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Zeitreihenanalyse
• Zerlegung von Zeitreihen• Saisonindex, saisonbereinigte Zeitreihe • Trend und zyklische Komponente• Prognose• Autokorrelation
Beispiel für Zeitreihe
Andere Anwendungen
• Inventarmanagment• Produktionsplanung• Finanzierungspläne• Beschäftigungsplanung• Prozesskontrolle• Etc.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Typische Zeitreihen 1
Y(t) = b0 + ε wobei ε ~ N(0,σ)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5
0
5
10
15
20
Typische Zeitreihen 2
Y(t) = b0 + b1t + ε,ε ~ N(0,σ)
Typische Zeitreihen 3
Y(t) = b0 + b1sin(ω t) + ε, ε ~ N(0,σ)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Zerlegung der Zeitreihe
• Ft … Trendkomponente• St … Saisonale komponente• Ct … Zyklische Variation (längere Perioden
als Saison, ev. Keine fixe Periodenlänge)• Et … Zufallsschwankungen
Für die zuvor vorgestellten Beispiele könnte man einfache Regressionsmodelle verwenden (vgl. Kapitel 7 und 8)
Zwei Modelle• Multiplikative Zeitreihenstruktur
Xt = Ft • Ct • St • Et
• Additive StrukturXt = Ft + Ct + St + Et
Exp und Log führen Modelle ineinander über.
Zusätzlich zur Regression wird bei Zeitreihen häufig die Methode der gleitenden Mittel verwendet
Bsp. 10.1: Verkaufszahlen über 3 Wochen
515955Fr525454Do465249Mi454544Di353538Mo321Woche
Frage ob der Wochentag einen Einfluss auf die Verkaufszahlen hat
Graphische Darstellung
Tag
151413121110987654321
Verk
auf
70
60
50
40
30
Behandlung der saisonalen Komponente (hier: Wochentag)
Xt = Ft • Ct • St • Et
Verwende zunächst gleitende Mittel um saisonalen Effekt zu eliminieren (d.h. ich schätze Ft • Ct )
GM3 = (X1 + X2 + X3 + X4 + X5)/5GM4 = (X2 + X3 + X4 + X5 + X6)/5GM5 = (X3 + X4 + X5 + X6 + X7)/5 etc.
Beachte die ungerade Periodenlänge p=5 (Wochentage)GM1 und GM2 werden nicht berechnet (ebenso GMn-1
und GMn
Gleitendes Mittel in der Graphik
Tag
151413121110987654321
70
60
50
40
30
Verkauf
Gleitendes Mittel
Bereinigte Zeitreihe und saisonaler Index
Von Trend und Zyklus bereinigte Zeitreihe:Xt
(-TC)= St • Et = Xt /(Ft • Ct)
Berechnung des saisonalen Index:Ersetze Ft • Ct durch GMt, mittle über alle so erhaltenenWerte des gleichen Wochentags und multipliziere mit 100
Bsp Mittwoch: SI3 =100(49/48 + 52/49 + 47/46) /3 = 103.5
Normierter saisonaler Index: jj SISI
NSI 100=
Saisonales Gewicht undsaisonbereinigte Zeitreihe
Saisonales Gewicht = Saisonindex / Periodenlänge
= SIj / p
Saisonbereinigte Zeitreihe:
Xt(-S) = Xt •100/SIj wobei SIj der (normierte) Saison-
index des entsprechenden Tages ist!
Bemerkung: Zur Berechnung von SI wird manchmal anstelle des Mittelwerts auch der Median verwendet
Gleitende Mittel bei gerader Periodenlänge (Bsp 10-2: p=4)
Bilde zunächst die Mittel jeweils über die Periodenlänge
HM2,5 = (X1 + X2 + X3 + X4 )/4HM3.5 = (X2 + X3 + X4 + X5 )/4HM4,5 = (X3 + X4 + X5 + X6)/4 etc.
Verwende diese Hilfsgrößen um die zentrierten gleitenden Mittel zu berechnen
GM2 = (HM2,5 + HM3,5)GM3 = (HM3,5 + HM4,5) etc.
Schätzung von Trend undzyklischer Komponente
Schätze den Trend Ft als linearen Anteil der saisonbereinigten Zeitreihe Xt
(-S) mittels Regression
2 Möglichkeiten:
1) Regression für die logarithmierte Zeitreihe log Xt(-S)
� lineares Fehlermodell: log Xt(-S) ~ b0 + b1• t = log Ft
oder:
2) Regression direkt für Xt(-S) ~ c0 + c1• t = Ft
Buch S. 271ff, Bsp. 10-4, alles durchgerechnet
^
tbbt eeF 10ˆ =
^
Zyklische Komponente CtWir haben nun also Ft • Ct mit gleitendem Mittel und Ft selbst durch lineare Regression der saison-bereinigten Zeitreihe geschätzt.
Zur Bestimmung von Ct können wir nun einfach diese beiden Schätzer dividieren (Ct = Ft • Ct/Ft)
Abgesehen von den zufälligen Schwankungen, die ja prinzipiell nicht berechenbar sind, haben wir die Zeitreihe somit vollständig nach unserem multiplikativen Modell Xt = Ft • Ct • St • Et zerlegt!
Beachte, dass Ct schwieriger zu schätzen und auch schwieriger zu interpretieren ist als St.
Prognose
Verbrauch von Brennstoffen
Wie wird der Verbrauch im Jahr 2010 aussehen?
Deutscher Aktienkurs
Wo befindet sich der DAX in 3 Monaten?
Konjunkturprognose
Erstellen von Prognosen
Verwende Zerlegung der Zeitreihe!Xt = Ft • Ct • St • Et
Zur Bestimmung von XT verwende:
FT … c0 • exp (c1• T)
ST … passenden saisonalen Index (Tag, Quartal,etc.)
CT …geeignete Wahl am schwierigsten, erfordert zumeist spezielle Überlegungen, z. Bsp. welcher Teil der Z i ih i h i d V h i äh li h
Bsp. 10-4
Berechnung der Gleitenden Mittel:
Bsp. 3. Quartal 1997: HM23 = 850.175; HM34 = 862.25
� GM3= 856.2
…914.6879.91024.31023.2829.4783.2982.0868.6815.2734.9Xt
…2Q1Q4Q3Q2Q1Q4Q3Q2Q1Q
Bsp. 10-4 - Saisonindizes
Beispiel 3. Quartal: 1997: 868.5/856.2 = 1.0141998: 1023.2/927.1 = 1.1041999: 976.8/986.2 = 0.99
986.2
976.8
3Q
…964.9954.7949.8927.1909.7885.1864.0856.2GM
…914.6879.91024.31023.2829.4783.2982.0868.6Xt
…2Q1Q4Q3Q2Q1Q4Q3Q
SI = 100 (1.014+1.104+0.99)/3 = 103.6
Berechne analog SI für die anderen 3 Quartale und dann NSI
Bsp.10-4: Saisonbereinigte Zeitreihe
Saisonbereinigte Zeitreihe: Xt(-S) =Xt /NSI
990.9968.0907.3984.8898.6861.6869.8836.0883.2808.5Xt(-S)
914.6879.91024.31023.2829.4783.2982.0868.6815.2734.9Xt
…2Q1Q4Q3Q2Q1Q4Q3Q2Q1Q
Normiere Saison-indizes (NSI): 112.9103.992.390.9
4Q3Q2Q1Q
Bsp.10-4: Trendschätzung
2) Regression für Y = Xt(-S) liefert
1) Regression für Y = log(Xt(-S)) liefert:
ttY 016.071.6)(ˆ +=tettF 016.0821)016.071.6exp()(ˆ =+=
ttF 1.15814)(ˆ2 +=
Beachte: 21.013821)(ˆ tttF ++≅
Bsp.10-4: Zyklische Komponente
Beispiel 3. Quartal 1998: entspricht t=7
Berechne)(ˆ tFtGM
tC =
01.13.918/1.9277 ≅=C
Somit Zeitreihe vollständig zerlegt und wir wollen Zerlegung nun zur Prognose verwenden!
3.918821)7(ˆ 7016.0 == ⋅eF GM7= 927.1
Prognose für das erste Quartal 2001
St wird mittels saisonalem Effekt geschätzt
Entspricht dem Zeitpunkt T = 17, Prognose verwendet Schätzer für FT , CT und ST
978998.0909.01078ˆˆˆ171717 ≅⋅⋅=⋅⋅ CSF
Bleibt zyklische Komponente: Mögliche ÜberlegungC14 = 1 ≈ C10 � Schätze C17 durch C13= 0.998
1078821)17(ˆ 17016.0 =⋅= ⋅eF
909.0100/ˆ117 == NSIS
Prognose:
Natürlich gibt es viele weitere Verfahren zur Prognose, die hier nicht besprochen werden können. So wird häufig die Methode der exponentiellen Glättung bevorzugt. Weiterführende Literatur findest Du z.Bsp hier:
http://www.statsoft.com/textbook/sttimser.html
Beachte, dass wir hier nur Informationen aus der Zeitreihe selbst zur Prognose verwendet haben. In der Praxis wird man natürlich auch zusätzliche Informationen heranziehen (z.Bsp. Diverse andere Wirtschaftsdaten zur Konjunkturprognose).
Autokorrelation
Korrelation zwischen Fehlertermen eines Regressionsmodells
� Schätzung der Koeffizienten ineffizient� Unterschätzung der Fehlervarianz se
2
Auswirkungen auf Tests und Konfidenzintervalle(Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art steigt)
Bei Zeitreihen ist Autokorrelation (AK) ein häufiges Phänomen, und zwar meist positive AK
Durbin-Watson TestH0: Zeitreihe weist keine Lag 1 Autokorrelation auf
H1: Es liegt Autokorrelation auf
Teststatistik bei T Beobachtungen:
∑
∑
=
= −−= T
t t
T
t tt
e
eeD
12
22
1)(
Testentscheidung:
H0 falls dU < D < 4-dU H1 falls dL < D < 4-dL
Ansonsten keine Entscheidung möglich!
Beispiel 10-7T =n = 16 Residuen gegeben
Durbin -Watson Statistik: D = 1.2825
Tabelle 6: dL = 0.98, dU = 1.24
Somit dU < D < 4-dU und wir können H0 nichverwerfen!
Was tun bei Autokorrelation?
1) Hinzufügen weiterer unabhängiger Variablen
2) Transformieren von Variablen
Typischerweise bildet man Differenzen oder Quotienten
Siehe Bsp. 10-8 im Buch