Ankündigung - Startseite - Physik und Astronomie · 2020-01-09 · T. Kießling: Auswertung von...

T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 1

AnkündigungBlockkurs GrundpraktikumWintersemester 2019/2020:

24.02.2020 – 13.03.2020

Anmeldezeitraum:

13.01.2020 – 24.01.2020

online unter www.physik.uni-wuerzburg.de/studium/bachelor/grundpraktikum/

Termine Modul A:

T17 Montag/Donnerstag 08:30T18 Montag/Donnerstag 14:00

T19 Dienstag/Freitag 08:30T20 Dienstag/Freitag 14:00

Sicherheitseinweisung Modul A am 07.02.2020

AnkündigungVorlesungstermine

16.01.2020: Reguläre Vorlesung

23.01.2020: Besprechung 10. Übung

Falls gewünscht kann uns die Probeklausur bis 24.01.2020

zur Korrektur eingereicht werden

03.02.2020: Ankündigung Klausurzulassung

06.02.2020: Rückgabe Probeklausur / Fragestunde

19.02.2020: 09:00 Uhr KLAUSUR

09.04.2020: 09:00 Uhr ZWEITKLAUSUR

6 5 4 3 2 1 nicht abgegeben

Erstabgabe Übung 8

Übungsaufgabe

X i Y i

0,20 52,4

1,17 54,6

1,96 57,7

2,98 59,5

4,05 62,7

5,12 65,6

5,93 67,0

7,01 69,0

8,24 72,80,00 2,00 4,00 6,00 8,00

Testmessung zur linearen Regression

Wiederholung

Wir führen eine Messung durch und erhalten folgende Werte

Angenommen die Beziehung zwischen x und y ist linear, welche Gerade passtam besten zu den Messwerten?

Wenn die Messwerte (Xi , Yi) keinerlei Unsicherheit hätten, dann läge jeder Punkt exakt auf der Geraden

Die Fehler in X sind wesentlich kleiner als die Fehler in Y.X ist fehlerfrei und Y ist fehlerbehaftet.

Die Daten sind beschrieben durch den funktionellen Zusammenhang:

Annahmen:

0,00 2,00 4,00 6,00 8,0050,0

Testmessung zur linearen Regression

.y a bx

Die Abweichung yi (Residuen) jedes Datenpunktes von der

bestangepassten Geraden ist dann:

( ) .i i i i iy y y x y a bx

Wiederholung

Für jedes Xi gibt es eine Wahrscheinlichkeit Pi den Messwert Yi zu erhalten.

Normalverteilung der Messwerte:

21 1exp

y y xP

.y a bx

Wiederholung

21 1exp

y y xP

Die Wahrscheinlichkeit unseren Datensatz bei N Messpunkten genau so zu beobachten ist dann gegeben durch:

0 01 1

21 1( , ) exp

21 1exp

N Ni i

ii i ii

N Ni i

y y xP a b P

Die beste Gerade liegt dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit maximal wird. Dasist der Fall, wenn der Exponent

minimal wird.

2 2N Ni i i i

i ii i

y y x y a bx

Wiederholung

Lineare Regression - BestwerteLineare Regression

Anpassung einer Geraden nach der Methode der kleinsten Quadrate

2 2N Ni i i i

i ii i

y y x y a bx

Für 2 minimal ist die Übereinstimmung am besten.

2 2 2 22

2 2 2 2

11 1 1 ;

i i i i i i i

i i i ii i i

i i i i i i

i i i i i i i

y xy x x x ya

yx y x yb

22 2 2

2 2 22

i i i i

i i ii i

Lineare Regression - Bestwerte

Falls jeder Datenpunkt den gleichen Fehler aufweist, lässt sich dieses Gleichungssystem vereinfachen.

Das wird häufig, aber bei weitem nicht immer möglich sein.

Nichtlineare graphische Darstellungen

s = 1/2 g t2

Regel 6: Die Variablen sollten so gewählt werden, dass die Kurve einen einer Geraden möglichst nahe kommenden Verlauf erhält.

Beispiel 1: Beschleunigte Bewegung

Linearisierung graphischer Darstellung

ln(N) = ln(No) – d

Y = A + B X

0 20 40 600

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

0 20 40 60 80100000

1000000

10000000

Regel 6: Die Variablen sollten so gewählt werden, dass die Kurve einen einer Geraden möglichst nahe kommenden Verlauf erhält.

Beispiel 2: Schwächung von -Strahlen N N do exp

Linearisierung graphischer Darstellung

lg ln1 0,000 0,0002 0,301 0,6933 0,477 1,0994 0,602 1,3865 0,699 1,6096 0,778 1,7927 0,845 1,9468 0,903 2,0799 0,954 2,19710 1,000 2,30320 1,301 2,99630 1,477 3,40140 1,602 3,68950 1,699 3,9120,0

0,20,3

0,60,70,8

1,01,11,2

1,31,4

Logarithmisches Papier

Die folgenden Folienseiten zeigen nur die Prinzipien.

Logarithmisches Papier

Beispiel aus Grundpraktikum: Schwächung von -Strahlen

Versuchsaufbau:

Daten:

40,020,0 60,00,0 d / cm

N(d) / Imp

3,67106

1,43105

40,020,0 60,00,0 d / cm

N(d) / Imp

Auswertung

ln(N) = ln(No) – dY = A + B X

dμNN o exp

Titel Name

Legende

Beispiel aus Grundpraktikum: Aktivität - Fehlerbalken

0 50 100 150 200 2501

Zeit [sec]

/toN N e

0 900015 540030 330045 20060 110075 68090 450105 300120 200135 130150 80165 55180 37195 24210 11225 8240 5

T/sec N/ Impulse/s

No = 8996 Impulse

= (29,61 0,19) s Erstaunlicherweise ist die rote Gerade (a) die beste Anpassung an

die Daten.

Beispiel aus Grundpraktikum: Aktivität - Fehlerbalken

Abweichung der Messpunkte von der Gerade ist nur eine Standardabweichung.

Abweichung der Messpunkte von der Gerade beträgt mehrere Standardabweichungen.

0 50 100 150 200 250

Zeit / s

Halblogarithmische Darstellung ist das Mittel der Wahl, wenn wir graphisch ermitteln

wollen, ob und wie ein exponentieller Zusammenhang

besteht.

exp[ ];log( ) log( ) ;

y y axy y axY A ax

Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz

E T E Toc

, , exp

wobei E(.T) die spektrale Energieverteilung bei der Wellenlänge und der Temperatur T ist.

Umwandlung des Wien´schen Strahlungsgesetzes:Bildung des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.

ln (E(,T)) = ln (E(,To)) -c2 / (1/T - 1/To)

ln (E(,T)) = ln (E(,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/TY = A + B X, wobei

Y = ln (E(, T)) A = ln (E( ,To)) + c2 / 1/To

B = c2 /

X = 1/T

Graphische Darstellung – log/reziprok

Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz E T E Toc

, , exp

Alle drei Graphen bilden den gleichen Zusammenhang ab, lediglich wegen der unterschiedlichen Auftragung ergibt sich ein anderer Kurvenverlauf.

Linear – Linear Log – Linear Log – reziprok

Graphische Darstellung – Linearisierung

Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz E T E Toc

, , exp

ln (E (,T1)) = ln (E (,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/T1

ln (E (,T2)) = ln (E (,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/T2

Das Bild kann zurzeit nicht angezeigt werden.

, 1 1ln,

E T cE T T T

E TE T c

Wahl von zwei Punkten (T1, E(T1)) und (T2, E(T2))

Graphische Darstellung – log/reziprok

Beispiel 4: Stefan- Boltzmann Gesetz:

Die spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers R ist proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur T des schwarzen Strahlers.

Aufgabe ist es, die vierte Potenz ( = 4) nachzuweisen.

lg (R) = lg () + lg (T)

lg lglg lg

R RT T

Berechnung der Steigung bei doppellogarithmischer Darstellung ergibt den Exponenten

Wahl von zwei Punkten (T1, R1) und (T2, R2) .

Doppellogarithmische Darstellung – log/log

Die Durchbiegung von Stäben hängt außer vom Material (Elastizitätsmodul) auch von der Geometrie (Flächenträgheitsmoment) des Körpers ab.

http://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment

Praktikumsversuch:

ls Fb h E

Stab der Länge lmit rechteckigem Querschnitt der Breite b und der Höhe h.

Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul

Lineare Auftragung:

Lineare Auftragung: 3 ?s l

Lineare Auftragung: 3 ?s l4 ?s l

Linearisierung: Auftragung gegen l3

Linearisierung: Auftragung gegen l4

Doppellogarithmische Auftragung:

Doppellogarithmische Darstellung – log/log

Doppellogarithmische Darstellung ist das Mittel der Wahl, wenn wir graphisch ermittelnwollen, welchem Exponenten („power law“)

ein physikalischer Zusammenhang folgt.

;log( ) log( ) log( );

ny axy a xY A X

Viele Physikalische Eigenschaften zeigen eine Richtungsabhängigkeit (Winkelabhängigkeit)

Polarkoordinaten

2oI I cos

Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen

Gesetz von Malus:

/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen

Klassische Auftragung: 2oI I cos

180,0o

60,0o80,0o

270,0o

/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Winkelskala

180,0o

60,0o80,0o

1,0 0,5 0,0

/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Betragskala

/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Betragskala

/ o I / I o0 1,000

10 0,970

20 0,883

30 0,750

40 0,587

50 0,413

60 0,250

70 0,117

80 0,030

100 0,030

110 0,117

120 0,250

130 0,413

140 0,587

Polarkoordinaten: Gesetz von Malus

Gesetz von Mal

Beispiel: Optische Anisotropie von Quantenpunkten

UMTS‐Antenne

Lichtemittierende Diode ‐ LED

Lautsprecher

dB = dezi bel

10 IB lgI

Beispiel: I = Io/2

10 0 5 3 01 BB lg , , d

Weitere Beispiele

Polarkoordinaten sind zur Darstellung das Mittel der Wahl, wenn eine Richtungsabhängigkeit

der physikalischen Größen im Zentrum des Interesses steht.

Es ist insbesondere für vektorielle Größen

häufig eine aussagekräftige Darstellung.

Polarkoordinaten

Ankündigung - Startseite - Physik und Astronomie · 2020-01-09 · T. Kießling: Auswertung von...

Documents

Kurzanleitung Protokoll, Auswertung und Fehlerrechnung ... · Kurzanleitung zu Protokoll, Auswertung und Fehlerrechnung im Praktikum Physikalisch-Chemische Experimente Dr. Markus

T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung ... · T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen 24.04.2019 Vorlesung 1-3 Ankündigung Termine Zieldatum Thema

Franz Kießling - museum- · PDF fileSaisonales in Patchwork-Technik 86381 Krumbach 08282 81077 Daniela Quicker Wollig schönes für Mensch und Katz 86513 Oberrohr 08281 797435 Franz

· beste Näherung dann erreicht wird, wenn die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum ist, und führt zu folgenden Fehlerrechnung an die wahre Streuung die Streuung bzw. Da die Mittelwertbildung

Fehlerrechnung für Einsteiger - Fachbereich Physik · 1 Fehlerrechnung für Einsteiger Eine beispielorientierte Einführung für Studierende der TUHH 1. Messungen und Ungenauigkeit

Informationsabend zur Qualifikationsphase...1. Versetzung nach der 11. Klasse 09.01.2020 Informationsabend zur Qualifikationsphase Abitur 2022 michael.braun@gymnasium-oedeme.de 4 in

7.2.2 Spezifikation einer Treffermenge€¦ · © Prof. Kießling 2016 7 - 30 7.2.2 Spezifikation einer Treffermenge Das Ergebnis der Auswertung eines XPath Ausdrucks (Version 1.0)

Dipl.-Phys. Andreas Kießling wiss.-techn. Projektleiter moma MVV Energie AG SECHZEHNTES KASSELER SYMPOSIUM ENERGIE-SYSTEMTECHNIK 2011 6. + 7. Oktober 2011,

Suchmaschinen, Kap. 7, WK · © Prof. Kießling 2016 7 - 3 Webinhalte können über XML-basierte Auszeichnungssprachen wie XHTML oder AJAX strukturiert oder dynamisch erzeugt

Universität Jena: Fehlerrechnung leicht · PDF filePhysikalisches Grundpraktikum FSU Jena Seite 3 Fehlerrechnung leicht gemacht Wo kriegt man das Δx her? In den meisten Fällen gibt

Bayerischer Forschungsverbund für Situierung, Individualisierung und Personalisierung in der Mensch-Maschine-Interaktion Prof. Dr. Werner Kießling GI-Abendveranstaltung,

Fehlerrechnung und –schätzung, lineare und nichtlineare ... · Fehlerrechnung und –schätzung, lineare und nichtlineare Regression Inhalt 0 Einleitung 1 Wahrer Wert, Erwartungswert,

9. Steri Fach-Forum 3. März 2011 Klinikum der Universität ...€¦ · 03.03.2011 · 7 03.03.2011 9. Steri-Fach-Forum - Dr. Thomas Kießling - Sterilgutverpackung und Lagerung

Statistik - Sektion Physik · Statistik Sommersemester 2016 St¨orungsrechnung Wahrscheinlichkeit Fehlerrechnung Fits Inverse Probleme Momente von Verteilungen Die Momente der Maxwell-Boltzmann

Foto-Video-Sauter - Second-Hand-Artikel · 2021. 1. 8. · Foto-Video-Sauter - Second-Hand-Artikel Stand 09.01.2020 * Mit Diff.-Best. bezeichenete Artikel werden nach § 25a UStG

HCL 1-4 din 09.01.2020

Termin 1: 21. – 22.12.2019 Termin 2: 11. – …...Termine 2: ab 09.01.2020 je 10x donnerstags Das Kräftigungstraining ist abwechslungsreich und es bedarf keinerlei Vorkenntnisse

Anleitung zur Fehlerrechnung - FAU...mit seinem Fehlerintervall den wahren Wert (10) nur jeweils in zwei der drei Fälle korrekt wiedergibt (für die linke Spalte in den oberen beiden

Physikalisches Praktikum PAP 1 B.Sc. · Physikalisches Praktikum PAP 1 für Physiker( ) September 2010 (K ) Ei füh i di d B.Sc. (Kurze) Einführung n e Grundlagen er Fehlerrechnung

Lauterbach Kießling - 0800 Moderation Abwassertag 2016 · 2018. 6. 19. · • Vorlage einer Liste von zu überarbeitenden hEN. • Vorlage eines Konzeptes zur stärkeren Mitwirkung