Partielle DGL, Wärmeleitung

stationär: T(x) oder T(R)

instationär: T(x, t) oder T(x, y, z, t) = T(R, t)

Q WWärmeleitzahl:

x T m K

Mineralien,Glas Holz Wasser

kJ kJ kJ 1kcalc =1 , c =2 , c =4,2

kg K kg K kg K kg K

2 2

Q Q J WWärmestromdichte: q

A t A m s m

3

m kgDichte ρ

V m

Q Jspezifische Wärmekapazität: c

m T kg K

Wärmemenge: Q J =Ws

Q JWärmestrom: Q W

t s

Oft wird die Wärmestromdichte q nur mit q bezeichnet.

Q = dQ/dt ist proportional zu T.

Oft wird der Wärmestrom Q mit bezeichnet.

Kleine Differenzen oder Mengen werden mit markiert,

sehr kleine mit d, Zeitableitung mit einem Punkt oder d/dt.

Gesetz von Newton (1701)

Sir Isaac Newton (1642 –

1727)

T = x °C T = (x + 273,15) K

T bezeichnet die absolute Temperatur oder wird als Celsiustemperatur kenntlich gemacht. Dann gilt:

Lineare Wärmeleitung

1 2T T

A

x

x

A

dT

A

T

d )x

xd(T+

stationär

2 1T TQ= A t

x

2

T( T + x d )

xdQ = A dtx

1

TdQ = A dt

x

xdx

1 2

2

2

T Tt c x

2

1 2 2

TTdQ =dQ -dQ A d dt A d dt

x xx

xx

x

A

dT

x

A

T

d )x

xd(T+

dQ =m c dT A xd c dT

2

2

TA d c dT A

xx dxdt

instationäre Wärmeleitung

2

T( T + x d )

xdQ = A dtx

1

TdQ = A dt

x

dx2 1dQ dQ

1 2

Stationäre Wärmeleitung: T = T(x)

dTq const.

dx

Der Temperaturverlauf ist linear:

0

qT( x) = T x

T

dQ = Ax

dtMetalle Baustoffe, Wasser Luft Vakuum

W W W100 , =1 , =0,02 , =0

m K m K m K

: Wärmeleitzahl, Wärmeleitvermögen oder Wärmeleitfähigkeit

Gute elektrische Leiter sind auch gute Wärmeleiter. (Wiedemann-Franzsches Gesetz) Aber nicht umgekehrt! Diamant, C-Nanoröhren

W> 1000

m K

klein groß

zeigt immer in Richtung des stärksten Temperaturgefälles.

dTq

dx

x

y

z

q T/ x

q T/ y T

T/ zq

q

kann von der Temperatur abhängen.

q

Biot und Fourier (1822)

Joseph Fourier(1768 - 1830)

Jean-Baptiste Biot 1774-1862

Bei Anisotropie (geschichtete Stoffe, Kohlefaser-Verbundstoffe, Holz) ist eine symmetrische Matrix (xy = yx).

x∂qdxdydz

∂x

y∂qdydxdz

∂y

Das Feld ist quellenfrei / senkenfrei,d. h. Wärme staut sich nicht, wenn

yx z∂q∂q ∂q

0∂x ∂y ∂z

0 q (Divergenz)

z∂qdzdxdy

∂z

netto in dV strömende Leistung = 0

xq dydz

yq dxdz

zq dxdy

xx

∂q( q dx)dydz

∂x

yy

∂q( q dy)dxdz

∂y

zz

∂q( q dz)dxdy

∂z

Wärmestromdichte im Zylinderfeld

zQ( )

2 | || |R

q RR R

z

2 2 2 2

x

y

0Q( x,y)

2 x +y x +y

q

x z2 2

q Q x

x x 2( x +y )

2 2z

2 2 2

Q ( x +y ) x 2x2 ( x +y )

2 2z

2 2 2

Q -x +y2 ( x +y )

y z2 2

q Q y

y y 2( x +y )

2 2z

2 2 2

Q x - y2 ( x +y )

zq0

z

yx z

∂q∂q ∂q0

∂x ∂y ∂z

q

z2 2

xQ

y2( x +y )

0

q

2 2z

2 2 2

Q ( x +y ) y 2y2 ( x +y )

Temperaturverlauf im Zylinderfeld

2 2T =T( | |)=T( x +y )R

T ∇q

x

Tq

x

z2 2

Q x

2( x +y )

2 22 2

2xln( x +y )

x x +y

T( | |)R 2 2zQ 1ln( x +y )+C

2 2

2 2zQln x +y +C

2

zQln | | +C

2R

z0 0 0

QT( | |) ln| |+C =T

2R R

z0 0

0

Q | |T( | |)=T ln für | | | |

2 | |R

R R RR

x| ( )| q( | |)q R R

z2 2

xQ

y2( x +y )

0

q

Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation ( = 0,04 Wm-1K-1) hat innen bei |Ri| = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |Ra| = 5 cm 20°C.Wie groß sind die Wärmeverluste dQz/dt?Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien.T0 = T(1 cm) = 60°C

z1 1

Q 5 cmT( 5 cm)=20°C =60°C ln

1cm2 0,04 Wm K

z

40 2 0,04 W WQ = 6,24

ln5 m m

40°C x cmT( x)= 60°C ln

ln5 1 cm

z0 0

0

Q | |T( | |)=T ln für | | | |

2 | |R

R R RR

zQ K mln5=60°C 20°C = 40 K

2 0,04 W

Eine Rohrleitung mit Wärmeisolation ( = 0,04 Wm-1K-1) hat innen bei |Ri| = 1 cm die Temperatur 60°C, außen bei |Ra| = 5 cm 20°C.Wie groß sind die Wärmeverluste dQz/dt?Bei welchen Radien liegen die Isothermen zu 50°C, 40°C, 30°C ? Zeichnen Sie eine Skizze mit Isothermen und Wärmestromlinien.

= 60°C 25°C lnx 60°C T( x)

25°Cx = e

T(x)/°C x/cm

60 1,0

50 1,5

40 2,2

30 3,3

20 5,0

40°C x cmT( x)= 60°C ln

ln5 1 cm

cm

Potentialgleichung

T ∇q

( T)q

T

2 2 2

2 2 2

/ x / x

= / y / y = + +x y z

/ z / z

=∇ ∇

Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827)

(falls konstant)T ∇ ∇

(Laplace-Operator)

Instationäre Wärmeleitung Abkühlung: Nach Newtons Gesetz ist der Wärmestrom zur Differenz von Körpertemperatur T und Außentemperatur T proportional.

∞Q ∼ =T - T

Über die spezifische Wärmekapazität entspricht der Änderung der Wärmemenge eine Temperaturänderung:

dkdt

d∼ k

dt

dln kdt

( t) t

( 0) 0

dln kdu

ln( t) ln( 0) kt ( t)

ln kt( 0)

kt( t)e

( 0)

kt( t) ( 0) e (wie Zerfallsgesetz)

Die Temperaturdifferenz zwischen Kaffee in der Kaffetasse (T) und der Umgebung (T = const.) klingt vorwiegend aufgrund von Wärmeleitung exponentiell mit der Zeit ab, θ) ist dabei die anfängliche Temperaturdifferenz, k ist die Abkühlkonstante:

θ(t) = T(t) – T = θ(0)exp(-kt)

Folgende Messwerte wurden bestimmt (T = 21°C):

t 0 1 2 4,5 7,5 11,5 13,5 19min T 75 73 71 67 63 59 57 52 °C θ(t) 54 52 50 46 42 38 36 31 °C

Berechnen Sie die Übertemperatur θ(t) = T(t) - T und tragen Sie deren Logarithmus über der Zeit t auf. Welche Abkühlkonstante k ergibt sich?

( t)ln =-kt

( 0)

kt( t)e

( 0)

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

5 10 15 20

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

lnθ(t) = 3.97 - 0.029t

ln( t)= ln( 0)-kt

t/min

t/min

ln( /1°C)ln( /1°C)

( t)ln =-kt

( 0)

kt( t)e

( 0)

Instationäre Wärmeleitung

xx

∂q( q dx)dydz

∂x

xq dydz

yq dxdz

zq dxdy

yy

∂q( q dy)dxdz

∂y

zz

∂q( q dz)dxdy

∂z

x∂qdxdydz

∂x

y∂qdydxdz

∂y

z∂qdzdxdy

∂z

T= c

tq

0 q T

Instationäre Wärmeleitung+ Wärmequelle

Wärmequelle p = P/V [W/m3]p dxdydz dt= dV c dT

pTp= c

t

Erwärmung von dV:

Tp- = c

t

qT

p+ T = ct

T= c

tq

Summe:

T

Instationäre Wärmeleitungeindimensional, p = 0:

2

2

T T=

c tx

Tp+ T = c

t

2m:=a Temperaturleitfähigkeit

c s

Baustoffe: a = 0,2 bis 1,0 10-6 m2/s

stehende Luft: a = 20 10-6 m2/s

Metalle: a = 10 bis 100 10-6 m2/s

2

2

T Ta =

tx

Temperatursprung am Halbraum

0T( x>0,t= 0)=T

T( x<0)= const.=T

2

2

T Ta =

tx

Analytische Lösung für x > 0:

2z

-u

0

2erf( z) = e du

0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)

xz :=

2 a t 0

T- T= -erf( z)

T - T

0

0

T- T= 1-erf( z)

T - T

2

2

T Ta =

tx

Analytische Lösung für x > 0:

2z

-u

0

2erf( z) = e du

0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)

xz :=

2 a t

Temperatursprung am Halbraum

0T( x>0,t= 0)=T

T( x<0)= const.=T

Tq

x

Die Wärmestromdichte

2x-

0 4a t( T - T )

eat

zeigt für x = t = 0 eine Singularität.

2

2

T Ta =

tx

Analytische Lösung für x > 0:

2z

-u

0

2erf( z) = e du

0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)

xz :=

2 a t

Temperatursprung am Halbraum

0T( x>0,t= 0)=T

T( x<0)= const.=T

a 2a, t t/2: keine Änderung

x 2x t 4t:doppelte Tiefe, vierfache Zeit.Wärme kriecht.

2

2

T Ta =

tx

Analytische Lösung für x > 0:

2z

-u

0

2erf( z) = e du

0T( x,t)=T -( T - T ) erf( z)

xz :=

2 a t

Ein 2 cm dickes Steak muss laut Kochbuch 8 Minuten lang gegrillt werden. Wie lange muss ein 3 cm dickes Steak gegrillt werden?

2 2 2

x

2 a tt 8min t

x ( 2 cm) ( 3 cm)

= const

t = 18 min.

Temperatursprung am Halbraum

0T( x>0,t= 0)=T

T( x<0)= const.=T

Instationäre Wärmeleitung in Luft

2-5

3

W0,025 mm KTemperaturleitfähigkeit a = 2 10

kg kJc s1,3 1kg Km

T = 20 C 0T = 10 C0T - T 10K

2

2-5

x 4 m 2 5z := 10

2 a t tm2 2 10 t

ss

t/h t/d z erf(z) T(4 m,

t)

10 2,357 0,999 10,01°C

50 2,1 1,054 0,864 11,36°C

100 4,2 0,745 0,708 12,92°C

1000 42 0,236 0,261 17,39°C

erf(t) 10 h.nb erf(t) 1000h.nb