

Das EOF-Verfahren ist auch auf die Untersuchung der Druckverteilung [4], der Lufttemperatur und Feuchte [5] in verschiedenen H6hen der Atmosphere, der u- und v- Komponente des Windes [7] sowie auf die Verteilung des Niederschlags [9] angewendet worden. Vom mathematischen Standpunkt kann das Verfahren auf die Verteilung jeder Grtt~e angewendet werden, sofern sie skalar ist, d.h. aus ei- ner bloflen Zahl besteht. Im Prinzip sollte sich damit auch die Verteilung yon Luftschadstoffen untersuchen lassen, die an meteorologische Grtflen gekoppelt sind, die beispielsweise durch den Wind transportiert und mit dem Niederschlag aus der Atmosph~ire ausgewaschen werden. Genauere Aussagen lassen sich nicht machen, da erstens die Kopplung yon Schad- stoffen an meteorologische Parameter sehr komplex ist, und zweitens noch keine Untersuchungen dariiber vorliegen, wie sich das Vorhandensein von Quellen und Senken der Schad- stoffe auf die EOF-Interpolation dieser Schadstoffe im Un- tersuchungsgebiet auswirkt. Die praktische Ubertragung des EOF-Verfahrens auf konkrete Umweltdaten gilt noch als Neuland in der Forschung.

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