Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT

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Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT. TRADITION Gottlob Frege. *1848 Wismar. Logiker Mathematiker Professor in Jena Begründer der modernen Logik Aristoteles II. †1925 Bad Kleinen. Mathematiklehre - Dilemma. Wissensexplosion – Stofffülle - PowerPoint PPT Presentation

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Bremen, Oktober 2005 1

Bildrekonstruktion

als Studentenprojekt

DIETER SCHOTT

Bremen, Oktober 2005 2

Logiker Mathematiker

Professor in Jena

Begründer der modernen Logik

Aristoteles II.

TRADITION Gottlob Frege

*1848 Wismar

†1925 Bad Kleinen

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Mathematiklehre - Dilemma

• Wissensexplosion – Stofffülle

• Innovation – neue Hilfsmittel

• große Streuung der Eingangskenntnisse

• begrenzter Stundenumfang

• begrenztes Lehrpersonal

• Geldmangel - Imageproblem

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Mathematiklehre - Anspruch

• modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden)

• wissenschaftlich (Theorie, Hochschule)

• anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft)

• motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung)

• international (Globalisierung, Austausch, Kooperation)

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Mathematiklehre - Struktur

Eingangs-prüfung

Grundlagenallg. Prinzipien

und Denkweisen

ProblemlösenSelbststudium

kleine Auswahlaktueller Gebiete

Projekte

Literatur-Quellen

InternetkurseFachliteratur

WerkzeugeHilfsmittelComputerSoftware

KritikfähigkeitKerncurriculum

interdisziplinärkooperativangewandt

PraxisproblemeZusatzangebote

Modellieren

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Praxis-Problem

ModellModell

Mathematisches Modell

Mathematisches Modell

Algebra

Analysis

Algebra

Analysis

Numerische

Methoden

Numerische

Methoden

mathematische Lösung

mathematische Lösung

INFORMATIKINFORMATIK

VerifikationVerifikationComputer Software

Expertensystem Expertensystem

LösungLösung VerifikationVerifikation

Anwendung

in der Praxis

Anwendung

in der Praxis

• Fehler-Analyse

• Fallstudien

• Experimente

• Wechsel der Verfahren

• Interpretation

• Fehler-Analyse

• Fallstudien

• Experimente

• Wechsel der Verfahren

• Interpretation

Modellkorrekturen Modellkorrekturen

Grafik

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Interdisziplinäre Vernetzung

• Mathematik – Lösungsmethoden

• Physik – naturwissenschaftliche Modelle

• Informatik – Software, Grafik

• Technik – Apparate, Geräte

• Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion

• Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung

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Projekte - Funktionen

• Praxisrelevanz

• Interdisziplinarität

• Modellierung

• Kooperation, Kreativität, Konkurrenz

• Computer, Software, Programmierung

• Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung)

• Selbststudium (Quellen)

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Projekte - Beispiele

• Bildrekonstruktion (CT)

• Schwingungen (Pendel)

• Ökologische Modelle (Räuber-Beute)

• Strategische Spiele

• Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen)

• Fraktale Geometrie

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Computermathematik

• Computeralgebra, Numerik, Grafik• Softwarekenntnisse (MATLAB)• Standardfunktionen (Expertensystem)• Programmierung (Funktionen,

Oberflächen)• grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion)• Experimente, Simulationen (Strategie)• anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis

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Computertomographie - Modell

• Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel)

• Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum)

• Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion

• Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D

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Computertomographie - Modell

Objektschnitt mit StrahlI0

I

Q

f(x,y)

L

0 exp( )I I f l 0 exp( ( , ) )L

I I f x y dl

0( , ) ln : ( )L

If x y dl g L

I RADON - Integralgleichung

Physikalisches

Gesetz

Mathematisches

Modell

L: Gerade

: Objekt

Q: Quadrat

f: Dichte

I: Intensität

Schwächung

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Calculating projections

s perpendicular distance from origin to line L(, s) angle of the normal of the line L(, s)

( , ) ( , ) L

P s f x y dl

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Calculating projections

Rotate the x-y axis by angle

cos sinsin cos

xsyt

cos sinsin cos

x sy t

[0, )

( , ) ( , ) ( cos sin , sin cos ) P s f x y dl f s t s t dt

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Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem

• Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation)• Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung)• Mathematik (Radonsche Integralgleichung)

– Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen• Informatik (Implementierung der Algorithmen)

– Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme

• Ingenieurwissenschaften (Computertomograph)• Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung)• Wirtschaft (Aufwand und Nutzen)

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Diskretisierung der Integralgleichung

Li

aij Schnittlänge von Li in Qj, oft aij=0

Q

Q1

Qj

m = p q Geraden Li mit Daten gi := g(Li)

Quadrat Q mit

n = k2 Pixeln Qj

Funktion f

konstant über Qj:

f | Qj=: fj

Wert - Farbe f1

Wert - Farbe fj

Strahlennetz

Pixelraster

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Numerisches Modell:Lineares Gleichungssystem

( , ) ( )L

f x y dl g L

1

( 1,..., )

.

n

ij j ii

a f g i m

bzw A f g

Diskretisierung, Approximation

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Lineares Gleichungssystem (LGS)

LGS

Defekt- Min.Kleinste-Quadrate-Lösungen

eine Lösung

mod. LGS

viele Lösungen keine Lösung

allgemeine Lösung

(Struktur, Parameter)

spezielle Lösung

(Zusatzbedingungen)

Lösungen

Computer-

LösungVerfälschung von Werten und Struktur

Geometrische

Bedeutung

Fehler!!!Regularisierung

Verfahren

Pseudoinverse

Größe

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Lösungskonzept

• A f = g LGS mit A = ( aij ) vom Format (m,n)– m Messdaten, n Pixel– m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel)– m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel)

• A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar– spezielle Speichertechniken– verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse)

• Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise)• Regularisierung:

(AT A + E) f = AT g (Parameter > 0 klein)

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Lösungsverfahren: spezielle Iteration

H1

H2

Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937)

Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,...

Spezialfall

m=n=2

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Lösungsverfahren:Modifikationen

Über-Relaxation

Unter-Relaxation

Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970

A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten

HParameter-Optimierung

Konvergenz- Beschleunigung

Regularisierung

Kleinste-Quadrate-Lösungen

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Methodologie

Rekonstruktionsproblem

Radonsche Integralgleichung

Lineares Gleichungssystem

Lösungskonzept

Lösungsverfahren

Implementierung

Berechnung einer Lösung

UntersuchungenExperimente

UntersuchungenExperimente

InterpretationVerifikation

InterpretationVerifikation

Physikalische Gesetze

Computer Software

ProgrammierungProgrammierung

math. Modell

ApproximationDiskretisierung

Kleinste QuadrateRegularisierung

Gauss, Konj. Grad., ART

Messdaten

Fehler

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Teilprogramme

Messgeometrie Messdaten

Matrix Vektor

Datengenerator

Phantom-Modell

Matrixgenerator

Lineares Gleichungssystem

Lösungsverfahren

Vektor Skelett Funktion

Interpolation

Grafik

SkelettFunktion

2D3D

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Bedienoberfläche - Wand

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Bedienoberfläche - Dose

Cylindric rise

2 2 2 1 for ( ) ( )( , ) 0 elsewhere

x a y b rf x y

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Bedienoberfläche - Maus

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Objekt Kopfschnitt

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Objekt Autobild

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Untersuchungen - Experimente

• Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz• Approximation von f - Raum für Lösungen • Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation)• Bestimmung von A (Effizienz, Fehler)• Berechnung von g (Pseudo-Messdaten)• Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.)• Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte• Gütemaß Original – Rekonstruktion• Bedienoberfläche• Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret)

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Parallel beams Fan beams

Strahlennetze

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Strahlen als Streifen

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Struktur von Strahlennetzen

p = 32q= 32

m = 1024

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Besetztheit von B = A‘A

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ISSN

ISBN 3-446-22043-7

Dieter Schott

Mit diesem Buch

meistern Sie

die Herausforderungen!

Auf Ihre Zukunft!

Bremen, Oktober 2005 35

Doppelspitze

Rekonstruktion

Bremen, Oktober 2005 36

Wellen mit Spitze

Rekonstruktion

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