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Results in Mathematics Vol. 19 (1991)
0378-6218/91/020074-09$1.50+0.20/0 (c) 1991 Birkhauser Verlag, Basel
EIN APPROXIMATIONSSATZ FUR
HALBGRUPPEN MIT DIVISORENTHEORIE
Franz Halter-Koch
1. Unter einer Halbgruppe H verstehe ich im folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe mit Eins 1 E H, in der die Kurzungsregel gilt. Ich bezeichne mit Q(H) eine Quotientengruppe von H und verwende die Begriffe der Teilbarkeitslehre wie in [3, §6]. Fur eine Menge P sei F(P) die freie abelsche Halbgruppe mit Basis P. Dann ist QF(P) ~ Z(P), und jedes z E QF(P) hat eine eindeutige Darstellung
mit vp(z) E Z, vp(z) = 0 fur fast alle pEP. 1st 0: H -+ F(P) ein Halbgruppenhomomorphismus, so hat 0 eine eindeutige Fortsetzung zu einem Gruppenhomomorphismus a: Q(H) -+ QF(P), und fur pEP sei
op = vp 0 a : Q( H) -+ Z
der p-adische Exponent zu o.
Definition 1. H sei eine Halbgruppe, Peine Menge. a) Ein Halbgruppenhomomorphismus 0: H -+ F(P) heiBt Divisorhomomorphismus,
wenn fur alle a,(3 E H gilt: Aus o(a) 10((3) (in F(P)) folgt a I (3 (in H).
b) Unter einer Divisorentheorie (fur H) verstehe ich einen Divisorhomomorphismus o : H -+ F(P) derart, daB fur alle pEP gilt: es gibt endlich viele Elemente al, ... ,anEH mit p=ggT{o(al), ... ,o(an )} (dannistjedes aEF(P) in dieser Weise als g.g.T. darstellbar).
In dieser Form geht der Begriff der Divisorentheorie auf L. Skula [8] zuruck. Er erweist sich als der richtige Rahmen fur die von der algebraischen Zahlentheorie motivierten Untersuchungen, inwieweit die Struktur der Klassengruppe Phiinomene der nicht-eindeutigen Zerlegung in irreduzible Elemente kontrolliertj siehe [4] (in diesem Uberblicksartikel findet man unter anderem viele Beispiele und ein umfangreiches Literaturverzeichnis).
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Untersuchungen, unter welchen Bedingungen ein Halbgruppenring R[H] ein Krullring ist, fiihren auf den Begriff der Krullhalbgruppe ([2], [3]). Dieser ist eine direkte Verallgemeinerung des Begriffs des Krullringes und zum Begriff der Halbgruppe mit Divisorentheorie aquivalent. U. Krause [6] zeigte, da£ (ebenso wie bei Krullringen) das System der wesentlichen Bewertungen einer Krullhalbgruppe die entscheidende Invariante zu ihrer Beschreibung ist.
In der vorliegenden Arbeit kliire ich zunachst den Zusammenhang zwischen den p
adischen Exponenten eines Divisorhomomorphismus und den wesentlichen Bewertungen einer Krullhalbgruppe. Dann beweise ich, daf3 der klassische Approximationssatz fiir Krullringe [1, ch.VII, §1.5] in einer Krullhalbgruppe genau dann gilt, wenn diese eine ((31 )-Divisorentheorie im Sinne von [8] besitzt; daraus ergibt sich ein neuer Beweis des Approximationssatzes fiir Krullringe. Abschlief3end verallgemeinere ich den Begriff der Strahlklasseneinteilung in algebraischen Zahlkorpern auf beliebige Dedekindringe. Ich beweise eine Variante des Chinesischen Restsatzes unter Einbeziehung von Signaturen und zeige, daf3 die verallgemeinerten Strahlklassenhalbgruppen Krullhalbgruppen sind, in denen der Approximationssatz gilt.
2. Ich beginne mit der in [6] gegebenen Beschreibung von Krullhalbgruppen mittels der wesentlichen Bewertungen.
Definition 2. H sei eine Halbgruppe. a) Eine Bewertung von H ist ein Halbgruppenepimorphismus v: Q(H) --+ Z mit
v(H) C No.
b) Eine Bewertung v von H heif3t wesentlich (fiir H), wenn gilt: Zu jedem Z E Q(H) mit v(z) ~ 0 gibt es ein x E H mit vex) = 0 und xz E H.
c) Eine Menge n von Bewertungen von H heif3t eine H definierende Menge von Bewertungen, wenn H = n v-l(No), und wenn es zu jedem x E Q(H) nur
vEIt endlichviele vEn mit v(x) =1-0 gibt.
d) H heif3t Krullhalbgruppe, wenn es eine H definierende Menge von Bewertungen von H gibt.
Die hier gewiihlte Definition einer wesentlichen Bewertung ist formal einfacher als die in [6] gegebene, aber leicht als zu jener aquivalent zu erkennen. Der folgende Satz wird in [6] bewiesen (Theorem und Corollaries 1, 2).
Satz 1. H sei eine Krullbalbgruppe und n die Menge der fur H wesentlicben Bewertungen von H. Dann gilt:
i) n ist die kleinste H definierende Menge von Bewertungen von H.
ii) Definiert man 8: H --+ .r(n) durcb 8(er.) = IT vv(,,), so ist 8 eine DivisorenvEIt
tbeorie fur H.
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Satz 2. H sei eine Haibgruppe, Peine Menge und 8: H -t F(P) ein Haibgruppenhomomorphismus. Fur pEP sei 8p Q( H) = epZ mit ep E No, und im Faile ep t- 0 sei
8p = e;18p : Q(H) -t Z;
ferner sei na = {8p I pEP, ep t- O}. Dann gilt: i) Genau dann ist 8 ein Divisorhomomorphismus, wenn na eine H dennierende
Menge von Bewertungen ist.
ii) Sei 8 ein Divisorhomomorphismus. Genau dann ist 8 eine Divisorentheorie, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:
1) Fur aile p, q E P mit p t- q ist 8p t- 8q •
2) Fur aile pEP ist ep = 1 und 8p wesentlich fur H.
Fur den Beweis benotige ich den folgenden Hilfssatz, welcher sich implizit auch bereits in [6] findet.
Hilfssatz 1. Sei Heine Haibgruppe und v: Q(H) -t Z eine wesentliche Bewertung von H. Dann gilt:
i) v(H) = No.
ii) Ist w eine von v verschiedene Bewertung von H, so gibt es ein x E H mit vex) = 0 und w(x) > O.
Beweis von HilJssatz 1. i) Sei mE No und z E Q(H) mit v(z) = m. Da v wesentlich ist, gibt es ein x E H mit vex) = 0 ,xz E H und v(xz) = m .
ii) Angenommen, es sei w(x) = 0 fUr alle x E H mit vex) = O. Nach i) giht es ein Element 7r E H mit v(7r) = 1. Sei y E H beliebig; wegen v(7r- v(Yly) = 0 gibt es ein x E H mit vex) = 0 und x7r-v(Yl y E H. Damit folgt 0 = w(x7r-v(Yly) = -v(y)w(7r) + w(y), also w(y) E ZW(7r). Wegen Z = wQ(H) = w(H) - w(H) C ZW(7r) folgt w(7r) = 1, v(y)=w(y) unddaher v=w. 0
Beweis von Satz 2. i) Sei 8 ein Divisorhomomorphismus; dann gibt es zu jedem z E
Q(H) nur endlich viele pEP mit 8p(z) t- O. Sei z E Q(H) mit 8p(z) ~ 0 fur alle 8p E na, also 8p(z) ~ 0 fur alle pEP. Setzt man z = x-1y mit x, y E H, so folgt vp(8x) :::; vp(8y) fur alle pEP, also 8(x) 18(y) (in F(P)) , und daher x I y (in H), also z E H.
Sei umgekehrt na eine H definierende Menge von Bewertungen von H, und seien 0'.,(3 E H mit 8(0'.) 18((3) (in F(P)). Dann ist 8p(a- 1(3) = e;1 . vp(8(a)-18((3)) ~ 0
fur alle 8p E na, also 0'.-1(3 E H und a I (3.
ii) Sei 8 ein Divisorhomomorphismus und 8: Q(H) -t QF(P) die Fortsetzung von 8 zu einem Homomorphismus der Quotientengruppen. Dann ist F(P) n 8Q(H) = 8H, und fur z E Q(H) ist genau dann 8(z) E F(P), wenn z E H.
Sei nun zunachst 8 eine Divisorentheorie. Da jedes pEP ein g.g.T. von endlich vielen Elementen 8(0'.1)'"'' 8(an ) mit ai E H ist, folgt ep = 1 fur alle pEP und 8p t- 8q , falls p t- q. Ich zeige nun, daB 8p fur jedes pEP wesentlich fur H ist: Sei
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pEP und Z E Q(H) mit op(z);::: 0; dann ist 8(z) = a-lb mit a, bE F(P) und vp(a) = O. Da a ein g.g.T. von endlich vielen Elementen o(av) mit a v E H ist, gibt es ein xEH mit alox und op(x) =vp(ox) =0. Dannistaber 8(xz)=0(x)a-l bEoH und daher auch xz E H.
Sei nun op ¥- Oq, und seien aIle ep = 1 und alle op wesentlich fur H. Ich zeige, daB jedes pEP ein g.g.T. endlich vieler Elemente o(av) mit a v E H ist. Sei pEP; dann gibt es nach Hilfssatz 1 ein Element 7rp E H mit op(7rp) = 1. Die Menge M = {q E P 10q(7rp) > O} ist endlich und fur alle q E M\{p} ist op ¥- Oq. Daher gibt es (wieder nach Hilfssatz 1) zu jedem q E M\ {p} ein 7r q E H mit Oq (7r q) = 0 und op(7rq) > 0, und ich erhalte p = ggT{ o(7rq) I q EM}. 0
Korollar. Sei Heine Halbgruppe und 0: H -t F(P) eine Divisorentheorie. Dann gilt:
i) {op I pEP} ist die Menge der wesentlichen Bewertungen von H.
ii) lst 01 : H -t F(P I ) eine weitere Divisorentheorie fiir H, so gibt es genau einen Halbgruppenisomorphismus ¢>: F(P) -t F(P' ) mit 0' = ¢> 0 o.
Beweis. i) Nach Satz 2 ist {op I pEP} eine H definierende Menge wesentlicher Bewertungen von H; daraus folgt die Behauptung mit Hilfe von Satz 1.
ii) Sei n die Menge der wesentlichen Bewertungen von H. N ach i) und Satz 2 sind (p 1--+ op) und (pi 1--+ O~,) Bijektionen P -t n und pi -t n, woraus die Behauptung folgt. 0
Bemerkung. Die Eindeutigkeit einer Divisorentheorie bis auf Isomorphie ist wohlbekannt [4, S.32]; alle bisherigen Beweise machen jedoch wesentlich Gebrauch von der Theorie der divisoriellen Ideale.
3. Ich formuliere und beweise nun den Approximationssatz, welcher das Hauptresultat dieser Arbeit darsteIlt.
Satz 3 (Approximationssatz fur Krullhalbgruppen). Sei Heine Halbgruppe, P eine Menge und 0: H -t F(P) ein Divisorhomomorphismus. Dann sind die folgenden Aussagen iiquivalent:
a) Fiir alle a, bE F(P) gibt es ein c E F(P) mit ac E oH und ggT{b, c} = 1.
b) Sind p, ql, ... , qn E P verschieden, so gibt es ein a E H mit op( a) = 1 und oq.(a) =0 fiiralle liE {l, ... ,n}.
c) Sind Pl, ... , Pn E P verschieden und kl"'" kn E No, so gibt es ein a E H mit op.(a)=kv fiiralle liE {l, ... ,n}.
d) Sind PI, ... ,Pn E P verschieden und kl"'" kn E Z, so gibt es ein a E Q(H) mit op.(a)=kv fiiralle liE {l, ... ,n} und op(a);:::O fiiralle pEP\{Pl, ... ,Pn}.
Sind diese Bedingungen erfiillt, so ist a eine Divisorentheorie fiir H.
Beweis. a) '* b): Sei a = p und b = pql ..... qn; dann gibt es ein c E F(P) und ein a E H mit pc = o(a) und ggT{b,c} = 1; damit folgt op(a) = vp(pc) = 1 und Oq. (pc) = 0 fur aIle II E {I, ... , n} .
78 Halter-Koch
b) ~ c): Nach b) gibt es Elemente al, ... ,an E H mit 0pi(aj) = Oij fur alle n
i, j E {I, ... , n}; a = n a~i leistet dann das Gewunschte. ;=1
c) ~ d): Sei kEN mit k + k" ;::: 0 fur alle 1/, und sei ,E H mit 0p. (-y) = k fur alle 1/ E {I, ... , n}. Dann ist die Menge M = {p E Plop (-y) > o} endlich, und daher gibtesein {3EH mit op.({3)=k+k" furalle I/E{l, ... ,n} und op({3)=op(-y) fur alle p E M\{pt, ... ,Pn}. Das Element a = ,-1{3 hat die gewunschten Eigenschaften.
d) ~ a): Seien a, bE F(P); dann gibt es ein a E Q(H) derart, daB op(a) = vp(a) fur alle pEP mit vp(ab) > 0, und op(a);::: 0 fur alle pEP. Dann folgt aber a E H und a I o(a); setzt man o(a) = ac mit c E F(P), so ist ggT{b,c} = 1.
1st 0 ein Divisorhomomorphismus mit a), so gibt es zu jedem pEP Elemente b,cEF(P) mit bpEoH, cpEoH und ggT{b,c} =1, also p=ggT{bp,cp}; daher ist 0 eine Divisorentheorie. D
Definition 3. Ich sage, eine Krullhalbgruppe H bzw. eine Divisorentheorie 0: H -F(P) hat die Approximationseigenschaft, wenn die Bedingungen von Satz 3 erfullt sind.
Die faktoriellen Halbgruppen sind die einfachsten Beispiele fur Krullhalbgruppen mit der Approximationseigenschaft; der Vollstandigkeit und des Mangels an geeigneten Zitaten halber formuliere ich die entsprechenden Resultate als Satz.
Satz 4. i) Eine Halbgruppe H ist genau dann faktoriell, wenn sie eine surjektive Divisoren
theorie 0: H - F(P) besitzt.
ii) Jede faktorielle Halbgruppe ist eine Krullhalbgruppe und besitzt die Approximationseigenschaft.
iii) Besitzt eine endlich erzeugte Krullhalbgruppe die Approximationseigenschaft, so ist sie faktoriell.
Beweis. i) Sei H X die Gruppe der invertiblen Elemente von H; dann ist H/H x eine reduzierte Halbgruppe, und jede Divisorentheorie 0: H - F( P) induziert eine injektive Divisorentheorie 8: H/H x - F(P) vermoge 8(0) = o(a). 1st 0 surjektiv, so ist 8 ein Isomorphismus, und mit H/Hx ist auch H faktoriell. 1st H faktoriell, so ist H/H x eine freie abelsche Halbgruppe, und der kanonische Epimorphismus H _ H/H x
ist eine surjektive Divisorentheorie.
ii) folgt aus i), da fur eine surjektive Divisorentheorie die Bedingung a) in Satz 3 trivialerweise erfullt ist (mit c = 1 ).
iii) 1st Heine endlich erzeugte Krullhalbgruppe, und 0: H _ F(P) eine Divisorentheorie von H, so ist P endlich [4, Satz 1]. Setzt man b = n p, so kann Bedingung
pEP
a) in Satz 3 nur dann erfullt werden, wenn 0 surjektiv ist. Dann ist nach i) aber H faktoriell. 0
Halter-Koch 79
Bemerkungen. 1) L. Skula [9] nennt eine Divisorentheorie, welche die Bedingung a) von Satz 3 erfullt,
eine (,81)-Divisorentheorie. Er beweist ein notwendiges und hinreichendes Kriterium fur das Vorliegen einer (,8I)-Divisorentheorie mit Hilfe der Divisorenklassengruppe und beweist ein zu Satz 4, iii) analoges Resultat.
2) Die Blockhalbgruppen endlicher Gruppen G [4, Beispiel 6] haben nach Satz 4 nicht die Approximationseigenschaft, falls #G 2: 3.
4. Fur einen Integritatsbereich R bezeichne Re = R\ {O} seine multiplikative Halbgruppe. 1st K ein Quotientenkorper von R, so ist K X = Q(Re).
Satz 5. Sei Rein Integritiitsbereich mit Quotientenkorper K.
i) Sei v: KX -t Z eine fur Re wesentliche Bewertung von Re . Dann ist v: K -t
Z U {oo}, denniert durch v( 0) = 00 und v I K x = v, eine Bewertung von K.
ii) Genau dann ist Rein Krullring, wenn Re eine Krullhalbgruppe ist.
iii) Ist Rein Krullring, so hat Re die Approximationseigenschaft.
Beweis. i) Es ist v(x +y) 2: min{v(x),v(y)} fur alle x,y E K zu zeigen, und ich kann dabei o.E. x,y,x +y E KX und v(x) 2: v(y) annehmen. Dann ist v(xy-l) 2: 0, und da v wesentlich fiir Re ist, gibt es ein z E Re mit v(z) = 0 und xy-lz ERe. Damit folgt v(l + xy-l) = v(z) + v(l + xy-l) = v(z + zxy-l) 2: 0, da z + zxy-l E R, und v(x + y) = v(y) + v(l + xy-l) 2: v(y).
ii) 1st Rein Krullring und (Wi)iEI eine R definierende Menge von Bewertungen von K, so ist {wilKXj i E I} eine Re definierende Familie von Bewertungen von Re, also Re eine Krullhalbgruppe. 1st Re eine Krullhalbgruppe und n die Re definierende Menge der wesentlichen Bewertungen von Re (Satz 1), so ist die Menge der Fortsetzungen n = {Vi v E f!} nach i) eine Menge R definierender Bewertungen von K. Daher ist Rein Krullring.
iii) Sei 0: Re -t F(P) eine Divisorentheorie von R e . Fiir pEP sei 8p :
K -t Z U {oo} definiert durch 8plKx = Op und 8p(0) = 00. Nach Satz 2 sind die op wesentliche Bewertungen von Re, und nach i) sind die 8p Bewertungen von K. Ich weise nun die Bedingung b) von Satz 3 durch Induktion iiber n nacho 1m Falle n = 0 folgt die Behauptung aus dem Hilfssatz. Sei also n 2: 1, seien p, ql, ... ,qn E P verschieden, und sei ao E R mit op (ao) = 1 und Oq. (ao) = 0 fiir 1:S v :S n - l. 1st Oqn (ao) = 0, so setze ich a = ao j andernfalls wahle ich ein Element ,8 E R mit op(,8) 2: 2, Oq. (,8) 2: 1 fur 1:S v :S n - 1 und Oqn (,8) = 0 (ein solches gibt es, da p2ql ..... qn-l g.g.T. endlich vieler Elemente o(,8j) ist). Dann leistet a = ao +,8 das Gewiinschte. D
Bemerkungen. 1) Satz 5, ii) war bereits Skula bekannt [9, p.249]' der erste vollstandige Beweis
wurde allerdings erst von U. Krause [6] gegeben. Der hier gegebene Beweis beruht im wesentlichen auf den 1deen von U. Krause.
80 Halter-Koch
2) Skula [8, 4.7] bewies, daB jede Divisorentheorie eines Ringes eine ({31 )-Divisorentheorie ist. Der hier gegebene Beweis von Satz 5, iii) ist einfacher und bildet gemeinsam mit Satz 3 einen neuen Beweis des Approximationssatzes fur Krullringe [1, ch.VII, §1.5].
5. Fur die Diskussion verallgemeinerter Strahlklassenhalbgruppen bzw. Hilbert'scher Halbgruppen im nachsten Abschnitt benotige ich eine Verallgemeinerung des Chinesischen Restsatzes durch Berucksichtigung von Signaturen.
Satz 6 (Chinesischer Restsatz mit Signaturen). Sei Rein kommutativer Ring mit Eins. Seien r, s ~ 0, II' ... ' Is Ideale von R mit Ii + Ij = R fur alle 1:=::: i < j :=::: s und WI, ... , Wr : R ~ R verschiedene Ringmonomorphismen. Seien a1, ... , as E R und (l1, ... ,(lr E{±1}i danngibteseinElement aER, so daB a=:=aj modIj fur l:=:::j:=::: s und sign wi(a) = (Ii fur 1:=::: is r.
Beweis. Fur r = 0 ist das gerade der gewohnliche Chinesische Restsatz [7, ch.II, §2]. 1m Fane r ~ 1 ist Rein Integritatsbereich; sei K ein Quotientenkorper von R. Dann haben die Wi Fortsetzungen zu Korpermonomorphismen wi: K ~ R, und nach dem Dedekind'schen Unabhiingigkeitssatz [7, ch.VIII, §4] sind WI, ... , Wr linear unabhiingig uber JR. Die Menge
ist ein IQ-Vektorraum, und fR = R r (andernfalls gabe es ein R-lineares Funktional o i= f : Rr ~ R mit f(f) = 0, im Widerspruch zur linearen Unabhangigkeit von WI, ... ,wr ). Daher gibt es ein e E K mit sign Wi( 0 = (Ii fur 1:S; i :s; r; ist e = ",,,-1 mit ,',," E R, so folgt ,= ,"2~ E R und sign Wi(r) = (Ii fur I:=::: i:=::: r.
Nach dem Chinesischen Restsatz gibt es Elemente {3, /j E R mit {3 =:= aj mod Ij und /j =:= 0 mod Ij fur alle 1:=::: j :=::: s. Fur genugend groBes N E N hat dann a = {3 + N,/j2 die gewunschte Eigenschaft. D
6. Ich komme nun zur angekundigten Verallgemeinerung von Strahlklassenhalbgruppen und Hilbert'schen Halbgruppen [4, Beispiele 2 und 4].
Definition 4. Sei Rein Dedekindring. Ein Zykel M von R ist ein formales Produkt
M =MOW1· ... ·Wr
aus einem Ideal Mo von R und r ~ 0 Ringmonomorphismen WI, ... , Wr : R ~ JR (genannt reelle Einbettungen von R). Zwei Elemente a, {3 E R heiBen kongruent modulo M, a =:= {3 mod M, wenn a =:= (3 mod Mo und sign wi(a) = sign Wi({3) fur alle 1:=::: i :=::: r. Fur a E R bezeichne [a]M die Kongruenzklasse von a modulo M und R/ M die Menge aller Kongruenzklassen modulo M. Offensichtlich ist R/ M ein multiplikatives Monoid, und ich bezeichne mit (R/ M)X die Gruppe der invertiblen Elemente von R/ M.
Halter-Koch 81
Hilfssatz 2. Sei Rein Dedekindring und M = MOWI ' .... Wr ein Zyke1 von R. Dann gilt:
(R/M)X = {[O]M 10 E R, oR + Mo = R} .
Beweis. Ist [O]M E (R/ M)X, so gibt es ein {3 E R mit o{3 == 1 mod M; daraus folgt o{3 == 1 mod Mo und daher oR + Mo = R.
Sei umgekehrt oR+Mo = R und {3o E R mit o{3o == 1 mod Mo. Nach Satz 6 gibt es ein {3 E R mit {3 == (3o mod Mo und sign Wi({3) = sign Wi(O) fur aHe 1 S; i S; r. Daraus folgt aber o{3 == 1 mod M und daher [O]M E (R/ M)x. 0
Definition 5. Sei Rein Dedekindring, M ein Zykel von R und r c (R/ M)X eme Untergruppe. Dann nenne ich
HJt',r) = {o E R I [O]M E r}
eine verallgemeinerte Hilbert'sche Halbgr.uppe. Die Gruppe der invertiblen Elemente von HJt',r) ist gegeben durch (HJt',r») x = HJt',r} n RX, und die assoziierte reduzierte Halbgruppe
iIJt',r} = HJt',r) /(HkM,r»)x
ist isomorph zur Halbgruppe aller Hauptideale oR mit [O]M E r. Ich nenne iIkM,r) eine verallgemeinerte Strahlklassenhalbgruppe.
B emerkungen. 1) Ist R der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkorpers, M ein Zykel von
R und r = {[I]M}, so ist iIkM,r) gerade der Strahl modulo :F im Sinne der Klassenkorpertheorie [5, §4].
2) 1st R = Z, 00 = (Z '---7 JR), fEN, f 2: 2 und r = {[l]fZ,oo }, so ist
HifZ.oo,r) = 1 + fNo die gewohnliche Hilbert'sche Halbgruppe modulo f in N, und HifZ.oo,r) ~ iIUZ,{l+fZ}) .
Satz 7. Sei Rein Dedekindring und M = MOWI . . . . . Wr ein Zykel von R mit einem Ideal Mo von R und reellen Einbettungen WI, . .. , Wr (r ~ 0) .
i) 7f: (R/ M)X -t (R/ Mo)X, denniert durch 7f([O]M) = 0 + Mo, gibt AnlaB zu einer exakten Sequenz
o -t (Z/27!.,r -t (R/Mr ~ (R/Mo)X -t 1.
ii) Ist r c (R/ M)X eine Untergruppe, so ist HJt',r) eine Krullhalbgruppe und hat die Approximationseigenscbaft.
Beweis. i) Offensichtlich ist 7f ein Gruppenepimorphismus mit
ker(7f) = {[O]M 10== 1 mod Mo},
82 Halter-Koch
und s : ker(1I") -t {±lY, deminiert durch S([alM) = (sign WI (a), ... ,sign wr(a)) , ist ein Gruppenmonomorphismus. Die Surjektivitiit von s folgt aus Satz 6.
ii) Sei I~) die Menge der zu Mo primen Ideale und p~) die Menge der zu
Mo primenPrimidealevon R. Dannist I~)=.r(P~»), und 8:H~,r)-tIkM), definiert durch aa = aR, ist ein Divisorhomomorphismus. Ich zeige, daB a die Bedingung b) von Satz 3 erfiillt. Seien p, qI, ... , qn E p~) verschiedene Primideale und 11" E p\p2q1 ..... qn. Nach Satz 6 gibt es ein a E R mit a == 11" mod p, a == 1 mod qll
fur 1 ~ v ~ n und a == 1 mod M; also ist a E HkM,r), ap(a) = 1 und aqv(a) = 0 fur 1 ~ v ~ n. 0
LITERATUR
[1] N. Bourbaki, Commutative Algebra, Addison-Wesley (1973) .
[2] L. G. Chouinard II, Krull semigroups and divisor class groups, Canad. J. Math. 33 (1981) , 1459 -1468.
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[9] L. Skula, On c-semigroups, Acta Arith. 31 (1976) , 247 - 257.
FRANZ HALTER-KoCH,
INSTITUT FUR MATHEMATIK,
KARL-FRANZENS-UNIVERSITAT,
HALBARTHGASSE 1/1, A-8010 GRAZ, OSTERREICH.
Eingegangen am 9. Oktober 1990
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