Landesinstitut für Lehrerbildung und Schulentwicklung Abteilung Ausbildung – Unterabteilung 3 – Berufliche Schulen

Hausarbeit im Rahmen der Zweiten Staatsprüfung für das Lehramt an Beruflichen Schulen

„Kompetenzlernen“ im Mathematikunterricht – Verbesserung mathematischer Kompetenzen

durch individualisiertes und selbstverantwortetes Lernen

Ein Unterrichtsversuch in einer Vorstufe des Wirtschaftsgymnasiums zum Themenbereich „Quadratische Funktionen“

Erstgutachterin: Frau Brandt Zweitgutachter: Herr Prof. Dr. Lütjens

vorgelegt von

Steffen Hoffmann Friedrich-Ebert-Straße 68

22459 Hamburg

Abgabetermin der Hausarbeit: 15. März 2007

Inhaltsverzeichnis

Einleitung ……………………………………………………………………………………....... 1

1 Problemfindung und Formulierung der Leitfragen ……………………………………………. 1

2 Individualisiertes und selbstverantwortetes Lernen …………………………………………… 3

2.1 Merkmale ………………………………………………………………………………. 4

2.2 Ziele ……………………………………………………………………………………. 6

2.3 Instrumente ……………………………………………………………………………. 7

2.3.1 Kompetenzraster …………………………………………………………..…… 7

2.3.2 Checklisten ………………………………………………………………...…... 8

2.3.3 Lernjobs ………………………………………………………………...……… 8

2.3.4 Lernportfolio …………………………………………………………………… 8

2.3.5 Layout ………………………………………………………………………….. 9

2.4 Umsetzung an der H16 ………………………………………………………………… 9

2.4.1 Gestaltung der Kompetenzraster und Checklisten …………………………...... 9

2.4.2 Organisation der Kompetenzlerntage ………………………………………….. 10

2.4.3 Gestaltung der Lernumgebung ………………………………………………… 10

3 Planung der Lernsequenz ……………………………………………………………………… 11

3.1 Planungsrelevante Faktoren …………………………………………………………… 11

3.1.1 Schülerbezogene Planungsfaktoren ……………………………………………. 11

3.1.2 Lehrerbezogene Planungsfaktoren ………………………………….…………. 12

3.1.3 Curriculare Planungsfaktoren ………………………………………….………. 12

3.1.4 Organisatorische Planungsfaktoren ……………………………………………. 13

3.2 Entscheidungen ………………………………………………………………………… 13

3.2.1 Grundsätzliche Absichten ……………………………………………………… 13

3.2.2 Einbettung des Unterrichts …………………………………………………….. 14

3.2.3 Themenstruktur ………………………………………………………...……… 14

3.2.4 Überblick über die geplante Lernsequenz …………………………...………… 14

3.2.5 Planungselemente ……………………………………………………………… 15

3.2.6 Unterrichtliche Ziele …………………………………………………………… 17

4 Durchführung der Lernsequenz ……………………………………………………….………. 18

4.1 Einführung in Themenbereich und Organisation ……………………………………… 18

4.2 Erste Selbstlernphase ………………………………………………………………...... 19

4.3 Zweite Selbstlernphase ………………………………………………………………… 20

4.4 Dritte Selbstlernphase …………………………………………………………………. 21

4.5 Vierte Selbstlernphase …………………………………………………………………. 22

5 Evaluation …………………………………………………………………………………...... 22

5.1 Evaluation aus Schülersicht …………………………………………………………… 22

5.1.1 Schüler-Evaluation I (Punktabfrage) ………………………………………….. 22

5.1.2 Schüler-Evaluation II (Fragebogen) …………………………………………… 23

5.2 Evaluation aus Lehrersicht (Beobachtungen) …………………………………………. 24

5.3 Schriftlicher Test ………………………………………………………………………. 25

5.4 Formulierung von Verbesserungsvorschlägen ………………………………………… 26

5.5 Stellungnahme zu Leitfragen ………………………………………………………….. 27

6 Schlussbetrachtung ……………………………………………………………………………. 29

6.1 Zusammenfassung ……………………………………………………………………... 29

6.2 Ausblick ……………………………………………………………………………….. 29

Literatur- und Quellenverzeichnis ……………………………………………………………….. 30

Anhangsverzeichnis ……………………………………………………………………………… 31

1

Einleitung Wie kann Lehren durch Lernen ersetzt werden?1 In etwa so könnte die Frage gelautet haben, die

sich innovative Schulen wie das Schweizer Institut Beatenberg, die Bodensee-Schule in Friedrichs-

haven und die Max-Brauer-Schule im Hamburger Stadtteil Altona nicht erst seit TIMMS (1996)

und PISA (2000/2003) stellten. Während diese Schulen mit Lernbüros, Lernwerkstätten, Projektar-

beit, einer Aufhebung des 45-Minuten-Takts, selbständigem Arbeiten und dem Niveau angepassten

individuellen Lehrplänen bei den Schulleistungsstudien bestens abschnitten und von Medien und

Fachwissenschaften als Vorreiterschulen gesehen werden, mussten sich traditionell geführte Schu-

len nach einem ernüchternden Abschneiden bei TIMMS und PISA zunehmend mit Kritik seitens

der Politiker2 und der Öffentlichkeit auseinandersetzen.3 Nach zahlreichen Diskussionen und einer

Analyse der Mängel hat an vielen Schulen nun ein Umdenken begonnen. Durch offenere, schüler-

orientierte Arbeitsformen, bei denen den Schülern mehr Entscheidungsbefugnis zugebilligt wird,

soll Symptomen wie Lustlosigkeit, Überforderung oder gar Verzweiflung entgegengewirkt werden.

1 Problemfindung und Formulierung der Leitfragen Das Projekt SELKO4 ist die Hamburger Antwort auf die Bildungsmisere. Orientiert am Konzept des

Schweizer Instituts Beatenberg und der Leitidee des individualisierten Lernens arbeiten seit August

2006 vierzehn Hamburger Berufsschulen entweder als Projektschule oder als assoziierte Schule an

der Entwicklung eines umfassenden Umsetzungskonzeptes. Indem der individuelle Lerner ins Zent-

rum von Lernarrangements rückt, soll der heterogenen Ausgangslage der Schüler Rechnung getra-

gen werden. Diese macht bei Schülern gleicher Schulstufe einen Wissensunterschied von bis zu drei

Jahren aus. Einhergehend mit einer verbesserten individuellen Förderung, bei der die Schüler mehr

eigenen Entscheidungsspielraum erhalten, sollen diese ein verstärktes Verantwortungsbewusstsein

für ihr Lernen entwickeln. Basis dieser neuen Lernkultur sind Kompetenzraster, welche die indivi-

duelle Lernausgangslage sowie die Lernerfolge eines Schülers reflektieren.5

Auch die H16, meine Ausbildungsschule, beschäftigt sich als Projektschule in den Fächern Englisch,

Deutsch und Mathematik in der Vorstufe des Wirtschaftsgymnasiums mit der Entwicklung und

Umsetzung eines schulgenauen Konzeptes. Ich hatte das große Glück, als Referendar neben drei

weiteren Lehrkräften in einer der vier Vorsemesterklassen im Fach Mathematik eingesetzt zu wer-

den und somit an dem Umsetzungskonzept aktiv mitwirken zu dürfen. Interessant war bereits die

1 Vgl. Schiller (2004), S. 3. 2 Zur besseren Lesbarkeit der Arbeit wird an Stellen, die sich auf beide Geschlechter beziehen, nur das Maskulinum

verwendet. 3 Vgl. Schiller (2004), S. 4 und Kahl (2006), S. 14. 4 SELKO bedeutet: Selbstverantwortetes individualisiertes Lernen mit Kompetenzrastern und individueller Lernbera-tung 5 Vgl. hierzu die Informationen auf der Homepage des Landesinstituts: http://www.li-

hamburg.de/fortbildung/bf.2300/bf.2300.mup/bf.2300.mup.more.1/index.html, Abruf 02.03.07.

2

Entstehungsphase, in der erste Entwürfe von Kompetenzraster und Checklisten sowie ein Kompe-

tenzfeststellungsverfahren und erste Selbstlernmaterialien entwickelt wurden. In der Folgezeit fan-

den auch erste Schulungen statt, durch die wir mit unserer künftig neuen Rolle als Lernberater be-

traut wurden. Richtig spannend wurde es aber erst, als ich an unseren so genannten „Kompetenz-

lerntagen“ erste Umsetzungsversuche dieses Konzeptes im kleineren Rahmen wagen konnte. Dies

erfuhr am 13. und 14. Dezember 2006 noch eine Steigerung, als ich im Rahmen meiner Hausarbeit

eine 8-stündige Selbstlernsequenz zum Themenbereich der „Quadratischen Funktionen“ durchführ-

te.

Da sowohl ich als auch meine Schüler mit diesem offenen Konzept noch nicht allzu vertraut waren

und weil auch noch keine Lernsequenz in einem derartig großen zeitlichen Umfang stattgefunden

hatte, war ich mir im Vorfeld nicht sicher, wie gut die Schüler mit ihren neu gewonnenen Freiheiten

umgehen würden. Würde zu viel Freiraum vielleicht eine gewisse Disziplinlosigkeit hervorrufen

oder ist auch ohne konkrete Anweisungen des Lehrers ein zielgerichtetes Lernen in einer lernförder-

lichen Atmosphäre möglich? Können die Schüler sich mit der neuen Rolle des Lehrers anfreunden,

der nun nicht mehr als permanenter Ansprechpartner für inhaltliche Fragen fungiert? Sind die Schü-

ler in der Lage, stattdessen selbst nach Lösungen zu suchen? Fühlen sich einige Schüler möglicher-

weise auch überfordert und alleingelassen, so dass sich Frust und Widerstände aufbauen, einige

Schüler vielleicht gänzlich ihre Arbeit einstellen? Oder gehen die Schüler motiviert zu Werke und

stellen sich ihren Herausforderungen? Werden dabei die von mir zur Verfügung gestellten Instru-

mente als Hilfsmittel zur Selbststeuerung genutzt? Aus diesen und weiteren Fragen ergibt sich eine

meiner drei Leitfragen, nach denen ich mit Hilfe von Schülerbefragungen und meinen Unterrichts-

beobachtungen die 8-stündige Sequenz evaluieren möchte:

Leitfrage 1: Inwieweit lassen sich die Schüler auf selbstverantwortetes Lernen ein?

Durch eine entsprechende Organisation sowie geeignete Instrumente sollen die Schüler zu individu-

alisiertem und selbstverantwortetem Lernen motiviert und in der Gestaltung ihrer Lernprozesse un-

terstützt werden. Entsprechen die Lernaufgaben und Lernhilfen qualitativ und quantitativ den Wün-

schen und Anforderungen der Schüler? Sind die Lernaufgaben auf das Lernverhalten der Schüler

abgestimmt? Motivieren sie zum Lernen? Regen sie zur Interaktion mit Lernpartnern an? Können

die Lernhilfen in geeigneter Weise den Lernprozess unterstützen? Oder bleiben viele Fragen offen?

Ich möchte diese Gedanken in einer zweiten Leitfrage zusammenfassen, die ich anhand von Schü-

lerbefragungen und meinen Beobachtungen später evaluieren werde:

Leitfrage 2: Inwieweit ist das Lernmaterial zum selbständigen Arbeiten geeignet?

3

Als gelungen kann ich die Lernsequenz allerdings erst ansehen, wenn der individuelle Lernprozess

sich auch in einem Kompetenzzuwachs niederschlägt. Während ich anhand von Beobachtungen

Fortschritte bezüglich nicht-fachlicher Kompetenzen beurteilen werde, möchte ich anhand von

Schülerbefragungen und zwei schriftlichen Tests den fachlichen Lernzuwachs evaluieren. Die dritte

Leitfrage meiner Arbeit lautet daher:

Leitfrage 3: Inwieweit stellt sich bei den Schülern ein individueller Lernzuwachs ein?

Meine Arbeit ist folgendermaßen gegliedert:

• Im 2. Kapitel erläutere ich die theoretischen Grundlagen individualisierten und selbstverantwor-

teten Lernens sowie die Umsetzung an meiner Ausbildungsschule als Basis meines Unterrichts.

• Im 3. und 4. Kapitel erörtere ich Planung und Durchführung des Unterrichts.

• Im 5. Kapitel bewerte ich meine Beobachtungen sowie die Ergebnisse der Schülerbefragungen

und der Tests hinsichtlich der Leitfragen.

• Im 6. Kapitel erfolgt eine Schlussbetrachtung.

2 Individualisiertes und selbstverantwortetes Lernen Seit die Schulleistungsuntersuchungen dem deutschen Bildungssystem erhebliche Mängel beschei-

nigt haben, drehen sich bildungspolitische Debatten um die Etablierung einer „Neuen Lernkultur“6.

In Begriffen wie Ermöglichungsdidaktik7 oder Audiodidaktik8 schlägt sich mittlerweile eine Viel-

zahl unterschiedlicher Lehr-Lern-Arrangements nieder. Grotlüschen sieht als Gemeinsamkeit aller

Konzepte, dass ein Perspektivwechsel vom Lehrhandeln zum Lernhandeln stattfindet und „nicht

mehr das Vermitteln von Inhalten – im Sinne eines Nürnberger Trichters – das Leitparadigma päda-

gogischer Arbeit darstellt.“9 Mit der Erkenntnis, dass Lehren nicht automatisch zum Lernen führt,

wird verstärkt die Forderung nach einer konstruktiven Rolle des Individuums bei Lernprozessen

betont. Denn nur durch selbstgesteuertes Lernen sei eine nachhaltige Kompetenzentwicklung mög-

lich.10

Neben der Vielzahl vom Grundgedanken her ähnlicher, von der Umsetzung her aber doch unter-

schiedlicher Konzepte gibt es auch eine ebenso unüberschaubare Fülle ähnlich gelagerter Begriffe.

Häufig genannte sind: selbstgesteuertes11, selbständiges, selbstbestimmtes, selbstgestaltetes, selbst-

6 Auch wenn von einer „Neuen Lernkultur“ gesprochen wird, ist die Rhetorik des Neuen fraglich. Bereits zur Zeit der

Reformpädagogik in den 20er Jahren des letzten Jahrhunderts und später auch während der Bildungsreformdebatte zu Beginn der 70er Jahre waren die Forderungen nach einer Erhöhung der Eigenaktivität sowie des Verantwortungsbe-wusstseins zentrale Kernelemente der Bildungskonzepte. Siehe hierzu ausführlich u.a. Gudjons (2001), S. 249 ff., Bräu (2002), S. 52 ff. und Schüssler (2004), S. 38.

7 Siehe ausführlich Arnold/Schüssler (2003). 8 Siehe ausführlich Siebert (2001). 9 Vgl. Grotlüschen (2004), S. 134. 10 Vgl. Hungerland/Overwien (2004), S. 12 f. 11 Behrmann/Schwarz (2003) zählen mehr als 200 Definitionen „selbstgesteuerten“ Lernens.

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aktives, selbstorganisiertes, selbstreguliertes, autonomes, offenes, autodidaktisches, eigenständiges

Lernen oder Alleinlernen.12 Während zahlreiche Autoren eine Vermischung der Begriffe vorneh-

men, gibt es auch Bestrebungen, die Konzepte voneinander zu unterscheiden. Allerdings kommen

diese, wie beispielsweise NOUNLA, nach mehrseitiger Definitionsarbeit zum ernüchternden Schluss,

dass bei einer Differenzierung der Definitionen und Beschreibungen weder bei der Fachwelt Einig-

keit herrscht, noch eine allseits akzeptierte Definition favorisiert wird.13

Im Folgenden sollen die Merkmale individualisierten und selbstverantworteten Lernens dargelegt

werden. Dabei ist es nicht Ziel dieser Arbeit, sich an einer Diskussion zur Abgrenzung der Begriff-

lichkeiten zu beteiligen, sondern lediglich eine für das Verständnis dieser Arbeit notwendige Beg-

riffsauffassung zu geben. Diese ist eng orientiert an den Ansätzen von ANDREAS MÜLLER bzw. des

Instituts Beatenberg.

2.1 Merkmale Zunächst soll der Aspekt eines individualisierten Lernens betrachtet werden. Individualisierung

bedeutet nach MÜLLER, dass die persönlichen Ressourcen und Fähigkeiten jedes einzelnen Schülers

im Zentrum eines jeden Wachstumsprozesses stehen. Da jeder Mensch einmalig ist, muss entspre-

chend eines jeden biographischen Hintergrundes auch eine einmalige Gestaltung des Lernens erfol-

gen. Je besser ein Lernprogramm auf einen Schüler zugeschnitten ist, desto größer ist die Wahr-

scheinlichkeit, dass sich beim Schüler Lernerfolge einstellen. Als Konsequenz bei der Umsetzung

fordert MÜLLER Ermöglichungsstrukturen, durch welche die Schulen der Individualität der Schüler

Rechnung tragen.14

Hierin besteht gleichzeitig auch die Verbindung zum selbstverantworteten Lernen. Zum bessern

Verständnis ist ein gedanklicher Zwischenschritt hilfreich: Voraussetzung für ein selbstverantwor-

tetes Lernen ist, dass dem Schüler durch Möglichkeiten der Selbstorganisation und Selbststeuerung

wesentliche Entscheidungsgewalt über seinen eigenen Lernprozess übertragen wird.15 SEIDEL unter-

teilt dabei fünf Entscheidungsbereiche:16

1. den Unterrichtsrahmen. Hierein gehören u.a. die Wahl der Sozialform, der Lernort sowie

zeitliche Faktoren wie Lernzeitpunkt, -dauer oder Reihenfolge der Lernschritte.

2. die Lernmethoden und -materialien.

3. das Thema und die Lerninhalte.

4. die Niveaustufe. Der Lernende soll über sein Anforderungsprofil entscheiden können.

5. das „Ob“: Im Extremfall kann der Schüler selbst entscheiden, ob er lernt oder nicht.

12 Vgl. u.a.: http://www.schule.suedtirol.it/blikk/angebote/modellmathe/ma00565.htm und

http://stauff.de/methoden/dateien/selbstlernen.htm, Abruf 04.03.2007. 13 Vgl. Nounla (2004), S. 50 und Gudjons (2004). 14 Vgl. Müller (2003a), S. 5. 15 Vgl. Müller (2001), S. 99. 16 Vgl. Seydel (2005), S. 44 und ergänzend dazu auch Behrmann/Schwarz (2003), S. 68.

5

Dabei sind die Bereiche als Spektrum zu sehen, in dem der Schüler Entscheidungsgewalt besitzen

kann, aber nicht zwangsläufig muss. Innerhalb eines einzelnen Bereichs sind durch gegebene Vor-

strukturierungen weitere Abstufungen zwischen völliger Fremdbestimmung und eigener Entschei-

dungsgewalt denkbar, zum Beispiel durch die Vorgabe mehrerer Möglichkeiten, zwischen denen

der Schüler wählen kann.

Bei einer Unterscheidung der Begriffe Selbstorganisation und Selbststeuerung schließt sich MÜL-

LER der Auffassung von ROLF ARNOLD an: Während sich Selbstorganisation mit der Institutionali-

sierung, also der Gestaltung der Rahmenbedingungen befasst, ist die Selbststeuerung eng mit einem

selbständigen Entscheiden über die Nutzung der verschiedenen informellen und institutionalisierten

Lernhilfen verbunden.17 Durch diese Unterscheidung wird klar, dass den Schülern primär bei der

Selbstorganisation des Lernens oft enge Grenzen gesetzt sind. So geben beispielsweise die allge-

meine Schulpflicht, durch Rahmenlehrpläne festgelegte Lerninhalte, ein durch Anwesenheitspflicht

im Schulgebäude festgelegter Lernort sowie eine Unterrichtsorganisation im 45-Minuten-Takt den

Schülern einen fremdorganisierten Rahmen vor. Gewisse Grenzen sind aber auch der Selbststeue-

rung der Lernprozesse gesetzt. So haben Materialien und Medien, die von anderen Personen entwi-

ckelt wurden stets eine fremdgesteuerte Wirkung, so dass auch ein rein selbstgesteuertes Lernen

praktisch nicht durchführbar ist.18

Völlige Freiheit beim Lernen ohne jegliche Fremdsteuerung ist sicherlich auch kein erstrebenswer-

tes Ziel, da es zu Orientierungslosigkeit bei den Schülern führen kann. Besonders methodisch uner-

fahrene und lernschwächere Schüler seien auf methodische und inhaltliche Hilfen angewiesen, so

GUDJONS. Bei der Gestaltung der Lernprozesse müsse stets eine Balance zwischen Instruktionen

durch die Lehrkraft und Konstruktion durch den Schüler gewahrt werden, was neue Erkenntnisse

der empirischen Lernforschung belegen.19 Somit kann ein gewisser Grad der Fremdsteuerung an-

statt als Einschränkung in der individuellen Entscheidungsfreiheit eher als Unterstützung zu einer

qualitativ besseren Selbststeuerung aufgefasst werden.

Neben einem angemessenen Maß an Steuerungsmöglichkeiten, durch welche jeder Schüler zum

aktiven Gestalter seines eigenen Lernerfolges werden kann, ist Selbstwirksamkeit notwendige Vor-

aussetzung eines selbstverantworteten Lernens. Selbstwirksamkeit ist der Glaube des Lernenden,

neue und schwierige Anforderungen durch sein selbst gesteuertes Lernvorhaben erfolgreich bewäl-

tigen zu können. Das bedeutet, dass der Schüler erkennen muss, dass er nicht Betroffener, sondern

Beteiligter an seinem eigenen Lernprozess ist. Dabei muss er einen positiven Glauben entwickeln,

sich seinen eigenen Lernerfolg erfolgreich organisieren zu können.20

Offene Lernsituationen lösen bei den Schülern aber nicht automatisch ein erfolgreiches Lernen aus,

17 Vgl. Müller (2001), S. 96. 18 Vgl. Reinmann-Rothmeier (2003), S. 11. 19 Vgl. Gudjons (2003), S. 9. 20 Vgl. Müller (2003a), S. 5; Müller (2003b), S. 4 f.; Fuchs (2006), S. 10.

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ganz im Gegenteil: Zaghafte Ansätze der Übertragung der Entscheidungsgewalt und der Verantwor-

tung auf die Schüler bergen die Gefahr, wirkungslos zu verpuffen und in Frust und Beliebigkeit zu

verlaufen. Das Lernvorhaben muss für die Schüler persönlich relevant werden, nur so ist es langfris-

tig nachhaltig erfolgreich. Es muss der Schule gelingen, die Schüler in eine Lage zu versetzen, in

der sie sich selbst Ziele setzen, ihr Lernen selbst organisieren, ihre Lernerfolge selbst bewerten und

ihre Lernstrategien selbst anpassen. Zum einen muss die Schule hierfür eine Lernumgebung und

eine Lernkultur schaffen, die zur Selbststeuerung motiviert und inspiriert.21 Zum anderen verlangt

eine individuelle Förderung auch nach individuellen Verbindlichkeiten. Niemand tut gern etwas

Sinnloses. Erst durch individuelle Verbindlichkeiten, die sich an klaren Referenzwerten orientieren,

erhält das Lernen der Schüler individuelle Relevanz.22

Der Lehrer unternimmt dabei in einer veränderten Rolle als Lernprozessbegleiter oder Lerncoach

alles, was ein individuelles und selbstverantwortetes Lernen seiner Schüler fördert. Beispielsweise

gestaltet er Lernumgebungen so, dass diese Gelegenheiten für selbstwirksames Lernen, also Hilfe

zur Selbsthilfe bieten.23 Zudem bietet er den Schülern Unterstützung bei der Entwicklung eines in-

dividuellen Lernplans.24

2.2 Ziele Aus lernpsychologischer Sicht wirken sich Lernsituationen, in denen der Schüler Über- oder Unter-

forderung empfindet negativ auf den Lernerfolg aus. Überforderung kann sogar Krankheiten her-

vorrufen. Lösungsansätze sind daher Differenzierung und Individualisierung. Indem die Ressourcen,

Fähigkeiten und das Lernverhalten des einzelnen Lerners Berücksichtigung finden und durch ein

„maßgeschneidertes“ Programm der persönliche Wachstumsprozess im Zentrum des Lernens steht,

wird dieser Individualität Rechnung getragen. Auf persönlichen Lernwegen kann der Schüler die

Neugier wieder entdecken und wird wieder mehr Freunde am Lernen haben.25

Wiederum aus lernpsychologischer Sicht ist durch empirische Studien belegt, dass es sich zudem

auf den Lernerfolg des Schülers positiv auswirkt, wenn dieser an der Gestaltung des Lernprozesses

und der Zielsetzung stärker beteiligt ist. Die Schulischen Zielvereinbarungen müssen intrinsisch

lohnende Aktivitäten ermöglichen. Dies funktioniert nur, wenn dem Schüler Wahlfreiheiten einge-

räumt werden und er selbst sich für die Gestaltung der Lernprozesse verantwortlich fühlt.26

Aus klassisch-bildungstheoretischer Sicht muss es grundlegendes Ziel der Schule sein, insbesonde-

re die Fähigkeit zur Selbststeuerung und zur Verantwortungsübernahme unter Anerkennung der

Mündigkeit eines Schülers zu fordern und zu fördern. Selbststeuerung mit gleichzeitiger Verantwor-

21 Vgl. Müller (2003d), S. 5. 22 Vgl. Müller (2003c), S. 6 f. 23 Vgl. Fuchs (2006), S. 9 und 52. 24 Vgl. ebd. S. 21 f. 25 Vgl. Müller (2003a), S. 5 und Müller (2003d), S. 3. 26 Vgl. Moegling (2004), S. 18 ff.

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tungsübernahme kann ein Schüler nur erlernen, wenn er die Möglichkeit erhält, sie auszuprobieren

und zu reflektieren. Dies kann nur geschehen, wenn die Schule dem Schüler hierzu Möglichkeiten

einräumt, beispielsweise durch eine Vielfalt von Lernsituationen.27

Eine neuere bildungstheoretische, auch gerne als qualifikationstheoretische Perspektive bezeichnet,

zielt ab auf die ständig wechselnden und wachsenden Anforderungen in der Lebens- und Arbeits-

welt. Der Grundgedanke: Gelernte Wissensbestände passen nicht immer zu den Aufgaben, vor die

man gestellt wird, oder sie veralten schnell. Dies verlangt von den Schülern die Bereitschaft und

Fähigkeit zu einem lebenslangen Lernen. Daher erhalten soziale, methodische und auch personelle

Kompetenzen im Vergleich zu fachlichen Kompetenzen einen zunehmend höheren Stellenwert.

Gefragt sind insbesonderne eine breite Orientierung und Überblickswissen, divergentes und syste-

misches Denken, Kreativität und methodische Flexibilität, Ausdauer, Kommunikations- und Team-

fähigkeit und Verantwortungsbereitschaft. Nur durch derartige „Schlüsselqualifikationen“ kann eine

berufliche Handlungsfähigkeit aufrechterhalten werden. Da diese Schlüsselqualifikationen nicht

rezeptiv gelernt werden, sondern sich nur entwickeln können, wenn sie aktiv geübt werden, muss

die Schule dementsprechend offene Lernsituationen schaffen.28

Sicherlich am radikalsten ist die kognitivistisch-lerntheoretische Sichtweise. Grundgedanke ist, dass

es keine objektiv erfassbare Wirklichkeit gibt. Es gibt nur subjektive Wahrnehmungen, durch wel-

che der Mensch sich in seinem Kopf durch seine individuelle Logik und Umsetzung seine eigene

Wirklichkeit konstruiert. Daher muss dem Lernenden sein Lernen selbst überlassen bleiben. Es

kann somit nicht Ziel der Schule sein, objektives Wissen zu vermitteln. Sie sollte sich darauf be-

schränken, lediglich den Aufbau subjektiven Wissens zu stimulieren. Dies gelingt durch eine viel-

fältige, herausfordernde Lernumgebung, die auch zu sozialer Interaktion anregt.29

2.3 Instrumente 2.3.1 Kompetenzraster

Kompetenzraster bilden die inhaltliche Basis für individualisiertes und selbstverantwortetes Lernen.

Sie bilden die Lehrplaninhalte bzw. Lehrinhalte eines Faches für ein oder mehrere Jahre als klare

und transparente Standards in präzisen „Ich-Kann“-Formulierungen ab. Dabei werden die Kriterien

(was kann ich?) als Kompetenzbereiche auf der Vertikalen und die Qualität (wie gut?) als Kompe-

tenzstufe auf der Horizontalen abgetragen. Durch die in Kompetenzform formulierten Standards

wird dem Schüler der schulische Entwicklungshorizont transparent gemacht und gleichzeitig ver-

bindlich abgesteckt. Die Leistung eines jeden Schülers kann zu den Kompetenzstandards in Bezie-

hung gebracht werden, wodurch sich für jeden einzelnen Schüler ein individuelles Kompetenzprofil

ergibt. Die individuellen Kompetenzen werden durch farbige Klebepunkte sichtbar gemacht. Aus- 27 Vgl. Huber (1999), Klippert (1999), S. 18 und Seydel (1999), S. 44 ff. 28 Vgl. Huber (1999) und Hungerland/Overwien (2004), S. 18. 29 Vgl. Huber (1999).

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gehend von diesen Kompetenzen können die Schüler ihr Lernprogramm anschließend bedürfnisge-

recht gestalten. Auch der Entwicklungsprozess wird erneut anhand der farbigen Punkte dokumen-

tiert.30 Dabei leistet das Kompetenzraster Orientierungshilfe ähnlich wie ein Kompass, der den der-

zeitigen Standpunkt zeigt sowie die Richtung, in die der Lernende läuft.31 Die Klebepunkte können

durchnummeriert werden. Leistungsnachweise, die in einem Portfolio abgelegt wurden, sind durch

eine korrespondierende Nummerierung den Kompetenzen somit direkt zuordbar.32

2.3.2 Checklisten

Hinter dem Kompetenzraster verbirgt sich eine riesige Lernlandschaft. Die Checklisten dienen als

Verbindungsglied zwischen Kompetenzraster und den vielfältigen Lernimpulsen. Zum besseren

Verständnis wird jedes Rasterfeld hier näher ausdifferenziert.33 Eine Unterteilung der Kompetenzen

in Teilkompetenzen kann den Entwicklungsprozess der Schüler noch detaillgenauer abbilden. In

den Checklisten finden sich zudem Hinweise bzw. Verweise zu adäquaten Lernjobs, mitunter aber

auch zu herkömmlichem Lernmaterial wie Fachbüchern und Ansichtsmaterialien, zu CD-, DVD-,

Video- oder Kassettenbändern sowie zu Internetadressen.34

2.3.3 Lernjobs

Lernjobs, auch Lernaufgaben genannt, sollten so gestaltet sein, dass der Schüler bei der Bearbeitung

etwas Neues erlernt. Dabei soll es sich nicht um eine bloße Aufgabenstellung handeln. Die Lernjobs

sollen auch motivieren, instruieren und den Schüler im Sinne einer methodischen Sicherung das

Lernen lehren. Dies stellt hohe Anforderungen an deren inhaltliche und formale Gestaltung. Es

muss Aufgabe der Schüler und nicht des Lehrers sein und bleiben, Informationen zu lesen, zu ana-

lysieren, zu selektieren, relevante Daten und Fakten zu erkennen und gegebenenfalls neue Recher-

chen anzustellen. Der Prozess der Informationsgewinnung und –verarbeitung wird bereits als Teil

der Lösung gesehen.35

2.3.4 Lernportfolio

Das Lernportfolio ist eine zielgerichtete Sammlung von Arbeiten, durch welche die individuellen

Bemühungen, Leistungen und Fortschritte des Lernenden dokumentiert werden. Hier können die

Schüler erfolgreich abgeschlossene Lernjobs und relevante Arbeiten aller Art abheften und somit

Lernergebnisse und –prozesse sichtbar machen. Das Lernportfolio kann dabei in einer Doppelfunk-

tion einerseits den Schüler im Prozess der Selbststeuerung unterstützen, andererseits auch als Beur-

teilungsinstrument dienen. Die Umsetzung kann also unterschiedlich sein, je nachdem, ob der Ge-

30 Vgl. Müller (2003c), S. 7 und Schiller (2004), S. 90. 31 Vgl. Fuchs (2006), S. 30. 32 Vgl. Müller (2003b), S. 9. 33 Vgl. Müller (2003c), S. 7. 34 Vgl. Fuchs (2006), S. 30. 35 Vgl. Müller (2003c), S. 8 f.

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danke der Selbststeuerung oder der Darstellung im Vordergrund steht.36

2.3.5 Layout

Das Layout ist anfangs zwar lediglich ein bedrucktes Blatt Papier, wird von MÜLLER aber als ent-

scheidendes Werkzeug auf dem Weg von Fremd- zur Selbststeuerung gesehen. Hiermit kann der

Schüler sich seinen Erfolg systematisch organisieren. Layout kann als „Grundriss“37 übersetzt wer-

den. In vorausschauender Planung hält der Schüler grundrissartig als individuelle Verbindlichkeit

schriftlich fest, was er in naher Zukunft erreichen möchte, wie er seine Ziele zu erreichen gedenkt

und – bezogen auf das „wie“ – warum er gerade so vorgeht. Geknüpft an die inhaltliche Planung ist

immer eine zeitliche Verbindlichkeit, ein Termin. Der Schüler muss also unbedingt auch fixieren,

wann er sich für sein Vorhaben Zeit nehmen wird. Das Handeln soll durch eine Selbstverpflichtung

geleitet werden, wobei angenommen wird, dass die internal motivierten (nicht erzwungenen) Vor-

sätze eher eingehalten werden, wenn sie zuvor verbindlich formuliert wurden. Dies ist begründet im

Bedürfnis des Menschen, in seinen Worten, Überzeugungen und Taten konsistent zu sein.

Neben der Planung kommt auch der nachträglichen Reflexion eine gewichtige Rolle zu. Allein aus

emotionaler und vor allem lernstrategischer Sicht ist das Festhalten der persönlichen Erfolgsmel-

dungen immens wichtig. Wenn ein Schüler regelmäßig seine Erfolge festhält, die auf seine Fähig-

keiten und eigens unternommenen Anstrengungen zurückzuführen sind, stärkt dies sein Selbstbe-

wusstsein sowie sein künftiges Leistungsvermögen. Diese positiven Effekte verstärken sich weiter,

wenn die Schüler aus den Erfolgen Schlüsse ziehen, sich bewusst machen, welche Komponenten

insbesondere zum Lernerfolg beigetragen haben.

Denkbar ist auch, auf dem Layout weiteren Personen wie Lerncoach oder Lernpartnern Platz für

Gasteintragungen zu lassen. Diese können aus anderer Perspektive besondere Auffälligkeiten auf-

zeigen oder Empfehlungen abgeben.38

2.4 Umsetzung an der H16 2.4.1 Gestaltung der Kompetenzraster und Checklisten

Im Rahmen des SELKO-Projektes wurde im Juni 2006 in wochenlanger und mühsamer Arbeit be-

gonnen, die Bildungspläne in Kompetenzraster und Checklisten zu übersetzen und zu überführen.

Während man sich in der „Kompetenz-Fachgruppe“ Mathematik relativ zügig auf eine vorläufige

Endfassung des Kompetenzrasters einigte, welches die Schüler bereits zu Schuljahresbeginn erhiel-

ten, wurden in den konkretisierenden Checklisten in der Folgezeit noch Anpassungen vorgenom-

men. Die Änderungen waren größtenteils unproblematisch, da die Schüler ohnehin nur diejenigen

Checklisten ausgehändigt bekamen, die sie entsprechend ihres Kompetenzniveaus für die Arbeit

36 Vgl. ebd. S. 12 und Häcker (2005), S. 13 ff. 37 Müller (2001), S. 101. 38 Vgl. Müller (2001), S. 101 ff. und Müller (2003d), S. 5 ff.

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aktuell benötigten.

Das Mathematik-Kompetenzraster der H16 ist folgendermaßen aufgebaut:39 Auf der Vertikalen sind

die fünf Kompetenzbereiche Rechenverfahren, Funktionale Zusammenhänge, Daten und Zufall,

Ebene und Raum sowie Medien abgetragen. Auf der Horizontalen sind die Leistungsstufen mit der

mittlerweile geläufigen Unterteilung A1/A2/B1/B2/C1/C2 zu finden. Dabei soll ein über alle Kom-

petenzbereiche hinweg erreichtes Niveau A2 einen erfolgreichen Hauptschulabschluss, B1 einen

erfolgreichen Realschulabschluss und B2 ein erfolgreiches Abitur widerspiegeln. Aufgrund der Er-

fahrungen der vergangenen Jahre bezüglich des Leistungsniveaus, welches die Schüler an die H16

mitbringen, und in Verbindung mit Gründen der Motivation, entschied man sich zu einer weiteren

Zweiteilung der Kompetenzstufen B1 und B2 in B1.1 (unzureichender Realschulabschluss), B1.2

(erfolgreiche Mittlere Reife und z.T. Inhalte Vorsemester), B2.1 (gutes Niveau Ende Grundkurs S4)

sowie B2.2 (Prüfungsfach- bzw. Leistungskursniveau Ende S4).

Auf diesem Kompetenzraster konnten die Schüler zu Beginn des Schuljahres auf Basis einer Selbst-

einschätzung sowie eines Eingangstests ihre individuellen Leistungsniveaus in den jeweiligen

Kompetenzbereichen markieren. Im Sinne einer Langzeitplanung hatten sie zudem die Möglichkeit,

das Leistungsniveau zu markieren, welches sie im Laufe ihrer Zeit an der H16 noch erreichen wol-

len. Durch kleine grüne Klebepunkte für einzelne Leistungsnachweise sowie durch große rote Kle-

bepunkte für die komplette Erarbeitung einer Kompetenzstufe konnten die Schüler ihren Lernfort-

schritt auf dem Raster sichtbar dokumentieren. Nähere Hinweise zur gezielten Auswahl der Lern-

materialien oder auch Anforderungen zu Leistungsnachweisen können den Checklisten entnommen

werden. Da die Lernmaterialien in der relativ kurzen Zeit noch nicht in ausreichendem Umfang und

durchgängig über alle Kompetenzfelder ausgearbeitet wurden, müssen in der Folgezeit auf den

Checklisten noch einige Lernmaterial-Hinweise ergänzt werden.

2.4.2 Organisation der Kompetenzlerntage

Individualisiertes und selbstverantwortetes Lernen, sowohl von Schülern als auch Lehrkräften gerne

auch als „Kompetenzlernen“ bezeichnet, ist zeitlich gesehen auch in den SELKO-Fächern nicht die

dominante Form des Lernens an der H16. Zumeist wird noch der „herkömmliche“ Unterricht

durchgeführt, auf dessen Basis auch die immer noch erforderlichen Klassenarbeiten gestellt werden.

Einmal im Monat findet in jedem SELKO-Fach ein zweistündiges Kompetenzlernen statt. Obwohl

alle vier Parallelklassen zeitlich parallel Mathematik haben, erfolgte das Lernen bisher meist klas-

senintern und im jeweiligen Klassenraum. Klassenübergreifendes Lernen über mehrere Räume

wurde als kleinerer Projektversuch allerdings schon angedacht.

2.4.3 Gestaltung der Lernumgebung

Für MÜLLER beginnt ein „eigenes Gestalten“ der Lernprozesse bereits mit der Gestaltung der Lern- 39 Das Kompetenzraster ist im Anhang dieser Arbeit zu finden.

11

umgebung. Indem die Lernumgebung aktivierend und inspirierend gestaltet wird, übertragen sich

wiederum Impulse und Inspirationen auf den Lernenden, der diese im Sinne eines Kreislaufs durch

eine Neuorganisation wiederum in die Lernumgebung einbringen kann.40 Durch ein Verschieben

der Tische zu Beginn eines Kompetenztages wird das herkömmliche Raumkonzept mit Blickrich-

tung zur Tafel aufgegeben. Für zwei Stunden entsteht kurzerhand ein Lernbüro. Da noch „her-

kömmlicher“ Unterricht am selbigen Tag stattfindet, kann die Tischanordnung längerfristig aller-

dings keinen Bestand haben. Die Räume wurden mit abschließbaren Schränken ausgestattet, in de-

nen die Schüler Bücher und Ordner sicher aufbewahren können. Eigentlich nützliche elektronische

Geräte wie Computer, Drucker und Kopierer sind in diesen Räumen allerdings nicht vorhanden.

Von daher ist eine digitalisierte Lernlandschaft noch Zukunftsdenken. Lernjobs, Lernaufgaben, Lö-

sungs- oder Infoblätter, Tippkarten und andere Lernmaterialien oder übergeordnete Instrumente wie

Checklisten oder Layout müssen je nach Bedarf noch in Papierform zur Verfügung gestellt werden.

Allein aus organisatorischen Gründen ist eine uneingeschränkte Wahlfreiheit bei der Materialaus-

wahl somit nahezu nicht realisierbar. Es bedeutet bereits einen hohen Arbeitsaufwand und immense

Papier- bzw. Kopierkosten, wenn sich die Wahlfreiheit einer nahezu 30-köpfigen Klasse über einen

kompletten Kompetenzbereich erstreckt. Durch zuvor gestartete Umfragen zu Arbeitsschwerpunk-

ten können Arbeit und Kosten allerdings in Grenzen gehalten werden. Hilfreich als permanente Er-

gänzung zu kopierten Lernjobs wäre eine größere Sammlung von Lehr- und Lernbüchern. Aller-

dings hält der Bestand sich bisher noch in überschaubaren Grenzen und muss über eine längere

Laufzeit des Projektes hinaus zwingend sinnvoll erweitert werden.

3 Planung der Lernsequenz

3.1 Planungsrelevante Faktoren 3.1.1 Schülerbezogene Planungsfaktoren

Mein Unterrichtsversuch findet in der VS4, einer Vorsemesterklasse des Wirtschaftsgymnasiums

statt. Die Klasse setzt sich aus 14 Schülerinnen und 15 Schülern im Alter von 16 bis 26 Jahren zu-

sammen.

Alter 16 17 18 19 20 21 … 26

Anzahl Schüler 3 4 8 7 1 5 - 1

Das Leistungsniveau in Mathematik ist sehr unterschiedlich, was der Eingangstest zu Schuljahres-

beginn, die erste Klassenarbeit und meine laufende Unterrichtsbeobachtung zeigen. Es gibt einige

wenige Leistungskurs-Kandidaten, aber auch einen hohen Anteil von Schülern mit unbefriedigen-

den Leistungen. In der Klasse sind vier Wiederholer, die aber trotz bekannten Unterrichtsstoffes

erneut zu den schwächeren Schülern der Klasse zählen.

40 Vgl. Müller (2002), S. 220.

12

Die meisten Schüler sind lernwillig und interessiert. Mit dem thematischen Übergang von Rechen-

verfahren zu den linearen Funktionen hat die Beteiligung am Unterrichtsgeschehen noch einmal

merklich zugenommen. Einige Schüler haben bereits eine gewisse Vorfreude auf den folgenden

Themenbereich der „Quadratischen Funktionen“ kundgetan.

Teils durch Kompetenzlernen, teils in herkömmlichen Unterrichtsformen hat die Klasse sich die

Kompetenzstufe A2 der funktionalen Zusammenhänge „Ich kann lineare Funktionen zeichnen und

interpretieren“ in den vergangenen vier Wochen erarbeitet. Für einige Schüler, die bereits im Test

diese oder höhere Kompetenzstufen erreicht hatten, hatte der Unterricht wiederholenden und festi-

genden Charakter, während ein Großteil der Klasse die Inhalte und Zusammenhänge überwiegend

neu erlernen musste.

Zwar sollten auch „Quadratische Funktionen“ von allen Schülern bereits in den Zuliefererschulen

behandelt worden sein. Allerdings zeigten der Eingangstest zu Schuljahresbeginn sowie der dieser

Lernsequenz direkt vorgeschaltete Einstufungstest, dass die Defizite in diesem Themenbereich noch

deutlich höher sind als bei den „Linearen Funktionen“. Gemäß den Aussagen einiger Schüler wurde

dieser Themenbereich in ihren jeweiligen Zulieferschulen gar gänzlich ausgespart, was ich aber

bezweifle. Ich nehme aber an, dass der Unterrichtsstoff nur oberflächlich durchgenommen wurde.

Kein Schüler hat bisher vertiefte Erfahrungen mit individualisiertem und selbstverantwortetem Ler-

nen oder ähnlich offenen Unterrichtskonzepten gesammelt. Die ersten Berührungen mit einer derart

offenen Lernform fanden in diesem Schuljahr statt.

Es herrscht in der Klasse eine angenehme Lernatmosphäre. Das Sozialverhalten der Schüler unter-

einander stufe ich als gut ein.

3.1.2 Lehrerbezogene Planungsfaktoren

Ich bin seit Schuljahresbeginn 2006/2007 mit drei Wochenstunden im Fach Mathematik in dieser

Klasse eingesetzt. Das Verhältnis zwischen den Schülern und mir empfinde ich als angenehm

freundlich, ich unterrichte gerne in dieser Klasse.

Mit dem Konzept des selbstverantworteten individualisierten Lernens beschäftige ich mich im

Rahmen des Projektes SELKO seit Juni 2006. Ich habe hierzu zahlreiche Fortbildungen besucht und

bin im so genannten „Kompetenz-Team“ meiner Schule aktiv am Prozess der Gestaltung und Eva-

luation der notwendigen Strukturen und Materialien beteiligt. Drei erste Unterrichtsversuche des

Kompetenzlernens in kleinerem Rahmen habe ich mit meiner Klasse bereits durchgeführt und diese

permanent evaluiert.

3.1.3 Curriculare Planungsfaktoren

Grundlage meiner Planung sind der Rahmenplan Mathematik aus dem Bildungsplan der gymnasia-

len Oberstufe für Wirtschaftsgymnasien sowie das daraus für unsere Schule abgeleitete Kompetenz-

raster. Für die Kompetenzstufe B1.1 der Funktionalen Zusammenhänge lautet die Kompetenz:

13

Ich kann quadratische Funktionen zeichnen und die dazu benötigten Berechnungen durchführen.

Einfache Zusammenhänge kann ich interpretieren.

Diese Kompetenz wird durch Teilkompetenzen in der Checkliste detaillierter erläutert:

• Ich kann für quadratische Funktionen die Wertetabelle aufstellen, den Graphen von Hand und

mit dem PC zeichnen und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen [..] bestimmen sowie die

Polynomdarstellung von der Linearfaktordarstellung unterscheiden.

• Ich kann die charakteristischen Eigenschaften einer quadratischen Funktion und insbesondere

die der Normalparabel (f(x) = x2) benennen und nutzen.

• Ich kann Bedeutung und Zusammenhang der Parameter a, b und c einer quadratischen Funktion

f(x) = ax2 + bx + c erläutern.

• Ich kann den Scheitelpunkt einer Normalparabel zeichnerisch und rechnerisch ermitteln, die Ko-

ordinaten angeben und unterscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Für die besseren Schüler gesondert ausgewiesen sind zwei weitere Teilkompetenzen:

• Ich kann eine Verschiebung der Normalparabel auf den Koordinatenachsen durch eine Funkti-

onsgleichung beschreiben.

• Ich kann eine quadratische Funktion von der Polynomform in die Scheitelpunktform (f(x) = a(x -

u)2 + v) überführen und umgekehrt.

3.1.4 Organisatorische Planungsfaktoren

Zum Zwecke einer kompakten Unterrichtsplanung und –durchführung findet mein Unterrichtsver-

such in acht Stunden zweier aufeinander folgender Tage statt, von denen drei Stunden planmäßige

Mathematik-Unterrichtszeit sind und fünf Stunden von anderen Fachlehrern stammen. Veranstal-

tungsort bzw. Lernbüro sind der übliche Klassenraum sowie ein benachbarter Computerraum, der

Coaching-Gesprächen, Lehrer-Inputs und Lerneinheiten mit der Mathematiksoftware „Derive“ die-

nen soll.

3.2 Entscheidungen 3.2.1 Grundsätzliche Absichten

Die Schüler sollen die Möglichkeit haben, sich einen Großteil eines neuen bzw. in Vergessenheit

geratenen Themenbereichs in Eigenregie erarbeiten zu können. Dabei soll jeder Schüler seinem

Leistungsstand und seinem möglichen Lern- und Arbeitstempo gerecht werden können. Jeder Schü-

ler soll die Möglichkeit erhalten, sich individuelle Ziele stecken und an diesen gezielt arbeiten zu

können.

Hierfür möchte ich ansprechende organisatorische Rahmenbedingungen schaffen, um die Schüler

entsprechend ihrer Fähigkeiten, ihrer Möglichkeiten und ihrer Leistungsbereitschaft möglichst op-

timal zu fördern. Die Schüler sollen unterschiedliche Lernmaterialien und -hilfen vorfinden, die

14

individuell geeignet sind. Die Schüler sollen sich geeigneter Instrumente der Planung und Reflekti-

on bedienen können.

Im Rahmen dieser selbstgesteuerten Arbeitsweise ist es zwingend notwendig, dass ich den Schülern

nicht in der Rolle des Lehrers begegne, sondern vorrangig nur als beratender Lernbegleiter und

Lerncoach tätig bin.

3.2.2 Einbettung des Unterrichts

Stundeninhalt vor diesem Unterrichtsversuch waren lineare Funktionen. Der Übergang zu Quadrati-

schen Funktionen geht einher mit dem Übergang von Kompetenzstufe A2 zu B1.1 innerhalb der

Funktionalen Zusammenhänge. Der Unterrichtsversuch der 8-stündigen Sequenz stellt lediglich den

Einstieg in den neuen Themenbereich dar. Zur vollständigen Erarbeitung dieses Themenbereichs

sind weitere 8-10 Wochen Unterrichtszeit vorgesehen.

3.2.3 Themenstruktur

3.2.4 Überblick über die geplante Lernsequenz

Vorstunde • Einstufungs-Test 1. Unterrichtseinheit Mittwoch, 13.12., 1.+2. Stunde

• Einführung in den Themenbereich • Organisatorisches • Schüler setzen sich Wochen- und Stundenziele • Selbstlernphase 1 • Schüler reflektieren Lernprozess der Stunde

2. Unterrichtseinheit Mittwoch, 13.12., 7.+8. Stunde

• Schüler setzen sich Stundenziele • Selbstlernphase 2 • Input (bei Bedarf) • Schüler reflektieren Lernprozess der Stunde

3. Unterrichtseinheit Donnerstag, 14.12., 1.+2. Stunde

• Schüler setzen sich Stundenziele • Selbstlernphase 3 • Input (bei Bedarf) • Schüler reflektieren Lernprozess der Stunde

4. Unterrichtseinheit Donnerstag, 14.12., 3.+4. Stunde

• Schüler setzen sich Stundenziele • Selbstlernphase 4 • Schüler reflektieren Lernprozess der Stunde und überprüfen Er-

reichung des Wochenziels • Schüler-Evaluation des Unterrichtsversuches • Lernfortschritts-Test

lineare Funktionen quadratische Funktionen Funktionen höheren Grades

Funktionen

ganzrationale Funktionen

gebrochenrationale Funktionen

Exponential- Funktionen

Logarithmus- Funktionen

Potenz- und Wurzel-Funktionen

trigonometrische Funktionen

15

3.2.5 Planungselemente

Öffnung des Unterrichts: Wie bereits im Unterabschnitt 3.1.1 der schülerbezogenen Planungsfakto-

ren berichtet, wurde von der gesamten Klasse die Kompetenzstufe A2 der funktionalen Zusammen-

hänge in den vergangenen Stunden durchgängig erarbeitet. Viele Schüler haben zudem bereits

sämtliche Leistungsnachweise vorgelegt und somit das Kompetenzfeld abschließend bepunktet.

Obwohl von einigen Schülern die Nachweise für A2 noch offen sind, werde ich allen Klassenmit-

gliedern gestatten, parallel auch schon an der Kompetenzstufe B1.1 zu arbeiten. Den zwei Schülern,

die im Eingangstest zu Schuljahresbeginn auch bereits diese Kompetenz nachgewiesen hatten, bot

ich im Vorfeld an, Materialien der Kompetenzstufe B1.2 bereitzustellen. Allerdings äußerten die

beiden Schüler den Wunsch, gerne auch noch für einige Stunden zur Verfestigung ihrer Kenntnisse

an der Kompetenzstufe B1.1 zu arbeiten. Somit werde ich für die gesamte Klasse nur Materialien

der Kompetenzstufe B1.1 der funktionalen Zusammenhänge bereitstellen. Den individuellen Be-

dürfnissen und Leistungsniveaus der Schüler kann ich folgendermaßen gerecht werden:

• Durch die Zerlegung der Kompetenz in Teilkompetenzen müssen die Schüler Bekanntes nicht

nochmals lernen, sondern können sich entsprechend ihrer Lücken gezielt Material suchen.

• Innerhalb jeder Teilkompetenz werden die Schüler Material in bis zu drei unterschiedlichen

Schwierigkeitsgraden auffinden.

• Neben den Pflicht-Kompetenzen gibt es noch einen Zusatzbereich, der über die Mindestanforde-

rungen hinausgeht.

Raumkonzept: Die Lernumgebung soll im Sinne eines Lernbüros für die Zeit dieser Lernsequenz so

umgestaltet werden, dass die Schüler sich wohl fühlen, inspiriert werden und in geeigneten und von

ihnen gewünschten Sozialformen lernen können. Daher sollen zu Beginn der Stunden die Tische

von den Schülern entsprechend verrückt und neu angeordnet werden. Bisher wurden stets 4er- und

6er-Gruppentische favorisiert. Aber auch diesmal soll dies den Wünschen der Schüler überlassen

bleiben.

Der Computer kann in diesem Themenbereich zu einem nützliches Werkzeug der Schüler werden.

Über ihn sollen die Schüler Visualisierungen komplizierter Graphen der Quadratischen Funktionen

vornehmen können. Zudem ermöglicht der Computer einen Ergebnisabgleich errechneter Lösungen.

Von daher sollen die Schüler den PC-Raum möglichst oft nutzen können.

Meine Rolle: Bis auf wenige Minuten zu Beginn und Ende der Unterrichtssequenz, wo ich organi-

satorische Dinge bekannt geben muss, und kurze Phasen innerhalb der Sequenz, wo ich im Rahmen

eines Inputs unterrichte, werde ich mich in meiner Rolle als Lerncoach dezent im Hintergrund hal-

ten. Selbstverständlich bleibe ich bei Fragen Ansprechpartner. Fragen inhaltlicher Art werde ich

allerdings nur beantworten, wenn die Schüler zuvor die Lernhilfen vergeblich genutzt und sie sich

bei ihren Mitschülern vergeblich um Hilfe bemüht haben. Insbesondere stehe ich den Schülern für

eine Lernberatung zur Verfügung. Dabei möchte ich unter Zuhilfenahme der Dokumentation mit

16

den Schülern vor allem auf die Zielplanung und Gestaltung des Lernprozesses eingehen.

Unterstützende Instrumente: Das Layout, von den Schülern und mir auch als Dokumentation be-

zeichnet, soll von mir zu Beginn der ersten Stunde verteilt werden. Die Arbeit mit diesem Raster

war für die Schüler neu. Von daher will ich Aufbau, Sinn und Zweck und den gewünschten Um-

gang mit diesem Instrument ebenfalls zu Beginn der Sequenz ausführlich erklären.

Zudem sollen die Schüler die neue Checkliste erhalten. Hier finden sich in drei Leistungsstufen

Hinweise zu Lernjobs, zum Input, zu notwendigen Vorkenntnissen oder Anforderungen eines Leis-

tungsnachweises. Dies soll eine zielgerichte Auswahl des Materials sowie eine bessere Wochen-

und Tagesplanung unterstützen. Hier möchte ich mich kurz fassen, da nur die Inhalte, nicht aber der

Aufbau der Liste neu sind.

Gestaltung der Lernjobs: Zu jeder Teilkompetenz sollen die Schüler Lernaufgaben auf drei unter-

schiedlichen Anforderungsniveaus finden. Gerade auf der „Einsteiger“-Stufe sollen die meisten

Aufgaben derart aufbereitet sein, dass mit Hilfe der Vorkenntnisse aus dem Themenbereich der

„Linearen Funktionen“ sowie einer Ergänzung durch Info-Blätter die Beantwortung der meisten

Fragen möglich ist. Da bereits das gesamte Unterrichtskonzept durch große Offenheit geprägt ist,

habe ich mich auf der „Einsteiger“- und „Könner“-Stufe hinsichtlich allzu offener Aufgabenstellun-

gen zurückgehalten und viele Aufgaben „bekannten Typs“ beigemischt. Mein Leitgedanke war,

dass zu viel Neues auch Überforderung bedeuten könnte. Die Gestaltung der Aufgaben soll dem

Lernprozess der Schüler Struktur geben. Im höchsten Anforderungsbereich („Experte“) finden sich

aber auch problemorientierte Aufgaben und sehr freie Aufgabenstellungen. Der erhöhte Schwierig-

keitsgrad hier soll verhindern, dass die Schüler sich ohne ausreichende Übung auf den vorherigen

Stufen den „Experten“-Aufgaben widmen. Hier werden dann auch allgemeine mathematische Kom-

petenzen wie „Probleme mathematisch lösen“ oder „mathematisch modellieren“ verstärkt gefordert.

Input durch Lehrer: Individualisiertes und selbstverantwortetes Lernen muss nicht zwangsläufig nur

aus Selbstlernzeit bestehen. An gewissen Stellen macht es Sinn, Unterrichtsphasen einzulegen, in

denen die Schüler von anderen Schülern oder eben durch den Lehrer Inhalte vermittelt bekommen.

Dieser eher in Frontalform ablaufende Unterricht wird von mir als „Input“ bezeichnet. Im Rahmen

individualisierten Lernens ist die Teilnahme eines Schülers an diesem Unterricht eher optional. Das

heißt, der Schüler wird sich überlegen, ob er überhaupt einen Input-Bedarf hat. Auch im Rahmen

dieser Unterrichtssequenz wollte ich je nach Bedarf bis zu drei (identische) Inputs zur Computer-

software „Derive“ anbieten. Dies war notwendig, da die Schüler mit „Derive“ noch keine Erfahrung

hatten. In diesem Moment werde ich dann die zurückhaltende Rolle des Lerncoachs verlassen.

Der Vorteil mehrerer Input-Angebote liegt darin, dass ich bei Fragen auf den einzelnen Schüler

besser eingehen könnte. Zudem haben die Schüler somit zeitlich gesehen mehrere Möglichkeiten

der Teilnahme, so dass sie ihren individuellen Lernprozess nicht auf einen einzigen Input ausrichten

müssen.

17

3.2.6 Unterrichtliche Ziele

Fachliche Ziele

Die Schüler übertragen in Lernjobs bekannte Kenntnisse der Linearen Funktionen auf die

Quadratischen Funktionen. Hierzu gehören das Aufstellen einer Wertetabelle, das Zeichnen

eines Graphen per Hand sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Koordinaten-

achsen.

Die Schüler verstehen die Bedeutung und Wirkungsweise der Parameter einer Quadrati-

schen Funktion in Polynomdarstellung.

Die Schüler lösen Aufgaben zu unterschiedlichen Darstellungsformen der Quadratischen

Funktionen und lernen zwischen den Darstellungsformen zu unterscheiden.

Die besseren Schüler erproben Anwendungsaufgaben zu Quadratischen Funktionen.

Alle Schüler erzielen unabhängig vom anfänglichen Leistungsniveau einen fachlichen

Kompetenzzuwachs.

Soziale, personale und methodische Ziele

Die Schüler erkennen die Selbstverantwortung für ihren eigenen Lernprozess.

Die Schüler setzen und formulieren selbständig kurz- und mittelfristige Lernziele.

Die Schüler steuern im Rahmen der ihnen gesetzten Rahmenbedingungen ihren eigenen

Lernprozess.

Wenn ein Schüler ein mathematisches Problem nicht alleine lösen kann, sucht er ohne Hilfe

des Lehrers selbständig nach geeigneten Mitteln und Wegen, um zur Problemlösung zu ge-

langen.

Die Schüler kommunizieren untereinander mathematische Probleme und Lösungsansätze.

Dabei verbessern sie auch ihre Fähigkeit, in mathematischer Sprache zu argumentieren.

Stärkere Schüler unterstützen ihre schwächeren Mitschüler, wenn diese mit Problemen zu

ihnen kommen.

In den Selbstlernphasen teilen sich die Schüler ihre Arbeitszeit selbständig ein.

Die Schüler entwickeln und verbessern eine zielgerichtete Arbeitsweise.

Die Schüler reflektieren ihre Arbeitsweise und ihren Lernerfolg regelmäßig und gewissen-

haft.

Die Schüler erkennen, an welchen Stellen und inwieweit eine mathematische Software wie

„Derive“ bei Quadratischen Funktionen hilfreich sein kann.

18

4 Durchführung der Lernsequenz 4.1 Einführung in Themenbereich und Organisation Wie zuvor erwähnt, begann die Stunde mit Tische- und Stühlerücken zur Herrichtung des Raumes,

um eine ansprechende Raumatmosphäre zu schaffen. Dies ging schleppend voran. Zwei von mir

bestimmte Schüler richteten derweil als Materialwächter den Materialtisch mit seinen Lernjobs,

Lösungs- und Infoblättern und Formelsammlungen zügig her.

Mit einigen einleitenden Worten zum neuen Themenbereich gab ich den Schülern einen zeitlichen

Überblick über die gesamte Sequenz. Danach wies ich die Schüler noch einmal auf die wichtigsten

Verhaltensregeln des Kompetenzlernens hin:

• Damit sich niemand gestört fühlt, wird untereinander nur in Flüsterlautstärke kommuniziert.

• Mit geliehenen Materialien soll sorgfältig umgegangen werden.

• Geliehene Materialien wie Lernhilfen sollen nach Gebrauch zügig auf den Materialtisch zu-

rückgelegt werden, damit die Klassenkameraden nicht lange nach ihnen suchen müssen.

• Es sollen nur diejenigen Arbeitsblätter vom Materialtisch genommen werden, an denen man

gerade arbeiten möchte. Man möge sich also nicht bereits für kommende Wochen mit Material

eindecken.

• Ich stehe den Schülern permanent in der Rolle des beratenden Lerncoaches zur Seite. Sollte ich

gerade im Gespräch sein, kann man sich in einer Warteschleife hinten anstellen, indem man

seinen Namen an die Tafel schreibt. Bis man an der Reihe ist, kann man weiterarbeiten.

• Bei mathematischen Problemen bin ich erst Ansprechpartner, wenn weder die Klassenkamera-

den noch sämtliche Lernhilfen weitergeholfen haben.

Anschließend verteilte ich die neue Checkliste „funktionale Zusammenhänge B1.1“ und erläuterte

diese. Da der Aufbau dem der vorigen Checkliste entsprach, beschränkte ich mich im Wesentlichen

auf einen inhaltlichen Überblick. Ich erläuterte, welches Material bei welchem Vorwissen geeignet

ist, gab Tipps zur Auswahl der Lernmaterialien sowie Hinweise zu Lernhilfen, erläuterte die Bedeu-

tung des in der Checkliste aufgeführten „Inputs“ und erklärte auch, wie und in welcher Form man

die für das Erreichen der Checkpunkte geforderten Leistungsnachweise bei mir abgeben konnte.

Auf Nachfrage eines Schülers betonte ich noch einmal, dass Leistungsnachweise permanent, also

nicht nur am Stundenende, bei mir eingereicht werden können.

Anschließend verteilte ich die Dokumentation41, welche die Schüler vor und nach den einzelnen

Selbstlernphasen ausfüllen sollten und betonte nochmals, dass dieses Blatt nicht in erster Linie zur

Überprüfung des Lernstand- und –fortschritts meinerseits gedacht wäre, sondern vorrangig den

Schülern selbst als unterstützende Hilfe beim eigenverantwortlichen Lernen dienen sollte. Hiermit

wollte ich bewirken, dass die Schüler keinen zusätzlichen Kontrolldruck durch mich verspürten. Die 41 Einige Beispiele ausgefüllter Dokumentationen befinden sich im Anhang.

19

Schüler sollten unter Zuhilfenahme des Kompetenzrasters sowie der neuen Checkliste zunächst eine

Einschätzung vornehmen, wie sehr sie mit der Materie vertraut sind und sich zusätzlich ein Ziel

setzen, wie weit sie sich in der 8-stündigen Sequenz verbessern wollen. Den derzeitigen Leistungs-

stand sowie das Wochenziel sollten dabei mit je einem Kreuz auf einer Skala von 1 bis 10 doku-

mentiert werden, welche zur Unterstützung ergänzend mit den Einstufungen „Einsteiger“ (1-3),

„Könner“ (4-7) und „Experte“ (8-10) erläutert wurde. An dieser Stelle war es mir wichtig den Hin-

weis zu geben, dass es nicht darum geht, sich ein Wunschziel zu setzen oder ein Ziel, welches erst

in einigen Wochen zu erreichen wäre. Stattdessen möge sich ein jeder unter Berücksichtigung sei-

nes derzeitigen Leistungsstandes ein für sich individuell realistisches Ziel für die kommenden acht

Stunden setzen.

Das Wochenziel sollte zudem in Worte gefasst werden. Während einige Schüler relativ zügig ihre

Kreuze setzten und ebenso schnell ihre spontanen Gedanken niederschrieben, benötigten andere

Schüler an dieser Stelle deutlich mehr Zeit. An einem Tisch beschäftigten sich die Schüler zudem

intensiv mit den in der Checkliste ausformulierten Teilkompetenzen und es wurde rege diskutiert.

Hierzu gab es dann einige inhaltliche Nachfragen, da die Schüler die sich hinter den Formulierun-

gen verbergende Mathematik an einigen Stellen nicht einordnen konnten und somit unsicher waren,

ob sie sich nicht vielleicht doch schon ein wenig in der Materie auskennen würden. Ich konnte an

dieser Stelle und in der kurzen Zeit die Fragen zwar nicht umfassend beantworten, aber sicherlich

einen Teil zur besseren Einschätzung beitragen.

Neben dem Wochenziel sollte für die erste Doppelstunde auch ein erstes Zwischenziel formuliert

und zudem festgehalten werden, was die Schüler zur Erreichung dieses Ziels zu tun gedenken. Ähn-

lich wie bei der Formulierung des Wochenziels gingen die Schüler auch hier sehr unterschiedlich

schnell und unterschiedlich sorgfältig vor.

Ich gab noch einen Ausblick, wie am Ende der Doppelstunde die Reflexion zu erfolgen hätte und

wie die Arbeit mit der Dokumentation in den Folgestunden weiter verlaufen sollte. Anschließend

entließ ich die Schüler in die erste Selbstlernphase.

4.2 Erste Selbstlernphase Während einige wenige Schüler an ihren Tischen noch diskutierten, begannen die meisten Schüler,

sich am Materialtisch Lernjobs zu holen. Bei der Auswahl gingen die Schüler eines Tisches bei der

Materialwahl durchweg gezielt vor. Hier wurde anscheinend bereits am Tisch ein einheitliches und

gemeinsames Vorgehen abgestimmt. Dies wurde auch dadurch deutlich, dass einige Schüler ihren

Mitschülern die Zettel mitbrachten, so dass nicht alle Schüler aufstehen mussten. Dagegen war den

meisten Schülern anzumerken, dass sie sich erst direkt am Materialtisch Gedanken über die Wahl

der Lernjobs machten, sich zunächst einige Zettel grob durchsahen und dann mit einem oder zwei

20

Zetteln an ihren Arbeitsplatz zurückkehrten. Überwiegend wurden von den Schülern Lernjobs ge-

ringeren Schwierigkeitsgrades zur Schaffung einer Basis bzw. zur Festigung ausgewählt.

Für die verbleibende Selbstlernzeit von gut 60 Minuten konnte ich an den Tischen sehr unterschied-

liche Arbeitsweisen beobachten. Einige Schüler bearbeiteten gemeinsam mit ihrem direkten Tisch-

nachbarn ein Arbeitsblatt, wobei sie untereinander in reger Diskussion standen. Andere Schüler

arbeiteten alleine, kontaktierten zwischenzeitlich in größeren Abständen aber immer wieder ihre

Nachbarn, wenn sie Fragen hatten. An dem Tisch, der sich zuvor bereits auf ein gemeinsames Ar-

beitsblatt geeinigt hatte, arbeitete zwar jeder für sich, doch wurden offene Fragen des Öfteren in die

Tischrunde gestellt, so dass zwischenzeitlich auch kleinere Diskussionen entstanden. Die Redelaut-

stärke war anfangs auf Flüsterniveau. Zwischenzeitlich musste ich zwei Schüler eines Tisches, die

sehr laut redeten, allerdings noch einmal auf die gewünschte Flüsterlautstärke hinweisen.

Nach etwa einer halben Stunde kamen in kleinen zeitlichen Abständen sechs Schüler nacheinander

zu mir, fünf davon mit mathematischen Problemen. Eine Schülerin hatte beispielsweise Probleme

bei der Umformung einer Funktion von Linearfaktorzerlegung in Polynomdarstellung. Eine Schüle-

rin wusste die Bedingung für Nullstellen nicht mehr, die der Klasse bereits von den linearen Funkti-

onen bekannt war. Und ein Schüler, der beim Aufstellen der Wertetabelle offensichtlich einen Re-

chenfehler gemacht hatte wollte mit Blick auf seine nicht annähernd einer Parabel entsprechenden

Zeichnung eines Graphen wissen, ob sein Ergebnis richtig sein könne. In keinem der Fälle gab ich

eine direkte Antwort, sondern fragte den betreffenden Schüler stets, ob er bereits alle Möglichkeiten,

an sein Ergebnis zu kommen, genutzt hätte. In allen Fällen wurde dies verneint und die Schüler gin-

gen wieder an die Arbeit.

Fünf Minuten vor Ende der ersten Selbstlerneinheit gab ich das zeitliche Signal, die Lernjobs zur

Seite zu legen, die geliehenen Materialien zurück zum Materialtisch zu bringen und sich erneut der

Dokumentation zu widmen. Nun galt es einzutragen, inwieweit das Stundenziel erreicht wurde, wie

zufrieden man mit dem erzielten Ergebnis war und was beim Lernen geholfen hatte oder hinderlich

war. Auch hier waren zwischen den Schülern wieder große Unterschiede bezüglich der Sorgfalt

festzustellen, mit der sie ihre Eintragungen vornahmen.

4.3 Zweite Selbstlernphase Da zwischenzeitlich im Klassenraum andere Fächer stattgefunden hatten, mussten erst wieder Ti-

sche gerückt werden, was trotz später Stunde etwas schneller verlief als am Morgen. Meine Ansage

beschränkte sich diesmal auf einen Hinweis zu meinem geplanten Input zu „Derive“, den ich gleich

zu Beginn der Stunde im Computerraum nebenan angesetzt hatte. Ich gab auch den Hinweis, dass

am Folgetag erneut und gleich zweimal dieser Input von mir angeboten werden würde.

Die Formulierung der Stundenziele verlief diesmal etwas zügiger als in der ersten Phase und, was

sich später zeigen sollte, mit der Erfahrung der Bearbeitung der ersten Lernjobs überwiegend auch

21

merkbar gehaltvoller, also mit direktem Bezug auf die in der Checkliste angeführten Teilkompeten-

zen. Der Andrang am Materialtisch war anschließend im Vergleich zum Ansturm der ersten Stunde

geringer. Dies lag daran, dass einige Schüler kein neues Material benötigten und direkt dort an-

knüpften, wo sie am Ende der ersten Selbstlerneinheit stehen geblieben waren. Recht viele Schüler

wollten mit Beginn der neuen Einheit sich aber auch einem neuen Lernjob bzw. einer neuen Teil-

kompetenz widmen.

Es folgte im Nebenraum der erste „Derive“-Input, zu dem ich eine etwa 10-minütige Einweisung

gab. Hierfür meldeten sich acht Schüler, die allesamt auch im Anschluss bis Stundenende am direkt

dort anknüpfenden Lernjob arbeiteten und zum Teil auch die Gelegenheit nutzten, einige Ergebnis-

se anderer Lernjobs mit dem PC zu überprüfen. Zudem erhielt ich am Ende der Stunde die ersten

sechs „Derive“-Leistungsnachweise.

Fünf Minuten vor Stundenende gab ich das Zeichen, dass alle Schüler ihre Arbeit einstellen und

sich der Evaluation ihrer selbst gesetzten Stundenziele widmen sollten. Einige Schüler bedauerten,

dass die Lernzeit schon um wäre und dass sie gerne noch etwas weiter gearbeitet hätten. Nach kur-

zem Murren begannen aber auch die letzten Schüler mit dem Ausfüllen der Dokumentation.

4.4 Dritte Selbstlernphase Am Donnerstagmorgen konnte ich mich mit meinen Ansagen kurz fassen. Ich erinnerte zum einen

an den direkt im Anschluss an meine Ansage stattfindenden „Derive“-Input sowie an die Möglich-

keit, bei mir permanent Leistungsnachweise einreichen zu können. Prompt erhielt ich von drei

Schülern Leistungsnachweise zur ersten Teilkompetenz, die ich versprach zeitnah durchzusehen.

Die Formulierung der Stundenziele verlief diesmal sehr zügig; man merkte den Schülern an, dass

sie an ihren gestern angefangenen Aufgaben weiterarbeiten wollten. Während dieser Phase hatte ich

kurz Gelegenheit, zwei Schülern, die am Vortag gefehlt hatten, die wichtigsten organisatorischen

Dinge zu erläutern.

Diesmal nahmen gleich 12 Schüler am „Derive“-Input teil. Die Einführung war etwas mühsamer als

am Vortag, einige Schüler dieser Gruppe hatten erhebliche Schwierigkeiten im Umgang mit dem

Programm bzw. den Eingaben über die Tastatur. Umso größer war bei diesen Personen dann aber

die Freude, als die ersten Graphen am Monitor sichtbar wurden. Einige Schüler nutzten auf noch-

malige Ansage meinerseits das Angebot, von mir als Lernberater bei der Planung Unterstützung zu

erfahren, so dass ich mit einigen Schülern Coaching-Gespräche führte.

Während die 12 Schüler anschließend noch weiter am PC arbeiteten, kehrte ich ins Lernbüro zurück.

Dort herrschte eine unglaublich ruhige, konzentrierte Arbeitsatmosphäre. Lediglich Marlon lag et-

was übermüdet mit seinem Kopf auf dem Tisch. Er schreckte dann auf, entschuldigte sich mehrfach

bei mir und setzte sich wieder an die Lernjobs.

22

Die Evaluation am Ende der Stunde wurde von allen Schülern zügig und überwiegend sehr gewis-

senhaft durchgeführt.

Obwohl die Pause bereits begonnen hatte, arbeiteten einige Schüler weiter, teilweise die ganze Pau-

se hindurch. Jasmin war lange damit beschäftigt, sich am Materialtisch neues Lernmaterial zu su-

chen. Der eifrige Tatendrang der Schüler bedeutete aber nicht, dass gar keine Pausen gemacht wur-

den. Die Schüler hatten verstanden, dass sie ihr eigenes Lerntempo bestimmen durften. Hierzu ge-

hörte auch, dass sie losgelöst vom 45-Minuten-Takt individuell geeignete Pausen einlegten.

4.5 Vierte Selbstlernphase Die vierte und letzte Unterrichtseinheit direkt im Anschluss verlief ohne große Höhepunkte. Es gab

kaum Fragen an mich, die meisten arbeiteten sehr fieberhaft. Wenn es mal eine Frage gab, war die-

se nicht inhaltlicher, sondern organisatorischer Art. Mit zwei schwächeren Schülern führte ich Coa-

ching-Gespräche, allerdings auf meine Initiative hin.

Eine halbe Stunde vor Stundenende gab ich das Signal, die Arbeit einzustellen und sich der ab-

schließenden Reflektion in der Dokumentation zu widmen. Nach Einsammlung der Bögen zu Aus-

wertungszwecken durften die Schüler zunächst an der Metaplanwand in einer Punktabfrage und

dann schriftlich per Fragebogen die Sequenz evaluieren. Beides geschah anonym. Den Abschluss

der Stunde bildete ein schriftlicher Test.

5 Evaluation 5.1 Evaluation aus Schülersicht 5.1.1 Schüler-Evaluation I (Punktabfrage)

Die Punktabfrage am Ende der 8-stündigen Unterrichtseinheit zeigte, dass die Mehrheit der Klasse

eine höhere Selbstverantwortung grundsätzlich sehr begrüßen würde. Allerdings ist diese Art der

Abfrage mit Vorsicht zu genießen, da sich nicht ablesen lässt, inwieweit die Schüler einer gesteiger-

ten Verantwortungsübernahme hinsichtlich effizienter Lernprozesse überhaupt gewachsen sind und

dabei nicht vielleicht opportunistische Gründe weitab von Bildungszielen eine tragende Rolle spie-

len. Eventuell schlägt sich hier auch lediglich die Freude über größere Freiräume nieder.

Bei der Eignung des von mir zur Verfügung gestellten Lernmaterials gingen die Meinungen der

Schüler weit auseinander. Die Hälfte der Klasse empfand es als eher geeignet, ein Großteil als ver-

besserungswürdig, und einige Schüler fanden kaum ihren individuellen Bedürfnissen entsprechen-

des Material.

Bezüglich des Lernerfolges gab es überwiegend positive Rückmeldungen. Nach eigenen Einschät-

zungen ergab sich bei etwa der Hälfte der Klasse sogar ein sehr hoher Lernzuwachs. Bei etwa

gleichverteilten Zuwachsraten beim Rest der Klasse meldeten einige wenige Schüler allerdings

auch bedenklich mäßige Erfolgserlebnisse.

23

5.1.2 Schüler-Evaluation II (Fragebogen)

Selbstverantwortung: Näheren Aufschluss gaben die Ergebnisse der Fragebögen. Gegenüber „her-

kömmlichem“ Unterricht schätzten die Schüler beim selbstverantworteten Lernen insbesondere ihre

gesteigerte Entscheidungsfreiheit, gerade hinsichtlich Zeiteinteilung und Wahl der Sozialform. Hier

zeigt sich somit der grundsätzliche Wunsch nach höherer Autonomie. Auf den ersten Blick dazu

widersprüchlich wirkt das Ergebnis einer Abfrage zum Wunsch nach Instruktionen durch den Leh-

rer. Einem Unterricht ganz ohne verbindliche Anweisungen durch den Lehrer stehen die Schüler

demnach auch eher skeptisch gegenüber. Eine Rolle spielen hier sicherlich eine gewisse Bequem-

lichkeit bei der Auswahl des Unterrichtsstoffes oder gar Ängste vor Ziellosigkeit, Beliebigkeit oder

eines mangelnden Eigenantriebs ohne durch den Lehrer gesetzte Verbindlichkeiten. Eventuell man-

gelt es auch an Selbstwirksamkeit. Denn was die Abfrage auch ergab: Der eigene Lernerfolg ist den

Schülern sehr wichtig. Sie wollen ihre Kompetenzen verbessern und nicht untätig Zeit absitzen.

Der hohe Stellenwert eines eigenen hohen Lernerfolges bzw. der hohe Anspruch sich selbst gegen-

über spiegelt sich auch in überwiegend hoch gesteckten Zielen der Schüler wider, die diese sich

nach eigenen Angaben gesetzt hatten. Bei den meisten Schülern hatte die Zielsetzung allerdings

auch Substanz: Zielplanung und Umsetzung passten in etwa zusammen. Auch gab die überwiegen-

de Mehrheit der Klasse an, konzentriert gearbeitet und die Lernzeit effektiv genutzt zu haben. Auch

die Auswahl der Lernmaterialien geschah hierfür mehrheitlich eher zielgerichtet als beliebig. Für

den Fall, nicht alleine und ohne Hilfe zur Lösung eines Problems zu gelangen, gaben beinahe alle

Schüler an, sich aktiv um Hilfe bemüht zu haben. Resignation kam nach Aussagen der Schüler

demzufolge nicht vor. Zudem gaben die meisten Schüler an, ihr Lernverhalten des Öfteren evaluiert

zu haben.

Dabei wurden Checkliste und Dokumentationsbogen (Layout) nach Angaben der Schüler als In-

strumente der Planung und Steuerung des Lernprozesses akzeptiert und genutzt. Die inhaltliche

Auseinandersetzung mit diesen Lernhilfen geschah überwiegend gewissenhaft ebenso wie deren

Behandlung.

Der Wertgehalt, den die Schüler diesen Instrumenten als Lernhilfe beimaßen, wurde zwar ebenfalls

eher positiv bewertet, aber ein wenig kritischer. Es scheint auch einige Schüler gegeben zu haben,

die diese Instrumente zwar gewissenhaft nutzten und bearbeiteten, sie allerdings hinsichtlich ihrer

Unterstützung zum zielgerichteten Lernen nicht unbedingt als übermäßig hilfreich empfanden. Ein

Schüler gab im Schriftteil auch an, dass ihn die viele Schreibarbeit gestört hat.

Lernmaterial: Die Schüler äußerten mehrheitlich, entsprechend ihres individuellen Leistungsstandes

geeignetes Lernmaterial gefunden zu haben. Die individuelle Eignung lag im Bereich von „sehr

geeignet“ bis „akzeptabel“. Allerdings hätten nach Meinung vieler Schüler die Lernhilfen noch

zahlreicher und ausführlicher sein können. Für etwa ein Drittel der Schüler waren die Lernhilfen

24

kaum bis gar nicht hilfreich. Allerdings gaben alle Schüler auch an, dass sie die meisten Aufgaben

in der Kombination aus Lernhilfen und Hilfe durch die Mitschüler lösen konnten. Im Schriftteil gab

ein Schüler an, dass neben den Lösungen vor allem mehr Erklärungen zu finden sein müssten, wie

man etwas machen müsste. Gerade diesbezüglich hätten einige Schüler den Lehrer gerne öfter als

Ansprechpartner gehabt. Die von den Aufgaben ausgehende motivierende Wirkung wurde schüler-

abhängig sehr unterschiedlich eingestuft, insgesamt aber eher positiv gesehen.

Lernzuwachs: Zwei Drittel der Klasse stuften ihren Lernfortschritt als gut bis sehr gut ein, einige

wenige Schüler allerdings auch als mäßig. Die Zufriedenheit über den Lernerfolg ging einher mit

dem Lernfortschritt: Auch hier äußerten knapp zwei Drittel der Klasse eine hohe Zufriedenheit,

während leider auch zwei Schüler mäßig bzw. gar nicht zufrieden mit ihren individuellen Lerner-

folgen waren.

Sonstiges: Die meisten Schüler gaben an, dass ihnen das Kompetenzlernen großen Spaß gemacht

hat. Zwei Schüler betonten im Schriftteil unabhängig voneinander, wie schön schnell die Zeit beim

Lernen vergangen sei und dass sie sich im Vorfeld acht Stunden Mathematik am Stück als schlim-

mer vorgestellt hätten. Als besonders positiv empfanden die Schüler die ihnen gegebene Möglich-

keit zur Selbststeuerung und dort insbesondere bei der Zeiteinteilung, bei der Wahl von Gruppen-

partnern und bei eigener Bestimmung der Pausen. Die meisten Schüler empfanden die Atmosphäre

im Klassenraum als sehr lernförderlich, einigen Schülern war es aber auch manchmal etwas zu laut

und sie fühlten sich durch Mitschüler gestört. Ein Schüler lieferte dabei gleich einen Lösungsvor-

schlag: Es wäre besser, über mehrere Räume verteilt zu lernen, da es dann leiser wäre und man sich

dann besser konzentrieren könne. Die Möglichkeit des permanenten gegenseitigen Helfens wurde

von den meisten Schülern als besonderer Vorteil gesehen. In diesem Zusammenhang äußerten eini-

ge Schüler im Schriftteil auch, dass ihre Mitschüler stets sehr hilfsbereit waren.

5.2 Evaluation aus Lehrersicht (Beobachtungen) Auch wenn einige wenige Schüler beim Ausfüllen der Dokumentation eher oberflächlich zu Werke

gingen, hatte ich bei der Mehrheit der Schüler den Eindruck, dass sie ihre Eintragungen stets sehr

gewissenhaft vornahmen, sich die dafür notwendige Zeit nahmen. Dieser Eindruck bestätigt sich

auch bei Durchsicht der von mir eingesammelten Dokumentationen: Die Eintragungen wurden

meist nahezu lückenlos und in sorgfältiger Handschrift vorgenommen. Während die Schüler zu Be-

ginn noch leicht unbeholfen vorgingen, was die teilweise sehr schwammigen Formulierungen zei-

gen, steigerten die Schüler zum Ende hin ihre Fähigkeit zu inhaltlich präziseren und gehaltvolleren

Formulierungen.

Das anfangs zügige Voranschreiten mancher Schüler bei der Zielformulierung und der späte Beginn

mit der Reflexion darf aber nicht nur negativ gesehen werden. Hier schlägt sich auch der Taten-

drang einiger eifriger Schüler nieder, die sich lieber zügig an die Aufgaben setzen wollten bzw. sich

25

nicht von diesen lösen konnten. Dieser eifrige Tatendrang zeigte sich bei einigen Schülern auch

dadurch, dass sie kaum Pausen machten, höchstens um sich am Materialtisch neu zu versorgen oder

auf den Tischen der Klassenkameraden nach Lernhilfen zu suchen.

Bei der Auswahl der Lernmaterialien waren viele Schüler zu beobachten, die anfangs etwas orien-

tierungslos wirkten und erst am Materialtisch mit ihrer Materialauswahl begannen. Nur wenige

Schüler gingen von Anfang an bei ihrer Auswahl gezielt vor. Nach einem bedenklichen Gesamtein-

druck zu Beginn hatte ich zum Ende der Sequenz hin allerdings das Gefühl, dass beinahe alle Schü-

ler relativ organisiert und planvoll vorgingen. Hier machte sich die längere Übung im Umgang mit

Checkliste und Dokumentation bezahlt. Wenn ein Schüler jetzt zum Materialtisch ging, wusste er

genau, was er dort wollte.

Meine Rolle als Lerncoach wurde von den meisten Schülern von Anfang an akzeptiert. Die wenigen

Schüler, die mich zwischenzeitlich noch vergeblich in der Rolle des permanent Fragen beantwor-

tenden Lehrers aufgesucht hatten, sahen im Laufe des Kompetenztages auch von diesen Fragen ab.

Sie stellten diese dann ihren Mitschülern oder bemühten sich durch ein intensiveres Studium der

Lernunterlagen selber um eine Lösung. Ich hatte allerdings mitunter das Gefühl, dass die Schüler

nicht verstanden hatten, warum ich ihnen die Lösung ihrer Frage nicht lieferte, sondern sie zu ande-

ren Lernwegen anhielt.

Insgesamt wurde in allen 8 Stunden in einer angenehmen Atmosphäre überwiegend konzentriert

gearbeitet. Auch wenn es mitunter einige unruhigere Phasen gab, waren diese auch nicht auffälliger

als mitunter im „herkömmlichen“ Unterricht, beispielsweise in einer Gruppenarbeitsphase.

Es waren viele Sozialformen zu beobachten. Während einige wenige alleine arbeiteten, gingen die

meisten Schüler aber in Partner- oder Gruppenarbeit vor. An vielen Tischen war es auch ein Mix

aus Phasen der Einzelarbeit, in der immer wieder kürzere oder auch mal längere Austauschphasen

stattfanden. Der Kontakt wurde stets gesucht, wenn es mal für längere Zeit in der Erarbeitung stock-

te. Dabei wurden die mathematischen Probleme untereinander kommuniziert und in mathematischer

Sprache argumentiert. Die Schüler halfen sich gerne, freuten sich sogar, wenn sie ihren Mitschülern

erfolgreich Hilfestellung leisten konnten.

5.3 Schriftlicher Test Die Schüler führten die Tests anonym durch. Damit wollte ich ihnen in einer angenehmen Atmo-

sphäre gefühlten Bewertungsdruck nehmen und erhoffte mir zum Zwecke der Auswertung ausblei-

bende Betrugsversuche und somit gehaltvollere Ergebnisse. Die Anonymität verhinderte zwar Ana-

lysen einzelner Entwicklungen. Deren Aussagekraft wäre aufgrund des Testaufbaus (Multiple-

Choice) aber ohnehin eingeschränkt.

26

Die folgende Tabelle zeigt den Klassenspiegel der beiden identischen Tests zu Quadratischen Funk-

tionen (vor bzw. am Ende des Unterrichtsversuchs), bei denen die Schüler jeweils 10 Fragen zu

beantworten hatten:

Punkte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Summe

Anzahl vorher - 2 4 4 3 5 2 3 - 2 - 25

Anzahl nachher - - - 1 3 2 3 3 6 6 1 24

Der Vergleich der Testergebnisse zeigt einen deutlichen Lernfortschritt der Klasse. Sowohl die Er-

gebnisse am Leistungsende als auch an der Leistungsspitze haben sich verbessert. Bei einer Steige-

rung von 4,4 auf gut 7,3 hat ein einzelner Schüler im Durchschnitt beinahe 3 Fragen mehr richtig

beantwortet. Bei einer derart hohen Steigerung kann hinsichtlich der Aussagekraft des Ergebnisses

die nicht exakte Personenübereinstimmung beider Tests vernachlässigt werden.

Ich vermute, dass die Ergebnisse großteils auch mit einer erhöhten Antwort-Sicherheit erzielt wur-

den, zumindest kam mir die Antwort-Zeit bei einigen Schülern, die auch gute Ergebnisse erzielten,

relativ gering vor. Im ersten Test vor der Unterrichtssequenz dauerte die Beantwortung bei den

meisten Schülern sehr lange. Während beim ersten Test ein Teil der korrekten Ergebnisse vermut-

lich eher auf vagen Erinnerungen eines lang zurückliegenden Unterrichts basierte und mit viel

„Bauchgefühl“ vorgenommen wurde, hätten einige Schüler beim zweiten Test vermutlich gar eine

nahezu exakte Schätzung ihrer richtigen Antworten geben können. So ließ ein Schüler im zweiten

Test drei Antwortmöglichkeiten aus, bei denen er sich vermutlich sehr unsicher war, während er

von den übrigen sieben Fragen sechs richtig beantwortete.

5.4 Formulierung von Verbesserungsvorschlägen Wenn zu viele Schüler auf engstem Raum lernen, sich zwischenzeitlich zur Beschaffung neuer

Lernmaterialien oder zum Austausch mit Klassenkameraden durch den Raum bewegen, oder ein-

fach in Kleingruppen rege über Mathematik diskutieren, dann bedeutet dies eine Menge Unruhe.

Auch wenn im Klassenraum grundsätzlich ein lernförderliches Klima herrschte, hätten größere

Räumlichkeiten durch eine Entzerrung dies noch verbessern können. Ideal wäre sicherlich ein

Lernbüro, in welchem die Schüler neben größeren Gemeinschaftsräumen auch abgetrennte Nischen

vorfinden könnten, die eine konzentrierte Arbeit in Kleingruppen fördern würden. Bei nochmaliger

Durchführung meines Unterrichtsversuchs würde ich mich darum bemühen, zusätzlich einen be-

nachbarten Raum hinzuzuziehen.

Bei der Arbeit in mehreren Räumen wäre es hinsichtlich einer guten Betreuung wünschenswert,

wenn die Schüler mindestens eine weitere Person als Ansprechpartner hätten. Sobald Schüler im

PC-Raum arbeiteten, musste ich aufgrund meiner Aufsichtspflicht dort die Stellung halten. Un-

glücklich war dabei auch, dass beide Räume recht weit auseinander lagen.

27

Leider ist im Vorfeld der Lernsequenz unklar, zu welchen Teilkompetenzen und auf welchen Ni-

veaustufen gelernt wird. Um das Angebot an Lernmaterialien exakt auf die Wünsche der Schüler

abzustimmen, wäre eine digitalisierte Lernumgebung mit Computern und Druckern möglichst in der

Nähe des Arbeitsplatzes sehr hilfreich. Hier könnten sich die Schüler entsprechend der Planung

ihres Lernprozesses aktuell versorgen. Dies vermeidet ein Überangebot ungenutzten Lernmaterials

genauso wie Versorgungslücken. Durch die nicht allzu breite Öffnung der Lerninhalte war die Be-

reitstellung des Lernmaterials gerade noch zu bewerkstelligen. Sollte künftig eine Öffnung über

mehrere Kompetenzstufen und eventuell gar über mehrere Kompetenzbereiche erfolgen, ist eine

digitalisierte Lernlandschaft Voraussetzung. Im Rahmen meines Unterrichtsversuchs blieben ange-

sichts einer breiten Versorgung meinerseits am Ende leider einige Zettel ungenutzt übrig.

Gerade an der Vielfalt der Lernaufgaben und an der Qualität der Aufgaben und Lernhilfen gibt es

noch Verbesserungsbedarf. Es gilt insbesondere vermehrt Lernhilfen (Tippkarten) bereitzustellen,

welche die Gedankengänge der Schüler unterstützen, ohne dabei zu viel von der Lösung vorwegzu-

nehmen. Zudem muss darüber nachgedacht werden, inwieweit allgemeine mathematische Kompe-

tenzen in den Lernjobs noch mehr Berücksichtigung finden sollten. Zudem wäre es denkbar, diese

Kompetenzen neben den rein fachlichen auch explizit im Kompetenzraster auszuweisen.

5.5 Stellungnahme zu Leitfragen Leitfrage 1: Inwieweit lassen sich die Schüler auf selbstverantwortetes Lernen ein?

Die Schüler hatten große Freude daran, ihre individuellen Lernprozesse durch ihre eigenen Ent-

scheidungen steuern zu können. Neben diesen neu gewonnenen Freiräumen waren die Freude, an

einer innovativen Art des „Unterrichts“ mitwirken zu dürfen, sowie die Möglichkeit zum regen

Austausch mit den Mitschülern treibende Kräfte einer rundum gelungenen Lernsequenz. Freiräume

wurden nicht zu Gunsten von nicht-schulischen Aktivitäten missbraucht. Auch ohne einen Lehrer,

der exakte Vorgaben machte und den Schülern permanent auf ihre Finger schaute, arbeiteten beina-

he alle Schüler äußerst zielstrebig an ihrem individuellen Kompetenzzuwachs. Dabei setzten die

Schüler sich selber individuelle Ziele, organisierten selber ihren Lernprozess, bewerteten diesen

permanent selber und nahmen Anpassungen vor, beispielsweise wenn sie ein Ziel in einem Unter-

richtsabschnitt nicht ganz erreicht hatten und dafür noch Zeit benötigten oder wenn sie eine unge-

eignete Wahl der Lernmaterialien getroffen hatten.

Auch die von mir zur Verfügung gestellten Instrumente wurden genutzt und konnten vielen Schü-

lern bei der Gestaltung ihres individuellen Lernprozesses Unterstützung bieten. Allerdings scheint

der Umgang mit den Instrumenten für einige Schüler auch noch gewöhnungsbedürftig zu sein. Für

sie waren die Instrumente noch keine Hilfe zur Selbsthilfe, sondern wurden eher als lästiges An-

hängsel gesehen. Hier bedarf es sicherlich noch etwas Zeit und Übung zu einer effektiven Nutzung.

Im Großen und Ganzen erfreuen sich die Instrumente aber bereits einer hohen Akzeptanz.

28

Auch wenn die Schüler ihre Lernprozesse selber steuerten, empfanden sie es als hilfreich, wenn der

Lehrer bzw. Lerncoach mit einem Auge über ihre Prozesse wachte. Der Wunsch nach mehr Auto-

nomie gepaart mit dem Wunsch, doch gewisse Vorgaben zu bekommen, zeigt zwei Dinge:

Zum einen zeigt es die Skepsis einiger Schüler, einen sinnvoll gestalteten Lernprozess ganz ohne

Vorgaben eigens auf die Beine stellen zu können. In erster Linie zweifelten die Schüler wohl an

ihren organisatorischen Fähigkeiten bzw. methodischen Kompetenzen. Doch die Skepsis war unbe-

gründet: Auch wenn einige Schüler diese Selbstwirksamkeit, also den Glauben an ihre Fähigkeiten

zur Selbststeuerung noch nicht so ausgeprägt besitzen, so haben sie doch gezeigt, dass sie bereits

jetzt in der Lage sind, unter Zuhilfenahme der gegebenen Instrumente ihren Lernprozess erfolgreich

zu gestalten.

Zum anderen zeigt es, dass Ziele mit Verbindlichkeitscharakter eine höhere Erfolgswahrscheinlich-

keit besitzen. Es ist wichtig, dass die individuellen Zielsetzungen der Schüler nicht zu beliebigen

Einträgen in deren Dokumentationen verkommen. Sie müssen zu individuellen Verbindlichkeiten

werden. Bereits die Verschriftlichung der Ziele hat Verbindlichkeitscharakter. Aber dieser erhöht

sich gewaltig, wenn die Verbindlichkeit nicht ungesehen in der Tasche des Schülers verschwindet,

stattdessen der Lehrer bzw. Coach zwischenzeitlich Einsicht in die Zielsetzungen erhält. So ver-

bleibt die Entscheidungsgewalt der Zielsetzung zwar beim Schüler, aber der Lerncoach beteiligt

sich an der Kontrolle. Für die Zukunft ist es also wichtig, noch intensiver und öfter in Coaching-

Gesprächen die individuellen Verbindlichkeiten festzuhalten.

Leitfrage 2: Inwieweit ist das Lernmaterial zum selbständigen Arbeiten geeignet?

Das Lernmaterial wurde von den Schülern überwiegend gut angenommen. Es motivierte die Schü-

ler und sorgte vor allem für viele Interaktionen zwischen den Schülern, was gut ist, da an dieser

Stelle auch nicht-fachliche Kompetenzen trainiert werden. Das Material deckte grundsätzlich die

gesamte Leistungsbreite der Klasse ab, so dass trotz eines sehr heterogenen Leistungsstands für

jeden Schüler geeignetes Material zu finden war. An einige Stellen hätten die Lernaufgaben nach

Meinung der Schüler noch zahlreicher sein können. Dies hätte einigen Schülern zu einer besseren

Festigung des Erlernten verholfen. Die Lernhilfen hätten ausführlicher gestaltet sein können, nicht

immer sorgten diese für Klarheit bei den Schülern. Ausführliche verbale Erläuterungen als Ergän-

zung auf den Informations-Blättern hätten den Schülern ebenfalls weitergeholfen.

So komme ich zum Schluss, dass das Lernmaterial zwar grundsätzlich geeignet, aber in Hinblick

auf optimale Lernprozesse noch verbesserungswürdig ist. Vor allem bezüglich Menge und Ausführ-

lichkeit der Lernhilfen müssen Erweiterungen vorgenommen werden. Im Rahmen einer Evaluation

muss aber bedacht werden, dass der von einigen Schülern vorgeschlagene Umfang der Anpassung

nicht unbedingt das Optimum im Sinne nachhaltiger Lernprozesse darstellt. Es gibt sicherlich einige

Schüler, die es als Ziel sehen, möglichst schnell zur Lösung einer Aufgabe zu kommen. Aber im

29

Sinne von „Lernen lernen“ zählt auch der Weg. Gerade die Auseinandersetzung mit den Materialien

und die Kommunikation mit Klassenkameraden schulen auch die allgemeinen mathematischen so-

wie auch methodische, personelle und soziale Kompetenzen. Und insbesondere zur Förderung letz-

terer konnte in dieser Sequenz aufgrund der Gestaltung der Materialien ein gewaltiger Beitrag ge-

leistet werden.

Leitfrage 3: Inwieweit stellt sich bei den Schülern ein individueller Lernzuwachs ein?

Wie bereits in der Evaluation der Leitfrage 2 erörtert, konnte die Lernsequenz bezüglich der Förde-

rung und Verbesserung methodischer, personeller und sozialer Kompetenzen einen beträchtlichen

Beitrag leisten. Darüber hinaus zeigte insbesondere der Vergleich der beiden Testergebnisse auch

einen großen fachlichen Kompetenzzuwachs bei der gesamten Klasse.

6 Schlussbetrachtung 6.1 Zusammenfassung Individualisiertes und selbstverantwortetes Lernen stellt sowohl Lehrer als auch Schüler vor neue

Herausforderungen, vor eine grundlegende Änderung der Haltung und des Verständnisses von „Un-

terricht“. In Anbetracht dessen bewerte ich die 8-stündige Lernsequenz als durchaus gelungen. In

einem sehr angenehmen und lernförderlichen Arbeitsklima gaben die Schüler ihrem Lernprozess

unter Zuhilfenahme der bereitgestellten Instrumente eine klare Struktur. Dabei wurden auf Basis

von Selbsteinschätzungen Wissenslücken gezielt angegangen. Die Lernzeit wurde äußerst effektiv

zur Verbesserung der individuellen Kompetenzen genutzt. Die Lernprozesse wurden eigenständig

initiiert und evaluiert. Am Ende konnten die meisten Schüler einen hohen Kompetenzzuwachs ver-

zeichnen, vor allem in einer Kompetenz: Sie haben gelernt, zu lernen. Und sie hatten Spaß dabei.

6.2 Ausblick Große Systeme sind träge und finanzielle Mittel stets knapp. Dies sind Gründe, die schnelle Anpas-

sungen des Bildungssystems trotz sich permanent ändernder Anforderungen verhindern. Innovative

Schulen wie das Institut Beatenberg oder die Hamburger Max-Bauer-Schule machen uns vor, wie

man auch ohne die Anweisungen von ganz oben mit etwas Mut und viel Eigeninitiative große Ver-

änderungen bewirken kann. So wie Schüler ihre Selbstwirksamkeit für ihren Lernprozess begreifen

müssen, sollte jeder einzelne Lehrer künftig auch seine Selbstwirksamkeit im Prozess einer voran-

schreitenden Unterrichtsentwicklung erkennen. Jeder einzelne von ihnen muss nicht Betroffener,

sondern kann Beteiligter in einem Entwicklungsprozess sein. Dabei gilt es stets, die sich ändernden

Anforderungen an die Schule zu erkennen und seinen Unterricht anzupassen. Wer mitzieht, ist zwar

einem permanenten Lernprozess ausgesetzt. Dies kann auch mal mühsam sein. Er kann sich aber

sicher sein, dass weder seine Schüler, noch er selber, Frust und Lustlosigkeit ausgesetzt sein werden.

30

Literatur- und Quellenverzeichnis

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MÜLLER, ANDREAS: Dem Wissen auf der Spur. Spirit of learning. Im Internet: http://www.learningfactory.ch/downloads/dateien/artikel_lernjobs.pdf. 2003(c).

MÜLLER, ANDREAS: Sich den Erfolg organisieren. Spirit of learning. Im Internet: http://www.learningfactory.ch/downloads/dateien/artikel_layout.pdf 2003(d).

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SCHILLER, SABINE: Lernwerkstatt. Damit keiner untergeht. Sabine Schiller Verlag. Hamburg 2004.

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SIEBERT, HORST: Selbstgesteuertes Lernen und Lernberatung. Neuwied 2001.

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http://www.schule.suedtirol.it/blikk/angebote/modellmathe/ma00565.htm

Anhangsverzeichnis Kompetenzraster der H16 (als Muster)

Checkliste der Kompetenzstufe B1.1 der Funktionalen Zusammenhänge

Übersicht Instrumente für Schüler

Regeln des Kompetenzlernens für Schüler

Dokumentation (Layout)

einige ausgefüllte Dokumentationen (3 Seiten)

einige Beispiele des Lernmaterials (5 Seiten)

Schüler-Evaluationsbogen (2 Seiten)

Auswertung der Schüler-Evaluation (3 Seiten)

Evaluationstest (2 Doppelseiten)

Fotographie der Punktabfrage

einige Bilder der Lernsequenz

Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Kompetenzraster Mathematik Name:

A1 A2 B1.1 B1.2 B2.1 B2.2 C1 C2

Rec

henv

erfa

hren

Za

hlen

, Gle

ichu

ngen

, Te

rme,

Vek

tore

n, M

atriz

en Ich kann alle vier Grundre-

chenarten anwenden und einfache Gleichungen aufstellen.

Ich kann mit Dezimalzahlen rechnen und die Rechenge-setze im positiven und negativen Zahlenraum anwenden. Ich kann Gleichungen lösen und dies bei einfachen Beispielen anwenden.

Ich kann mit Brüchen und Potenzen rechnen und quadratische Gleichungen lösen. Ich kann Formeln aus Naturwissenschaft, Technik und Mathematik umformen und auflösen.

Ich kann Potenz-, Wurzel- und Logarithmengesetze anwenden. Ich kann lineare Gleichungs-systeme mit zwei Variablen und einfache Ungleichungen lösen und diese auch aus einfachen Texten aufstellen.

Ich kann Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten lösen. Komplizierte Terme kann ich auflösen und berechnen. Ich kann die Ableitungsre-geln anwenden.

Ich kann innerhalb verschie-dener Sachkontexte lineare Gleichungssysteme und komplexe lineare Ungleich-ungen aufstellen und lösen und die Lösung sachgerecht deuten. Ich kann integrieren. Ich kann mit Vektoren und Matrizen rechnen.

Ich kann verschiedene Integrationensverfahren unterscheiden und anwen-den. Ich kann ein Näherungsver-fahren z.B. zur Bestimmung von Nullstellen anwenden.

Ich kann mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik sicher umgehen. Rechenverfahren kann ich sicher auswählen und an-wenden, Fragen zur Lösbar-keit klären und die Lösung deuten. Außermathematische Problem- und Sachverhalte kann ich mathematisch modellieren und lösen.

Funk

tiona

le

Zusa

mm

enhä

nge

Ich kann einfache lineare Zusammenhänge grafisch darstellen.

Ich kann lineare Funktionen zeichnen und interpretieren.

Ich kann quadratische Funktionen zeichnen und die dazu benötigten Berechnun-gen durchführen. Einfache Zusammenhänge kann ich interpretieren.

Ich kann quadratische Funktionen zeichnen und die dazu benötigten Berechnun-gen sicher durchführen. Wachstums- und Zerfalls-prozesse kann ich zeichnen und interpretieren.

Ich kann ganzrationale Funktionen zeichnen und die dazu benötigten Berechnun-gen durchführen. Grundle-gende wirtschaftliche Zu-sammenhänge und Anwen-dungsbereiche kann ich aufzeigen.

Ich kann gebrochenrationale, trigonometrische und WurzeIfunktionen zeichnen und die dazu benötigten Berechnungen durchführen. Die wichtigsten Zusammen-hänge und Anwendungsbe-reiche der Differential- und Integralrechnung kann ich aufzeigen.

Ich kann Exponential- und Logarithmusfunktionen zeichnen und die dazu benötigten Berechnungen durchführen. Ich kann Unterschiede und Anwendungsbereiche der verschiedensten Funktionen aufzeigen.

Ich kann exponentielles, beschränktes und logisti-sches Wachstum mit den zugehörigen Funktionen erläutern und Unterschiede und Anwendungsbereiche der verschiedensten Funkti-onen aufzeigen.

Dat

en u

nd Z

ufal

l

Ich kann Diagramme und Tabellen erstellen und inter-pretieren. Ich kann absolute und relative Häufigkeiten unter-scheiden und den Mittelwert bestimmen. Ich kann einfache Zufallsex-perimente (Werfen von Münze oder Würfel) durch-führen.

Ich kann eine Umfrage durchführen und die Ergeb-nisse präsentieren. Ich kann mehrstufige Zufallsexperimente durchfüh-ren und durch ein Baumdia-gramm veranschaulichen. Ich kann einfache Wahr-scheinlichkeiten berechnen.

Ich kann mehrstufige Zufallsexperimente sicher durchführen und die Wahr-scheinlichkeit mit Hilfe der Pfadregeln (Produkt- und Summenregel) berechnen.

Ich kann Probleme aus der Umwelt für statistische Un-tersuchungen vereinfachen und strukturieren. Ich kann die verschiedenen Urnenmodelle unterscheiden und die Wahrscheinlichkei-ten mit vertieften kombina-torischen Überlegungen berechnen.

Ich kann bedingte Wahr-scheinlichkeiten berechnen und den Satz von Bayes anwenden. Ich kann den Erwartungs-wert, die Varianz und Standardabweichung (von z.B. normal- und binomial-verteilten Daten) berechnen und erläutern.

Ich kann feststellen, inwie-weit reale Vorgänge zufällig sind (u.a. stochastische Unabhängigkeit, Bernoulli-Ketten). Ich kann Hypothesen testen.

Ich kann Zufallsgrößen und Kennwerte berechnen und ihre Verteilung bestimmen. Ich kann die Sicherheit einer Hypothese überprüfen (Signifikanzniveau) und das Ergebnis interpretieren.

Ich kann deskriptive Zeit-reihenanalysen durchführen unter Berücksichtigung der Trend- und Saisonkompo-nente. Ich kann Prognosen durch-führen.

Eben

e un

d R

aum

G

eom

etrie

, an

alyt

isch

e G

eom

etrie

Ich kann die geometrischen Eigenschaften der wich-tigsten Flächen und Körper beschreiben und klassifizie-ren. Ich kann mit Flächen- und Raummaßen umgehen.

Ich kann Flächen und Körper darstellen und berechnen. Ich kann den Satz des Pythagoras anwenden.

Ich kann die Formeln zur Flächeninhalts- und Volu-menberechnung sicher anwenden.

Ich kann besondere Linien im Dreieck, Viereck und Beziehungen am Kreis benennen und graphisch verdeutlichen. Ich kann Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel in der Umwelt identifizieren und beschreiben.

Ich kann die Eigenschaften von Tangente, Sekante und Normale benennen.

Ich kann den Flächeninhalt nicht gradlinig begrenzter Flächen mit Hilfe der Integralrechnung ermitteln. Ich kann Vektoren zeichnen und ihre Länge berechnen. Ich kann im Raum Geraden und Ebenen beschreiben.

Ich kann die lineare Abhän-gigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren beschreiben und berechnen. Ich kann im Raum Geraden und Ebenen beschreiben und feststellen, wie sie zueinander in Beziehung stehen.

Ich kann zwischen kartesi-schen Koordinaten und Kugelkoordinaten unter-scheiden und umfassende Berechnungen auf der Kugeloberfläche durchfüh-ren.

Med

ien

Ich kann die einfacheren Funktionen (Grundrechenar-ten) eines Taschenrechners fehlerfrei bedienen.

Ich kann die grundlegenden Funktionen eines Taschen-rechners bedienen und Klammern, Brüche und Wurzeln sicher eingeben und berechnen.

Ich kann komplexere Funk-tionen (z.B. cos, log) des Taschenrechners bedienen und auch Exponenten höheren Grades (z.B. 35 ) sicher eingeben und berech-nen.

Ich kann den Computer zur Recherche einsetzen. Mit Hilfe des Computers kann ich Daten aufbereiten und graphisch darstellen (z.B. Excel). Ich kann am Computer die Graphen von einfachen Funktionen darstellen.

Ich kann mit Hilfe des Computers mathematische Symbole und Formeln sowie Graphiken erstellen und in Texten (Referate, hand-outs) einbauen. Ich kann mit Hilfe eines CAS einfache Berechnungen durchführen.

Ich kann mit dem Computer Funktionen zeichnen und berechnen. Ich kann mit einem CAS umfassende Berechnungen (z.B. Ableitungen, Integrale, Matrizen) durchführen und mathematische Ideen und Grundvorstellungen visuali-sieren.

Ich kann den Computer als Hilfsmittel zum Lösen mathematischer Probleme einsetzen.

Ich kann mit dem Computer Berechnungen aller Art durchführen und komplexe mathematische Problemstel-lungen sowie außermathe-matische Sachverhalte grafisch darstellen und lösen.

A1 A2 B1.1 B1.2 B2.1 B2.2 C1 C2

Mathematik: Funktionale Zusammenhänge Kompetenzstufe B1.1 Gesamtzeit: Name: Klasse: Datum:

Auswahl des Lernmaterials erledigen erledigt

Ich habe keine Ahnung Ich habe noch Lücken Kann ich gut Ich kann quadratische Funktionen zeichnen und die dazu benötigten Berechnungen durchführen. Einfache Zusammenhänge kann ich interpretieren.

Vor-aus-setz-ung

Input

Ich schaffe mir eine Basis und bearbeite zur Festigung:

Ich informiere mich und bearbeite:

Ich kann meine Kenntnisse nachweisen durch:

am bis am OK

einen Derive-Nachweis (1) Ich kann für quadratische Funktionen die Wertetabelle aufstel-len, den Graphen von Hand und mit dem PC zeichnen und die Schnittpunkte mit den Koordinaten-achsen (Schnittpunkt mit der y-Achse, Nullstelle) bestimmen sowie die Polynomdarstellung von der Linearfaktordarstellung unterscheiden.

Deriv

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• AB Quadratische Funk-tionen 1

• AB Quadratische Funk-tionen 2

• AB Quadratische Funk-tionen 7 (Derive)

eine selbst gestellte Aufgabe mit Musterlösung mit Be-standteilen: Umformung Linearfaktor- in Polynomdar-stellung, Berechnung Schnittpunkte x- und y-Achse, Zeichnung.

(2) Ich kann die charakteristischen Eigenschaften einer quadrati-schen Funktion und insbesondere die der Normalparabel (f(x) = x2) benennen und nutzen.

• INFO Quadratische Funktionen 1 + 2

• AB Quadratische Funk-tionen 3

(3) Ich kann Bedeutung und Zusammenhang der Parameter a, b und c einer quadratischen Funktion f(x) = ax2 + bx + c erläutern.

(2) • INFO Quadratische Funktionen 1 + 2 + 3

• AB Quadratische Funk-tionen 3

• AB Quadratische Funk-tionen 4

ein selbst entwi-ckeltes Merkblatt (mit Zeichnung), welches die Zu-sammenhänge der Parameter a, b und c einer quadr. Funktion anhand von eigenen Beispielen erläu-tert.

(4) Ich kann den Scheitelpunkt einer Normalparabel zeichnerisch und rechnerisch ermitteln, die Koordinaten angeben und unter-scheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

(3) • INFO Quadratische Funktionen 3

• Tafelwerk S. 19

• AB Quadratische Funk-tionen 5 (Nr. 7b)

eine selbst gestell-te Aufgabe mit Musterlösung mit Bestandteilen: zeichnerischer und rechnerische Ermittlung eines Hochpunktes.

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Zusatzaufgaben:

(5) Ich kann eine Verschiebung der Normalparabel auf den Koordi-natenachsen durch eine Funktionsgleichung beschreiben.

• INFO Quadratische Funktionen 3

• AB Quadratische Funk-tionen 5 (Nr. 1-4)

(6) Ich kann eine quadratische Funktion von der Polynomform in die Scheitelpunktform (f(x) = a(x - u)2 + v) überführen und umgekehrt.

• INFO Quadratische Funktionen 3

• AB Quadratische Funk-tionen 5 (Nr. 5-7a)

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli

Die Instrumente des Kompetenzlernens

Instrumente des Kompetenzlernens.doc

Die Instrumente des Kompetenzlernens

Die Kompetenzraster Kompetenzraster wurden an unserer Schule entwickelt zu den Fächern Deutsch, Englisch und Mathematik.

Das Kompetenzraster Mathematik gibt Dir einen Überblick über die fünf Kompetenzbereiche sowie die acht Kompetenzstufen von A1 bis C2. Anhand der Bepunktung der Kompetenzfelder kannst Du sehen, welche Stufen Du bereits erreicht hast (rote Punkte) und wie Dein Bearbei-tungsstand der folgenden Stufe ist (grüne Punkte).

Die Checklisten Die Checklisten erläutern die Kompetenz, also was Du können musst, nachdem ein Kompe-tenzfeld erfolgreich bearbeitet wurde. Hier sind auch Hinweise zum Lernmaterial hinterlegt so-wie zu geforderten Ergebnissen für eine erfolgreiche Bepunktung der Kompetenzfelder.

Das Lernmaterial Das Lernmaterial besteht aus Büchern (z.B. Formelsammlung), Info-, Aufgaben- und Lösungs-Blättern, welches Ihr Euch ausleihen dürft. Mitunter liegen auch einige Kopien von Aufgaben-blättern (graues Papier) für Euren eigenen Ordner bereit.

Das Dokumentationssystem Hier sollt Ihr Euch zu Beginn des Tages bzw. der Woche Ziele formulieren, die Ihr Euch für den Tag bzw. die Woche setzen wollt. Dabei soll auch dokumentiert werden, welches Lernma-terial Ihr für die Erreichung Eurer Ziele auswählt. Nach getaner Arbeit sollt Ihr überprüfen und dokumentieren, ob oder inwieweit Ihr Eure Ziele erreicht habt.

Hier ist zudem auch Platz für weitere Anmerkungen, Anregungen für den Lehrer etc.

In regelmäßigen Abständen wird der Lehrer Eure Dokumentation einsammeln. Sie ist Grund-lage für Lernstandsgespräche.

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli

Regeln

Regeln.doc

Regeln des Kompetenzlernens

Hilfe, ich weiß nicht weiter!

In dieser Reihenfolge:

1. Eigene Aufzeichnungen, Bücher, Formelsammlungen etc. zu Hilfe nehmen.

2. Zunächst zu zweit, dann in der Gruppe nach einer Lösung suchen.

3. Ausgelegte Info-Blätter bzw. Tippkarten benutzen

4. Einen Experten (Klassenkameraden, der Aufgabe bereits erfolgreich bearbeitet hat) befragen.

5. ….

6. Den Lehrer nach Tipps und Lösungsansätzen befragen (Wenn der Lehrer bereits im Gespräch ist: Na-men an die Tafel schreiben und warten, bis ich an der Reihe bin.).

Wie gehe ich mit dem Lernmaterial um?

• Folien mit Aufgabenblättern lasse ich möglichst im Ordner, lege ansonsten schnellst möglich wieder zu-rück in die Ordner, damit meine Klassenkameraden nicht danach suchen müssen.

• Zettel dürfen nicht aus Folien genommen werden

• Material zum Mitnehmen liegt gesondert aus (i.d.R. graues Papier)

• Am Ende der Stunde lege ich das Lernmaterial, also auch Bücher (Formelsammlungen) in die Schränke bzw. auf das Pult, damit der Lehrer es mitnehmen kann.

Wer ist verantwortlich?

• Jeder räumt am Ende der Stunde seine Materialien zurück.

• Der Klassendienst hat zudem die Aufgabe des „Materialwächters“, d.h. er hat am Ende noch einmal eine Runde zu machen.

• Jeder hilft mit beim Tische räumen

Was habe ich sonst noch zu beachten?

• Ich flüstere, wenn ich rede, damit die anderen nicht gestört werden

• Ich darf zwischendurch etwas trinken

• ….

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Name: Datum (Woche):

Funktionale Zusammenhänge B1.1 Quadratische Funktionen Dokumentation (Wochenplan)

Lies noch einmal im Kompetenzraster den Inhalt des Feldes „Funktionale Zusammenhänge auf Stufe B1.1“ sowie die Lerninhalte der zugehörigen Checkliste.

Nehmen wir eine Skala von 1 bis 10. Dabei bedeutet 10, dass Du die angeführten Inhalte vollständig beherrschst, 1 steht dafür, dass Du Dich mit dem Thema zum ersten Mal beschäftigst.

1. Markiere mit einem Kreuz, wo Du jetzt gerade stehst zwischen 1 und 10.

2. Markiere mit einem weiteren Kreuz, wie weit Du in den 8 Stunden in dieser Woche kommen willst.

Einsteiger Könner Experte

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mittwoch, 1.+ 2. Stunde Mittwoch, 7.+ 8. Stunde Donnerstag, 1.+ 2. Stunde Donnerstag, 3.+ 4. Stunde

Stundenziel:

Das möchte ich in dieser Doppelstun-

de lernen:

Arbeitsweise:

Das werde ich dafür tun, um mein

Lernziel zu erreichen (z. B. dazu

arbeite ich an / in / mit ):

Stundenziel … □ erreicht

□ zum Teil erreicht

□ nicht erreicht

□ erreicht

□ zum Teil erreicht

□ nicht erreicht

□ erreicht

□ zum Teil erreicht

□ nicht erreicht

□ erreicht

□ zum Teil erreicht

□ nicht erreicht

Anmerkung: Aha-Erlebnis, Erkenntnis

(z. B.: was hat mir geholfen / war

hinderlich), Kompliment etc.

So war die Stunde für mich:

□ bin zufrieden mit Ergebnis

□ unentschlossen / weder noch

□ bin nicht zufrieden mit Ergebnis

□ bin zufrieden mit Ergebnis

□ unentschlossen / weder noch

□ bin nicht zufrieden mit Ergebnis

□ bin zufrieden mit Ergebnis

□ unentschlossen / weder noch

□ bin nicht zufrieden mit Ergebnis

□ bin zufrieden mit Ergebnis

□ unentschlossen / weder noch

□ bin nicht zufrieden mit Ergebnis

Fasse Dein Wochenziel zusätzlich noch einmal in Worte. „Das möchte ich am Ende dieser Woche gelernt haben:“

Ich habe mein Wochenziel:

□ erreicht

□ zum Teil erreicht

□ nicht erreicht

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Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Name: Datum:

Funktionale Zusammenhänge B1.1 AB Quadratische Funktionen 1 Aufgaben

1. Definition:

Eine Funktion f mit f x ax bx c( ) = + +2 mit a ≠ 0 heißt quadratische Funktion. Ihr Graph heißt Parabel.

Beispiel:

1. Fülle die Wertetabelle aus und zeichne die Parabel.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

2. Ermittle die Nullstellen ( = Stellen, an denen der Graph von f die Abszisse schneidet bzw. berührt).

a. durch Ablesen: x1 = .................. und x2 = ..................... b. durch Berechnen mit dem Ansatz f(x) = 0

3. Stelle fest: Die Parabel ist nach ......................... (oben/unten) geöffnet. 4. Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy ( 0 / ) mit dem Ansatz x=0 5. Wichtige Darstellungsformen der quadratischen Funktion sind:

a. Die Polynomdarstellung

f x x x( ) = − + +14

32

b. Die Linearfaktordarstellung

f x x x( ) ( )( )= − + −14

2 6

Zeige durch Ausmultiplizieren der Linearfaktordarstellung, dass beide Darstellungsfor-men dieselbe Funktion ausdrücken.

Im Stillen Ozean treibt ein U-Boot. Es schießt eine Rakete ab.

Der Weg eines Wurfge-schosses ist stets para-belförmig.

Gehe davon aus, dass der Weg der Rakete durch die Funktion f be-schrieben wird mit

f x x x( ) = − + +14

32

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Name: Datum:

Funktionale Zusammenhänge B1.1 INFO Quadratische Funktionen 1 INFO

FZ B11 INFO Quadratische Funktionen 1.doc

Quadratische Funktionen der Form f(x)=ax²

Der Graph der Funktion f(x)=ax² ist eine gedehnte oder gestauchte Normalparabel.

Wir unterscheiden:

a > 1: gedehnte Normalparabel a = 1: Normalparabel 0 < a < 1: gestauchte Normalparabel a < 0: Die Parabel ist an der x-Achse gespiegelt.

Wir schauen uns die folgenden Funktionen an, die durch die nachstehenden Funktionsglei-chungen festgelegt sind:

Beispiele: y = 2x² y = x²

y = 21 x²

y = 21

− x²

Die Koordinaten für jeden Graphen kann man mit Hilfe von Wertetabellen bestimmen. Du hast die Wertetabellen beim Thema Lineare Funktionen kennengelernt.

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Name: Datum:

Funktionale Zusammenhänge B1.1 AB Quadratische Funktionen 4 Aufgaben (2 S)

FZ B11 AB Quadratische Funktionen 4.doc 1

Die Funktion y = ax² + c

Zeichne mit Hilfe von Wertetabellen die Funktionen. Was stellst du fest? 1. a) y = x² + 1 b) y = x² + 3 c) y = x² – 2 d) y = x² – 1,5

Zeichne mit Hilfe der Normalparabel die folgenden Funktionen. 2. a) y = x² + 2,5 b) y = x² – 4 c) y = x² – 1,2 d) y = x² + 5

Bestimme die Funktionsgleichungen zu den vier folgenden Parabeln. a)

b)

3.

c)

d)

Zeichne die Grafen von wenigstens zwei der nachfolgenden Funktionen. Wel-che Parabeln sind gestreckt, welche gestaucht? a) y 2x²= b) y = 3x² c) y = –2x² d) y 3x²= −

4.

e) 1y x²2

= f) 1y x²3

= g) 1y x²4

= − h) 3y x²2

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Zeichne wenigstens zwei Grafen der nachfolgenden Funktionen. Welche Koor-dinate hat der Scheitelpunkt der jeweiligen Parabel? a) y = 2x² + 2 b) y = 3x² – 4 c) y = –2x² + 2 d) y = –3x² + 5

5.

e) 1y x² 13

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= − h) 1y x² 42

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Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Name: Datum:

Funktionale Zusammenhänge B1.1 AB Quadratische Funktionen 6 Aufgaben

FZ B11 AB Quadratische Funktionen 6.doc

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Name: Datum:

Funktionale Zusammenhänge B1.1 Quadratische Funktionen 7 Aufgaben

FZ B11 AB Quadratische Funktionen 7.doc

Aufgaben mit Derive

Verwende für jede der sechs Aufgaben ein eigenes Derive-Arbeitsblatt. Beginne auf jedem Arbeitsblatt mit Dei-nem Namen sowie der Nummer der Aufgabe. Ergänze zudem auf diesem Arbeitsblatt die Lücken.

1. a) Zeichne die ____________parabel 2xy = .

b) Zeichne die auf der y-Achse um eine Einheit nach oben verschobene Parabel.

c) Verschiebe die Normalparabel 2xy = auf der y-Achse um drei Einheiten nach unten.

d) Bei einer Verschiebung der Normalparabel entlang der y-Achse nimmt der Parameter a der in Poly-nomdarstellung gegebenen allgemeinen Funktionsgleichung cbxaxy ++= 2 den Wert _____ an, b hat den Wert _____. Anhand des Parameters _____ lässt sich die Verschiebung ablesen.

2. a) Zeichne erneut die Normalparabel sowie eine gestreckte (gedehnte) Parabel, die durch den Ursprung sowie durch die Punkte )2/1(1 −P sowie )2/1(2P verläuft.

c) Zeichne eine weitere gestreckte Parabel, die durch den Ursprung sowie durch die Punkte )3/1(1 −P

und )3/1(2P verläuft.

d) Zeichne eine weitere gestreckte Parabel, die durch den Ursprung sowie durch die Punkte )4/1(1 −P

und )4/1(2 −P ) verläuft.

e) Zeichne eine gestauchte Parabel, die durch den Ursprung sowie durch )21/1(1 −P und )

21/1(1P ver-

läuft.

f) Zeichne eine ______________________ Parabel, die durch den Ursprung sowie durch die Punkte )3/3(1 −P ) sowie )3/3(1P verläuft.

3. a) Zeichne die Parabel 2

21 xy = und spiegel den Graphen an der x-Achse. Die gespiegelte Parabel ist

nach ______________ geöffnet.

b) Verschiebe die zuletzt gezeichnete Parabel um zwei Einheiten nach oben.

4. a) Zeichne eine nach oben geöffnete Normalparabel, welche die x-Achse bei 1−=x sowie 3=x schneidet. (Tipp: Linearfaktordarstellung)

b) Zeichne erneut eine nach oben geöffnete Normalparabel, diesmal mit Nullstellen bei 0=x sowie 2=x .

c) Zeichne eine nach oben geöffnete Normalparabel, mit einziger Nullstelle bei 1=x . (Tipp: Doppelte Nullstelle !)

d) Forme die drei Gleichungen der Aufgabenteile a), b) und c) von der Linearfaktordarstellung in die Po-lynomdarstellung um.

5. a) Zeichne eine Normalparabel mit Scheitelpunkt )21/1(SP . (Tipp: Nutze die Scheitelpunktform, indem

Du das Ergebnis aus Aufgabe 4c als Zwischenergebnis nimmst und anschließend diese Parabel um eine halbe Einheit nach oben verschiebst).

b) Zeichne durch gleiches Vorgehen eine gestauchte und nach unten geöffnete Parabel mit dem Schei-telpunkt )1/1(−SP . Die Gleichung hierfür lautet: =y ________________________________.

6. Berechne die Nullstellen der Funktion 5069

2011

21 2 −−= xxy mit dem Ansatz ____________________.

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Datum:

Evaluationsbogen Kompetenzlernen

1

Evaluationsbogen Nehmen wir in Anlehnung an die Schulnoten eine Skala von 1 bis 6. Dabei bedeutet eine 1 „Ich stimme der Aus-sage voll und ganz zu“, eine 6 bedeutet: „ Der Aussage stimme ich ganz und gar nicht zu.“

Selbstverantwortung

1 2 3 4 5 6

Ich habe die Dokumentation stets (vor und nach Stunde) gewissenhaft ausgefüllt.

Ich habe mir ehrgeizige Ziele gesetzt.

Es ist mir leicht gefallen, meine Stunden- und Wochenziele in Worte zu fassen.

Die Dokumentation hat mich motiviert und unterstützt, zielgerichtet zu arbeiten.

Zur Erreichung meiner Ziele habe ich mir zielgerichtet Materialien gesucht.

Die Checkliste hat mir bei der zielgerichten Auswahl geholfen.

Ich habe sehr konzentriert gearbeitet und die Lernzeit effektiv genutzt.

Wenn ich mal nicht weiter wusste, habe ich nicht aufgegeben und mich aktiv be-müht, mit den Lernhilfen und der Hilfe meiner Mitschüler zur Lösung zu kommen.

Ich habe mich in den 8 Stunden oft gefragt, wie ich mein Lernverhalten noch verbessern kann, um noch effektiver zu lernen.

Ich finde es gut, dass ich ohne Vorgabe des Lehrers allein entscheiden kann, woran, wieviel, bis wann und mit wem ich was erarbeite.

Ich finde es besser, wenn der Lehrer mir konkrete Vorgaben macht, z. B., was ich bis wann zu erarbeiten habe.

Mein eigener Lernerfolg ist mehr sehr wichtig.

Sämtliche bisher im Kompetenzunterricht erhaltenen Materialien habe ich fein säuberlich und gewissenhaft abgeheftet.

Lernmaterial

1 2 3 4 5 6

Ich habe für mich geeignetes Lernmaterial gefunden, das mich genau auf meinem Leistungsstand „abholt“ hat.

Die Lernhilfen (Formelsammlung, Info-Blätter, Lösungsansätze, Tipp-Karten, Lö-sungen) haben mir geholfen, wenn ich mal nicht weiter wusste.

Manchmal hätte ich mir noch ausführlichere Lernhilfen gewünscht.

Die Aufgaben haben mich motiviert.

Ich konnte die meisten Aufgaben ohne Hilfe des Lehrers lösen.

Lernzuwachs

1 2 3 4 5 6

Ich habe durch das Kompetenzlernen im Themenbereich „Quadratische Funktio-nen“ merklich Lernfortschritte gemacht.

Ich bin sehr zufrieden mit meinem Lernerfolg.

2

Allgemein

1 2 3 4 5 6

Mir bringt das Kompetenzlernen Spaß.

Das Sammeln von Checkpunkten verleiht meinem Lernen zusätzlichen Ansporn.

Die Arbeitsatmosphäre im Klassenraum empfand ich als sehr lernförderlich.

Die Mischung aus selbstorganisierter Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit sowie notwendigen Input-Phasen (z. B. bei Derive durch den Lehrer) empfand ich als lernförderlich.

Der Einsatz des Computers war sehr hilfreich und lernförderlich.

Ich könnte vollständig auf den „herkömmlichen“ Unterricht verzichten und würde in Mathematik lieber nur noch Kompetenzlerntage haben.

Sonstiges

An dem Kompetenzlernen fand ich gut:

An dem Kompetenzlernen sollte man verbessern:

1

Auswertung Evaluationsbogen

Selbstverantwortung

1 2 3 4 5 6

Ich habe die Dokumentation stets (vor und nach Stunde) gewissenhaft ausgefüllt. 10 5 5 2 1

Ich habe mir ehrgeizige Ziele gesetzt. 11 7 5 1

Es ist mir leicht gefallen, meine Stunden- und Wochenziele in Worte zu fassen. 6 7 11

Die Dokumentation hat mich motiviert und unterstützt, zielgerichtet zu arbeiten. 4 8 8 1 2 1

Zur Erreichung meiner Ziele habe ich mir zielgerichtet Materialien gesucht. 4 9 5 2 1 3

Die Checkliste hat mir bei der zielgerichten Auswahl geholfen. 3 9 4 4 2 2

Ich habe sehr konzentriert gearbeitet und die Lernzeit effektiv genutzt. 9 7 5 1 1

Wenn ich mal nicht weiter wusste, habe ich nicht aufgegeben und mich aktiv be-müht, mit den Lernhilfen und der Hilfe meiner Mitschüler zur Lösung zu kommen.

11 6 6 1

Ich habe mich in den 8 Stunden oft gefragt, wie ich mein Lernverhalten noch verbessern kann, um noch effektiver zu lernen.

6 7 9 2 1

Ich finde es gut, dass ich ohne Vorgabe des Lehrers allein entscheiden kann, woran, wieviel, bis wann und mit wem ich was erarbeite.

13 6 1 1 1 2

Ich finde es besser, wenn der Lehrer mir konkrete Vorgaben macht, z. B., was ich bis wann zu erarbeiten habe.

2 3 7 7 3 2

Mein eigener Lernerfolg ist mehr sehr wichtig. 17 6 1

Sämtliche bisher im Kompetenzunterricht erhaltenen Materialien habe ich fein säuberlich und gewissenhaft abgeheftet.

6 7 8 3

Lernmaterial

1 2 3 4 5 6

Ich habe für mich geeignetes Lernmaterial gefunden, das mich genau auf meinem Leistungsstand „abholt“ hat.

8 7 6 3

Die Lernhilfen (Formelsammlung, Info-Blätter, Lösungsansätze, Tipp-Karten, Lö-sungen) haben mir geholfen, wenn ich mal nicht weiter wusste.

6 7 1 2 5 3

Manchmal hätte ich mir noch ausführlichere Lernhilfen gewünscht. 12 3 1 4 2 2

Die Aufgaben haben mich motiviert. 5 8 4 2 4 1

Ich konnte die meisten Aufgaben ohne Hilfe des Lehrers lösen. 7 6 8 2

Lernzuwachs

1 2 3 4 5 6

Ich habe durch das Kompetenzlernen im Themenbereich „Quadratische Funktio-nen“ merklich Lernfortschritte gemacht.

7 9 4 1 3

Ich bin sehr zufrieden mit meinem Lernerfolg. 9 6 4 2 1 1

2

Allgemein

1 2 3 4 5 6

Mir bringt das Kompetenzlernen Spaß. 11 8 4 1

Das Sammeln von Checkpunkten verleiht meinem Lernen zusätzlichen Ansporn. 5 9 5 3 1 1

Die Arbeitsatmosphäre im Klassenraum empfand ich als sehr lernförderlich. 9 7 3 3 1

Die Mischung aus selbstorganisierter Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit sowie notwendigen Input-Phasen (z. B. bei Derive durch den Lehrer) empfand ich als lernförderlich.

17 4 3 1

Der Einsatz des Computers war sehr hilfreich und lernförderlich. 10 7 2 1

Ich könnte vollständig auf den „herkömmlichen“ Unterricht verzichten und würde in Mathematik lieber nur noch Kompetenzlerntage haben.

5 1 7 4 2 5

Schülerantworten unter „Sonstiges“ (wortwörtlich):

An dem Kompetenzlernen sollte man verbessern:

• „noch hilfreichere Materialien sollten organisiert werden“

• „mehr Pausen“ / „ein paar Zwischenpausen“ / „8 Stunden zu viel“

• „manchmal wurde etwas zu laut geredet“ / „die Klasse sollte ruhiger sein“ / „Alle Schüler rausschmeißen, die stören.“

• „Man sollte in mehreren Räumen arbeiten, da es sonst zu laut wird mit der großen Klasse. Man wird dann zu unkonzentriert.“

• „mehr Material (Aufgaben) zum Festigen“ / „bessere + mehr Info-Blätter“

• „Neben den Lösungen auch noch mehr Erklärungen, wie man es machen muss“

• „Sie sollten öfter kommen und fragen, ob wir Fragen haben.“

• „Einen oder zwei zusätzliche Lehrer als Ansprechpartner.“

• „Ich fand das super. Meiner Meinung nach kann man nichts mehr verbessern, weil es schon sehr schön war.“ / „zu verbessern gab es nicht viel.“

• „Ich fand das Kompetenzlernen zu viel. Ich lerne auch nicht so viel durch den Kompetenzlerntag, es ist bes-ser, wenn es der Lehrer beibringt.“

• „Unterricht finde ich besser“

• „Man sollte noch mehr mit dem Computer arbeiten.“

• „Mich persönlich hat der viele Schreibkram für die Dokumentation genervt.“

3

An dem Kompetenzlernen fand ich gut:

• „selbständiges Arbeiten“ / „die Entscheidung liegt bei mir, was ich lernen wollte“

• „Es hat vor allem Spaß gemacht, da man freier war und mehr Eigenverantwortung besaß.“

• „Es war nicht so ein Unterricht, wie es jeder macht, denn das war was Neues.“

• „1. Zielsetzung – 2. Durchführung / Umsetzung – 3. Selbstkontrolle. Hierbei habe ich gelernt, wie man sich Ziele setzt, was ich dafür tun muss, um dieses Ziel zu erreichen, und wie ich mich selbst kontrolliere.“

• „zielorientiert arbeiten zu können“

• „dass man auf sich allein gestellt ist. Man muss versuchen, selber zu lernen und sich deswegen Mühe geben, damit man lernen kann.“

• „kein Druck“ / „kein Zeitdruck“ / „kein Zeitlimit“ / „sich die Zeit selber einteilen dürfen“ / „selber Pausen bestim-men“

• „dass wir in Ruhe lernen konnten“

• „jeder hat den anderen geholfen, wo er konnte“ / „Schüler erklären Schülern“ / „alle Schüler waren sehr hilfs-bereit“

• „dass wir in Gruppen arbeiten durften“ / „Mit Klassenkameraden zusammen lernen ist super.“

• „das Arbeiten fand durch die Gestaltung in einer sehr lockeren und entspannten Atmosphäre statt“

• „die Aufgaben“ / „Das Lernmaterial war sehr gut. Man hat gemerkt, dass Sie sich Mühe gegeben haben!“

• „für jeden geeignete Aufgaben.“

• „den Input“

• „Acht Stunden Mathe in zwei Tagen habe ich mir viel schlimmer vorgestellt“ / „8 Stunden gingen relativ schnell um.“

• „wenn man nicht mehr weiter wusste, konnte man nochmal nachschlagen und schon ging`s weiter“

• „dass wir richtig viel Mathe hatten, Mathe ist mein Lieblingsfach.“

• „dass ich Lernfortschritte im Themenbereich Quadratische Funktionen gemacht habe.“

• „Wir wussten, auf welchem Stand wir stehen und konnten uns in das Thema steigern oder auffrischen. Im normalen Unterricht würden einige nicht mitkommen, aber jetzt konnte jeder für sich arbeiten und sein Ziel er-reichen. Also ich hätte nichts dagegen, wenn wir noch noch solche Unterrichtsstunden haben“

Mathematik Wirtschaftsgymnasium St. Pauli Name: Datum:

Funktionale Zusammenhänge B1.1 Quadratische Funktionen 1 Evaluationstest 1

Evaluationstest

1)

Gegeben sei die Funktion 2)( axxf = . Was gibt der Parameter a an?

a. □ Wie weit der Graph auf der x-Achse nach links oder rechts verschoben ist.

b. □ Die Verschiebung des Graphen auf der y-Achse nach oben oder unten.

c. □ Die Steigung des Graphen an der Stelle x.

d. □ Die Stauchung oder Streckung des Graphen und die Öffnung nach oben oder unten.

2) Gegeben sei die Funktion caxxf += 2)( . Was gibt der Parameter c an?

a. □ Wie weit der Graph auf der x-Achse nach links oder rechts verschoben ist.

b. □ Die Verschiebung des Graphen auf der y-Achse nach oben oder unten.

c. □ Die Steigung des Graphen an der Stelle x.

d. □ Die Stauchung oder Streckung des Graphen und die Öffnung nach oben oder unten.

3) Gegeben sei die Funktion 4

31)( 2 −= xxf . Der Graph ist gegenüber der Normalparabel:

a. □ gestreckt + nach oben verschoben + nach unten geöffnet

b. □ gestreckt + nach unten verschoben + nach oben geöffnet

c. □ gestaucht + nach unten verschoben + nach oben geöffnet

d. □ gestaucht + nach unten verschoben + nach unten geöffnet

4) Gegeben sei die Funktion 22)( 2 −−= xxxf . Um sie zu zeichnen, hat Ralf eine Wertetabelle erstellt:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

)(xf

19 8 1 -2 -3 4 13

Ein Kästchen hat Ralf allerdings vergessen, welchen Wert muss er dort eintragen?

a. □ 26 b. □ 4 c. □ -3 d. □ 19

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Funktionale Zusammenhänge B1.1 Quadratische Funktionen 1 Evaluationstest 1

5) Gegeben sei die Funktion )1()2(4)( −⋅+⋅= xxxf in Linearfaktordarstellung. Was kann ohne Rechnen sofort abgelesen werden?

a. □ Der Scheitelpunkt b. □ Die Nullstellen

c. □ Schnittpunkt mit y-Achse d. □ Das Steigungsdreieck

6) Wie viele Nullstellen hat der der Graph der Funktion 32

21)( 2 += xxf ?

a. □ keine b. □ eine c. □ zwei d. □ drei

7) Welcher Graph ( Kennzeichnung a, b, c oder d ) passt zu der Funktion 2)( 2 −= xxf ?

a. □

b. □

c. □

d. □

a b c

d

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Funktionale Zusammenhänge B1.1 Quadratische Funktionen 1 Evaluationstest 1

8) Wie lautet die Funktionsgleichung zu dem abgebildeten Graphen?

a. □ 2)3()( += xxf b. □ 3)( 2 −= xxf

c. □ 3)( 2 += xxf d. □ xxxf 3)( 2 −=

9) Wie lautet die Funktionsgleichung zu dem abgebildeten Graphen?

a. □ 24)( 2 ++= xxxf b. □ 2)4()( 2 +−= xxf

c. □ 42)( 2 += xxf d. □ 2)4()( 2 −+= xxf

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Funktionale Zusammenhänge B1.1 Quadratische Funktionen 1 Evaluationstest 1

10) Welche Aussage über die Graphen der Funktionen 2

21)( 2 −= xxf und

2101)( 2 −−= xxg ist richtig?

a. □ Beide Graphen sind gegenüber der Normalparabel 2xy = gestreckt.

b. □ Der Graph von )(xf ist nach unten geöffnet.

c. □ Beide Graphen schneiden die x -Achse genau zweimal.

d. □ )(xf und )(xg schneiden sich nicht, berühren sich aber im Punkt ( )2;0 −

Bitte gib an dieser Stelle eine kurze Stellungnahme zur eigenen Einschätzung ab:

„Ich empfand die Aufgaben als für mich…

□ … durchweg

sehr leicht.“ □ … gut lösbar.“ □ … mit Mühe

zu bewältigen.“ □ … zum Teil

etwas zu schwer.“ □ … überwie-

gend zu schwer.“ □ … durchweg

unlösbar.“

Möglichkeit zum Kommentar (z. B. welche Aufgabe besonders schwierig oder besonders leicht war):

Schüler-Evaluation 1 (Punktabfrage)