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Das Bigalke - Rechteck. Gegeben ein Rechteck ABCD. Spiegele es an der Diagonale BD. Wie muss das Ausgangsrechteck dimensioniert sein, damit das gefärbte Viereck ein Rechteck ist?. Achtung: Baustelle, Betreten auf eigene Gefahr. Vermutung Doppelquadrat. - PowerPoint PPT Presentation
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Horst Steibl
TU-Braunschweig 1
Das Bigalke - Rechteck
91,79 °
26,565 °
14,688 cm 7,344 cm
A B
CD
d(P9;P12)/d(P6;A)
0,2469
arctan(1/2)
26,57
Seitenverhältnis = d(P6;A)/d(C;P6)
2,995
SV_innen = d(P9;P11)/d(P9;P12)
1,459
Gegeben ein Rechteck ABCD. Spiegele es an der Diagonale BD. Wie muss das Ausgangsrechteck dimensioniert sein, damit das gefärbte Viereck ein Rechteck ist?
Achtung: Baustelle, Betreten auf eigene Gefahr
Horst Steibl
TU-Braunschweig 2
Vermutung Doppelquadrat
91,79 °
26,565 °
14,688 cm 7,344 cm
d(P9;P12)/d(P6;A)
0,2478
arctan(1/2)
26,57
Seitenverhältnis = d(P6;A)/d(C;P6)
3,265
SV_innen = d(P9;P11)/d(P9;P12)
1,383
7,104 cm 14,645 cm
25,876 °
91,79 °
26,565 °
14,645 cm 7,322 cm
25,876 °
25,876 °
A B
CD
d(P9;P12)/d(P6;A)
0,2362
arctan(1/2)
26,57
Seitenverhältnis = d(P6;A)/d(C;P6)
2,062
SV_innen = d(P9;P11)/d(P9;P12)
2,054
Das Doppelquadrat kann es demnach nicht sein!
Es muss jedenfalls schmaler sein
Finden Sie eine Deutung? Wie wird die lange Seite durch den Punkt G geteilt?
Horst Steibl
TU-Braunschweig 3
Das Verhältnis der Abschnitte der langen Rechteckseite
Im Trapez teilen die Diagonalen sich im Verhältnis der parallelen Seiten, anscheinend im goldenenen Schnitt
Hypothese: Die lange Rechteckseite wird anscheinend im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt
Der Winkel 2 = 51,8... fällt auf
Der Winkel = 25,9.. ist die Hälfte von 51,8..
89,988 °
51,819 ° 51,831 °
51,819 °
7,809 cm
4,826 cm 2,983 cm
6,138 cm 3,794 cm
4,827 cm
d(F;E)/d(D;F)
0,6182
d(E;C)/d(D;G)
0,6182
d(F;C)/d(G;F)
0,6182
90 °
6,824 cm 14,048 cm
DiagonaleMittelsenkrechte = d(D;B)/d(G;E)
2,059
3,905 cm 4,966 cm
MittenviereckTrapez = d(P25;M)/d(P24;P25)
1,272
25,909 °
6,138 cm 12,636 cm
Rechteckseiten = d(A;D)/d(B;P6)
2,059
51,838 °
A B
CD
G
E
M
F
H
Horst Steibl
TU-Braunschweig 4
Ein anderer Zugang
Konstruiere ein rechtwinkliges Trapez (blau), dessen parallele Seiten „im goldenen Schnitt“ stehen. Die Diagonalen teilen einander dann auch stetig. Die Parallele durch C sei beweglich. Wenn der rechte Winkel bei F erscheint, ist das Rechteck das gesuchte Parallelogramm.
10 cm
6,18 cm 89,6 °
25,752 °
25,875 ° 52,027 °
51,627 °
6,153 cm 4,845 cm
7,84 cm
3,803 cm
d(D;F)/d(F;E)
1,618
d(F;G)/d(C;F)
1,618
A B
CD
E
F
G
d(G;D)/d(E;C)
1,618
Nicht jedes goldene rechtwinklige Trapez leistet das. Erst wenn die Diagonalen sich rechtwinklig schneiden, ist der Fall gelöst
Horst Steibl
TU-Braunschweig 5
1. Lösung
M sei der Mittelpunkt von EG. Drehe das Trapez ECDG um M um 180°. (Punktspiegelung an M) Dann ist BEDG die diagonale Raute des Vierecks ABCD. Also ist BG = GD = 10 cm.
Spiegele das Trapez GECD an EG. Dann ist BK =DC. Das Rechteck BKDL ist dann das an der Diagonale BD gespiegelte Rechteck mit der Eigenschaft, dass das gesuchte Parallelogramm ein Rechteck ist
10 cm
6,18 cm 89,976 °
25,904 °
25,911 ° 51,839 °
51,815 °
6,179 cm 4,858 cm
7,86 cm
3,819 cm
d(D;F)/d(F;E)
1,618
d(F;G)/d(C;F)
1,618
A B
CD
E
F
G
9,998 cm
9,998 cm
M
7,858 cm
K
J´
6,178 cm
6,182 cm
L
Horst Steibl
TU-Braunschweig 6
Konstruktion
A
B
G
M1
C
D
E
M
B´__A´D´´
D´
C´
D´´´
Zeichne die Strecke AB = 10 cm
Teile AB stetig in G
Halbiere AB in M1 und zeichne den Thaleskreis
Errichte die Lote in G und B
Zeichne das Dreieck ABC und verlängere die Katheten
Zeichne die Parallele zu AB durch D
Zeichne das Trapez AEDB
Punktspiegele das Trapez AEDB an M
Spiegele das Trapez an AE
Punktspiegele das Trapez AED´A´an M
Begründe, dass BB´die Spiegelachse der Figur ist
In welchem Verhältnis stehen die Rechteckseiten?
Horst Steibl
TU-Braunschweig 7
2. Weg zur Konstruktion
Das Rechteck IGJH ist das drehgestreckte Abbild des Rechtecks ABCD (Vertauschen der Funktion Diagonale Mittelsenkrechte). Also sind sie ähnlich. Bei diese Spiegelung ist die diagonale Raute Fixfigur.
A B
CD
E
F
G
H
M
I
J
K
L
51,831 ° 51,826 °
51,831 ° 90,005 °
X
x´
a
b
1/2(b - x)
1/2(b - x)
1/2(b - x)
1/2(b +
x)
In der diagonalen Raute BCDH stehen D die Diagonalen lotrecht aufeinander. Es ist BG = GD = DH
x / a = a / b x = a² / b (*)
Die Dreiecke mit den gelben Winkeln sind ähnlich. Winkel im Dreieck bzw. Nachbarwinkel ergänzen sich jeweils zu 90°
x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x) Das führt zur Gleichungx²+4bx –b²= 0
x =b(5 – 2)In (*)a = b(5-2) b = a(5+2)b a*2,05817.
Danke Ulrich Guder
Horst Steibl
TU-Braunschweig 8
Uli´s LösungIn der Zeichnung ist die Bedingung, dass der Winkel bei P ein rechter Winkel ist, erfüllt.
Das Verhältnis der beiden Seiten a und b des Ausgangs- rechtecks lässt sich dabei durch Betrachtungen von zwei Klassen ähnlicher Dreiecke bestimmen
In dem rechtwinkligen Trapez EDCF sind durch die Diagonalen ähnliche Dreiecke bestimmt. Die rechtwinkligen Dreiecke PED), (PDC ) und (PCF) sind ähnlich. Ihre spitzen Winkel ergänzen sich ja zu 90° und die Nachbarwinkel bei D und C ebenfalls
Die zweite Klasse besteht aus den vier kongruenten Dreiecken der diagonalen Raute: (MED) , (FMD) , (FBM), (BEM), und den Dreiecken (ABD) , (FGE) , (FPE) . Ferner die drei Dreiecke (GEF), (FKE), (PFE). Die Drehstreckung, die Diagonale und deren Mittelsenkrechte vertauscht, erzeugt diese ähnlichen Dreiecke, die somit ähnlich dem Dreieck (ABD) sind
90 °
A B
C D
M x b
a
a
P
F
E G
( b - x ) / 2
( b + x ) / 2
x
x
( b - x ) / 2
K
Horst Steibl
TU-Braunschweig 9
90 °
A B
C D
M x b
a
a
P
F
E G
( b - x ) / 2
( b + x ) / 2
x
x
( b - x ) / 2
K
Wir erhalten damit folgende Beziehung:(*) (x : a) = (a : b)
Außerdem folgt aus diesen Ähnlichkeiten und Kongruenzen, dass DE = EF und PF = FG. Es gilt auch DE = (b + x)/2 und CF = (b – x)/2
Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke PED) und (PCF)lässt sich folgern: (**)
x : ½(b – x) = ½(b – x) : ½(b + x)
Lösen wir (*) nach x auf und setzen in (**) ein, so erhalten wir
b = a*(5 + 2) = a * 2,05817...
Berechnung der Seitenlängen
Horst Steibl
TU-Braunschweig 10
Uli´s 2. Lösung
Bei dieser Lösung gehe man vom Höhensatz aus,um Wurzel(Wurzel(5) + 2) zu bestimmen. Dazu konstruiere man die Strecke Wurzel(5) + 3 und errichte im Punkt Wurzel(5) + 2 eine Senkrechte, die man mit dem Thaleskreis um Wurzel(5) + 3 schneide. Der Abstand des Schnittpunkts zur Strecke Wurzel(5) + 3 ist dann nach dem Höhensatz gerade Wurzel(Wurzel(5) + 2), die gesuchte zweite Seite des Rechtecks: p* q = h²
(Wurzel(5) + 2) * 1 = (Wurzel(5) + 2)
Also h = Wurzel(Wurzel(5) + 2),
4,869 cm
10,021 cm
d(P25;P20)/d(P20;P22)
2,058
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