Statistische Anwendungen

Claudia Dilger21.10.2008

„Traue keiner Statistik,

die du nicht selbst gefälscht hast!“

Quelle: unbekannt

Statistik - was ist das überhaupt?

Stochastik

Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik

Berechnung anderer Wahrscheinlichkeiten aus bekannten W´keiten

Schätzung von Wahrscheinlichkeiten aus Beobachtungen

Unterscheidung zwischen:

- deskriptiver (beschreibender) und

- induktiver (schließender) Statistik

Deskriptiv: Mathematische Beschreibung von Daten

Induktiv: Ableitung von Eigenschaften einerGrundmenge durch Überprüfung von Stichproben

„Stochastik“ von gr. „stochastike techne“ = Ratekunst, Kunst des Vermutens

„Statistik“ von lat. „statisticum“ = „den Staat betreffend“

Wusstest du schon...

• Der durchschnittliche Regentropfen erreicht eine Geschwindigkeit von 35km/h.

• Das einzige Land, das 0 Geburten im Jahre 1983 verzeichnete, war der Vatikan.

• 53 Prozent Highschool Absolventen und 27 Prozent College Absolventen haben das meiste ihres Wissens aus dem Fernsehen.

• Jungen mit unkonventionellen Vornamen haben eher mentale Probleme, als Jungs mit einem üblichen Namen. Mädchen haben dieses Problem nicht.

• In Schweden passieren die wenigsten Morde auf der ganzen Welt.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass man von einem Flugzeug getroffen wird, das vom Himmel stürzt: 1 zu 25 Millionen. Wahrscheinlichkeit, dass es heute passiert: 1 zu 7 Trillionen.

• Kaffee ist das zweitgrößte Produkt auf der Liste des Internationalen Verkaufs auf der Welt.

• Statistisch gesehen ist das sicherste Alter 10 Jahre.

• Laut einer Studie 1991 wissen 49 Prozent der Amerikaner nicht, dass Weißbrot aus Weizen besteht.

Überblick:

1. Hypothesentests

2. Statistische Alternativprobleme

3. Der exakte Test von Fisher

4. Monte-Carlo-Methode

1. Hypothesentest:

Beispiel für einen „einseitigen Test“:

Kann ein neugeborenes Küken Körner erkennen oder lernt es dies erst durch Erfahrung?

Was ist das?

Die Untersuchung einer aufgestellten Vermutung auf Signifikanz

Durchführung des Experiments:

Einem frisch geschlüpften Küken werden Kreise und Dreiecke gleicher Fläche aus Papier vorgelegt

H0 (Nullhypothese): Laplace-Verhalten des Kükens, pKreis=1/2

H1 (Gegenhypothese): Bevorzugung runder Objekte pKreis>1/2

Unter einem „Test“ versteht man eine Vorschrift, die angibt, ob man sich aufgrund der Versuchsbeobachtungen für H0 oder H1 entscheiden soll.

Eine Fehlentscheidung lässt sie nie ausschließen!

Folgende Arten von Fehlern können auftreten:

Ein Fehler erster Art: H0 ist wahr und wird verworfen

Ein fehler zweiter Art: H0 ist falsch und wird angenommen

Mögliche Versuchsdurchführung:

Man lässt das Küken 16mal picken und zählt die Anzahl X, wie oft es auf einen Kreis gepickt hat.

Mögliche Entscheidungsregel:

Falls X<12: H0 wird angenommen

Falls X≥12: H0 wird verworfen

Für die Hypothese H1 sprechen also die Werte aus dem

„kritischen Gebiet“ K = {12, 13, 14, 15, 16}

Irrtumswahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit α, einen Fehler erster Art zu begehen.

Statistische Sicherheit: Die Wahrscheinlichkeit 1-α, keinen Fehler erster Art zu begehen.

Forscher wählen das kritische Gebiet häufig so, dass „die Abweichung auf dem 5%-Niveau gesichert ist“

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, mit der das Ergebnis in das kritische Gebiet fällt, unter der Annahme, dass H0 wahr ist.

Mögliche Pickfolgen mit X K:

Gleichwahrscheinliche mögliche Pickfolgen der Länge 16:

216 = 65536

In 3,84% der Fälle wird ein Fehler 1.Art begangen

Üblicherweise wird aus der Beobachtung und allen noch extremeren Werten erst nach Versuchsdurchführung das kritische Gebiet K definiert.

Ist dann α = P(K), so kann man die Gegenhypothese mit einer statistischen Sicherheit von 1-α annehmen.

Beispiel für einen „zweiseitigen Test“:

Sind Ratten farbenblind?

Durchführung des Experiments:

Ratten werden durch einen Gang geschickt, der sich in einen grünen und einen roten Gang verzweigt.

H0: Ratten sind indifferent gegenüber den Farben; p = 1/2

H1: Ratten ziehen eine der beiden Farben vor; p<1/2 oder p>1/2

Sowohl große, als auch kleine Werte für X sprechen gegen H0!

Ergebnis:

Von den 10 Versuchsraten wählen X den grünen Gang.

→ zweiseitiger Test

Angenommen X=8

Frage: Wie signifikant ist dieses Ergebnis?

Auswertung:

K={0, 1, 2, 8, 9, 10}

Mögliche Fälle: 210 = 1024

Für K günstige Fälle:

→ Ergebnis reicht nicht aus zur Verwerfung von H0

Vorgehensweise beim Hypothesentest:

1. Aufstellen einer Hypothese

2. Planung eines Experiments zu ihrer Überprüfung

3. Durchführung des Versuchs und Sammeln von Beobachtungsdaten

4. Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit α für einen Fehler 1.Art

2. Das statistische Alternativproblem

Es seinen 9 Urnen mit je 3 Kugeln gegeben. In einer Urne befinden sich 2 schwarze und eine weiße Kugel, in den anderen 8 Urnen sei die Verteilung umgekehrt.

Eine Urne wird zufällig ausgewählt und bei 12 Ziehungen mit Zurücklegen ergebe sich folgende Sequenz:

Frage: Aus einer Urne welcher Verteilung wurde gezogen?

Berechnen der verschiedenen Pfade:

sswwssswswss

Durch hinreichend viele Ziehungen kann die Art der Urne mit beliebig kleiner Irrtumswahrscheinlichkeitbestimmt werden.

Das ist in der Praxis im Allgemeinen nicht praktikabel, denn:

Qualitätskontrollen in der Industrie sind teuer

Häufig zerstört die Prüfung das Werkstück

Bei Medikamententests werden Menschenleben gefährdet

Ausweg: Wald´scher Sequentialtest

Objekte werden der Reihe nach geprüft, bis gewünschte statistische Sicherheit erreicht ist.

3. Der exakte Test von Fisher

Bei Tests mit sehr großer Datenmenge ist die Auswertung meist recht eindeutig.

Hat man nur eine geringe Zahl an Daten (z.B. bei Behandlung einer seltenen Krankheit), müssen die Ergebnisse sehr genau geprüft werden!

Zur Veranschaulichung wird häufig eine „Vier-Felder-Tafel“ genutzt:

1 23 4

Beispiel: Eine gefährliche Krankheit wurde bisher mit dem Mittel B behandelt. Ein neues Mittel A soll erprobt werden.

Von 15 Patienten werden 8 mit A und 7 mit B behandelt, wobei keiner weiß, welches Mittel er bekommen hat.

sterben überleben Summe

Mittel A 2 6 8

Mittel B 4 3 7

Summe 6 9 15

Testen der Hypothese „Das Schicksal der Patienten ist unabhängig von der Art der Medikamenteneinnahme“

Von den 15 Patienten wären 6 auf jeden Fall gestorben.

Bei der Wahl der Versuchsgruppe für Mittel A wurden zufällig nur 2 von 6 „Todgeweihten“ ausgewählt.

Zu prüfen: Wie wahrscheinlich ist es, zwei oder weniger „Todgeweihte“ auszuwählen?

Die Monte-Carlo-Methode

Reale Vorgänge sind meist vom Zufall gesteuert und die Berechnungen oft sehr kompliziert.

Ausweg: Simulation mit Zufallsgeräten

Universelles Zufallsgerät: Zufallsziffern → Monte-Carlo-Methode

Beispielaufgabe: Wie viele Enten überleben im Durchschnitt, wenn 10 Jäger gleichzeitig unabgesprochen je einen Schuss auf 10 Enten abfeuern?

Bestimmung von Pi mittels der Monte-Carlo-Methode

Ein Quadrat mit einbeschriebenem Kreis wird „beregnet“. Beispielsweise durch Interpretation von Zufallsziffern als Koordinaten eines darüberliegenden Gitters.

Teilt man nun die Anzahl der Kreistreffer durch die Anzahl der Randtreffer, erhält man einen Näherungswert für :

Vielen Dank

für die

Aufmerksamkeit!

Quellen: Siehe Ausarbeitung