Bildungsstandards – Ihr Beitrag zur nachhaltigen Entwicklung von Kompetenzen im...

Bildungsstandards – Ihr Beitrag zur nachhaltigen Entwicklung

von Kompetenzen im Mathematikunterricht

Dr. Rainer Heinrich

Sächsisches Staatsministerium für Kultus

Wien, 01.03.2006

Situation in Deutschland

• Nationale Bildungsstandards

• Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (national)

• Lehrpläne / Rahmenrichtlinien (regional)

• Prüfungen (regional / zentral oder dezentral)

1. Warum benötigt Deutschland Bildungsstandards? 

Vorgeschichtliches:

1997: KMK Beschluss zur Teilnahme Deutschlands an internationalen Vergleichsstudien

(„Konstanzer Beschluss vom Oktober 1997)

PISA und andere Studien zeigten Defizite auf Großes Erschrecken!!!

 Was nun?

Bisher gab es in Deutschland (mit Ausnahme der EPA) nur eine Inputsteuerung des Bildungssystems über Lehrpläne.

 Eine kritische Sicht von außen fehlte in einigen Bundesländern vollständig. Hinzu kommt, dass die Abschlusszeugnisse Zugangsberechtigungen darstellen, also vergleichbar sein sollten. Bisher gab es gleichwertige Mittlere Bildungsabschlüsse ohne Standards. 

KMK-Beschluss vom 23./24.05.2002 in Eisenach:

Standards für den •Primarbereich nach Klasse 4•Hauptschulabschluss nach Klasse 9•Mittleren Schulabschluss nach Klasse 10

2. Was sollen Bildungsstandards leisten?

Legen Kompetenzen fest, die Schüler bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe erworben haben sollen

Konzentrieren sich auf die Kernbereiche eines Faches

Dienen der Schul- und Unterrichtsentwicklung und der externen und internen Evaluation durch Erzeugen von Vergleichsmaßstäben

Aber:

Schulische Bildung geht über Standards hinaus (Persönlichkeitsentwicklung, Werteorientierung)

Lehrpläne weisen Lernziele und Inhalte aus und ordnen diese zeitlich an (beschreiben Weg und Ziel).

Bildungsstandards weisen die Kompetenzen bis zu einem bestimmten Unterrichtsabschnitt des Schülers aus, sie standardisieren aber nicht den Weg zum Ziel.

Für Mathematiker: Es handelt sich sozusagen um kumulierten Kompetenzzustand bis zum Zeitpunkt t

ü

Text eingeben

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e

ing

ebe

n

)0t,Schulzeitt(

3. Besonderheiten:

Fächer: Deutsch, Mathematik, Erste Fremdsprache

- beschreiben erwartete Leistungen im Rahmen von Anforderungsbereichen

- weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus

- werden durch Aufgabenbeispiele veranschaulicht

- sind abschlussbezogen

- dienen der Vergleichbarkeit der Abschlüsse bei verschiedenen Schularten und Schulsystemen in Deutschland

Kompetenzen:

Dispositionen zur Bewältigung bestimmter Anforderungen

-Lernen nicht als Aufbau von trägem Wissen sondern als Bewältigung von Anforderungen

- Lernen als kumulativer Prozess

Bildungsstandards im Fach Mathematik

Bildungsstandards im Fach Mathematik

Kompetenzen:

Mathematisch Argumentieren

Probleme mathematisch lösen

Mathematisch Modellieren

Mathematische Darstellungen verwenden

Mit symbolischen, formalen und technischen

Elementen der Mathematik umgehen

Kommunizieren

Bildungsstandards im Fach Mathematik

Kompetenzen: Allgemeine fachliche Ziele des Lehrplanes

Mathematisch Argumentieren - Kritischer Vernunftgebrauch

Probleme mathematisch lösen - Entwickeln der

Mathematisch Modellieren Problemlösekompetenz

Mathematische Darstellungen verwenden - Anschaulichkeit

Mit symbolischen, formalen und technischen - Umgang mit grundlegenden Elementen der Mathematik umgehen mathematischen

Objekten

Kommunizieren - Umgang mit der Fachsprache

Bildungsstandards im Fach Mathematik

Für die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind folgende mathematischen Leitideen zugrunde gelegt:

Zahl

Messen

Raum und Form

Funktionaler Zusammenhang

Daten und Zufall

Bildungsstandards im Fach Mathematik

Anforderungsbereiche:

Reproduzieren

Zusammenhänge darstellen

Verallgemeinern und Reflektieren

Rolle der Aufgabenbeispiele:

Veranschaulichung der Standards

Grundlage für Feststellung des Lernstandes

Keine Prüfungsaufgaben

Darstellung der Spannbreite von Aufgabentypen zur Überprüfung von Kompetenzen

These: Um die Bildungsstandards umzusetzen, muss sich die

Unterrichtskultur weitgehend ändern

Änderungsbedarf weil:

• „Starres“ Bild der Mathematik

• Verfügbarkeit neuer Medien

• Forderung nach neuer Aufgabenkultur

Beispiel für eine Aufgabe aus einem Zentralabitur 1994 Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung .

Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Art der Extrema.  Lösung mit GTR:

4x4

1x2x)x(fy

2

)0;4(Pund)0;4(P 21

Der symmetrische Giebel eines Barockhauses soll

rekonstruiert werden. Die Abbildung zeigt den Giebel

in einem Koordinatensystem. Eine symmetrische,

ganzrationale Funktion f beschreibt den oberen

Giebelrand. Die x-Achse ist Tangente an den

Graphen der Funktion f in den Punkten   Die Höhe des Giebels beträgt 4m .

a) Begründen Sie, dass die Funktion f mindestens 4. Grades sein muss.  

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion f.

c) Die Giebelfläche soll durch eine Waagerechte Linie in zwei flächengleiche Teilstücke zerlegt werden. Der obere Teil soll mit Ornamenten versehene werden, während im unteren Teil Fenster angebracht werden. Berechnen Sie, in welcher Höhe der Giebel geteilt werden muss.

Beispiel für eine Abituraufgabe 1999

Ein fiktives Beispiel für eine Abituraufgabe 

Beschreiben Sie die Form des Giebels mit mathematischen Mitteln.

Ein modernes Mathematikwerkzeug enthält

• Computer-Algebra-System• Tabellenkalkulation• Dynamische Geometrie• 2D- und 3D-Darstellungen

(Funktionsplotter)• Programmierumgebung• Textverarbeitung, Linksoftware,

Lernsoftware

Gründe für den Einsatz von CAS/GTR

• Didaktische Gründeo Entdeckendes Lernen – Experimentieren

o Visualisieren

o Motivieren

o Rechenknecht

o Änderung der Aufgabenkultur

o Fächerverbindendes Arbeiten

Ausgewählte Beispiele für den Unterricht

• 1. Geburtstagsrechnung

• Variante 1:

• Variante 2:

9k10a 365m50)52a(

Fußballspieler

Visualisieren, Motivieren

Fußballspieler

breadth of the goal7,32m

distance to the goal 5m

direction of the motion from the player

Fußballspieler

breadth of the goal:7,32m

distance to the goal5m

direction of the motion of the forward

x m

mx

m5tan

xm

m32,12tan 11

21

Vorsicht KrötenOffene Aufgaben, Experimentieren, Visualisieren

Vorsicht Kröten

Eine Kröte benötigt zum Überqueren einer 7 m breiten Straße bis zu 20 Minuten.

Vorsicht KrötenUnterlege z. B. 200m Straße mit Dezimeterraster.  Aller wie viel Sekunden ändert sich das Hüpfschema?

X X

X

X

Vorsicht Kröten

  Aller 17 Sekunden ändert sich das Hüpfschema(nach Zeitungsangaben).

s1,17min285,0xminx

1

min20

dm70

Vorsicht Kröten

1. Wie viel Zeit benötigt ein PKW für z. B. 200 m Straße in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit? 

sm

6,3

hkm

x

m200sins

Vorsicht Kröteny(1)=200/(x/3.6) Zehnerschritte:  

Wie viele „Hüpfschemen“ überrollt der PKW in dieser Zeit?  Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert:

Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert: -          85s (5 Schemen) bei 8,5 km/h-          68s (4 Schemen) bei 10,6km/h)-          51s (3 Schemen) bei 14,11 km/h)-          34s ( 2 Schemen) bei 21,2 km/h-          17s (1 Schema bei 42,6 km/h) „Je langsamer ich fahre, um so mehr Kröten treffe ich.“

„Ab 42,6 km/h ist es dann egal, es gibt keinen Unterschied mehr.“  

2. Welchen Einfluss hat die Reaktionsgeschwindigkeit der Kröte? 

Erdkröten können Objekte bis zu einer Entfernung von 4 m wahrnehmen, innerhalb von 0,5 Sekunden reagieren und bei Gefahr auch springen.  Weg eines Autos in einer halben Sekunde:  

)min(ss5,06,3

h

kminv

Das heißt, der zurückgelegte Weg des PKW beträgt bei 10km/h 1,38m usw.  Ist dieser Weg kleiner als 4m kann die Kröte reagieren.

solve (v/3.6*0.5=4,v) liefert .

Koppelung mit dem vorherigen Modell

h

km30

h

km8,28v

„Der Graph existiert erst ab 30km/h. Dort überfahre ich ca. 1,4 Hüpfschemen und damit die größte mögliche Anzahl von Kröten“

3. Welchen Einfluss hat der Bremsweg des

Fahrzeugführers?

Bremsweg laut Fahrschul-Faustformel:   

mins;h

kminv;

100

vs

2

Geschwindigkeit Bremsweg in m

10 1

20 4

30 9

40 16

50 25

Anruf bei der Verkehrspolizei Dresden

• Sie dürfen nicht nur die Gefahr für die Kröte sehen.

• Durch den beim Überfahren der Kröte entstehenden Matsch unter den Reifen wird die Haftreibung wie beim Aquaplaning so verringert, dass Sie die Kontrolle über das Fahrzeug verlieren könnten. Das Zeichen gilt für Ihren Schutz.

4. Wie viele Kröten werden getroffen? 200 m Straße mit 7m Breite:  Autoreifen: ca. 20 cm breit überfahrener „Anteil“:  Wahrscheinlichkeit, dass 1 Feld getroffen wird:

2dm000.140dm2000dm70

2dm8000dm2000dm22

057,0000140

8000p1

Betrachte 50 Kröten: Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Feld eine Kröte sitzt:

Wahrscheinlichkeit, dass Feld mit Kröte getroffen wird:   Variation:  Bei 10 000 Kröten ist p=0,0041  Welchen Einfluss hat die Anzahl der Hüpfschemen?  

00036,0000140

50p2

00002,0ppp 21

Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?

)entfällt(15x

)zutrifft(13x

1961

)195(11

q4

p

2

px

formula

0195n2n

3I0585n6n3

590I5905n6n3

5904n4n1n2nn

590)2n()1n(n

2

1

2

2;1

2

2

2

222

222

Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?

Schülerreaktionen

• Sascha A. (14): • Wir haben beschlossen, eine Programmier-AG zu gründen-

und Sie sind unser Chef. •  • Claudia Ö. (16): • Ich denke, Mathematik ist genauso cool wie Musik. •   • Nicole G. (14): • Meine Mutter hat gesagt, ich soll Ihnen nochmal “Danke”

sagen für das besorgen der Rechner. Und eigentlich soll ich Ihnen einen Schmatz geben, aber das traue ich mir nicht.