Beiträge zur Gruppentheorie IX

Vol. XIII, 1962 49

Beitr~ige z u r G r u p p e n t h e ~ , r i e IX

R. BAER zum 60. Geburtstag

Von

OTTO GR0_~

I. In einer Arbeit [1] hat Verf. ftir beliebige natiirliche ZaMen m die ,,m-K0m- muta torgruppe" ~m(@, r ftir beliebige Gruppen ~ definiert: ~m(fD, | = { . . . . ( S T ) - m S ' n T m . . . . }, S, T e ~ . Indem man wieder yon ~m(| | die m- Kommuta torgruppe bildet, erh/ilt man die zweite m-Kommutatorgruppe yon | usw. Es zeigte sieh: Die m-Kommutatorgruppen ~on (~ sind charakteristische Unter- gruppen yon (D ; ftir den Fall m = 2 erhs man die Reihe der hSheren Kommuta tor - gruppen im bekannten Sinne, so dab diese also auch als die 2-KommutatorgTuppen bezeichnet werden kSnnen; die m-Kommutatorgruppen sind also eine genaue Ver- allgemeinerung der iiblichen Kom m ut a t o r~ up pen . Danach hat R. BAER das m- Zentrum einer Gruppe (D definiert als die Gruppe aller Elemente Z �9 (~, die mit jedem Element S �9 ~ die Gleichung: ( S Z ) - m S m Z m = 1 efftillen. Offenbar kann man damit die aufsteigende m-Zentrenreihe einer Gruppe defmieren. Ihre Glieder sind s/imtlich charakteristisch in (~. Ftir m = 2 erh/~lt man wieder das Zentrum und die aufsteigende Zentrenreihe im bekannten Sinne, so dal3 man also die aufsteigende Zentrenreihe als aufsteigende 2-Zentrenreihe bezeichnen kann. U m die Analogie zwischen m-Kommuta toren und 2-Kommutatoren vollst~ndig zu maehen, soll bier noch die absteigende m-Zentrenreihe so definiert werden, dab f'ttr den Fall m :-- 2 die absteigende 2-Zentrenreihe gerade die absteigende Zentrenreihe im iiblichen Sinne ist.

B e z e i c h n u n g e n . Ftir eine beliebige Gruppe li und eine beliebige natiirliche Zahl m bedeutet [11]m stets die yon den m-ten Potenzen der Elemente �9 11 erzeugte Gruppe. ~ ~ 11 und 11 c ~ heiBt stets: 11 ist echte Untergruppe yon | Falls 11 c ~ , aber auch 11 = (D sein kann, wird ~ D= 1I, ]I C ~ geschrieben. Die weiteren Bezeich- nungen werden an geeigneter Stelle definiert, soweit sie nicht allgemein tiblich sind.

11. (~ sei eine beliebige Gruppe, ~ und ~ zwei beliebige Normalteiler von ~ , die keiner Einsehr~nkung unterworfen sind; unsere Ergebnisse bleiben auch ftir ~ = 1 oder ~: = 1 richtig, sind dann aber trivial. Wir werden zuniichst die gegenseitige m-

(~, ~:) Kommuta torgruppe ~ m ( ~ , '~) yon ~ und ~ so definieren, dal] ~2(~ , ~) = ~ ist. Mit den Ergebnissen dieser Untersuchung kann man nicht nur die absteigende m-Zentrenre~he yon ~ als Analogon zur absteigenden Zentrenreihe yon | sondern aueh die den Reihen (~, ~) , (~, ~ , (D) . . . . . (~, ~), (~, ~:, ~) . . . . usw. entsprechen- den m-Kommuta tor re ihen bilden.

Archiv der Mathematik XIIl 4

50 O. GRUN ARCH. MATtt.

S bezeichne stets Elemente aus ~, T solche aus ~. Es sei

~m(| ~) = { . . . . ( S T ) - m s m T m . . . . },

wobei S alle Elemente e ~, T alle Elemente e ~ durchlaufe. Wir bezeichnen ~m (6, ~) als die gegenseitige m-Kommutator-Gruppe von ~ und ~s

1. ~m(~, ~)=c (6, ~) .

Beweis . (S T) -m S m T m ( ~ , ~) = T - m S - m S m T m ( ~ , ~) = (~ , ~Z).

2. ~m(| ~.) ist Normalteiler v o n | und unter allen Automorphisrnen D yon ~ , /iir die S 1) = S, T D = T gilt, invariant.

Beweis . ((S T)-ra S m Tin) z) = (S D Tz)) -m (SD) m ( TZ)) m e ~2m('~, ?g).

3. ~ m ( ~ , ~) = { . . . . ( T S) -(m-1) Sm-1 Tin-1 . . . . )"

Beweis . (S T ) - m S m T m = T - I ( ( T S ) - ( ' n - 1 ) S 'n -1T m-l) T. Also ist aueh

(TS ) - (m-1 )S m - 1 T m-1 �9 ~m( | ~.).

Da auch { . . . . (TS)-(m-1) S m-1 T m-1 . . . . } Normalteiler yon ~ ist, fo l~

{ . . . . ( T S ) - ( m - 1 ) S m - I T m - 1 . . . . } C ~m(| ~.) C { . . . . ( T S ) - ( ' n - 1 ) S m - I T m-1 . . . . },

woraus die Behauptung sich ergibt.

(~, ~:). 4. ~ 2 ( ~ , ~ ) = ~

Beweis . Nach 3. ist

~ 2 ( ~ , ~) = { . . . . ( T S ) - 1 S T . . . . } = { . . . . (S, T) . . . . } = (| ~) .

5. ~ ~ ist :Normalteiler yon (~ und aus 1., 2., 3. folgt:

= n [~%]~-1 n (6, ~,). ~m(~, ~) c [ ~ ] ~

In seiner Arbeit [1] hat Verf. gezeigt:

~ (~, ~) = [ c~ ]~ n [ ~ ] ~ - ~ n (~, ~).

6. ~ . ( | ~) = ~ ( ' % |

Beweis . ( S - 1 T - 1 ) - m S - m T -m - 1 ~m(~,~Z)

= (TSWS-~ T-~.

Also ist (T S) m - T InS m ~ m ( ~ , ~.). Hieraus folgt

( T S)-ra Tm S m �9 ~m ( ~ , ~) .

Andererseits: ~m(~, ~) = { . . . . ( T S ) - m T m S m . . . . }. Also ist ~m(~, ~) __C ~m(| '~). Da ebenso ~m(~, ~) __C ~m(% ~), folgt ~m(~, ~:) = ~m(~, 6) . Also kann man 3. noch erg~nzen :

~ ( ~ , ~) = ( . . . . ( S T ) - ( ~ - ~ ) T ~ - ~ S ~ - ~ . . . . }.

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7. Offenbar kann m a n aUe Elemente e ~ c~ ~, also speziell alle Elemente e ( ~ , ~) nach Belieben als Elemente e ~ oder e ~ attffassen. Nun ist nach 6.

( T S )~ -- T ~ S ~ ~ ( ~ , ~)

= T ( S T ) m T -~ - T S m T r a T -~ = T S m T m-~ ~ m ( ~ , 7~). Also ist

Tm-~ 8"* = 8 " T " - ~ @m(~, ~), (S m, T ra-1) - 1 ~Pra(~, i~.).

([~]= [~]m-~) c ~ ( ~ , ~). Daher

7.1.

Ebenso:

7.2.

Wegen

([~].~-i, [~]m) c,gm (~, ~).

[~ ]m. [ | = ~,

fo~,~: 7.3. (| [CE] m n [~]ra-1) C ~m (~, ~ ) .

7.4. ([~]~ n [| ~) c ~m(~, ~).

8. (8% T m-l) -= 1 gOm(~, 5g) ergibt noeh:

S - m . (T-(ra-1) S T r " - l ) ra =- 1 ~ra(~, [g)

= 8 - , , , ( 8 . (8, T,*-~))~ = s - , , , . ,S~(8, Tm-1)~ @~(~, ~). Also

8.1. (8, T=-~)= = I ~m(~, ~;).

8.2. [(8, [~:]m-~)]m __c ~.~(~, ~) i).

Es ist (s~, T~-I) = 1 ~m(~, ~),

( S - r a T - 1 S m ) r a - l T ~-1 - 1 @ra(g,i~)

= ((S% T) T- l ) m-1 T m-1 -- T-(m-l) (8% T) ~ - 1 T ra-1 - 1 ~ m ( ~ , ~ ) . _Also

8.3. ( 8 % T) m-1 -- 1 @m(~ , ~.).

8.4. [([~]m, 5g)]m-1 C ~m(~, 5g).

Ebenso erhglt man aus (S ra-1, T m) ~ 1 ~ m ( ~ , ~) :

8.5. (S ra-1, T) m - 1 @m(| ~ ) .

8.6. [([| ~ m c ~ ( ~ , ~).

1) I)er Beweis yon 8.2. sowie der folgenden Sgtze 8.4, 8.6, 8.8. und 9.2. wird auf S. 52 er- bracht.

4*

52 0. G~i~.~

8.7. (S, Tin) ra-1 -- 1 ~m(~, ~).

8.8. [(~, [~]m)]m-, ---- 1 Sin(e , ~).

9. Nach 8.3. ist (S m, T) m-1 =- 1 ~ m ( ~ , r163 Man hat nun

(S m, T ) = S -m ( T - 1 S T ) m = S -rn (S (S, T ) ) m =- S - m S m (S, T ) m - (S, T ) m 5 m ( ~ , 7:) .

Also

9.1. (S% T) ~ -1 -- 1 - (S, T) re(m-l) ~ m ( ~ , ~).

9.2. [(~, ~)]m(m-,) C Sm(~, ~).

Der Beweis der S~tze 8.2., 8.4, 8.6, 8.8. und 9.2. aus 8.1., 8.3, 8.5., 8.7. und 9.1. ver- ls folgendermaBen:

=) Aus der Definition yon ~m(~, ~) fo l~ :

( 5 ~ ) ~ -- 5mTm ~ ( ~ , ~). Ferner gilt nach 3. :

( S T ) m - * =_ T i n - * S i n - *

fl) Es ist klar, dab man jedes Element e ~ (~ ~, also spezieU jedes Element e (~ , %) nach Belieben als Element e ~ oder e ~: auffassen kann. Sind also KI, K2 . . . . . Kn Elemente e ~ c~ ~:, so hat man z. B. auf Grund yon e)

( K 1 K 2 " ' " K n ) m =- ( K 1 K 2 "'" Kn-,)m.K~n = ( K , K2 "'" Kn-2)ra K'~_, �9 K ~ -

= . . . = - g ? g ' ~ 2 . . . . a " 2 ~ m ( e , ~ ) ,

indem man zuerst K1, K2 . . . . . Kn-1 als Element e ~, Kn als Element e ~:, dann K , K 2 " . K n - 2 als Element e ~ , K n - 1 als Element e ~ auffal3t usw.

Ebenso

( K , K z " " K n ) m-~ -- K~n -~ (K~ K ~ " " K n - , ) m-1 - . . . = -- ~Im--1 ]Tm--i... l~n--i = zaTt aa-n--1 1 , ~ m ( ~ , ~E~).

?) Zwischen beliebigen 3 Elementen a, b, c einer Gruppe bestehen die Kommutator- identits

(a, b c) = (a, c) (a, b) (a, b, c),

(ab, c) = (a, c) (a, c, b) (b, c).

B e w e i s y o n 8.2. Es soil ~us (5, Tm-~) ~ - 1 ~m(~,~) gefolgert werden: Ftir beliebige T , , T2 . . . . . T,~ e "~ ist :

(ST~-~-~ . - -T~-~ )~ -= 1 8m(~ ,~ ) .

Wir ftihren den Beweis mit voUst~indiger Induktion nach der Anzahl n. Der Satz ist nach 8.1. riehtig fiir n ---- 1. Es sei n > 1 un4 der S~tz schon bewiesen f'tir n -- 1. Die Kommutatoridentits ?) ergeben:

(S, Tf, -~..- T~ -~) (S, T~. -~) (5, T~ -~-'' ~-~ = ~,_~) (5, Ti~, -~--. T~:, ~, T~, *).

ARCH. MATH.

Vol. XIII, 1962 Beitr~ige zur Gruppentheorie IX 53

Alle drei Terme liegen in (~, ~) _C ~ n ~. Dem_uach ergibt #):

(s, ~T-: ~... ~ - ~ ) ~ - (s, ~ - ~ ) ~ (s, ~ -~ ' - -T~_I ) ~ (S, T~-: ~-.. Z~-~_I, ~ - ~ ) ~ - -- 1 s)~(,~, ~).

Die Beweise yon 8.4., 8.6, 8.8. verlaufen v611ig analog und .biet~n keine Sehwierigkeit mehr.

B e w e i s y o n 9.2. Nach 9.1. ist (S, T)m(m-l) -= 1 ~ m ( ~ , ~). Es ist zu beweisen: Sind $1, $2 . . . . . Sn Elemente e ~ , T1 . . . . . Tn Elemente �9 ~, so ist

n

(1--[(s., T.))=(=-~ - ~ : ~ ( ~ , ~ ) . , u = l

Da atle (Sg, Tg) �9 ~ n ~; liegen, f o l~ nach fl) :

n S n 1 .

~=I ~=I ~=n

HI. Es seien ~, ~1, ~2 . . . . . | . . . . beliebige Normalteiler der Gruppe @, mr, m2 . . . . . mq . . . . beliebige natiirliche Zahlen. Damit erhs man eine Reihe yon Nor- malteilern yon (~ :

$~I(~ , ~1)~ $ ~ , ( ~ , ( ~ , ~1), ~2)~ ~ , ( ~ , , ~3)~= . . . .

wobei ~m,(~m,(~, ~1), ~2) abgekiirzt mit ~m, bezeichnet ist. Uber die Struktur der Faktorgruppen ~m,/,~m~, ~m../~m . . . . . liefern die S/itze I I , 1--9 ziemlich ein- gehende Aussagen. Fiir den Speziaffall m l ---- m2 . . . . . mq . . . . . 2 erh~lt man die Reihe:

(~1 ,~2) , ( | . . . . . ~3) . . . . . (~1, ~ , ~q) . . . . .

IV. Setzt man in I I I . :

= | =- ~2 . . . . . ~q . . . . . @ tmd ml ~ m 2 . . . . . - ~ m q . . . . . m ,

so erh~ilt man die absteigende m-Zentrenreihe yon | die f'tir m = 2 die bekannte absteigende Zentrenreihe @, (| (~) . . . . ((~, (~, @, 1~ . . . . . @) wird. Bezeichnen wit (~ mit gPl. m U nd fiir ~ ---- 2, 3 . . . . : $~,m ---- g~m($~-~.ra, f~), so ist $ , ,m die ~-te Unter- gruppe der absteigenden m-Zentrenreihe yon (~, wobei N ---- $1, m gesetzt ist. In ( ~ / ~ , m liegt ~ - 1 , m/$, , ra im Zentrum usw. Es ergibt sich sofort : H a t ~ eine in der 1 endende absteigende m-Zentrenreihe, so hat @ auch eine in @ endende aufsteigende m-Zentrenreihe und umgekehrt . Man wird @ also in diesem FaUe als m-niipotent be- zeichnen diirfen. Uber die Struktur der Faktorgruppen $~-1, m/S,. m geben wieder die S/~tze I I , 1--9 weitgehende Auskunft. Es sei noch erw/ihnt:

Die Gruppe [(~]m (3 [@]m-1 werde mit ~ bezeichnet, dann ist /iir beliebige v die Faktorgruppe ~/$~,ra 2-nilpotent, d. h. die Reihe ~, (~, ~) . . . . schlieflt mit gJ~,m.

B e w e i s . Zun/ichst liegt nach 5. $ , ,m sicher in ~. Wie erwiihnt, wurde in [1] be- wiesen:

$~,~(~ , r = [@]~n [N]~-I n (@, @).

O.~UN ARCH. MATH.

I ) ahe r is t (~, ~ ) C ~2, m- Aus 7.4. folgt da raus sukzess ive:

(~, ~, ~)_c~3,m, (~, ~, ~, ~)__c,~4,m . . . . .

also (~, ~ . . . . . ~) C f~, rn = 1. Da

~/~' = ~/[~]~ n [@]~-~ ~ [~]~/[~]~ n [~]~-~ • [@]~-U[~] ~ n [(~]~-~

ist, ha t m a n also eine wei tgehende Aussage fiber die S t r u k t u r yon | m fi ir be- l iebige ~ und m.

Literaturverzeichnis

[1] O. G~0~, Beitr~ge zur Gruppentheorie IV. i)ber eine charakteristische Untergruppe. Math. Nachr. 3, 77--94 (1949).

Eingegangen am 18. 12. 1961

Anschrift des Autors: Otto Grfin Mathematisches Institut der Universit~t Wfirzburg, KlinikstraBe 6

2) Hierbei soll (@/[g]m-1) • (@/[g]m) bedeuten: Die Gruppe {~/[g]~ ~ [g]m-1 ist isomorph mit dem direkten Produkt yon zwei Gruppen, deren eine isomorph mit (~/[9]m-1 und deren andere isomorph mit (~/[g]~ ist.