IX A ectori. Coliniaritate

Nume prenume: Reiz Maria

Școala: Liceul Teoretic German ,,Johann Ettinger” Satu Mare

E-mail: [email protected]

CLASA: IX

Aplicații vectori. Coliniaritate

Breviar teoretic și probleme rezolvate

Doi vectori se numesc paraleli sau coliniari, dacă au aceași direcție.

Vectorul nul se consider paralel cu orice alt vector.

Dacă �� ‖𝑣 și 𝑣 ≠ 0 , atunci există a număr real astfel încât �� =a·𝑣

Dacă �� și 𝑣 sunt vectori neparaleli atunci egalitatea a�� =b𝑣 este adevărat numai dacă

a=b=0.

Pentru a demostra că punctele A,B,C sunt coliniare este suficient să se arate că vectorii

𝐴𝐵 și 𝐴𝐶 sunt coliniari.

Descompunerea a unui vector după doi vectori necoliniari și nenuli

Pentru descompune un vector �� din plan după doi vectori necoliniari 𝑎 și �� , trebuie să

determinăm coeficienții reali α și β din suma �� = α 𝑎 +β�� .

Pentru a putea face acest lucru, vom lua un punct O pe dreapta suport a vectorului �� , vom

construe dreptele cu aceleași direcții ca vectorii necoliniar 𝑎 și �� ,care să treacă prin

punctul O, la fel ca în figura de mai jos

Din regula paralelogramului �� =𝑂𝐴 +𝑂𝐵 = α 𝑎 +β�� .

mailto:[email protected]




Aplicații

Rezolvare:

𝑀𝑁 =𝑀𝐵 +𝐵𝑁 =1

3𝐴𝐵 +

1

2𝐵𝐶 =

−1

3𝐵𝐴 +

1

2𝐵𝐶

𝑁𝑃 =𝑁𝐶 +𝐶𝑃 =1

2𝐵𝐶 +𝐴𝐶 =

1

2𝐵𝐶 +(𝐴𝐵 +𝐵𝐶 )=

1

2𝐵𝐶 -

𝐵𝐴 +𝐵𝐶

=3

2𝐵𝐶 -𝐵𝐴

Pentru a demonstra coliniaritatea punctelor

M,N,P vom demonstra că vectorii 𝑀𝑁 și 𝑁𝑃 sunt coliniari, adică există un număr real α,

astfel ca 𝑁𝑃 = α 𝑀𝑁

Observăm că 𝑁𝑃 = 3 𝑀𝑁 , deci M,N,P sunt coliniari

2) Se dă dreptunghiul ABCD și O=AC ∩ BD. Fie punctele N și M astfel încât AN =3

4AC și

BM =2𝐴𝐵

a). Să se exprime vectorii AO , OB , în funcție de vectorii AB și AD .

b). Să se demonstreze că punctele D,N,M sunt coliniare.

Rezolvare:

AO =1

2AC =

1

2(AD +AB )=

1

2𝐴𝐷 +

1

2𝐴𝐵

OB =1

2𝐷𝐵 =

1

2(DA + AB ) =

1

2 (−𝐴𝐷 + AB ) =

−1

2𝐴𝐷 +

1

2𝐴𝐵 sau OB =-B O=-

1

2(BC +

BA )=−1

2𝐴𝐷 +

1

2𝐴𝐵





Pentru a demonstra ca D,N,M sunt coliniare vom demostra că vectorii 𝐷𝑁 și 𝐷𝑀 sunt

coliniari, avem descompunerea vectori după direcțiile vectorilor 𝐴𝐷 ș𝑖 𝐴𝐵

𝐷𝑁 =𝐷𝐶 +𝐶𝑁 =𝐴𝐵 +1

4𝐶𝐴 =𝐴𝐵 +

1

4(𝐶𝐷 +𝐶𝐵 )= 𝐴𝐵 +

1

4(𝐵𝐴 +𝐷𝐴 )= 𝐴𝐵 -

1

4𝐴𝐵 -

1

4𝐴𝐷

=3

4𝐴𝐵 -

1

4𝐴𝐷

𝐷𝑀 =𝐷𝐴 +𝐴𝑀 =-𝐴𝐷 +3 𝐴𝐵

Observăm că 4 𝐷𝑁 = 4(3

4𝐴𝐵 -

1

4𝐴𝐷

) =3 𝐴𝐵 −𝐴𝐷 = 𝐷𝑀

Deci 𝐷𝑁 și 𝐷𝑀 sunt vectori coliniari , deci și punctele D,N,M sunt coliniare.

3) Pe latura AB și diagonala AC ale paralelogramului ABCD se iau punctle M și N astfel

încât 𝐴𝑀 =1

3𝐴𝐵 , 𝐴𝑁 =

1

4𝐴𝐶 .

Arătați că punctele că M,N,D sunt coliniare.

Rezolvare:

Pentru a demonstra că punctele M,N,D sunt coliniare

vom demonstra că vectorii 𝑀𝐷 și 𝑀𝑁 sunt coliniari.

Vom descompune vectorii 𝑀𝐷 și 𝑀𝑁 după vectorii 𝐴𝐷

și 𝐴𝐵

𝑀𝐷 =𝑀𝐴 +𝐴𝐷 =1

3�� A+𝐴𝐷 = −

1

3𝐴𝐵 +𝐴𝐷

𝑀𝑁 =𝑀𝐴 +𝐴𝑁 =- 1

3𝐴𝐵 +

1

4𝐴𝐶 =-

1

3𝐴𝐵 +

1

4(𝐴𝐷 +𝐴𝐵 )= -

1

3𝐴𝐵 +

1

4𝐴𝐷 +

1

4𝐴𝐵 = -

1

12𝐴𝐵 +

1

4𝐴𝐷

Observăm ca 4𝑀𝑁 =𝑀𝐷 , deci vectorii 𝑀𝐷 și 𝑀𝑁 sunt coliniari rezultă că și M,N,D sunt

coliniare.





Rezolvare 1:

Acum să demonstrăm această problemă cu ajutorul vectorilor, adică M,N,P puncte

coliniare dacă vectorii 𝑀𝑁 și 𝑀𝑃 sunt vectori coliniari.

𝐴𝑀

𝑀𝐵=

1

3 <=>

𝐴𝑀

𝐴𝐵=

1

4 <=>𝐴𝑀 =

1

4𝐴𝐵

𝑃𝐵 = 5𝑃𝐶<=> 𝐵𝐶 = 4𝑃𝐶<=> 𝑃𝐶 =1

4𝐶𝐵 și 𝑃𝐵 =

5

4𝐶𝐵

𝐶𝑁

𝑁𝐴=

3

5<=>

𝐴𝐶

𝑁𝐴=

8

5<=>𝑁𝐴 =

5

8𝐶𝐴

𝑀𝑁 = 𝑀𝐴 +𝐴𝑁 =1

4𝐵𝐴 +

5

8𝐴𝐶 =

−1

4𝐴 𝐵+

5

8𝐴𝐶

𝑀𝑃 = 𝑀𝐵 + 𝐵𝑃 =3

4𝐴𝐵 +

5

4𝐵𝐶 =

3

4𝐴𝐵 +

5

4(𝐵𝐴 + 𝐴𝐶 ) =

3

4𝐴𝐵 +

5

4𝐴𝐶 −

5

4𝐴𝐵

=−2

4𝐴𝐵 +

5

4𝐴𝐶

2𝑀𝑁 =𝑁𝑃 ,rezultă că 𝑀𝑁 și 𝑀𝑃 sunt vectori coliniari, deci M,N,P puncte coliniare.

Rezolvare 2:

Din reciproca teoremei lui Menelaus aplicată triunghiului ABC asi punctelor M,N,P care

imparte laturile sau prelungirile lor avem

AM

MB

BP

PC

CN

NA=

1

3· 5 ·

3

5= 1 rezultă M,N,P puncte coliniare.





Clasa IX

Fișa de lucru

1) Fie ABCD un paraelogram, Definim punctele E și F prin 𝐴𝐸 =3

2𝐴𝐵 și

𝐴𝐹 =3𝐴𝐷 , Să se arate că punctele C,E,F sunt coliniare.

2)

4)


Documents

IX A ectori. Coliniaritate