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Zeitreihenanalyse

• Zerlegung von Zeitreihen• Saisonindex, saisonbereinigte Zeitreihe • Trend und zyklische Komponente• Prognose• Autokorrelation

Beispiel für Zeitreihe

Andere Anwendungen

• Inventarmanagment• Produktionsplanung• Finanzierungspläne• Beschäftigungsplanung• Prozesskontrolle• Etc.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Typische Zeitreihen 1

Y(t) = b0 + ε wobei ε ~ N(0,σ)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

0

5

10

15

20

Typische Zeitreihen 2

Y(t) = b0 + b1t + ε,ε ~ N(0,σ)

Typische Zeitreihen 3

Y(t) = b0 + b1sin(ω t) + ε, ε ~ N(0,σ)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Zerlegung der Zeitreihe

• Ft … Trendkomponente• St … Saisonale komponente• Ct … Zyklische Variation (längere Perioden

als Saison, ev. Keine fixe Periodenlänge)• Et … Zufallsschwankungen

Für die zuvor vorgestellten Beispiele könnte man einfache Regressionsmodelle verwenden (vgl. Kapitel 7 und 8)

Zwei Modelle• Multiplikative Zeitreihenstruktur

Xt = Ft • Ct • St • Et

• Additive StrukturXt = Ft + Ct + St + Et

Exp und Log führen Modelle ineinander über.

Zusätzlich zur Regression wird bei Zeitreihen häufig die Methode der gleitenden Mittel verwendet

Bsp. 10.1: Verkaufszahlen über 3 Wochen

515955Fr525454Do465249Mi454544Di353538Mo321Woche

Frage ob der Wochentag einen Einfluss auf die Verkaufszahlen hat

Graphische Darstellung

Tag

151413121110987654321

Verk

auf

70

60

50

40

30

Behandlung der saisonalen Komponente (hier: Wochentag)

Xt = Ft • Ct • St • Et

Verwende zunächst gleitende Mittel um saisonalen Effekt zu eliminieren (d.h. ich schätze Ft • Ct )

GM3 = (X1 + X2 + X3 + X4 + X5)/5GM4 = (X2 + X3 + X4 + X5 + X6)/5GM5 = (X3 + X4 + X5 + X6 + X7)/5 etc.

Beachte die ungerade Periodenlänge p=5 (Wochentage)GM1 und GM2 werden nicht berechnet (ebenso GMn-1

und GMn

Gleitendes Mittel in der Graphik

Tag

151413121110987654321

70

60

50

40

30

Verkauf

Gleitendes Mittel

Bereinigte Zeitreihe und saisonaler Index

Von Trend und Zyklus bereinigte Zeitreihe:Xt

(-TC)= St • Et = Xt /(Ft • Ct)

Berechnung des saisonalen Index:Ersetze Ft • Ct durch GMt, mittle über alle so erhaltenenWerte des gleichen Wochentags und multipliziere mit 100

Bsp Mittwoch: SI3 =100(49/48 + 52/49 + 47/46) /3 = 103.5

Normierter saisonaler Index: jj SISI

NSI 100=

Saisonales Gewicht undsaisonbereinigte Zeitreihe

Saisonales Gewicht = Saisonindex / Periodenlänge

= SIj / p

Saisonbereinigte Zeitreihe:

Xt(-S) = Xt •100/SIj wobei SIj der (normierte) Saison-

index des entsprechenden Tages ist!

Bemerkung: Zur Berechnung von SI wird manchmal anstelle des Mittelwerts auch der Median verwendet

Gleitende Mittel bei gerader Periodenlänge (Bsp 10-2: p=4)

Bilde zunächst die Mittel jeweils über die Periodenlänge

HM2,5 = (X1 + X2 + X3 + X4 )/4HM3.5 = (X2 + X3 + X4 + X5 )/4HM4,5 = (X3 + X4 + X5 + X6)/4 etc.

Verwende diese Hilfsgrößen um die zentrierten gleitenden Mittel zu berechnen

GM2 = (HM2,5 + HM3,5)GM3 = (HM3,5 + HM4,5) etc.

Schätzung von Trend undzyklischer Komponente

Schätze den Trend Ft als linearen Anteil der saisonbereinigten Zeitreihe Xt

(-S) mittels Regression

2 Möglichkeiten:

1) Regression für die logarithmierte Zeitreihe log Xt(-S)

� lineares Fehlermodell: log Xt(-S) ~ b0 + b1• t = log Ft

oder:

2) Regression direkt für Xt(-S) ~ c0 + c1• t = Ft

Buch S. 271ff, Bsp. 10-4, alles durchgerechnet

^

tbbt eeF 10ˆ =

^

Zyklische Komponente CtWir haben nun also Ft • Ct mit gleitendem Mittel und Ft selbst durch lineare Regression der saison-bereinigten Zeitreihe geschätzt.

Zur Bestimmung von Ct können wir nun einfach diese beiden Schätzer dividieren (Ct = Ft • Ct/Ft)

Abgesehen von den zufälligen Schwankungen, die ja prinzipiell nicht berechenbar sind, haben wir die Zeitreihe somit vollständig nach unserem multiplikativen Modell Xt = Ft • Ct • St • Et zerlegt!

Beachte, dass Ct schwieriger zu schätzen und auch schwieriger zu interpretieren ist als St.

Prognose

Verbrauch von Brennstoffen

Wie wird der Verbrauch im Jahr 2010 aussehen?

Deutscher Aktienkurs

Wo befindet sich der DAX in 3 Monaten?

Konjunkturprognose

Erstellen von Prognosen

Verwende Zerlegung der Zeitreihe!Xt = Ft • Ct • St • Et

Zur Bestimmung von XT verwende:

FT … c0 • exp (c1• T)

ST … passenden saisonalen Index (Tag, Quartal,etc.)

CT …geeignete Wahl am schwierigsten, erfordert zumeist spezielle Überlegungen, z. Bsp. welcher Teil der Z i ih i h i d V h i äh li h

Bsp. 10-4

Berechnung der Gleitenden Mittel:

Bsp. 3. Quartal 1997: HM23 = 850.175; HM34 = 862.25

� GM3= 856.2

…914.6879.91024.31023.2829.4783.2982.0868.6815.2734.9Xt

…2Q1Q4Q3Q2Q1Q4Q3Q2Q1Q

Bsp. 10-4 - Saisonindizes

Beispiel 3. Quartal: 1997: 868.5/856.2 = 1.0141998: 1023.2/927.1 = 1.1041999: 976.8/986.2 = 0.99

986.2

976.8

3Q

…964.9954.7949.8927.1909.7885.1864.0856.2GM

…914.6879.91024.31023.2829.4783.2982.0868.6Xt

…2Q1Q4Q3Q2Q1Q4Q3Q

SI = 100 (1.014+1.104+0.99)/3 = 103.6

Berechne analog SI für die anderen 3 Quartale und dann NSI

Bsp.10-4: Saisonbereinigte Zeitreihe

Saisonbereinigte Zeitreihe: Xt(-S) =Xt /NSI

990.9968.0907.3984.8898.6861.6869.8836.0883.2808.5Xt(-S)

914.6879.91024.31023.2829.4783.2982.0868.6815.2734.9Xt

…2Q1Q4Q3Q2Q1Q4Q3Q2Q1Q

Normiere Saison-indizes (NSI): 112.9103.992.390.9

4Q3Q2Q1Q

Bsp.10-4: Trendschätzung

2) Regression für Y = Xt(-S) liefert

1) Regression für Y = log(Xt(-S)) liefert:

ttY 016.071.6)(ˆ +=tettF 016.0821)016.071.6exp()(ˆ =+=

ttF 1.15814)(ˆ2 +=

Beachte: 21.013821)(ˆ tttF ++≅

Bsp.10-4: Zyklische Komponente

Beispiel 3. Quartal 1998: entspricht t=7

Berechne)(ˆ tFtGM

tC =

01.13.918/1.9277 ≅=C

Somit Zeitreihe vollständig zerlegt und wir wollen Zerlegung nun zur Prognose verwenden!

3.918821)7(ˆ 7016.0 == ⋅eF GM7= 927.1

Prognose für das erste Quartal 2001

St wird mittels saisonalem Effekt geschätzt

Entspricht dem Zeitpunkt T = 17, Prognose verwendet Schätzer für FT , CT und ST

978998.0909.01078ˆˆˆ171717 ≅⋅⋅=⋅⋅ CSF

Bleibt zyklische Komponente: Mögliche ÜberlegungC14 = 1 ≈ C10 � Schätze C17 durch C13= 0.998

1078821)17(ˆ 17016.0 =⋅= ⋅eF

909.0100/ˆ117 == NSIS

Prognose:

Natürlich gibt es viele weitere Verfahren zur Prognose, die hier nicht besprochen werden können. So wird häufig die Methode der exponentiellen Glättung bevorzugt. Weiterführende Literatur findest Du z.Bsp hier:

http://www.statsoft.com/textbook/sttimser.html

Beachte, dass wir hier nur Informationen aus der Zeitreihe selbst zur Prognose verwendet haben. In der Praxis wird man natürlich auch zusätzliche Informationen heranziehen (z.Bsp. Diverse andere Wirtschaftsdaten zur Konjunkturprognose).

Autokorrelation

Korrelation zwischen Fehlertermen eines Regressionsmodells

� Schätzung der Koeffizienten ineffizient� Unterschätzung der Fehlervarianz se

2

Auswirkungen auf Tests und Konfidenzintervalle(Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art steigt)

Bei Zeitreihen ist Autokorrelation (AK) ein häufiges Phänomen, und zwar meist positive AK

Durbin-Watson TestH0: Zeitreihe weist keine Lag 1 Autokorrelation auf

H1: Es liegt Autokorrelation auf

Teststatistik bei T Beobachtungen:

∑

∑

=

= −−= T

t t

T

t tt

e

eeD

12

22

1)(

Testentscheidung:

H0 falls dU < D < 4-dU H1 falls dL < D < 4-dL

Ansonsten keine Entscheidung möglich!

Beispiel 10-7T =n = 16 Residuen gegeben

Durbin -Watson Statistik: D = 1.2825

Tabelle 6: dL = 0.98, dU = 1.24

Somit dU < D < 4-dU und wir können H0 nichverwerfen!

Was tun bei Autokorrelation?

1) Hinzufügen weiterer unabhängiger Variablen

2) Transformieren von Variablen

Typischerweise bildet man Differenzen oder Quotienten

Siehe Bsp. 10-8 im Buch