1

Wasserwirtschaftliche Planungsmethoden -Übungen

Lehrveranstaltungsleiter: Ao.Univ.-Prof. Dipl.Ing. Dr. Hubert Holzmann

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologieund Konstruktiven Wasserbau

Universität für Bodenkultur Wien

3. Übungseinheit

Zeitreihenanalyse

Behandlung von Zeitreihen

Meteorologie:Niederschlag, Lufttemperatur, Luftdruck, Luftfeuchtigkeit, Windrichtung u. -geschwindigkeit, Strahlung, Sonnenscheindauer, ...

Hydrologie:Abfluss u. Abflusshöhe, Grundwasserstand; Schneeakkumulation, Infiltration, ...

Wasserwirtschaft:Güteparameter (Sauerstoff, BSB, CSB, Ionenkonzentration); Entnahmemengen; Bedarf (Trinkwasser, Energie), ...

Weitere:Verkehrsströme und -frequenzen, wirtschaftliche Nachfrage- und Bedarfsreihen, ökonomische Wertkriterien (BIP, Aktienkurse), Umweltparameter (Ozon, Stickoxyde, Pollen), Demographie (Bevölkerungsentwicklung, Einkommen, Gesundheit), ...

2

Anwendungsmöglichkeiten der Zeitreihenanalyse

Prognose:Abschätzung zukünftiger kurz- und langfristiger Entwicklungen (Trendanalyse).

Simulation:Erzeugung synthetischer Zeitreihen zur Schließung von Messlücken oder Verlängerung kurzer Zeitreihen zur Festlegung von Bemessungskriterien.

Systemanalyse:Extremwert- und Varianzanalyse geben Aufschluss über Häufigkeit und Größe von Extremereignissen.

Arten der Zeitreihen

09/26/1992 10/02/1992 10/08/1992 10/14/1992 10/20/1992 10/26/1992

4060

8010

012

014

0

Abfluss Isel (Osttirol)

Abflu

ss (m

3/s)

09/26/1992 10/02/1992 10/08/1992 10/14/1992 10/20/1992 10/26/1992

010

2030

40

Niederschlag (Osttirol)

Nie

ders

chla

g (m

m)

Diskrete Zeitreihen- Abflüsse- Wasserstände (automatisch)- Temperatur

Nichtdiskrete Zeitreihen- Niederschlagsereignisse- Wasserstand (manuell)- Sample (Schwebstoff, Qualität)- Punktprozesse

Bei der Analyse ist auf Homogenität der Zeitreihe Bedacht zu nehmen !!!

Beispiel Pegelschlüssel.Q (m3/s)

H (m ü.Sh.)PS 2 (Durch Auflandung oder Pegelnullpunktverschiebung)

PS 1

Kontinuierliche Zeitreihen

3

Allgemeines zur Zeitreihenanalyse

Definition:Eine Zeitreihe ist ein Satz von Beobachtungen einer variablen Größe (z.B. Abfluß, Temperatur oder Niederschlag) zu verschiedenen Zeitpunkten. Es wird der Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variablen Zeit t und der abhängigen, hydrologischen Variablen X(t) dargestellt. Enthält X eine zufallsbedingte Komponente, so beschreibt die Zeitreihe einen stochastischen Prozeß.

Analyse:Bei der Analyse einer Zeitreihe geht man zumeist von der Annahme aus, daß alle Komponenten des hydrologischen Prozesses additiv zusammenwirken:

X(t) = XT(t) + Xp(t) + XR(t) (3.1a)

Dabei bedeutet XT(t) ... Trendanteil, Xp(t) ... periodischer Anteil und XR(t) ... Zufallsanteil (Random).

01/01/1992 12/31/1992 12/31/1993 12/31/1994 12/31/1995 12/30/1996

-10

010

20

Lufttemperatur

Time in days

LT (o

C)

01/01/1992 12/31/1992 12/31/1993 12/31/1994 12/31/1995 12/30/1996

010

2030

4050

Niederschlag

Time in days

N (m

m)

01/01/1992 12/31/1992 12/31/1993 12/31/1994 12/31/1995 12/30/1996

5010

015

020

0

Abfluss

Time in days

Q (m

3/s)

4

01/01/1951 10/20/1959 08/07/1968 05/26/1977 03/14/1986 12/31/1994

010

020

030

040

0Enns 1951 - 1994 Tageswerte

Abflu

ss (m

3/s)

Jan 51 Oct 59 Jul 68 Apr 77 Jan 86 Oct 94

010

020

030

040

0

Enns 1951 - 1994 Monatswerte

Abflu

ss (m

3/s)

01/01/1951 08/08/1951 03/14/1952 10/19/1952 05/26/1953 12/31/1953

5010

015

020

025

030

0

Enns 1951-1954 Tageswerte

Abf

luss

(m3/

s)

Tageswerte

Monatswerte

Tageswerte geglättet (30d)

5

01/01/1982 12/31/1984 12/31/1987 12/30/1990 12/29/1993 12/28/1996

318

320

322

324

Grundwasserstand (m ue. Sh.)

Time in days

01/01/1982 12/31/1984 12/31/1987 12/30/1990 12/29/1993 12/28/1996

302

304

306

308

Grundwasserstand (m ue. Sh.)

Time in days

01/01/1982 12/31/1984 12/31/1987 12/30/1990 12/29/1993 12/28/1996

286

288

290

292

Grundwasserstand (m ue. Sh.)

Time in days

01/01/1979 08/08/1982 03/15/1986 10/20/1989 05/27/1993 01/01/1997

010

2030

4050

Abfluss (m3/s)

Time in days

01/01/1979 08/08/1982 03/15/1986 10/20/1989 05/27/1993 01/01/1997

286

288

290

292

Grundwasserstand (m ue. Sh.)

Time in days

6

Regression und Korrelation

Die Regression beschreibt den (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Variablen.

ε+⋅+= XbaY

Wobei X ... Unabhängige Variable und Y ... Abhängige Variable

Die Koeffizienten berechnen sich wie folgt:

∑∑

−−⋅−

=

⋅−=

2)()]()[(

XXYYXX

b

XbYa

Für |r| gilt: 0 ... kein Zusammenhang0.5 ... Schwacher Zusammenhang

0.75 ... deutlicher Zusammenhang0.95 ... straffer Zusammenhang1.00 ... gesetzmäßiger Zusammenhang

Die Korrelation r beschreibt den Grad des statistischen Zusammenhangs und berechnet sich wie folgt:

( ) ( )[ ]( ) ( )∑∑∑

−⋅−

−⋅−=

22YYXX

YYXXr

01/01/1990 05/27/1991 10/19/1992 03/14/1994 08/07/1995 12/30/1996

100

200

300

400

500

600

Abfluss Lech (Augsburg)

Time in days

Abf

luss

(m3/

s)

01/01/1990 05/27/1991 10/19/1992 03/14/1994 08/07/1995 12/30/1996

010

0020

0030

0040

0050

00

Abfluss Donau (Jochenstein)

Time in days

Abf

luss

(m3/

s)

100 200 300 400 500 600

1000

2000

3000

4000

5000

Regressionsanalyse

Q Lech

Q D

onau

QDonau = 299.9 + 9.52·QLech

Regressionsanalyse

Verwendung:

•Schliessen von Datenlücken

•Prognose

7

01/01/1990 07/19/1990 02/03/1991 08/21/1991 03/07/1992 09/22/1992

1000

2000

3000

4000

5000

Abfluss Donau (Jochenstein)

Time in days

Abf

luss

(m3/

s)

Abfluss beobachtetAbfluss berechnet

1975 1980 1985 1990

330

335

340

345

350

355

Zeit

co2

Linear ansteigender Trend

8

TrendanalyseHydrologische Variable können langfristige zeitliche Änderungen erfahren, die mit Hilfe der Trendanalyse identifiziert werden.

Beispiele dafür sind:- Abflussänderung durch geänderte meteorologische Randbedingungen.- Abflussänderung durch geänderte Landnutzung im Einzugsgebiet- Wasserstandsänderung durch Sohlerosion oder Sedimentablagerung.- Änderung der Jahresniederschlagssumme durch Klimaänderung

Zeitliche Änderungen zeigen sich wie folgt:- Stationärer Trend.- Ansteigender Trend- Absteigender Trend.- Sprunghafter Trend

Neben dem linearen Trend existieren auch nichtlineare Trends

Bei der Analyse kurzer Zeitreihen kann die Sequenz aus einer Periode als Trend fehlinterpretiert werden!!!

Trendermittlung

Der Trend wird in Form einer Trendgeraden dargestellt:XT(t) = a + b . t (3.1b)

dabei wird b als Trend- oder Regressionskoeffizient und aals Achsenabschnitt bezeichnet.

Methode der kleinsten Quadrate:

(3.2.)

(3.3.)

( )a

t X t t t X t

n t t=

⋅ − ⋅ ⋅

⋅ −

∑∑∑∑∑∑

2

2 2

( ) ( )

( )b

n t X t t X t

n t t=

⋅ ⋅ − ⋅

⋅ −

∑∑∑∑∑

( ) ( )2 2

...t

n

=∑∑

1

Hilfsformeln:

(3.4)

(3.5)

3.2.1.1 Bestimmung des mittleren Anstiegs

Einschränkung: Nur anwendbar bei bekannter Periodenlänge !

(3.6)

( )t n nt

n

=∑ =

⋅ +

1

12

( ) ( )t n n n

t nt

n2

1 61 2 1

1 3=∑ = ⋅ + ⋅ +

= ,2, , ...

an

X t b nt

n

= ⋅ − ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∑1

21

1

( )

bn P

X t P X tPt

n P

=−

⋅+ −

=

−

∑11

( ) ( )

9

Trendtest

Trendtest

Spricht nichts gegen eine Linearität der Regressionsbeziehung zwischen Meßwert und Zeit, so wird der errechnete Regressionskoeffizient (Steigzahl der Trendgerade) auf Signifikanz geprüft. Dazu müssen folgende Größen bestimmt werden:

a.) Varianz der Meßwerte:

Sn

X tn

x tX tt

n

t

n

( ) ( ) ( )2

1 1

21

11

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= =∑ ∑ (3.8)

b.) Varianz der Zeitwerte:

( )Sn

tn

t n nt

t

n

t

n2

1 1

21

11 1

12=

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

+

= =∑ ∑ (3.9)

c.) Quadratsumme aller Abweichungen von der Trendgerade:

( )A X t a b tt

n

= − − ⋅=∑ ( )

1

2

(3.10)

oder( )A n S b SX t t= − ⋅ − ⋅( ) ( )1 2 2 2 (3.11)

d.) Die Testgröße to

( ) ( ) bnnA

St t ⋅−⋅−= 21

2

0 (3.12)

Falls to < tn-2,α,zweiseitig, so kann auf dem gewähltenSignifikanzniveau angenommen werden, daß der errechneteTrend zufälliger Natur ist. Ist jedoch to > tn-2,α,zweiseitig, sounterscheidet sich der gefundene Trend signifikant von Null. Indiesem Fall muß für eine weitere Analyse der Zeitreihe der Trendanteil eliminiert (subtrahiert) werden.

Periodizität einer Zeitreihe

Hydrologische Zeitreihen unterliegen oft saisonalen Schwankungen, die durch den jahresperiodischen Zyklus der meteorologischen Randbedingungen geprägt sind. Zur Identifizierung der Periodizität dienen

• die Autokorrelationsrechnung,

• die Spektralanalyse.

Die Prüfung einer Zeitreihe auf Periodizität erfolgt mit der trendfreien Zeitreihe X‘(t), d.h. ein eventueller Trendanteil ist zuvor abzuziehen:

X‘(t)=X(t) – XT(t)

10

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 0

Index

xx

20 40 60 80 100 120 140

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = 1

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 3

Index

xx

20 40 60 80 100 120 140

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.09

11

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 6

Index

xx

20 40 60 80 100 120 140

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.71

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 9

Index

xx

20 40 60 80 100 120 140

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.12

12

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 12

Index

xx

20 40 60 80 100 120 140

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = 0.83

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 15

Index

xx

20 40 60 80 100 120 140

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.06

13

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 18

Index

xx

20 40 60 80 100 120

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.71

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 21

Index

xx

20 40 60 80 100 120

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.07

14

0 20 40 60 80

2040

6080

100

120

140

Zeitverschiebung: 24

Index

xx

20 40 60 80 100 120

2040

6080

100

120

140

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = 0.82

1.00

-0.09

0 5 10 15 20 25

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung (Lag)

Kor

rela

tion

r

-0.71

-0.12

0.83

Autokorrelogramm

15

0 20 40 60 80 100

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 0 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]xx

[(1 +

lag)

:xl]

Korrelation: r = 1

0 20 40 60 80 100

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 0.25 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = 0.7

0 20 40 60 80 100

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 0.5 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.04

0 20 40 60 80 100

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 0.75 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.73

0 20 40 60 80 100

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 1 * Pi

Indexxx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -1

0 20 40 60 80 100

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 1.25 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = -0.7

0 20 40 60 80 100

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 1.5 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = 0.04

0 20 40 60 80 100 120

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 1.75 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = 0.73

0 20 40 60 80 100 120

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Zeitverschiebung: 2 * Pi

Index

xx

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

xx[1:1:(xl - lag)]

xx[(1

+ la

g):x

l]

Korrelation: r = 1

0 5 10 15

-0.5

0.0

0.5

1.0

Lag

ACF

Series : xx

Periodizität einer Zeitreihe

Arbeitsschritte:

• Berechnung des Korrelogramms mit der trendbereinigten Zeitreihe

• Prüfen des Autokorrelationswertes der Periode auf Signifikanz

• Bestimmung der Periodenlänge Lp (Differenz zwischen Maxima)

• Gliederung der Zeitreihe in Teilreihen der Länge Lp

• Mittelung der Komponenten aller Teilreihen: Daraus ergibt sich der mittlere Periodenverlauf.

16

Bestimmung des Zufallsanteils

XR(t) = X(t) - XT(t) - Xp(t) (3.19)

Der Zufallsanteil kann in eine korrelative Komponente (r1 . XR(t-1)) und das reine Zufallsglied R(t)

zerlegt werden:

(3.20)

(3.21)

Dabei bedeutet:

Z(t) die standardisierte Zufallsvariable (zumeist normalverteilt)

s Standardabweichung der Reihe XR(t)

r1 erster Autokorrelationskoeffizient der Reihe XR(t)

)()1()( 1 tRtXrtX RR +−⋅=

211)()( rstZtR −⋅⋅=

Bestimmung des Zufallsanteils

XR(t) = X(t) - XT(t) - Xp(t)

21

21

22

2221

21

1

1

1

)1(

)()1()(...

)1()()1()()1()(

rss

rss

ssrsnRnXrnX

tRtXrtXtRtXrtX

R

R

R

RR

RR

RR

−=

−=

+⋅=

+−⋅=

++⋅=++−⋅=

211)()( rstZtR −⋅⋅=

Der Zufallsanteil XR(t) ist charakterisiert durch:

Mittelwert = 0

Varianz = s2

Wobei ( )∑=

−−

=n

iRiR XX

ns

1

2,1

1

17

-10 0 10 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

MW=5,STAW=2re

l. H

aeuf

igke

it

-10 0 10 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

MW=10,STAW=1

rel.

Hae

ufig

keit

-10 0 10 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

MW=10,STAW=5

rel.

Hae

ufig

keit

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Quantile

rel.

Hae

ufig

keit

Dichteverteilung

Häufigkeitsverteilung(Summenhäufigkeit)

Standardisierte NormalverteilungStandardisierung:

σXXY i

i−

=

Wobei: Yi ... Standardisierte VariableXi ... Normalverteilte VariableX ... Mittelwert von Xσ ... Standardabweichung

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Quantile

rel.

Hae

ufig

keit

-2 -1 0 1 2

05

1015

20

rn

-0.35

0.36

0.92

1.44

0.09

-1.31

Nach 30 Stichproben

Nach 100 Stichproben

18

Stochastischer Anteil der Zeitreihe XR(t): XR(t)= r1·XR(t-1) + R(t) R(t) = NV (0,s2) XR(t+1)= r1·XR(t) + R(t+1) ... XR(n)= r1·XR(n-1) + R(n) Mittelwerte 0 0 0 s2 = r12·s2 + sR

2 sR

2 = s2(1 - r12) Standardisierte, normalverteilte Zufallszahl:

211)()()(

)()(

rstZstZtR

sRtRtZ

R

R

−⋅⋅=⋅=

−=

211)()1(1)( rstZtXrtX RR −⋅⋅+−⋅=

1950 1960 1970 1980 1990

-50

050

100

150

Stochastischer Anteil

tt

Abf

luss

(m

3/s)

1992 1993 1994 1995 1996

-50

050

100

150

200

250

Prognose

prog[, 1]

prog

[, 2]

19

Originaldaten

tt

Mon

atsa

bflu

esse

(m

3/s)

1975 1980 1985 1990

330

335

340

345

350

355

T rendgleichung: Y = -2710.04 + 1.54 * time

Trendfreie Reihe

tt

Abf

lues

se (

m3/

s)

1975 1980 1985 1990

-4-2

02

Lag0.0 0.5 1.0 1.5

-0.5

0.0

0.5

1.0

Series : xxi

Mittlere Monatsabf luesse

1:12

Abf

luss

(m

3/s)

2 4 6 8 10 12

-3-2

-10

12

3

Autokorrelogramm

20

Trendfreie ZR und Periodenanteil (rot)

tt

Mon

atsa

bflu

esse

(m

3/s)

1975 1980 1985 1990

-4-2

02

Stochastischer Anteil / Autokorrelativer Anteil

tt

Abf

luss

(m

3/s)

1975 1980 1985 1990

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Lag0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.4

0.8

Series : xxiiAutokorrelation des Stochastischen Anteils

-0.5 0.0 0.5

010

2030

4050

xxiizz

Verteilung des Zufallsanteils

Autokorrelation des stochastischen Anteils XR

Mittelwert = 0

Varianz = s2

21

Prognose

prog[, 1]

prog

[, 2]

1987 1988 1989 1990 1991

345

350

355

360

( ) ( ) ( ) ( ) 211 11 rstZtXrtXtbatX RP −⋅⋅+−⋅++⋅+=

Trend Periode Zufallsanteil

Literatur zur Nutzen Kosten Analyse• The Analysis of Time Series: An Introduction von C. Chatfield, Chapman and Hall London, 1996 • Time Series, A Biostatistical Introduction von P. Diggle, Clarendon Press Oxford, 1990 • Time Series Techniques for Economists von Terence Mills, Paperback Reprint edition (June 1991), Cambridge Univ Press. • Zeitreihenanalyse von R. Schlittgen und B. Streitberg, 9. Auflage, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 2001.• Time Series forecasting and control von G. Box und G. Jenkins, 1994 • Time Series: Theory and Methods von P.J. Brockwell und R.A. Davis (Brockwell/Davis I), Springer Verlag New York, 1996 • Introduction to Time Series and Forecasting von P.J. Brockwell and R.A. Davis (Brockwell/Davis II), Springer Verlag, 1997 • Spectral Analysis and Time Series, Vol. 1 and 2 von M. Priestley, Academic Press London, 1994 • Time Series Analysis von James D. Hamilton, Princeton University Press, 1994 • Non-Linear Time Series, A dynamical System Approach von H. Tong, Claerndon Press Oxford, 1990 • Modelling Financial Time Series von Stephen J. Taylor, John Wiley, Chichester, 1986 •Box, G. E.P., Jenkins, G. M. (1970): Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco - Düsseldorf: Holden-Day.•Danninger, H. (1973): Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Niederschlagsstatistik. Wien : Diplomarbeit Universität für Bodenkultur.•Holzmann, H. (1993): Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Wasserwirtschaft unter Bezugnahme auf die Abflußverhältnisse der Donau in Wien. Österr. Wasserwirtschaft, Jg. 45, Heft 1/2, Springer Wien.•Nachtnebel, P. (1975): Zeitreihenanalyse. In: Wiener Mitteilungen: Wasser-Abwasser-Gewässer / Hydrologie-Fortbildungskurs 1975, S.F1-F25, ,Wien.•Naff, R. L., Gutjahr, A. L. (1983): Estimation of Groundwater Recharge Parameters by Time Series Analysis. In: Water ResourcesResearch, S.1531-1546, Washington: American Geophysical Union.•Priestly, M.B. (1988): Non-Linear and Non-Stationary Time Series Analysis. London: Academic Press - Harcourt Brace JovanovichPublishers.•R., D. V., Schaake Jr., J. C. (19972): A disaggregation model for time series analysis and synthesis. Cambridge: School of Engineering.•Sayrs, L. W. (1989): Pooled time series analysis. Quantitative Applications in the Social Sciences Nr.70.•Turner, J. V., Mac Pherson, D. K. (1990): Mechanisms Affecting Streamflow and Stream Water Quality: An Approach via StableIsotope, Hydrogechemical, and Time Series Analysis. Water Resources Research , Jahrg.26, Heft 12, S.3005-3019 (14).•Brockwell, Peter J. : Introduction to time series and forecasting / Peter J. Brockwell ; Richard A. Davis . - [4. print.] . - New•York, NY [u.a.] : Springer , 2000•Developments in time series analysis : in honour of Maurice B. Priestley / ed. by T. Subba Rao . - 1. ed. . - London•[u.a.] : Chapman & Hall , 1993

22

Internet-Adressen zur Nutzen Kosten Analyse•Empfehlung Literatur zur Statistik: http://www.luchsinger-mathematics.ch/sta/litsta.html

•Zeitreihenanalyse:http://www.agnld.uni-potsdam.de/~shw/TSA/tsa.html

•Univariate Zeitreihenanalyse:http://www-vwi.unibe.ch/econometrics/zeitreihen/files/SkriptumWS0102.pdf

•Literaturhinweise zur Vorlesung Zeitreihenanalyse:http://www.statoek.wiso.uni-goettingen.de/veranstaltungen/zeitreihen/literatur.html

•Ausgewählte statistische Verfahren zur Zeitreihenanalyse:http://www.kliwa.de/de/weg/media/Verfahren.pdf

•Prof. Dr. J. Kopf: Einführung in die Zeitreihenanalyse (WS 2000/01):http://www.wifak.uni-wuerzburg.de/wilan/wifak/vwl/ewf/lehre/ws00/zra.htm

•Zeitreihenanalyse:http://www.stratcon.de/methode/zeitreihenanalyse.htm

•Applied time series analysis:http://www.ltrr.arizona.edu/~dmeko/geos595e.html#cLesson12

3. Programmbeispiel

AngabeDie gegebene Meßreihe gibt die Abflußverhältnisse eines alpinen Flusses an.

Angegeben sind die Monatsmittelwerte von 1951 bis 1990 in m3/s. Die erste Spalte zeigt

das Monat (als Dezimalzahl des laufenden Jahres), die zweite den Monatsabfluss. Die

gesamte Zeitreihe kann aus dem Internet geladen werden. (Siehe Lehrveranstaltungs-

homepage)

Wählen Sie das Unterverzeichnis /daten/zeitreihenanalyse. Hier finden Sie in der ZIP-

Datei Angaben von 1 bis 65. Daraus ist Ihre entsprechende Angabe auszuwählen und

abzuspeichern. Diese Datei kann dann z.B. ins Excel geladen und bearbeitet werden.

Aufgabenstellung1. Die gegebene Zeitreihe ist in Trend, Periode und Zufallsanteil zu zerlegen und die

Ganglinien und Zeitreihenkomponenten sind graphisch darzustellen.

2. Nach Abtrennung des Trendanteiles ist das Autokorrellogramm der Zeitreihe

(graphisch) darzustellen.

23

3. Programmbeispiel

Aufgabenstellung Fortsetzung

3. Der periodische Anteil XP(t) ist zu berechnen und (graphisch) darzustellen.

4. Die Zufallsanteile sind in die korrelative und in die stochastische Komponente zu

zerlegen.

5. Es ist eine Prognose für ein weiteres Jahr (12 Monate) zu berechnen. Dabei sind

Trend, Periodenanteil, Persistenz und Zufallsprozeß zu berücksichtigen. Als

standardisierte, normalverteilte Zufallszahlen sind die Werte zu wählen.

0.0086 -0.0382 -1.0168 -0.1324 -0.3603 -0.0337

-1.8831 0.3368 -0.0003 1.2066 -0.0204 -1.0119

3. Programmbeispiel

Aufgabenstellung Fortsetzung

Jahr Q-Wert (m3/s)

1951.08 125.56 Jänner 1951

1951.17 123.68 Februar 1951

1951.25 135.76 März 1951

1951.33 156.8 April 1951

...

...