AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +

AC Analyse

2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Sprungantwort

)(th )(* tU out

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

)()( isCi UI

)()(

)()( s

sQ

sPs inout

* UU

sthS /1)}({

3Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

DC

)(th )(* tU out

4Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC

)(th )(* tU out

5Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Sprungantwort

)(tf

)()(')(0

it

i tthttftf

0

*

0

* )()(')()(')( dtufttuttftu it

outiout

)(tuout)(th )(* tu out

6Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signalgain am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

dt

tduCti

)()(

+

)()( ssCs UI

)()( tCDuti

7Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)()1...()()1...( 0*1

1 thDbAtuDaDa mmout

nn

8Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

)(* tu out

0)()1...( *11 tuDaDa out

nn

9Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

h(t))(* tu out

)()1...()()1( 0*1

12

2 thDbAtuDaDa mmout

)(~)( 0*2

2 thDbAtuDa mmout

)(~)( 2

20

* thDa

bAtu mm

out

2m

1m

0m

2x integrieren

10Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

)(1

1)(

11

22

10

* thDaDa

DbAtu out

0112

2 aa

011* 21)()( AeCeCthtu ttout

0/1

/1

* 21)()( AeCeCthtu ttout

22

1112

1,

1

))(()( 0/

1*

211 AeCthtu t

out 12211 /, aaa

h(t))(* tu out

)()1)(1(

1)(

12

10

* thDD

DbAtu out

Polynom in D

Charakteristische Gleichung

Partikulare Lösung

Wurzel sind Realzahlen

11Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

T

AA

U

UA OLOL

in

outF

1

21

Signaldämpfung am Eingang

RückkopplungAktive Verstärkung

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1

)1()(

212

21

*0

DD

DADA zOL

OL

1

)1()(

212

21

0

DD

DTDT z

Annahme: System zweiter Ordnung

12Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Testschaltungen für Feedbackanalyse

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung

RK FF

T - Schleifenverstärkung

Messpunkt - blau

Testquelle - rot

Kurzschluss

T

AAFFA OLOL

F

1

21

13Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

AC Analyse eines Verstärkers mit RK

111

1

1)(

0

0212

0

21

*

0

0

D

T

TD

T

D

T

ADA

z

zOLF

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

14Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Lösung der DG zweiter Ordnung

111

1

1)(

0

212

0

210

D

TD

TT

ADA OL

F

011

0

2

0

Q

2212112 41

22Q

11

1

1)(

0

2

0

0

D

QDT

ADA OL

F

21

00210 ,1

QT

2211 /1,/1

)14sin()14cos()()( 21

21

* tQCtQCethtu tout

Übertragungsfunktion (Differentialgleichung)

Kanonische Form, Eigenfrequenz, Güte

Das charakteristische Polynom

Die Lösung

15Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Stabilität

2212112 41

22Q

ttout eCeCtu 11

21* )(

21

0210 ,1

QT

5,0Q

UQ

Q

14

22

2

707,0Q

707,0Q

Für Q Faktor kleiner als 0,5 die Antwort des Verstärkest ist exponentiell und reell

Für Q Faktor kleiner als 0,707 die Antwort des Verstärkest hat keinen Überschwinger

Antwort mit RK ist schneller für Größere T

16Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Bedingungen für die schnelle und genaue Verstärkung

707.0)1(

21

21

T

Q

1212 5.0 T

12

5.0 T

2112 )(

5.0zT

T

17Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Verstärker 2ter Ordnung mit RK

ω1ω2

λ1, λ2

T0 steigt

Es ist möglich nur mit Kondensatoren, Widerständen und Verstärkern eine spulenähnliche Schaltung zu bauen

18Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Verstärker 1ter Ordnung mit RK

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

1)(

1

0

D

ADA OL

OL

1)(

1

0

D

TDT

11

1

1)(

0

10

DT

T

ADA OL

F 01 T

AA OL

DCF

00

1

11 TTOL

F

Verstärkung wird um Faktor 1+T schlechter

Zeitkonstante verbessert sich um 1+T

Produkt der Bandbreite und Verstärkung ist konstant

19Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Verstärker 3ter Ordnung mit RK

)(1

)()(

DT

DADA OL

F

111)(

321

0

DDD

ADA OL

OL

111)(

321

0

DDD

TDT

ω1ω2

λ1, λ2

ω3

λ3

Die Schnellste Zeitkonstante bleibt reell,

wird kleiner

T steigt

Wir können die schnellste zeitkonstante vernachlässigen aber…

Das System kann bei großer T instabil werden

20Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uGNur R

21Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uG

+

+

C2

C‘2

uG

+

uG = uC2 + uC‘2

Abhängige Kondensatoren

Unabhängige Kondensatoren

22Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

Matrix Form

Lineare Form

23Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

24Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC2

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

25Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

26Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GCCC uducucDuC 121211111

GCCC uducucDuC 222212122

Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

uC1

uC2

uGNur R

dt

tduCti

)()(

+

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212 +

+

Ersetzen wir i durch CDu

27Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GC

C ud

d

u

u

cDCc

ccDC

2

1

2

1

22221

12111

)(

)(

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC DUUC

GC DUCU 1

2

22

dt

dD

dt

dD

t

dD0

1

10

1

t

ddt

dDD

10

1 t

dd

dDD

Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix

Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf

inverse Matrix

28Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

11

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC uDaDa

DbAu

1

1''

12

2

12

Matrixform

ausgeschrieben

Determinante Polynom 1. Ordnung!!!

Polynom 2. Ordnung!!!

29Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

1

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

)()1()()1( 112

2 thDbAtuDaDa C

)(th )(tuC

))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC

h(t)

δ(t)

)(t

uG durch h(t) ersetzen

Ableitung von h(t) ist δ(t)

Differentialgleichung als Übertragungsfunktion

Differentialgleichung in üblicher Schreibweise

(1)

30Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

)()()( tututu CPCHC

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuCP

)(th )(tuC

)(tuCP

)(t

)(th

)(tuCP)(tuCH

0

Die Lösung der DG hat die folgende Form:

Nur die partikulare Lösung ist interessant

31Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

))()()(()( 12 Attatath

))0()0(()( 112 baat

0)0()( 1 at

)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuC

)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Setzen wir uc in die DG ein

Ableitungen von h(t)φ(t):

(1)

DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein

(2)

(3)

(4)

32Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

Aecect to

to 21

21)(

0112

2 aa 0)(

)(

22221

12111 cCc

ccC

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)

Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)

Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung

Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)

33Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

uC2

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

+

+

34Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111

GCCC uducuci 22221212

uC1+

+

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…

35Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Schaltungen mit Kondensatoren

Aecect to

to 21

21)(

Aecect to

to 21 /

2/

1)(

0112

2 aa

Aececthtu to

toC 21 /

2/

1)()(

Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0

Lösung

wird

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

Gleichung (1) Seite 32:

Hat die Lösung:

21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:

0112

2 aa

36Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDa

DbDbiu

1...

1...,

1

1

nnRCRCa 010

11 ...

CN

Ω

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden

37Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

110

212 ...

CN

Ω

Zur Messung von RN1

38Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

DC AC

Ohne RK

RK

inout VRR

RV

21

1

outVinV

1R

2R

)(1

)1()(

12

2

1 tAuDaDa

Dbtu Gout

)()( ssCUsI

Ω

RKA

AAFFA

OL

OLOLF

2

21

1

2112 )(

5.0zT

T

39Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung (Beispiel)

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

Aececthtu to

toC 21 /

2/

12 )()(

)()( thtuG

Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren

DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31

Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion

Die Lösung hat die Form (Seite 38)

40Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

1A

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

1V

Finden wir A (DC Verstärkung)

Es fließen keine Ströme

durch C

VuC 1)(2 weil

41Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

210

11 RCRCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a1

42Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

2111 RCRCa 212

0 RRR

Messung von R02

Formel

Ergebnis

)( 212111 RRCRCa

Finden wir Konstante a1

43Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

10

212 RRCCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a2

44Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

1212 RRCCa 22

1 RR

Messung von R12

Formel

Ergebnis

21212 RRCCa

Finden wir Konstante a2

45Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

GC uDD

DbAu

)1)(1(

)1(

21

12

121221 , aa

1121 a 122 / aa

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

1A

(1)

(2)

Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)

Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)

46Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

11 a 212 / aa

Bis jetzt hatten wir

Co1 und Co2 = ?

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

47Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

dt

tduCti

)()(

+

0)0(2 Cu

0i0u

0t

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

10 21 oo cc

Erste Anfangsbedingung:

48Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

C1

R1

C2

R2

uC

t

2211 //0 oo cc

dt

tduCti

)()(

+

0)0(1

)0( 22

2 CC i

Cu

+

uG

0t

0i

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

Zweite Anfangsbedingung:

49Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

0t

So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten

So verhält sich unsere Schaltung

50Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!

51Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)

Rx

52Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Beispiel (2)

GC uDaDa

Dbu

1

1

12

2

12

220

110

1 CRCRa

2211211 )||()||( CRRCRRa

))(()( 2/

121 CoeCothtu at

C

Die Differentialgleichung hat die Form

Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):

R1

R2

C1

C2

U0h(t)Rx

wir benutzten Rx = 0!

02121

10

2 CCRRa

(1)

Lösung der Gleichung (1)

220

110

1 CRCRa

Finden wir Co1 und Co2…

53Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Anfangsbedingung (1)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

t = 0+

∞

∞

021

10

12

22 /1/1

/1)0( U

CC

CU

DCDC

DCuC

Großer Strom

54Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Endzustand

R1

R2

U0h(t)

t = ∞

021

22 )0( U

RR

RuC

uC

t

021

2 URR

R

021

1 UCC

C

))||)(/(( 2121 RRCCte