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Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
1
Analyse von Zeitreihen
Begriffe der Zeitreihe
Komponenten einer Zeitreihe
- Trend
- Periodische Schwankungen
- Restschwankungen
Bestimmung der Trendkomponente
- Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)
- Methode der gleitenden Durchschnitte
Exponentielle Glättung
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
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Bibliografie
Prof. Dr. Kück; Statistik, Vorlesungsskript, Abschnitt 10.1 und 10.2
Bleymüller/Gehlert;Statistische Formeln, Tabellen und Programme. Verlag Vahlen
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Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
3
ZeitreiheBei einer Zeitreihe handelt es sich um eine Reihe von Werten (y1, y2, . . . , yn) eines Merkmals (Y), die zu verschiedenen Zeitpunkten (bei Bestandsmassen) oder verschiedenen Zeiträumen (bei Bewegungsmassen) (t=1, 2, . . . , n) erhoben werden.
In der Zeitreihenanalyse wird die Entwicklung des Merkmals Y nur in Abhängigkeit der Zeit betrachtet. Das bedeutet, dass die Zeit als Verursacher der Entwicklung aufgefasst wird. Verursacher der Entwicklung sind aber i. d. R. viele andere Sachmerkmale. Die Eingrenzung auf die Zeit in der Zeitreihenanalyse ist daher eine grobe Vereinfachung. Die Zeit fungiert als Repräsentant aller sachlichen Einflussfaktoren.
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Beispiele von Zeitreihen
Bevölkerungsbestand der BRD am JahresendeDurchschnittliche Haushaltgröße in MV für mehrere Jahre im April (Mikrozensus)Jährliche Zahl der Geburten in der BRDMonatlicher Umsatz im produzierenden GewerbeMonatliche Arbeitslosenquote im Arbeitsamtsbezirk Nord
Merkmale der Bevölkerung sowie Merkmale der Wirtschaft sind sich historisch entwickelnde Größen, deren Entwicklungen Aufschluss über gesellschafts-, wirtschafts-und sozialpolitische Phänomene geben. Ihre Merkmalswerte im Zeitverlauf bilden Zeitreihen.
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1. Problemkreis bei der Untersuchung von Zeitreihen
Untersuchung der zeitlichen Entwicklung von Beständen; die Bestandsfortschreibung wird über die Zu- und Abgangsmassen vorgenommen.(Vgl. dazu Ausführungen zu Bestandsmassen in der Präsentation Grundbegriffe I, Folie 25 ff)
Beispiel:
•Bestandsfortschreibung der Bevölkerung über Geburten, Sterbefälle, Zuzüge und Fortzüge.
•Bestandsfortschreibung von Lagerbeständen nach Artikeln über Warenein- und Warenausgang.
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2. Problemkreis bei der Untersuchung von Zeitreihen
Untersuchung von Gesetzmäßigkeiten in der zeitlichen Entwicklung eines Merkmals, die in ihrer kategorialen Bestimmung über den gesamten betrachteten Zeitraum hinweg als gleichartig angesehen werden können.
Bestimmung dieser Gesetzmäßigkeiten (Zeitreihenmodell) und ihre Anwendung für die Vorausschätzung der zukünftigen Entwicklung (Prognosemodell).
Beispiel:
•Entwicklung der Erwerbstätigenzahl in Deutschland von 1989 bis 2001 und Prognose für das Jahr 2002
•Umsatzentwicklung eines Wirtschaftszweiges von 1989 bist 2001 und Prognose für die Jahre 2002 und 2003
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Grafische Darstellung einer Zeitreihe
Die grafische Darstellung erfolgt in einem Koordinatensystem, in welchem auf der Abszisse die Zeit und auf der Ordinate die Merkmalsgröße abgetragen wird. Für diesen Zweck ist das Liniendiagramm zu bevorzugen, die Darstellung kann jedoch auch mit einer anderen Diagrammart erfolgen.
Sie sollte immer der erste Schritt bei der Untersuchung von Gesetzmäßigkeiten einer Zeitreihe sein.
Sie ist die einfachste und anschaulichste Form der Zeitreihenanalyse.
Wenn der Wertebereich der Merkmalswerte sehr groß ist, kann es zweckmäßig sein, eine logarithmische Skala für die Ordinatenachse anzuwenden.
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
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Beispiel: Liniendiagramm für die Ent-wicklung der Zahl der Lebendgeborenen
10875
13635
23503
26403
28495
30608
29803
30581
30108
30794
31860
31695
33695
Y
1992
1991
1990
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
Jahr
133192000
125891999
122461998
120461997
110881996
98781995
89341994
94321993
YJahr
Y: Anzahl der Lebendgeborenen in MV
Entw icklung der Zahl der Lebendgeborenen in MV
05000
100001500020000250003000035000
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Lebe
ndge
bore
ne
SPSS-Diagramm
5
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
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Beispiel: Säulendiagramm für die Ent-wicklung der Zahl der Lebendgeborenen
10875
13635
23503
26403
28495
30608
29803
30581
30108
30794
31860
31695
33695
Y
1992
1991
1990
1989
1988
1987
1986
1985
1984
1983
1982
1981
1980
Jahr
133192000
125891999
122461998
120461997
110881996
98781995
89341994
94321993
YJahr
Y: Anzahl der Lebendgeborenen in MV
Entw icklung der Zahl der Lebendgeborenen in MV
05000
100001500020000250003000035000
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Lebe
ndge
bore
ne
SPSS-Diagramm
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Beispiel: Entwicklung der zusammen-gefassten Geburtenziffern (BRD, DDR)
1,86
1,94
1,90
1,90
1,85
1,64
1,54
1,54
1,58
1,79
2,13
DDR
1,44
1,45
1,38
1,38
1,40
1,46
1,45
1,51
1,54
1,72
1,92
BRD
1981
1980
1979
1978
1977
1976
1975
1974
1973
1972
1971
Jahr
0,831,4019922,191,991970
0,981,4219912,242,211969
1,521,4819902,302,391968
1,581,3919892,342,491967
1,671,4219882,432,541966
1,731,3619872,482,511965
1,701,3519862,482,551964
1,741,2819852,472,521963
1,741,2919842,422,441962
1,791,3319832,422,451961
1,861,4119822,352,371960
DDRBRDJahrDDRBRDJahr
Quelle: Neu, Axel, Frankfurt am Main 1996
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Beispiel: Liniendiagramm für die Entwicklung der zusammengefassten Geburtenziffern (BRD, DDR)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
Geb
urte
nziff
ern
BRDDDR
SPSS-Diagramm
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
12
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1960
1962
1964
1966
1968
1970
1972
1974
1976
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
Geb
urte
nziff
ern
BRDDDR
Beispiel: Säulendiagramm für die Entwicklung der zusammengefassten
Geburtenziffern (BRD, DDR)
SPSS-Diagramm
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Beispiel: Symplex-Bild für zwei Zeitreihen
Entnommen aus Schulze,Beschreibende Statistik,Oldenbourg Verlag, Quelle: Sachverständigenrat,Jahresgutachten 1995/1996
Hilfslinien der Verhältnisse2:1 und 1:1
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Beispiel: Logarithmische Achseneinteilung
Der rasche Anstieg der Krankenkosten und das unter-schiedliche Niveau der Ausgabengruppen verlangen für dieDarstellung der Entwicklungüber einen längeren Zeitraumden logarithmischenMaßstab auf derMerkmalsachse:Hier: Aufwendungen der gesetzlichen Krankenversicherungnach LeistungsartenQuelle: Jahresgutachten 1992/1993
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Beispiel: Liniendiagramm für die Entwicklung des BSP (Quartalswerte)
Y: Bruttosozialprodukt eines Landes in Milliarden EURO
Das Merkmal zeigt regelmäßige Schwankungen um die linear zunehmende Tendenz. Die Periodik p = 4 ist deutlich erkennbar.
Entwicklung des BSP eines Landes
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zeit (in Quartalen)BS
P in
Mrd
. EU
RO16,65
15,05
11,90
6,80
Jahr 2
14,95
10,50
7,15
3,58
Jahr 1
Quartal 4
Quartal 3
Quartal 2
Quartal 1
18,35
16,70
13,80
8,70
Jahr 3
SPSS-Diagramm
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Komponenten einer Zeitreihe
Bewegungskomponentenvon Zeitreihen
Systematische Komponenten
Restkomponenten (R)
Trend (T) Periodische Schwankungen (S)
Bei der Beschreibung des Verlaufs einer Zeitreihe gehtman davon aus, dass sich die zeitlich geordneten Werteder Datenreihe auf bestimmte Komponenten zurückführen lassen.Diese werden eingeteilt nach:
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Komponenten einer Zeitreihe- Trend (T): Teil der Zeitreihe (Y), welcher Ausdruck
der langfristigen Entwicklungstendenz des betrachteten Merkmals ist;
- Periodische Schwankungen (S): Teil der Zeitreihe (Y), welcher Ausdruck regelmäßig auftretender konjunktureller und saisonaler Bewegungen ist;
- Restschwankung (R): Teil der Zeitreihe (Y), welcher Ausdruck irregulärer Schwankungen in der Entwicklungstendenz des betrachteten Merkmals ist.
Trend und periodische Schwankungen sind die systematischen Komponenten der Zeitreihe, die Restschwankung ist von zufälliger Natur.
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Komponenten einer Zeitreihe
Entw icklung der Zahl der Lebendgeborenen in MV
05000
100001500020000250003000035000
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Lebe
ndge
bore
ne
Beispiel miteinmaligem„Bruch“
10
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Komponenten einer Zeitreihe
Entwicklung des BSP eines Landes
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zeit (in Quartalen)
BSP
in M
rd. E
URO Beispiel mit
Regelmäßigwiederkehrenden„Brüchen“
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Grundmodelle der Komponentenverknüpfung
• Additive Überlagerung: Y=T+S+R,• Multiplikative Überlagerung: Y=T·S·R
Additive Überlagerung liegt vor, wenn die Schwankungsbreite aller Perioden absolut etwa gleich bleibt (Schlauch).
Multiplikative Überlagerung liegt vor, wenn die Schwankungs-breite aller Perioden relativ etwa gleich bleibt (Trichter).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Zeit
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Zeit (in Quartalen)
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21
Methoden zur Bestimmung der Trendkomponente einer Zeitreihe
Die Methode der gleitenden Durchschnitte
Die Methode der kleinsten Quadrate (Kurvenanpassung)
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22
Bestimmung der Trendkomponentemittels gleitender Durchschnitte
Man berechnet aus jeweils g aufeinanderfolgenden Zeitreihenwerten das arithmetisches Mittel und ordnet diesen Mittelwert dem mittleren der bei der Durchschnittsbildung berücksichtigten Zeitpunkte bzw. Zeitintervalle zu.
Durch Mittelung aufeinanderfolgender Werte der Zeitreihe lassen sich die periodische Schwankungen und die Irregularitäten der Zeitreihe eliminieren. Damit isoliert man den Trend als zentrale Tendenz der Entwicklung.
Die Anzahl g gibt die Ordnung des gleitenden Durchschnitts an.
12
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Berechnungsformel der gleitenden Durchschnitte
Für ungerade g mit g=2k+1:
∑−=
+=k
kjjtt y
gy 1~
Für gerade g mit g=2k: ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= +
−
+−=+
− ∑ 221~ 1
1
ktk
kjjt
ktt
yy
yg
y
Die Berechnungsformeln der gleitenden Durchschnitte unterscheiden sich danach, ob g gerade oder ungerade ist.
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24
Kriterien zur Auswahl von g bei der Berechnung gleitender Durchschnitte
Für Zeitreihen ohne periodische Schwankungen wird zumeist eine ungerade Ordnung gewählt. Je größer g ist, um so stärker wird der Glättungseffekt, aber es steigt auch der Werteverlust am Beginn und Ende der Reihe.
Für Zeitreihen mit periodischen Schwankungen wird die Ordnung g der Glättung so groß wie die Periodik p der Zeitreihe gewählt. Man ist hier in der Wahl der Ordnung nicht mehr frei.
Die Auswahl der Ordnung g der Glättung hängt davon ab, ob die Zeitreihe periodische Schwankungen aufweist oder nicht.
13
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25
Beispiel: Berechnung gleitender Durchschnitte 3. Ordnung
1,1101,1049
1,1011,1048
1,1061,0947
1,08412
1,0971,08611
1,1041,12110
1,1161,1216
1,1311,1335
1,1311,1394
1,1341,1213
1,1291,1432
1,1221
3er DurchschnittWertMonat
3/)121,1143,1122,1(129,1 ++=
3/)139,1121,1143,1(134,1 ++=
. . .1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ZeitreiheDurchschnitte
3/)133,1139,1121,1(131,1 ++=
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Beispiel: Berechnung gleitender Durchschnitte 5. Ordnung
1,1021,1049
1,1091,1048
1,1111,0947
1,08412
1,08611
1,1001,12110
1,1181,1216
1,1221,1335
1,1311,1394
1,1321,1213
1,1432
1,1221
5er DurchschnittWertMonat
5/)133,1139,1121,1143,1122,1(132,1 ++++=
. . .
5/)121,1133,1139,1121,1143,1(131,1 ++++=
5/)094,1121,1133,1139,1121,1(122,1 ++++=
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ZeitreiheDurchschnitte
14
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
27
Vergleich der gleitenden Durchschnitte
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Glättung 3. Ordnung:
Der Werteverlust beträgt zwei Punkte.
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Glättung 5. Ordnung:
Der Werteverlust beträgt vier Punkte.
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28
Vergleich der gleitenden Durchschnitte
Bekanntes Beispiel: Kursverlauf von Aktien, hier DAIMLERCHRYSLER,Abfrage 15.06.2005. Weshalb gibt es keine fehlenden Punkte?
5 Jahre3 Jahre2 Jahre1 Jahr6 Monate1 Monat1 WocheIntraday
Chart
15
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29
Beispiel: Berechnung gleitender Durchschnitte einer Zeitreihe mit periodischen Schwankungen
16,65
15,05
11,90
6,80
Jahr 2
14,95
10,50
7,15
3,58
Jahr 1
Quartal 4
Quartal 3
Quartal 2
Quartal 1
18,35
16,70
13,80
8,70
Jahr 3
Y: Bruttosozialprodukt eines Landes in Milliarden EURO je Quartal für 3 Jahre
Periodik p = 4Glättungsordnung g = 4
Entwicklung des BSP eines Landes
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zeit (in Quartalen)
BSP
in M
rd. E
URO
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30
Beispiel: Berechnung gleitender Durchschnitte 4. Ordnung
18,3512
16,7011
14,1813,8010
13,768,709
13,3116,658
12,8415,057
12,3911,906
11,616,805
10,4414,954
9,4010,503
7,152
3,201
Gleitender Durchschnitt
4. Ordnung
BSPQuar-tal
)280,695,1450,1015,7
220,3(
4140,9 ++++⋅=
. . .
)290,1180,695,1450,10
215,7(
4144,10 ++++⋅=
Entwicklung des BSP eines Landes
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Zeit (in Quartalen)
BSP
in M
rd. E
URO
Zeitreihe des BSP
GleitendeDuchschnitte 4.Ordnung
SPSS-Diagramm
16
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
31
Vorteile und Nachteile der Methode der gleitenden Durchschnitte
Nachteil:
Liefert keine mathematische Funktion
„Verkürzung“ der Zeitreihe
Vorteile:
Rechnerisch sehr einfach
Richtungsänderungen oder Krümmungen der Zeitreihe werden mitbeachtet.
Um diese Nachteile der Methode der gleitenden Durchschnitte aufzuheben, kann man die Methode der kleinsten Quadrate für die Analyse der Zeitreihe einsetzen.
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
32
Bestimmung der Trendkomponente-Methode der kleinsten Quadrate-
Um den Trend einer Zeitreihen durch eine allgemeine Funktionsgleichung beschreiben zu können, kann die Methode der kleinsten Quadrate wie bei der Regressionsanalyse angewendet werden. Man geht von den Wertepaaren (t, yt) der Zeitreihe mit (t=1, 2, . . . , n) aus und verwendet das allgemeine Regressionsmodell für die Abbildung der Entwicklungstendenz.
17
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33
Lineare und quasilineare Ansätze für den Trend
tbbT t ⋅+= 21Einfacher linearer Ansatz:
Logarithmischer Ansatz: tlnbbTt ⋅+= 21
Exponentialansatz: tbbTln t ⋅+= 21
Potenzansatz: tlnbbTln t ⋅+= 21
Hyperbolischer Ansatz:t
bbT t
121 ⋅+=
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
34
Typischer linearer Zeitverlauf
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit
Mek
rmal
saus
präg
unge
n Es ist ein linearer Verlauf erkennbar.
Die Merkmalsgröße verändert sich über die Zeit absolut gleich bleibend, jedoch relativ abnehmend.
tbbTt ⋅+= 21
SPSS-Diagramm
18
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35
Typischer exponentieller Zeitverlauf
Es ist ein exponentieller Verlauf erkennbar.
Die Merkmalsgröße verändert sich über die Zeit absolut zunehmend, jedoch relativ gleichbleibend.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit
Mer
kmal
ausp
rägu
ngen
tbbTt ⋅+= 21lntbbt eT ⋅+= 21
SPSS-Diagramm
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
36
Typischer logistischer Zeitverlauf
Die Merkmalsgröße verändert sich über die Zeit absolut zunehmend.
Die Zuwachsrate nimmt ab und die Merkmals-größe strebt einer Sättigungsgrenze zu.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit
Mer
kmal
saus
präg
unge
n
)exp(1 21 tbbdTt ++
= mit b2 > 0
und d > 0 als Sättigungsgrenze
SPSS-Diagramm
19
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
37
Berechnung der Koeffizienten für die einfache lineare Trendfunktion (T)
( )2222
11
2
1 112
t
ty
n
t
n
t
n
t
n
tt
n
tt
ss
tt
tyty
ttn
ytytnb =
−
⋅−⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⋅−⋅=
∑∑
∑ ∑∑
==
= ==
( )tby
ttn
yttytb
n
t
n
t
n
t
n
tt
n
tt
n
t ⋅−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⋅⋅−=
∑∑
∑ ∑∑∑
==
= ===22
11
2
1 111
2
1
tbbTt ⋅+= 21
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
38
Parameterschätzung nach MKQ
i21t xbbY ⋅+=
2t
ty
2 ss
b =tbbT 21t ⋅+= Trendfunktion
Regressionsfunktion
2x
xy
2 ss
b =
Formelsammlung Regression!
20
Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik Zeitreihen I
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Beispiel: Lineare Trendfunktion für die Zahl der Studierenden
Entwicklung der Zahl der Studierenden
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
Zahl
der
Stu
dier
ende
n
1839471995
1695061994
1473851993
1380241992
1365731991
1316021990
1293311989
yttJahr
SPSS-Diagramm
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Beispiel: Bestimmung der linearen Trendfunktion für die Zahl der Studierenden
Y: Anzahl der Studierenden
62797,142014804,864Mittelwert
43958014010363428Summe
128758491839471995
101700361695061994
73690251473851993
55208161380241992
4097191365731991
2632041316021990
1293311293311989
t.ytt²yttJahr
( )
894,43281407
1036342814,6279772
2
11
2
1 112
=−⋅
⋅−⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⋅−⋅=
∑∑
∑ ∑∑
==
= ==
n
t
n
t
n
t
n
tt
n
tt
ttn
ytytnb
443,89486,1480421 ⋅−=⋅−= tbyb
t43,89414,11227t
T ⋅+=
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Beispiel: Bestimmung einer exponentiellen Trendfunktion für die Zahl der Studierenden
Y: Anzahl der Studierenden
9,59
67,16
9,82
9,74
9,60
9,53
9,52
9,48
9,47
ln yt
38,612014804,86
4Mittelwert
270,29
14010363428Summe
68,74491839471995
58,43361695061994
47,99251473851993
38,13161380241992
28,5791365731991
18,9741316021990
9,4711293311989
t. ln ytt²yttJahr ( )
06,0281407
16,672829,2707
lnln
2
2
11
2
1 112
=−⋅
⋅−⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⋅−⋅=
∑∑
∑ ∑∑
==
= ==
n
t
n
t
n
t
n
tt
n
tt
ttn
ytytnb
36,9406,059,9ln 21 =⋅−=⋅−= tbyb
t06,036,9t eT ⋅+=
t06,036,9Tln t ⋅+=
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Beispiel: Exponentielle Trendfunktion für die Zahl der Studierenden
Entwicklung der Zahl der Studierenden
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
Zahl
der
Stu
dier
ende
n
t06,036,9t eT ⋅+= t06,036,9Tln t ⋅+=
17506,61839471995
16511,21695061994
15572,41473851993
14687,01380241992
13852,01365731991
13064,41316021990
12321,51293311989
TtyttJahr
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Methode der exponentiellen Glättung
In einer Periode t ergibt sich der Prognosewert für die Periode t+1 als gewogenes arithmetisches Mittel aus dem Beobachtungs- und Prognosewert für die Periode t. Als Gewichte werden α und (1- α) mit 0 < α < 1 genutzt. Der Wert α wird dabei als Glättungsparameter bezeichnet.
Sie hat als Prognoseverfahren für Zeitreihen, die keinen ausgeprägten Trend und keine ausgeprägte Schwankung aufweisen, praktische Bedeutung erlangt.
Der einfache Ansatz des exponentiellen Glättens ist die exponentielle Glättung erster Ordnung:
ttt yyy ˆ)1(ˆ 1 αα −+⋅=+
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Exponentielle Glättung für eine Zeitreihe mit n Beobachtungen
( )
( )
1
1
0
23
22
1
222
1
12
1
111
ˆ)1()1(
...ˆ)1()1()1(
ˆ)1()1()1(
ˆ)1()1(
ˆ)1()1(ˆ
yy
yyyy
yyyy
yyy
yyyy
nn
iin
i
nnnn
nnnn
nnn
nnnn
ααα
αααααα
αααααα
αααα
αααα
−+−=
−+−+−+⋅=
⋅−+⋅−+−+⋅=
−+−+⋅=
⋅−+⋅⋅−+⋅=
∑−
=−
−−−
−−−
−−
−−+
nnn yyy ˆ)1(ˆ 1 αα −+⋅=+ Empirische Reihe yt
mit t = 1, 2, …,n
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Beispiel: Exponentielle Glättung (α = 0,8)
Y: monatlicher Benzinpreis
1,086
1,0921,08412
1,1181,08611
1,1041,12110
1,1031,1049
1,1001,1048
1,1241,0947
1,1341,1216
1,1361,1335
1,1251,1394
1,1391,1213
1,1221,1432
1,1221,1221
Exponentielle Glättung y-Dach
(α=0,8)
PreisMonat
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
MonatPr
eis Zeitreihe
Glättung (0,8)
122,1ˆ 11 == yy
122,1122,1)8,01(122,18,0ˆ2 =−+⋅=y
139,1122,1)8,01(143,18,0ˆ3 =−+⋅=y
. . .
SPSS-Diagramm
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Auswirkung des Glättungsparameter α
großkleinReagibilität der Prognose
kleingroßGlättungseffekte
schwachstarkBerücksichtigung der Vergangenheitswerte
starkschwachBerücksichtigung aktueller Wert
großer Wert αKleiner Wert αEffekte
nnn yyy ˆ)1(ˆ 1 αα −+⋅=+
Die Formel zeigt, dass der aktuelle Beobachtungswert yn umso stärker berücksichtigt wird, je größer α gewählt wird. Der aktuelle Prognosenwert yn-Dach, in welchem sich die ganze Vergangenheit der Zeitreihe niederschlägt, wird dagegen umso stärker berücksichtigt, je kleiner α gewählt wird.
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Beispiel: Effekt des Glättungsfaktors bei der exponentiellen Glättung
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Monat
Prei
s ZeitreiheGlättung (0,8)Glättung (0,1)
SPSS-Diagramm
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