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Bruckenkurs Mathematik
Vorlesung
Logik, Mengen, Zahlen
Kai Rothe
Technische Universitat Hamburg
Tagesablauf
9:00 - 10:30 Vorlesung Audimax I10:30 - 11:00 Pause11:00 - 11:45 Vorlesung/Ubungsbeispiele
12:15 - 13:45 Losen von Ubungsaufgaben Ubungsraume(Begleitet durch Tutoren)
14:00 - 15:30 Losungsbesprechung Audimax Ider Ubungsaufgaben
UbungsraumeD-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,
D 1021, D 1023, D 2022,H-SBC5: H0.01-H0.10N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,
Prasenzbruckenkurs: Aktuelles und Lehrmaterial
www.math.uni-hamburg.de/home/rothe/vorkurs19/index.html
Online Mathematik Bruckenkurs (OMB+):
www.ombplus.de/ombplus/public/index.html
MINTFIT - Test:
http://www.mintfit.hamburg
Aussage , Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Junktoren, Wahrheitstafeln . . . . . . . . . . . . . 3
Aussageformen, Quantoren . . . . . . . . . . . . . . 11
Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Naturliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Teiler, Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . 23
Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Produktzeichen, Fakultat . . . . . . . . . . . . . . . 27
Binomialkoeffizienten, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Potenzen mit Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . 33
Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ordnungseigenschaften in IR . . . . . . . . . . . . 35
Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Betrag, Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 1
Aussagenlogik
Die kleinste Einheit der Aussagenlogik ist die Aussage.
Aussage
Eine Aussage ist eine sprachliche Formulierung (in derRegel ein grammatikalisch korrekter Satz) fur die esnur die beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch gibt.
(“tertium non datur”).
Beispiele
A : 3 · 3 = 9 wahre AussageB : 3 + 3 = 9 falsche AussageC : Welcher Tag ist heute? keine AussageD : Geh in die Mensa! keine Aussage
2 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Bemerkungen
• Entscheidend ist, dass jeder Aussage ein Wahrheits-wert (wahr oder falsch) zugeordnet werden kann,nicht, ob irgend jemand feststellen kann, ob dieseAussage nun tatsachlich wahr oder falsch ist.
• Der Inhalt oder die richtige grammatikalische Struk-tur eines Satzes ist nicht Gegenstand der Aussagen-logik.
• Aussagen konnen miteinander verknupft werden.
Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussa-ge bestimmt sich allein durch die Wahrheitswerte derdaran beteiligten ’elementaren’ Aussagen.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 3
Verknupfung von Aussagen
Mit Junktoren (Verknupfungen) werden mit ’elemen-taren’ Aussagen A,B neue Aussagen konstruiert.
Der Wahrheitswert der verknupften Aussage wird mitHilfe von Wahrheitstafeln angeben.
Ubersicht: Junktoren zwischen Aussagen
¬ Negation nicht
∨ Disjunktion oder
∧ Konjunktion und
⇒ Implikation wenn, dann
⇔ Aquivalenz genau dann, wenn
4 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Negation: nicht
A ¬A1 00 1
Die Negation von A ist also genau dann wahr, wenn Afalsch ist, und genau dann falsch, wenn A wahr ist.
Beispiele
¬A : ¬(3 · 3 = 9)↔ (3 · 3 6= 9) falsche Aussage,
¬B : ¬(3 + 3 = 9)↔ (3 + 3 6= 9) wahre Aussage.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 5
Disjunktion: oder
A B A ∨B1 1 11 0 10 1 10 0 0
Die Disjunktion von zwei Aussagen, ist nur dann falsch,wenn beide Aussagen falsch sind.
Beispiele
A ∨B : (3 · 3 = 9) ∨ (3 + 3 = 9) wahre Aussage
A ¬A A ∨ ¬A1 0 10 1 1
Eine von beiden Aussagen A oder ¬A ist immer wahr.
6 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Konjunktion: und
A B A ∧B1 1 11 0 00 1 00 0 0
Die Konjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr,wenn beide Aussagen wahr sind, ansonsten falsch.
Beispiel
A ¬A A ∧ ¬A1 0 00 1 0
Widerspruch: In einer zweiwertigen Aussagenlogik sindniemals gleichzeitig A und ¬A wahr.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 7
Implikation: wenn..., dann...
A B A⇒ B1 1 11 0 00 1 10 0 1
Die Aussage (Wenn A, dann B) ist falsch, wenn A wahrist und B falsch, wenn also aus einer wahren Aussageeine falsche gefolgert wird.
Die logische Wenn-dann-Beziehung kann eine kausaleUrsache-Wirkung-Beziehung sein, muss es aber nicht.
Die beiden Aussagen mussen inhaltlich nichts mitein-ander zu tun haben und konnen dennoch eine wahreFolgerungsaussage bilden.
8 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Beispiel
Fur alle n ∈ IN mit n > 2 ist folgende Implikationwahr:
n ist eine Primzahl︸ ︷︷ ︸A(n)
⇒ n ist ungerade︸ ︷︷ ︸B(n)
Wenn n keine Primzahl ist:
d.h. wenn A(n) falsch ist,dann ist n entweder gerade oder ungerade,d.h. die Folgerung B(n) ist wahr oder falsch.
Die Implikation A(n)⇒ B(n) ist aber in beiden Fallenwahr.
Wenn n eine Primzahl ist:
d.h. wenn A(n) wahr ist,dann ist n auch immer ungerade,d.h. B(n) ist auch wahr,
die Implikation A(n)⇒ B(n) ist also wahr.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 9
Die Umkehrung:
B(n)⇒ A(n) fur alle n ∈ IN mit n > 2 ist nicht wahr.
n ist ungerade︸ ︷︷ ︸B(n)
⇒ n ist eine Primzahl︸ ︷︷ ︸A(n)
Denn es gibt eine Zahl n = 15,die ungerade ist, aber keine Primzahl ist,in diesem Fall ist also die Aussage B(n) wahr,aber A(n) falsch,und somit ist die Implikation nicht wahr fur dieses nund damit nicht fur alle n wahr.
notwendige BedingungDie Aussage B(n), d.h. n ist ungerade, ist eine notwen-dige Bedingung fur A(n), d.h. n ist eine Primzahl.
hinreichende BedingungB(n) ist keine hinreichende Bedingung fur A(n).
Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge derungeraden Zahlen.
10 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Aquivalenz: genau dann, wenn
A B A⇔ B1 1 11 0 00 1 00 0 1
Die Gesamtaussage (genau dann A, wenn B) ist genaudann wahr, wenn beide Einzelaussagen A,B denselbenWahrheitswert besitzen, ansonsten falsch.Dabei ist es nicht erforderlich, dass die beiden AussagenA, B einen inhaltlichen Zusammenhang besitzen.
Sind zwei Aussagen A, B aquivalent, d.h. ist A ⇔ Beine wahre Aussage, konnen A und B uberall durchein-ander ersetzt werden.
Beispiele
(3 · 3 = 9) ⇔ Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind gerade.
∀ n ∈ IN : n ist gerade ⇔ n ist durch 2 teilbar.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 11
Aussageformen
Man spricht von einer Aussageform, wenn eine AussageA(x) von einer freien Variablen x abhangt (ggf. auchvon mehreren).
Eine Aussageform besitzt keinen Wahrheitswert.
Erst wenn fur die Variable x konkrete Objekte verwen-det werden, wenn sie beispielsweise durch einen Quan-tor gebunden wird, wird die Aussageform in eine Aus-sage uberfuhrt.
Solche quantifizierten Aussageformen, bei denen auchdie innere Struktur analysiert wird, sind Gegenstandder Pradikatenlogik, einer Erweiterung der Aussa-genlogik.
Quantoren
∀ : Allquantor , fur alle∃ : Existenzquantor , es gibt∃1 : Existenzquantor , es gibt genau
12 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Beachte die Reihenfolge der Quantoren und der Ver-knupfungen:
∀x ∃y : A(x, y) < ∃y ∀x : A(x, y)
¬∀x : B(x) < ∀x : ¬B(x).
Beispiel
x ist ein Element aus der Menge aller Kinder,
y ist ein Element aus der Menge aller Frauen.
A(x, y) : x ist das Kind von y.
∀x ∃1 y : A(x, y) wahr.
∃1 y∀x : A(x, y) falsch.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 13
Beweismethoden
Ein Beweis einer Aussage B besteht aus einer Kettevon Aussagen, die zueinander in gultigen Folgerungsbe-ziehungen stehen und an deren Ende die Wahrheit derAussage B folgt.
direkter Beweis
Von einer wahren AussageA (Voraussetzung) ausge-hend, folgert man durch gultige Implikationen (Ketten-schluss) die zu beweisende Aussage B (Behauptung).
A ⇒ . . . ⇒ B
Beispiel
Sei A : x > 1.und B : 6x + 3 > 3x + 6.
Beweise die Aussage A⇒ B:
A : x > 1 ⇒ 3x > 3 ⇒ 3x + 3 > 6⇒ 6x + 3 > 3x + 6 : B.
14 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
indirekter Beweis
Beim indirekten Beweis wird die Aussage A⇒ Bdurch eine aquivalente Aussage ersetzt,deren Richtigkeit dann nachgewiesen wird.
Man unterscheidet zwei Varianten:
1. Beweis durch Kontraposition
(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)
Beweis von ¬B ⇒ ¬A durch einen Kettenschluss
¬B =: A0 ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ An := ¬A
2. Beweis durch Widerspruch:
(A⇒ B)⇔ ¬(A ∧ ¬B)
Kettenschluss fur A∧¬B fuhrt auf falsche Aussage
(A∧¬B) =: A0 ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ An (falsch)
Damit ist A ∧ ¬B falsch und ¬(A ∧ ¬B) richtig.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 15
Beispiel
Sei n ∈ IN beliebig:
A : n2 ist gerade,
B : n ist gerade.
Beweise A⇒ B indirekt durch Kontraposition:
Es wird ¬B angenommen, d.h. n ist ungerade.
⇒ ∃m ∈ IN : n = 2m + 1
⇒ n2 = (2m + 1)2
⇒ n2 = 4m2 + 4m + 1
⇒ n2 = 2(2m2 + 2m) + 1, k := 2m2 + 2m ∈ IN
⇒ n2 = 2k + 1
⇒ n2 ist ungerade, dies ist ¬A.
16 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Mengen (nach Cantor)
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung bestimmterwohl unterscheidbarer Objekte unseres Denkens oderunserer Anschauung.
Die Objekte m in einer Menge M heißen Elemente.
Man schreibt:m ∈M , wenn m Element von M ist,m 6∈M , wenn m kein Element von M ist.
M := {m1,m2,m3} aufzahlende FormM :=
{m∣∣ A(m)
}beschreibende Form
∅ := {} leere Menge
“:=” bedeutet “wird festgelegt als” oder auch “wird definiert als”.
Beispiele
M1 := {a, b, c, d} , aufzahlend
M2 := {2, 4, 6, 8, 10} , aufzahlend
M3 := {Alle Buchstaben im Alphabet von a bis f} ,beschreibend
M4 :={m ∈ IN
∣∣ m ist gerade}, beschreibend.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 17
Beziehungen zwischen Mengen
A = B, Gleichheit: A und B besitzen die gleichen Elemente
A ⊂ B, Teilmenge: die Elemente von A sind in B enthalten
B ⊃ A, Obermenge: B enthalt die Elemente von A
x ∈ A ∪B, Vereinigungsmenge: x gehort zu A oder zu B
x ∈ A ∩B, Schnittmenge: x gehort zu A und zu B
x ∈ A \B, Differenzmenge: x gehort zu A und nicht zu B
Gilt A ∩B = ∅, dann heißen A und B disjunkt.
Beispiele
1. {a, d, f} ∩ {a, b, c, d} = {a, d} .
2. {a, d, f} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d, f} .
3. {1, 4, 7} \{n ∈ IN
∣∣ n ist gerade}
= {1, 7} .
18 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Naturliche Zahlen
Ein “Axiom” im klassischen Sinne (Euklid/Aristoteles)ist ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip, welches nichtbeweisbar ist.Die naturlichen Zahlen IN sind durch die folgenden Axio-me eindeutig charakterisiert:
• 1 ist eine naturliche Zahl, d.h. 1 ∈ IN.
• Jede naturliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1.
• 1 ist kein Nachfolger einer naturliche Zahl.
• Die Nachfolger zweier verschiedener naturlicher Zah-len n und m sind voneinander verschieden.
• Fur eine Menge A mit A ⊆ IN gelte:1 ∈ A und n ∈ A ⇒ n+1 ∈ A. Dann folgt A = IN.
Diese Axiome formalisieren die intuitive Vorstellung desZahlens mit Hilfe der naturlichen Zahlen:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } .
Bemerkung:Fur IN vereinigt mit der Zahl Null, schreibt man
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } .
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 19
Fur die Rechenoperationen ’+’ und ’·’und k, n,m ∈ IN0 gelten:
Kommutativgesetze
n + m = m + n und n ·m = m · n
Assoziativgesetze
(k+n)+m = k+(n+m) und (k ·n)·m = k ·(n·m)
Distributivgesetz
k · (n + m) = k · n + k ·m
0 ist neutrales Element fur ’+’
n + 0 = n
1 ist neutrales Element fur ’·’n · 1 = n
Es gibt keine inversen Elemente fur ’+’ und ’·’ inIN, d.h. es gibt kein n ∈ IN, mit beispielsweise
5 + n = 0 oder 5 · n = 1.
20 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Das Summenzeichen∑
Gegeben seien n Zahlen die mit dem Indexk = 1, 2, 3, . . . , n durchnumeriert werden, also
a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an .
Beispiel:
a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 9 , a4 = 16 , a5 = 25a6 = 36 , a7 = 49 , a8 = 64 , a9 = 81 , a10 = 100a11 = 121 , a12 = 144 , a13 = 169 , a14 = 196 , a15 = 225a16 = 256 , a17 = 289 , a18 = 324 , a19 = 361 , a20 = 400a21 = 441 , a22 = 484 , a23 = 529 , a24 = 576 , a25 = 625
Kurzschreibweise: ak = k2 mit k = 1, 2, 3, 4, . . . , 25
Die Summe der Zahlen a1 bis an wird abkurzendmit dem Summenzeichen geschrieben:
a1 + a2 + · · · + an =:
n∑k=1
ak .
Beispiel:
25∑k=1
k2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + · · · + 576 + 625 .
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 21
Vollstandige Induktion
Eine Aussage A(n) fur alle naturlichen Zahlen n ≥ n0
kann mit Hilfe der vollstandigen Induktion bewiesenwerden.
Das Beweisprinzip
Induktionsanfang:Hier muss gezeigt werden, dass A(n0) richtig ist.
Induktionsschritt:Hier muss fur ein n ≥ n0 Folgendes bewiesen werden:
aus A(n) folgt A(n + 1)
A(n) heißt Induktionsannahme und wird als richtigfur ein n ≥ n0 angenommen. Diese Annahme ist nichtunbegrundet, wie der Induktionsanfang zeigt.
A(n + 1) heißt Induktionsbehauptung
A(n0)
' $?
A(n0 + 1)
' $?
A(n0 + 2)
'-
. . .
$?
A(n)
' $?
A(n+ 1)
. . .x x x x x
22 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Beispiel
Kurzschreibweise: 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n∑k=1
k
Zeige: Fur alle n ∈ IN gilt die Aussage
A(n) :
n∑k=1
k =n(n + 1)
2.
Beweis:
Induktionsanfang: n = 1:
A(1) :
1∑k=1
k = 1 =1 · 2
2
Induktionsschritt: n → n + 1:
(Induktionsannahme = IA):Die Aussage sei wahr fur ein n ≥ 1.
n+1∑k=1
k =
(n∑k=1
k
)+ (n + 1)
IA=n(n + 1)
2+ (n + 1)
=n(n + 1) + 2(n + 1)
2=
(n + 1)(n + 2)
2
Damit ist die Aussage fur alle n ≥ 1 gezeigt.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 23
Die naturliche Zahl n ∈ IN heißt Teiler von m ∈ IN,falls eine naturliche Zahl k ∈ IN existiert, so dass
m = k · ngilt. m ist dann ein Vielfaches von n.
Jede naturliche Zahl m besitzt die Teiler 1 und m.
Die naturliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sienur die zwei (verschiedenen) Teiler 1 und p besitzt.
Primfaktorzerlegung:Jede naturliche Zahl kann man als Produkt von Prim-zahlpotenzen darstellen.
kgV(m,n):kleinstes gemeinsames Vielfaches von m und n
ggT(m,n):großter gemeinsamer Teiler von m und n
24 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Beispiel
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
Primfaktorzerlegung:
100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52,
70 = 2 · 5 · 7,
121 = 11 · 11 = 112.
kgV(100, 70) = 22 · 52 · 7 = 700,
ggT(100, 70) = 2 · 5 = 10,
ggT(121, 100) = 1 teilerfremd,
kgV(121, 100) = 22 · 52 · 112.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 25
Ganze Zahlen
Erweitert man IN0, also die naturlichen Zahlen mit Null,
indem man jeder naturlichen Zahl n ein eindeutiges
inverses Element der Addition −n zuordnet,
so erhalt man die ganzen Zahlen
ZZ := {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Addition ’+’ und Multiplikation ’·’,
Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz
und neutrale Elemente
lassen sich auf naturliche Weise auf die ganzen Zahlenubertragen.
26 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Rationale Zahlen
Erweitert man ZZ\{0}, also die ganzen Zahlen ohne
Null, indem man jeder Zahl m ein eindeutiges
inverses Element der Multiplikation1
mzuordnet,
so ergeben sich die rationalen Zahlen (Bruche)
Q :={ n
m
∣∣∣ n ∈ ZZ, m ∈ IN}.
n heißt Zahler und m Nenner des Bruches.
Fur diese Menge gilt die Teilmengenbeziehung:
IN ⊂ ZZ ⊂ Q .
Die so definierte Addition und Multiplikation auf Q istassoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivge-setz.
Zudem gibt es neutrale und inverse Elemente der Ad-dition und Multiplikation.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 27
Das Produktzeichen∏
wird analog zum Sum-menzeichen definiert
n∏k=1
ak = a1 · a2 · · · · · an.
Fakultat
Fur alle n ∈ IN0 ist die Fakultat wie folgt definiert:
0! := 1,
n! := 1 · 2 · · · · · n =
n∏k=1
k, n > 0.
Beispiel
n! = Anzahl der Moglichkeiten, n Objekte in Reihen-folge zu bringen:
Beispielsweise drei Objekte a, b, ckonnen auf 3! = 6 verschiedene Moglichkeiten angeord-net werden:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
28 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Binomialkoeffizienten
Fur die naturlichen Zahlen k ≤ n ist der Binomialkoef-
fizient
(n
k
)(Sprechweise: n uber k) wie folgt definiert:
(n
k
):=
n!
k! · (n− k)!=
(n− k + 1) · · · · · (n− 1) · nk!
Speziell ist:(n
0
):= 1 =
(n
n
),
(n
1
)= n.
Beispiel
Die verschiedenen Moglichkeiten ohne Berucksichtigungder Reihenfolge 6 Zahlen aus 49 auszuwahlen:(
49
6
)=
49!
6!43!=
1 · 2 · · · 48 · 49
1 · · · 6 · 1 · · · 43=
44 · · · 49
1 · · · 6= 13983816
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 29
Pascalsches Dreieck
(00
)�� ��(
10
)�� ��
(11
)�� ��(
20
)�� ��
(21
)�� ��
(22
)�� ��(
30
) (31
) (32
) (33
)1
�� ��
1
�� ��
1
�� ��
1
�� ��
2
�� ��
1
�� ��
1 3 3 1
Die Addition zweier benachbarter Zahlen einer Zeile,von denen Pfeile ausgehen, ergeben den Eintrag in dernachsten Zeile auf den die Pfeile fuhren.
In Formeln bedeutet dies
(n
k − 1
)+
(n
k
)=
(n + 1
k
).
30 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Die Binomischen Formeln
erste Formel: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
zweite Formel: (x− y)2 = x2 − 2xy + y2
dritte Formel: (x + y) (x− y) = x2 − y2
Der Binomische Lehrsatz
Fur beliebige x, y ∈ IR gilt:
(x + y)n =
n∑k=0
(n
k
)xn−kyk.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 31
Beispiele
(x + y)2 =
2∑k=0
(2
k
)x2−kyk
=
(2
0
)x2 +
(2
1
)xy +
(2
2
)y2
= x2 + 2xy + y2
(x + y)3 =
3∑k=0
(3
k
)x3−kyk
=
(3
0
)x3 +
(3
1
)x2y +
(3
2
)xy2 +
(3
3
)y3
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
32 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Reelle Zahlen
Die reellen Zahlen IR sind die Vervollstandigung derrationalen Zahlen Q:
Jede reelle Zahl x ∈ IR ist der Grenzwert einer Folgerationaler Zahlen qn ∈ Q, n ∈ IN.
Es gilt Q ⊂ IR und Q 6= IR,
denn zum Beispiel ist√
2 eine reelle,aber kein rationale Zahl.
Weitere bekannte Beispiele sind e, π ∈ IR \ Q.
Addition ’+’ und Multiplikation ’·’,Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz
und neutrale und inverse Elemente
lassen sich auf naturliche Weise auf die reellen Zahlenubertragen.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 33
Potenzen
Fur a ∈ IR, n ∈ IN ist die Potenz definiert:
an := a · · · · · a︸ ︷︷ ︸n−mal
=
n∏k=1
a.
n heißt Exponent und a Basis.
Rechenregeln fur Potenzen
a0 = 1, a 6= 0,
a−n =1
an, a 6= 0, n ∈ IN,
an+m = anam, (an)m = anm, a 6= 0, n,m ∈ ZZ,
(ab)n = anbn.
Beispiele (Es gilt Potenz- vor Punkt- und vor Strichrechnung!)
1.(32)3
=(32) (
32) (
32)
= 3(2+2+2) = 36 = 729
2. 3(23) = 3(2·2·2) = 38 = 6561
3. 1 =81
81=
34
34= 3(4−4) = 30
34 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Wurzel
Sei a ≥ 0.
Die eindeutige nichtnegative Losung x ≥ 0 von
x2 = a
ist die (positive) Quadratwurzel x =√a = a
12 .
Die eindeutige nichtnegative Losung x ≥ 0 von
xn = a
fur n ∈ IN ist die n-te Wurzel x = n√a = a
1n .
Es gelten die Rechenregeln fur Potenzen!
Beispiele
1.√
25 =√
5 · 5 = (52)12 = 52·12 = 51 = 5
2.90
3√
2=
21 · 32 · 51
31 · 212
= 21−12 · 32−1 · 51 = 15
√2
3.3√
64x12 =(26 · x12
)13 =
(26)1
3 ·(x12)1
3
= 26·13 · x12·13 = 22 · x4 = 4x4
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 35
Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen
Die reellen Zahlen sind angeordnet, d.h. je zwei reelleZahlen x, y ∈ IR lassen sich der Große nach miteinandervergleichen:
Fur a, b, c ∈ IR gilt:
1. a ≤ b oder b ≤ a ,
2. a ≤ a ,
3. aus a ≤ b und b ≤ a folgt a = b,
4. aus a ≤ b und b ≤ c folgt a ≤ c.
Beispiele
Aus x ≤ 5 und 5 ≤ x folgt x = 5.
Aus x ≤ 5 und 5 ≤ y folgt x ≤ y
36 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Intervalle: Seien a, b ∈ IR beliebig mit a ≤ b,
[a, b] :={x ∈ IR
∣∣ a ≤ x ≤ b}, abgeschlossenes Intervall
]a, b[ :={x ∈ IR
∣∣ a < x < b}, offenes Intervall
[a,∞[ :={x ∈ IR
∣∣ a ≤ x}.
Der Ausdruck ∞ bezeichnet keine Zahl,
d.h. ∞ ist nicht einfach eine unendlich große Zahl amEnde des reellen Zahlenstrahls.
∞ ist immer die Abkurzung fur einen Grenzprozess.
Wir konnen mit ∞ nicht wie gewohnt rechnen!
Beachte: beispielweise konnen
1
∞·∞ und 0 · ∞
jeden beliebigen Wert annehmen und sind nicht als Pro-dukt zweier Zahlen misszuverstehen.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 37
Betrag
Der Betrag einer reellen Zahl x ∈ IR ist ihr Abstandzum Nullpunkt, d.h.
|x| :={
x , 0 ≤ x−x , x < 0.
Eigenschaften des Betrages
Fur x, y ∈ IR besitzt der Betrag folgende Eigenschaften:
1. |x| ≥ 0 ,
2. |x| = 0 daraus folgt x = 0 ,
3. |x · y| = |x| · |y| ,4. |x + y| ≤ |x| + |y| .
Der Abstand zwischen zwei Zahlen x, y ∈ IR wirddurch den Betrag |x− y| gemessen.
38 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen
Beispiel 1
x = −4, y = 7 daraus folgt |x−y| = |−4−7| = 11.
Beispiel 2
Fur welche x ∈ IR gilt: |x + 1| > 4 ?
1. Fall: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
x + 1 > 4 ⇔ x > 3
2.Fall: x + 1 < 0 ⇔ x < −1
−(x + 1) > 4 ⇔ x + 1 < −4 ⇔ x < −5
Die Losungsmenge lautet also
L ={x ∈ IR
∣∣ x > 3 oder x < −5.}.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Logik, Mengen, Zahlen 39
Selbstandiges Losen der Ubungsaufgaben:12:15 - 13:45
Ubungsraume:
D-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,D 1021, D 1023, D 2022,
H-SBC5: H0.01-H0.10
N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,
(Tutoren in den Raumen geben dabei gerneHilfestellung)
Besprechung der Aufgaben:Audimax I 14:00 - 15:30
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