Cálculo Brayan Andru Montenegro Embus Objetivo 1 · 2020. 5. 28. · Cálculo Brayan Andru...

Cálculo Brayan Andru Montenegro Embus Operaciones entre funciones

Contenido Objetivo ................................................................................................................................................................................... 1

Contacto .................................................................................................................................................................................. 1

FUNCIÓN LOGARÍTMICA ........................................................................................................................................................ 2

Características .............................................................................................................................................................. 2

Logaritmos ........................................................................................................................................................................... 2

Ejercicio ........................................................................................................................................................................... 3

función base e ......................................................................................................................................................................... 4

historia ............................................................................................................................................................................ 4

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................................................................ 4

Seno................................................................................................................................................................................. 4

Coseno ............................................................................................................................................................................. 5

Tangente ......................................................................................................................................................................... 6

Cosecante ........................................................................................................................................................................ 6

Secante ............................................................................................................................................................................ 7

Cotangente ...................................................................................................................................................................... 8

Operaciones con funciones. ............................................................................................................................................... 8

Introducción. .................................................................................................................................................................. 8

Suma de funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x). .............................................................................................................. 9

Resta de funciones: (f – g)(x) = f(x) – g(x) . ............................................................................................................. 9

Multiplicación o producto de funciones: (f . g)(x) = f(x).g(x). ................................................................................. 9

División o cociente de funciones: (f/g)(x) = f(x) / g(x). .......................................................................................... 10

Función compuesta: (f o g)(x) = f( g(x)). ................................................................................................................. 10

Ejercicio ................................................................................................................................................................................. 11

Laboratorio de cálculo .......................................................................................................................................................... 12

Esta guía esta propuesta para ser realizada en el periodo del 4 de junio al 31 de junio de 2020, los jóvenes

que tengan la posibilidad de enviar el respectivo trabajo por internet deberán hacerlo llegar por este medio.

Objetivo -identificar las características de la función logarítmica y exponencial Euler. -desarrollar habilidades para la realización de operaciones entre funciones. -identificar casos de situaciones cotidianas donde se pueda aplicar el modelado por medio de funciones.

Contacto Brayan Andru Montenegro cel: 3175750088

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Función logarítmica Una función logarítmica está formada por un logaritmo de

base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es

una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

Características

▪ Dominio: El dominio son todos los números reales positivos.

▪ Recorrido: El recorrido son todos los números reales.

▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ La imagen de 1 siempre es 0 y la imagen de a es 1.

Así pues, las funciones logarítmicas siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).

Logaritmos Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que

elevar el número a para obtener como resultado el número b.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, 32 = 9.

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Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman algoritmos comunes.

Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función logarítmica la que tiene de base el número e (a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y suele escribirse: f(x) = ln x.

Ejercicio

Supongamos que tenemos la función logarítmica con a = 2, definida por la función:

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como a = 2 > 1, la función es creciente. Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los

puntos (1 , 0) y (2 , 1).

Propiedades de los logaritmos

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo:

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo:

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo:

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Ejercicio sobre propiedades de los logaritmos.

Aplicar las propiedades de los logaritmos en los siguientes casos:

a) Log(4x5) b) log(100/10) c) log(10⁴) d) log(12/6) e) log(8⁸) f)log(3⁴ / 5⁶)

función base e historia

El número “e”, también conocido como Número de Euler o Constante de Napier es uno de los números reales más relevantes, considerado como el número del cálculo por excelencia. Su valor aproximado es: e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 El descubrimiento del número e se le acredita a Jakob Bernoulli. La función exponencial que tiene como base el número e se le denomina como función exponente natural y es la función expresada por:

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 así mismo existe la función logaritmo natural que es el logaritmo en base al número e que se escribe de la siguiente manera.

𝑓(x) = ln 𝑥

Funciones trigonométricas las funciones trigonométricas f son

aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Existen seis funciones trigonométricas:

Seno

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto

opuesto (a) y la hipotenusa (c).

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La gráfica de la función seno es:

La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

Dominio: Codominio:

Coseno

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

La gráfica de la función coseno es:

La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes).

Dominio: Codominio:

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Tangente

La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

La gráfica de la función tangente es:

La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes).

▪ Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2;

±5π/2;…

▪ Codominio:

Cosecante

La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, es decir csc α · sen α=1.

La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).

La gráfica de la función cosecante es:

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La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes).

▪ Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero.

▪ Codominio:

Secante La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es

decir sec α · cos α=1. La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define

como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

La gráfica de la función secante es:

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La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes).

▪ Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2;

±5π/2;…

▪ Codominio:

Cotangente

La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente, por lo tanto tan α · cot α=1.

La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).

La gráfica de la función cotangente es:

La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes).

▪ Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero.

▪ Codominio:

Operaciones con funciones. Introducción. Existen cinco operaciones de funciones elementales en el cálculo diferencial como son la suma, la resta, la multiplicación, la división y la función compuesta.

TIPO DE OPERACIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA

SUMA

RESTA

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MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO

DIVISIÓN O COCIENTE

FUNCIÓN COMPUESTA

Suma de funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Ejemplo 1. Obtener la suma de las siguientes funciones.

.

Ejemplo 2. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x = 3”.

Resta de funciones: (f – g)(x) = f(x) – g(x) . Ejercicio 3. Obtener la suma de las siguientes dos funciones:

Ejercicio 4. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x = 3”.

Multiplicación o producto de funciones: (f . g)(x) = f(x).g(x). Ejemplo 5. Obtener la suma de las siguientes dos funciones:

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Ejemplo 6. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

División o cociente de funciones: (f/g)(x) = f(x) / g(x). Ejemplo 7. Obtener la suma de las siguientes dos funciones:

𝑓

𝑔(𝑥) =

2x + 1

x2

𝑓

𝑔(𝑥) =

2x

x2+

1

x2

Ejemplo8. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

Función compuesta: (f o g)(x) = f( g(x)). Ejemplo 9. Obtener la suma de las siguientes dos funciones:

Ejemplo 10. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

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Ejemplo 11. Obtener la suma de las siguientes dos funciones:

Ejemplo 12. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

Ejercicio Dadas las siguientes funciones:

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

𝑔(x) = ln 𝑥

ℎ(x) =𝑥3

𝑖(x) = 𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑗(x) =𝑥2 − 4 𝑘(x) = cos(𝑥 ∗ 𝜋)

1) realice las siguientes operaciones:

a) (h+i) (x) b) (i-j) (x) c) (f+g)(x) d) (h-f) (x) e) (h.j)(x) f) (k.f) (x) g) (i.j) (x)

h) (f.g) (x) i) (i/h) (x) j) (k/h) (x) k) (h/j) (x) l) (j/h) (x) m)(g o h) (x) n)(j o h) (x)

2) determine el domino de las funciones resultantes del punto uno a,b,c,d,i y j

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Laboratorio de cálculo Para realizar este laboratorio necesitaras una cartulina color negro o cartón, sal, una cuerda cinta adhesiva

1) Primero echaremos un poco de sal en una bolsa plástica y la amarramos a la cuerda, el otro extremo lo amarraremos aun palo que nos sirva para sujetarlo como se muestra en la imagen.

2) Colocaremos el cartón o la cartulina en la parte de abajo, le haremos un corte pequeño en la parte de abajo a la bolsa para que empiece a caer la sal, cuando el flujo de sal sea constante le daremos impulso a nuestra bolsa para que empiece a moverse como un péndulo, déjalo que oscile durante unos minutos este empezara a formar unas figuras sobre el cartón.

3) Dibuja la figura observada y si puedes envíale una fotografía o video al docente. Analiza la figura y

piensa que funciones crees tú que son necesaria para poder generar esta figura, repite el procedimiento 3 veces con diferentes tipos o formas de impulsar el péndulo.