Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT

Bremen, Oktober 2005 1

Bildrekonstruktion

als Studentenprojekt

DIETER SCHOTT


Logiker Mathematiker

Professor in Jena

Begründer der modernen Logik

Aristoteles II.

TRADITION Gottlob Frege

*1848 Wismar

†1925 Bad Kleinen


Mathematiklehre - Dilemma

• Wissensexplosion – Stofffülle

• Innovation – neue Hilfsmittel

• große Streuung der Eingangskenntnisse

• begrenzter Stundenumfang

• begrenztes Lehrpersonal

• Geldmangel - Imageproblem


Mathematiklehre - Anspruch

• modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden)

• wissenschaftlich (Theorie, Hochschule)

• anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft)

• motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung)

• international (Globalisierung, Austausch, Kooperation)


Mathematiklehre - Struktur

Eingangs-prüfung

Grundlagenallg. Prinzipien

und Denkweisen

ProblemlösenSelbststudium

kleine Auswahlaktueller Gebiete

Projekte

Literatur-Quellen

InternetkurseFachliteratur

WerkzeugeHilfsmittelComputerSoftware

KritikfähigkeitKerncurriculum

interdisziplinärkooperativangewandt

PraxisproblemeZusatzangebote

Modellieren


Praxis-Problem

ModellModell

Mathematisches Modell

Mathematisches Modell

Algebra

Analysis

Algebra

Analysis

Numerische

Methoden

Numerische

Methoden

mathematische Lösung

mathematische Lösung

INFORMATIKINFORMATIK

VerifikationVerifikationComputer Software

Expertensystem Expertensystem

LösungLösung VerifikationVerifikation

Anwendung

in der Praxis

Anwendung

in der Praxis

• Fehler-Analyse

• Fallstudien

• Experimente

• Wechsel der Verfahren

• Interpretation

• Fehler-Analyse

• Fallstudien

• Experimente

• Wechsel der Verfahren

• Interpretation

Modellkorrekturen Modellkorrekturen

Grafik


Interdisziplinäre Vernetzung

• Mathematik – Lösungsmethoden

• Physik – naturwissenschaftliche Modelle

• Informatik – Software, Grafik

• Technik – Apparate, Geräte

• Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion

• Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung


Projekte - Funktionen

• Praxisrelevanz

• Interdisziplinarität

• Modellierung

• Kooperation, Kreativität, Konkurrenz

• Computer, Software, Programmierung

• Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung)

• Selbststudium (Quellen)


Projekte - Beispiele

• Bildrekonstruktion (CT)

• Schwingungen (Pendel)

• Ökologische Modelle (Räuber-Beute)

• Strategische Spiele

• Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen)

• Fraktale Geometrie


Computermathematik

• Computeralgebra, Numerik, Grafik• Softwarekenntnisse (MATLAB)• Standardfunktionen (Expertensystem)• Programmierung (Funktionen,

Oberflächen)• grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion)• Experimente, Simulationen (Strategie)• anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis


Computertomographie - Modell

• Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel)

• Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum)

• Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion

• Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D


Computertomographie - Modell

Objektschnitt mit StrahlI0

I

Q

f(x,y)

L

0 exp( )I I f l 0 exp( ( , ) )L

I I f x y dl

0( , ) ln : ( )L

If x y dl g L

I RADON - Integralgleichung

Physikalisches

Gesetz

Mathematisches

Modell

L: Gerade

: Objekt

Q: Quadrat

f: Dichte

I: Intensität

Schwächung


Calculating projections

s perpendicular distance from origin to line L(, s) angle of the normal of the line L(, s)

( , ) ( , ) L

P s f x y dl


Calculating projections

Rotate the x-y axis by angle

cos sinsin cos

xsyt

cos sinsin cos

x sy t

[0, )

( , ) ( , ) ( cos sin , sin cos ) P s f x y dl f s t s t dt


Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem

• Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation)• Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung)• Mathematik (Radonsche Integralgleichung)

– Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen• Informatik (Implementierung der Algorithmen)

– Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme

• Ingenieurwissenschaften (Computertomograph)• Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung)• Wirtschaft (Aufwand und Nutzen)


Diskretisierung der Integralgleichung

Li

aij Schnittlänge von Li in Qj, oft aij=0

Q

Q1

Qj

m = p q Geraden Li mit Daten gi := g(Li)

Quadrat Q mit

n = k2 Pixeln Qj

Funktion f

konstant über Qj:

f | Qj=: fj

Wert - Farbe f1

Wert - Farbe fj

Strahlennetz

Pixelraster


Numerisches Modell:Lineares Gleichungssystem

( , ) ( )L

f x y dl g L

1

( 1,..., )

.

n

ij j ii

a f g i m

bzw A f g

Diskretisierung, Approximation


Lineares Gleichungssystem (LGS)

LGS

Defekt- Min.Kleinste-Quadrate-Lösungen

eine Lösung

mod. LGS

viele Lösungen keine Lösung

allgemeine Lösung

(Struktur, Parameter)

spezielle Lösung

(Zusatzbedingungen)

Lösungen

Computer-

LösungVerfälschung von Werten und Struktur

Geometrische

Bedeutung

Fehler!!!Regularisierung

Verfahren

Pseudoinverse

Größe


Lösungskonzept

• A f = g LGS mit A = ( aij ) vom Format (m,n)– m Messdaten, n Pixel– m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel)– m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel)

• A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar– spezielle Speichertechniken– verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse)

• Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise)• Regularisierung:

(AT A + E) f = AT g (Parameter > 0 klein)


Lösungsverfahren: spezielle Iteration

H1

H2

Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937)

Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,...

Spezialfall

m=n=2


Lösungsverfahren:Modifikationen

Über-Relaxation

Unter-Relaxation

Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970

A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten

HParameter-Optimierung

Konvergenz- Beschleunigung

Regularisierung

Kleinste-Quadrate-Lösungen


Methodologie

Rekonstruktionsproblem

Radonsche Integralgleichung

Lineares Gleichungssystem

Lösungskonzept

Lösungsverfahren

Implementierung

Berechnung einer Lösung

UntersuchungenExperimente

UntersuchungenExperimente

InterpretationVerifikation

InterpretationVerifikation

Physikalische Gesetze

Computer Software

ProgrammierungProgrammierung

math. Modell

ApproximationDiskretisierung

Kleinste QuadrateRegularisierung

Gauss, Konj. Grad., ART

Messdaten

Fehler


Teilprogramme

Messgeometrie Messdaten

Matrix Vektor

Datengenerator

Phantom-Modell

Matrixgenerator

Lineares Gleichungssystem

Lösungsverfahren

Vektor Skelett Funktion

Interpolation

Grafik

SkelettFunktion

2D3D


Bedienoberfläche - Wand


Bedienoberfläche - Dose

Cylindric rise

2 2 2 1 for ( ) ( )( , ) 0 elsewhere

x a y b rf x y


Bedienoberfläche - Maus


Objekt Kopfschnitt


Objekt Autobild


Untersuchungen - Experimente

• Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz• Approximation von f - Raum für Lösungen • Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation)• Bestimmung von A (Effizienz, Fehler)• Berechnung von g (Pseudo-Messdaten)• Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.)• Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte• Gütemaß Original – Rekonstruktion• Bedienoberfläche• Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret)


Parallel beams Fan beams

Strahlennetze


Strahlen als Streifen


Struktur von Strahlennetzen

p = 32q= 32

m = 1024


Besetztheit von B = A‘A


ISSN

ISBN 3-446-22043-7

Dieter Schott

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Wellen mit Spitze

Rekonstruktion

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